Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de...
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1/8 Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016
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Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur [ 3 ; + ∞ [ par : f(x) = E(x) pour x ∈ [3 ; 4[
f(x) = – 14 x + 4 pour x ∈ [ 4 ; + ∞ [
a. Tracer la représentation graphique de cette fonction dans un repère orthonormal du plan.
b. Cette fonction est-elle continue sur [3 ; + ∞ [? Pourquoi ?
Exercice 2
La fonction donnée ci dessous représente une fonction définie sur [0 ;4].
1. a. Donner le tableau de variation de f. b. La fonction f est-elle continue sur [0 ; 4] ?
2. a. Sur l’intervalle [2 ; 4], pour résoudre l’équation ( )2
3xf = , quel théorème peut-
on appliquer et pourquoi ? b. En appliquant ce théorème à l’intervalle [2 ; 4], montrer que l’équation
( )2
3xf = admet une unique solution α.
c. Donner une valeur approchée de α.
Exercice 3
Exercice 4
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Dérivabilité Exercice 5
Etudier les variations de chacune des fonctions suivantes après avoir précisé les ensembles de définition et de dérivabilité.
a. ( ) ( ) ( )32 1x1xxf +−=
b. ( )( )3x54
1xf
−=
e. ( ) ( )324 1xxxf +−=
f. ( ) ( )1xx
1xf
23 −=
g. ( )4
4x2
1x3xg
−−=
c. ( ) ( )( )2
3
1x
1xxf
−+=
d. ( ) 1x3x2xf 2 +−=
h. ( ) 1xxxf −=
i. ( )1x
xxf
2
2
+=
j. ( )1x
1xxf
2
2
+−=
Exercice 6
Exercice 7
Etude de fonctions - Problème de synthèse
Exercice 8
Exercice 9
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Exercice 10
Exercice 11
Soit f la fonction définie par : ( ) 32 xxxf −=
1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f. 2. Démontrer que f est continue sur Df. 3. Etudier la dérivabilité de f en 0. Donner une interprétation graphique du résultat.
Exercice 12
On donne f la fonction définie par : ( )2x
4xxf
2
−−=
1. Déterminer l’ensemble de définition D de f. 2. Ecrire f sans valeur absolue 3. Démontrer que f est continue sur D. 4. Représenter la courbe représentative de f.
Exercice 13 On considère la fonction suivante définie D = ]-2 ; 1 [
( ) ( ) ( )xsinxExf = E désignant la fonction partie entière
Etudier la continuité de f sur D.
Exercice 14
1. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa fonction dérivée :
a. f est définie sur ℝ par f(x) = (x3 – 2)2
b. g est définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = 3x + 1
c. h est définie sur [0 ; +∞[ par h(x) = 1
5x + 3
2. Déterminer les dérivées de chacune des fonctions suivantes :
a. f : x a x2 – 1 sur [2 ; +∞[
b. h : x a
1
x – 2x
3
sur ℝ*
3. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition et l’ensemble sur lequel elle est dérivable. Déterminer alors la dérivée de chacune d’elles.
a. f(x) = x² – 1x b. g(x) = (2x + 3) 3x – 5
c. h(x) = x² + 7
x² – x – 6 d. k(x) =
1 (5x² – 3)3
e. m(x) = (2x3 + 3x – 1)4 f. n(x) = x4 + x2 + 1 4. On pose : g(x) = 2x3 + x – 2.
a. Etudier les variations de g.
b. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet dans ℝ une solution unique α. c. Déterminer une valeur approchée de α à 10-2 près. d. Etudier le signe de g(x) selon les valeurs de x.
Exercice 15
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Exercice 16
Exercice 17
On considère la fonction h définie par : h(x) = 2x3 – 3x2 – 12x. 1. Dresser le tableau de variation de h.
2. Pour k réel donné, étudier le nombre de solutions dans ℝ de l’équation h(x) = k.
3. Démontrer que l’équation h(x) = 8 a une solution unique α. Donner un encadrement de α à 10-2 près.
Exercice 18
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Exercice 19
Exercice 20
Exercice 21
Exercice 22
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Exercice 23
Exercice 24
Exercice 25
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Exercice 26
Exercice 27
Exercice 28
Soit f la fonction définie sur ℝ par ( ) ( )1x3
1x3xf
2
3
+−= et soit C sa courbe représentative
dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’unité 1cm. 1. Montrer qu’il existe un unique triplet de réels (a ; b ;c) que l’on déterminera, tel
que pour tout x réel x :
( )1x3
cxbaxxf
2 +++=
2. Déterminer les limites de f en -∞ et en +∞.
3. Montrer que f est dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée. 4. Dresser le tableau des variations de f. 5. Donner l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer A, T et la
courbe C.
6. Montrer que l’équation f(x) = 1 a une solution unique dans ℝ. On notera α cette solution. Donner une valeur approchée de α à 10-2 près par excès.
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Annales baccalauréat
Exercice 29 (Métropole 21 Juin 2012)