FICHE DE REVISION 1 THALES - Collège Chateaubriand€¦ · FICHE DE REVISION 4 : FACTORISER A quoi...
Transcript of FICHE DE REVISION 1 THALES - Collège Chateaubriand€¦ · FICHE DE REVISION 4 : FACTORISER A quoi...
���������������� �������������������������������
�
����� ����������������������������!���������������������� ��������"��#���$�� � ��%�%�#�!���������������������������������������������� ���������������
�������������� ����������������������������������������������� !�"������ ����#��$�%�&��# �$�'%�&�����$�'�&�������#!�$�()�&"��������� !"����� �����#��� ��������
• *����� ������� �������!����� ���������#�
• ��������� !��
��#&'��$�(����+,����-�AB AC BCAD AE DE
= = ���������côté du petit trianglecôté du grand triangle
� �=� �� �
�
5 AC 335 42 DE5 3
35 DE3 35
DE5
DE 39
= =
=
×=
=
�
�
����������������������� �������������� Sur la figure qui n’est pas en vraie grandeur, le quadrilatère BREV est un rectangle avec BR = 13 cm et BV = 7,2 cm. Le point T est sur le segment [VE] tel que : VT = 9,6 cm. N est le point d’intersection des droites (BT) et (RE). 1. Démontrer que : TE = 3,4 cm. 2. Démontrer que : EN = 2,55 cm. �
�����& (�����������������������������
����� �����������& (����������������������������!�!������������.& ����������������� ������ ������������ ������ ���������������"��#���$�� � ��%�%�#�!���������������������������������������
�����������
��� ������������������/ ��������-��#$0�1�� $)�%�1���$0�%�1��!$)"�*����� ������#������� !��� ��/���������������2����
��� ����
�#��� ��������
• *����� ������#!������� ����� �����������
• *���� �����#���!�������� �� �������.���������&3&�� �����������
12
0,5
CACECACE
=
=�
1,52,5
0,6
BCCDBCCD
=
=
�
� 4�-�CA BCCE CD
≠ �
���#&'��$�(����+,����-������� ������#������� !������ ��������������"���
���������������������� ����������������5����������������� �,������������������.���� ����������� ���"�*�� �������� �&�������������# !��/ ����"����� �,����������������� �������������������&����6��7"�5���� ����� ���������&��.��� ���&����.�-� �$'�89&�1�#�$:�()&�1� �$0�9;&�1��!$:�)0&"� .& ������������ ���������������������#!�"�������
�
���������������� ��������������������������������� ����
�
��!"�#�$����%������������������� ����&���������������������� ��������'"�(��%)"�#%#$�*�*�(�&�������������������������������������������
������������
� ������������������������������������������������������� ��������������!��� ��������"���#�$�%�������������������������� �����(�$�#��!"������������������������������������������������������������(+,��)�-��$�&'�(� ������
��)�����)�*���)���)���� )�*��)���)��� + �
���� 656 ��� ≈ �+" ��
�������� ����,��#���������-�.�����������������������-�.�/��0����� �"������������ �����&'�(� ��"� �� ������#������)�1 ������
���������������������� ����������������
�������������������������������� ���������� ����������������� 2��������3��������������4.���
�� �.� ������������SC 85= ��
�
�
�����+#-��!"���"������������������ �����
��!"�#�$����%����+#-��!"���"������������������ ����&�5������������.� �������������������������������� �����������#��'"�(��%)"�#%#$�*�*�(�&���������������������������������
������������
� ��������������6�7�����������76����"8�����6����9"+�����7����+":�����.� ���������������������6�7��������������������������������� �����(�$�#��!"�����
7�)�+":)����/7�0��������#���������-�.�7�)��8"�;�
76)*6�)���"8)*9"+)�76)*6�)��<"89*��"�+�76)*6�)���8"�;�
7�)�76)*6�)��
�
��(+,��)�-��$�&'�(� ����������������6�7����������������6���
�
�
�
�
�
���������������������� �������������������������������6�7� �����76��� �"�6�����"+�����7����+"+���
�� 2��������3��������������4.���
�� �.� ���������������������6�7�������#�����������
�����
�
���������������� �������������������������
��������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ �������������� ������������ �!��!���� !����������������� !����"���"������������#����������������$�������������������������$����!������#������
"���#$�������������%����&��$� ��'� ����"��������%��������#����&�������$��$�������
����"���������"�$������%������
(��$� ��)���'����$����&������� 5 3 4− + =x ��
5
5 45 4
11
33 3
1
55 5
5
3− =− =
× =× =
++
−−
− −
− −
=−
x
x
x
x
x
�
��(���� ���� ��"�$�� ��� ��� ���������� $���� ��� ����� ����"�� �� ������������$������������$�����
)�������������"�$�����%�����������������$������������#���$����������$�������������
(��$� ��*���'����$����&������ 25 7 18+ =x ��
2
2
2
2
2
7
7 7 7
5 18
5 18
5
55 5
9
9
95
==
× =
++ − −
× =
=
x
x
x
x
x
�
95
x = − ����95
x = + �
��(���� ���� ��"�$�� ��� ��� �����������$����������������"�� ��������������$������������$�����
)�������(����������������#���$���� *����������+���������)�������������"�$�����%�����������������$������������#���$�����*�����$�����������
�
(��$� �� ���'����$����&������� ( )( )2 1 3 2 0x x− + = �
�,�������$����������������&�����������$������%���������������$������
2 1 02 1
12
x
x
x
− ==
=
�
3 2 02 3
32
x
x
x
+ == −−=
�
-�����������$���&������������3
2−��
12��
)�������������"�$�����%�����������������������$��������&��./.$�����������������$��$�� �� ����������������/�0����������� �,�#����&�����������"�������"�$���������"�����
1������ 2�"�$��3� 2�"�$��+� 2�"�$��4�
( )( )2 4 6 9 0x x− + = � � � �
23 9 7x− + = � � � �
3 9 7x− + = � � � �
( )( )8 7 6 0x x+ − + = � � � �
1 7x + = � � � �2 10 15x − = − � � � �
����������� ��'������������������$���&� ������3����������������������� �5���$�������$����$���������������$�����������$���&� ������3���
�6���$���������
23
x = − ����23
x = �23
x = �
� � �
67
x = ���� 8x = − �2
3x
−= ���� 2x = ��
6x = ��
�
FICHE DE REVISION 4 : FACTORISER
A quoi cela sert-il de factoriser ? Cela permet de transformer une somme en un produit
« A chaque expression, sa factorisation » Cette phrase signifie que suivant l’expression de départ,
on choisit une méthode spécifique
Méthode 1 : Factoriser l’expression ( )( ) ( )( )8 1 5 4 1A x x x x= + + − − +
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )[ ]( )( )
8 5 4
8 5 4
1 8 5 4
1
1
1 4 2
1
1
xA x
x
x x
A x x
A x x x
A x x
= + − −
= + − −
= + + − +
= + −
+
+
+
+
Dans cette méthode on cherche
un facteur commun ici ( )1x + et
on le met devant tout seul à la 2ème ligne
Attention : cette méthode ne fonctionne que si le facteur commun apparait dans tous les termes de la somme Avant de commencer la méthode 2, rappel des identités remarquables
Forme factorisée Forme développée
( )2a b+ =
2 22a ab b+ +
( )2a b− =
2 22a ab b− +
( )( )a b a b+ − = 2 2a b−
Méthode 2 : Factoriser l’expression 2 18 81B x x= − + Dans l’expression B, il n’y a pas de facteur commun mais B ressemble à la forme
développée de l’identité remarquable 2 22a ab b− +
( )
2
2 2
2
18
9
2 9
81
9
B x x
B x
B
x
x
= − += − × × +
= −
ressemble à 2 22a ab b− +
avec a x= et 9b =
( )2a b−
Méthode 2 bis : Factoriser l’expression 2 6 9C x x= + + Dans l’expression C, il n’y a pas de facteur commun mais C ressemble à la forme
développée de l’identité remarquable 2 22a ab b+ +
( )
2
2 2
2
6 9
2 3 3
3
x x
x
C x x
C
C
= + += + × × +
= +
ressemble à : 2 22a ab b+ +
avec a x= et 3b =
( )2a b+
Méthode 2 ter : Factoriser l’expression 225 64D x= − Dans l’expression D, il n’y a pas de facteur commun mais D ressemble à la forme
développée de l’identité remarquable 2 2a b−
( )( )( )
2
2 2
25 6
85
4
8
8
5
5
x
x
D x
D
D x
= −
= −
= + −
ressemble à : 2 2a b−
avec 5a x= et 8b =
( )( )a b ba+ −
Les « méthode 2 » et « méthode 2 bis » et « méthode 2 ter » se ressemblent car elles utilisent une identité remarquable pour factoriser l’expression Exercice 1 : Suivant l’expression, coche la méthode que tu choisis pour factoriser
Expression Méthode 1 Méthode 2 Méthode 2 bis
Méthode 2 ter
( )( ) ( )2 1 1 5 2 1x x x+ + − +
2 81x − 2 10 25x x− + 2 10 25x x+ +
( ) ( )3 2 7 3 5 9x x− + + −
29 25x −
Exercice 2 : Factorise les expressions de l’exercice 1. Aide pour t’auto-corriger : Voici dans le désordre les solutions
( )3 3 2x − ( )25x + ( )( )9 9x x+ −
( )25x − ( )( )2 1 4x x+ − ( )( )3 5 3 5x x+ −
���������������� �����������������
�������������������� �� !"���##���$������������������ �������������������������������
%����&������'#������()���(� !"���##�*�(��+����������������� ������������������������������������
������������������������� �������
�!�&� ��,��������������������������� ( )8 3 2A x= − �
�
( )8 3 2
8 3 8 224 16
A x
A x
A x
= ×=
−−× ×
= −�
����� ���� ������ ��� ������� ��� ����������������������������������
��������� ( )k x y k x k y× = ×− − × �
�
�������������������������� ������������� ( )9 7 4x + ���������� ��� ��������� ���
������������������ ( )k x y k x k y× = ×+ + ×����
( )9 7 4 9 7 9 4x x= × + ×+ ��
������������
�!�&� ��-��������������������������� ( ) ( )8 5 2 1B x x= + + �
�
( ) ( )
2
2
8 5 2 1
8 2 8 1 5 2 5 1
16 8 10 5
10 21 8
B x x
B x x x x
B x x x
B x x
= ×= × × × ×= + + +=
+
+
++ +
+
+�
������ ���� ������ ��� ������� ��� ������������������������������������������
( ) ( )a b c d a c a d b c b d+ + + +× × × +× = × ��
��������������������������������������� ( )( )2 8 4 5x x− + − ������������� �������
����� ��������������������������������
( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 8 4 5
2 8 4 5
2 4 2 5 8 4 8 5
8 10 32 40
10 48 32
x x
x x
x x x x
x x x
x x
− + −
= − −
= − × − × − × × −
= − + + −= −
+ + +
+
+ +
��
�����������
�"�(�� ����**�(�������*!�&� ��.)���##��� ���� �(���!����*�����/����
������ ��������� ��������������������
( )2a b+ � ���
2 22a ab b+ + �
( )2a b− � ���
2 22a ab b− + �
( )( )a b a b+ − � ���2 2a b− �
�
�!�&� ��.��������������������������� ( )24C x= − �
!�������������������������"��������������������� ( )2a b− �
( )2
2 2
2
4
2 4 4
8 16
C x
C x x
C x x
= −
= − × × += − +
�
( )2 et 4a b avec a x b← − = = �2 22a ab b← − + �
�#������������������� �������������������������������$�����������%�"������������������������������������������������������������������������������&�
( ) ( )( ) ( )2 2 24 4 4 4 4 4 4 8 16C x x x x x x x x= − = − − = − − − × − = − + �
�������������'�������������������������������������������������
(���������� )�����*� )�����&� )�����+�
( )( )4 5 1 2y y− + � � � �
( )5 8y− + � � � �
( )( )4 5 3 2y y+ + � � � �
( )24 5y+ � � � �
( )2 19 5y− � � � �
( )( )4 5 4 5y y+ − � � � �
����������������������������������������������������*,������ ���������������������-�������������������������������������������������������������*���
216 25y− � 5 40y− − � 10 38y− + �
� � �225 40 16y y+ + � 215 22 8y y+ + � 210 3 4y y− + + �
�
�
���������������� ��������������
������������������������������������� ����������������� ������������� ��������������������������� ������������������������������� ��������� ������������������������������������������������������������������� !" ������������������#$������ ����� �������������%���#$������ ��������������� !" ��&�����������'��� ���������������������� ����� ������� ���������(�)���* ��+����� ���� ������������������������������ %����������������������������������!��������"�"�������������������� �������� �������������������� ,��������� ����������������� %������������������������� ���� ���������� �� ������� ������ ������������������-����������� �������������������������� ��������������������������������������� �������� ��� �� ������ ��������� �������� ������������������������* ���
#��$�%&��!���������!��'��!��.�������������������������������� ����������������������������������� ��������������� ��������������� �� ������������� �������� ����/���������������������" ��������� ������ ������������������ �0��"1�#�2�"3�4�2� !�1�2�"$�3�2�"5�5�2� "�"�2�"3�1�2�"$� �2�"5� �2�"#�$�2� !�$�2� "�3�
�����������(���������������&�)�����!���*����!���������� �67�� ������!�"��8�
( )18,6 19,4 20,8 15,9 17,7 21,1 19,8 15,2 17,2 16,5 20,5 21,9 :12
224,6 :1218,7
+ + + + + + + + + + +=≈
�
9��� %�������������������������������� ���������"1�5��
����������+���������������,*���!���!���������*���� �
21,9 15,2 6,7− = �
9�������������������������#�5�������'�'����������������� ����������������� �
���������������������#�5�������������-���������������&*!�����!������*����!���������� �
.*�/�!��'����!*���&���������������&*!�����!,�����*������"� )����������������������� ������� ����� � �������������������������� ���������:����,,���,�;� 9�������������������������������<��������=�
�"$� �2�"$�3�2�"#�$�2�"5� �2�"5�5�2�"1�#�2�"3�4�2�"3�1�2� !�$�2� !�1�2� "�"�2� "�3�
����������������������/��%���#������������������ �����������������������������������������������/��%���#������������������ ����
�
18,6 19,419
2+ = �
9��������������������"3��
�����������������'�*�������!������*�������9��� ���������������� ��������������"3�������� ���������������� ��,����������"3�������������0����*���&��������'��&�������������!������*����!����������
.*�/�!��'����!*���&��������'��&�������������>"���"� )����������������������� ������� �����
� ?�����������������������,,���,�0��1
4× �,,���,�
;� @��������������������� ����������������� ����� �����@���������������������������� ����������������������
4� >"��������������������������� ��� �� ��������������� �;��
112 3
4× = � �� 1Q ������������������������� ��� ����� �;�� ��0� 1 16,5Q = �
�����������������'�*�������!������*������� $A������������� ��,����������"#�$���5$A������������� ��������������"#�$�����������1����*���&��������������%&�����������!������*����!����������
.*�/�!��'����!*���&��������'��&�������������>;������������"��)����������������������� ������� �����
��������������������������� ��?�����������������������,,���,�0��3
4× �,,���,�
���������������������������;��@��������������������� ����������������� ����� �����@���������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������4��>;��������������������������� ��� �� ��������������� �;��
312 9
4× = � �� 3Q ������������������������� ��� ����� �3�� ��0� 3 20,5Q = �
�����������������'�*�������!������*������� $A������������� ��,���������� !�$���5$A������������� �������������� !�$����������� �������'���������22��&��3�#����!����������������!�����������!��������/�%����������'*������4�(156&7�8��"�"���������� �9����2�����������*'����7�5$A������������� �������������� !�$�� ����������5$A������������� ��������������"$�3��� ��������� �������� ������������������ �
9� ������������ �B���������������������������� �����������������"3�$��� �������������)����������������� ��"���$������� ����������� ���������������C �������������� ������������ ������������� ��0��
!�$� "3�4� #�5� "5� � "1�1���
�
���������������� ����������������
���������������������� ! ����"��#�������������������� �������������� �������� ���������������������������������$�!�%������������&�&���#������������������������� ������������������������� ��������������������������������������� ���������������������� ���
�'����������%��(�����
• ����� � ���������� � ���� ����������!���"��
• #�� �����������$��������� � ������� ����%��������������� 12��
��&� ��'�%()� ���������*+�,�12�
• #�� ����������������� ��������� � ������� ������ � ��������������-�
� �����.����-� ��/������������'�%()� �����������������-�*+,26,
13�
��)�*������0 ������� ���������� ������ �� ��� ��������� ����� ������� ������
� 1 ����� 2������ 3 ���3 ������� "4!!� "5!!� -"!!�
6�� ������������������ 44!� 4/!� 7!!�3 ��� "84!� 9"/!� 4!!!�
&��� ������ ������ ������������� ���������������$��������+���%��: ������������;������������������������������������ ����� ����<���"������+���=��;���"84!�� ������ ����� ������4!!!����� ���� ��'��
%()�������� �������� ����*+,18404000
,!�4/���!�4/>!�?�
��� ����� ������;���������������������������������������� ����� ������$��������,���@�������������� � ���������������� ��.��������������� �������<�(� �������������� ������. �������� � ����������+�
�"������,�����%()�������� ������� ������*+,31004000
,!�55?�
�$��������-���@�������������� � ���������������� ��� ����� ������� �����������������<�(� �������������� ������. �������� � ����������+�
�"������-�����%()�������� �������� ������� �����������������*+,4404000
,!�""�
�
�$��������.���@�������������� � ���������������� ����� ��������� ������� �����������������<�(� �������������� ������. �������� � ����������+�
�"������.�����%()�������� ������������� ������� �����������������*+,35604000
,!�87�
��/��!������)�*����������'����!0�������������� �������/�.�����������'������ ����������� ���������������������������������� ����+1�&��������������. ����� � �����������. ������� ������������.���� �����A�����������:� ���� ������������ ������ ������� ������ �����������������������������������������
!1���� �����������.����������������� �������� ��������������!�9�� 1���� �����������.����������������� �������� ������ �������!�-��
,1�&����� ���������������������� ����!1���� ������������� � ������� �������� ������������������ ���������!�"/5�� 1���� ������������� � ������� �������� ������ ����������� ���������!�---���
$�������������"*���!������B �����������������������������.��������� ��������������� �"��������� � ������� ���������������� �9�<��"��������A��������������.��������� ��������������� �"��������� � ������� ���������������� �9���������������������$����������'���� � �������������������������C������� ���� �� ���.�������������.���������� �������C��� ����������� � �������� ��������
�
���������������� ������������������������������������������������������ �����!���������������� �������������� ����������� ���������������� ����"� �#������������$�$���!�� �������� ����������������������� ������������������ ������������������������������������������������� ���������������� �� ��������� ����� ��������������������������� ��� ��
�%����������#��������
• �������������� ����������������� ������������������������ ( )f x a x= × �
• � ��������� ����� � �����!�������������� ������������������� ����� ���!�����������������
• "���������������������#��������������������� ��$� t1
100� �+� �� �
�������
��������������������#��������������������� ��$�t
1100
� �−� �� �
�
�
&��'�#���������(� )'����*������������������� �#%����������������� ����%��& ���������������� ������'�������������!�������������� ���� ��(��)��*������ �����!�������������� �������+����������������������������,������� �������-��.��������������������� �'���������������)������ ����� /)���������������������+�0������ ����� /�+�0(�
1��������� ����� 1��������� ��� �
�
�����
�
� /2�0� /�+�
�'x(/2�0x� 'x(/�+x��
�����������.����)223���)2%%�������������!�������� � ����������)2#���"��������+���.��)223�������� ��� �� 4��%%��������!���������& ��������������� 4�����)2%%���"��������,���.����)223���)2%%��� ��������� ����������������������!��������5��"��������-���&����������� ��� ��
6���� 4�����)223� 2� )� -�3� 7� 3�0� %%� %+� %0�%� %8�
6���� 4�����)2%%� � � � � � � � � �
�
"��������.���9�� ���������� �������������x�'�������� 4�����)223(� �������������� 4�����)2%%��&��������$��'x(�/�� � � ���"��������/�������������!� ������-0�+7�� ��� ������������������������������� ���"��������0��������������� �����������83�' ���������2�2%�����(�� ��� ������������������������������� ���"��������1���:������������ � �������� ����������� �������������$�
� %�������������%��������� ��������� %�������������%������������������
6� �����!����������������� ������������������� �� �������������������"�������� ���"��! �������� � ���������� � �� �� � ;�������� ���������������!� ������%<�8�������� �����������7�-������ �������������� ������������������ ��������������������������� �������� ���������������������
��� �������� ( ) 2011 1 20% 11 1 11 1,2 13,2
100� �+ = + = × =� �� �
�
��� �������� ( ) 201 20% 1 1, 2
100� �+ = + =� �� �
�
��� ���� ���!�"���#�"�$�%%�"�%�#�"����#�"�� ���"��$�&�"��%����"����&�
��� ����#��� ( ) 1, 2f x x= �
��� ����$��� ( )45,37 1,2 45,37 54,444f = × = �
'���������� ������(���#$� )���� ������������������!!*���������(����$#�###���� ������!��+�
��� ����&���( ) 89
1,2 89891, 274,17
f x
x
x
x
==
=
≈
��'���������� ������(���%*���� ������������������!�������������(��)#��)���� ������!!*+��
��� ����%����!���"�&�����
�
�
�������������� ���������������������������������
���� ������������������� ��������������������
�
Sinus =
��������������������� ���������������� ������ ������������������������������
�������������� ���� ������� � �
���� ������� !���������� ����������������������������
�!�"�#�$������
��������������������� !%������ ��&�'�'(���)�*
�
�
�������������� ��������
�������������������������+�� � ���
���� ������������������� ���������������������
�
côté ppOH
oséinus
ypoténuse= �
��������������������� ���������������� ������ �����������������������������
���� ���� ������� � �
����,�
���� ������� !���������� �������������������������������
�!�"�#�$������ � 43F = ° �
��������������������� !��%������ ��&�'�'(���)�*�
���������������� �
�������������� �������������� �����,�� �������&���������������������������
����+�� � ����� �������
!�������������"���
�
• +-.���,������������������������/�,�������+����0��1
• ���/�,���2������&��+������
���/�,������,�&��+������
• ���/�,���2������&��+������
���/�,������,�&��+�����
���#$!������%� ��
côté djacenAC
Hosinus
ypoténuse=
��������������������� ���������������� ������ �����������������������������
���� ���� ������� � ��
���� ������� !���������� ������
= °
�
����� ����������� ������� !������������������������
�#�&�������� � ����������-�������� ������������������������ ��
���������������� �
���� �����,�� �������&���������������������������
������������� ���������������
!�������������"����
+-.���,������������������������/�,�������+����0��1
���/�,���2������&��+������ �A �����0��1���/�,������,�&��+������ �A �����0��1����/�,���2������&��+������ �C �����0��1
���/�,������,�&��+������ �C �����0��1
���#$!������%� ���
côté djacenA typoténuse
� angenteT
��������������������� ���������������� ������ �����������������������������
�,�����
����� ����������� ������� !����������������������������
�( )((
cos
cos 43
cos 431
5,3 1EF=
cos 43
7,25
F
EF
° =
≈
#�&����'���������������������������������� � ����������-�������� ������������������������ ���
���������������� �
���� �����,�� �������&���������������������������
���������� ����������������
+-.���,������������������������/�,�������+����0��1
����0��1�
����0��1��
����0��1��
����0��1�
côté pposéangente
cO
Aôté djacent=
��������������������� ���������������� ������ ����������������������������������3���
�,������
����� ����������� ������� !�����
)))
( )
cos
5,3cos 43
cos 43 5,31
5,3 1EF=
cos 43
7,25
DFF
EF
EF
EF
=
° =
°=
×°
≈
�
��������������������������������� � ����������-�������� ���������������
���������������� �(�'�%��)� �#�%���
���� �����,�� �������&���������������������������
+-.���,������������������������/�,�������+����0��1�
côté pposéôté djacent
�
�
��������������������������������� � ����������-�������� ���������������
��������������� ���������� ����� �������
���� ������45����������� �������������������545�"�6�7
������������%������ ��&�'�
����� �������������� ����������������� ����2�����8�������������� �����������,����,�������9 ��������������������������������#'�����
�
*+���� �������� ���8����+-�� :����������������������������-�������&����������8������������,������������ ������)����,+�������;8����������&�����-����&;� ������"�<$�������������������������+����������
�+-�� :����������������������������
%��)� �#�%���
���� ���������� ����� �������
����,�
���� ������45����������� �������������������5�����������45�"�6�7������5��"�#��
����������������������MON%������ ��&�'�(���)�*�
���� �������������� �������������
� ����2�����8�����������;8���������=������������������� �����������,����,�������9 �������������������������������#'��
������ ��� ��� ��������� ������������!
��� �������� ���8����+-�� :����������������������������-�������&����������8������������,������������ ������)�����+���
8����������&�����-����� ������"�<$�������������������������+����������
�+-�� :��������+���;&;� ����+������
��������������������������"#�$
%��)� �#�%����
���� ���������� ����� ��������
���� ������45����������� ������
5��"�#���
��MON �
����� ����������� ������45�������������������5�
#�&���
�� � ����������-��������� ���������� ��
���� �������������� ����������������
8���������=������������������� �����������,����,�������9 ����������������
������ ��� ��� ��������� ������������!
��� �������� ���8����+-�� :�����������������CSH������������-�������&����������8�����������;8��������+���
�+���;&;� ���&��+�� �,*
8����������&�����-����������<$��)�������������������������+���� ������"�<$�������������������������+����������
� ����+�������CSH �%������ ��&�'�(���)�*
��"#�$�
�
�,�����
����� ����������� ������45�������������������5��������
�(�(
�
�
tan
tan
tan
57,7
MON
MON
MON
MON
=
≈ °#�&����'����������������������������
�� � ����������-�� cos������� ������������������� ���
8���������=���������������������
������ ��� ��� ��������� ������������!�
�CSH ��� ��������>'�?8��������+���;&;� �����
� ���&��+�� �,*�
������<$��)�������������������������+���� ������"�<$�������������������������+�������������� �������� ���8���
%������ ��&�'�(���)�*�
�,������
����� ����������� ������45������
� )� )
1
7,957,9
tan5
57,7
MNMON
ON
MON
−
=
=
� �= � �� �
≈ °
�
���������������������������1cos−��
1sin−�
1tan−
����������������������
�� ��������>'�?�� ������%��������������
������<$��)�������������������������+���;���� �������� ���8���
���������������������������1tan−�
�������������
������������� ������������������������ ������������������ ���������������� ������������������� � ������������������������������������������������������������ !��"��#������������������$���� ����
• %���&��������
• '������������������� �������&&����������������������������� ��������(����
• '������ ����������(�����$���������&��������
�
��������������������������� �����������������������������
)��*��������������������������������������������������������������$��������(�"����+��� ����������������� ����������������,��-�������������������������.��������������������/��� ������������&&�������������������,������� ���������0���'������������������������������������������������
�
�
���� ���������������������� ������������11��������� ���������� ���$�����"������� �����������/��������� � �
������������� ������������������� � ��������������������������������������������������� ����&�������������������� !��"�����������2
!��"��#������������������$��������������������� �3�����������������������������������
%���&���������&&����&���������&��������������$��
'������������������� �������&&����������������������������� ��������(����
'������ ����������(�����$���������&��������
��������������������������� ������������������������������������
*��������������������������������������������������������������$��������(�"�� ����������������� ����������������
-�������������������������.�����������������/��� ������������&&�������
������������,������� ���������0���'������������������������������������������������
4���������&&����(
�0������01��
(�x"0�x1��
�� !"�#"�$"%�&�'(�����������'���&���������
��������� ���������� ���$�����"�/��������� � ������� �������������������������������������������
������������� ������������������� � ���������������������������������������������� ����&�������������������� !��"�����������2
��������������������� �3�����������������������������������
���������� ��������
��������&��������������$��
'������������������� �������&&����������������������������� ��������(����
'������ ����������(�����$���������&��������
��������������������������� ��������������
*��������������������������������������������������������������$��������(�"�� ����������������� �����������������
-�������������������������.�����������������/��� ������������&&���������������������� ���������� ���������0������������
������������,������� ���������01,��"����'������������������������������������������������
(�
�
�� !"�#"�$"%�&�'(�'���&����������&&��������������&������������������5����
��������� ���������� ���$�����"���������������������� �������������������������������������������
������������� ������������������� � ���������������������������������������������� ����&�������������������� !��"�����������2��6 ����&�����������������)��
��������������������� �3�����������������������������������
���������� ���������
��������&��������������$��� ( )f x a x b= × +
'������������������� �������&&����������������������������� ��������(����
'������ ����������(�����$���������&���������&&�������������������
��������������������������� �������������������� ���������)� ��������*�
*��������������������������������������������������������������$��������(�"��
-�������������������������.������������������������������� ���������� ���������0������������
���'���������������������������������������������������������� ����������������4���������&&���
�01��������0,��
��x"01���x7,��
�� !"�#"�$"%�&�'(��&&��������������&������������������5����
������������������ �������������������������������������������
������������� ������������������� � �����������������������������������������������8� ����&�����������������)��
��������������������� �3�����������������������������������
f x a x b= × + �
'������������������� �������&&����������������������������� ��������(�����
����������������
��� ���������)� ��������*�
*��������������������������������������������������������������$��������(�"��
������������� ���������� ���������0������������
���������� ����������������4���������&&������
�
��������0,���
7,���
�� !"�#"�$"%�&�'(�+,����'( -�'(&��&&��������������&������������������5����
������ �������������������������������������������8�
����&�����������������)����������������������� �3�����������������������������������
�
���������� �����������������
�����������%�����$�����������(��������������� � ����(���� (����������������$���9�#&&�����8�)���9�#&&���2�8���������������+����������.��������&&������������������&&���2��
���������/
'���&���������� �����"�����������0
x��x"�
����������1����&���������)� ���������� ������������2���������������������3���&&�����������������(��������������5���6�����������4���&&���2�:��
����� ���� ������������������
������������������������
����������������������������������������������������
�������� ������x!���"��������������#����������$���"�������������%������&��� �'�� �����������"����(�)��� ������
�
�'( -�'(&��
%�����$�����������(��������������� � ����(���� (����������������$���#&&�����8�)��� �������������� � ����(#&&���2�8����� �������������� � ����( �
���������+���*�����������������$����&&�����������������,����������� � ����( ���������
���������.���/�����������&��������������������&&�����������������������&�����������������
���&&���2��
���������/���+��������*�����&���������� &����������
'���&��������������*�����1������
���������0���*��� ������������������������
���������1���;��� ������������������5��������(��������&�������������*��#����������)��
��������� ���
���������2���������������(�����$���������&�������������<������������ ���� �����������������������������������$����������������������3���
���������3���������������(�����$����������&&�����������������(��������������5���6�
���������4���+������ ������=���>����&�����������������"
����� ���� ������"(�$��"�� �������)���� ���������������
���� x������� x+35���+����������� ���*��(���������������� ���� ��� �������������(���������������������
����,�����,����,� �������������������������
�-����x������������%������&����(���������!���"��������������#����������$���"�������������%�����
'�� �����������"����(�)��� ������
�'( -�'(&�����("&
%�����$�����������(��������������� � ����(���� (����������������$����������� � ����( ������
������������ � ����( ����������������������������
*�����������������$����&&�����������������,����������� � ����( ���������
/�����������&����������������������������&�����������������
����&���������� &����������
��������������������������&������������ �����
*��� ����������������������)��� �� �
;��� ������������������5��������(������������)��������)�
����������(�����$���������&�������������<������������ ���� �����������������������$����������������������3���
(�����$���������&�������������<������������ �����&&�����������������(��������������5���6���������������� ��
+������ ������=� �������������>����&�����������������"�
� �������)���� ����������.�
+����������� ���*��(���������������� ���� ��� �������������(���������������������
�
�����������%������&����(������������/��
!���"��������������#����������$���"�������������%�����
'�� �����������"����(�)��� ������x!��0 ��
����("&�
%�����$�����������(��������������� � ����(���� (����������������$��� ������������5��(��������������"
����������������������
*�����������������$����&&�����������������,����������� � ����( ���������
/�����������&������������������������������� � �������������&������������������������������� � ����( ������
����&���������� &���������� : 1,2f x x� ���
���������&������������ �����
x�*�x"�
;��� ������������������5��������(������������� �����������(�����$���������)�������������������������)��
����������(�����$���������&�������������<������������ ���� �����������������������$����������������������3����
��&�������������<������������ ���������������� ���
�������������1���� � ����(��������
������.����*��"����������������� �����������������1�� ��
+����������� ���*��(���������������� ���� ��� �������������(���������������������
��/��
!���"��������������#����������$���"�������������%�����
0,5 35 800,5 80 350,5 45
450,590
x
x
x
x
x
+ == −=
=
=
%�����$�����������(��������������� � ����(���� (����������������$����������5��(��������������"�
�����������������������,� "�
*�����������������$����&&�����������������,����������� � ����( ���������
��������� � ����( �������������������� � ����( ������
: 1, 2f x x ��� : 0,5 35g x x +�
���������&������������ ������:��>����&�������
�� )��� �
�������� �����������(�����$���������������������������)��������
����������(�����$���������&�������������<������������ ���� ��������
��&�������������<������������ ���� ���������
���� � ����(��������
��*��"����������������� �����������������1�� ���
+����������� ���*��(���������������� ���� ��� �������������(���������������������a x× �
0,5 35 800,5 80 350,5 45
+ == − �
*�����������������$����&&�����������������,����������� � ����( ����������
��( �������������������� � ����( ������
: 0,5 35g x x + ��
:��>����&�������
)����
�������� �����������(�����$���������
����������(�����$���������&�������������<������������ ���� ���������
��������
���� � ����(��������
�
a x
���������������� ���������������������
������������������������ !������"�������������������������� �����������������������������������������������������������������������������������������#��$�������%�%���"������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�$����������#�����������������������&�������������������!���
���� ���� �'� (���
a b a b× = × � 12 4 3 4 3= × = × �
a ab b
= � �20 2025 25
= �
��$����������#�����������������������&�������(����������
��� ���� �'� (���m n m na a a +× = �
3 6 3 62,1 2,1 2,1 +× = �
mm n
n
aa
a−= � ( )
( )( )
55 9
9
22
2
−−= −
−�
( )nm m na a ×= � ( ) ( )3 2 3211,9 11,9− × −= �
( )n n na b a b× = × � ( ) 6 6 68 3,1 8 3,1− − −× = × �
n n
n
a ab b� � =� �� �
�3 3
3
4 45 5� � =� �� �
�
�
����������� ���������� ������������������������ a b �������������������� ������� � ���
12
4 3
4 3
2 3
= ×
= ×
=
�
������������ ������������������������������!���������������������������� �������������"��#���������������������������� �����������$����%������&�
"�������������������������&� 24 2= �'��������������������������&�'�()*��+,�� ���������������������������+,�� ��������������� ����������
�
����������������� ��������������������� �������������� 12��� 6 2× ���
����������������������������������������������� ���� �� ����������������������� 6 2 6 2× = × �
��
�
�
���������
) -������� �%�������( )24 5
3
2 2
2
×&��
( )24 5 8 5 8 5 1313 3 10
3 3 3 3
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2
+−
× ×= = = = =�
*) . ������������� ������/�����������0�
32 16 2 16 2 4 22 2
2 2 2 2× × ×= = = =
��. ������������������
+) ������� 2 45 ������������� a b �������������������������������������
2 45 2 9 5 2 9 5 2 3 5 6 5= × = × = × × = �
,) . ������������ � ���/�����������0�
���� � ��� � ��
. �����������������
�������������� � ���� ��
�������������!�����"������
1����C 2 45= ���D 80= ��
) �������2������������� a b ��������������������������������������*) �������3������������� a b ��������������������������������������+) ���������������������������� ���������243��,) ���������������������������� ���������2�×3��
�
��������� 6 5 #� 4 5 #�10 5 #�$�%���������������!�����"������$�����5����������������������������������%�����
� 6� 7� 2� 3�
8���������&�549(�
5
7�
57� 5
7�
5
7�
8������� �&� ( )32 3× (�32 3× � 36 � 63 � 32 3× �
8�������9�&�26
7� �� �� �
(�3649�
649�
367�
67�
����������&'�#�$(�#��)�
�
���������������� ������������������
������������������ !"������#������������ � ������������ � ������� �� �� ������ ������� ������������������� �� ��������������������������������� ����������� ��� ������� ������ �������$%����������&�&�$�#������������ ����������� ���� �� ! ��� �����" ��� ������ ��������� ����� �������� �������������#�������������� ��� ��� ���������� ��$��� �� ������ ��$����������������� ���������� �����������
'�����$�����%��(�������������!����)�������%�*�������
• %� ����������� ���� �&'������������������ �&'�����%���� �(��� �
�� �� ! ��� �� ���������� ������������� ���������� � ��� ��)���
&'�)�%�*�+,�
• &��� ��������������� ���� �&'������������������ �&'�����&�� �
��� �����(��� ��� �� ! ��� �� ���������� ��������������� �������
������� � ��� ��)���&'�)�&�*�+-�.�
�'�����$�����%��(������������+,���
• � ������� ����� �+,������)�+�/�,�/�0�/�'�/�1�/�+,�
• � ������� ����� �+&������)�+�/�,�/�0�/�1�/�2�/�+&�
• � ������� ����������� �+,� ��+&������)�+�/�,�/�0�/�1��
������ �3����4�����5����6���� ���� �+,� ��+&� ���1���
������ �)�3456�+,�7�+&��*�1�
• ��������� �� �$����� �� ��� ���������� � ��� ��� � �$����
� ���3456� ���"���!�+��
������������������ ��������������������������
��������������������������������� ����
10-�/�,2'�*�001������������ ��������� �� � ��� �� ��� �$����� ���3����� ��0���������������������������������������� ���������� �� ������"��������������� �� �� ��
001�/�,2'�*�+,1���������� �� ������"�����001� ������ �� �� ��� ��,2'� ��+,1��
,2'�/�+,1�*�+1&�+1&�/�+,1�*�',�+,1�/�',�*�&'�&'�/�',�*�',�',�/�',�*�-�
� �� ��� ������ ��������� ���� �3456������)�3456��10-�7�,2'��*�',�
��
������������������ ������ !�� �����
6��������� �� � 3���� � 6��� ����� �� �� � �
10-� ,2'� ',� 10-�*�,2'× ,�8�',�
,2'� ',� -� ,2'�*�',�× %�8�-�
� �� ��� ������ ��������� ���� �3456������)�3456��10-�7�,2'��*�',��"����#�����
• �0-�*�',× +.� ��,2'�*�',× %�
• 9�� $��� �� ������� ���"������"���!��������������� �� � ������� ������� ��� �
3456���!$�������
- 5����� ��� �3456�� �+%..� ��+-.0��:������ ������ ������ ��
"��������
�%&&�'���&��(�%���
��&��'�%���(��&��
%���'��&��(��&��
�&��'��&��(���
������ ����������)�%&&�*���&�+�(��&��
�- ;���� ������������� 10531755
����������� ����������� ��
"��������1053 1053 : 351 31755 1755 : 351 5
= = �
.- <������ ������ ���� ���������" ������=� �+%..��>� �� ��+-.0����� ���� ���9��
������� �� ��� ����� �������� ������ ������������ ��������� ����� ���� �� !
��� ������������ �? ����� �� ���������" �� �����? ������������� �
�>� �� ��� ����� ���� ���
�- @� �� ���� ����� ��$���� ������������������������ ��A�
"��������,�����-������������������ . ��������%&&������&�/�,�����-���
��$ ��������������������������������%&&������&���� ���&�/�
/- 5��� �������� � ���������� ������� ��>� �� ��� ����� ���� ����������A�
"��������
0��-�������1��������������%&&����&��(�&�
0��-������������ ���������������&�����&��(���
2��3�����&��1��������������� ����������/�
4��������$��������� �����5�������6���� ���� �� ������ ��&&.2� ��'.+�������� � ��� ��� � �$���2�� ��� ����������������������
�
���������������� ������������������������������������������������������� �!�������"������������ �!���� ��"������#�������������������� ��������������������������������������$� �%������������&�&���#������������� �����������������������������������������������������
�'����������%��"������
���������AB ���������������������������������������������������������������������������������������������
�����������AMB ������������������������������������
����������������AB�������������������
�����������AOB ��������������������������������
�������AB�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������AB
��������������AMB ����AOB �������������� ���
�����AB����������������������(��)��*�*���!��������������������������������������������������������������������� ������"��������������������������#�������������������������������(��)��*�*���!���������������������������������������������������� ������"��������$���������������������� ����������������
�
�+�,)�����%����&�� 50ITR = ° ���� 40ARI = ° �
�����������! ���������IAR ��'������������ �������
������������(�������������������������������)�*�
�'������������ ������
�������� ���(������������������������+�),���������������*�������������
������������������������IAR ����ITR ��������������������������� 50ITR = ° ��������������������������������������������������������������������������������������������������
������ �!������������� � 50IAR ITR= = ° ��
������������ 40ARI = ° ����
� 50IAR = ° ������� 180 50 40 90AIR = − − = ° �
!����������������������"#�����������������#��������� ���$"�%��������������������������&���������'�������������������������������������������������������������������������������������������()���������������������������()�������*����� ������+�,)���)�����'���� -������������������-���������������+��,��������&����.�/����0������������������������+��,��-����������������������1���+��,��0������������(����������������������������
�������+�(,��0������������0����������������������&� 35AQP = °"���������������������+(0,��
������������! �����������������������������ABP ��'���������������� ���(������������������������������0��*�
��������+���! �����������������������������PAB ��'��������
��������,���! �����������������������������PIB ��'���������
�����������������������������������AQP ����ABP ��������������������������� 35AQP = ° �
�������������������������������������������������������������������������������������������������
������ �!������������� � 35ABP AQP= = ° �
������� ���-����������"./���������������������������������0���$".%�����������������������������������������"./����������������/ �
�������+������������������/".��� 35ABP = ° ���� 90APB = ° ����� 180 90 35 55PAB = − − = ° �
�������,�����������������PIB ������������������������PAB ���������������������� 55PAB = ° �
���������������������������������������������������1��������������������������������������������������������������������������������������2������������������� ��
!������������� 55 2 110PIB = × = ° ��
�������������� �����
�