FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO - Operação de migração para ... · conteúdos de matemática por...
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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: Números Decimais – suas operações: uma proposta para a Formação de Docentes
para as Séries Iniciais.
Autor Rita Eliceia Kubit
Disciplina/Área Matemática
Escola de
Implementação do
Projeto e sua
localização
Colégio Estadual Nilo Cairo
Sito à Rua Osório Ribas de Paula,970
Município da escola Apucarana
Núcleo Regional de
Educação Apucarana
Professor Orientador Regina Célia Guapo Pasquini
Instituição de Ensino
Superior UEL – Universidade Estadual de Londrina
Relação
Interdisciplinar -
Resumo
Por meio da experiência que construímos com os alunos do Curso
de Formação de Docentes e, os relatos posteriores desses alunos nas
aulas que ministramos, percebemos que as operações com números
decimais, em especial, a divisão, são conteúdos de matemática que
envolvem muitos problemas de aprendizagem. Dessa forma, este
trabalho foi elaborado com vistas a oferecer uma proposta de
trabalho com o objetivo de promover compreensões sobre essas
operações para os alunos do Curso de Formação de Docentes das
Séries Iniciais. Para isso, nos apoiaremos nas representações que o
Material Dourado nos oferece no que tange ao trabalho com
números decimais. Como estratégia metodológica escolhemos a
resolução de problemas que serão propostos a partir do uso de
materiais manipuláveis e jogos.
Palavras-chave Material Dourado. Operações com Números Decimais. Formação
de Docentes para Séries iniciais.
Formato do Material
Didático Unidade Didática
Público Alvo Alunos do curso Formação de Docentes
RITA ELICEIA KUBIT
UNIDADE DIDÁTICA
NÚMEROS DECIMAIS – SUAS OPERAÇÕES: UMA
PROPOSTA PARA A FORMAÇÃO DE DOCENTES PARA AS
SÉRIES INICIAIS
LONDRINA - PR
2012
Secretaria de Estado da Educação Superintendência da Educação
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional
Universidade Estadual de Londrina
RITA ELICEIA KUBIT
NÚMEROS DECIMAIS – SUAS OPERAÇÕES: UMA
PROPOSTA PARA A FORMAÇÃO DE DOCENTES PARA AS
SÉRIES INICIAIS
Produção Didática Pedagógica – Unidade Didática, elaborada e implementada como um dos requisitos necessários na participação do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), idealizado e mantido pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED/PR), em convênio com as Instituições Públicas de Ensino Superior (IES).
Orientadora: Prof.ª Dra. Regina Célia Guapo Pasquini
LONDRINA - PR 2012
Secretaria de Estado da Educação do Paraná Programa de Desenvolvimento Educacional Núcleo Regional de Educação de Apucarana
RITA ELICEIA KUBIT
NÚMEROS DECIMAIS – SUAS OPERAÇÕES: UMA
PROPOSTA PARA A FORMAÇÃO DE DOCENTES PARA AS
SÉRIES INICIAIS
Plano de trabalho apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE 2012 – SEED- PR, sob orientação da Prof.ª Dra. Regina Célia Guapo Pasquini do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina-UEL.
LONDRINA - PR 2012
SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO ...................................................................................................... 3
2. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................................. 5
4. A PROPOSTA .......................................................................................................... 10
4.1. Encaminhamento ..........................................................................................................10
4.2. Procedimentos ..............................................................................................................11
5. TAREFAS ................................................................................................................. 12
5.1. Primeira Tarefa: Ambientação ...................................................................................12
5.2. Segunda Tarefa: Representação ...............................................................................18
5.3. Terceira Tarefa: Trocas ...............................................................................................21
5.4. Quarta Tarefa: Operações com números decimais ...............................................22
5.4.1. ADIÇÃO ....................................................................................................................22
5.4.2. SUBTRAÇÃO ...........................................................................................................25
5.4.3. MULTIPLICAÇÃO ....................................................................................................28
5.4.4. DIVISÃO ....................................................................................................................32
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 42
7. REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 43
3
1. APRESENTAÇÃO
Esse material é uma produção didática pedagógica, resultado do Programa de
Desenvolvimento Educacional (PDE), a fim de proporcionar ensino de qualidade para a
Educação Pública. Caracteriza-se como uma Unidade Didática tendo como tema
“Números Decimais na Formação de Professores nas Séries Iniciais” que está
direcionada ao Curso de Formação de Docentes do Colégio Estadual Nilo Cairo, no
município de Apucarana (Paraná) e aos professores de matemática das séries iniciais
(2º ao 6º ano). O material teve início no 2º semestre do ano de 2012 e desenvolvido em
parceria com a Universidade Estadual de Londrina (UEL), sob a orientação da
Professora Doutora Regina Célia Guapo Pasquini.
Pretendemos colaborar no ensino e na aprendizagem dos números decimais
com foco nas operações, principalmente a divisão. As estratégias usadas para isso
debruçam-se sobre o uso de material manipulável, a resolução de problemas e jogos.
Esperamos apresentar significados às operações entre esses números, promovendo a
compreensão das regras que frequentemente são usadas, mas não entendidas. A
nossa expectativa é resolver o trabalho dos professores nos cursos de formação
docente, aumentando assim, outras possibilidades em relação ao tratamento dos
conteúdos de matemática por meio de estratégias de ensino amparadas em tendências
atuais em Educação Matemática.
A seguinte proposta foi desenvolvida por meio de tarefas com as respectivas
soluções, seguidas de encaminhamentos detalhados para que outros professores
possam utilizá-la se desejarem.
4
2. INTRODUÇÃO
Conforme as Diretrizes Curriculares do Curso de Formação de Docentes
(PARANÁ, 2006) na questão curricular, em todas as etapas do Curso, deverão ocorrer
atividades operacionais durante as aulas, oficinas, seminários e estágios realizados nas
escolas de Educação Infantil e Ensino Fundamental, além de vivências artísticas que
deverão propiciar a compreensão da prática docente como práxis.
Os anos de exercício em docência na disciplina de matemática, no Curso de
Formação de Docentes nos permitiu observar que alguns alunos apresentavam pouca
motivação em aprender determinados conteúdos matemáticos, considerados “difíceis e
complicados”, distantes da sua realidade.
O tema escolhido para desenvolvermos essa proposta são as operações entre
os números decimais, a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. A escolha do
tema deve-se a forte presença que esses números exercem no cotidiano dos alunos,
pois apresentam relações diretas com o sistema monetário e também com os sistemas
de medidas. O mundo está cercado de números que fazem parte de quase todas as
atividades da nossa sociedade.
O tratamento dos números decimais é um dos assuntos que consideramos
merecer especial atenção, em particular na formação de docentes. É um conteúdo que
perpassa por toda a vida escolar dos estudantes principalmente nas séries iniciais por
aparecerem pela primeira vez na escola. Desse modo, em cursos de formação de
docentes a atenção quanto ao tema é de fundamental importância, não é uma questão
de escolha, já que terão a responsabilidade de ensiná-lo na sua prática ao concluírem
seus estudos, pois esses alunos serão futuros professores.
Embora seja um assunto de tamanha importância para a formação humana,
infelizmente ainda existe uma grande dificuldade para apresentá-lo em relação ao
ensino e à aprendizagem. Quando um pequeno grupo consegue dominar os algoritmos
que pertencem às operações, mesmo entre esses, poucos compreendem o significado
das regras. Acreditamos que o saber do conteúdo matemático só é alcançado quando o
conhecimento possui significado para o aluno.
5
A proposta ampara-se no uso de estratégias metodológicas da Educação
Matemática. Para construirmos significados aos procedimentos operacionais, usaremos
material manipulável, jogos e resolução de problemas. Junto a isso, pretendemos
fomentar essas estratégias na prática docente dos futuros professores. Nossos estudos
estarão direcionados às abordagens desenvolvidas, visando construir um tratamento
especial acerca do tema, capaz de promover a compreensão do assunto.
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Segundo as Diretrizes Curriculares do Curso de Formação de Docentes
(Paraná 2006), a proposta de currículo do curso Normal, em nível médio, está voltada
para a visão educacional em que o trabalho é o eixo do processo educativo.
O princípio fundamental da Formação de Docentes por um lado é o domínio dos
conteúdos, que é o objeto do processo ensino aprendizagem e por outro lado, o
domínio das formas que se realiza este processo.
Se o trabalho é um dos princípios educativos do currículo de formação de
professores, então a prática docente deve ser encarada no sentido da
práxis, o que significa dizer que a dimensão política torna-se a chave para
a compreensão do saber e do fazer educativo (PARANÁ, 2006, p.250).
A utilização e recursos pedagógicos, para a construção do conhecimento
matemático, relativos aos números decimais, vêm com a intenção de fomentar a
motivação dos futuros professores e, sobretudo a compreensão conceitual dos objetos
matemáticos envolvidos.
Os números pertencem a vida do homem há muito tempo. Inicialmente aparecem
na história da matemática como números “inteiros”, com o passar do tempo surgem os
números que representam quantidades não inteiras, primeiramente como frações.
Segundo Boyer (1991) “As frações decimais só se tornaram amplamente
conhecidas, quando o matemático holandês Simon Stevin(1548 - 1620) se dispôs a
explicar o sistema decimal de forma elementar e completa”. Foi ele que em 1585,
6
publicou a obra “O Décimo”, na qual não fazia uso do denominador. Diferentemente do
que fazemos hoje, sobre o número, que para nós ocupa a posição de numerador. Ele
colocava um número que indicava a posição que o algarismo daquele número ocupava
depois da vírgula, quando escrevemos os decimais. No quadro a seguir
exemplificamos, em um comparativo com a notação atual, o modo como Stevin escrevia
um número decimal.
Notação atual das frações Notação de Stevin Notação do decimal hoje
2,5
3,42
0,874
Entretanto foi Jonh Napier (1550 – 1617) que ao retomar a aritmética decimal de
Stevin propôs o uso do ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte
fracionária, como separatriz decimal (Boyer, 1991).
Na tabela a seguir exemplificamos a forma como Napier representou os
decimais:
7
Notação atual das frações Notação de Napier Notação do decimal hoje
25
De 2.5 para 2,5
342
De 3.42 para 3,42
874
De 0.874 para 0,874
De longa data, nossa experiência mostra que o trabalho com números decimais
tem sido afagado pela memorização e fixação de procedimentos, o que torna o ensino e
a apresentação dos mesmos algo distante da compreensão dos alunos.
Outro ponto a destacar é a falta de interesse dos alunos com relação à
matemática, portanto, faz-se necessário desenvolver um trabalho que os leve para um
ambiente onde a reflexão é fundamental para o aprendizado. Incentivar o uso de
estratégias diferentes, que valorizam outras concepções de ensino é uma alternativa
que pode gerar nos estudantes do Curso de Formação de Docentes, a consciência da
necessidade de uma mudança nos métodos educacionais, para que a experiência dos
seus futuros alunos seja melhor do que a que eles tiveram e que esse ciclo sempre
continue evoluindo.
Segundo o texto do Currículo Básico do Paraná (1990)
(...) aprender Matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas, é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber esses mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível. (Paraná, 1990, p.66).
Já as Diretrizes Curriculares da Educação Básica coloca que aprender
Matemática é criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir
8
significado às ideias matemáticas, levando-o a estabelecer relações, justificar, analisar,
discutir e criar. É de grande importância superar o fato de que a matemática deve ser
usada apenas para desenvolver habilidades de cálculo e resolutivas ou ainda, uma
disciplina baseada na fixação e memorização de conceitos e listas de exercícios
(Paraná, 2008).
No ensino tradicional, os alunos se apropriam do conhecimento dos algoritmos
de maneira mecânica, que a eles, é imposto de forma passiva. Segundo Andrini e
Vasconcelos (2006, p.8) “para que o sistema de ensino torne-se mais acelerado e
eficaz, há tendências pedagógicas que preconizam que ele deva ser fundamentado no
concreto”. Dessa forma, o professor deve desenvolver os conteúdos dados em sala de
aula de forma objetiva e que vise sempre à construção do conhecimento matemático.
Nessa perspectiva, Lorenzato (2010) afirma que os materiais manipuláveis são
utilizados como facilitador da aprendizagem, e que, além disso, desenvolvem o
raciocínio lógico, crítico e científico na construção dos conhecimentos. Mais ainda,
Os materiais manipuláveis devem visar mais diretamente à ampliação de conceitos, à descoberta de propriedades, à percepção da necessidade do emprego de termos ou símbolos, à compreensão de algoritmos, enfim aos objetivos matemáticos (LORENZATO, 2010, p. 9).
Com base no exposto, entendemos que a utilização do material manipulável
promoverá o aprendizado do educando de forma a possibilitar compreensões que são
necessárias para que o futuro professor possa exercer sua prática com segurança e
habilidade em relação ao tema a que se dedica este trabalho.
O objeto manipulável no qual o trabalho se ampara para as atividades com
números decimais é o “Material Dourado”, conhecido também como material de contas
douradas. Atualmente é encontrado facilmente de forma industrializada confeccionado
em madeira, mas mesmo assim mantém-se o nome original.
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Segundo Freitas (2004) o Material Dourado, idealizado pela médica e educadora
italiana Maria Montessori, foi desenvolvido e destinado à educação sensorial, onde o
foco na metodologia e o ambiente de ensino, materiais aqui inclusos, possuem o
mesmo grau de importância.
Por meio da utilização desse material é possível desenvolver um trabalho com
alunos de qualquer idade, pois as frações e os números decimais estão intrínsecos ao
nosso dia a dia, e de tal forma, que a aprendizagem torna-se essencial para que
consiga lidar com situações que a ele seja apresentado na vida.
Além de, o material colocar em foco o uso das relações abstratas, vistas antes só
em papel, de forma manipulável, pode levar a compreensão de conceitos,
desenvolvendo o raciocínio lógico e promovendo o aprendizado.
O Material Dourado pode ainda ser usado como promotor na aprendizagem de
diversos conteúdos facilitando o entendimento das quatro operações fundamentais do
sistema de numeração decimal-posicional, sendo elas o estudo das frações, a
conceituação do cálculo das áreas e dos volumes, o trabalho com números decimais,
raiz quadrada e outras atividades.
Por outro lado, com a intenção de apresentarmos situações que envolvam os
números decimais vinculadas ao Material Dourado, desenvolvemos um trabalho com a
Resolução de Problemas. O problema surge na utilização do Material Dourado para a
compreensão das regras das operações e ao mesmo tempo na realização das mesmas.
Segundo Dante (2010) a resolução de problemas tem os seguintes objetivos:
Fazer o aluno pensar produtivamente;
Desenvolver o raciocínio do aluno;
Ensinar o aluno enfrentar situações novas;
10
Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas;
Dar uma boa base matemática as pessoas;
Liberar a criatividade do aluno.
Com base nesses objetivos é que acreditamos que a escolha dessa estratégia
circunstanciará nossas ações.
Embora não seja o foco do trabalho a utilização de jogos, decidimos utilizar um
jogo proposto como uma das “Tarefas”, pois consideramos oportuno para determinada
atividade. É o jogo conhecido como "Jogo Nunca Dez", com uma pequena adaptação.
4. A PROPOSTA
4.1. Encaminhamento
As tarefas elaboradas para esse material serão desenvolvidas no primeiro
semestre do ano letivo de 2013. Serão implementadas junto aos alunos do 3º e 4º ano
do Curso de Formação Docente do Colégio Estadual Nilo Cairo, no município de
Apucarana - PR.
Primeiramente entregaremos as caixas contendo o Material Dourado aos alunos
e explicaremos a nossa proposta de trabalho. Em posse do material começaremos a
propô-las. Serão apresentadas em forma de problemas. Elas foram elaboradas
obedecendo a uma ordem de apresentação. É importante ressaltar que aqueles que
desejarem implementar a proposta, que sigam a ordem apresentada. Poderão ser
aplicadas para os alunos individualmente, ou em grupo de no máximo quatro alunos,
para favorecer o manuseio do Material Dourado, o trabalho da resolução de problemas
e a utilização do jogo.
Para o bom desempenho da realização das atividades propostas é necessário o
respeito e a colaboração dos colegas.
O envolvimento do aluno nas atividades é a condição fundamental para que
ocorra a proposta apresentada e assim, tenha êxito na sua tarefa.
Para garantir o bom desempenho do aluno, cabe ao professor:
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Acompanhar de perto o trabalho em grupo e estimular a introdução da tarefa
proposta;
Retomar o assunto quando necessário;
Esclarecer dúvidas sem intimidar o aluno em relação a dúvidas e erros;
Desenvolver seu trabalho sempre questionando, levando o aluno a pensar sobre
sua dúvida, ao invés de oferecer respostas prontas;
4.2. Procedimentos
Em um primeiro momento formaremos grupos de 4 (quatro) alunos e, para cada
grupo será entregue 1 caixa do Material Dourado. A princípio deixaremos que
manuseiem e explorem o material, assim poderemos verificar qual o conhecimento que
possuem. Esse trabalho de reconhecimento será desenvolvido a partir de atividades
que serão propostas aos alunos. Nessa etapa de reconhecimento ou apresentação
usaremos o "Jogo do Nunca Dez".
Na sequência, apresentaremos outras Tarefas circunstanciadas por situações
problemas que envolvem as operações que serão trabalhadas em cada passo.
A base do nosso trabalho será a utilização do Material Dourado. A manipulação
e o significado que as peças poderão promover no estudo com os números decimais
serão o ponto de partida para que os alunos possam compreender os algoritmos
necessários para a realização das operações com esses números. Essa exploração é
prevista na Tarefa 1. Na Tarefa 2, trabalharemos com as operações entre números
decimais, iniciando com a adição. Ainda na Tarefa 2, com a Subtração, na Tarefa 3 com
a multiplicação e na Tarefa 4, com a divisão.
Antes de iniciarmos essas atividades, apresentaremos abaixo as representações
que usaremos do Material Dourado. Podemos fazer isso por meio de um cartaz que
será apresentado após a sistematização da primeira tarefa, já que o objetivo é concluir
o que descrevemos abaixo.
Consideraremos as peças do material da seguinte forma:
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O cubo deve corresponder a um inteiro.
Observando a figura podemos estabelecer as seguintes relações:
O cubo possui 10 placas, logo uma placa é a décima parte do cubo
O cubo possui 100 barras, logo uma barra é a centésima parte do cubo.
O cubo possui 1.000 cubinhos, logo um cubinho é a milésima parte do
cubo.
A placa possui 10 barras, logo uma barra é a décima parte da placa.
A placa possui 100 cubinhos, logo um cubinho é a centésima parte da
placa.
A barra possui 10 cubinhos, logo um cubinho é a décima parte da barra.
Assim, o cubo é o inteiro, a placa é o décimo, a barra é o centésimo e o cubinho
é o milésimo. Para nomear as peças de décimo, centésimo e milésimo, é importante
que o professor enfatize que o cubo sempre estará se referindo ao inteiro.
Apresentamos na sequência as Tarefas que serão desenvolvidas.
5. TAREFAS
5.1. Primeira Tarefa: O Material Dourado
Objetivo: Conhecer/reconhecer, manusear e estabelecer relações entre as peças do
Material Dourado.
Material:
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Caixas de Material Dourado, uma para cada grupo de 4 alunos.
Folha impressa com as atividades.
Encaminhamento:
O professor deverá entregar o Material Dourado aos grupos já constituídos, com
no máximo 4 alunos . De posse do material, eles deverão manipulá-lo e após um tempo
o professor realizará questionamentos que direcionem os alunos a estabelecer relações
entre as peças. É importante salientar que o cubo representará um inteiro. Se os alunos
não fizerem essa associação ou representação, cabe ao professor recomendar e
auxilia-los na execução da atividade. Depois de estabelecidas relações e
representações desejadas é necessário sistematizar esse conhecimento. Para isso,
entregaremos uma folha impressa com as figuras desejadas para que os alunos
preencham com os resultados obtidos na exploração do material, em seguida, registrem
as conclusões obtidas. É importante que o professor entregue a tabela somente após a
exploração e o conhecimento do material, ou seja, após a Atividade 1. Na sequência da
atividade apresentamos a solução esperada em vermelho.
____________________________________________________________________
Atividade 1: Explore o Material Dourado.
______________________________________________________________________
Atividade 2: A partir do explorado, e fixando o cubo como 1 inteiro e preencha a tabela
a seguir1 descrevendo as relações que você estabeleceu com as peças do material.
1A tabela está preenchida com a solução em vermelho.
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.Representação Gráfica Representação Escrita Representação Numérica
1 Inteiro
1 =
__________
1 =
__________
=
__________
=
15
Solução:
Representação Gráfica Representação Escrita Representação Numérica
1 Inteiro
1 =
1 Décimo
1 =
1 Centésimo
0,01 =
1 Milésimo
0,001 =
As seguintes conclusões poderão ser obtidas a partir da exploração:
O cubo equivale a um inteiro.
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O cubo tem 10 placas, então a placa é a décima parte do cubo.
O cubo tem 100 barras, então uma barra é a centésima parte do cubo.
O cubo tem 1000 cubinhos, então o cubinho é a milésima parte do cubo.
A placa tem 10 barras, então uma barra é a décima parte da placa.
A placa tem 100 cubinhos, então um cubinho é a centésima parte da placa.
A barra tem 10 cubinhos, então um cubinho é a décima parte da barra.
Observação: É importante reforçar que a partir dessa atividade fique claro que as
peças do Material Dourado representam milésimos, centésimos, décimos e inteiros,
para cubinho, barra, placa e cubo, respectivamente.
A próxima atividade investigará quais as concepções que os alunos possuem
sobre número decimal.
___________________________________________________________________
Atividade 3: Apresente uma definição de número decimal.
Encaminhamento:
O professor distribuirá uma folha impressa com essa questão para que cada
aluno responda individualmente, mesmo em grupo. A partir das respostas apresentadas
sugerimos realizar uma discussão sobre o realizado de forma a apresentarmos uma
definição plausível para o conceito de número decimal. É importante essa discussão,
visto que, embora nossa intenção não seja trabalhar o conceito de número decimal por
meio da sua representação em fração decimal, existirá momentos em que essa
representação será necessária.
Solução:
A solução dependerá de cada aluno.
Na sequência o professor desenvolverá a sistematização da definição de número
decimal.
SISTEMATIZAÇÃO:
Inicialmente vamos relembrar o que é uma fração decimal:
Uma fração decimal é aquela cujo denominador é uma potência de 10.
Por exemplo:
17
Observando a seguinte fração decimal
e sua decomposição:
Se fixarmos a posição que deve ocupar o algarismo que representa as unidades
da parte inteira, usando uma vírgula, podemos representar os décimos, os centésimos e
milésimos como abaixo:
Cuja leitura é seis inteiros e novecentos e quarenta e um milésimos.
Assim, a fração decimal
será representada por 6,941. Podemos observar a
relação entre o número de algarismos após a vírgula e a ordem do denominador que é
a mesma.
OBSERVAÇÃO:
1. O número decimal não altera o valor quando se acrescentam ou se suprimem zeros à
parte decimal, à direita do numeral que o representa. Exemplo:
2,5 = 2,50
Note que 2,5 =
e 2,50 =
=
= 2,5.
2. Um número natural pode ser sempre escrito sob a forma de número decimal.
Exemplo:
9 = 9,0 = 9,00 = 9,000 = ...
18
Pois,
...
5.2. Segunda Tarefa: Representação
Objetivo: Representar números decimais por meio das peças do Material Dourado.
Material:
Caixa de Material Dourado, uma para cada grupo de 4 alunos.
Folha impressa com os problemas.
Encaminhamento:
Para realizar essa atividade o aluno deverá representar quantidades com o
Material Dourado, será necessário pelo menos 3 caixas do material (na solução, os
números envolvem 3 inteiros ou 3 cubos).
_____________________________________________________________________
Atividade 1: Represente os números decimais abaixo por meio das peças do Material
Dourado:
(a) 3,14
(b) 2, 018
(c) 1,307
(d) 0,451
(e) 2,5
(f) 0,002
Solução:
(a)
19
3 Inteiros
1 Décimo
4 Centésimos
ou
3,14
(b)
2 Inteiros
1 Centésimo
8 Milésimos
ou
2,018
(c)
1 Inteiro
3 Décimos
0 Centésimos
7 Milésimos
ou
1,307
20
(d)
0 Inteiros
4 Décimos
5 Centésimos
1 Milésimo
ou
0,451
(e)
2 Inteiros
5 Décimos
ou
2,5
(f)
2 Milésimos
ou
0,002
21
5.3. Terceira Tarefa: Trocas
Objetivo: Realizar por meio do jogo as trocas de inteiros por décimos, décimo por
centésimo e centésimo por milésimo e vice-versa.
Material:
Caixa de Material Dourado, uma para cada grupo de 4 alunos;
Dados nas cores amarelo, azul e verde;
Uma folha de papel em branco;
Um lápis ou caneta para cada aluno.
Encaminhamento:
Para essa atividade formaremos grupos de quatro alunos. A disputa será entre
os integrantes do grupo. Cada jogador deverá anotar os pontos de sua jogada. A cada
grupo será entregue um jogo de Material Dourado, um conjunto de três dados nas
cores, amarelo, verde e azul, uma folha para fazer as marcações e os cálculos de cada
um e ainda um lápis ou uma caneta para anotar os resultados.
JOGO NUNCA DEZ2
Modo de jogar
- O grupo decide quem inicia o jogo;
- Cada aluno, na sua vez de jogar, lança três dados e retira a quantidade de cubinhos
conforme a quantidade que saiu no dado;
- O número de pontos que o jogador irá conseguir em cada jogada será determinado
pela cor do dado, seguindo a tabela:
Amarelo Permanece a mesma quantidade
Verde Vale o dobro da quantidade
Azul Vale o triplo da quantidade
2Jogo adaptado do Jogo Nunca Dez
22
- Quando o jogador conseguir mais do que dez cubinhos deverá trocá-los por uma
barra;
- Quando o jogador conseguir dez barras deverá trocá-las por uma placa.
- Quando o jogador conseguir dez placas deverá trocá-las por um cubo.
- Em cada jogada o jogador deverá fazer o registro em um papel se necessário.
- O critério que determina o vencedor pode ser estabelecido pelo grupo ou por todos os
alunos em conjunto com o professor ou atribuído pelo professor no início do jogo.
Poderá ser adotado o seguinte critério:
Vence o jogador que conseguir completar 1inteiro (cubo).
5.4. Quarta Tarefa: Operações com números decimais
Objetivo: Realizar operações com números decimais por meio das peças do Material
Dourado.
Material:
1 caixa completa de Material Dourado para cada grupo;
Folha impressa com os problemas;
Encaminhamento:
Para realizar essa tarefa os grupos podem ser mantidos, ou seja, 4 alunos.
Distribuiremos um jogo de Material Dourado a cada grupo e na respectiva ordem em
que segue, cada problema deverá ser entregue em folha impressa com espaço para
que os alunos registrem o desenvolvimento da atividade.
5.4.1. ADIÇÃO
Encaminhamento:
Antes de realizarmos a operação de adição entre dois números decimais, o
professor deverá retomar a denominação de alguns elementos da operação. Por
exemplo, na operação:
23
1,291 + 0,342 =
1,291 :1ª. parcela
0,342 : 2ª. parcela
Resultado: Soma
______________________________________________________________________
Atividade 1: Resolva os problemas.
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
1,231 + 0,342 =
Encaminhamento:
Para resolver o problema representaremos cada valor acima por meio do
Material Dourado. Esperamos que os estudantes sintam a necessidade de fazer as
trocas para exprimir o valor desejado. Dessa forma, poderemos explorar o verdadeiro
significado da forma como efetuamos a adição de números decimais. Em outras
palavras, para efetuar somas com Material Dourado, devemos seguir as ordens:
juntando-se inteiro com inteiro; décimos com décimos; centésimos com centésimos e
assim por diante. É importante salientar que nossa intenção é construir a regra,
portanto, a soma deve ser realizada por meio das peças do material e não pelo uso do
algoritmo da operação de soma já conhecido.
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Solução: Para adicionarmos, começaremos da menor unidade do Material Dourado que
são os cubinhos (milésimos), respeitando os valores atribuídos na Atividade 1 da
primeira tarefa. Em seguida as placas (décimos), as barras (centésimos) e os cubinhos
(milésimos).
Se agruparmos os milésimos (cubinhos) obteremos 3 milésimos (3 cubinhos). Se
agruparmos os centésimos resultarão 7 centésimos (7 barras). Agrupando os décimos
teremos em 5 décimos (5 placas). Como temos apenas 1 inteiro (1 cubo), o resultado
obtido será: 1 inteiro, 5 décimos, 7 centésimos e 3 milésimos. Portanto:
1,231 + 0,342 = 1,573
Observação: Com as peças na mão a soma não precisa necessariamente seguir uma
ordem. Porém, é muito importante o professor ressaltar que na representação das
quantidades por meio do número decimal faz diferença, pois o sistema decimal admite
valor posicional, é isso que caracteriza o algarismo que representa a parte inteira,
decimal, centesimal e milesimal.
______________________________________________________________________
PROBLEMA: Realize a operação a seguir usando as peças do Material Dourado:
1,99 + 1,24 =
Como não temos os milésimos para somar começaremos então pelos
centésimos. Somando os centésimos (barras) temos 13 centésimos (13 barras).
Trocamos 10 centésimos (10 barras) por 1 décimo (1 placa) que resulta em 3
25
centésimos. Ao somarmos os décimos (placas) obtemos 12 décimos (12 placas), que
ao trocarmos 10 décimos (10 placas) por 1 cubo, corresponderá a 1 inteiro. Somando
os inteiros (cubos) obteremos 3 inteiros (3 cubos). Dessa forma, o resultado final será: 3
inteiros, 2 décimos e 3 centésimos. Portanto: 1,99 + 1,24 = 3,23
Encaminhamento (continuação): A partir das experiências vivenciadas o professor
deve questionar os alunos sobre a possibilidade de construirmos uma regra para a
adição. Quando posta a regra, deverá ser sistematizada na lousa e registrada pelos
alunos.
___________________________________________________________________
Atividade 2: Com base na experiência da atividade anterior, escreva uma regra para a
adição de dois números decimais.
Solução:
REGRA
Para realizar a adição basta escrever os números decimais uns sob os outros, de
modo que as vírgulas se correspondam, isto é, vírgula embaixo de vírgula; dispondo as
unidades de mesma ordem na mesma coluna, soma-se e para o resultado coloca-se a
vírgula alinhada com a vírgula das parcelas.
5.4.2. SUBTRAÇÃO
Encaminhamento:
Antes de realizarmos uma operação de subtração entre dois números decimais
vamos relembrar a denominação de alguns elementos da operação. Por exemplo,
usando os dados do próximo problema:
1,633 - 0,312 =
1,633 : minuendo
0,312 : subtraendo
Resultado: diferença
____________________________________________________________________
Atividade 1: Resolva os problemas abaixo:
26
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
1,633 - 0,312 =
Solução: Para resolver o problema não precisamos fazer trocas, pois temos,
1 inteiro, 6 décimos, 3 centésimos e 3 milésimos
Menos
3 décimos, 1 centésimos e 3 milésimos.
Fazendo as subtrações das respectivas peças, temos como diferença:
1,321
______________________________________________________________________
PROBLEMA: Desenvolva a operação abaixo utilizando as peças do Material Dourado.
1 - 0,65 =
1º passo:
2º passo:
27
Solução: Para resolver os problemas acima representaremos cada valor envolvido por
meio do Material Dourado.
Dessa forma, conclui-se que deveremos seguir as ordens: retirando-se inteiro de inteiro;
décimos de décimos; centésimos de centésimos e assim por diante. Se necessário,
efetuaremos as trocas para isso. Ilustraremos essas trocas usando os dados do último
problema. Esperamos que os estudantes sintam a necessidade de fazer as trocas para
alcançar o valor desejado.
Como o minuendo é 1 e o subtraendo é 0,65 a operação em termos do material será:
subtrair 6 décimos e 5 centésimos de 1 inteiro.
Como 1 inteiro possui 10 décimos, devemos realizar a troca: trocamos 1 inteiro (cubo)
por 10 décimos (placas) para subtrairmos 6 décimos. Realizamos a subtração e ficamos
com 4 décimos.
Na continuidade, precisamos subtrair 5 centésimos do que temos, como 1 décimo
possui 10 centésimos, trocamos 1 décimo (placa) por 10 centésimos (barras) e desses
10 centésimos subtraímos 5 centésimos. Ao subtrairmos, nos restam 3 décimos e 5
centésimos, ou seja, 0,35. Então: 1 - 0,65 = 0,35.
Em resumo, efetuamos a subtração dos valores segundo as representações de cada
algarismo, centésimos de centésimos, décimos de décimos e inteiro de inteiro.
A princípio não comentaremos sobre a ordem que comumente usamos na subtração, se
da direita para a esquerda ou vice versa. Esperamos que os alunos estabeleçam essa
ordem na sistematização da regra, ao final.
ATENÇÃO: a utilização do Material Dourado impõe necessariamente a ordem que
devemos fazer as trocas pela sua manipulação da esquerda para a direita, entretanto
em termos de estabelecermos uma regra para isso, depois de realizadas as trocas, a
ordem com que será realizada a operação não é importante.
______________________________________________________________________
Atividade 2: Com base na experiência da atividade anterior, escreva uma regra para a
subtração de dois números decimais.
Solução:
REGRA
28
Para realizar a subtração basta escrever o subtraendo sobre o minuendo, de
modo que as vírgulas se correspondam, isto é, vírgula embaixo de vírgula, dispondo as
unidades de mesma ordem na mesma coluna e efetuamos os cálculos fazendo as
trocas necessárias e para o resultado, coloca-se a vírgula alinhada com a vírgula do
minuendo e do subtraendo.
5.4.3. MULTIPLICAÇÃO
Encaminhamento:
Antes de realizar a operação de multiplicação entre dois números decimais
vamos relembrar com os alunos a denominação de alguns elementos da operação. Por
exemplo, na operação:
3x 1,23
3: primeiro fator
1,23: segundo fator
Resultado: produto
Na sequência desenvolveremos a seguinte atividade:
______________________________________________________________________
Atividade 1: Resolva os problemas a seguir.
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
3x 1,23 =
Solução: Devemos fazer a seguinte leitura para a representação no Material Dourado:
Para a operação (3 x 1,23) temos:
3 vezes 1,23 que corresponde a 3 inteiros ou 3 partes inteiras de: 1 inteiro, 2 décimos e
3 centésimos. Ou seja:
3 partes inteiras de 1 inteiro que são 3 partes inteiras.
3 partes inteiras de 2 décimos que são 6 décimos.
3 partes inteiras de 3 centésimos que são 9 centésimos.
29
Obtendo o seguinte resultado: 3 inteiros, 6 décimos e 9 centésimos, portanto:
3 x 1,23 = 3,69
______________________________________________________________________
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
2 x 1,7 5 =
Encaminhamento:
Para esse caso podemos utilizar o processo da soma. Fazendo as trocas
necessárias. Sugerimos que, pela quantidade de peças do Material Dourado que será
utilizada, para a solução do problema que seja o professor mediador na escolha de um
representante da turma para fazer a correção de forma que todos visualizem.
Solução: Devemos fazer a seguinte leitura para a representação no Material Dourado:
Para a operação (2 x 1,75) temos:
2 vezes 1,75 que corresponde a 2 inteiros ou, 2 partes inteiras de: 1 inteiro, 7 décimos e
5 centésimos. Ou seja,
2 partes inteiras de 1 inteiro que é 2 partes inteiras.
2 partes inteiras de 7 décimos que são 14 décimos.
2 partes inteiras de 5 centésimos que são 10 centésimos.
Obtendo o seguinte resultado: 3 inteiros, 14 décimos e 10 centésimos e para
representar esse número é necessário realizar as trocas que devem ser:
Como 10 centésimos equivalem a 1 décimo, teremos 1 décimo, que agrupado aos 14
décimos que já tínhamos do outro fator, ficaremos com 15 décimos. Ora 15 décimos
equivalem a 1 inteiro e 5 décimos. Como tínhamos 2 inteiros, agrupando mais 1 inteiro
teremos 3 inteiros. Portanto, ao final das trocas, obteremos:
3 inteiros e 5 décimos. (0 centésimos que não é necessário representar) Ou seja,
2 x 1,75 = 3,5
______________________________________________________________________
Os próximos problemas envolvem operações onde ambos os fatores são
números com parte decimal, ou a presença da vírgula. A ideia é fazer com que, a partir
30
das operações realizadas o aluno consiga estabelecer uma regra para a multiplicação
de números decimais quaisquer. Começamos com o seguinte:
PROBLEMA: Realize a operação abaixo utilizando as peças do Material Dourado.
0,1 x 0,1 =
Observação: é importante ressaltar que a partir desse ponto o 1/10 (um décimo)
representa a décima parte de 1.
Solução: Conforme a figura a seguir,
0,1 x 0,1 = 0,01
Ou seja, 1 décimo de 1 décimo significa "a décima parte de 1 décimo" que é igual a 1
centésimo.
______________________________________________________________________
Em outra situação:
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
0,2 x 0,1 =
Solução: Note que 2 décimos de 1 décimo (placa) é "2 vezes a décima parte de 1
décimo (placa)", que corresponde a 2 vezes um centésimo (barra) ou seja:
(2 x 0,1) x 0,1 = 2 x (0,1 x 0,1) = 2 x 0,01.
Dessa forma, 2 vezes 1 centésimo (barra) é igual a 2 centésimos (barra). Portanto:
0,2 x 0,1 = 0,02
______________________________________________________________________
O próximo problema explora outra situação, envolvendo décimos e centésimos:
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
0,1 x 0,01 =
Solução: 0,1 x 0,01 = 0,001
31
Ou seja, 1 décimo de 1 centésimo significa "a décima parte de 1 centésimo" que é igual
a 1 milésimo.
______________________________________________________________________
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
0,2 x 0,01 =
Solução: Note que 2 décimos de 1 centésimo é "2 vezes a décima parte de 1
centésimo”, que corresponde a 2 vezes um milésimo ou seja:
(2 x 0,1) x 0,01 = 2 x (0,1 x 0,01) = 2 x 0,001.
Dessa forma, 2 vezes 1 milésimo é igual a 2 milésimos. Então:
0,2 x 0,01 = 0,002
______________________________________________________________________
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
0,1 x 1,2 =
Solução: 0,1 x 1,2 = 0,12
Pois, 0,1 é a décima parte de 1 inteiro e 2 décimos, ou, 12 décimos. Logo, a décima
parte de 12 décimos é igual a 12 centésimos, ou seja, 0,12.
______________________________________________________________________
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
1,2 x 0,12 =
Solução: Podemos resolver essa operação usando o que vimos nas duas operações
anteriores e utilizando as propriedades de associatividade e distributividade da
multiplicação, sendo assim:
1,2 x 0,12 = (1 + 0,2) x 0,12 = (1 x 0,12) + (0,2 x 0,12)
Assim temos 1 vez de 1 décimo e 2 centésimos no primeiro parênteses, que é o mesmo
que 1 vez de 12 centésimos.
32
No segundo parênteses, 2 vezes a décima parte de 1 décimo e 2 centésimos, ou 2
vezes a décima parte de 12 centésimos, que é igual a 24 milésimos, ou 0,024. O
resultado será: 12 centésimos adicionados a 24 milésimos, ou seja, 120 milésimos
adicionados a 24 milésimos, que são 144 milésimos. O resultado será 0,144.
Encaminhamento:
Com os problemas acima, podemos partir para uma generalização da regra do
produto. Esperamos que os alunos percebam que, em todas as multiplicações
realizadas, o que determina a parte decimal do número ou a posição da vírgula, é a
soma do número de algarismos que compõe a parte decimal de cada fator. O professor
deve encaminhar a próxima atividade de forma que os alunos tenham essa percepção.
______________________________________________________________________
Atividade 2: Com base na experiência da atividade anterior, escreva uma regra para a
multiplicação de dois números decimais.
Solução:
REGRA
Para multiplicar dois números decimais basta multiplicá-los como se fossem
naturais e separar a parte decimal no resultado, colocando a vírgula, a partir da direita,
tantas casas decimais quantos forem a soma do número de casas decimais dos fatores.
5.4.4. DIVISÃO
Encaminhamento:
Antes de realizarmos a operação de divisão entre dois números decimais vamos
retomar a denominação de alguns elementos da operação. Por exemplo, na operação:
0,5 : 2
0,5: dividendo
2: divisor
Resultado : quociente + resto
Lembrete: a divisão só é definida para divisores diferente de zero.
33
Encaminhamento:
Durante a elaboração desse material estudamos as diferentes situações que
podem ocorrer na divisão de dois números inteiros ou decimais. Essas diferentes
situações advêm do processo da divisão e não dos números envolvidos na operação
em si. Dessa forma, para organizar a proposta e explorar todos os casos que
consideramos necessários para isso, escolhemos apresentá-los conforme abaixo:
- divisão de decimal por inteiro e vice-versa:
- divisão de decimal por decimal;
- divisão de inteiro por inteiro que resulta em decimal.
O seguinte problema aborda o caso divisão de decimal por inteiro. De forma
análoga podemos realizar a divisão de inteiro por decimal. Acreditamos que não há
necessidade abordar esse caso, porém, podemos comentar com os alunos a respeito.
Em todas as operações abaixo que exploram a divisão entre decimais é
importante salientar que antes de iniciarmos a divisão, para o que foi construído nessa
proposta, deveremos trabalhar com números de mesma ordem, isso significa que só
podemos realizar divisões entre inteiros. Para isso, caso não tenhamos números de
mesma ordem podemos usar uma das propriedades da aritmética e multiplicar ambos
os números da operação, dividendo e divisor por um mesmo número, 10, 100 ou 1000
de forma a transformá-los em inteiros sem alterar o resultado, ou o quociente desejado.
Impomos essa condição, de trabalharmos com inteiros, para que o primeiro resultado
do processo da divisão tenha como resultado um algarismo no quociente, que
representa a parte inteira do número. Convém lembrar que se não fizéssemos isso a
divisão tornaria mais complicada ainda.
______________________________________________________________________
Vamos observar o exemplo a seguir que já inicia uma divisão fazendo essa
transformação.
Atividade 1: Resolva os problemas.
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
0,5 : 2 =
34
Solução: Para realizarmos a divisão de 0,5 por 2 devemos transformar o decimal em
inteiro, para isso multiplicamos por 10, já que a menor ordem é décimos, multiplicamos
tanto o dividendo como o divisor e ficamos com 5 : 20.
Entendendo que nosso problema agora é realizar a divisão de 5 inteiros por 20, temos:
para dividirmos 5 inteiros por 20 precisamos realizar uma troca, já que 5 é menor que
20. Trocamos 5 inteiros (cubo) por décimos (placa) obtendo 50 décimos (placas).
Consequentemente, o algarismo que representa a parte inteira no quociente é o zero, já
que temos ausência de quantidades nessa unidade.
i 5 2 0
d 5 0 0,
d 5 0
Agora precisamos dividir 50 décimos por 20 cujo resultado será 2 décimos com resto 10
décimos.
i 5 2 0
d 5 0 0, 2
d - 4 0 i d
d 1 0
Nosso próximo passo é dividir 10 décimos por 20, novamente precisamos realizar a
troca. Trocamos 10 décimos por 100 centésimos e realizamos a divisão: 100
centésimos dividido por 20 resulta em 5 centésimos.
d 0 5 0 2 0
d - 4 0 0, 2 5
c 1 0 0 i d c
c - 1 0 0
c 0
Dessa forma:
5 décimos dividido por 2 são 2 décimos e 5 centésimos ou seja:
0,5 : 2 = 0,25
35
______________________________________________________________________
Passamos agora para outro caso, a divisão de decimal por decimal.
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado
0,744 : 0,6 =
Solução: Para realizarmos a divisão de 0,744 por 0,6 devemos transformar o decimal
em inteiro, para isso multiplicamos por 1000, tanto o dividendo quanto o divisor e
ficamos com 744 : 600.
Nosso problema agora é realizar a divisão de 744 inteiros por 600, como 744 é maior
que 600, resulta em 1 inteiro com resto 144 inteiros. Assim, o algarismo que representa
a parte inteira é 1.
i 0 7 4 4 0 6 0 0
i - 6 0 0 1
i 1 4 4 I
Nosso próximo passo é dividir 144 inteiros (cubo) por 600, como 144 é menor que 600
precisamos realizar a troca. Trocamos 144 inteiros por 1440 décimos e prosseguimos
com o algoritmo, dividindo 1440 décimos por 600. Consequentemente, o algarismo que
representa o resultado dessa divisão é 2 décimos e por isso surge a vírgula como
separação da parte inteira da decimal.
i 0 7 4 4 0 6 0 0
i - 6 0 0 1,
i 1 4 4 I
d 1 4 4 0
Dividimos agora, 1440 décimos por 600. O resultado da divisão de 1440 décimos por
600, é representado pelo algarismo 2 na posição do décimo do quociente. Desse passo
resulta, ainda, 240 décimos.
36
i 0 7 4 4 0 6 0 0
i - 6 0 0 1, 2
i 1 4 4 I d
d 1 4 4 0
d - 1 2 0 0
d 2 4 0
Continuando a divisão, o próximo passo é dividir 240 por 600 e como 240 é menor que
600, é necessário realizarmos a troca, 240 décimos por 2400 centésimos. Dividimos
assim, 2400 centésimos por 600 o que resulta em 4 centésimos.
i 0 7 4 4 0 6 0 0
i - 6 0 0 1, 2 4
i 1 4 4 I d c
d 1 4 4 0
d - 1 2 0 0
d 2 4 0
c 2 4 0 0
c - 2 4 0 0
c 0
Obteremos assim, o seguinte, 7 décimos, 4 centésimos e 4 milésimos dividido por 6
décimos resultam em 1 inteiro, e 2 décimos e 4 centésimos.
0,744 : 0,6 = 1,24
______________________________________________________________________
O próximo problema aborda o caso da divisão de decimal por decimal com uma
pequena variação, a ausência de quantidades nos décimos no quociente.
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
0,612 : 0,6 =
37
Solução: Para realizarmos a divisão de 0,612 por 0,6 devemos transformar o decimal
em inteiro, para isso multiplicamos por 1000, tanto o dividendo como o divisor e ficamos
com 612 : 600.
O problema agora é realizar a divisão de 612 inteiros por 600, como 612 é maior que
600, resulta em 1 inteiro com resto 12 inteiros. Assim, o algarismo que representa a
parte inteira é 1.
i 0 6 1 2 0 6 0 0
i - 6 0 0 1,
i 1 2 I
O próximo passo é dividir 12 inteiros (cubo) por 600, como 12 é menor que 600
precisamos realizar a troca. Trocamos 12 inteiros por 120 décimos e prosseguimos com
o algoritmo que é dividir 120 décimos por 600. Consequentemente, o algarismo que
representa o décimo no quociente é zero.
i 0 6 1 2 0 6 0 0
i - 6 0 0 1, 0
i 1 2 I d
d 1 2 0
Prosseguindo, como 120 é menor que 600 novamente precisamos realizar a troca de
120 décimos por 1200 centésimos. Dividimos agora, 1200 centésimos por 600. O
resultado da divisão de 1200 centésimos por 600, é representado pelo algarismo 2 na
posição do centésimo no quociente.
i 0 6 1 2 0 6 0 0
i - 6 0 0 1, 0 2
i 1 2 i d c
d 1 2 0
c 1 2 0 0
c - 1 2 0 0
c 0
38
Teremos o seguinte, 6 décimos, 1 centésimo e dois milésimos dividido por 6 décimos
resultam em 1 inteiro e 2 centésimos.
0,612 : 0,6 = 1,02
______________________________________________________________________
O caso seguinte é a divisão de inteiro por inteiro que resulta em decimal.
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
1 : 5 =
Solução: Nesse caso, dividendo e divisor são inteiros, mas 1 é menor que 5 por isso é
necessário realizarmos a troca de 1 inteiro por 10 décimos. Consequentemente, o
algarismo que representa a parte inteira é zero.
i 1 5
d 1 0 0,
i
Dividindo 10 décimos por 5, resulta em 2 décimos. Portanto, 1 inteiro dividido por 5 tem
como quociente 2 décimos.
i 1 5
d 1 0 0, 2
d - 1 0 i D
d 0
1 : 5 = 0,2
______________________________________________________________________
Os próximos problemas abordam o caso divisão de inteiro por inteiro com situações
diferenciadas, vejamos:
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
1 : 200 =
39
Solução: Para realizarmos a divisão de 1 inteiro por 200 precisamos realizar a troca de
1 inteiro por 10 décimos, pois 1 é menor que 200. Consequentemente, o algarismo que
representa a parte inteira é zero.
i 1 2 0 0
d 1 0 0,
i
O problema passa a ser agora, dividir 10 décimos por 200. Como 10 é menor que 200,
novamente precisamos realizar uma troca, de 10 décimos por 100 centésimos.
Consequentemente, o algarismo que representa o décimo no quociente é zero.
i 1 2 0 0
d 1 0 0, 0
c 1 0 0 i D
Assim, a operação será: 100 centésimos dividido por 200. Como 100 é menor que 200,
trocaremos 100 centésimos por 1000 milésimos. Consequentemente, o algarismo que
representa o centésimo no quociente é zero.
Agora realizamos a divisão, de 1000 milésimos por 200. O resultado será 5 milésimos.
i 1 2 0 0
d 1 0 0, 0 0 5
c 1 0 0 i D c m
m 1 0 0 0
m 1 0 0 0
m 0
i 1 2 0 0
d 1 0 0, 0 0
c 1 0 0 i D C
m 1 0 0 0
40
Assim, 1 inteiro dividido por 200 são 5 milésimos.
1 : 200 = 0,005
______________________________________________________________________
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
21 : 2 =
Solução: o problema é dividir 21 inteiros por 2, cujo resultado são 10 inteiros com resto
1 inteiro.
i 2 1 2
i -2 0 1 0
i 1 di ui
Onde di é a dezena do inteiro e ui é a unidade do inteiro
Para continuarmos a divisão, como 1 é menor que 2, é necessário trocarmos 1 inteiro
por 10 décimos.
i 2 1 2
i - 2 0 1 0
i 1 di ui
d 1 0
Efetuando a divisão 10 décimos dividido por 2 é igual a 5.
i 2 1 2
i 2 0 1 0, 5
i 1 di ui d
d - 1 0
d 1 0
d 0
41
Com isso, 21 inteiros dividido por 2 são 10 inteiros e 5 décimos.
21 : 2 = 10,5
______________________________________________________________________
PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.
1 : 3 =
Solução: nesse caso, vamos dividir inteiro por inteiro. Como 1 é menor que 3, é
necessário fazermos a troca do 1, obtendo 10 décimos. Consequentemente a parte
inteira do quociente é zero.
i 1 3
d 1 0 0,
i
Em continuidade, dividimos 10 décimos por 3 obtendo 3. Com resto 1 décimo.
i 1 3
d 1 0 0, 3
d - 9 i d
d 1
Novamente, dividimos 1 décimo por 3. Como 1 é menor que 3, é necessário fazermos a
troca do 1 décimo, obtendo 10 centésimos. Realizamos a divisão, obtendo 3
centésimos, com resto 1 centésimo.
i 1 3
d 1 0 0, 3 3
d - 9 i d c
d 1
c 1 0
c - 9
c 1
42
Novamente, dividimos 1 centésimo por 3. Como 1 é menor que 3, é necessário
fazermos a troca do 1 centésimo, obtendo 10 milésimos. Com resto 1 milésimo.
i 1 3
d 1 0 0, 3 3 3
d - 9 i d c m
d 1
c 1 0
c - 9
c 1
m 1 0
m - 9
m 1 . . .
E assim, sucessivamente, teremos infinitos algarismos iguais a 3 se continuarmos a
divisão. O quociente dessa operação é um número decimal conhecido como Dízima
Periódica.
E a regra para a divisão ? ! ?
Ressaltamos que, para essa operação não exploraremos uma atividade que
estabeleça uma regra para a divisão, já que são diversas situações a considerar
intrínsecas desta operação.
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O trabalho com Números Decimais exige muita atenção da parte do professor
tanto em relação ao aluno quanto em relação ao conteúdo. Com a elaboração dessa
unidade constatamos que o conteúdo é mais complexo do que a priori pode parecer. E
para aqueles que sequer tenham estudado sobre o assunto a situação pode tornar-se
ainda pior. Por isso ressaltamos que a abordagem construída é dedicada à Formação
de Docentes para as séries iniciais, que já tiveram um primeiro contato com as
43
operações entre números decimais. Por isso, concentramos nossos esforços às
justificativas que essas operações possuem com o auxílio de um material altamente
recomendado para esse trabalho - o Material Dourado. Esperamos obter bons
resultados na fase de implementação dessa proposta, circunstanciada pela nossa
prática que sempre enfrentou grandes dificuldades no tratamento desse assunto.
Esse trabalho dedica-se indiretamente às séries iniciais, já que é destinado à
Formação de Docentes para esse nível, desse modo, acreditamos que essa produção
contribuirá circunstancialmente com o rol de produções desenvolvidas no campo da
Educação Matemática. Esperamos acrescentar novas formas de desenvolvermos o
conteúdo relativo a números decimais e suas operações à prática docente dos futuros
professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental e consequentemente, que as
crianças por eles ensinadas tenham maior compreensão do conteúdo trabalhado.
7. REFERÊNCIAS
ANDRINNI, A., VASCONCELOS, M. J. Praticando Matemática. Manual do Professor.
São Paulo: ed. do Brasil, 2006.
AZEVEDO, A. de et al. (Org). Programa de admissão. 19. Ed. São Paulo: São Paulo
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