Ficha de Trabalho 12 - Assimptotas

12º Ano Ficha de Trabalho n.º 12

ASSIMPTOTAS MATEMÁTICA A 2010/2011

Nome: N.º: Turma: Data: /02/11

1. A figura representa um esboço do gráfico de uma função f , real de

variável real.

1.1 Indique o domínio e o contradomínio de f .

1.2 Indique:

1.2.1 [ ]3)(lim −+∞→

xfx

1.2.2 )(lim2

xfx

−→

1.2.3 )(2

lim xfx

+→

1.3 Escreva as equações das assimptotas ao gráfico de f .

2. São dadas as funções f e g , definidas em � , por:

1

12)(

2

2

+

+−=

x

xxxf e

≥+

<−=

1 se 1

1 se 1

1

)(

xx

xxxg

O gráfico de f tem alguma assimptota vertical? E o de g ? Justifique a

resposta.

3. Seja m a função real de variável real definida por:

≥−−

<−

−

=

1 se 123

1 se 1

1

)(4

3

xxx

xx

x

xm .

Indique o valor lógico da proposição: “ 1=x é uma assimptota vertical do gráfico de m ”. Justifique.

4. De uma função f , real de variável real, sabe-se que:

� f é ímpar;

� 2+= xy é assimptota de gráfico de f quando +∞→x .

Mostre que o gráfico de f admite outra assimptota não vertical e

escreva a sua equação.

Assimptotas – página 2

Ficha de Trabalho n.º 12 – Matemática A – 12º Ano

5. Determine as equações das assimptotas dos gráficos das seguintes funções:

5.1 1)( −=xexf 5.2 xxxg ln32)( −= 5.3 )1ln()( −= xxh

5.4 xxi ln1)( −= 5.5

>

≤=

0 se ln

0 se )(

xx

xexj

x

5.6 42

3)(

−=

xxf

5.7 xx

xg 33

)( += 5.8 23

1)(

2

3

+−

+=

xx

xxf 5.9 xexh x

ln)( +=

5.10 xxxh ln)( += 5.11

≥+

<−=

−1 se

1 se 1

2

)(

xex

xxxf

x

5.12 2

)(

2

+=

x

xxg

6. Seja f a função real de variável definida por

−=

xxxf

15ln)( .

6.1 Determine o domínio de f .

6.2 Estude a existência de assimptotas oblíquas ao gráfico de f .

Exercícios de Exames

7. A figura representa o gráfico de uma função f, real de variável real.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) +∞=+∞→

)(lim xfx

e [ ] +∞=−+∞→

xxfx

)(lim

(B) 0)(lim =−∞→

xfx

e [ ] +∞=−+∞→

xxfx

)(lim

(C) 0)(lim =−∞→

xfx

e [ ] 0)(lim =−+∞→

xxfx

(D) +∞=→

)(lim0

xfx

e [ ] 0)(lim =−+∞→

xxfx



8. Na figura ao lado está a representação gráfica de uma função f , da qual a recta t

é assimptota. O valor de [ ])2()(lim −−+∞→

xxfx

é:

(A) - ∞ (B) 0 (C) + ∞ (D) 1

9. De uma função f , contínua em � , sabe-se que:

� f é estritamente crescente;

� 1)0( =f ;

� O eixo Ox e a bissectriz dos quadrantes ímpares são assimptotas do gráfico de f .

Qual é o contradomínio de f ?

(A) [ [+∞,1 (B) ] ]1,∞− (C) ] [+∞,0 (D) ] [0,∞−

10. Sejam f e g duas funções de domínio � . Sabe-se que:

� O gráfico de g é uma recta, que designamos por s .

� ( ) 0)()(lim =−+∞→

xgxfx

Qual das afirmações é necessariamente verdadeira?

(A) A recta s é uma assimptota do gráfico de f .

(B) A recta s é tangente ao gráfico de f .

(C) A recta s é secante ao gráfico de f .

(D) A recta s não intersecta o gráfico de f .

11. De uma função f , de domínio +IR , sabe-se que a recta de equação

12 +−= xy é assimptota do seu gráfico. Qual é o valor de )(lim xfx +∞→

?

(A) -∞ (B) - 2 (C) 1 (D) +∞

12. De uma função h , de domínio −IR , sabe-se que a recta de equação

2=y é assimptota do seu gráfico. Qual é o valor de xx e

xh )(lim

−∞→ ?

(A) + ∞ (B) - ∞ (C) 0 (D) 2



13. Considere uma função g , de domínio [ [0,+∞ , contínua em todo o seu

domínio. Sabe-se que: • O gráfico de g tem uma única assimptota

• 2

1)(lim =

+∞→ x

xg

x.

Em qual das alternativas seguintes podem estar representadas, em referencial o.n. xOy , parte do gráfico da função g e, a tracejado, a

sua assimptota?

14. Na figura está representada parte do

gráfico de uma função h , de domínio [ [ ] [+∞∪ ,55,0 . As rectas de equações 5=x

e 3=y são as únicas assimptotas do

gráfico de h .

Indique o valor de xx e

xh−

+∞→ +3

)(lim :

(A) 0 (B) 1

(C) 5 (D) + ∞

15. Na figura junta está representada parte do gráfico de uma função f de domínio IR, contínua em todo o seu domínio. A bissectriz dos quadrantes pares e a bissectriz dos quadrantes ímpares são assimptotas do gráfico de f. Indique em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do

gráfico da função g definida por: x

xfxg

)()( =



16. Seja f uma função de domínio IR, e seja g a função definida por

)1()( += xfxg . A recta de equação 42 += xy é a única assimptota do

gráfico de f . Qual das seguintes é uma equação da única assimptota

do gráfico de g ?

(A) 62 += xy (B) 42 += xy (C) 42 −= xy (D) 62 −= xy

17. Considere a função real de variável real definida por:

=

>=

0 se 0

0 se ln)(

t

ttttg

17.1 Prove que a função é contínua. 17.2 Mostre que o gráfico de g não tem assimptotas.

18. Seja g a função real de variável real, assim definida:

21)(

x

exxg−

+−=

Prove que o gráfico da função admite uma assimptota oblíqua, quando +∞→x .



19. A massa vegetal, M v , de uma floresta varia com o tempo t e pode

ser dada por 3)( eMt

v t = . Toma-se para unidade de massa vegetal

a que existia no começo de 1900, início da contagem do tempo, e para unidade de tempo o século.

19.1 Calcule a massa vegetal existente no início de 1500 e a que é

previsível para o começo do ano 2050. 19.2 Em que ano a massa vegetal é dupla da que existia no início

de 1900?

19.3 Considere a função Q tal que t

tQM v=)( . Justifique a seguinte

afirmação: “ O gráfico de Qadmite apenas duas assimptotas”.

20. Coloca-se um produto solúvel num recipiente com água. Em cada

instante t (em minutos) a quantidade do produto ainda não dissolvido é (em gramas):

35

60)(

09.0−

= te

tq com 0≥t .

20.1 Qual a quantidade de produto colocada inicialmente na água? 20.2 Ao fim de quanto tempo estão ainda por dissolver 20 gramas

de produto? (Aproximação à milésima do minuto). 20.3 Considere a função Q , de variável real, definida por

35

60)(

09,0−

= xe

xQ . Estude a existência de assimptotas do

gráfico de Q .

21. Numa pastelaria a temperatura ambiente é constante. Admita que a

temperatura, em graus centígrados, de um café servido nessa pastelaria, t minutos após ter sido colocado na chávena, é dada por:

tetf 04,0

5020)(−

+= )0( ≥t .

21.1 Determine a temperatura do café no instante em que é colocado

na chávena. 21.2 Estude a função f quanto à existência de assimptotas.

21.3 Com o decorrer do tempo, a temperatura do café tende a igualar a temperatura ambiente. Indique, justificando, a temperatura ambiente.

21.4 Quanto tempo decorre entre o instante em que o café é colocado na chávena e o instante em que a sua temperatura atinge 65 graus centígrados? Apresente o resultado em minutos e segundos.

22. Considere uma função f de domínio +� . Admita que f é positiva e

que o eixo Ox é assimptota do gráfico de f . Mostre que o gráfico da

função f

1 não tem assimptota horizontal.



23. Considere a função f , de domínio { }\ 1� , definida por ( )1

xe

f xx

=−

.

Recorrendo exclusivamente a processos analíticos (ou seja, sem utilização da calculadora), resolva as alíneas seguintes:

23.1 Resolva a equação: [ ] xxf =)(ln .

23.2 Estude a função f quanto à existência de assimptotas verticais

e horizontais do seu gráfico.

24. Considere a função f de domínio +� , definida por xxxf ln23)( −= .

24.1 Utilize métodos exclusivamente analíticos para estudar f

quanto à existência de assimptotas do seu gráfico. 24.2 O gráfico de f contém um único ponto cuja ordenada é o

quadrado da abcissa. Recorrendo à calculadora, determine um valor aproximado para a abcissa desse ponto (apresente o resultado arredondado às décimas). Explique como procedeu (na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão).

25. De uma função g de domínio +� , sabe-se que a bissectriz dos

quadrantes ímpares é uma assimptota do seu gráfico. Seja h a

função, de domínio +� , definida por

x

xgxh

2

)()( = . Prove que o eixo Ox

é uma assimptota do gráfico de h .

26. De uma função h , de domínio +� , sabe-se que a recta de equação

1y = é assimptota do seu gráfico. Qual é o valor de ( )

limx

h x

x→+∞?

(A) 0 (B) 1 (C) +∞ (D) −∞

27. De uma função f , de domínio [ [0,+∞ , sabe-se que as rectas de

equações 1y = e 2x = são assimptotas do seu gráfico. Qual das

afirmações seguintes é verdadeira?

(A) A função f é contínua em todo o seu domínio.

(B) A função f tem máximo absoluto.

(C) O gráfico de f não tem assimptota oblíqua.

(D) O gráfico de f− não tem assimptota vertical.

28. Seja g uma função de domínio +� . Sabe-se que:

( )lim 4x

g x x

x→+∞

+= ; o

gráfico de g tem uma assimptota oblíqua. Qual das condições

seguintes pode ser uma equação dessa assimptota? (A) 3y x= + (B) 3y x= (C) 4y x= + (D) 4y x=



29. Seja f uma função de domínio +� , estritamente decrescente. Os

eixos coordenados são assimptotas do gráfico de f . Seja ( )nx a

sucessão de termo geral 1

nx

n= . Indique o valor de ( )lim nf x :

(A) 0 (B) 1 (C) +∞ (D) −∞

30. Na figura abaixo está parte da representação gráfica de uma função s de domínio � .

Indique qual das figuras seguintes pode ser parte da representação

gráfica da função t definida por ( )( )

1t x

s x= :

31. Na figura estão representadas graficamente duas funções: f e g .

Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da função f

g?



32. Na figura está representada graficamente uma função f , de domínio

+� . A recta s , que contém os

pontos ( )2,0− e ( )0,1 , é assimptota

do gráfico de f . Indique o valor de

( )limx

f x

x→+∞:

(A) -2 (B) 0

(C) 1

2

(D) 1 33.



34.

35.

36. Na figura está parte da representação gráfica de uma função f , de

domínio � .



Tal como a figura sugere, o eixo Ox e a recta de equação 1y = são

as assimptotas do gráfico de f . Seja g a função, de domínio � , definida

por ( ) ( )lng x f x= . Numa das opções seguintes está parte da

representação gráfica da função g . Em qual delas?

37. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f de

domínio ] [, 2−∞ .

A recta t , de equação 1y x= − − , é assimptota do gráfico de f

quando x tende para −∞ . Qual é o valor de ( )( )lim 1x

f x x→−∞

+ + ?

(A) 0 (B) 1 (C) +∞ (D) 1−



38.

39. Na figura estão representadas parte do gráfico de uma função

f , de domínio [ [3,− +∞ , e parte

da recta r , que é a única assimptota do gráfico de f .

Qual é o valor de ( )

limx

f x

x→+∞?

(A) 1− (B) 0

(C) 1 (D) 2

40.

Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, os dois itens seguintes.

40.1 Estude a continuidade de h no domínio � . 40.2 Estude a função h quanto à existência de assimptotas do seu

gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva as suas equações.



41.

42.

43. Considere a função f , de domínio ] [0,+∞ , definida por ( )1 ln x

f xx

−= .

Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes:

43.1 Mostre que ( )21ln 4

2f e

=

.

43.2 Estude a função f quanto à existência de assimptotas do seu

gráfico, paralelas aos eixos coordenados. 44.



45.

46.



47.

48.

48.1 Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à

existência de assimptotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados. Indique uma equação para cada assimptota encontrada.

48.2 Na figura está representada, em referencial . .o n xOy , parte

do gráfico da função .f



49.

Resolva, usando exclusivamente métodos analíticos, os itens 49.1 e 49.2:

49.1 Averigúe se a função f é contínua em 2x = .

49.2 O gráfico da função f tem uma assimptota oblíqua. Determine

a equação reduzida dessa assimptota.

49.3 Seja g a função, de domínio +� , definida ( ) ( )3 lng x x= + . A

equação ( ) ( )f x g x= tem exactamente duas soluções.

Determine essas soluções, utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora. Apresente as soluções arredondadas às centésimas. Apresente os gráficos que obteve na calculadora e assinale os pontos relevantes.

Bom trabalho!



SOLUÇÕES:

1.1 { }\ 2fD = � ; ] [ { }'0, \ 3fD = +∞ 1.2.1 0 1.2.2 0 1.2.3 +∞

1.3 2; 3x y= = 2. f não tem; : 1g x = 3. F 4. 2y x= − 5.1 1y =

5.2 0x = 5.3 1x = 5.4 0x = 5.5 0; 0x y= = 5.6 3

2; 0;4

x y y= = = −

5.7 Não tem 5.8 1; 2; 3x x y x= = = + 5.9 0x = 5.10 0x =

5.11 1; 0;x y y x= = = 5.12 2; 2y x y x= − = − − 6.1 ] [1

,0 ,5

D

= −∞ ∪ +∞

6.2 ( )1

ln 55

y x= − 7. C 8. B 9. C 10. A 11. A 12. A 13. D

14. B 15. A 16. A 19.1 0,26;1,65 19.2 2107 20.1 30

20.2 2,026t � 20.3 100 3

ln ; 0; 209 5

x y y

= = = −

21.1 70 21.2 20y =

21.3 20 21.4 2 min 38segs 23.1 2x = 23.2 1; 0x y= = 24.1 0x =

24.2 2,3 26. A 27. C 28. B 29. C 30. D 31. A 32. C

33. B 34. A 36. C 37. A 39. C 40.1 contínua em � 40.2 0y =

41. A 42. D 43.2 0; 0x y= = 45. C 46. B 47. D 48.1 1; 3x y= =

48.2 5,08 49.1 não é contínua 49.2 1y x= + 49.3 0,72 e 2,91

Ficha de Trabalho 12 - Assimptotas

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