ベルヌーイ数とその応用 - 明治大学nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/report/open/2005...3...
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1
2005年度 卒業研究レポート
ベルヌーイ数とその応用
明治大学理工学部数学科 皆川 幸弘
2005年 2月 28日
2
目次 0.イントロ..........................................................................................................................3 1.オイラー・マクローリンの公式の導き方 .......................................................................4 2.ベルヌーイ数と母関数 ....................................................................................................7 3. xtan のテイラー展開....................................................................................................12 4.ベルヌーイ数とゼータ関数 ...........................................................................................13 5.ベルヌーイ多項式とその評価 .......................................................................................15 6.オイラー・マクローリンの公式 ....................................................................................17 7.スターリングの公式......................................................................................................19 8.調和級数とオイラー定数...............................................................................................22 9.プログラム ....................................................................................................................24 10.参考文献......................................................................................................................28
3
0.イントロ
ベルヌーイ数とはkkkkk n+++++ 4321 ( kは自然数)の公式を書くためにヤコブ・
ベルヌーイが導入したものです.定義(7ページ)を見るとわかるように一般項を簡単に
書くことができず,少し複雑な感じもしますが,ベルヌーイ数は実に様々なところに現れ
るとても不思議な数です.ごく一部ではありますが,この卒業研究レポートではそれらを
紹介したいと思います. 主な内容としては,前半の最初にオイラー・マクローリンの公式を導き,その中に出て
くる数がベルヌーイ数であること.そして,ベルヌーイ数の母関数を定義すれば xtan のテ
イラー展開がベルヌーイ数を使って表せることや,ベルヌーイ数とゼータ関数の関係を紹
介します.後半はオイラー・マクローリンの公式の証明とその応用として, !n の近似公式であるスターリングの公式,オイラー・マクローリンの公式を使ったオイラー定数の計算,
となっています. 最後に,この卒業研究レポートで取り上げているオイラー・マクローリンの公式の応用,
ゼータ関数の話はほんの一部に過ぎず,まだまだ応用・発展した内容があるということを
付け加えておきたいと思います.
4
1.オイラー・マクローリンの公式の導き方 <問題> nは任意の自然数,関数 f が区間 ],0[ n で何回でも微分可能なとき,
(1.1) ∑=
=+++=n
iifnffffS
1)()()3()2()1(
に対する公式を求めよ. <公式のオイラーの導き方> 変数をずらした和 sを考える.
(1.2) ∑−
=
=−+++=1
0)()1()2()1()0(
n
iifnffffs
(1.1)と(1.2)の差 sS − をテイラー級数を使って計算すれば,
+′′′
−′′
+′
−=−−!3
)(!2
)(!1
)()()1( ififififif なので,
)∵ ( ) ( ) ( )+′′′−
+′′−+′−
+= )(!3
)(!2
)(!1
)()(3
02
000 xfxxxfxxxfxxxfxf
となるテイラー級数で, 1−= ix , ix =0 とすれば,
+′′′
−′′
+′
−=−!3
)(!2
)(!1
)()()1( ififififif
∴ −′′′
+′′
−′
=−−!3
)(!2
)(!1
)()1()( ififififif □
( ) ( ))1()2()1()0()()3()2()1( −++++−++++=− nffffnffffsS ( ) ( ) ( ) ( ))1()()2()3()1()2()0()1( −−++−+−+−= nfnfffffff
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
′′′+
′′−
′+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
′′′+
′′−
′=
!3)2(
!2)2(
!1)2(
!3)1(
!2)1(
!1)1( ffffff
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
′′′+
′′−
′++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
′′′+
′′−
′+
!3)(
!2)(
!1)(
!3)3(
!2)3(
!1)3( nfnfnffff
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
++′′
+′′
+′′
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
++′
+′
+′
=!2
)(!2
)3(!2
)2(!2
)1(!1
)(!1
)3(!1
)2(!1
)1( nffffnffff
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′′
++′′′
+′′′
+′′′
+!3
)(!3
)3(!3
)2(!3
)1( nffff
∑∑ ∑== =
−′′′
+′′
−′
=n
i
n
i
n
i
ififif11 1 !3
)(!2
)(!1
)(
5
)0()( fnfsS −=− でもあるので,
∴ ∑ ∑ ∑= = =
−′′′+′′−′=−n
i
n
i
n
iifififfnf
1 1 1)(
!31)(
!21)(
!11)0()(
この式を f の原始関数 F (つまり, fF = )で書き換えると,
∑ ∑ ∑∫= = =
−′′+′−=n
i
n
i
n
i
nifififdxxf
1 1 10
)(!3
1)(!2
1)(!11)(
∴(1.3) ∑ ∑ ∑∫= = =
+′′−′+=n
i
n
i
n
i
nififdxxfif
1 1 10
)(!3
1)(!2
1)()(
(1.3)で,( f は一般なので) f を f ′で置き換えると,
(1.3.1) ∑ ∑ ∑= = =
+′′′−′′+−=′n
i
n
i
n
iififfnfif
1 1 1)(
!31)(
!21))0()(()(
(1.3.1)で, f ′を f ′′ で置き換えると,
(1.3.2) ∑ ∑ ∑= = =
+−′′′+′−′=′′n
i
n
i
n
iififfnfif
1 1 1
)4( )(!3
1)(!2
1))0()(()(
以下同様に置き換えた式を作る.
(1.3.1),(1.3.2),…を使って(1.3)の∑=
′n
iif
1)( ,∑
=
′′n
iif
1)( ,…を消去すれば,適当な定数 1a ,
2a , 3a ,…を用いて,
(1.4) ( ) ( ) ( )+′′−′′−′−′+−−= ∫∑=
)0()()0()()0()()()( 32101
fnfafnfafnfadxxfifnn
i
と書けることがわかる.以下,この }{ ja )3,2,1( =j の求め方を考える。
そこで,(1.3),(1.3.1) )!2
1(−× ,(1.3.2)!3
1× ,…,(1.3.n)
)!1()1( 1
+−
×+
n
n
,…
として辺々加えると,
−′′+′− ∑∑∑===
n
i
n
i
n
i
ififif111
)(!3
1)(!2
1)(
( ) ( ))0()(!3
1!2
)0()(!2
1)( 1210
fnfaafnfadxxfn
′−′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= ∫
( )+′′−′′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++− )0()(
!41
!3!212
3 fnfaaa
( )+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+++++−+ −−−− )0()()!1(
1!!3!2
)1( )1()1(121 nnnnn
n fnfnn
aaaa
この式と(1.3)を変形した式
∫∑ ∑ ∑ =−′′+′−= = =
nn
i
n
i
n
idxxfififif
01 1 1
)()(!3
1)(!2
1)(
6
を比べれば,
( ) ( ))0()(!3
1!2
)0()(!2
1 121 fnfaafnfa ′−′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
( )+′′−′′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++− )0()(
!41
!3!212
3 fnfaaa
( ) 0)0()()!1(
1!!3!2
)1( )1()1(121 =+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+++++−+ −−−− nnnnn
n fnfnn
aaaa
∴(1.5) 0!2
11 =+a , 0
!31
!21
2 =++aa , 0
!41
!3!212
3 =+++aaa ,…
0)!1(
1!!3!2121 =
++++++ −−
nnaaaa nn
n … ,…
これらを解くと,
21
1 −=a ,121
2 =a , 03 =a ,7211
4 −=a ,…
となる.(1.4)に代入すれば, (1.6)
( ) ( ) ( )∑ ∫=
+′′−′′−′−′+−+=n
i
nfnffnffnfdxxfif
10
)0()(7201)0()(
121)0()(
21)()(
( ) ( )∑∫∞
=
−− −+−+=2
)1()1(
0)()()0()(
21)(
j
jjj
nnfnfafnfdxxf
これが求めたかった公式である。 (注意) 実は,(1.6)は常に成り立つわけではない.例えば, )2cos()( xxf π= として(1.6)に
代入すると,左辺は n=+++ 111 ,右辺は0となり,公式が間違っていることになる. しかしこのことは,(1.6)の右辺を有限個で打ち切り,剰余項を考えることによって解決される.(6.の定理で示される.)
7
2.ベルヌーイ数と母関数 <ベルヌーイ数>
(1.5)を ii a
iB
=:!
),3,2,1( =i で置き換えると,
(1.5’) 0!2
11 =+a ⇔ 0
!2!101 =+
BB ⇔ 02
!21 1
0=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑=
ii
Bi
,
0!3
1!21
2 =++aa ⇔ 0
!3!2!2012 =++
BBB ⇔ 03
!31 2
0=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑=
ii
Bi
,
0!4
1!3!212
3 =+++aaa ⇔ 0
!4!1!31
!2!21
!30123 =+⋅+⋅+
BBBB⇔ 0
4!4
1 3
0=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑=
ii
Bi
,…
0)!1(
1!!3!2121 =
++++++ −−
nnaaaa nn
n
⇔ 0)!1(!1!
1)!2(!3
1)!1(!2
1!
0121 =+
+⋅++−
⋅+−
⋅+ −−
nBB
nnB
nB
nB nnn
⇔ 0!
1 1
0=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑−
=i
n
iB
in
n,…
となる.以上のことより iB ),3,2,1,0( =i は一般に,
(2.1) 10 =B , 01
0=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑−
=
k
iiB
ik
),4,3,2( =k
を満たすが,逆にこの条件(2.1)だけで iB ),3,2,1,0( =i を決定することが出来る. この(2.1)で定義される iB ),3,2,1,0( =i をベルヌーイ数という.
10 =B ,21
1 −=B ,61
2 =B ,301
4 −=B ,421
6 =B ,…
012 =+kB ),3,2,1( =k である. (この証明は後に出てくる.) ベルヌーイ数を使えば(1.6)は,
(1.6’) ( ) ( )∑ ∑∫=
∞
=
−− −+−+=n
i k
kkknfnf
kBfnfdxxfif
1 1
)12()12(20
)0()()!2(
)0()(21)()(
と書くことができる.
<例>(kkkkk n+++++ 4321 の公式)
kを任意の自然数, kxxf =)( として(1.6’)を適用する.( jkj xjk
kxf −
−=
)!(!)()( )
8
ただし,一般に kj >−12 では 0)()12( =− xf jとなるので,右辺では kj ≤−12 を満たす jに
ついて和をとればよい. そこで, kが偶数・奇数の場合けをする. ① kが偶数のとき. jは自然数なので, kj =−12 は成り立たない.よって右辺では,
kj <−12 ⇔ 112 −≤− kj ⇔2kj ≤ を満たす jについて和をとればよい.そうすると,
( ) ( )∑∫∑=
−−
=
−+−+=2
1
)12()12(2
01
)0()()!2(
021
k
j
jjjkkn kn
i
k fnfj
Bndxxi
ただし,12)12(
)!12(!)( +−−
+−= jkj x
jkkxf より, 0)()12( =− xf j
となるので,
( ) ∑∫∑=
−
=
+−+=2
1
)12(2
01
)()!2(
021
k
j
jjkkn kn
i
k nfj
Bndxxi
② kが奇数のとき. jは自然数なので, kj =−12 は成り立たつ.よって右辺では,
kj ≤−12 ⇔2
1+≤
kj を満たす jについて和をとればよい.そうすると,
( ) ( )∑∫∑+
=
−−
=
−+−+=2
1
1
)12()12(2
01
)0()()!2(
021
k
j
jjjkkn kn
i
k fnfj
Bndxxi
ただし, kj =−12 ⇔2
1+=
kj のとき, )()( )()12( xfxf kj =−は定数となるので,
0)0()( )()( =− kk fxf .また, 0)()12( =− xf jとなるので,
( ) ∑∫∑−
=
−
=
+−+=2
1
1
)12(2
01
)()!2(
021
k
j
jjkkn kn
i
k nfj
Bndxxi
①,②をまとめれば
( ) ∑∫∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
=
+−+=2
1
)12(2
01
)()!2(
021
k
j
jjkkn kn
i
k nfj
Bndxxi ∑
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−+
+++
=2
1
)12(21
)()!2(21
k
j
jjk
nfj
Bnkn
となる.([]はガウス記号. [ ]x は xを超えない最小の整数を意味する.) ここで,
+−
⋅+−
⋅+−
⋅= −−−−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=∑ 563412)12(
2
1
2
)!5(!
!6)!3(!
!4)!1(!
!2)(
)!2(kkkj
k
j
j nk
kBnk
kBnk
kBnfj
B
9
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+1
22
22
!12
2
!
!2
2
kkk
nkk
kk
B
+−
⋅−
+−
⋅−
+−
⋅−
= −−− 563412
5)6(!6!
3)!4(!4!
1)!2(!2! kkk n
kB
kkn
kB
kkn
kB
kk
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
⋅
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+1
22
22
12
2!112
2!2
2
!kk
k
nkk
B
kkkk
+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−−
563412
5
6
3
4
1
2 knB
kknB
kknB
k kkk
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
12
222
12
2
22 kk
nBkk
kk
k
122
12
2
2
1 +−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=∑ jk
nBj
k jk
j
k
j
∴12221
12
2
2
1
1
1 +−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+=
+−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
+
=∑∑ jk
nBj
knkni
jk
j
k
j
kkn
i
k
<ベルヌーイ数の母関数> ベルヌーイ数の母関数をテイラー級数を使って,
(2.2) ∑∞
=
=+++++=1
4433221
!!4!3!2!11)(
i
ii xiBxBxBxBxBxV
と定義する。すると,(2.1)は,
1!4!3!2
1)(32
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++⋅
xxxxV
を意味する。
)∵ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++⋅
!4!3!21)(
32 xxxxV
10
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++=
!4!3!21
!3!2!1
3233221
0xxxxBxBxBB
+++++= 40302000 !4!3!2!1
xBxBxBxBB
+++++ 4131211
!4!3!2!1xBxBxBxB
+++++ 52423222
!24!3!2!2!2!2xBxBxBxB
+++++ 63534333
!4!3!3!3!2!3!3xBxBxBxB
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∑∑∑
===
33
0
22
0
1
00
4!4
13!3
12!2
1 xBi
xBi
xBi
Bi
ii
ii
i
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ −
−
=∑ 1
1
0!1 n
n
ii xB
in
n
1!
1 1
2
1
10 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= −
∞
=
−
=∑ ∑ j
j
j
ii xB
ij
jB
⇔ 0!
12
1
1
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑ ∑∞
=
−
=j
j
iiB
ij
j
これは(1.5)を意味している。 □
また, ++++==∑∞
= !3!2!11
!
32
1
xxxnxe
n
nx
から
1!4!3!2
1)(32
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++⋅ …xxxxV ⇔ 11)( =
−⋅
xexV
x
(2.3) 1
)(−
= xexxV
2)(:)( xxVxf += とおけば,
(2.4) )1()1(
2)1(22
)1(2)1(2
212)()(
−+
⋅=−+−
=−−−
=+−
=+= x
x
x
x
x
x
x eex
exxex
eexxx
exxxVxf
11
)(11
2)1()1(
211
2)( xf
eex
eeeex
eexxf x
x
xx
xx
x
x
=−+
⋅=−+
⋅−
=−+
⋅−
=− −
−
−
−
から )(xf は偶関数とわかるの
で,
(2.5) 2
)()( xxVxf +=
2!3!2!11 33221 xxBxBxB
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++= …
2!3!223322
0xxBxBxB +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−= …
+++= 33220 !3!2
xBxBB
∑∞
=
+=2
0 !n
nn xnBB
f は偶関数なので,奇数次の項の係数は0である.
)∵ 一般に, )(xf が偶関数のとき,
)()( xf n:奇関数( n:奇数)
)()( xf n:偶関数( n:偶数)
0)0()( =nf ( n:奇数) が成り立つので,
∑∑∞
=
∞
=
==0
2)2(
0
)(
)!2()0(
!)0()(
k
kk
n
nn
xk
fxn
fxf
となる.べき級数展開の一意性より,奇数次の係数は0となる. □ よって, 012 =+kB ),3,2,1( …=k
また, ∑∑∞
=
∞
=
+=+==−+
⋅1
220
20 )!2(!
)(11
2 k
kk
n
nnx
x
xk
BBxnBBxf
eex )2( π<x
12
3. xtan のテイラー展開
11
sinhcoshcoth 2
2
−+
=−+
== −
−
x
x
xx
xx
ee
eeee
xxx なので,
(3.1) k
k
kx
x
xk
Beexxx 2
1
22
2
)2()!2(
111coth ∑
∞
=
+=−+
⋅=
とテイラー展開できる.
)∵ ∑∞
=
+=−+
⋅=1
22
)!2(1
11
2)(
k
kkx
x
xk
Beexxf とテイラー展開できたから. □
また, xixix
ieeiee
eeeeix ixix
ixix
ixix
ixix
cotsincos12
2)coth( −==⋅
−⋅
+=
−+
= −
−
−
−
なので,
xxxiixixix cot)cot()()coth()( =−⋅=
一方で,k
k
k ixk
Bixix 2
1
2 )2()!2(
1)coth()( ∑∞
=
+= でもあるので,
(3.2) k
k
k ixk
Bxx 2
1
2 )2()!2(
1cot ∑∞
=
+=
ここで, xxxx
xx
xxxx
xxx tancot
cossin
sincos
cossinsincos
)2sin()2cos(2)2cot(2
22
−=−=−
== より,
(3.3) ( ))2cot()2(cot1)2cot(2cottan xxxxx
xxx −=−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∑∑
∞
=
∞
= 1
22
1
22 )4()2(
1)2()!2(
11k
kk
k
kk ixk
Bixk
Bx
kkk
k
k ixk
Bx
222
1
2 ))(42()!2(
1−= ∑
∞
=
∑∞
=
−−−=
1
122
22
)!2(42)1(
k
kk
kkk xB
k
! よって, xtan テイラー展開が求められた.
13
4.ベルヌーイ数とゼータ関数 <リーマンのゼータ関数>
+++==∑∞
=sss
nsn
s31
21
111)(
1
ζ )1(Re >s
をリーマンのゼータ関数という. <オイラーの公式> 定理( zcot の部分分数分解)
π<z のとき,
∑∑∞
=
∞
= −+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++
−+=
1222
1
11111cotnn nzznznzz
zπππ
が成り立つ. (証明は参考文献[2]の 89,90ページを参照せよ.) この定理から、
(4.1) ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
1
2
)2(21cotm
mzmzzπ
ζ
が成り立つ.
)∵ ∑∑∞
=
∞
=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=− 1
2
21
)1(22
2
2
222
2 1
1 m
m
mm
m znn
znz
nz
nz
znz
ππππ
ππ
となるので,定理( zcot の部分分数分解)から,
m
m nm
n
m
mm
n
zn
znnz
zzz2
1 12
1
2
12
1222
2 12112121cot ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−=
−+= ∑ ∑∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
= πππ
m
m
zm2
1
)2(21 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= ∑
∞
= πζ □
14
(4.1)と(3.1)の z係数を比べると,テイラー展開の一意性より,
m
m
mm mB
m
2
2
2 1)2()2()!2(
2)1( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−=−π
ζ ),3,2,1( =m
∴ m
mm
Bm
m 2
21
)!2(2)2()1()2(
⋅⋅−
=− πζ ),3,2,1( =m
この式をオイラーの公式という.
6)2(
2πζ = ,90
)4(4πζ = ,
945)6(
6πζ = ,9450
)8(8πζ = ,
93555)10(
10πζ = ,…
である.
15
5.ベルヌーイ多項式とその評価 <ベルヌーイ多項式> ベルヌーイ多項式を
(5.1) ikk
iik xB
ik
xB −
=∑ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0)( ),3,2,1( …=k
として定義する.
21)( 101 −=+= xBxBxB ,
612)( 2
212
02 +−=++= xxBxBxBxB ,
xxxBxBxBxBxB21
2333)( 23
422
13
03 +−=+++= ,…
である。また、(5.1)は次を満たす. (5.2) )()( 1 xkBxB kk −=′ )1( ≥k (5.3) kkk BBB == )1()0( )2( ≥k
)∵′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=′ ∑
=
−k
i
ikik xB
ik
xB0
)(
( ) ( ) ( ) ( )′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
− 011
110 110
xBkk
xBk
kxB
kxB
kkk
kk
01
21
10 11
)1(0
xBk
kxB
kkxB
kk k
kk−
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
01
21
10 1
11
10
1xB
kk
kxBk
kxBk
k kkk
−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
iki
k
ixB
ik
k −−−
=∑ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= )1(
1
0
1
)(1 xkBk−=
kkkk
k
k
i
ikk
k
ik BBB
kk
Bik
Bik
B =+=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
−
=
−
=∑∑ 0000)0( 01
1
00
kkkk
k
i
ikk
k
ik BBB
kk
Bik
Bik
B =+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑∑
−
=
−
=
01)1(1
00 □
16
<ベルヌーイ多項式の評価> 定理(ベルヌーイ多項式 )(xBk のフーリエ展開)
10 ≤≤ x において,ベルヌーイ多項式 )(xBk は次のようにフーリエ展開される.
∑∞
=
− ⋅⋅−=1
21
2 )2()2cos()!2(2)1()(
nk
kk n
nxkxBππ ),3,2,1( =k
∑∞
=+
−+ +⋅⋅−=
112
112 )2(
)2sin()!12(2)1()(n
kk
k nnxkxB
ππ ),3,2,1( =k
このフーリエ展開は一様収束する. (証明は参考文献[2]の 99,100ページを参照せよ.) この定理から,
(5.4) kkkxB)2(!4)(
π⋅
≤ ),3,2,1( =k
が成り立つ.
)∵ ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
− ⋅≤⋅≤⋅⋅−=
122
12
12
12
1)2(
)!2(2)2(
1)!2(2)2(
)2cos()!2(2)1()(n
kkn
kn
kk
k nk
nk
nnxkxB
ππππ
kkkn
k
kkdxx
kn
k2212
122 )2(
)!2(42)2(
)!2(211)2(
)!2(21)2(
)!2(2ππππ⋅
=⋅⋅
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅≤
⋅≤ ∫∑
∞∞
=
∑∑∑∞
=++
∞
=+
∞
=
−+
⋅≤+⋅≤+⋅⋅−=
11212
112
12
112
1)2(
)!2(2)2(
1)!12(2)2(
)2sin()!12(2)1()(n
kkn
kn
kk
k nk
nk
nnxkxB
ππππ
12121121
212 )2()!12(42
)2()!12(211
)2()!12(21
)2()!12(2
++
∞
+
∞
=+
+⋅=⋅
+⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⋅≤
+⋅< ∫∑ kkk
nk
kkdxx
kn
kππππ
∴ kkkxB)2(!4)(
π⋅
≤ ),3,2,1( =k □
17
6.オイラー・マクローリンの公式 1.の最後で,オイラーが導いた公式(1.6)が常に成り立つわけではないことを注意した.しかし,その問題は,次の定理のように(1.6)の右辺を有限個で打ち切り,剰余項を考えることによって解決される。 定理(オイラー・マクローリンの公式) nと kは任意の自然数、 f は ],0[ n で k回微分可能な関数とすれば,
( ) ( ) ∫∑∫∑−
=
−−
=
−+−+−+=
n kk
kk
j
jjjnn
idxxfxB
kfnf
jB
fnfdxxfif0
)(1
2
)1()1(
01
)()(~!)1()0()(
!)0()(
21)()(
ここで, )(~ xBk は 10 ≤≤ x では )(xBk .それ以外は周期 1で拡張したものである.
(証明) 1=n のとき
( ) ( ) ∫∑∫−
=
−− −+−+=+
1
0
)(1
2
)1()1(
0)()(
!)1()0()1(
!)()0()1(
21 dxxfxB
kff
jB
dxxfff kk
kk
j
jjjn
を示す.ここで,21)1(1 =B ,
21)0(1 −=B , 1)(1 =′ xB を用いる.
左辺 ( ) [ ]101111 )0()0()1()1()0()0()1()1()0()1(21 fBfBfBfBff −=−=+=
( ) ∫∫∫ ′+′=′=1
0 1
1
0 1
1
0 1 )()()()()()( dxxfxBdxxfxBdxxfxB
∫∫ ′+=1
0 1
1
0)()()( dxxfxBdxxf
これで 1=k のときが示された。最後の項を部分積分すれば,
∫∫ ′′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
1
021
0)(
2)()( dxxfxBdxxf
∫∫ ′′−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ′+=
1
02
1
0
21
0)(
2)()(
2)()( dxxfxBxfxBdxxf
( ) ∫∫ ′′−′−′+=1
0 222
1
0)()(
!21)0()0()1()1(
!21)( dxxfxBfBfBdxxf
( ) ∫∫ ′′−′−′+=1
0 221
0)()(
!21)0()1(
!2)( dxxfxBffBdxxf
18
これで 2=k のときも示された. 同様に最後の項を部分積分していけば一般の kでも成り立つことが示される. よって, 1=n のとき定理は成り立つ.
2=n のとき )1(:)(1 += xfxF とおけば, 1=n のときより
( ) ( ) ∫∑∫ +−
+−+−++=−
=
−− 1
0
)(1
1
2
)1(1
)1(111
1
0 11 )1()(!)1()0()1(
!)0()1(
21)1()1( dxxFxB
kFF
jB
FFdxxFF kk
kk
j
jjj
が成り立つ. ここで 1: += xX として変数変換すれば, 積分区間は xの0から1 から X の1から2 へと変わり、 dXdx = より、
∫∫∫ ==+2
1
2
1
1
0 1 )()()1( dxxfdXXfdxxF
∫∫∫ =−=+2
1
)(2
1
)(1
0
)(1 )()(~)()1()1()( dxxfxBdXXfXBdxxFxB kk
kk
k
となるので,
( ) ( ) ∫∑∫−
=
−− −+−+−+=
2
1
)(1
2
)1()1(2
1)()(~
!)1()1()2(
!)1()2(
21)()2( dxxfxB
kff
jB
ffdxxff kk
kk
j
jjj
が成り立つ.
( ) ( ) ∫∑∫−
=
−− −+−+−+=
1
0
)(1
2
)1()1(1
0)()(~
!)1()0()1(
!)0()1(
21)()1( dxxfxB
kff
jB
ffdxxff kk
kk
j
jjj
と辺々足せば,
( ) ( )∑∫=
−− −+−+=+k
j
jjj ffj
Bffdxxfff
2
)1()1(2
0)0()2(
!)0()2(
21)()2()1(
∫−−
+2
0
)(1
)()(~!)1( dxxfxB
kk
k
k
これで 2=n のときも示された. 同様に )(:)( lxfxFl += ),4,3,2( =l とおいて次々と足していけば一般の nでも成り立つことが示される. (証明終)
19
7.スターリングの公式 定理(スターリングの公式) 任意の自然数 nに対して,
(7.1) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅
⋅= 53
~360
1121exp2! R
nnennn n
nπ, 455 )2(
!4~n
R⋅
<π
が成り立つので, ∞→n とすれば,
(7.2) n
n
ennn ⋅π2~! (~は両辺の比が1に近づくことを表す)
が得られる。 (証明) m,nは任意の自然数で 1>> nm . xxf log)( = として,オイラー・マクローリン
の公式を適用すると,
( xxxxdx −=∫ loglog , ( ) jj
j
j
xjx
dxd )!1()1(log 1 −
−= −,
61
2 =B ,301
4 −=B )
(7.3) )!log()!log()log()log()log(221
nmiiin
i
m
i
m
ni
−=−= ∑∑∑==+=
( ) ( ) ∫∑∫−
+−+−+==
−− m
nj
jjjm
ndxxxBnfmf
jB
nmxdx )5(5
45
2
)1()1( ))(log(~!5)1()()(
!loglog
21log
( ) ( ) ( ) 53342 ~!2!2!4
11!2
loglog21loglog R
nmB
nmBnmnnnmmm +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−+−−−=
( ) ( ) ( ) 533~11
360111
121loglog
21loglog R
nmnmnmnnnmmm +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−+−−−=
(ここで, ∫−
=m
ndxxxBR )5(
5
4
5 ))(log(~!5)1(~
とおいた.)
また, 55 )2(54)(~
π⋅
≤xB より
∫∫∫ −⋅
⋅≤≤−
=m
n
m
n
m
ndx
xdxxxBdxxxBR 5
45
)5(5
)5(5
4
5!4)1(
)2(!54
!51)(log)(~
!51))(log(~
!5)1(~
π
454454555 )2(!411
)2(!4!4
41
)2(4!4
)2(4
nnmxdx
x
m
n
m
n ⋅<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅−
== ∫ ππππ
(7.3)の )!log(m , mm log ,m, mlog21
などの項は ∞→m のときにそれぞれ∞に発散し
20
てしまうので,
(7.4) mmmmm log21)!log( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+=γ
としてまとめて扱えば(10.19)は,
(7.5) 533~11
360111
121 R
nmnmnm +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= γγ
となる. ここで, nとmが十分大きくなれば, mγ と nγ の差はどれほどでも小さくなるので,
mγ は ∞→m のとき,ある値γ に収束する.
)∵ 0>∀ε , 03>=∃
εN , )3;(
ε=≥ Nnnは任意の自然数 );( nmm >は任意の自然数
とすれば,
533533~11
360111
121~11
360111
121 R
nnnnR
nmnmnm ++++<+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−γγ
45353 )2(!4
1801
61~2
36012
121
nnnR
nn ⋅++≤+⋅+⋅=
π
ε≤≤=++≤Nnnnn33111
∴コーシーの定理より, mγ は ∞→m のとき,ある値γ に収束する. □
(7.5)で ∞→m とすれば,
53ˆ
3601
121log
21)!log( R
nnnnnn ++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+=γ
∴(7.6) 53ˆ
3601
121log
21)!log( R
nnnnnn −−+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+ γ
ここで, 55~limˆ RR
m ∞→= , 455 )2(
!4ˆn
R⋅
≤π
である.
(7.6)の両辺に指数関数をとれば,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+ 53
ˆ360
1121explog
21)!log(exp R
nnnnnn γ
左辺⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅⋅=⋅⋅= 21log
21
)!log( !n
nnn
nn neneee
右辺 nD= とおけば,
n
nn Dnen =⋅⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
21
!
21
∴(7.7) n
n
n ennDn ⋅
=!
ここで, π2→nD )( ∞→n が言えれば定理が証明されたことになる.
(7.7)からn
n
n nnenD⋅⋅
=!
となり,
nnnn
ennn
nnen
nnen
DDD n
n
n
n
n
n
n
n
nn 2)!2(2!!
)!2()2(2!! 2
2
2
2
⋅⋅⋅
=⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅
=⋅
nnnnnnnn n 2
123456)42)(32)(22)(12(22!! 2
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−
⋅⋅=
nnnnnnnnnnnn n 2
1)12(3)22(5)32()2(2)32()1(2)12(22123)2)(1(123)2)(1( 2
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅
⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−=
nnnnnnn 2)12)(32)(52(531
2)1(2)2(2642⋅
−−−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅
=
DDn → )( ∞→n であれば DD n →2 )( ∞→n でもあるので,
DD
DDD
DD
n
nn =⋅
→⋅
2
)( ∞→n
が成り立つ.ウォリスの積1191010
9788
7566
5344
3122
2 ⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=π
より
(ウォリスの積について詳しくは参考文献[1]の 90ページを参照せよ)
nn
nnnn
DDD
n
nn )12(2)12)(12(11997755331
)2)(2(1010886644222
2
+⋅
+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅
ππ 242
=⋅→ )( ∞→n
π22 =D となるので π2=D ∴ π2=→ DDn )( ∞→n (証明終)
22
8.調和級数とオイラー定数 <調和級数>
(8.1) +++=∑∞
= 31
21
111
1n n
を調和級数という. 調和級数は発散する.
)∵n
an1
= , ∑=
=m
iim aS
1
とする.
mmmmaaaSS mmmmmmm +
+++
++
=+++=− ++++1
21
11
21
21
221
21
21
==+++>mm
mmm
コーシーの定理が成り立たないので調和級数は発散する. □ <オイラー定数>
(8.2) mm
m
im log1:
1−=∑
=
γ , γγ =∞→ mm
lim
で定まるγ をオイラー定数という.
(8.2)は後に出てくる(8.6)を用いればコーシー列になることがわかるので,収束する. <オイラー・マクローリンの公式を使ったオイラー定数の計算>
m, nは任意の自然数で 1>> nm ,x
xf 1)( = として,オイラー・マクローリンの公式を
適用すると,
( 1!)1(1+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
jj
j
j
xj
xdxd
,21
2 −=B ,301
4 −=B ,421
6 =B ,301
8 −=B )
(8.3) ∑∑∑==+=
−=n
i
m
i
m
ni iii 111
111
( ) ∫∑∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
=
−− m
nj
jjjm
ndx
xxBnfmf
jB
nmdx
x
)9(
9
89
2
)1()1( 1)(~!9)1()()(
!11
211
23
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−= 44
422
2 !3!3!4
11!2
1121loglog
nmB
nmB
nmnm
9888
666 ~!7!7
!8!5!5
!6R
nmB
nmB
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−= 4422
11120111
12111
21loglog
nmnmnmnm
98866~11
120111
2521 R
nmnm+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+
(ここで、 ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=m
ndx
xxBR
)9(
9
9
91)(~
!9)1(~
とおいた。)
また、 99 )2(!94)(~
π⋅
≤xB より
∫∫∫ −⋅
⋅≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
=m
n
m
n
m
ndx
xdx
xxBdx
xxBR 10
99
)9(
9
)9(
9
8
9!9)1(
)2(!94
!911)(~
!911)(~
!9)1(~
π
9999999109 )2(!8!411
)2(!8!4!9
91
)2(4!9
)2(4
nnmxdx
x
m
n
m
n ⋅⋅
<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅−
== ∫ ππππ
(8.4)の∑=
m
i i1
1, mlog は ∞→m のときに∞に発散してしまうので、
(8.5) mi
m
im log1
1∑=
−=γ
とおけば、(8.3)は、
(8.6) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= 4422
11120111
12111
21
nmnmnmnm γγ
98866~11
120111
2521 R
nmnm+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
(8.6)で ∞→m とすれば、
(8.7) 986421
ˆ120
1252
1120
112
121log1 R
nnnnnn
i
n
i
+−+−+−−=∑=
γ
ここで、 99~limˆ RR
m ∞→= , 999 )2(
!8!4ˆn
R⋅
⋅≤
πである。
(8.7)を使いγ 定数を求めると,(8.2)の定義式で計算するよりも速く収束する.
24
9.プログラム (仮称)十進 BASICを使ったプログラムをいくつか紹介します. (仮称)十進 BASICについて詳しくは,(仮称)十進 BASICのホームページ http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/ を参照してください. <ベルヌーイ数を求めるプログラム> プログラム(9.1)
REM ベルヌーイ数を n個求める OPTION ARITHMETIC RATIONAL INPUT n OPTION BASE 0 DIM B(n) LET B(0)=1 PRINT "B( 0 )=";B(0) FOR k=2 TO n+1 LET B(k-1)=0 FOR i=0 TO k-2 LET B(k-1)=B(k-1)-(1/comb(k,k-1))*comb(k,i)*B(i) NEXT i PRINT "B(";k-1;")=";B(k-1) NEXT k END
プログラム(9.1)はベルヌーイ数の定義
(2.1) 10 =B , 01
0=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑−
=
k
iiB
ik
),4,3,2( =k
から,
10 =B , ∑−
=− ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=2
01
1
1 k
iik B
ik
kk
B ),4,3,2( =k として,任意の 1: −= kn までのベルヌー
イ数を求めるプログラムである. 実際に 5=n として実行すると,次のような結果が得られる.
25
B( 0 )= 1 B( 1 )=-1/2 B( 2 )= 1/6 B( 3 )= 0 B( 4 )=-1/30 B( 5 )= 0
<オイラー定数を求めるプログラム> プログラム(9.2)
REM オイラー定数を定義式で求める INPUT m LET s=0 LET g=0 FOR i=1 TO m LET s=s+(1/i) LETγ=s-LOG(i) PRINT "γ(";i;")=";γ NEXT i END
プログラム(9.2)は
(8.2) mm
m
im log1:
1−=∑
=
γ
で,mに任意の数を入れて計算するプログラムである.
26
プログラム(9.3)
REM オイラー定数を(8.7)を使って求める INPUT n LET s=0 LET g=0 FOR i=1 TO n LET s=s+(1/i) LETγ=s-LOG(i)-1/(2*i)+1/(12*i^2)-1/(120*i^4)+1/(252*i^6)-1/(240*i^8) PRINT "γ(";i;")=";γ NEXT i END
プログラム(9.3)は
(8.7) 986421
ˆ120
1252
1120
112
121log1 R
nnnnnn
i
n
i
+−+−+−−=∑=
γ
で, nに任意の数を入れて計算するプログラムである.
(ただし,剰余項 9R̂ は計算に入れない.)
プログラム(9.2),プログラム(9.3)で 10=n として実行させると,オイラー定数を 1=n から
10=n まで求めることができ,結果は次のようになる. プログラム(9.2)の実行結果 プログラム(9.3)の実行結果 γ( 1 )= 1 γ( 2 )= .806852819440055 γ( 3 )= .73472104466522 γ( 4 )= .697038972213439 γ( 5 )= .67389542089923 γ( 6 )= .658240530771945 γ( 7 )= .646946993801827 γ( 8 )= .638415601177304 γ( 9 )= .631743676632031 γ( 10 )= .626383160974204
γ( 1 )= .574801587301587 γ( 2 )= .577211047366642 γ( 3 )= .577215564954665 γ(4 )= .577215658697156 γ( 5 )= .577215664200817 γ( 6 )= .577215664785003 γ( 7 )= .577215664876123 γ( 8 )= .577215664894764 γ( 9 )= .577215664899427 γ( 10 )= .577215664900792
表の見方として,γ( 10 )は 10=n として計算して求めたオイラー定数の値である.
また,プログラム(9.3)の計算結果の誤差は剰余項の評価 999 )2(!8!4ˆn
R⋅
⋅≤
πからわかる.
27
例えば, 10=n のとき, 11-512476E6.3403458710)2(!8!4ˆ
999 =⋅⋅
≤π
R となる.
(参考) γ=0.57721566490153286… であることが知られている.(参考文献[1]の 238 ページの(10.24)から)
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10.参考文献 [1] E.ハイラー,G.ワナー,蟹江幸博 訳:解析教程(上),シュプリンガー・フェアラーク東京(1997年) [3] 森本光生:UBASICによる解析入門,日本評論社(1992年) [3] 荒川恒男,息吹山知義,金子昌信:ベルヌーイ数とゼータ関数,牧野書店(2001年) [4] 宮岡悦良,永倉安次郎:解析学Ⅰ,共立出版(1996年)