• ფლეტლანდია, ანუ 2–განზომილებიანისამყარო

• 4–განზომილებიანი სივრცე

• არაევკლიდური გეომეტრია

• შეიძლება თუ არა ბანკის გაძარცვა ისე, რომ ვერავინ ვერასოდეს მიაგნოს ჩვენს კვალს.

P.S. თანაც არავის არაფერი არ დავუშავოთ!

• შეიძლება თუ არაგულისტრანსპლანტაციაჩავატაროთ ისე, რომპაციენტი არგავჭრათ?

• თქვენ გაქვთ ორი მარცხენაფეხსაცმელი. შეიძლებათუ არა მარცხენაფეხსაცმელიგადავაკეთოთ მარჯვენად? (ყოველგვარი ჭრა–კერვისგარეშე)

• მაღაზიებს შორისარსებობს შეთანხმება, რომსაჩვენებლად გამოდონმხოლოდ მარცხენაფეხსაცმელი (მოპარვისსტიმული რომ ნაკლებიიყოს).

• ამ კითხვებზე პასუხისგაცემა ძნელია.

• ასეთი რამ ჯერ არავისგაუკეთებია, თუმცათეორიულად ეს არარის გამორიცხული.

• ამისათვის გვჭირდებამე–4 განზომილება.

• იმისთვის, რომკარგად გავიაზროთ, რა უპირატესობებიშეიძლება ჰქონდესმე–4 განზომილებას, ჯერ გავიაზროთ, რაუპირატესობასგვაძლევს მე–3 განზომილება 2 განზომილებასთანშედარებით.

• არსებობს ფანტასტიკის ჟანრისსახალისო–საგანმანათლებლოწიგნი “ფლეტლანდია” (გადაღებულია ფილმიც).

• ფლეტლანდია (ბრტყელისამყარო) დასახლებულიასხვადასხვა ფორმის ბრტყელიარსებებით (სამკუთხედები, კვადრატები, ხუთკუთხედებიდა ასე შემდეგ), რომლებიცაღიქვამენ მხოლოდ 2 განზომილებას და ვერაფერსხედავენ თავიანთი სიბრტყისგარეთ.

• ისინი ვერ აღიქვამენმე–3 განზომილებას.

• ნახეთ ფილმისანონსი შემდეგვებგვერდზე:

• http://www.youtube.com/watch?v=C8oiwnNlyE4

მოულოდნელი ვიზიტორი

• ამ ბრტყელ სამყაროსმესამე განზომილებიდანეწვია სფერო, რომელმაცგადაკვეთა და გაიარასიბრტყე.

• ეს სრული სასწაულიიქნება ფლეტლანდიისმაცხოვრებლებისათვის.

• რას დაინახავენ ისინი?

• ისინი ჯერ დაინახავენწერტილს (როცა სფეროშეეხება სიბრტყეს), რომელიც სრულიადმოულოდნელად გაჩნდა.

• შემდეგ ეს წერტილიგადაიქცევა პატარაწრეწირად, რომელიც ნელ–ნელა იზრდება.

• შემდეგ წრეწირი ისევდაიწყებს კლებას დაბოლოს გაქრება.

• მე–3 განზომილებიდანმისულებს შეუძლიათკიდევ მრავალისასწაული ჩაატარონფლეტლანდიაში.

• მაგალითად, თუფლეტლანდიელს აქვსორი მარცხენაფეხსაცმელი (ნახეთნახატი), თავად იგივერაფრით ვერ მოირგებსმარცხენა ფეხსაცმელსმარჯვენა ფეხზე.

• მან როგორაც არ უნდაატრიალოს მარცხენაფეხსაცმელი, იგიმუდამ მარცხენაფეხსაცმლად დარჩება.

• შეგვიძლია თუ არაჩვენ, სამგანზომილებაშიმცხოვრებლებს, მათდავეხმაროთ?

• ძალიან ადვილადაცდავეხმარებით. საკმარისია ავიღოთფეხსაცმელი, გადმოვატრიალოთ დადავაბრუნოთ ისევ თავისსიბრტყეში(ფლეტლანდიაში).

• ესე იგი, ჩვენ გვჭირდება3–განზომილებიანსივრცეში გასვლა დამერე ისევ სიბრტყეშიდაბრუნება.

• ფეხსაცმლისგადმოტრიალება ესარის ფაქტიურად მისისარკულად ასახვა.

• თუმცა, თუფლეტლანდიაშიდავრჩებით, მაშინასეთი სარკულიასახვის ჩატარებაშეუძლებელია.

• ასევე ადვილიაფლეტლანდიური ბანკიდანსეიფის გატანა. უბრალოდ, სეიფს ოდნავ ავწევთსიბრტყიდან ზემოთ და სეიფიმომენტალურად გაქრებაფლეტლანდიელებისათვის.

• (სეიფამდე ჩვენ ძალიანადვილად მივალთ, რადგანაცკედლები ბანკს მხოლოდსიბრტყიდან შეღწევისაგანიცავს. სხვა მხრიდან საფრთხემათთვის არ არსებობს, რადგანაც თავად სხვა მხარე არარსებობს.)

ბანკი

• ჩვენ ზუსტად ასევეშეგვიძლია გავაქროთნებისმიერი საგანიფლეტლანდიაში დათუნდაც თვითონფლეტლანდიელი. (მერე კი წესიერებამოითხოვს იგი ისევ უკანდავაბრუნოთ.)

• (ესეც თქვენი მფრინავითეფშები.)

ბანკი

• ჩვენ ვხედავთ, რომ 1 განზომილების დამატებამ(სიბრტყიდან სივრცეშიგადასვლამ) მოქმედებისუზარმაზარითავისუფლება მოგვცა.

• ასეთივე უზარმაზარიგანსხვავებაა 3–განზომილებიან სივრცესა(რომელშიც ჩვენვცხოვრობთ) და 4–განზომილებიან სივრცესშორის.

• მაგალითად, მეოთხეგანზომილებაში გასვლითჩვენ ასევე ადვილადშეგვიძლია, ბანკიდან(არაფლეტლანდიური, არამედ ჩვეულებრივიბანკიდან) სეიფის გატანა.

სეიფი ბანკში ისევედაუცველია მეოთხეგანზომილებიდანშეღწევისაგან, როგორცფლეტლანდიურ ბანკშიიყო დაუცველი მე–3 განზომილებიდან.

• ასევე ადვილიაგულისტრანსპლანტაციაავადმყოფისგაუჭრელად, ადამიანის გაქრობადა ისევ დაბრუნება.

• ზუსტად ისევე, როგორცფლეტლანდიაში, ჩვენშეგვიძლია 3–განზომილებიანისივრციდან გავიტანოთმარცხენა ფეხსაცმელი 4–განზომილებიანსივრცეში, იქ“ამოვატრიალოთ” დადავაბრუნოთ უკან 3–განზომილებიანსივრცეში უკვე როგორცმარჯვენა ფეხსაცმელი.

• თქვენ შეიძლება თქვათ, რომ ფეხსაცმელი შეიძლება3–განზომილებიან ჩვენსივრცეშიც შეიძლებაამოვატრიალოთ. მართალია, პრინციპშიშეიძლება, ოღონდ ამშემთხვევაში მივიღებთშიდა მხარეს გარეთ. მე–4 განზომილება კისაშუალებას გვაძლევსმარცხენა ფეხსაცმელიმარჯვენადგადავეკეთოთო, ისე, რომგარე მხარე დარჩეს გარემხარედ.

• სხვათა შორის, 3–განზომილებიან სივრცეშიფეხსაცმლის ამოტრიალებაშესაძლებელია იმის გამო, რომ ფეხსაცმელი ღიაა. ბურთის ამობრუნებამაგალითად, შეუძლებელია(თუ ნახვრეტს არგავაკეთებთ).

• მე–4 განზომილებასაშუალებას გვაძლევსბურთის ამობრუნებისნახვრეტის გაკეთებისგარეშეც .

• ეს ზუსტად ისევე, როგორცჩვენ შეგვიძლიაფლეტლანდიური ბურთიამოვაბრუნოთ მესამეგანზომილებაში გატანით.

• ფლეტლანდიური ბურთი ესარის წრეწირი (რომელსაცსისქე აქვს).

• ეს წრეწირი შეიძლებაამოვაბრუნოთ სამგანზომილებაში გატანით(გარე მხარე შიგნით მოექცეს, გარკვეული დეფორმაციით).

ბიზნეს იდეა?

• კითხვა: დავუშვათთქვენ შეგიძლიათმე–4 განზომილებაშიგასვლა. ხომ არშემოგვთავაზებდითრაიმე ბიზნეს იდეასამასთანდაკავშირებით?

• ჩემი ვარიანტი: იაპონურიმარჯვენა რულიანიავტომობილების მარცხენარულიანად გადაკეთება.

ამისათვის არავითარიმექანიკური ჩარევა არიქნებოდა საჭირო. უბრალოდგავიტანდით ავტომობილსმე–4 განზომილებაში დაიქედან დავაბრუნებდითსარკულად ამოტრიალებულსმარცხენა რულით.

(ზუსტად ისევე მარტივად, როგორც ფეხსაცმელიამოვუტრიალეთფლეტლანდიელს.)

• ყველაფერი ეს შესანიშნავითემაა სამეცნიეროფანტასტიკის ჟანრისმწერლებისათვის.

• ჰერბერტ უელსს აქვსნაწარმოები, სადაც გმირიგადის 4–განზომილებიანსივრცეში, ხოლო შემდეგბრუნდება უკან უჩვეულოშედეგით: მისი გულიმარჯვენა მხარეს გადავიდადა თვითონ მარცხენახელით დაიწყო წერა.

• კითხვა: როგორდაწერდა, როგორცადრე, მარცხნიდანმარჯვნივ, თუპირიქით?

• პასუხი: მარჯვნიდანმარცხნივ(ჩვეულებრივი წერისსარკული ანარეკლი).

• მათემატიკურითვალსაზრისით 4–განზომილებიანი სივრცე3–განზომილებიანისივრცის ტრივიალურიგანზოგადებაა.

• 3 განზომილებაშინებისმიერი წერტილიმოიცემა 3 კოორდინატით. ამ აზრით შეიძლებავთქვათ, რომ რომ 3–განზომილებიანი სივრცისელემენტები ეს არისნამდვილი რიცხვებისსამეულები: (x,y,z).

• 4 –განზომილებიანისივრცე განიმარტება, როგორც ნამდვილირიცხვებისოთხეულებისაგანშემდგარი სიმრავლე: (x,y,z,u).

• ანალოგიურად შეიძლებაგანვსაზღვროთმათემატიკურად n–განზომილებიანი სივრცენებისმიერინატურალური n-ისთვის.

• არსებობს თუ არა 4 ან მეტგანზომილებიანი სივრცეფიზიკურად?

• ჩვენ რამდენ განზომილებაშივცხოვრობთ?

• როგორია ჩვენი სამყაროსგეომეტრია?

• ეს არის ფუნდამენტურიკითხვები, რომელზედაცაბსოლიტურად ზუსტიპასუხის გაცემაშეუძლებელია.

• აინშტაინის თეორიითჩვენი სამყარომათემატიკურადოთგანზომილებიანისფეროსექვივალენტურია. (აქედან სამი სივრცულიგანზომილებაა დამეოთხე კი დრო). ამასთანავე ეს სამყაროგამრუდებულია.

• რას ნიშნავს, რომსამყაროგამრუდებულია?

• დავუშვათ, რომფლეტლანდიელებიცხოვრობდნენ არასიბრტყეზე, არამედსფეროს ზედაპირზე. დავარქვათ ამასფლეტლანდია 2 (ისევორ განზომილებიანისამყარო).

• ისინი ვერაფერს ვერაღიქვამენ ამ სფეროსგარეთ.

• დავუშვათფლეტლანდიელს, რომელსაც, მაგალითად, სახლი უდგასჩრდილოეთ პოლუსზე, აქვს დიდი მრგვალიეზო.

• მისი სახლი დგას ამეზოს ცენტრში. იქნებათუ არა ამ მრგვალი ეზოსპერიმეტრის შეფარდებამის რადიუსთან 2–ისტოლი?

• არა, ეს შეფარდებაიქნება 2–ზე ნაკლები:

საქმე იმაშია, რომფლეტლანდიელიეზოს რადიუსს(მანძილს ჩრდილოეთპოლუსიდან ეზოსღობემდე) ზომავსსფეროს ზედაპირზე. მან ხომ სხვა სამყაროსარსებობა არ იცის.

• ზოგადად, მანძილიორ წერტილს შორისსფეროს ზედაპირზეგანისაზღვრებაისევე, როგორცმანძილი ორ ქალაქსშორის დედამიწისზედაპირზე, როცათვითმფრინავითმივფრინავთ(გეოდეზიური წირი).

• როგორ ვიპოვოთუმოკლესი გზა ორწერტილს შორის? როგორ ავაგოთ ესრკალი?

• გეომეტრიულად, ორწერტილს შორისუმოკლესი გზა რომავაგოთ, უნდა ავიღოთ ესორი წერტილი დაგავავლოთ მათზე სიბრტყე, რომელიც სფეროსცენტრზე გადის. ამსიბრტყის გადაკვეთასფეროსთან არის წრეწირი.

• ასე მიღებული წრეწირებსეწოდებათ დიდიწრეწირები. ამ წრეწირებისრადიუსი სფეროსრადიუსის ტოლია.

• ასე მიღებული სფერულიგეომეტრია არის რიმანისგეომეტრიის მაგალითი. აქ წრფეების როლსასრულებენ დიდიწრეწირები. რიმანისგეომეტრიაში წრფეებიარიან არა უსასრულო, არამედ სასრული.

• სფერული გეომეტრიამნიშვნელოვანიანავიგაციის საქმეში.

• ნებისმიერი ორი ასეთიწრფე გადაიკვეთება, ამიტომ წრფის გარეთმდებარე წერტილზე არგაივლება ამწრფისადმიპარალელური ერთიწრფეც კი.

• ეს გეომეტრია არისარაევკლიდურიგეომეტრიის ერთ–ერთი მაგალითი.

• თუ დიდ წრეწირებსდავარქმევთ წრფეებს, შეიძლება შემოწმება, რომ ეს გეომეტრიააკმაყოფილებსევკლიდეს ყველააქსიომას, გარდა მეხუთეაქსიომისა(პარალელურობისპოსტულატი), რომ:

წრფის გარეთ მდებარეწერტილზე გაივლებაზუსტად ერთი ამ წრფისპარალელური წრფე.

• ორი ათასწლეულზემეტი ხნის განმავლობაშიცდილობდნენდაემტკიცებინათ, რომევკლიდეს მეხუთეაქსიომა არ არისდამოუკიდებელიაქსიომა და რომ იგიგამომდინარეობსპირველი ოთხიდან.

• ზემოთ აღწერილიგეომეტრია ასაბუთებსამის შეუძლებლობას.

• იქნება თუ არასამკუთხედისკუთხეების ჯამი 180 გრადუსი?

• სამკუთხედისკუთხეების ჯამიყოველთვის 180 გრადუსზე მეტია.

• წრფეების განსაზღვრაგეოდეზიური წირების(უმოკლესი მანძილი) საშუალებით რიმანმასხვა ზედაპირებზეცგანაზოგადა.

• აინშტაინისფარდობითობისზოგად თეორიაშისივრცის გეომეტრიაარის რიმანისგეომეტრია.

• აინშტაინის დიდიდამსახურება იყო აზრი, რომ გეომეტრია უნდაშეესაბამებოდეს რეალურსამყაროს.

• მისგან განსხვავებით, ბევრი მათემატიკოსითვლიდა, რომ ყველაგეომეტრია ერთნაირადსაინტერესოა, თუკიმოცემული გეომეტრიისაქსიომათა სისტემათავისუფალიაწინააღმდეგობებისაგან.