目的

ナイキストフィルタおよびルートナイキストフィルタは，ディジタル変調方式におけるベースバンドでの帯

域制限フィルタとして重要な役割を果たしています．ルートナイキストフィルタの特性は周波数領域で定義さ

れることが多いのですが，ルートナイキストフィルタを フィルタとして構成するためにはルートナイキ

ストフィルタのインパルス応答が必要となります．本ドキュメントは周波数領域での特性を逆フーリエ変換す

ることによりインパルス応答を求める過程の詳細を明らかにすることを目的とします．

ルートナイキストフィルタの周波数応答

ルートナイキストフィルタの周波数応答 は式 および式 で定義されます．

はロールオフ率で， はカットオフ周波数で です．

図 ルートナイキストフィルタの周波数応答

の時

の時

ルートナイキストフィルタの時間応答

ルートナイキストフィルタの時間応答（インパルス応答） を求めるため，周波数応答を逆フーリエ変換

します．

の時

ここで を下記のように表し，見通しを良くします．

を求める

の積分区間が から であることに注目します． で， で

すから， かつ です．積分区間で となりますので，式 で

とおいて式 が得られます．

ここで とおき，三角関数の公式 を式 に適用することに

より式 を得ます．

とおき，オイラーの公式 を式 に適用することにより式

を得ます．

ここで式 を計算するために有用な定理を２つ導きます．

定理

ここで とおき，定理 を式 に適用することにより式 を得ます．

定理

式 に定理 を適用することにより式 を得ます．

式 で ， ， とおき，式 を得ます．

　　　　　　　　

以上により が求められました．ただし， です．

を求める

以上により が求められました．

を求める

の積分区間が から であることに注目します． で， ですか

ら， かつ です．積分区間で となりますので，式 で とおい

て式 が得られます．

ここで とおき，三角関数の公式 を式 に適用すること

により式 を得ます．

ここで とおき，オイラーの公式 を式 に適用することに

より式 を得ます．

ここで式 を計算するために有用な定理を１つ導きます．

ここで とおき，定理 を式 に適用することにより式 を得ます．

定理

式 に定理 を適用することにより式 を得ます．

式 で ， ， とおき，式 を得ます．

　　　　　　　　

以上により が求められました．ただし， です．

を求める

式 と以上までの結果から を求めます．

以上により の時の が求まりました．

の時

式 は， で としたものとして計算できるから

以上により の時の が求まりました．

結果

の時

周波数応答

インパルス応答

の時

周波数応答

インパルス応答