年度春季大会チュートリアルセッ 日本経済学会 日本学術会議数...

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日本経済学会 年度春季大会チュートリアルセッ ション 日本学術会議 数量的経済・政策分析分科会 との共催 「動学的マクロモデルの計量分析」 モデルの概要 藤原一平 日本銀行金融市場局 および モデルの ベイズ分析 渡部敏明 一橋大学経済研究所

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日本経済学会����年度春季大会チュートリアルセッション �日本学術会議 数量的経済・政策分析分科会との共催�

「動学的マクロモデルの計量分析」

����年�月�日

��� ����モデルの概要

藤原一平 �日本銀行金融市場局�

��� ����および������モデルの � �ベイズ分析

渡部敏明 �一橋大学経済研究所�

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1

動学的マクロモデルの計量分析

(1)DSGEモデルの概要

日本銀行・金融市場局

藤原 一平

本稿に示された内容は、筆者個人に属し、日本銀行の公式見解を示すものではない。

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報告の構成

• イントロダクション

• 一般均衡モデル

• DSGEモデル─ 新古典派成長モデル─ ニュー・ケインジアン・モデル─ 解の唯一性─ CEEモデル

• 今後の課題

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3

• イントロダクション

• 一般均衡モデル

• DSGEモデル─ 新古典派成長モデル─ ニュー・ケインジアン・モデル─ 解の唯一性─ CEEモデル

• 今後の課題

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報告の目的

• 中央銀行等の政策機関では、確率的動学一般均衡(Dynamic Stochastic General Equilibrium:DSGE)モデルを用いた経済予測、および、政策シミュレーションが、頻繁に行われている。

• 本報告の目的は、DSGEモデルの概要(すなわち、モデルの導出と解法)を理解すること。

• きわめて単純なモデルから、現実説明力の高いChristiano, Eichenbaum and Evans (JPE2005)モデルまでをフォロー。

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5

マクロモデルの歴史

• ケインズ(ヒックス)のIS-LMモデル

• クラインによる大型ケインジアン・モデル

• DSGEモデル- リアル・ビジネス・サイクル・モデル- ニュー・ケインジアン・モデル

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アカウンティング・ツールとしての理論モデル

• 全ての理論モデルは以下で表現可能。

「現在の変数」=A×「説明変数」+B×「期待変数」+「ショック」

• Ⓐパラメーター(A,B)選択、Ⓑ期待の評価、Ⓒショックの評価(説明変数選択)、のいずれかでどんな変数も説明できる。

• マクロ理論は、変数の動きを、Ⓐ 、 Ⓑ 、 Ⓒに分解(識別)するためのツール。

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合理性(合理的期待)の仮定

(再掲)「現在の変数」=A×「説明変数」+B×「期待変数」+「ショック」

• 期待の評価(期待形成の仮定)次第で、どんな変数も説明できる。すなわち、期待に関するアド・ホックな仮定は、無数の可能性を提示する。

• 理論では、「スーパー・スマート」な個人が、全ての情報を吟味して、期待を形成し、行動を決定。このケースは、議論のベンチマークになる。

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理論なき推定

• フィリップス曲線を単純に推定すると、中央銀行の政策スタンス次第で、ラグにかかるパラメーター(C)が変化する可能性。

インフレ率=C×インフレ率(-1)+D×GDP

• インフレ・ファイティングな政策(ルール)を用いた場合には、Cは小さくなるはず。

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ルーカス批判

• 政策分析をしたいのに、政策次第でモデルのパラメーターが変化する。これでは政策分析できない(ルーカス批判)。

• 理論モデル(ニュー・ケインジアン・モデル)では、フィリップス曲線のパラメーターは、家計の割引率といった政策に対して不変と考えられるパラメーター(deep parameter)で表現される。

• 政策分析にはミクロ的基盤のある理論モデルが必要不可欠。

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• イントロダクション

• 一般均衡モデル

• DSGEモデル─ 新古典派成長モデル─ ニュー・ケインジアン・モデル─ 解の唯一性─ CEEモデル

• 今後の課題

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一般均衡モデル

• 方程式が、各経済主体の最適化問題より導出される。

• 各企業は、要素価格を所与として、利潤を最大化するように、生産要素(労働等)を選択。

• 各消費者は、価格を所与として、効用を最大化するように、消費水準と余暇を選択。

• このような問題から求まる均衡(最適選択の結果としての需要と供給をバランスする均衡)を競争均衡と呼ぶ。

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• 企業の問題:maxLΠ=PY-WL

s.t. Y=ALα

• 家計の問題:maxC,L U=u(C)-v(L)

s.t. PC=WL+Π

• 財市場均衡: Y=C

Y

L

C

1-L

利潤

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1-L

C

Π*=P*C-W*L

(C*,L*)

E

Eでは、家計の効用最大化と企業の利潤最大化が共に達成される。

同時に財への需給の一致するところで価格も決定される。●

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14

C

L

C

1-L

W/P↓ ●

●W/P↑

W/P

L

(家計)労働供給(企業)労働需要

E

要素需要曲線と要素供給曲線が、単調的で連続であれば、唯一の均衡が定まる。

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• イントロダクション

• 一般均衡モデル

• DSGEモデル─ 新古典派成長モデル─ ニュー・ケインジアン・モデル─ 解の唯一性─ CEEモデル

• 今後の課題および発展

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新古典派成長モデル

• 社会計画者が、経済主体の効用を最大化するような経済を考える。

• 一見、非現実的にみえるが、経済に歪み(Distortion)や外部性がない場合には、このような社会計画者の配分と、それぞれの主体が自身の効用を最大化するように行動した結果として得られる競争均衡の配分は等しくなる。

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社会計画者の問題

• 社会計画者は、以下のように定義される社会全体の効用を

以下の資源制約式と資本遷移式(と初期条件)の下、最大化する。

0

0

t

tt

t hvCuE

tttt hKfIC ,

ttt IKK 11

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関数形の設定

• 消費からくる効用と、労働からの限界不効用、および生産関数について、以下のような関数形を想定。

1

1t

t

CCu

2

2

tt

hhv

1, tttt hKhKf

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モデル• 1階の必要条件(必要十分条件となるが、これには別途証明が必要)より、以下の3式よりなるモデルが構築される。

1

1 1 ttttt hKKKC

tttt hKCh 1

111 tttt hKEC

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定常状態

• このモデルは安定的であるため(証明については後述)、経済は、以下で定義される定常状態に収斂する。

1

h

K

K

C

h

KCh 1

1

11

h

K

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モデルの解法• すべての内生変数を、非線形の状態変数よるなる関数で表現することによって、解を求める方法もある(この場合、価値関数、すなわち解の唯一性を縮小写像で証明)が、推定等を行う場合には、モデルを定常状態周りで線形対数近似し、これを状態空間表現した上で、内生変数を線形の状態変数よりなる関数で表現する場合が多い。

X

XX

X

XX tt

t

logˆ

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対数線形近似モデル

• 対数線形近似後のモデルは以下の3式で表現される。

ttttt hKKY

KK

Y

KC

Y

C ˆ1ˆˆ1ˆˆ1

ttt KCh ˆ1ˆˆ1

11

1

ˆ1ˆ1

ˆ1ˆ

ttt

ttt

hEK

CEK

YC

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新古典派成長モデルの解• 上記モデルは一つの式に集約可能。

• 以下に変形(r1、r2は2次方程式の根)。

• r1の絶対値のみが1より大きければ、解が求まる。

0ˆˆˆ31221 ttt KKK

0ˆ11

11

0ˆˆˆˆ

2

21

2

2

3212

2

32221

t

tttt

KLr

Lr

KLLKLKLK

1

1

2ˆ1ˆ

tt Kr

K

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• イントロダクション

• 一般均衡モデル

• DSGEモデル─ 新古典派成長モデル─ ニュー・ケインジアン・モデル─ 解の唯一性─ CEEモデル

• 今後の課題

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ニュー・ケインジアン・モデル

• 価格が緩やかにしか調整されないことを仮定。

• この結果、将来価格を変更できない可能性も考慮しながら、企業は足許の価格を設定。

• 例えば、企業が、来期は価格を変更できないと予測すると、今期の価格を、今期と来期の限界費用を基に設定(フォワード・ルッキングな価格設定)。

• 詳細は、例えば、加藤(2006)を参照。

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モデル• 金利が上昇すると、需要が低下することを表現した動学IS曲線(オイラー方程式)

• 需要が増加すると、物価が上昇することを表現したフィリップス曲線

• 物価が上昇した場合に、金利を引き上げるような政策ルール(テイラー・ルール)

n

tttttt rEixx

1

1

1

tttt xE 1

tti

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状態空間表現

• 上記のモデルは、以下の状態空間表現が可能。

n

t

tt

tt

t

tr

E

xEx

0

1

0

1

1 1

1

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• Ωの固有値が2つとも1より小さければ(左辺と右辺が逆の場合には、1より大きければ) 、合理的期待均衡が存在する。

n

t

tt

tt

n

t

tt

tt

n

t

tt

tt

t

t

rE

xE

rE

xE

rE

xEx

111

1111

0

1

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

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解の唯一性• 線形モデルは、すべて、以下のような状態空間表現が可能。

• 以下のような固有値分解

1

1

t

t

t

ttE

22

21

21

111

2

1

1

0

0

t

t

t

tT

TT

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を用いると、以下のように変形される

• ここで、 であったとすると、1行目は発散してしまうため、解の存在には、

が満たされなくてはならない。

• 一方、2行目については、上条件を用いると、

が導出される。

12212

2111

2

11

2221

1211

0

0

t

t

t

tt

tt

ttE

tt

tt

1 , 1 21

012122 tt tt

1

22

2121112

22

212111

tt

t

ttt

t

ttt

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• 上記2式:

より、状態変数(Ψ)の初期値を用いれば、定常状態に収斂するような合理的期待均衡、すなわち、解を求めることができる。

• フォワード・ルッキング変数の数と1より大きい固有値の数が一致すると、ユニークな合理的期待均衡が求まる(主観的割引率の存在により、ユニークに解が決まることが多い)。

012122 tt tt

1

22

2121112

22

212111

tt

t

ttt

t

ttt

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• 今後の課題

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CEEモデル

• データ説明力の高さから、中央銀行をはじめとした政策機関では、CEEモデルをベースにしたコア・モデルがとして用いられている。

• 消費、および、投資のショックに対する緩やかな反応を表現するために、消費の習慣形成(過去の消費に今期の消費は影響を受ける)、投資成長率の調整コスト(前期に比べ投資を増減させるとコストがかかる)等が組み込まれている。

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家計の問題• 各家計iは、以下のように定義される効用を

予算制約式、資本の遷移式、労働需要曲線を制約に最大化する。

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企業の問題

• 各企業jは、以下のように定義される利潤を

以下の財需要曲線の下で最大化するように、個別価格を設定する。

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中央銀行

• 中央銀行は、以下のような政策ルールに基づき、金利を設定する。

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対数線形近似モデル

• 状態空間表現が可能。

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• イントロダクション

• 一般均衡モデル

• DSGEモデル─ 新古典派成長モデル─ ニュー・ケインジアン・モデル─ CEEモデル

• 今後の課題

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今後の課題• 金融市場の不完全性の取り組み:Bernanke et

al(1999)、Kiyotaki and Moore(1997)

• 失業の組み込み:Gertler and Trigari (2009)、Blanchard and Gali (2007)

• ニュース・ショックの組み込み:Schmitt-Grohe and

Uribe (2008)、Fujiwara et al (2008)

• 多国間モデルの推定: Lubik and Schorfheide

(2005)

• 非線形推定:Rubio-Ramirez and Fernandez-

Villarverde (2005)

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参考文献• 加藤、2006、現代マクロ経済学講義-動学的一般均衡モデル、東洋経済新報社• Bernanke, Gertler and Gilchrist, 1999, “The Financial Accelerator in a

Quantitative Business Cycle Framework,” Handbook of Macroeconomics

• Blanchard and Gali, 2007, “Real Wage Rigidities and the New Keynesian Model,” Journal of Money, Credit and Banking

• Christiano, Eichenbaum and Evans, 2005, “Nominal Rigidities and the Dynamic Effects of a Shock to Monetary Policy,” Journal of Political Economy

• Fujiwara, Hirose and Shintani, 2008, “Can News Be a Major Source of Aggregate Fluctuations?” BOJ-IMES Discussion Paper

• Gertler and Trigari, 2009, “Unemployment Dynamics with Staggered Nash Wage Bargaining” Journal of Political Economy (forthcoming)

• Kiyotaki and Moore, 1997, “Credit Cycles,” Journal of Political Economy

• Lubik and Schorfheide, 2005, “A Bayesian Look at New Open Economy Macroeconomics,” NBER Macroeconomics Annual

• Rubio-Ramirez and Fernandez-Villarverde, 2005, “Estimating Dynamic Equilibrium Econoies: Linear versus Nonlinear Likelihood,” Journal of Applied Econometrics

• Schmitt-Grohe and Uribe, 2008, “What’s News in Business Cycles,” NBER Working Paper

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動学的マクロモデルの計量分析��� ����および������モデルの

� � ベイズ分析

渡部敏明

一橋大学経済研究所

� � �

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はじめに

����モデル

� 家計や企業はさまざまなショックの下で動学的な期待効用や期待利潤の最大化を行う�

� その結果得られる一般均衡を分析する�

� ����� �� � ������ ������の���からスタート�

� その後�さまざまな市場の摩擦を加えたニュー・ケインジアン・モデルに発展�

� ショックの識別が容易にできる� � ���

� そこで�マクロ経済学者だけでなく�中央銀行などの政策当局の関心も集めている�

� � �

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はじめに

����モデルの推定法

� ����モデルの分析手法として� ����を用いたベイズ推定法が用いられるようになってきている�

� この手法について解説した文献� �������� ������ � ����� ������

� �� � ��������� � ������

� ������ ��� �!!"�� � ����#�

� $��" ������

� %�&��' � %"� ������

� (�!���) ������

� *�+�)� ���,��

� この手法を有名にしたもの� ����� � ��-���� ����.�

� %��� �矢野 ����/��

� � �

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はじめに

����モデルの推定法� 日本のマクロデータへの応用

� �������� ������ � ����� ������

� �-'� � 0� ����/�

� ����-�� 1-���-�� � �-�)+ ����/�

� 岩田 ����#�

� � �

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����モデルの����ベイズ推定

従来のベイズ推定

�� 事前分布 ����を設定する�

�� ベイズの定理

������� ��������������������������

を用いて事後分布を求める�

� 事後分布を用いて �を推定する�

� � �

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����モデルの����ベイズ推定

����を用いたベイズ推定

�� 事前分布 ����を設定する�

�� ����を用いて�事後分布 �������から �をサンプリングする�

� サンプリングされた値を用いて� �を推定する�

� � �

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����モデルの����ベイズ推定

����ベイズ推定の利点

� 事前分布に事前情報を反映できる�

� パラメータの関数も事後分布からサンプリングできるので�例えばインパルス応答関数をパラメータの不確実性を考慮して導出できる�

� 事後オッズ比を用いたベイズのモデル比較では�互いに入れ子になっていないモデル同士 �����と ����でも比較できる�

� � �

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����モデルの����ベイズ推定

����

� �回前にサンプリングされた値を使って次の値をサンプリングする方法の総称�

�,� ギブス・サンプラー��� メトロポリス・ヘイスティングス �23�アルゴリズム

� 和合 ��!!"��中妻 ��!!#��小西・越智・大森 ��!!��

� ����モデルの先行研究では� �$アルゴリズムが用いられている�

事後分布

������� ��������������������������

� �������������������尤度

� ��������事前分布

� �

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����モデルの����ベイズ推定

����モデルの尤度� ����モデルは以下の線形ガウシアン状態空間モデルで表せる�

� 観測方程式4� � � ���

� 推移方程式4

�� � ������ ���� � � � � � ��% ��� ��

� 線形ガウシアン状態空間モデルの尤度は�カルマン・フィルタを用いることにより計算できる ��% &'� ��

���()� ��!!��� $ *�� ������� �') �� +����

��������

� �

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����モデルの����ベイズ推定

�$アルゴリズム

� �,'& �� � ���&� - ����"�

� ����からサンプリングしたいとする�

� まず�提案密度関数 ���������と初期値 �� を選択する�

� 次に�以下のアルゴリズムを用いて ���� � � � � ���をサンプリングする�

�� � �

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����モデルの����ベイズ推定

�$アルゴリズム

��� � � �とする�

��� 提案密度関数 ���������からサンプリングし�サンプリングされた値 �

��������� と �回前にサンプリングされた

値 ���� を用いて�次の確率を計算する�

� � )'�

������ ������������ ������������������ �

������������������� ������

� �

�� � �

��������� を確率 �で受容し�残りの確率 � � � で棄却する� 受容されたら� �� � �

��������� �棄却されたら�

�� � ���� とする�

�.� � � � であれば� � � � � �として ���に戻る� � � � であれば�終了�

�� � �

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����モデルの����ベイズ推定

�$アルゴリズム

� � � �とすると� �� は ����からサンプリングされた変数に確率収束する�

� そこで� �を十分大きな数とすると� ������ � � � � �����は����からサンプリングされた値と見なせる�

� 最初の ���� � � � � ���を捨て �捨てる最初の�回を/&% �0'�1と呼ぶ��残りの ������ � � � � �����を用いて推定を行えばよい�

�� � �

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����モデルの����ベイズ推定

ランダム・ウオーク�$

� 先行研究ではこの方法をが用いられている�

� ���������� を下記のランダム・ウオーク・モデルからサンプリングする�

���������� � ���� � �� � �� � +2��!� ���

ここで� ��を ����のモードとすると� � は � � �����のヘッシアンの逆行列� � は調整係数である�

�� � �

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����モデルの����ベイズ推定

ランダム・ウオーク�$

� そうすると�

����������������� � � ������������ ������

となるので�

� � )'�

������ ������������ �

�������� �

�となり� �は提案密度関数 ���������に依存しなくなる�

�� � �

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����モデルの����ベイズ推定

ランダム・ウオーク�$

� ���������� が ���� とあまり離れないようにする必要がある� そうしないと� �が低くなる可能性あり�

� そのためには�調整係数 � を小さくする必要があるが�

� をあまり小さくすると�狭い範囲からしかサンプリングされなくなる�

� そこで� � は受容確率が �"�程度になるように調整するのが望ましいとされている�

� ��(�'*� ����) 34 �$5 ��&� �� �� ������,

��!!#�� ��&� �� �� ������, ��!!��� ������,

��!�!��

� 他の方法5 �,'& �� �))% �,� ��!�!��

�� � �

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����モデルの����ベイズ推定

事後分析

� 各パラメータの平均や分散は &% �0'�以降にサンプリングされた値の標本平均や標本分散として推定できる�

� 各パラメータの �!6信用区間 �� ��'&� '��� *�を求めるには� &% �0'�以降にサンプリングされた値を大きさの順に並べ替え�上 "6と下 "6の値をとればよい�

� 関数 ����の平均を推定するには� &% �0'�以降にサンプリングされた �の値を ����に代入し�その標本平均を計算すればよい�

� 関数 ����の �!6信用区間も同様に求められる�

�� � �

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����モデルの����ベイズ推定

標準誤差の計算

� ただし�サンプリングされた値には自己相関があるので�平均の標準誤差を計算する際には注意が必要� 例えば�以下の � 7�� 8'���8を使うと計算できる�

�� ���� � �

�����������!� � �

� �

�� ���

��

��

������

������ �

� �����

����� � ��������� � ��

��9&�� 8'��,

� � �

������� � � : � � : �� �!� �

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��� � �

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����モデルの����ベイズ推定

��統計量� ����法が収束したかどうかを判定する統計量には�

例えば� ��8�4� ������の�� ����*� -����

�'-����'��統計量がある� これは� &% �0'�以降の個のサンプルの中の最初から� 個のサンプルの平均 ���と最後から� 個のサンプルの平均 ��� を使って以下のように計算される�

�� ���� � ������ ����� ��� �����

� ����法が収束していれば�これは漸近的に標準正規分布に従う�

� ��8�4� ������は � � !��� � � !�" とすることを推奨している�

� � �

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���モデル

ニュー・ケインジアン����モデル

� ����モデルは�市場の摩擦を加えたニュー・ケインジアン����モデルとして発展�

� ニュー・ケインジアン ����モデルの中で�米欧のマクロデータにフィットが良いのが �, '��'��� �'�,��&%)

�� �*�� ��!!"�によって提案された���モデル�

� このモデルは以下のような市場の摩擦を導入�

�,� $!"� �,#/.�型の価格・賃金の硬直性��� 消費の習慣形成�.� 投資の調整コスト�5� 可変資本稼働率

� インフレや生産のショックの持続性をうまく説明できる�

� � �

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���モデル

家計

� 効用関数

��

� ���

����������� � ���

����

� � �

��� �

����

�� �

� ���� 5 実質消費�� 5 習慣形成� �� � �����

�� 5 労働供給� 5 長期 2��の逆数� 5 労働供給弾力性の逆数�� 5 選好ショック�� 5 労働供給ショック

�� � �

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���モデル

家計� 予算制約

�� � �� ��� � ���� � ������ ������������������������������������������������������������������名目総支出

� �������� ��� �� � ��� ��� � ������������������������������������������������������������������������������������

名目総収入

�� 5 債券保有� �� 5 価格指数�

���� 5 投資� � 5 資本保有�

�� 5 資本稼働率�

�����5 資本利用コスト� ����� � !� ������ � !�

����5 �;名目利子率�

�� 5 名目賃金� �� 5 労働供給�

��� 5 資本のレンタル率� ���� 5 名目配当

�� � �

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���モデル

家計

� 資本蓄積

��� � �� � �� ��� � �

������ ����������

������

5 資本減耗率� ����� 5 投資ショック

� 資本の調整コスト

�����

������

��

�����

������� �

��

�5 調整コストの逆数

�� � �

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���モデル

家計

� ���

� ���

��

���������������� � ���

����

� � �

������

�� �

�� ��

�����

���� � �� �� � ��� ��� � ����

��� � �� � ���� � ������

���

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������ � ���

��

�� � �

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���モデル

家計

� <=�>�

� � �� � ��� � ��������� ��

� � �� � ���

���

���

����

�� � �

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���モデル

対数線形モデル�� � ���� � ������

��� ����%)(�'�� �%� �?%�'��5

��� ��

�� ������ �

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��� 2�*���)��� �%� �?%�'��5

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���モデル

対数線形モデル

� � ����� � '�'�- �%� �?%�'��5

��� � �� ������������

� �

� � � ����������

��

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������

�.� �� 8-� 8 �@ )��'��5

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���モデル

対数線形モデル

�"� �('� ��%)%�'�� �?%�'��5

��� � �� � ������ � ���� ����:� ���� )'�')'7�'�� ����'�'��5

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���モデル

対数線形モデル

��� 2�A�'�� 8 �@ )��'��5

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���モデル

対数線形モデル

��!� � 4�� �� '�- ����'�'��5

��� � �� � ��������� � �� ���� � ���������� � ���

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���モデル

対数線形モデル

���� � �@� ���� �,��45 �� � �����

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��.� B&� �%((� �,��45 �� � ����� � ��

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���モデル

対数線形モデル体系

���� � ������ � �� � ��

� 内生変数ベクトル5

�� ���� � � ��� � �� � ���� � �� ��� � ��� � �� ��� �����������������

��������� ���������������������� �

� � �

���� � �� � �

�� � �

� �

� 外生ショックベクトル5

�� � ��� � ����� � �

� � �� � �

�� � �

�� � �

� � ��

� � ���

� 予測誤差ベクトル5

�� � ���� � ��� � �

� � ����� � �� � �

���

�� � �

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���モデル

合理的期待均衡

� 合理的期待を仮定し� �')� ��!!��の方法によって対数線形モデル体系を解くと�以下の線形状態空間モデルが得られる�

�� � ���

�� � ������ �����

� ただし� ����モデルのパラメータの値によっては�解が無かったり�複数の可能性もある �B%&'4 ��

��,� @,�'�� ��!!.���

� ベイズ推定では�そうしたケースを事前分布で排除できる�

�� � �

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日本のマクロデータへの応用

2'&��,'� +'�,'�) �� 3��&� ��!!:�よりデータ標本期間5 ��#!D� �� ����D. ���: �&�� *�'����

� 一人当たり実質���9名目���E労働人口

� 一人当たり実質消費 9名目消費E労働人口

� 一人当たり実質投資 9名目投資E労働人口

� 労働投入 9労働時間指数 �総雇用E労働人口

� 実質賃金指数 9名目賃金指数E���デフレータ

� ���デフレータの変化率

� 無担保コールレート

� すべて $�フィルターによりトレンドを除去した�

�� � �

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���モデルの推定結果

F&� �� � '� �'�� '&%�'��� �@ �,� � )��� �

� � ������ �� ����� ���� �� � �� ��

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�� ����� ��&�) ��!� ��� ���� ����

�� + �� ��&�) ��!� ��� ���� ����

�� , �"! ����� �!#��"��� ��!�� ��� ���� ����

�� , �"! + �� �!#��"��� ��!�� ��� ���� ����

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� �!����- ��. ��!� �!�� � ��� ���

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� �������- ��� ������ ��� ��� ���

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���モデルの推定結果

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�� �� ! ��!�/�

�� ��� ������ ��!�/ ��"� � �� ��� �

�� ��"������� ��!�/ ��"� � �� ��� �

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�� ��!&����"��� ��!�/ ��"� � �� ��� �

�� ����� � �/�� ��!�/ ��"� � �� ���� �

�� � �!� ������ ��!�/ ��"� � �� ��� �

�� + �� � �/�� ��!�/ ��"� � �� ���� �

�� �!"� �)���&����� ��!�/ ��"� � �� ��� �

�� �!��� �� �!���� ��!�/ ��"� � �� ��� �

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���モデルの推定結果

F&� �� ����� '� �'�� '&%�'��� �@ �,� � )��� �

�1 21 3211 $41

5����6 5����6 5����6 5����6

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�� ���� ���� ����� ����� ���� ���� 7 ����� ����� 8 #�����

�� ����� ����� ���� ����� ���� ���� 7 ����� ���8 #�����

��� ���� ������ ������ ��� ����� ���� 7 ���� �� 8 ����

� ����� ���� ���� ���� ���� ���� 7 ���� ��� 8 �����

� ����� ���� ����� ���� ����� ����� 7 ����� ���� 8 #����

�� ����� ����� ���� ����� ����� ���� 7 ���� ����8 �����

�� ���� ����� ���� ���� ����� ����� 7 ����� ���� 8 #�����

�� ���� ���� ���� ����� ����� ����� 7 ���� ����� 8 #���

�� ����� ����� ����� ����� ����� ����� 7 ����� ����� 8 �����

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���モデルの推定結果

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�1 21 3211 $41

5����6 5����6 5����6 5����6

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� ���� ���� ���� ���� ����� ����� 7 ����� ����8 �����

� ��� ���� ��� ����� ����� ����� 7 ���� ����� 8 ����

� ���� ���� ����� ���� ����� ���� 7 ���� ����8 ����

�� �� ! ��!�/�

�� ����� ���� ����� ����� ����� ����� 7 ����� ����� 8 #����

�� ����� ���� ����� ����� ����� ����� 7 ���� ����� 8 �����

�� ����� ����� ����� ����� ����� ����� 7 ��� ����� 8 ��

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���モデルの推定結果

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Figure 1. Data

Note: Series output: Real GDP per labour force, seasonally adjusted (unit is 1 million yen at1990). Series consumption: Real consumption per labour force, s.a., (unit same as above). Seriesinvestment: Real investment per labour force, s.a., (unit same as above). Series Labor: Labourinput index = (Work hour index*Total Employment) / Labour Population. Series wage: Real wageindex = Nominal wage index / GDP deflator. Series inflation: GDP deflator inflation rate (quar-terly, annual rate, decadal demeaned). Series Nominal Interest Rate: Uncollateralized call rate(annual rate, decadal demeaned). Output, consumption, investment, labor and wage are trans-formed to their logarithms and then detrended using the Hodrick and Prescott (HP) filter. Nominalrate and inflation are detrended using HP filter without log-transformation. After those procedure,all above data are obtained by being demeaned.

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Figure 3A. Productivity Shock

Note: The straight line plot the median response. The dush lines plot the 5th and the 95 percentilesof the response.

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Figure 3B. Labor Supply Shock

Note: The straight line plot the median response. The dush lines plot the 5th and the 95 percentilesof the response.

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Figure 3C. Wage Markup Shock

Note: The straight line plot the median response. The dush lines plot the 5th and the 95 percentilesof the response.

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Figure 3D. Price Markup Shock

Note: The straight line plot the median response. The dush lines plot the 5th and the 95 percentilesof the response.

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Figure 3E. Preference Shock

Note: The straight line plot the median response. The dush lines plot the 5th and the 95 percentilesof the response.

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Figure 3F. Investment Shock

Note: The straight line plot the median response. The dush lines plot the 5th and the 95 percentilesof the response.

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Figure 3G. Equity Premium Shock

Note: The straight line plot the median response. The dush lines plot the 5th and the 95 percentilesof the response.

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Figure 3H. Government Spending Shock

Note: The straight line plot the median response. The dush lines plot the 5th and the 95 percentilesof the response.

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Figure 3I. Monetary Policy Shock

Note: The straight line plot the median response. The dush lines plot the 5th and the 95 percentilesof the response.

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����モデルの計量分析の発展

��� モデルの改良 ��%-� �� H�� ��!!��� 2�,'%�� �% �7%)'

�� �%�48 ��!!���

��� ゼロ金利制約 ��--� ����� �� 3���@� � ��!! �� I%�-�

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B�*'� �� � ��!�!��

� � マルコフスイッチング����モデル ��� ��!!���

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�.� トレンド ���'- �� � ��!�!�� �� +�- � �� ��,� @,�'��

��!!.�� �� +�- � �� � ��!!:�� ��K�)'� �� I%' �

��!!���

�"� 事前分布 ��� +�- � �� ��,� @,�'�� ��!!���

�:� 識別 ����* �� � ��!!��� 2�4 �* ��!�!��

�#� 最適金融政策 �B�*'� �� � ��!!:��

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モデル選択

事後オッズ比

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!������

!���

!���

� !������!������5 ベイズ・ファクター� !���!���5 事前オッズ比� !������ � !������5 周辺尤度� !������!������ � �であれば�を選択�

� どちらのモデルが正しいか事前情報が無い場合�

!���!��� � �とする�

� その場合�!������

!�������

!������

!������

となるので�周辺尤度の高いモデルを選択する��� � �

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モデル選択

周辺尤度の修正調和平均推定量

� ����を用いた周辺尤度の計算にはいくつかの方法が提案されているが� ����や ����0���モデルの先行研究では� ��8�4� ������によって提案された修正調和平均推定量が用いられている �渡部 ��!!����

�� � �

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モデル選択

周辺尤度の修正調和平均推定量

� ����を何らかの確率密度関数であるとする� そうすると�以下の式が成り立つ�

�����

�����������

��

�����

��������������������

�����

�����������

�����������

�������

�����

�������

��

�����

�������

��

�����

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モデル選択

周辺尤度の修正調和平均推定量� したがって�周辺尤度は以下のように推定できる�

����� ��

�����

�����������

� ������� ��

� ���

�����

�������������

���

� +�8��� �� �@� � ����.�は� ���� � ����とすることを提案している� そうすると�上の式は以下のように簡単になる�

�����

������� ��� ���

��������

���

� これは�周辺尤度の調和平均推定量と呼ばれる� しかし�

��������が !に近くなることがあるので�そうすると値が不安定になる�

�� � �

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モデル選択

周辺尤度の修正調和平均推定量� この問題を解消するために� ��8�4� ������は ����を以下の切断正規分布にした修正調和平均推定量を提案している�

���� � ���� ������������ �C(

���

��� � �������� � ��

�"

��� � �������� � �� � #��

���

���

ここで� � は �の次元� #��

���

��は自由度 � の �� 分布の

��@の逆関数である� ��8�4� ������では� �と �を�それぞれ����により事後分布からサンプリングされた�の標本平均と標本分散共分散行列にしている� "��は括弧の中の不等式が満たされれば ��満たされなければ!となる指示関数である�

�� � �

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モデル選択

���� *� ���

� �)��� �� 3�%�� � ��!! � 5 ���モデルと ���の事後オッズ比より� ���モデルと ���モデルのフィットがほぼ同等であることを示した�

� �')� ��!! �の批判5

�,� 6�� !�7� �,#8�� (� �9 ������ �,#/���

��� トレンドの除去

� �� +�- � �� � ��!!:� 5

�,� ����� � ��-���� ����.�の結果は事前分布の選択や標本期間に依存する:� %�*;� �< �%�! ��'�� �

��������� � ����5��

��� トレンドの内生化 ��!��' �� !: ���,���

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������モデル

���モデル

� � ��� ���� ��� � � � ����� ��� � ��

�� � +2� ������

�� � �

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������モデル

� ���モデルの事前分布を����モデルを用いて設定するのが� ����0���モデル�

� サンプル数を$ とすると� ����モデルから発生させた�$ の人工的データに基づいて事前分布を設定�

� ただし�実際には����モデルからデータを発生させるわけではなく�事前分布の中の標本モーメントを母集団のモーメントに置き換える�

� �を大きくすると����モデルからの情報をより使うことになる�

� そこで� �を変えて周辺尤度を計算することにより�

����モデルの情報がどの程度���の推定に有用であるか分析できる�

�� � �

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������ ��� �

���モデル

� ���モデルを以下のように表わす�

� � ��� �

� � � � �� � � � �ベクトル

� � � ���� � � � ��� � �$ � ��

� � � �� �!

� � � ��� ������ � � � � �

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� � � ��� � � � � � � �$ � ��

� � � ���� � � � ��� � �$ � ��

� � � ������� � � � ���� �� � ��

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������モデル

事前分布

� パラメータ �の����モデルから $ � � �$ の人工的データ � �を発生させる�

� このデータを ���モデルに当てはめたときの尤度は�

��� ����������

� ��������� �C(

���

��

��� �� ��

� ���

� ��

� �

�� ��

� �� ��

� ��

� ���

!�� ここで� � ��

� �� � ��

� �� � ��

� �� � ��

� � をそれらの期待値�$��

������ �$�������� �$�

������� �$�

������に置き換える�

例えば� ������� � ��� ��

��

� � �

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������モデル

事前分布

� ������� � ������������ とすると�

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��� ����������������������

� ����������� �

��������� �C(

���

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������モデル

事前分布

� �$ � � �で �������の逆行列が存在すれば�

���� � �� �������$��������

������$�������

���������

������������ ������� �"

���

����$ � � � � � ���

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������モデル

事前分布

� 逆ウイッシャート・正規事前分布

���� � 23��$������� �$ � � � ��

����� � � +��������� � ��$��������

���

ここで�

����� � ����

�� ����������

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����� � ��������

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������モデル

事後分布

� �����������も逆ウイッシャート・正規分布になる�

���� � � � 23���� ��$ ������� ��� ��$ � � � ��

��� ���� � � +� �������� � ��$������� � �

�����

ここで�

����� ���$������� � �

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������モデル

事後分布

� �の尤度

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����� � ��

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������モデル

� 前と同様にランダム・ウオーク�$を使えば� ������からサンプリングできる�

� 修正調和平均法を使えば�周辺尤度 ����を計算できる�

� ������� ���� � �����������������なので� �� ��も事後分布から簡単にサンプリングできる�

参考文献

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� �� +�- � �� � ��!!:�

� �� �� ��,� @,�'�� ��!!#�

� 渡部 ��!!��

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������モデル

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(b)

Figure 2. Marginal Likelihood as a Function of λ. (a) 30-year sam-ple: QII:1974–QI:2004. (b) 30-year sample: QII:1970–QI:2000. The twopanels depict the log-marginal likelihood function on the y-axis andthe corresponding value of λ, rescaled between via the transformationλ/(1+λ), on the x-axis. The right endpoint depicts the log-marginal like-lihood for the state-space representation of the DSGE model.

Minako Yoda
テキストボックス
(a)
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136 Journal of Business & Economic Statistics, April 2007

In conclusion, we find that the DSGE model’s misspecifi-cation does not translate into impulse responses to monetarypolicy or technology shocks differ greatly between the DSGEmodel and the benchmark DSGE–VAR(λ̂). Many macroecono-mists believe that these two shocks provide a very importantsource of business cycle fluctuations. Our results suggests thatbusiness cycle research has to a large extent been successfulin developing a model that can produce realistic responses tothese shocks; however, a nonnegligible fraction of fluctuationsis attributed to the remaining five shocks in the model. We doc-ument in the Appendix that for some of the shocks, such as µt,which affects the shadow price of installed capital, DSGE–VAR(∞) and DSGE–VAR(λ̂) differ substantially, particularlyin the long run, suggesting that some low-frequency implica-tions of the model are at odds with the data.

5.4 Comparing Dynamic Stochastic GeneralEquilibrium Model Specifications

The DSGE model used in this article is rich in terms ofnominal and real frictions. An important aspect of the empir-ical analysis of Smets and Wouters (2003) and Christiano et al.(2005) is assessing which of these frictions are important to fitthe data. Smets and Wouters (2003) used marginal likelihoodcomparisons, eliminating one friction at a time and comput-ing posterior odds relative to the baseline specification. Chris-tiano et al. (2005) studied whether the impulse responses of amodel without a specific friction can match the VAR’s impulseresponses as well as the baseline model.

In this article we use DSGE–VARs to assess the importanceof two particular features of the DSGE model: price and wageindexation and habit formation. We refer to the model withoutwage and price indexation as the no indexation model and to themodel without habit formation as the no habit model, whereaswe call the standard DSGE model used up to now the baselinemodel. We document that habit formation is important to fit thedata, whereas the evidence in favor of indexation is weak.

We compare the marginal likelihood of λ for the baselinemodel with that of the two alternative specifications. Our ex-ample given in Section 3.4 suggests that as the mismatch be-tween sample autocovariances and population autocovariancesimplied by the DSGE model increases, λ̂ decreases, and themarginal likelihood function shifts downward. Therefore, wecan infer from the magnitude of the south–west shift in the mar-ginal likelihood function the extent to which a specific frictionis useful in fitting the data.

We emphasized previously that in the absence of a moreelaborate DSGE model, a comparison of impulse responses be-tween the DSGE–VAR(∞) and DSGE–VAR(λ̂) can generateimportant insight into how to improve the model specification.Using the hindsight from our analysis of the baseline model,we subsequently examine whether such a comparison for the noindexation and no habit models reveals the directions in whichthese models need to be augmented.

5.4.1 Evidence From the Marginal Likelihood Functions.Figure 4 resembles Figure 2(a), except that we overlay the mar-ginal likelihood functions for the baseline (solid line), the noindexation (dashed line), and the no habit (dashed–dotted line)model. Smets and Wouters (2003) dogmatically enforced the

Figure 4. Marginal Likelihood as a Function of λ: Comparison AcrossModels. See Figure 2 for an explanation.

cross-equation restrictions of the DSGE model specifications,which leads to a comparison of the three marginal likelihoodvalues on the right edge of Figure 4. Both alternative specifica-tions are strongly rejected in favor of the baseline, even thoughthe rejection for the no indexation is not as stark as that for theno habit model.

The evidence contained in the overall posterior distributionof λ against the no habit model is equally strong. Figure 4shows that relative to the baseline model, the marginal likeli-hood of λ shifts not only down, but also to the left. Translatingthe marginal likelihood values into posterior probabilities, forthe no habit model there is very little probability mass associ-ated with values of λ > 1. Conversely, the leftward shift for theno indexation model is much less pronounced, and the marginallikelihood remains fairly flat for values of λ between .75 and 2.

5.4.2 Evidence From Impulse Response Functions. Sup-pose that all we have available is the no habit (no indexa-tion) model. Can we see from the impulse response comparisonbetween the DSGE–VAR(∞) and DSGE–VAR(λ̂) that someimportant feature is missing from the structural model? Fig-ure 5 depicts the mean impulse responses to monetary pol-icy [Fig. 5(a)] and technology shocks [Fig. 5(b)] for DSGE–VAR(∞) (gray solid line) and DSGE–VAR(λ̂) (dark dash-and-dotted lines), as well a the 90% bands (dark dotted lines) forDSGE–VAR(λ̂). Figure 5 is obtained based on the no habitmodel; therefore, the benchmark DSGE–VAR(λ̂) in Figure 5differs from that in Figure 3 for two reasons. First, the valueof λ̂ is lower, as can be appreciated from Figure 4. Second, theprior for the VAR coefficients is based on the no habit model asopposed to the baseline model.

Comparing Figures 5 and 3 indicates that the initial responsesto a monetary policy shock of output, consumption, and hoursfor the no habit DSGE model look very different from those ofthe baseline DSGE model. All real variables, with the excep-tion of investment and real wages, now display a strong initialreaction to the monetary shock, which contrasts with the hump-shaped responses in the DSGE–VAR(λ̂). Even if Figure 3 werenot available to the researcher, the comparison between the im-pulse responses for λ = ∞ and λ = λ̂ in Figure 5 would reveal

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������モデル

応用

��� モデル比較 ��� +�- � �� � ��!!:��

��� 政策効果 ��� +�- � �� � ��!!:�� �� +�- � ��

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参考文献

岩田安晴 ����#�「日本経済を対象とした推計 %�*;モデルにおける財政政策:非リカーディ案家計ですべて説明できるか?」;�<�%���-����� (=�� ������ ��:�,��内閣府経済社会総合研究所:

小西貞則・越智義道・大森裕浩 ����/�『計算統計学の方法>ブートストラップ、;2アルゴリズム、2$2$』朝倉書店:

中妻照雄 ������『入門ベイズ統計学』朝倉書店:

矢野浩一 ����/�「%?��<;による動学的確率的一般均衡シミュレーション~新ケインズ派マクロ経済モデルへの応用~」;�<�%���-����� (=�� ������ ��:��.�内閣府経済社会総合研究所.

和合肇編 ����8�『ベイズ計量経済分析>マルコフ連鎖モンテカルロ法とその応用』東洋経済新報社:

� � �

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参考文献

渡部敏明 ��!!��「����0���モデルの日本のマクロデータへの応用」���2 �'��%��'�� �(� �� '�� +����"0I�内閣府経済社会総合研究所�

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