提

光学

フレ

ンホ

も重

１．

いて検

株式会

提供：

設計ノーツ

レネル回

今回は、回

ーファー回

要である。

フレネル

ここでフレ

検討してみ

社オプティカル

ツ ２７（

折とフラ

回折現象を

回折を取り

回折式とフ

レネル-キルヒ

よう。

ソリューションズ

（ver.1.0）

ラウンホ

解析的に取

上げさせて

ラウンホーフ

ヒホッフの回

１ / 6

ズ

〒101-00

東京都千

TEL： 03-

http://w

ホーファー

取り扱う上

ていただく

ファー回折式

回折積分式

032

千代田区岩本町

-5833-1332

www.osc-japa

h

ー回折

株

で基本とな

。レンズ等

式の導出

を用いてこれ

町 2-16-2（ F

FAX： 03-38

an.com/

http://www

株式会社タ

なるフレネ

等による結

れらの回折強

ビル 6 階）

865-3318

w.osc-japan

イコ 牛山

ル回折とフ

結像を考える

強度パター

n.com/

山善太

フラウ

る際に

ンにつ

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図 1 に有る様に、光源 P0から発生する球面波の表面を K とし、波面に達する光線の方向を表す単位ベクトルを r、この光線が波面に達する点 Q における波面法線単位ベクトルを n、この点 Q から振幅を計算したい点 P に向かう方向を表す単位ベクトルを s とする。当然、P0 は波面の中心であるから n とｒは一致する。また P0 から Q までの距離をｒ、Q から P までの距離を s とする。さらに、図の様に n と s の為す角度の差として χ なる量を導入すればフレネル-キルヒホッ

フの回折積分式は波面表面 K 上の積分として以下のように表わされる。A は波面

上の最大振幅を表す係数、σは波面上の微小面積である。P0 から Q まで、Q から

P までの距離をそれぞれ r,s として

( ) ( ) ( ) ( ) σχλ σ

dsiks

rikriAPU ∫∫ ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧ +

−= cos1expexp

2 (0)

さて、ここでχについて考えると、この値は点 Q において波面に直交する光線

と、Q から発生する２次波面の影響、つまりは回折の影響を調べる方向の為す角度を示している。ここでの絞り上にはレンズも何も存在しないので明らかに点 Qを通過する光線の方向に大方のエネルギーは集中し、χが大きな、光線から大き

く逸れた方向への影響は少ないと考えることも出来る。従ってχは十分小さな値

の範囲で積分への寄与は有効であると考えられ、また開口の大きさ D が、つま

り x0,y0の最大値が、r0、s に比べ十分に小さいとすれば、さらにχは exp 内に含まれないので、 cosχ→1 と出来て (0)式は、

( ) ( ) { } σλ σ

dsiksyxgiPU ∫∫−=

exp, 00 -(1)

ただし、ここで、この場合にｇは、 (0)式より

( )rikr

Ayxgexp

),( 00 = -(2)

であり、スリット上の位相も含めた複素振幅分布を表わす。一般的には光学系透

過の際に被る振幅、位相変化等を織り込んだ任意の分布を想定することが可能で

ある。 (1)式はフレネル-キルヒホッフの回折積分式をシンプルに表現し、実用的にした有益なものであり、コンピュータを用いた数値解析においてはこのままの形式でも十分利用

可能であるが、より物理的な洞察に有利な、見通しの良い形にするためにさらなる適切な

近似が行われる。

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(1)式をスリット面上（x0-y0 系）、スクリーン上（x-y 系）のｚ軸を共通とする二つの直交

座標系上に書き換えると、

( ) ( ) { }∫ ∫

∞

∞−−= 0000

exp,, dydxsiksyxgiyxU

λ -(3)

ここで明らかに、

( ) ( ) ( )202

02

0 yyxxzzs −+−+−= -(4) ところが、

( ) ( ) ( )( )

21

20

20

20

0 1⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−+−+−=

zzyyxx

zzs -(5)

となるので、Taylor 展開の２次の項をとって近似すると、

( ) ( )L2

2111 ααα −

+±=±mmmm

-(6)

の関係が成り立つので (5)式は、

( ) ( )( )

( ) ( )( )

L3

0

220

20

0

20

20

08

}{2 zz

yyxxzz

yyxxzzs

−

−+−−

−−+−

+−=

ここで、

L3

220

20

20

20

0 8)(

2 ryx

ryx

z+

−+

=

であって、この式において既述の様に開口の大きさに関する x0,y0が r、s に比べ十分に小さいのであり、さらに、cosχ→1 と出来るほどに P に影響を及ぼす波面上の領域が限られたものであるとすれば積分中、exp 項内での z0 の値はそう変化

しないことになる。また下記で扱う回折近似領域では特に z0<<ｚであって、以降

z0 の値を無視することとする。

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すると

ｓ( ) ( )

L3

220

20

20

2000

22

8}{

22 zyyxx

zyx

zyyxx

zyxz

−+−−

++

+−

++= -(7)

------------------------------- フラウンホーファー近似 ------------------------------------------ フレネル近似 と表現できる。（7）式における近似をどの項まで用いるべきかはスリット -スクリーン間の距離ｚに依存し、第３項まで採用し、その後の項を打ち切れる領域を

遠方領域、或はフラウンホーファー領域、第４項までを採用し、その後の項を打

ち切る領域を近方領域、或はフレネル領域と呼ぶ。 (7)式の第３項までを T3、第４項を T4、第５項を T5と表し、ｓが x,y,x0,y0,z0

と比べて十分に大きければ (3)式の exp 項の分母のｓを定数ｚと近似して積分外に出し、

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−−≈ 0054300 expexpexp,, dydxikTikTikTyxg

ziyxUλ

と置く。或いは x,y にｓ、D に比べて十分に大きな値を想定すれば、線分 QP が光軸となす代表的な角度をδとして、少なくともｓ≒ z/cosδとすべきであるから

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−−≈ 0054300 expexpexp,cos, dydxikTikTikTyxg

ziyxU

λδ

-(8)

と出来、以降こちらの式を採用することにする。 するとこの時もし、少なくとも kT5<<π/2 であれば、この項による位相変化分

はλ /4 以下であり、これを最大値として瞳上座標の変化に伴いこの項による位相変化分は連続的に減少する。従ってπ /2 を区切りと取りあえず考え、この値よりも遙かに小さな値をｋT5 項に求めれば全体の積分に対する大きな影響は持たなくなると考えることも出来よう。すると、以下の様に (7)式からﾌﾚﾈﾙ近似の条件として、

( ) ( )

λ2}{ 2

max2

02

03 yyxxz

−+−⟩⟩ -(9)

との目安を得る事ができる。 フレネル回折近似式は、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }∫ ∫∞

∞−−+−−= 00

20

2000 ]

2exp[,expcos, dydxyyxx

zikyxgikz

ziyxU

λδ

-(10)

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さらに整理して、

( ) ( )∫ ∫∞

∞−⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= 00

22

,2

expexpcos yxgzyxikikz

zi

λδ

0000

20

20 exp2

exp dydxz

yyxxikzyxik

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + -(11)

となる。 さらに、T4の項について考えると、この項には像面座標が含まれていないの

でｚ→∞であれば（既述の条件から光源位置も無限遠となる。）この項を（11）式から消去して考えることが可能であるが、有限なｚの値に対しても T5 と同様

に kT4<<π /2 なる条件を考えると、

( )

λmax

20

202 yx

z+

⟩⟩ -(12)

が T4項の省略のための条件の目安となる。ここで、スリットを長さ D の正方形とすれば (12)式より、

λ

2Dz⟩⟩ -(13)

なる条件が得られる（レイリーの距離）。ここで定められる領域をフラウンホー

ファー領域と呼ぶ。これらの条件下におけるフラウンホーファー回折近似式は

( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞− ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

−= 000000

22

exp,2

expcos, dydxyyxxzikyxg

zyxzik

ziyxUλδ

-(14)

となる。 ここで、波数 k=２π/λであるので、（14）式において、

λ

νzx

x = 、 λ

νzy

y = -(15)

スクリーン上の観測点座標をスリットと観測面の距離で正規化し、波長で割り、

空間周波数を設定すれば（14）式は、

( ) ( ) ( ) ( ){ }∫ ∫∞

∞−+−′== 000000 2exp,,)(),( dydxyxiyxgAUyxU yxyxyx ννπνννν

-(16)

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ただし、

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

−=′

zyxzik

ziA

2expcos 22

λδ

-(17)

である。(16)式は明らかに 2 次元のフーリエ変換の形であり、フラウンホーファー回折像複素振幅分布はスリット（射出瞳）の振幅分布ｇ ()のフーリエ変換で得られることが理解できる。射出瞳中心から P までの線分の光軸となす角度のｘ、ｙ成分をそれぞれθx、θy とすれば (15)式は

λθ

ν xx

tan= 、

λθ

ν yy

tan= -(18)

と出来る。フラウンホーファー回折像振幅分布計算においては瞳から測定点への

方向が定まると、 (16)式のフーリエ変換の結果は決まってしまうことが分かる。 因みに (18)式から (17)式は以下の様にも表現できる。

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

−=′

−

2tan

2tan

1exptantan122

21

22 yxyx ikz

ziA

θθθθ

λ -(19)

２． 参考文献

１） M.Born & E.Wolf : 光学の原理Ⅰ、第 7 版／草川徹訳（東海大学出版会,2005) ２） 辻内順平：光学概論Ⅱ（朝倉書店、東京、1979）

３） 鶴田匡夫：応用光学Ⅰ（培風館、東京、1990）

４） 宮本健郎：光学入門（岩波書店、東京、1995）

５） 牛山善太：波動光学エンジニアリングの基礎（オプトロニクス社、東京、2005）