ქაოსი და ცვლილების თეორია

გიორგი ჭკადუა

ცხოვრება პროგნოზირებადია თუ არა?

შეგვიძლია ვთქვათ რა მოხდება •შემდეგ წამს?

•შემდეგ საათში?

•შემდეგ წელს?

მომავლის პროგნოზირება ძალიან ძნელია!

ზოგი რამ პროგნოზირებადია

ზოგი რამ არა!

გააჩნია ბუნებას წესრიგი და კანონზომიერება?

მეცნიერება არის ბუნებაში წესრიგის და კანონზომიერების ძიება

პირველი პასუხი ... კი

თუ დავაკვირდებით დავინახავთ კანონზომიერებებს ჩვენს გარშემო

თოვლის კრისტალი

ცხოველთა სამყარო

პლანეტების მოძრაობა

ერთ-ერთი პირველი

გალილეო პიზა

1581

გალიელო აკვირდებოდა ჭაღის რხევას და მიხვდა, რომ

ის იმართებოდა პროგნოზირებადი კანონებით

რხევის დრო მუდმივი იყო

• მიუხედავად იმისა თუ როგორ შეარხევდნენ

• ან სად

• ან როდის

ისააკ ნიუტონი (1643-1727)

1686 ნიუტონმა აჩვენა რომ ეს კანონზომიერება შეიძლება

მათემატიკურად გამოისახოს (philosophiae naturalis principia mathematica)

2

2sin( ) 0

d dl k g

dtdt

ქანქარას განტოლება

მცირე რხევის ამონახსნი ჰაერის წინაღობის

უგულვებელყოფით

პერიოდულია და მაღალი სიზუსტით პრგნოზირებადი

cosg

A tl

პერიოდი

2l

Tg

იდეალურ თანხვედრაშია გალილეოს დაკვირვებასთან

მთავარი იდეა ... • დავწეროთ ფიზიკური სისტემის აღმწერი განტოლება

• ამოვხსნათ გატოლება

• ვიპროგნოზოთ მომავალი

მუშაობს?

ნიუტონის გრავიტაციის

კანონი

ნეპტუნი: აღმოჩენილ იქნა მათემატიკით

2

2 3

G M xd x

dt x

ნავიე-სტოქსის განტოლებები

ამინდის პროგნოზი ერთი კვირით ადრე

21, 0tu u u P u u

R e

მაგრამ ბუნებაში და ცხოვრებაში ბევრი რამ

არაპროგნოზირებადია

ელ ნინოს სამხრეთ ოკეანის ინდექსი

ბიტკოინის ფასი

ტვინის ტალღები (EEG)

ეს რთული ყოფაქცევა ბუნების სირთულიდან წარმოიშვება და აუხსნელია ?

თუ...

ის ბუნებრივად წარმოიშვება ნიუტონის კანონებით მართულ სისტემებში?

მარტივი მექანიკური მაგალითი: ორმაგი ქანქარა

მოძრაობა შეიძლება იყოს •პერიოდული ფაზაში : პროგნოზირებადია •პერიოდული ფაზის მიღმა : პროგნოზირებადია •ქაოსური : არაპროგნოზირებადია

ნიუტონის კანონები ესადაგება ორმაგ ქანქარას

მოძრაობა აღიწერება წყვილი მეორე რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებებით

2

1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1

2

2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

( ) cos( ) sin( ) ( )sin( ) 0

cos( ) sin( ) sin( ) 0

m m l m l m l g m m

m l m l m l g m

მცირე რხევები: ამოხსნადია ზუსტად დიდი რხევები: ამოხსნადია რიცხვითად, ამონახსნები არის ქაოსური

პეპლის ეფექტი

ორი მდგომარეობა რომლებიც ახლოს არის ერთმანეთთან, თავიდანვე ვითარდებიან განსხვავებულად

არამდგრადობა საწყის პირობებთან

ქაოსური ბილიარდი

ქაოსის თეორიის მოკლე ისტორია

პუანკარე: ქაოსის აღმომჩენი სამი სხეულის ამოცანაში

მეტეოროლოგი ლორენცი იკვლევდა კონვექციას ატმოსფეროში და მიიღო ლორენცის განტოლებები:

კომპიუტერულმა კვლევება აჩვენა ქაოსური ამონახსნის არსებობა, რაც მოულოდნელი იყო

( )

( )

dxy x

dt

dyx z y

dt

dzxy z

dt

ქაოსის მათემატიკური თეორია

შეგვიძლია ვიპროგნოზოთ ქალაქის მოსახლეობა?

nx ქალაქის მოსახლეობა n წელს

შეგვიძლია ამ წლის მოსახლეობა დავუკავშიროთ შემდეგი წლის მოსახლეობას ?

nx1nx

მალთუსი

a - შობადობა/სიკვდილიანობა

•a=1 ... მოსახლეობის რაოდენობა მუდმივია •a>1 ... მოსახლეობის რაოდენობა იზრდება •a<1 ... მოსახლეობის რაოდენობა მცირდება

1n nx a x

პროგნოზირებადი ყოფაქცევა

M - მოსახლეობის მაქსიმუმი

0

n

nx a x

პრობლემა ... თუ a>1 მოსახლეობას ამოეწურება რესურსები

გაუმჯობესებული მოდელი: ( )n

n nx a M x

სკალირებული ვარიანტი:

(1 )n

n nx ra x

r=2 ფიქსირებული წერტილი

r=3.2 ორი წერტილი

r=3.55 8 წერტილი

r=4 ქაოსი

ქაოსის ანატომია როცა r=4

1

1

0

1(1 cos( ))

2

14 (1 ) (1 cos(2 ))

2

2

1(1 cos(2 ))

2

n n

n n n n

n n

n

n

x

x x x

x

ამონახსნი რჩება შემოსაზღვრული

ახლოს მყოფი ამონახსნები ექსპონენციალური სიჩქარით

შორდებიან ერთმანეთს

ბიფრაქციის დიაგრამა აჩვენებს ცვლილებებს

ბიფრაქციამ შეიძლება მიგვიყვანოს მოულოდნელ ცვლილებებამდე

2dxr x

dt

რაში გმოიყენება ქაოსი?

ქაოსი: მარტივმა კანონებმა შეიძლება მოგვცეს რთული კანონზომიერებები

გამოიყენება კომპიუტერულ გრაფიკაში

ბარნსლის ფრაქტალური გვიმრა

მანდლებროტის სიმრავლე

ინჟინერია

•ავტომობილის გამონაბოლქვი •ხუნდები •WiFi •მიკროტალღური ღუმელები

ბუნების ახალი გაგება

ტურბულენტურობა

მდინარის დელტა

ასტეროიდების მოძრაობა და კაცობრიობის მომავალი

ქაოსი 21-ე საუკუნის მეცნიერებაა!