モデル小説における表現の自由と プライバシーの権 …...モデル小説における表現の自由と プライバシーの権利* ―小説表現の「芸術的価値」とプライバシー権の調整原理の考察―
コントローラによる制御系性能向上設計法 ... · 線形分数変換...
Transcript of コントローラによる制御系性能向上設計法 ... · 線形分数変換...
�����コントローラによる制御系性能向上設計法第 �部�ロバスト制御概論�
松尾 孝美�
����年��月��日
目 次
� まえがき �
� 状態方程式と伝達関数 �
��� 理論 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� 例題�電機子制御型直流サーボモータの数式モデル � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� 信号のノルムとシステムのノルム ��
��� 理論 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 例題 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �� による��ノルム計算 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� システムの不確かさ ��
��� 理論 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 例題�構造的不確かさ:状態方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 例題�構造的不確かさ:伝達関数 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 例題�非構造的不確かさ:寄生要素 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 例題�非構造的不確かさ:サーボモータ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ロバスト制御の背景 ��
��� 感度関数と相補感度関数の意味 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �������による���コントローラによる閉ループ系応答計算 � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �������による感度関数と相補感度関数の計算方法 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ��制御の標準問題の定式化 ��
��� 一般化プラントと閉ループ系 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 一般化プラントとロバスト制御の関係 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� 感度最小化問題 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ロバスト安定性とスモールゲイン定理 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ロバスト安定化問題 �乗法的不確かさ� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�大分大学研究シーズ発表会資料 ������大分大学工学部福祉環境工学科 ������ ������ ������ ��� �� ����������������������������
�
����� ロバスト安定化問題 �加法的不確かさ� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� 混合感度問題 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 不確かさを含んだ一般化プラントの閉ループ系 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 線形分数変換 ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 連鎖散乱表現と���表現の関係 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 摂動プラントと����表現 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 閉ループ伝達関数と����表現 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 摂動プラントの閉ループ伝達関数と���表現 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ��制御の標準問題と�� による解法 ��
��� 問題設定と���� !"��#� の解 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �� $�%&'( )�*(!�� ����%�+を用いた��コントローラの導出 � � � � � � � � � � � � ��
����� 関数群 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� 例題 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �� �"*,�#'-' ,*. �#*(/ '-' ����%�+を用いた��コントローラの導出 � � � � � � � ��
����� 関数群 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� 例題��,''"�0!-*1系 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� 例題���)サーボモータ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �� �� ����%�+を用いた��コントローラの導出 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� 関数群 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� 例題 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� �解析�設計 ��
� ��による制御系設計 ��
�
� まえがき
現代制御理論といえば,状態方程式でシステム解析から設計まですべて行うというイメージがあるが,
これは����年代までの動きであった.その中の代表的解析法が幾何学的手法であり,代表的設計法が最適
レギュレータ,オブザーバ,カルマンフィルタである.ここでの中心的な設計仕様は時間的な応答をいかに
望まれる波形にするかというものである.特に,出力と入力の�条積分値を最小にするようなフィードバッ
ク則が最適レギュレータにより与えられている.また,制御系のロバスト性 �!�%&'(* ''�の面では,外乱の
出力への影響をまったく除去する制御系がある条件のもとで構成されている.このような制御系設計法は
いろいろな分野(航空機,自動車,ボイラ,タービン,ロボット,電力系統など)に応用され,それなりの
成果をあげてきている.しかしながら,微分方程式による解析2設計は古くからのラプラス変換を中心とし
た古典制御理論の利点であった周波数という概念の欠落を招くことになった.つまり,古典制御では制御系
設計を �. 線図などで外部入力の周波数帯域ごとに視覚的に���コントローラの調整により行っているが
(周波数整形という),状態方程式に基づく最適レギュレータとオブザーバからなるコントローラを用いる
と外部入力の影響をゼロにできないような制御系(非最小位相系)の場合には,外部入力の周波数特性に応
じた制御性能を調整できない.ただし,状態方程式に基づくコントローラが全く周波数特性が指定できな
いかというとそうではなく,最適レギュレータによる状態フィードバックでは感度関数のゲインを�以下に
でき,ゲイン余裕は∞,位相余裕は��°以上あることが指摘されているが,あくまでも状態がすべて観測
できる場合のみに有効なものである.
このような状況の中,����年代終りから����年にかけてロバスト制御の基礎理論が構築され,現代制
御理論と古典制御理論の融合の試みが行われるようになった.ロバスト制御とは,不確かなモデル(状態方
程式や伝達関数がある誤差をもってしか実際の対象をモデル化できないことを意味する)に対して,誤差が
どの程度のものであれば,どれくらいの制御性能を確保できるかという設計指針を与えるものである.ここ
での誤差の定量的取扱としては,実プラントとモデル化された伝達関数との誤差の周波数ごとのゲインや
最大特異値である.たとえば,実プラントはよく�次遅れ+むだ時間の形でよく表されるが,これをむだ時
間を無視して�次遅れのみで近似したときの誤差のゲインは�次の有理関数のゲインにより抑えることがで
きる.さらに設計仕様としては,外乱から制御量までの伝達関数の��ノルム(単一入出力系ではピークゲ
イン値のこと,多入出力系では周波数伝達関数の最大特異値のピーク値)を最小にするというものである.
外乱から制御量までの伝達関数は外乱や制御量を特定することにより,特別な場合には感度関数あるいは相
補感度関数にすることができる(後述する).感度関数の��ノルムを小さくすると目標値への追従特性を
改善することができ(ノミナル性能3*�4-*,� 0 !5�!4,*6 ),相補感度関数を小さくするとある大きさ以内
の特性変動をもつ制御対象に対しても同じコントローラで閉ループ系の安定性を保持でき(ロバスト安定
性3!�%&'( '(,%-�-(#),感度関数と相補感度関数を組み合わせた混合感度問題では,ある大きさ以内の特性
変動をもつ制御対象に対しても目標値の追従性能をある程度保障することができる(ロバスト性能3!�%&'(
0 !5�!4,*6 ).このようにしてロバスト制御の概念からある種の伝達関数の��ノルムを最小にするとい
う設計仕様が生まれてきたわけで,これを��最適制御と呼ぶ.また,同じ枠組みの中で,これまでの最適
制御も整理され,��最適制御として一般化されている.
当初,��最適制御の解法は関数解析手法や関数環の補間理論などを用いて行われていたため(もとも
と��は�ノルムをもつハーディ空間のこと),難解であり,とでも現場で使えるまでには至らないだろうと思われていた.ところが,����年代中ごろよりいろいろな��制御問題を,�つの標準問題として定式化
したことと準最適化問題に簡単化したことにより,解法が非常に簡単化されることになった.標準問題は
外部信号と制御信号を加えた形の�端子型システムとして表される.また,��準最適制御(以後は簡単に
��制御と呼ぶ)は外部信号から制御信号までの伝達関数の��ノルムを指定された値以下にするコントロ
ーラを求める問題である.指定された値を適当に大きな値からだんだん小さくしていき,もうそれ以上小さ
くするとコントローラが存在しないとき,��準最適コントローラは��最適コントローラとなる.このよ
�
うな定式化のものとで,��準最適コントローラは�本の$-66,(-型の方程式を解くことにより求められる
ことが����年に発表された.また,この解法は制御系設計ソフトウェア�� によりプログラム化さ
れ,標準問題として定式化さえすれば,コントローラを計算できるという便利なものまで現れた.しかし,
この解法では,クリアすべき条件が多く,なかなか解を得るまでに,設計条件の調整が必要であった.
一方,積極的に計算機を用いて,制御系設計問題を凸計画法により解くことが����年代より始まった.
特に��年代後半には,安定化補償器のパラメトリゼーションを用いて,いろいろな設計仕様が自由パラメ
ータに凸になることを用いた制御系設計法が提案された.しかし,この問題では探索するパラメータが伝
達関数であることから,一般に無限次元の凸計画問題となり,計算効率の面で問題があった.ついで,����
年前後には,ある種の状態フィードバック制御問題が変数変換により線形行列不等式 ���3�-* ,! ,(!-+
�* 7&,�-(#�に帰着できることが示された.これは探索パラメータが定数行列であるため,有限次元の凸計
画問題になるものである.さらに,��制御問題も��を用いて解かれるようになった.凸計画問題は内
点法 �-*( !-�!"0�-*( 4 (/�.�などの代表的計算法が存在し,これは�� の�� (���%�+により提供さ
れ,飛躍的に実系への適用を容易にして今日に至っている.
本資料では,基本的な導出は省略し,結果のみを記述し,どのような定式化のもとにどのようにして
�� で解くことができるのかを中心に説明する.
�
� 状態方程式と伝達関数
��� 理論
システム �'#'( 4�とは入力信号を出力信号に変換する作用素 ��0 !,(�!�である.特に動的システム �.#"
*,4-6,� '#'( 4�では,作用素は微積分作用素を含んでおり,具体的には微分方程式により記述される.微
分方程式の解がシステムの内部状態であり,これを状態変数という.システムの中を流れたり,出入りする
血液のようなものが信号 �'-1*,��である 動的システムは次式のように微分方程式で表される.
����
����
����
����
����
����
図 �� システムとは
8���� 9 ����� ����� ���
���� 9 ��� �� ���
ただし,���� � ��3���� � ��3���� � ��は時刻 �での状態変数,入力信号,出力信号であり,�� �� ���3��� �� � ��は�3�の非線形関数である ���は 次元実縦ベクトルからなる空間のこと�.これを非線形
状態方程式という.
ここで,簡単のため,平衡点を �� �� 9 �� ��とする.つまり,�� �� 9 �とすることに相当する.こ
のとき,非線形関数�� �� ��� ��を平衡点 �� �� 9 �� ��の周りで線形関数で近似したものは次式のよう
に書くことができる.
�� �� 9 ��:��
��� �� 9 ��:��
ただし,����は�,#��!展開から次式のように与えられる.
� 9��� ��
��� 9
��� ��
��� 9
���� ��
��� 9
���� ��
��
このとき,システムは次式の線形状態方程式で記述できる.�8����
����
�9
�� �
� �
� �����
����
����
これが現代制御理論の出発点となる状態方程式 �'(,( "'0,6 7&,(-�*�である.さらに,上式をラプラス変
換して入力と出力の関係として書いたものが伝達関数 �(!,*'5 ! 5&*6(-�*�であり,次式のように与えられる.
������� 9 ����� ������ :��������� ���
�
ただし,��������������は各 �々��� ����のラプラス変換であり,複素変数 �の有理関数である���� 9 ���������� :�を伝達関数と言う.伝達関数は��#� 記号を用いてつぎのように書くことが多い.
���� 9
�� �
� �
����
��� 例題�電機子制御型直流サーボモータの数式モデル
サーボモータのサーボは,英語の ' !�,*((召使)を語源とし,入力指令に対して正しく追従して動くこ
とを意味する.サーボモータとしては,最もよく知られている直流 ��)�サーボモータや,�)サーボモー
タの欠点である機械的整流機構を改良した)サーボモータなどがある.
�)サーボモータの大部分は他励磁式であり,電機子制御型と界磁制御型に分かれる.界磁式制御型は
トルク・速度特性が非線形であり,制御性に難点がある.このため,一般には電機子制御型�)サーボモー
タが用いられる.
この例では電機子制御型�)サーボモータのみを取り扱う.図�にモデル図を示す.各定数は次のよう
に与えられている.
� �
��
���� �
�
図 �� �)モータ
� 負荷を含めたモータの慣性モーメント�� ����;����<
� 粘性摩擦係数����;������� !<
"� トルク定数���;����<
� 電機子抵抗�;=<
� 電機子インダクタンス����;� <
"� 逆起電力係数���;#�� !����<
����� 時刻 �での電機子電流 ;�<
����� 時刻 �での電機子電圧 ;# <
����� 時刻 �での逆起電力 ;# <
$��� 時刻 �での回転角 ;� !<
%��� 時刻 �での回転角速度 ;� !����<
& ��� 時刻 �でのモータの発生トルク ;��<
モータの発生トルクを&とおくと,つぎの運動方程式が成立する.
�!�$
!��:�
!$
!�9 & ���
�
また,トルクは電機子電流 ��に比例するので,界磁の強さおよびモータ特性による比例係数を"�とすると
& 9 "� �� ���
が成立する.逆起電力 �� は回転角速度に比例し,逆起電力係数を"�とすると,次式で表される.
�� 9 "�
!$
!����
さらに,キルヒホッフの法則より
�� 9 �!��!�
:��� : �� ���
が成立する.ここで,状態変数����を
���� 9
���
$���8$���
�����
���
とし,入力を �����,出力を$���とすると,次式の状態方程式が得られる.
8���� 9
���
� � �
� ��
�
� ��
����
������� :
���
�
���
��� ����� ����
9
���
� � �
� �� ����
� ��� ����
������� :
���
�
�
���
��� ����� ����
���� 9
� � ����� ����
伝達関数表現を求めると,次式のようになる.
>��� 9"�
���:������ :��� :"�"��#���� 9
���
���� : ��������: �� : ����#���� ����
ただし,>��� #����は$��� �����のラプラス変換である.これがモータの線形モデルである.
つぎに,この例題の状態方程式と伝達関数を�� を用いて表現する方法について説明する.
� 状態方程式を��#� 表現で定義するファイル �)�*(!�� �#'( 4 ����%�+�
プログラム� ���������
� �� ��� ���������
� � ������ � ������� � ����
�� � ����� � ��� � �����
� ���������� ���� ���
� � � � �
� ��!� ��!�
� ���!� ��!� "�
# � �
�
�!�"�
$ � � � �"�
�
� � ��
���%�&#&$&�'����� ���()��
)*�&+�)" � ����,%�&#&$&�&�'
� 状態方程式を��#� 表現で定義するファイル �$�%&'( )�*(!�� (���%�+�
プログラム� ���������
� �� ��� ���������
� � ������ � ������� � ����
�� � ����� � ��� � �����
� ���������� ���� ���
� � � � �
� ��!� ��!�
� ���!� ��!� "�
# � �
�
�!�"�
$ � � � �"�
� � ��
� ��- ,(�� %�(��� ,(��'
���� � �-���%�&#&$&�&.��.'�
�� � /��)�%����&.�.'
� 状態方程式を��#� 表現で定義するファイル �� (���%�+�
プログラム� ���������
� �� ��� ���������
� � ������ � ������� � ����
�� � ����� � ��� � �����
� ���������� ���� ���
� � � � �
� ��!� ��!�
� ���!� ��!� "�
# � �
�
�!�"�
$ � � � �"�
� � ��
� ��- ,(�� %�(��� ,(��'
����� � �-%�&#&$&�'
� ),(%�����'
���%�����'
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�(���%�����'
� 0��(�
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�0��(�%�����'
� ,��1*�)�� ���()��
(��2� � �(2����%��&�&���'�
,��1+��� � ,��%�����&(��2�'�
� ),(%,��1+���'
3�(�%./(+�.&,��1+���'
� �*�� ) ���)�,(�� %+ 2 ��� 0�� ()'
� � �4 !��� � ���� )2 � ��
+����� � �*�� )%�����&�'�
+,��1+��� � ,��%+�����&(��2�&�'�
3�(�%./(+�.&,��1+���&+,��1+���'
� 2�)���� () (, )*� � 2)��
��, � ����� 2�� ��� 5 )+(5
� ��/��� � �6����6�"�
* � � 22�)%.� )%�4�'.&� ��/���'�
� � ���%�����&*'� � ���)� �)� ���()��
3�(�%*&./��.&�&.�.' � /�7/�*� � )�& ��7��+ � )�
� ���%.���()�� (, �$ ���3( �(�(� �( )*� � )��.'
���/��%.� ��%���()+�'.'
� 状態方程式を��#� 表現で定義するファイル ��� (���%�+�
プログラム� ������8��
� �� ��� ���������
� � ������ � ������� � ����
�� � ����� � ��� � �����
� ���������� ���� ���
� � � � �
� ��!� ��!�
� ���!� ��!� "�
# � �
�
�!�"�
$ � � � �"�
� � ��
� ��- ,(�� %�(��� ,(��'
����� � �� ���%�&#&$&�'
� ��- ,(�� �( %�&#&$&�'
��&##&$$&��" � �� ��%�����'
� ���)�,�� ,*)�� ()
)*�&+�)" � ����,%�&#&$&�&�'
����8 � �� ���%.�,.&)*�&+�)'
� ��- ,(�� �( ���)�,�� ,*)�� ()
)*�)*�&+�)+�)" � �� �,%����8'
�
� (���
(��� � �(�%�����'
� ,��1*�)�� ���()��
(��2�� � ���
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� /(+� + �2���
5��)2� � �(2����%��&�&���'�
��(�%�����&./(.&5��)2�'
�*��
� )�1* �� �(�
��(�%�����&.)�.'
�*��
� � )���(2 )�1* �� �(�
��(�%�����&.� .'
�*��
� ��� ���()��
���)2� � �6����6���
��(�%�����&.��.&���)2�'
�*��
� �*��� ���()��
���)2� � �6����6���
��(�%�����&. �.&���)2�'
� 物理系をそのまま積分器を用いて表現したファイル ��-4&�-*?�
プログラム�"� �$�(�(�9�$�����
� �� ��� ���������
� � ������ � ������� � ����
�� � ����� � ��� � ����������
ブロック線図 �$�(�(�9�$�(�(���+�
va
theta
omega
i
Va
TL1
TL
1s
Integrator2
1s
Integrator1
1s
Integrator
1/L
Gain6
KGain4
D
Gain3
R
Gain2
KGain1
1/L
Gain
図 �� �)サーボモータ単体のブロック線図
�
プログラム�"� �$�(�(�9�$� )�(+��
� �� ��� ���������
� � ������ � ������� � ����
�� � ����� � ��� � ����������
�&#&$&�" � � )�(+%.�$�(�(��� ).'
)*�&+�)" � ����,%�&#&$&�&�'
ブロック線図 �$�(�(�9�$�(�(��� )��+�
1theta
i
TL1
TL
1s
Integrator2
1s
Integrator1
1s
Integrator
1/L
Gain6
KGain4
D
Gain3
R
Gain2
KGain1
1/J
Gain
1
Va
図 �� �)サーボモータ単体のブロック線図 ��-*4�.�4用�
� 信号のノルムとシステムのノルム
��� 理論
信号は � ' �のとき,すべてゼロであるものを考える �ゼロでなくてもよいが,その場合には�������3
����� �<3 ��;���3 ��3 ��� などが登場して複雑となるので,ここでは述べない�.信号���� � �� �
� '�の大きさ �ゼロ信号からの遠さ�を表すものが信号のノルム �*�!4�である.特に,次式の信号のエネ
ルギーを意味する�乗積分値により与えられるノルム��を��;���ノルムといい,このノルムが有限と
なるすべての信号からなる空間を��;���空間という.
����� 9
��
�
�� �������!� ����
さらに,信号����のラプラス変換を(���とすると,この信号のエネルギーを表すノルムは次式のように定
義され,このノルムが有限となるすべての信号からなる空間を��空間という.
(���� 9
� �
��
(�)%��(�)%�!% ����
ただし,�は複素共役転置をとることを意味する.�,!' �,�の定理から時間信号のノルムとラプラス変換し
た周波数信号のノルムの間で次式が成り立つ.
����� 9
��
�
�� �������!� 9�
�*
��
��
(�)%��(�)%�!% 9�
�*(����
したがって,時間関数の��ノルムと周波数関数の��ノルムはスケールが違うだけで,本質的には等価であ
ることがわかる.
��
つぎの安定な伝達関数を考える.
���� 9
�� �
� �
�����
システムは有力信号を出力信号に変換する作用素であり,システムのゲイン �入出力信号の振幅増幅率�を
システムの��ノルム �*�!4�という.����がスカラー伝達関数の場合には,これはピークゲイン値になり,
次式のように定義される �図�参照�.
����� 9 '&0 ���)%�� ����
ただし,'&0は上限値の記号であり,%は角周波数,��)%�は周波数伝達関数である.����が行列の場合に
��1%
���)%��
�����
図 �� �. 線図における��ノルム
は,複数の伝達関数要素を持つことから,これらの行列ゲインをとることにより,��ノルムは,次式のよ
うに定義できる.
����� 9 '&0
+������)%�� ����
ただし,+������)%��は��)%�の最大特異値であり,最大固有値を,���とすると,次式のようにしてもと
めることができる.
+������)%�� 9�,�������)%���)%�� ����
いま,- ��� 9 ����(���のとき,次の関係が成り立つ.
����� 9 '&0
- ����(���� ����
これは,��ノルムが入出力のエネルギー比の最大値(最悪値)を意味すると考えられる.上式を不等式で
置換えると,次式のようになる.
- ���� �����(���� ����
これは,��ノルムを小さくすると,入力の影響が出力に出にくくなることを意味する.
��� 例題
つぎの伝達関数を考える.
���� 9 �: �
.�: � . / �
��
このとき, � .のとき,広域通過フィルタになり, ' .のとき,低域通過フィルタになる.さらに,��
ノルムは次式のようになる.
����� 9
�� � � .�
� � ' .�
��� ����による��ノルム計算
� ���� 9 �������の��ノルムを計算するファイル �$�%&'( )�*(!�� ����%�+�
プログラム� ���������
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� ���� 9 �������の��ノルムを計算するファイル �� ����%�+�
プログラム� ���������
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プログラム� ���������
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� 多入出力系の��ノルムを計算するファイル ��� ����%�+�
��
プログラム� ������8��
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� システムの不確かさ
��� 理論
実際の制御対象を伝達関数や状態方程式を用いてモデル化する際には,数式化する際の近似誤差やパラ
メータ測定の際の誤差が存在する.このため,実際の制御対象とそれをモデル化したシステムには誤差が存
在することになる.さらに,モデル化したシステムが複雑であり,コントローラを設計するのに向かない場
合には,このモデルからさらに簡略化した設計用モデルを作る必要がある.この設計用モデルをノミナル
プラント �*�4-*,� 0�,*(�という.また,測定信号にはいろいろなノイズが外乱が混入することが多い.こ
のような誤差をモデルの不確かさ �4�. � &*6 !(,-*(- '�といい,つぎのように分類できる.
� 信号の不確かさ:信号に加わる外乱やノイズ
� 加法的ノイズ�線形システム理論の通常のノイズや外乱を意味する.����年代から����年代にか
けて盛んであったもので,白色雑音をもつ線形状態方程式に対する推定器であるカルマンフィル
タ,最適レギュレータ,および�@�コントローラなどが有名である.
� 乗法的ノイズ�基本的には非線形要素であり,ほとんど考慮されていないが,係数が確率的に変
わる微分方程式は確率微分方程式を用いて解を求めることができる.
� システムの不確かさ:状態方程式および伝達関数の不確かさ
� 構造的不確かさ �'(!&6(&! . &*6 !(,-*(- '��伝達関数や状態方程式のパラメータの測定誤差,変
動を意味する.これらのシステムに対するロバスト制御系の解法には,�次安定化法,�解析2設
計法,�*( !�,� �#'( 4に対する�/,!-(�*��の定理を用いたコントローラ設計などがある.
��
� 非構造的不確かさ �&*'(!&6(&! . &*6 !(,-*(- '��偏微分方程式で表されるシステムは有限要素法
や有限次数のフーリエ級数展開などにより有限次元の状態方程式で近似した後にコントローラを
設計することが多い.このような場合には,要素分割や打ちきりによる誤差が存在するが,これ
は近似モデルの係数変化で表すことはできず,近似モデルに付加された寄生的な動的システムと
して表すことができる.
� 非線形性による不確かさ:制御対象の非線形性(たとえば,非線形摩擦,バックラッシュ,むだ
時間,飽和などや,ダイナミクスなど)の線形近似による誤差である.
したがって,設計用モデルに基づいて設計したコントローラを実際の制御対象に適用した場合に,うまく稼
動するかどうかの保障が必要である.同じコントローラで不確かさ影響をあまり受けずに制御対象を制御
できるものをロバストコントローラ �!�%&'( 6�*(!��� !�という.
不確かさを含んだプラントを摂動プラント �0 !(&!% . 0�,*(�という.特に,非構造的不確かさを含んだ
摂動プラントの伝達関数による表現方法にはつぎのようなものがある.ただし, A0 ���を摂動プラントの伝
達関数,0 ���をノミナルプラントの伝達関数とする.
� 乗法的不確かさ �4&�(-0�-6,(-� &*6 !(,-*(#�
A0 ��� 9 �� :B�����0 ��� ����
ただし,B����を乗法的不確かさという.不確かさの大きさは,次式のように��ノルムか,周波数
伝達関数の最大特異値の上限を用いて規定されている.
B�� ' 1� ����
C+�B��)%�� ' 2��)%� 5�! ,�� % ����
� 加法的不確かさ �,..-(-� &*6 !(,-*(#�
A0 ��� 9 0 ��� : B���� ����
ただし,B����を加法的不確かさという.不確かさの大きさは,次式のように��ノルムか,周波数
伝達関数の最大特異値の上限を用いて規定されている.
B�� ' 1� ����
C+�B��)%�� ' 2��)%� 5�! ,�� % ����
� 既約分解的不確かさ �6�0!-4 5,6(�! &*6 !(,-*(#�:これについては,既約分解の説明をしないといけ
ないので,省略する.
ノミナルプラントは不確かさB����あるいはB����は安定になるように選ばなければ,プラントをある程度
近似しているとは言えないことに注意しよう.
��� 例題�構造的不確かさ:状態方程式
次式のような状態方程式は構造的不確かさをもっている.
8����� 9 �� : 3������� : �3� : 3� : ������� ����
8����� 9 �� : 3������� : �3� � 3� : ������� : �� : 3������ ����
ただし,不確かさはつぎのように規定されている.
�3�� � �3�� �
��
��� 例題�構造的不確かさ:伝達関数
次式のような伝達関数は構造的不確かさをもっている.
0 �� 3� 9���3�3��: ����3�
���� : �����3���� : ��������: ���3���: ��� ���� : ���3������
ただし,不確かさはつぎのように規定されている.
��� 3� ��� ���� 3� �� ����
��� 例題�非構造的不確かさ:寄生要素
つぎのノミナルプラント0 ���と摂動プラント A0 ���を次式のようにおく.
0 ��� 9�
�: � A0 ��� 9
�: ��
��: ����: ��
このとき,不確かさはつぎのようになる.
� 乗法的不確かさB���� 9 A00�� � � 9
�
�: �
� 加法的不確かさB���� 9 A0 � 0 9
�
��: ����: ��
��� 例題�非構造的不確かさ:サーボモータ
前述のサーボモータを考える.ここで,状態変数や伝達関数は�次であるので,設計を簡単にするため
に,通常,つぎのような近似が行われる.
インダクタンス � 9 ���� は十分小さく,回路の時定数4 9 ��
9 ����は無視できると仮定する.
このとき,���式は次式で近似できる.
5� 9�� � ��
�����
これより,つぎの�階常微分方程式を得られる.
!�$
!��:
�
&�
!$
!�9
"�
&��� あるいは数値を代入して
!�$
!��: ���
!$
!�9 ����� ����
ただし,
&� 9��
�� :"�"�
9�����
���� "� 9
"�
�� :"�"�
9���
����
とする.�次に近似した設計用モデルの状態変数を
����� 9
�$���8$���
�
とし,入力を �����,出力を$���とすると,次式の状態方程式が得られる.
8����� 9
�� �
� � ���
������ :
���
��
������ ����
9
�� �
� ����
������ :
��
���
������ ����
���� 9
� ������ ����
��
伝達関数は次式のようになる.
>��� 9"�
��&��: ��#���� 9
���
���: ����#���� ����
このとき,乗法的不確かさは次式のようになる.
B���� 9��������: ��
�� : ��������: �� : �������
乗法的不確かさのゲインは,つぎのような伝達関数のゲインを上界値として持つ.
2���� 9 ������: �����: ���� ����
これらの �. 線図を描くファイルはつぎのようになる.
プログラム�� ��8������
� �� ��� ���������
� � ������ � ������� � ����
�� � ����� � ��� � �����
� ���������� ���� ��� (, ���*�/�+ ��)�
� � � � �
� ��!� ��!�
� ���!� ��!� "�
# � �
�
�!�"�
$ � � � �"�
� � ��
� ���)�,�� ,*)�� () (, ���*�/�+ ��)�
)*���&+�)��" � ����,%�&#&$&�'
� ���������� ���� ��� (, )(� )�� ��)�
�) � � �
� ����"�
#) � �
���"�
$) � � �"�
�) � ��
� ���)�,�� ,*)�� () (, )(� )�� ��)�
)*�)&+�))" � ����,%�)&#)&$)&�)'
� #(+� ��2) �*+� �(�
5��)2� � �(2����%��&��&����'�
��2��&���" � /(+�%)*���&+�)��&5��)2�'�
��2)(�&�)(�" � /(+�%)*�)&+�))&5��)2�'�
��� �(2�%5��)2�&��4�(2��%��2��'&./.&5��)2�&��4�(2��%��2)(�'&.���.'
2� +&���/��%.�)2*��� ,��1 ��+!���".'&���/��%.2� ) +#".'
�*��
��
� �*�� � ��� 3� *)����� )�� +���� � )*��+����!+�)�+����
+�)�+���� � �()3% ���� �"& � �"';����
)*��+���� � �����4 � � �"�
� ���%�' *�� /(*)+ (, +����
� =+����%>9(��2�'= ? =���%>9(��2�'=
)*���� � ���@4�()3% � ��"& � ���"'�
+�)��� � �"�
5��)2� � �(2����%��&�&����'�
��2+��&�+��" � /(+�%)*��+����&+�)�+����&5��)2�'�
��2��&���" � /(+�%)*����&+�)���&5��)2�'�
��� �(2�%5��)2�&��4�(2��%��2+��'&./.&5��)2�&��4�(2��%��2��'&.���.'
2� +&���/��%.�)2*��� ,��1 ��+!���".'&���/��%.2� ) +#".'
� ロバスト制御の背景
��� 感度関数と相補感度関数の意味
ここでは,��制御が出てくるに至った背景を述べる.簡単のため�入出力系を対象とする.つぎのよ
うな単一フィードバック系を考える.ただし,0 ���はプラントのノミナル値,"���は設計すべきコントロ
�
���� ��������
!���
0 ��� "���
図 �� 単一フィードバック系
ーラとし,また,����は目標値,!���は外乱,����は出力と目標値との偏差である.さらに,0 ���は次式
で表されるとする.
0 ��� 9
�� �
� �
�����
制御系設計とは,望まれる設計仕様を満足するようなコントローラ"���を見つけることであるが,そ
の設計仕様のうち非常に重要なものは,つぎのようなものである.
�� �安定条件� ノミナルプラント0 ���に対して閉ループ系は安定である �ノミナル安定性,*�4-*,� '(,"
%-�-(#�.
�� �応答特性� ノミナルプラント0 ���は外乱!���や目標値 ����のもとで,偏差����は小さい �ノミナル
性能3*�4-*,� 0 !5�!4,*6 �.
�� �ロバスト性� 制御対象にモデル化誤差や変動が存在しても,閉ループ系の安定性が保持され �ロバス
ト安定性3!�%&'( '(,%-�-(#�,応答特性の変化も少ない �ロバスト �制御�性能3!�%&'( 0 !5�!4,*6 �.
��
設計仕様��の解は,安定化補償器のD�&�, �,!,4 ( !-E,(-�*として与えられ,閉ループ系を安定化する
すべての線形コントローラがつぎの形で与えられることがわかっている.
"��� 9 �- ����6�����������7��� :6�������� ����
ただし,6���は任意の安定プロパな伝達関数行列とし,����� �����は次式のノミナルプラント0 ���の既
約分解である.
0 ��� 9 ���������� ����
また,�7��� - ����は E�&(等式の解である.これらの状態空間表現の�つは次式のように表される.
���� 9
��� 8� �8
� �
� ���� 9
��� 8� �
� �
�����
7��� 9
��� 8� �8
� �
� - ��� 9
��� 8� �
� �
�����
ただし,8�は行列 ��� 8�� ������が安定行列となるような行列とする.特に,6��� 9 �とすると,
コントローラは
"��� 9 - �����7��� 9
��� 8� ��� 8
� �
�����
となり,状態空間表現すると,次式のようになる.
���� 9 ��9��� ����
89��� 9 ��� 8� ����9���� 8���� ����
したがって,����が状態フィードバック:オブザーバの形になっていることがわかる.
設計仕様��については,偏差 ����が
���� 9 �� : 0 ���"����������� � !���� ����
と表せる.ここで,単一入出力系では,その周波数応答を考え,���� !���のゲインの大きくなる周波数帯
域で,伝達関数 �� : 0 ���"������のゲインを小さくすれば,����の振幅は小さくできることがわかる.特
に,ピークゲイン: 9 '&0 ��� : 0 �)%�"�)%���を小さくすると,全周波数帯域にわたって
���)%�� :���)%�� !�)%�� ����
を保障することができる.ここで,:がスカラ伝達関数の��ノルムになっている.:を小さくすることは,
どのような周波数帯域をもつ入力信号が入ってきてもこれの出力への影響を減じることを意味している.ま
た,多変数系で伝達関数が行列になる場合の��ノルムは,最大特異値を用いて,次式のように表されるこ
とに注意しよう.
����� 9 '&0
+������)%�� ����
設計仕様 ��はロバスト安定性とロバスト �制御�性能である.まず,ロバスト安定性について述べる.ま
ず,プラントのモデル化誤差の定義を行う.摂動プラントを次式のように乗法的摂動を用いて表す.
A0 ��� 9 �� :B�����0 ��� ����
��
ただし,0 ���はノミナルプラントの伝達関数,B����は乗法的不確かさの伝達関数である.乗法的不確か
さの大きさの上限値は次式のように表されると仮定する.
+����B��)%�� ' �2�)%��3 5�! ,�� % / � ����
上式を満たすすべての不確かさを集合 �で定義する.
� 9 �B���� � +����B��)%�� ' �2�)%��3 5�! ,�� % / �� ����
したがって,正確なモデルが構築できない実対象をモデリングする際には,対象の大体の動特性とそのモデ
ル化誤差の大きさの範囲を求めるように行わなければならない.したがって,このような実対象では,ノ
ミナルプラント0 ���の伝達関数を実プラントと見なして,設計仕様��3��を満足するようにコントローラ
"���を決定することになるが,本当のプラントは摂動プラント A0であるとして,0 ���より導出した"���
を A0のコントローラとして用いてもなるべく不都合が起きないようにしておくように設計するのが,ロバス
ト制御系設計の考え方である.ロバスト制御の基本的条件はつぎの�点である.
� 低感度特性 � 閉ループ系の伝達特性 �閉ループ伝達関数�がノミナルプラント0 ���と摂動プラント A0 ���
であまり変化しないことを意味し,これの指標となるのが感度関数である.ノミナルプラントに対す
る閉ループ伝達関数を& ���,摂動プラントに対する閉ループ伝達関数を A& ���とおくと,次式のよう
になる.
& ��� 9 �� : 0 ���"������0 ���"��� 9 0 ���"����� : 0 ���"������ ����
A& ��� 9 �� : A0 ���"������ A0 ���"��� 9 A0 ���"����� : A0 ���"������ ����
ここで,Æ���を次式のようにプラントが0 ���から A0 ���に変わったときの閉ループ伝達関数の乗法的
変動分として定義する.
A& ��� 9 �� : ����& ��� ����
乗法的不確かさB���を用いると,次式が成立する.
A& ��� 9 �� :B����0 ���"����� : �� :B����0 ���"������ �� : �� : 0 ���"������B����& ���
これから
��� 9 �� : 0 ���"������B��� ����
となり,�� : 0 ���"������はプラントの変動分に対する閉ループ伝達関数の影響分を表しており,こ
れを感度関数といい,記号;���で書く.したがって,モデル化誤差B���による閉ループ伝達関数が
あまり変化して欲しくない周波数帯域,一般には低周波域,において,感度関数のゲインを小さくす
ることが要求される.これを低感度特性という.通常,!��� ����とも低周波信号であることから,こ
れは設計仕様��と同様の条件になり,つぎのような仕様にまとめられる.
感度関数に対する設計仕様
<����;���� ' � ����
ただし,<����はプロパで零点,極ともに安定であるような伝達関数で,かつ,それぞれ
の制御対象に応じて低周波域でゲインを適度に大きく取るように設定する.
��
� ロバスト安定性 � 低感度特性は閉ループ伝達関数の変動の大きさを小さくするだけであるので,ノミ
ナルプラント0 ���を安定化するコントローラ"���が,同時に摂動プラント A0 ���も安定化していると
は限らない."���が0 ���とすべての変動に対する A0 ���の集合に対しても閉ループ系が安定であると
き,ロバスト安定であるといい,"���をロバストコントローラという.����式なる誤差範囲に入って
いるすべての摂動プラント A0 ���を安定化するコントローラが満たすべき必要十分条件は次式である.
相補感度関数に対する設計仕様
2����& ���� � ����
ここで,& ���はノミナルプラントの閉ループ伝達関数であるが,次式が成り立つことから,これを特
に相補感度関数という.
;��� : & ��� 9 �
� ロバスト �制御�性能 � 摂動プラントが安定でかつ,摂動プラントの感度関数がノミナルプラントと同
様に次式の設計仕様をみたすとき,ロバスト �制御�性能を有するという.
<���� A;���� ' � 5�! ,�� B���� � � ����
ただし,A;��� 9 ��: A0 ���"������とする.上式の設計仕様を周波数で記述すると,つぎのようになる.
+���;<��)%� A;�)%�< ' � 5�! ,�� % � � ,*. B���� � �
ロバスト性能のための十分条件はつぎのようにして導出できる.ます,つぎのような変形が可能で
ある.
<���� A;��� 9 <������ : A0 ���"������
9 <������ : �� :B�����0 ���"������
9 <������ : 0 ���"��� : B����0 ���"������
9 <������� :B����0 ���"����� : 0 ���"��������� : 0 ���"�������
9 <������ : 0 ���"�������� : B������ : 0 ���"������0 ���"������
9 <����;����� :B����& ������
ここで,特異値についてつぎの不等式
+���;��< +���;�<+���;�<
+���;���< 9
�
+���;�< +���;�
��< 9�
+���;�<
+���;�:�< +���;�< : +���;�<
+���;�<� +���;�< +���;�:�< +���;�< : +���;�<
が成り立つことに注意すると,次式が導出できる.ただし,+��� +���は各々,最大特異値,最小特
異値を表している.
+���;<��)%� A;�)%�< +���;<��)%�;�)%�<+���;�� : B��)%�& �)%����<
9+���;<��)%�;�)%�<
+���;� :B��)%�& �)%�<
+���;<��)%�;�)%�<
�� +���;B��)%�& �)%�<' �
��
このしきから,次式が導出され,この条件を満たすコントローラを求める問題を混合感度問題という.
+���;<��)%�;�)%�< : +���;B��)%�& �)%�< ' � 5�! ,�� % � � ,*. B���� � � ����
��� ������による���コントローラによる閉ループ系応答計算
次式のサーボモータのノミナルプラントと摂動プラントを例にする.
0 ��� 9���
���: ���� A0 ��� 9
���
���� : ��������: �� : ����9
���
�������� : �����: ��������
次式の���コントローラによりフィードバック制御系を構成する.ただし,�動作はフィルタ付きの近似
微分を採用している.
"��� 9 "� :"�
�
�:"�
�
������: �����
ここで,"� "� "�が���コントローラの設計パラメータであり,�は近似微分器の除数とよばれ,���
程度の値がよく用いられる.
� 閉ループ系シミュレーション用ファイル ��-4&�-*?�
ブロック線図 �$�(�(�9�$� +��+�"� 9 ��"� 9 ���"� 9 ���� � 9 ���のときの応答をシミュ
omega
omega
theta
theta
theta_perturbedP
theta_nominalP
Step1
Step
250
0.01s +1.05s+1302
Perturbed Plant
PID
PID Controller(with Approximate
Derivative)1
PID
PID Controller(with Approximate
Derivative)
250
s+130
Nominal Plant
1s
Integrator1
1s
Integrator
図 �� �)サーボモータの���制御系
レーションする.出力データはA�(�でグラフ化できるが,もっと精密なグラフを書くには,A�(�
のプロパティのデータヒストリでFデータをワークスペースに保存Fをチェックし,変数名を与えて �
ここでは,�����と�����)としている�,フォーマットを時間付き構造体として,シミュレーショ
ンを開始する.シミュレーションが終了すると,変数がワークスペースに保存されているので,つぎ
のファイルを用いてグラフ化する.
� グラフ表示ファイル�プログラム�� �$�(�(�9�-2����
� +��5 2�� (, 5(�-�����+���
� ��3� ��(��+��� �( 5(�-����
� +����)��� �����& �����)
�
�(�%�����)�� ��&�����)�� 2)����3��*��&./�.&������� ��&������� 2)����3��*��&.���.'
���/��%.� �� ���".'&���/��%.9���� ��+".'
このときのグラフはつぎのようになる.
��
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
time[sec]θ [rad]
図 �� �)サーボモータの���制御系の角度応答 �実線�ノミナルプラント,破線�摂動プラント�
��� ������による感度関数と相補感度関数の計算方法
前出の�)サーボモータを例にして,���フィードバック制御系の感度関数と相補感度関数を求め,そ
の �. 線図を描く.
� �)サーボモータの閉ループ系の感度関数と相補感度関数 �コントローラは���コントローラ�を定義
する�-4&�-*?ファイル
ブロック線図 �$�(�(�9�$�(�(���)����+�この図で,入力端子 �から出力端子 �までの伝達関数がノ
omega
omega
theta
theta
4
comsens_p
3
sens_p
2
comsens_n
1
sens_n
250
0.01s +1.05s+1302
Perturbed Plant
PID
PID Controller(with Approximate
Derivative)1
PID
PID Controller(with Approximate
Derivative)
250
s+130
Nominal Plant
1s
Integrator1
1s
Integrator
2
In2
1
In1
図 �� 感度関数と相補感度関数を求めるブロック線図
ミナルプラントの感度関数,入力端子�から出力端子 �までの伝達関数がノミナルプラントの相補感度
関数,入力端子�から出力端子�までの伝達関数が摂動プラントの感度関数,入力端子�から出力端子
�までの伝達関数が摂動プラントの相補感度関数である.これを� )�(+��関数を用いて,��
により計算できるファイルをつぎに示す.
プログラム�� �$�(�(�9�$����)��(����
� �&#&$&�" � � )�(+%.�$�(�(���)��.'
#�) � #%6&�'�#�) � #%6&�'�$�) � $%�&6'�$�) � $%�&6'�
��) � �%�&�'���) � �%�&�'�#� � #%6&�'�#� � #%6&�'�
$� � $%�&6'�$� � $%8&6'��� � �%�&�'��� � �%8&�'�
)*�A)&+�)A)" � ����,%�&#�)&$�)&��)'
)*��)&+�)�)" � ����,%�&#�)&$�)&��)'
��
)*�A&+�)A" � ����,%�&#�&$�&��'
)*��&+�)�" � ����,%�&#�&$�&��'
�*/�(�%�&�&�'&/(+�%)*�A)&+�)A)'
�*/�(�%�&�&�'&/(+�%)*��)&+�)�)'
�*/�(�%�&�&�'&/(+�%)*�A&+�)A'
�*/�(�%�&�&8'&/(+�%)*��&+�)�'
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
-200
0
200
100
0
90
180
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)Phase (deg)
Magnitude (dB)
-50
0
50
100
-180
-90
0
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
-200
0
200
100
-180
0
180
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
-100
0
100
100
-360
-180
0
図 ��� 感度関数と相補感度関数のボード線図 �左上�ノミナルプラントの感度関数,右上�ノミナルプラント
の相補感度関数,左下�摂動プラントの感度関数,右下�摂動プラントの相補感度関数�
� ��制御の標準問題の定式化
前述したように制御系設計の問題は,ある閉ループ伝達関数の��ノルムを指定した値以下にする問題
に帰着できることがわかる.そこで,一般的な��制御問題とロバスト制御に適用する場合の方法について
述べる.
��� 一般化プラントと閉ループ系
一般的ロバスト制御でのプラント表現は次図のようなものであり,これを一般化プラントあるいは標準
プラントと呼ぶ.ただし,各信号はつぎのように定義されている.
9��� 制御量 �設計者が小さくしたい量� =��� 外部信号 �外乱,目標値信号など�
���� 操作入力 ���� 観測出力
ここで,����は次式で与えられる伝達関数である.����は必ずしもプラント自身の伝達関数のみとは限ら
ないのが普通である �次節で例を述べる�.�9���
����
�9 ����
�=���
����
�9
������� ������
������ ������
� �=���
����
�����
��
����
9���
����
=���
����
図 ��� 一般化プラント
これは,次式のように状態空間表現できる.���
8����
9���
����
��� 9
���
� �� ��
�� ��� ���
�� ��� ���
������
����
=���
����
��� ����
これを��#� 記号で書くと,つぎのようになる.
���� 9
���
� �� ��
�� ��� ���
�� ��� ���
��� ����
一般化プラントにコントローラ
���� 9 "������� 9
�� �
� �
����� ����
を入れて閉ループ系を組んだときのブロック線図は,つぎのようになる.
����
9���
����
=���
����
"���
図 ��� 一般化プラント
��� 一般化プラントとロバスト制御の関係
前章に登場した問題を一般化プラントの問題として定式化する.
����� 感度最小化問題
感度関数の最小化問題は,次図のような形の一般化プラントの問題に変形できる.各信号の関係は次式
のようになる.
9��� 9 <�������� ���� 9 =���� 0 ������� ���� 9 "�������
��
9=
<����
0 ���
"���
� ":
�
図 ��� 感度最小化問題
ただし,<����は出力信号で強調される周波数領域を指定するもので,周波数重みと呼ばれる.これから,
一般化プラントは次式のようになる.�9���
����
�9 ����
�=���
����
�9
�<���� �<����0 ���
� �0 ���
��=���
����
�
また,0 ���<����の状態空間表現を
0 ��� 9
�� �
� �
� <���� 9
��� ��
�� ��
�
とすると,����の状態空間表現はつぎのようになる.
���� 9
������
�� ��� �� �
� � � ���� ��� �� �
� �� � �
������
また,=から 9までの伝達関数は次式のようになる.
9��� 9 <������ : 0 ���"������=���
これらの伝達関数を実際に求めるには,前述したように�-4&�-*?でブロック線図を構成し,� )�(+��関数
を用いるのが便利である.
感度最小化問題と準感度最小化問題はつぎのように定式化できる.
� 感度最小化問題 � 4-*�� <������ : 0 ���"�������� 準感度最小化問題 � <������ : 0 ���"������� ' :
ここで,周波数重みについて,
+���;<��)%�< �=��)%�� ����
であると仮定すると,準感度最小化問題が解決するための十分条件は,次式のようになる.
+���;;�)%�< ' �=��)%�� ����
この問題は結局,感度関数のゲインを全周波数領域において周波数整形する問題であることがわかる.
��
����� ロバスト安定性とスモールゲイン定理
次図のようなある特定の不確かさB���がフィードバックされる閉ループ系を考える.ただし,B���>���
ともに単体では安定であるとする.この閉ループ系が内部安定 �内部状態信号が安定�であるための十分条
件は次式が成立することである.これをスモールゲイン定理と言う.
+���;>�)%�B�)%�< ' � 5�! ,�� % ����
上式の十分条件として,次式がいえる.
+���;>�)%�< '�
+���;B�)%�< 5�! ,�� % ����
>���
B���
図 ��� �4,�� �,-* �/ �! 4
さらに,不確かさB���が次の条件を満たすすべての集合 を考える.
9 �B��� � B� '�
:� ����
このとき,すべてのB��� � に対して,閉ループ系が内部安定になるための必要十分条件は次式が成り立つことである.
>���� : ����
����� ロバスト安定化問題 �乗法的不確かさ�
乗法的不確かさB���2����に対するロバスト安定化問題は,次図のような形の一般化プラントの問題に
変形できる.ただし,B���は の任意の要素で,また,2����はその周波数重みとする.各信号の関係は次
式のようになる.
9��� 9 �2����0 ������� ���� 9 =��� � 0 ������� ���� 9 "�������
これから,一般化プラントは次式のようになる.�9���
����
�9 ����
�=���
����
�9
�� �2����0 ���
� �0 ���
��=���
����
�
また,=から 9までの伝達関数は次式のようになる.
9��� 9 2������ : 0 ���"������0 ���"���=���
これから,ロバスト安定化問題は,次式のように定式化される.
2������ : 0 ���"������0 ���"���� :
準感度最小化問題と同様に,これは相補感度関数& ���を周波数整形する問題であるといえる.この場合の
周波数重みは,��問題の可解性のために,2����0 ���がプロパとなるように選ぶ必要がある.0 ���が厳密
にプロパであるならば 2����はインプロパなものを選ぶ必要がある.
��
B���2����
0 ���
=
::
�0 ���"���
::
9
=
B���
���� ����"���
2����
��
図 ��� 乗法的不確かさに対するロバスト安定化問題
����� ロバスト安定化問題 �加法的不確かさ�
加法的不確かさに対するロバスト安定化問題は,次図のような形の一般化プラントの問題に変形できる.
各信号の関係は次式のようになる.
::
9
=
B���
2����
��
"���
0 ���
図 ��� 加法的不確かさに対するロバスト安定化問題
9��� 9 �2�������� ���� 9 =���� 0 ������� ���� 9 "�������
これから,一般化プラントは次式のようになる.�9���
����
�9 ����
�=���
����
�9
�� �2������ �0 ���
��=���
����
�
また,=から 9までの伝達関数は次式のようになる.
9��� 9 �2����"����� : 0 ���"������=���
��
これから,ロバスト安定化問題は,次式のように定式化される.
2����"����� : 0 ���"������� :
"����� : 0 ���"������を準相補感度関数と呼ぶ.
����� 混合感度問題
混合感度問題は,感度関数;���と相補感度関数& ��� 9 � � ;���あるいは準相補感度関数"���;���と
を同時に周波数整形する問題である.つぎのような問題が考えられる.
������ <����;���
2����& ���
������
' :
ここで,;��� : & ��� 9 �であるので,周波数重みは次式を満足しなければならない.
+���;<��� �)%�< : +���;2
��� �)%�< / :�� 5�! ,�� %
とくに,伝達関数がスカラの場合には,��ノルム条件を特異値を用いて表すと,次式のようになる.
+���
�<��)%�;�)%�
2��)%�& �)%�
�9��<��)%�;�)%��� : �2��)%�& �)%���� ����
ここで,伝達関数がスカラの場合にはつぎの不等式が成り立つ.
� ���<��)%�;�)%�� �2��)%�& �)%��� '��<��)%�;�)%��� : �2��)%�& �)%���
これから,つぎのような十分条件が成り立つ.��<��)%�;�)%��� : �2��)%�& �)%��� ' �
� �4,+��<��)%�;�)%�� �2��)%�& �)%��� ' �
� ��<��)%�;�)%��: �2��)%�& �)%�� ' �
したがって,この混合感度問題が満足されれば,ロバスト �制御�性能も満たされることになる.
������ <����;���
2����"���;���
������
' :
�
�������<����;���
2����"���;���
2����& ���
��������
' :
��� 不確かさを含んだ一般化プラントの閉ループ系
不確かさを含んだ一般化プラントは次図のように表される.ただし,各信号はつぎのように定義されて
いる.
9��� 制御量 �設計者が小さくしたい量� =��� 外部信号 �外乱,目標値信号など�
���� 操作入力 ���� 観測出力
���� 不確かさB���の出力 ���� 不確かさB���の入力
��
����
9���
����
=���
����
��������
B���
図 ��� 不確かさを含む一般化プラント
ここで,����は次式で与えられる伝達関数である.���
����
9���
����
��� 9 ����
���
����
=���
����
��� 9
���
������ ������ ������
������ ������ ������
������ ������ ������
������
����
=���
����
��� ����
���� 9 B������� ����
これは,次式のように状態空間表現できる.������
8����
����
9���
����
������ 9
������
� �� �� ��
�� ��� ��� ���
�� ��� ��� ���
�� ��� ��� ���
������
������
����
����
=���
����
������ ����
�8����
����
�9
�� �
� �
� �����
����
�����
これを��#� 記号で書くと,つぎのようになる.
���� 9
������
� �� �� ��
�� ��� ��� ���
�� ��� ��� ���
�� ��� ��� ���
������ ����
B��� 9
�� �
� �
�����
不確かさを含む一般化プラントにコントローラ
���� 9 "������� 9
�� �
� �
����� ����
を入れて閉ループ系を組んだときのブロック線図は,つぎのようになる.
��� 線形分数変換����
一般化プラントの閉ループ系を表現する方法として,線形分数変換 ��-* ,! 5!,6(-�*,� (!,*'5�!4,(-�*3����
がある.つぎの�つのタイプの���が定義されている.ここで,����>���は次式のような伝達関数とする.
��
����
9���
����
=���
����
��������
B���
"���
図 ��� 一般化プラント
>���
9���
����
=���
����
"���
����
����
9���
!���
=���
B���
�,� ��G ! ��� �%� �00 ! ���
図 ��� ���
�9
�
�9
�>�� >��
>�� >��
��=
�
� ��
9
�9
���� ���
��� ���
��!
=
�����
このとき,,図 �,�において,��>��"が正則のとき,下線形分数変換 ���G ! �-* ,! 5!,6(-�*,� (!,*'5�!4,(-�*3
����� ���>"�は,次式のように=から 9までの伝達関数として定義される.
���>"� 9 >�� :>��"�� �>��"���>�� ����
また,図 �%�において,� ����Bが正則のとき,上線形分数変換 �&00 ! �-* ,! 5!,6(-�*,� (!,*'5�!4,(-�*3
����� �� ��B�は,次式のように=から 9までの伝達関数として定義される.
�� ��B� 9 ��� :���B�� ����B������ ����
��� 連鎖散乱表現と��表現の関係
����式と���とは一見無関係に見えるがそうではないことを説明する.つぎのようなブロック線図の
>���を連鎖散乱 �6/,-* '6,(( !-*1�表現という.
��
>��� 9���
=���
����
+���
図 ��� )/,-* �6,(( !-*1表現
�+
�
�9
�>����� >�����
>����� >�����
� �=
9
�����
また,一般化プラント>���を次図のようにおく.
>���
9���
+���
=���
����
図 ��� 一般化プラント表現
�9
+
�9
�>����� >�����
>����� >�����
��=
�
�����
>����が存在すると仮定し,����式を変形すると次式が得られる.
9 9 �>���� >��= :>���� �
+ 9 �>�� �>��>���� >���= :>��>
���� �
これから,連鎖散乱表現と一般化プラント表現の関係が次式のようになることがわかる.
>�� 9 �>���� >��
>�� 9 >����
>�� 9 >�� �>��>���� >��
>�� 9 >��>����
ここで,信号+と �をブロック6���で結合した次図の系を考える.このとき,� 9 6���+であることか
>���
9���
=���
����
+���
6���
図 ��� )/,-* �6,(( !-*1表現
ら,次式が成り立つ.
+ 9 >��= :>��9
� 9 >��= :>��9
��
� 9 6���+に代入すると,次式のようになる.
>��= :>��9 9 6�>��= :>��9�
�>�� �6>���9 9 �>�� �6>���=
�>�� �6>�����が存在するとき,次式が得られる.
9 9 �>�� �6>������>�� �6>���= ����
これは,D�&�, �,!,4 ( !-E,(-�*と同等の表現になっていることがわかる.また,これは,連鎖散乱表現と
一般化プラント表現の関係から,次式のように����表現できることがわかる.
9 9 ���>6�= 9 �>�� :>��6�� �>��6���>���= ����
��� 摂動プラントと���表現
� 乗法的不確かさをもつ摂動プラント � A0 ���は次式のように定義されている.
A0���� 9 �� :B�����0 ��� ����
このとき,摂動プラントは����を用いると,次のように書くことができる.
B���
0 ���:
:
� 9 =
� !
� 9 9
図 ��� 乗法的不確かさをもつプラント
A0� 9 �� ���B�� ����
�� 9
�� 0
� 0
�����
� 加法的不確かさをもつ摂動プラント � A0 ���は次式のように定義されている.
A0���� 9 0 ��� : B���� ����
B����
0 ���
:
:
� 9 =
� !
� 9 9
図 ��� 加法的不確かさをもつプラント
A0� 9 �� ���B�� ����
�� 9
�� �
� 0
�����
��
�
���� ��������
!����
0 ��� "���
!����
:
:
:
:
図 ��� 単一フィードバック制御系
��� 閉ループ伝達関数と��表現
つぎの単一フィードバック制御系を考える.この系で出力を� �,入力を � !� !�とする入出力関係は次
式のようになる.
�� �0" �
���
�
�9
�� � 0
" � �
�����
!�
!�
��� ����
ここで,次式のような逆行列が存在するとき,フィードバック制御系は意味をもち,このとき,制御系は
G ��"0�' .であるという. �� �0" �
�9
�; ;0
�"; � �";0
�
ただし,; 9 �� : 0"���とする.これから,次式が成立する.
��
�
�9
�& ; ;0
"; �"; �";0
�����
!�
!�
��� ����
ただし,& 9 �� : 0"���0"とする.このとき,各信号に対する閉ループ伝達関数は,����を用いてつ
ぎのように表すことができる.ここで,信号 から信号 .までの閉ループ伝達関数を&��で書くことにする.
� &�� 9 & 9 ���>"�
> 9
�� 0
� �0
� 9 9 � = 9 �
� &��� 9 ; 9 ���>"�
> 9
�� �0� �0
� 9 9 � = 9 !�
� &��� 9 ;0 9 ���>"�
> 9
�0 �00 �0
� 9 9 � = 9 !�
� &�� 9 "; 9 ���>"�
> 9
�� ��� �0
� 9 9 � = 9 �
��
� �&��� 9 ";0 9 ���>"�
> 9
�� �
0 �0
� 9 9 � = 9 !�
��� 摂動プラントの閉ループ伝達関数と��表現
次図が不確かさをもつ一般化プラントの閉ループ系である.
����
9���
����
=���
����
��������
B���
"���
図 ��� 不確かさをもつプラントの閉ループ系
���
�
9
�
��� 9 ����
���
�
=
�
��� 9
���
��� ��� ���
��� ��� ���
��� ��� ���
������
�
=
�
��� ����
このとき,つぎのような���表現を定義する.
� 摂動開ループ伝達関数 � A���� 9 �� ��B�
� ノミナル閉ループ伝達関数 � < ��� 9 ����"� 9
�<�� <��
<�� <��
�
<���ロバスト安定性に関係,<���ノミナル性能に関係
� 摂動閉ループ伝達関数 � A< ��� 9 ����� ��B�"�3ロバスト �制御�性能に関係
乗法的不確かさと加法的不確かさをもつ摂動プラントを不確かさをもつ一般化プラントで表現すると,つ
ぎのようになる.
� 乗法的不確かさをもつ摂動プラントの場合
���� 9
���
� � �0� � �0� � �0
��� B 9 B�
��
� 加法的不確かさをもつ摂動プラントの場合
���� 9
���
� � ��� 0 �0� 0 �0
��� B 9 B�
� ��制御の標準問題と���による解法
��� 問題設定と������ ��!��の解
次式の一般化プラントとコントローラを対象とする.
�9���
����
�9 ����
�=���
����
�9
���
� �� ��
�� ��� ���
�� ��� ���
����
=���
����
�����
���� 9 "������� 9
�� �
� �
����� ����
ただし,9 � ��3� � ��3� � ��3= � ��とし,状態変数�は� � ��とする.このとき,=から 9までの伝
����
9���
����
=���
����
"���
図 ��� 一般化プラント
達関数である����は次式のようになる.
�� 9 ������ :������"����� � 0�������������� ����
標準��制御問題はつぎのように定義される.
閉ループ系を安定にし,かつ,指定された値:に対して,
����"�� ' : �����
となるようなコントローラ"���を求めよ.
最小の:は特別な場合を除いて解析的に求まらないので,極値探索法を用いて,:の値が許容の範囲の値にな
るように繰返す.これを:� 5��� �5? という.さらに,この問題の解の可解性は,ある条件を満たす$-66,(-
方程式の解の存在性に帰着されるが,そのための前提条件として,つぎのような仮定がある.
� �����は可安定
� ���は縦長列フルランク
��
� ������は虚軸上に零点をもたない.つまり,次式が成立する.
!,*?
��� )%� ��
�� ���
�9 : @ 5�! ,�� %
� �����は可検出
� ���は横長行フルランク
� ������は虚軸上に零点をもたない.つまり,次式が成立する.
!,*?
��� )%� ��
�� ���
�9 : 3 5�! ,�� %
����年代終わり頃,��#� "���� !は状態空間表現のみから��制御の解を導出し,これが��制御を一挙
にポピュラーなものになった.ここでは,��� 9 � ��� 9 �としたときの初期のことの解を紹介する.
つぎの�つの$-66,(-方程式を定義する.
��������������
���������
�7� :7���������������
���������
�7�������������
���� � :������� �7� : ��
� �� � ��� �����
�������
�������� 9 �
��������������
����
�����-� : -���������������
����
������
-����� �����
����
���� � :������� �-� :���
�� ����
��������
����
�������� 9 �
行列8�を�つの$-66,(-方程式の半正定解7� -�を用いて,つぎのように記述する.
8 9
���
8��
8��
8�
��� 9
�:����
� 7�
����������
��������� :��
� 7��
�
� 9��� ��� ��
9:��-���
� ������� : -���
� ����������
��
ただし,各行列の大きさはつぎのようにおいている.
8�� � ������� 8�� � ���� 8� � ����
��� � ������� ��� � ���� �� � ����
このとき,��コントローラ"���は,つぎの�条件が成り立つとき存在する.
� �本の$-66,(-方程式の準正定解7� � �3-� � �が存在する.
� ,���;7�-�< ' :
さらに,すべてのコントローラは次式のような����で与えられる.これを��コントローラのパラメトリ
ゼーションという.
"��� 9 ������� 6���� �����
���� 9
���
�� ��� ���
��� � �
��� � �
��� �����
�� 9 �:��� ���
�� :����
��
��� 9 ���
��� 9 �� :���
��� 9 8�A
��� 9 ���� : 8���A
A 9 �� � :��-�7����
6��� � � �����
ただし, �はつぎのような集合とする.
� 9 �6は安定でプロパな伝達関数 � 6� ' :� �����
��� ���� "�#$%& '�(&��� ����#�)を用いた��コントローラの導出
����� 関数群
$�%&'( )�*(!�� ����%�+では,つぎのような関数がある.�������������� 周波数重みを指定して混合感度問題の一般化プラントの導出���� ��コントローラのパラメトリゼーションの導出������ ��コントローラのパラメトリゼーションの導出�� ���� � � ��������
���� ���計算����� ���制御系設計������� 設計���� ���記号表現を求める ��������と同様�� ������ ��ノルム計算� ����� ��ノルム計算������� 特異値線図���� ���� ������方程式の求解������� 平衡実現による低次元化������ ����法による低次元化������� 双�次変換によるディジタル化�������� デモ�������モデル
����� 例題
),+���+�を�-4&�-*?でロードすると,つぎのようなブロック線図が表示される.
これは,感度関数,準相補感度関数,相補感度関数の混合感度問題を解くためのものである.ウィンド
ウ内の下側に�つあるブロックをダブルクリックすると,登録してあるファイルが起動するようになっ
ている.特に,起動ファイルを確認するには,マウスの右ボタンをクリックしてショートカットメニュ
ーを表示させて,ブロックプロパティのオープン関数のところに,書いてあるものを確認すればよい.�つ
の各ブロックについて説明する.
� $ "��,. �,(,のオープン関数で起動されるファイル� ),+�����
� � � +��( �(3 +�� � ABAC ��(��+ �(( �()��(� ������ +�� 2)�+
� /� *� )2 �� �(/*�� $()��(� �((�/(�� D�� �� *��+(5) ��)*� �( �*)
� �� � �*��� ()� �(*/����� �- �� /�(�-� () �� /(��(� ,(�
� �(�� ,*)�� ()��
�
� ��� (, �� ��������� ��� ���+ ) ,�(� E����# 5(�-���� 3�� �/����
��
* Curves inside weighting function blocks are the weighting function bode plot
H_infinity Control Design
4
Outport4
3
Outport3
2
Outport2
1
Outport1
SumSignal
Generator Scope
Robustness WeightingInv(W3) function
in out
Plant
Performance Weighting Inv(W1) function
Input WeightingW2 Function
Re−LoadData
Double click hereto start loading dataand mu−syn design
ControllerNyquist
Double click hereto show Nyquistplot of controller
Closed−LoopNyquist
Double click hereto show Nyquist
plot of closed−loop
ControllerBode Plot
Double click hereto show Bode plot
of controller
Closed−LoopBode Plot
Double click hereto show Bode plot
of closed−loop
Re−Design
Double click hereto redesign the
H_infty controller
H_infty Controller
Controller
?
About hinfdm
1
Inport
図 ��� /-*5.4�4.�
� �� ��)� �(+�� � �&/&�&+"�
� �� )*��%�' )*��%�' �� )*��%�'
� 5� %�' � �������� 5�%�' � �������� 5� %�' � �������
� +�)�%�' +�)�%�' +�)�%�'
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���
���G���8@ @8�8��@ ��GH�@��� ����88@ �8��@I�8 ���@��� ��I�@G8G �@�����I
�G����� ����HG�� �����G@� ����HHG� �@�@�GH �G�I��� ���H�8 �@��8I��
��G������ HG����@ �@����@8� G��IH�� �HG�I@�G �I�II8@ ��@�8��H ��H����H
������� ����I@GI I8�8@@@ �H�H�8� H��G8I �8�@8�� �����I ��8�8H��
��G�I��� H�8@�� ��I�8��� I�GGI� ����8HI� ��G8GI I����G ��H���@�
���@@@ �����@� ���8�8� ���@�HH ���G�� ���I@�� ����H� ��@�IG@�
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������� ���8HH8 ��I�HI ����H8 �H���GH �G���IH ��GG�@ �@���G��
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� $ "� '-1*のオープン関数で起動されるファイル� ),+�����
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� K��3 � ()6 ��@ K
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��� � ��%�&/&�&+'�
�5�&/5�&�5�&+5�" � �,���%+�)�&)*��'� ���5� � ��%�5�&/5�&�5�&+5�'�
�5�&/5�&�5�&+5�" � �,���%)*��&+�)�'� ���5� � ��%�5�&/5�&�5�&+5�'�
�5�&/5�&�5�&+5�" � �,���%+�)�&)*��'� ���5� � ��%�5�&/5�&�5�&+5�'�
����� �5� �5� �5� /5� /5� /5� �5� �5� �5� +5� +5� +5�
+ �%.D�� �D:ELM� �( �()���*�� �� �*2��)��+ ��)�.'�
+ �%. .'�
������*2��%���&���5�&���5�&���5�&�'�
+ �%.#* �+ � /���)��+ ������ *� )2 C#���L��.'�
+ �%. .'�
�&#�&#�&$�&$�&���&���&���&���"�/��)�%����'�
��&//&��&��&��" � (/������%�& #� #�"& $��$�"'�
� � ��� #� � //%6&�'� #� � //%6&�'� $� � ��%�6�&6'� $� � ��%8&6'�
���� � ������ %�-���%�&#�&#�&$�&$�&���&���&���&���&.���.''�
+ �%. .'�
+ �%.D�� <BMN �( +�� 2) �) <�BMN �()��(����.'�
+ �%. .'�
����"� ),%����'�
��&/�&��&+�"���+���%����'�
����� � #� #� $� $� ��� ��� ��� ��� �� // �� ���5� ���5� ���5� ����
+ �%.�()�.'
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�&�&0&5"���� ��%�&/&�&+&��&/�&��&+�'�
�&�&0&5"���((%�&�&0&5&��'�
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�*/�(�%���'� ��� �(2�%5&�%6&�''�
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�*/�(�%���'�
� )��' ."���0 �#7&-'(のオープン関数で起動されコマンド
�&�&0&5"�,��+/��-%�&/&�&+&��&/�&��&+�&��'�
��,& )�1* ��%�&�&0&5'�
� )�*(!��� ! �#7&-'(のオープン関数で起動されるコマンド
��,� )�1* ��%��&/�&��&+�'
これから,ノミナルプラントの状態空間表示 ; . � !<と<����<����<����の周波数重みを書き換え,
������ 2)をダブルクリックして全部の条件をクリアすれば,コントローラの状態空間表示 ; � .� �� !�<
を導出できる.さらに,シミュレーションを実行することにより,'-1*,� 1 * !,(�!から発生する目標値信
号に対する応答をシミュレーションできる.少し変形して,つぎのような�-4&�-*?ファイルとファイル
を作成する.また,モータの場合には,<����を�次の多項式型にすることと,虚軸シフトが必要になる.
虚軸シフトして求めたコントローラは逆シフトしてもとに戻す必要がある.
� 多項式型周波数重みの与え方��*2�,!�で,周波数重みとノミナルプラントを与えることにより一般化
プラントの��#� 表現を得ることができる.
�AA�" � �D:�N%AA�:&J�&J�&J�'
�&#�&#�&$�&$�&���&���&���&���" � �D:�N%�:&#:&$:&�:&J�&J�&J�'
ただし,各パラメータはつぎのように定義されている.
���2 � �-���%�2&/2&�2&+2' �オリジナルのプラントの状態空間型�
5� 感度関数の重み行列<���Hの場合には対角行列�
M�������M�����������"93��/
5� 準相補感度関数の周波数重み行列<���Hの場合
には対角行列�
M�������M�����������"93��/
5� 相補感度関数の周波数重み行列,周波数無限大では多
項式行列 ��Hの場合には対角行列�
M�������M�����������"
ただし,重み関数を未定義にする場合には,単に空行列 ; <を入力する.
� 虚軸シフト�プラントの伝達関数を次式とする.
���� 9
�� �
� �
�
ここで,� 9 �� � Bとして,�����をつぎのような伝達関数として定義する.ただし,B / �とする.
����� 9 ���� � B�
��複素平面の虚軸は �複素平面の虚軸を右方向にBだけシフトしたものになっており,これを虚軸シフ
トという.��複素平面で安定ということは,系の極が$ ���� 9 �よりも左側にあることを意味してい
��
る.これを �平面で考えると,極が$ ��� 9 �Bよりも左側にあることに相当し,強い安定化が達成できる.�����を実際に求めるには,次式の状態空間表現を用いる.
����� 9
��: B� �
� �
�
さらに,�����に対するコントローラを"����,
"���� 9
�� �
� �
�
とすると,もとの����に対するコントローラ"���は次式のようになる.
"��� 9
�� � B� �
� �
�
� 例�たとえば,周波数重みを次式のように選定したい場合を考える.
<���� 9C�B�� : �D�%�
�B�: %�� �
C�� : �D�%��C�: %��
<���� 9 ; <
<���� 9��
���C 9 ���直流ゲイン(応答の追従誤差の調整)
B 9 ���高周波ゲイン(応答のピーク値のオーバシュートを調整)
%� 9 �クロスオーバ周波数の指定
D� 9 D� 9 ���減衰比
このとき,これらを指定して一般化プラントを求め,コントローラを計算するファイルはつぎのよ
うになる.
� �2&/2&�2&+2 ��7 )(� )�� ��)� �� �����+� 2 3�)
�2� � �2 ; ����4���%�2'� � ��2 )������ � � ,�
5� � "� 5� � � � �� � � ���"� /��� � ���� ��� � ����
5�� � �� 0���� � ��I� 0���� � ��I�
5� � /���4 ��� �40����45��4�1��%���' 5��45��"����
/��� �40����45��4�1��%/���' 5��45��" "�
���2 � �-���%�2�&/2&�2&+2'�
�AA� � �*2�,%���2& 5�& 5�& 5�'�
����& �����& ),(" � ),%�AA�'�
��&/�&��&+�" � /��)�%����'� � �()��(����
�� � �� � ����4���%��'� � )3���� ��2 )������ � � ,� (, �()�(���� ������ �
そこで,つぎのように書き換えてシミュレーションする.
� $ "��,. �,(,のオープン関数で起動されるファイル��$�� ),+�����
� ���������� ���� ��� (, )(� )�� ��)�
� �$ ���3(�(�(�
��
* Curves inside weighting function blocks are the weighting function bode plot
H_infinity Control Design
4
Outport4
3
Outport3
2
Outport2
1
Outport1
SumStep
Scope
Robustness WeightingInv(W3) function
in out
Perturbed Plant
Performance Weighting Inv(W1) function
Input WeightingW2 Function
Re−LoadData
Double click hereto start loading dataand mu−syn design
ControllerNyquist
Double click hereto show Nyquistplot of controller
Closed−LoopNyquist
Double click hereto show Nyquist
plot of closed−loop
ControllerBode Plot
Double click hereto show Bode plot
of controller
Closed−LoopBode Plot
Double click hereto show Bode plot
of closed−loop
Re−Design
Double click hereto redesign the
H_infty controller
H_infty Controller
Controller
?
About hinfdm
1
Inport
図 ��� �)4 /-*5.4�4.�
� �� ��� ���������
� � ������ � ������� � ����
�� � ����� � ��� � �����
� ���������� ���� ��� (, ���*�/�+ ��)�
� � � � �
� ��!� ��!�
� ���!� ��!� "�
/ � �
�
�!�"�
� � � � �"�
+ � ��
�
�) � � �
� ����"�
/) � �
���"�
�) � � �"�
+) � ��
� ��2 )������ � �2 ,�
� ,� � ������
� � �);� ,�4���%� 0�%�)''�
/ � /)� � � �)� + � +)�
� 5� 2� )2 ,*)�� ()
5 � �(2����%��&�&���'�
5� � "� 5� � � ��� ����� � � �"4���@� /��� � �!����
5� � � ���� � �����"4/����
�5�&/5�&�5�&+5�" � �,���%5�%�&6'&5�%�&6''�
���5� � �-���%�5�&/5�&�5�&+5�'�
��
���5� � �-���%��&�&�&�'�
���5� � �-���%��&�&�&�'�
5�(�� � 5�%�&6'�
�35� � /(+�%5�%�&6'&5�%�&6'&5'� �35� � ��4�(2��%�35� '�
�35� � /(+�%5�%�&6'&5�%�&6'&5'� �35� � ��4�(2��%�35� '�
+ �%. .'
+ �%. .'
+ �%. %��� -� � -�� �( ��� �� �(� (, �� 5� 2� )2� ���'.'
�*��
�� �% � � �8� 8�"'
��� �(2�%5&�35� &5&�35� '
2� + ()
���/��%.N��1*�)�� � ��+!A��.'
���/��%.�!J� O �!J� � +/.'
����%�&���&.A�)� � 3 �� A����� �!J�%�'.'
����%�&�G�&.�(/*��)��� A����� �!J�%�'.'
+��5)(5
�*��
�� �
+ �%.�()�.'
� $ "� '-1*のオープン関数で起動されるファイル��$�� ),+�����
� � ,*)�� () ,(� *�� 5 � �� � ), ) �� $()��(� �((�/(� +��()����� ()
� $(�� 2� �HGG����� �� E��J(�-�& B)��
� K��3 � ()6 ��@ K
,(���� �(�� �
����� �� /� �� +��
��� � �-���%�&/&�&+'�
������*2�,%���&5�&5�&5�'�
����� � �*2��%���&���5�&���5�&���5�&5�(��'�
+ �%. .'�
+ �%.D�� <BMN �( +�� 2) �) <�BMN �()��(����.'�
+ �%. .'�
����" � ),%����'�
��&/�&��&+�" � ��+���%����'�
�� � �� � � ,�4���%� 0�%��''� � )3���� ��2 )������ � � ,�
����� � #� #� $� $� ��� ��� ��� ��� �� // �� ���5� ���5� ���5� ����
+ �%.�()�.'
� 実行結果
?? <� ), C� ��� $()��(� A�)��� � 77
$(�*� )2 �� 8�/�(�- <� ), (� ��� �()��(����
��
*� )2 �� A���$ �((�� ,� )2!+���� �(� ,(��*���
A(�3 )2 ,(� �� <� ), �()��(���� N%�' *� )2 D%�' � � %+�,�*��'
A(�3 )2 � ���� �1*�� ()� �)+ ��,(�� )2 <� ), ) ��
�� ���)�� �����6
�� B� ��� ����� �)(*2P C�
�� A(�3 )2 ������,��+/��- %F' � ���� ���
�� M( <�� ��() �) >5��� � �((��P N�B�
/� ��#�4N ���/�� %F 7� �'P N�B�
�� A(�3 )2 (*�*�� )>��� () %A' � ���� ���
�� M( <�� ��() �) >5��� � �((��P C�
/� ��:4$� ���/�� %A 7� �'P N�B�
8� ��� � 2%F4A' ? � P C�
�������������������������������������������������������
MC A��#B�BQBM: $CM��C��L� ELL�A �<L AFL$� RR
�� $�CAL���CCF DMA��#�L ��
全部H�になるまで,重みの選定を変える.でも,なかなか出ない.
��� ���� � �(*�!%+% *(, !(&-�%+% ����#�)を用いた��コントローラの導出
����� 関数群�������������� 周波数重みを指定して混合感度問題の一般化プラントの導出����� 周波数応答を�������データで出力��� ��� �������データのプロット����� ���記号の構造体データ作成�������� 伝達関数を���記号に変換������� 一般化プラントの定義������� ��コントローラ設計������ 最大特異値の計算���� ���� ��ノルムの計算��� ���� ��ノルムの計算
ここで,いくつかのファイルの使用法を説明しておく.
� )+������
使用方法�伝達関数< ��� 9 " ���������� を��#� 表現<�に変換する場合
)*� � � �"� +�) � � �"� � � ���
J� � )+����%)*�&+�)&�'�
� �-��
使用方法�状態空間表現 ������を��#� 表現0�に変換する場合
� � � �� �� ��"� # � �� �"� $ � � �"� � � �"�
F� � �-%�&#&$&�'�
� *)�-��
使用方法���#� 表現0�から状態空間表現 ������に変換する場合
��
�&#&$&�" � *)�-%F�'�
� ��� ���
使用方法�つぎの閉ループ系での一般化プラント�を定義する場合 外部入力=から制御量
= 9�
<�
�0�
"
<�
::�
9�
�9�
9�
�=
��
�
"
図 ��� 閉ループ系と一般化プラント
9� 9�までの閉ループ系の伝達関数は,次式のようになる.�9�
9�
�9
�<��� � 0�"���
<�"�� � 0�"���
�=
これは,感度関数と準相補感度関数の混合感度問題になっている.これを��� ���を用い
て,一般化プラントを定義するとつぎのようになる.
� まず,F�&J�&J�を�(���表現で定義しておく必要がある.
������)���� � . F� J� J� .�
)*�3�� � . + ��� �()��(� ".�
(*�*�3�� � . J�� J�� F� ; + �� ".�
)*���(�F� � . �()��(� ".�
)*���(�J� � . F� ; + �� ".�
)*���(�J� � . �()��(� ".�
���(*�)��� � .:.�
����)*��� � � .���.�
��� ��
��
� �-4&�-*?を用いて,一般化プラントを求める場合���� �でコマンドベースで記述するのが面倒な場合
には,�-4&�-*?によるブロック線図ベースで一般化プラントを� )�(+��関数を用いて導出できる.設
計用の�-4&�-*?ファイルは3�$AE2��� )-��+�である.さらに,一般化プラントを定義する�-4&�-*?
ファイル�$AE2��� )-��+�はつぎのようにおいている.ただし,プラント,周波数重みはすべて状
3
y
2
z21
z1
x’ = Ax+Bu y = Cx+Du
Wt
x’ = Ax+Bu y = Cx+Du
Ws
x’ = Ax+Bu y = Cx+Du
DC motor with imaginary−axis shift
2
u
1
w
図 ��� �)�10 '�-*?�4.�
態空間表現であらかじめ定義しておく必要がある.さらに,ファイルから,つぎのように一般化プ
ラントの����と��#� 表現を求めることができる.
��&//&��&++" � � )�(+%.�$AE2��� )-.'�
: � �-%��&//&��&++'�
)���)� � ��� + ��)� () (, �
)�() � ��� + ��)� () (, *
����� 例題������������系
ここでは,�次の振動系を例に,�"*,�#'-' ,*. �#*(/ '-' ����%�+を用いて,��コントローラを求め
てみよう ;��<.安定な系であるので,比較的簡単に求められる.
0 ��� 9�
��� : ��: � � 9 ���� � 9 � � 9 �����I
周波数重みをつぎのように選定している.
<���� 9 ���������: �
����: �
<���� 9 ���: ��
�: ����
このときの�-4&�-*?ファイルはつぎのようになる.また,�-4&�-*?ファイルに割り当てられているファ
displacement
Derive generalized plant
Third−>
Step
Define weighting function
Second−>
Calculate Hinf controllert step response
Mfile−base Simulation
x’ = Ax+Bu y = Cx+Du
Mass−Spring model
−1
Gain
Calculate Hinf controllert
Fourth
Define plant and Plot Bode diagram
Fist−>
x’ = Ax+Bu y = Cx+Du
Controller
図 ��� �,���4.�
イルはつぎのとおりである.
��
� AE��-��)��� � 制御対象の定義とボード線図表示
� ��, ) � () (, �� ��)� %()��+�2����(,�,���+(� ������'
� �-��)���
�����
������� -��� ��������
� � � � �
�-!� ��!� "�
/ � � � �!� "�
� � � � "�
+ � � "�
F� � �-%�&/&�&+'�
5��(2����%�&�&���'�
F��2 � ,��%F�&5'�
3�(�%./(+�.&F��2'�
�)+
� AE�+�,52����
� ��, ) � () (, �� 5� 2� )2 ,*)�� ()� %$�AL �'
� +�,52���
��,
)*�5�� �!��� �"�
+�)5�� �!���� �"�
5�2� ) � �����
J� � )+����%)*�5�&+�)5�&5�2� )'�
)*�5�� � ��"�
+�)5�� � ����"�
5�2� ) � ���
J� � )+����%)*�5�&+�)5�&5�2� )'�
5��(2����%��&8&���'�
J��2 � ,��%J�&5'�
J��2 � ,��%J�&5'�
3�(�%.� 3&��.&J��2&.�.&J��2&.��.'�
���/��%.N��1*�)�� ��+!�".'& ���/��%.:� ).'
��2�)+%.J�.&.J�.'
� AE�+�,2��
� ��, ) � () (, �� 2�)���� 0�+ ��)� %$�AL �'
� +�,2��
������)���� � . F� J� J� .�
)*�3�� � . + ��� �()��(� ".�
(*�*�3�� � . J�� J�� F� ; + �� ".�
)*���(�F� � . �()��(� ".�
��
)*���(�J� � . F� ; + �� ".�
)*���(�J� � . �()��(� ".�
���(*�)��� � .:.�
����)*��� � � .���.�
��� ��
� AE� ),������
2��� � ��� 2� ) � ��
- � ),��)%:&�&�&2� )&2���&���&�'� � - ��7 �(��� ��� (, �()�(����
�-&/-&�-&+-" � *)�-%-'�
� AE� ),�� ���
� F��,(���)�� ���� ,(� <� ), ) �� �()��(����
� ),�� ���
+ �%.B),(� (, F�.'
� ),(%F�'
+ �%.B),(� (, -.'
� ),(%-'
-� � � ��*��%-&��'�
� N��+/��- �())��� () /� *� )2 S��� �S �)+ S����S
������)���� � . F�.�
)*�3�� � . + ��� ��,� �()��(�".�
(*�*�3�� � . F�� �()��(�� ��, � F�".�
)*���(�F� � . �()��(� ; + �� ".�
���(*�)��� � .� �:.�
����)*��� � � .���.�
��� ��
� ���)� � ����%� �:&-� �'�
��&//&��&++" � *)�-%� ���)�'�
� ��� ���()��
���6����6��
�����%��&//&��&++&�&�'�
�(�%�&�%6&�''& � ���%.A�� ���()��.'
���/��%.� �� �".'& ���/��%.F(� � ().'
+ �%.F����� � �)� -�� �( �()� )*�.'& �*��
�(�%�&�%6&�''& � ���%.A�� ���()��.'
���/��%.� �� �".'& ���/��%.B)*�.'
+ �%.F����� � �)� -�� �( �()� )*�.'& �*��
��
� �*��� ���()��
� �� �*���%��&//&��&++&�&�'�
�(�%�&� �%6&�''& � ���%.B�*��� + ��*�/�)�� ���()��.'
���/��%.� �� �".'& ���/��%.F(� � ().'
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�(�%�&� �%6&�''& � ���%.B�*��� + ��*�/�)�� ���()��.'
���/��%.� �� �".'& ���/��%.B)*�.'
+ �%.F����� � �)� -�� �( �()� )*�.'& �*��
����� 例題�� !サーボモータ
ここでは,�次の振動系にならって,これまでに例題で用いた�)サーボモータの��コントローラを求
めてみよう.この場合も,感度関数と準感度関数の混合感度問題では,虚軸シフトを行うことにより,比較
的簡単に��コントローラを求められる.このときの�-4&�-*?ファイル�$AE�����+�で,構成は例題�と
全く同じである.ただし,�-4&�-*?ファイルに割り当てられているファイルはつぎのとおりである.
� �$AE��-��)��� � 制御対象の定義とボード線図表示
� ��, ) � () (, �� ��)� %()��+�2����(,�,���+(� ������'
� �-��)���
�����
� � � �
� ����"�
/ � �
���"�
� � � �"�
+ � ��
� ,������ � ��2 )��� �� ��� ,�
�� � � ; � ,�4���%� 0�%�''�
F� � �-%��&/&�&+'�
5��(2����%�&�&���'�
F��2 � ,��%F�&5'�
3�(�%./(+�.&F��2'�
�)+
� �$AE�+�,52����
� ��, ) � () (, �� 5� 2� )2 ,*)�� ()� %$�AL �'
� +�,52���
��,
)*�5�� �!��� �"�
+�)5�� �!���� �"�
5�2� ) � �����
��
J� � )+����%)*�5�&+�)5�&5�2� )'�
)*�5�� � ��"�
+�)5�� � ����"�
5�2� ) � ���
J� � )+����%)*�5�&+�)5�&5�2� )'�
5��(2����%��&8&���'�
J��2 � ,��%J�&5'�
J��2 � ,��%J�&5'�
3�(�%.� 3&��.&J��2&.�.&J��2&.��.'�
���/��%.N��1*�)�� ��+!�".'& ���/��%.:� ).'
��2�)+%.J�.&.J�.'
� �$AE� ),������
� ����*��� () (, < ), �()��(���� *� )2 ),��)��
2��� � ��� 2� ) � ��
- � ),��)%:&�&�&2� )&2���&���&�'� � - ��7 �(��� ��� (, �()�(����
�-&/-&�-&+-" � *)�-%-'�
�- � �-�� ,�4���%� 0�%�-''� � )3���� ��2 )��� �� � � ,�
� �$AE� ),�� ����AE� ),�� �と同じ
��� ���を用いずに,前述の�-4&�-*?ファイル�$AE2��� )-��+�を用いて,コントローラ設計する場
合のファイル構成はつぎのようになっている.
� 設計用�-4&�-*?ファイル�$AE������ )-��+�
� 一般化プラント定義�-4&�-*?ファイル�$AE2��� )-��+�
� ノミナルプラント定義ファイル�$AE��-��)����前と同じ
� ノミナルプラント定義ファイル�$AE�+�,52����
� ��, ) � () (, �� 5� 2� )2 ,*)�� ()� %$�AL �'
� +�,52���
��,
)*�5�� �!��� �"�
+�)5�� �!���� �"�
5�2� ) � �����
J� � )+����%)*�5�&+�)5�&5�2� )'�
�5�&/5�&�5�&+5�" � �,���%5�2� )4)*�5�&+�)5�'�
)*�5�� � ��"�
+�)5�� � ����"�
5�2� ) � ���
�5�&/5�&�5�&+5�" � �,���%5�2� )4)*�5�&+�)5�'�
J� � )+����%)*�5�&+�)5�&5�2� )'�
5��(2����%��&8&���'�
J��2 � ,��%J�&5'�
��
J��2 � ,��%J�&5'�
3�(�%.� 3&��.&J��2&.�.&J��2&.��.'�
���/��%.N��1*�)�� ��+!�".'& ���/��%.:� ).'
��2�)+%.J�.&.J�.'
� ノミナルプラント定義ファイル�$AE�+�,2�� )-��
� ��, ) � () (, �� 2�)���� 0�+ ��)� %$�AL �'
� +�,2��
��&//&��&++" � � )�(+%.�$AE2��� )-.'�
: � �-%��&//&��&++'�
)���)� � ��� + ��)� () (, �
)�() � ��� + ��)� () (, *
� ��コントローラ設計�$AE� ),�������同じ
� 応答シミュレーション�$AE� ),�� ����同じ
このときのコントローラの: � 5��� �5? の出力結果はつぎのようになる.
���� /(*)+�6 ������ ? 2���� ?� �������
2���� ����� 2 � ),�� 2 ����� 2 � ),�� 2 )�(��� !,
������ @�I�;��� ��I����� �������� ����;��� �����8
����� @�I�;��� ��I����� �������� ���G���8� �����I
���I� @���;��� ��I����� �������� �I������� ����IG
����I @���;��� ��G����� �������� ���G���8� ���H8�
��I�H ����;��� ���������T �������� ���G���8� ����G� ,
����G ��8�;��� �����;���T �������� ���G���8� ����H� ,
���G� ��G�;��� ��G����� �������� ���G���8� ������T ,
���@8 ��H�;��� ��G����� �������� ���G���8� ���I�G
:���� 3��*� �� �3�+6 ���@�G
閉ループ系のステップ応答波形はつぎのようになる.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step response
Time [s]
Position
図 ��� ��制御系のステップ応答�4.�
��
��� ���� �� ����#�)を用いた��コントローラの導出
����� 関数群�������������� 周波数重みを指定して混合感度問題の一般化プラントの導出�� ��������������� ���ベースで��コントローラを計算
��一般化プラント� ��� !"#��#$の形で与える.ただし,"# は�の次元,�#は�の次元��コントローラの���表現
�� ��������������� ������方程式ベースで��コントローラを計算��������� ���問題設定のための�%�������������������� ���表現から ������を抽出������������������ ������から���表現に変換�������������������� ディスクリプタ表現 ������� �から���表現に変換�����������!�!�������� 伝達関数から���表現に変換������������������ ���表現から伝達関数に変換��������� 周波数整形用フィルタ設計のための�%�������� 多目的制御系設計������� 直列結合������ 逆システム������ 並列結合�� ��� フィードバック結合��� ��� 様々な周波数応答と時間応答を計算������� 周波数応答
����� 例題
�� )�*(!�� ����%�+を用いて,��コントローラを計算するファイルはつぎのようになる.
�
� AE� ),������
2��� � ���
2(�&-" � ),�� %:&�&�&2���'� � - ��7 �(��� ��� (, �()�(����
�-&/-&�-&+-" � *)�-%-'�
サーボモータの例で ),��)��のかわりに, ),�� ��を用いると,つぎのような計算結果が表示される.
E ) � 0�� () (, 2����6
A(�3�� ,(� � )��� (/>��� 3� � ) � 0�� () *)+�� �EB �()���� )��
B����� ()� 6 #��� (/>��� 3� 3��*� �( ,��
�
�
�
8 ��@HGH�I�;��8
� ����I�GG�;��8
@ ��I������IH
I ��I������IH
G ��I������IH
��
H ��I������IH
�� G�I�GG@H88
�� ������H�8@
�� ������H�8@
�� �I���G@�@�
�8 �I���G@�@�
�� I��HI8���
�@ 8�������8
�I �8�H�HG�@
�G �����G8@H
�H �����G8@H
�� G��G�HGI
���*��6 �����+ �� ���2�� ,(� �� (/>��� 3� 3��*�
/��� (/>��� 3� 3��*�6 G��G�HGI
,���+ *� ���*��� ()6 ������� (, � � �����;��G
C� ��� < ), ��,(���)��6 ������;���
閉ループ系のステップ応答波形はつぎのようになる.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step response
Time [s]
Position
図 ��� ��制御系のステップ応答�4.�
�解析�設計
設計例については,;��3 ��3 ��<などを参考にしてください.
� ���による制御系設計
設計例に付いては,;��3 ��<などを参考にしてください.
参考文献
;�< 有本 卓:線形システム理論 産業図書 ������
;�< 木村英紀:動的システムの理論 産業図書 ������
��
;�< 伊藤,木村,細江:線形制御系の設計理論 計測自動制御学会 ������
;�< 木村:多変数制御系の理論と応用 �3システムと制御3������3*���300����"��� ������
;�< J��G,? !*,,? ,*. $��-�,* � �-* ,! H0(-4,� )�*(!�� �#'( 4'3 K-� #������
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;�< 前田,杉江:アドバンスト制御のためのシステム制御理論 朝倉書店 ������
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�������
;��< $����,-� # � � 6(&! ��( ' 5�! (/ K�!?'/�0 �* �� ,*. � (/�.' 5�! $�%&'( )�*(!��3 ����))3
�,* �- 1�3 ) ������
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;��< J��-4&!, � )�*O&1,(-�*3-*( !0��,(-�* ,*. 4�. �"4,(6/-*1 -* ��3 �*(�M �5 )�*(!��3 ������"�3 00����"
��� ������
;��< 木村英紀:M"��''� '' �,6(�!-E,(-�* にもとづくJ�3 第��回システム制御情報講習会テキスト ������
;��< M�)���#� 3 ������ !3 �����/,!1�* ?,! ,*. ���!,*6-' � �(,( "�0,6 ���&(-�*' (� �(,*.,!. �� ,*.
�� )�*(!�� �!�%� 4'3 �PPP �!,*'� �* &(�4,(-6 )�*(!��3 ������"�3 00����"��� ������
;��< M�)���#� 3 ������ !3 �����/,!1�* ?,! ,*. ���!,*6-' � �(,( "�0,6 ���&(-�*' (� �(,*.,!. �� ,*.
�� )�*(!�� �!�%� 4'3 ����))3 (�,*(,3 �3 M&* ������
;��< �� -*(&6/3 $��, ?' � �#'( 4 �/ �!# Q J-�% !( �0,6 00!�,6/3 � ������
;��< ���H� *. !'�* ,*. M� � ��! � H0(-4,� )�*(!�� Q �-* ,! @&,.!,(-6 )�*(!�� Q �������
;��< M�)���#� 3 ���!,*6-' ,*. �$��,** *%,&4 � � .%,6? )�*(!�� �/ �!#3 ,64-��,* ������(藤井
監訳:フィードバック制御の理論,コロナ社)
;��< �$� ,!4-'/ � � G ����' 5�! $�%&'(* '' �5 �-* ,! �#'( 4'3 ,64-��,*3�*6� �������
;��< ��$�( , ,*. �����/,!1�* ?,! � ��"�0(-4,� )�*(!�� G-(/ ,*��"6�*'(!,-*( � �/ �(,( � .%,6?
),' 3 &(�4,(-6,3 ������"�3 00����"��� ������
;��< 美多 勉:��制御,昭晃堂 �������
;��< 木村,藤井,森:ロバスト制御,コロナ社 �������
;��< 吉川,井村:現代制御論,昭晃堂 �������
;��< 細江,荒木:制御系設計,朝倉書店 �������
��
;��< 早勢 実:��制御入門,オーム社 �������
;��< �� �?�1 '(,. ,*. �� ��'(� (/G,-( 3 &�(-�,!-,%� � .%,6? )�*(!��3 M�/* K-� # R ��*'3 �������
;��< 岩崎徹也:��と制御,昭晃堂 �������
;��< 細江:システムと制御,オーム社 �������
;��< ��K� �,-!4,*3 �-* ,! )�*(!�� �J �!#3 �/ �(,( �0,6 00!�,6/3 M�/* K-� # R ��*'3 �*6� �������
;��< �� N/�&3 M�)� ��#� 3 ,*. �� ���� !3 $�%&'( ,*. H0(-4,� )�*(!��3 �! *(-6 J,��3 �*6� ������� 日本
語訳,劉,羅訳,ロバスト最適制御,コロナ社 �������
;��< 木村英紀:��制御,コロナ社 �������
;��< 藤森 篤:ロバスト制御,コロナ社 �������
;��< 野波健蔵編著 � �� による制御系設計,東京電機大学出版局 �������
;��< 梶原宏之 � �� )�*(!�� ����%�+による制御系設計入門,�� �!�.&( � G'3 ����3*���3*���3*����
��