თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა...

83
მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2 თამაზ ზერეკიძის (მიმართულების ხელმძღვანელი) კონსპექტი ამ ელექტრონულ ვერსიას აქვს "ელექტრონული სარჩევი" (მარცხენა პანელი). კონსპექტი ძალზე შეკუმშულია და შეიცავს აუცილებელ მასალას, (ორივე სემესტრისათვის). ამ საგნის ყველა ლექტორის ლექციებზე და პრაქტიკულ მეცადინეობებზე მასალა გადმოიცემა სილაბუსის თანმიმდევრობით (იხ. ცალკე). საჭიროა ლექციებზე და პრაქტიკული მეცადინეობზე ჩანაწერების რეგულარულად კეთება. საგნის შესწავლა უნდა მოხდეს ამ ჩანაწერებით, კონსპექტებით და იმ ლიტერატურით, რომელიც სილაბუსშია მითითებული. მათთან ერთად სასარგებლო იქნება, პარალელურ ნაკადებს და ჯგუფებში, სხვა კოლეგების მიერ შედგენილი კონსპექტებითაც სარგებლობა, ასევე ნებისმიერი წიგნით უმაღლეს მათემატიკაში, ნებისმიერ მისაწვდომ ენაზეუამრავი სასარგებლო მასალაა ინტერნეტში. პრაქტიკულ მეცადინეობებზეც შეიძლება თეორიული მასალის შესახებაც კითხვების დასმა პედაგოგისადმი, თუ ისინი მაშინ მიმდინარე პრაქტიკულ საკითხებთანაა უშუალოდ კავშირში ისინი გიპასუხებენ, თუ დრო ამის საშუალებას მისცემს მას პრაქტიკუმის მსვლელობისას. საერთოდ კათედრაზე (აუდ. 604) რეგულარულად ჩატარდება კონსულტაციები; იქ მორიგე პროფესორს დაუსვამთ ნებისმიერ შეკითხვას. დაუსვით შეკითხვები თქვენს ამხანაგებს ჩვეულებრივ ეს სასარგებლოა მათთვისაც. სემესტრის განმავლობაში ჩატარდება საკონტროლოები და შუალედური გამოცდა (დეტალები სილაბუსშია). იქ დაკარგულ ქულებს ვერ აღადგენთ! ამიტომ იყავით მუდმივად მობილიზებული... . ზერეკიძის ამ კონსპექტის ეს შესავალი გვერდი და კონსპექტის ელექტრონული გაწყობა შეასრულა ნიკო გუნიამ.

Transcript of თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა...

Page 1: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2

თამაზ ზერეკიძის (მიმართულების ხელმძღვანელი)

კონსპექტი

— ამ ელექტრონულ ვერსიას აქვს "ელექტრონული სარჩევი" (მარცხენა პანელი). — კონსპექტი ძალზე შეკუმშულია და შეიცავს აუცილებელ მასალას, (ორივე

სემესტრისათვის). — ამ საგნის ყველა ლექტორის ლექციებზე და პრაქტიკულ მეცადინეობებზე მასალა

გადმოიცემა სილაბუსის თანმიმდევრობით (იხ. ცალკე). საჭიროა ლექციებზე და პრაქტიკული მეცადინეობზე ჩანაწერების რეგულარულად კეთება. საგნის შესწავლა უნდა მოხდეს ამ ჩანაწერებით, კონსპექტებით და იმ ლიტერატურით, რომელიც სილაბუსშია მითითებული.

— მათთან ერთად სასარგებლო იქნება, პარალელურ ნაკადებს და ჯგუფებში, სხვა კოლეგების მიერ შედგენილი კონსპექტებითაც სარგებლობა, ასევე ნებისმიერი წიგნით უმაღლეს მათემატიკაში, ნებისმიერ მისაწვდომ ენაზე— უამრავი სასარგებლო მასალაა ინტერნეტში.

— პრაქტიკულ მეცადინეობებზეც შეიძლება თეორიული მასალის შესახებაც კითხვების დასმა პედაგოგისადმი, თუ ისინი მაშინ მიმდინარე პრაქტიკულ საკითხებთანაა უშუალოდ კავშირში — ისინი გიპასუხებენ, თუ დრო ამის საშუალებას მისცემს მას პრაქტიკუმის მსვლელობისას.

საერთოდ

— კათედრაზე (აუდ. 604) რეგულარულად ჩატარდება კონსულტაციები; იქ მორიგე პროფესორს დაუსვამთ ნებისმიერ შეკითხვას. დაუსვით შეკითხვები თქვენს ამხანაგებს — ჩვეულებრივ ეს სასარგებლოა მათთვისაც.

— სემესტრის განმავლობაში ჩატარდება საკონტროლოები და შუალედური გამოცდა (დეტალები სილაბუსშია). იქ დაკარგულ ქულებს ვერ აღადგენთ! ამიტომ იყავით მუდმივად მობილიზებული...

თ. ზერეკიძის ამ კონსპექტის

ეს შესავალი გვერდი

და

კონსპექტის ელექტრონული გაწყობა

შეასრულა ნიკო გუნიამ.

Page 2: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

1

L!l.rt!hnU'n, /J.nlhnutiJ.r hsb:don, m:!.Jh.rU'nJ?Jn 8JJ!hnJr.:/J'b:;

2.fh(}J~'!Jmhm3s6n O'bhn(!l'lnf.J nsbntn rE.Jf!!'.rai(;'!fC!.?' .Jf!".JJ.J5!m.s !JnJhJ3f.!!.'JL 8J!fhnU'n ~~.JdJ.

c7.flfhnll'b, hmJe:nnJJ btfhn :fmlifotJiJ h.rmt!>.JlJm2JJ.> In , lJ3:JJI.Jon!J hJmt!'.Jbmi3J ~n n, .Jiiln~.:i3J !TJxn hnon!J o.5t/hnJJ'n • o.rtfhnil'nb nb :Jf!!l.JJJ/itfn ' !Jmd.Je!'nil' nd.!Jm ~.JdJ L- :Yhn b!fnn:fm£nb.r IYJ

j -:Yhn IJ!J.Jtln!J /3J'~.f33:JfJJ.f6J ~3.J!JI!."Jahn3 a ij -om Jt!'nb'flao.foJ • dJP!vbJ~JJJ, lnX/1 hnanl a.JJ:fhnJ!}; ..r:l3b l.J.rbJ

A = 021_ ~Zl _ .. _. (l~ h. (aft af1 · · · (krfh)

am., am2 .. - rimn .

(/'}'j In= n , JJ2Jn5 d.r!PhnJYb .d3.tf!JhJJ!:Jt!!ln Jt'mtPJdJ. j3.ff!Jhstf!Jf!!' ctflfhnll't 2.JJ~hnJ dtnJ­

!JJhn ~,s .Jh JJ 01J3uh n rPn.JZJmO.s(!!l.i?Jn :

A Lltn.r3shn

!l.nfhmtb .J~m~:i3J ~nJamGJI!!''ffhn., {h'J cJnbn JJ:Jf!!'.s Jf!:lJJJlJJPn,Bslu~.; JmJ3Jn {!'fJ.56rrMC­(/;j J.Jmo/JJtJfl/;J , o'!JC!!'flb tPmt!!'nJ • t!Jn.ram/J.ft!":Jhn d.;J:Phnlfn tJJndf!!':i{3J .sb:J -/{sno.Jhmb

nLjm ~nsi3mb's~'t111 J.rt!hr11rL , hmJf!!lnL t:ftnsJsh 81Ji3rr£Jt!!'fJJ Clt??JmC/11 tlJnflJm.J':JCYJ Jt!'!'Jd.JIJJ!n

1-nL !Pmt!!'nJ, :1 hiJJ:J 'tl~m3.ro n J.n!hmm JGme.iaJ .. :ilmJ::Jf!!'m3..r!i JJJfn()Jl'L E ..rtmou'>

( f 1 0 )

E = 0 -. · 1 ·

A ;J.rlf'hruJ'nu IPh.JDbJm6nh.JlJ'!It!!'n Jbmf!J.1dJ nl.J.Jtn 3J.tf'hn11't, hm<l.Jt!"nll JM~.Jd.J A JJJ/hnlfn­

was5 ' UJ'!I Jni.J blPhn:/m[JJt f!J.r3lf.1htn !JJ.JJ!id.Je ' b3JJ:I.1'3b jn bJI!JnJmliid.JtP • A J.nflmlfflt lfllu6b-

, i ·r~J

'

Page 3: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

. . . . . . . a,/tJ a2 n .•• am/1

JIJ m6 .. mhn hnont 1Jvh(J)J':J(!)bm.3.;hn d.;-!flmll'Jdnt tJan J.Jonb.I!Je?iJJo<> 'lJ.Jd(pJan !PrnC!"'m2Jn 01

( ~~1 : ·: C!!n) +-(~~t: ·_- ~~n ) .:: (qu~B'! · ·: Cfm.+~ln ) Cim1· • · amn Bm-~· · · Bm" ~/Bm1· · · t1mn +gmn ;

/J.JJ!hrwN.J An!fb?/6J osJil.JJf!!lfl J.JOnb/!Jf!'Jh:iJJ JlJ:

K ( Cf1! ·: : ~~f ) = ( ~ 01!' : ·! Cftn ) fJm1 • • • Omn k atn/ · -Katnh .

d.rl!M!Y.JdnL IJb3.frMv A -/3 'J.Ja!Jndl!!'fl.J JJ53i.JJgt!!3hm(l) hmamll!Y A+ {-I) B ·

2

307dJ.J(JJ ' A shnL lfJ X h nnanL JJti/Jnlfn ' 8 j{) n X K hndnb . OJJIIJ3f!!'!J A . B ~JOn­JJ.fh~?Jh:i2JJ hm8rnllLf ntJ(J)fJ In x K llnanL C <1J!Phn1Yn , hrncJC!o/JL C ij Jt!.".JJ.2ot1nl J.JJmuc.~()?-3f!!'Jf!!l.f& A JsiPhtlJYnL i -':Jhn i.JJ!hnim£"nt Jt!:'JJ.JEJi.J?Jn ':Ja(!.f ~.JJ.JdllJ3etndJ 8 dJ.t:fiJnlfn~ . J -'!Jhn L/3JtPnu lJJbJ3.JJnL Jt!:r'Jcl:Jo!P.JJflv f!J.J Jnt!'.J~t!!'n IJJtlltJJt!!'.J2r1 fJ.J:Mhndmt/1. J.f7.

Cij = (li1 Bu + ai2B2j + .•• t aLh Bn j .

~3nf!!ln B.JbsJ~oJJnJ, hmJ A · E = E ·A =A · 2J.J36n3/Jm(J) ~Jk.; JJnLU , hmJ J.nPhnifJi3nL 'll.J!JiddnLJ e s Bs3h.r3cJonL miJh.Jiffi.Jan/.1!11JnL I!W.f':J(!"'n.5 !f3.J(!!IJ nb dnhnm.J& n 2JIJm/Jn, h.sL!' hntrh3J3nL 2/.JJh.J"dntJ (!J.f i3JdhJ3f!".iJnL mf:Jh.Jil'nJ'JnbmJJnL , a.Jht!J.J a.J2h.J3l!!'JonL /JI)iJ.rh m

3JtP.J5.JL!'Jf!!'.ic.r(!lm(}ni.J j.r[monw , :J-n· li.J'bma.rtPm~ A· 8 :1= l3 ·A.

~JJf.JhJn5s5if'fl as6nu.l6~3hioJ :Jbmt!Y't1112 :J3.rtPh.uP!!!f!!'n dJJfhnL.f'.iontmJnt CP.r nJn .rhnL JJ 8sJfhn/YnL Jf!!'J/IJEt!J?Jnu b.J2~.rf!!'JOrJ(JI :1.Jh1?JJ!:Jf!!Yl b.?LnfiJ ~:Jt!'a:Jbnt!!'fl m n J.rb3n. A Jsffhn!Yr>u f!'Jlf:Jhdn5.J6Jffl .Jhm-.Jhom 'J:KkP.JJn bnJi3mi!!VTlom St!!IJM'llofo.;: det (A) ' I A I.

~.J!PJhJnasotffJb a.JobJfl~Jhnt 3tf6/1Jm Gh£.JU5:Jh d:J2m3nf!'m(JJ a.F&Jot51f3t!!'J"JfJ!.JJ t!'J

Jntn f!"'JG'- j.J6 JitriJ!i.JOtll l!'oJo.J?Jn.

inh?J.JI!!'n h. &Jf:Jh.Jf!!'jhn hnlfhJnL.JJ.Jb' 'd.Jt!a.Jbnt!!'n aJ ~ .J 6 .Jlf .J t!!':Ja.J :Jom~ Jd.) nLJm tP st.!!' .J8Jd!1t!!' !JnahJJ t!:' JI.J , hmoJf!!'llLJ' (I, 2 ., • • • , n J tn 3hsJ(!!Inu.Ja.so :J.Jndf!!' .J a J

?Js6bb3s3~JtJme2.:;b Jbmt!"mt!' .Jf!"JJ.Jc/P/I)o tE.Jf!"Ja:iJnL hnanm. 3mP:t3n{J) , hmJ ase.JMD'J~.J?J.f:fn mhn .Jt!":JJ.J6!1n d:JnnL n 6.3 !1 h bn Jb , lh'1 LPn<Pn

Jt!"J/J:J5tPfl '1"3hfll on5 tPJ.JL 3ntPh.J ,i.nlshJ. iJJIP.JMJf3an:ia.ri.J .JC'me!>.J?JJ !> :J o Jln, (/}~ JoJ./Jn noJJhUncJI!I.> hcJmf!>.JotnoJ ~:Jo!PI>.J ' bnt!!'m Gn6.JJ(!'Jt!!.JlJ ChdffJ637~JfJIJ :J/ifYI(!J .JcJ

t!!'':ld'n. J.raJ"c:nmJ~E , t3.JeJoJff3(!!J.JiJ.J (~, /1 2) :J.JoJih.J, ~JJo 3ub~ 17b3.Jh-

'

Page 4: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

bnsi.J ddEnJ/i 2 tPJ 1 , !Jmf!!lm a.fl!J.rwlf3~.JOJ ( 2., 3 , 1) (!YI'!J!f'fJJ ., AJt!'as6JJY

a.rb'Jn a3s:/?JL mhn n63ahwu , lvnCJt!!'.idwif :/J6nu6 2 f!l.J i , 3 tPJ 1. · o.r~!Jnon(!!'tnm ft -~hn hnanL j:J~IJJ tP!!K!!Y1 /J.rJPhrul'n

a-fl a,2 ... am A = ~2~ a~2·:· .a2~

(1,11 an2 . .. Clnn o.f~3nbn(!!'m0l cJJ LJ.sJ:fnNfn[; Jf!!'Jd.Jo!P.Jon!.JJJJb 7/.J~(j:J/)n(!!'{) !J3:Jf!!'.f nt-:Jt!Jf) bJJhu?Jt!!'/11

hmJf!!'.fabs11 .J::/~(f) 'd.J2&.Jan mhfl mJnu.:i2JJ ; J) mnmtn.J~I!!' /)jCJIJJ3t!!'f!lfl .Jhnu 16':1/.JJI.rt!J n-lfJt!!'n di.JEJJ3.JJ/J.J3C!'n , 2) m/JOJ!YJ.J~f!.Y' oJdJ3r:!'f1n Jm6J&lf!!':;m"2u !J;'::!b!fvf!J .JAm,r; 07.JcJ3.5JhJ3e:fln .Jm3:Jt!!'n i.JJ!Iw:/m.fn~.J!J IPs IJJ':JiJi/Jt!' :ivf>ll m.r£.Jc7JdllJ3t!!'n :Jm3.JC!!'f)

li3:J.tftle.Jo· .r~Jnt!!'n ?l.JLJJJi[.J3nJ , nma .Jb.JIIJn osd/JJ3f!!l.fJn JAl.i3maJ6' ·

3

mnmm.J!Jf!!l JtJQ) oJdlluJc:'fin fP.r3Jl!!'Jdmm mJ6JJ.JJIIJ3~.:iofl .inA3.Jt!!'fl IJ[tY.JdLJ­anL 'hhrEnL Jnb:Je3n(f) ? :J.n. on31Y..Jtn tJh.J; GJj · a2J· • • • a

11 • • aJ[3nhnt!!'mtfl

1 2 Un (}JrnhJ nbt.P:;dbJ"dnLJEJ5 '!J.:Jf!Jd:Jbnf!!'() 2JJ't!'sbJlJ'3t!!'.J3J (j

1,j

2.., ••• , j,,). 11J'2 Jt OJIEcJ-

bJU'Je'.J0.5 f!t:JG'nJ , JJ b.JiJ!lJ?Jf!!'/; tE.JJ':!C'JJmd'> &>'iluhn ,, +-''~ /Jm(!!'m 1/J::J j.JClfll ' 6sJJ.J3(/.; & J3:Jd'.Jhmm 6n8son ,, - ~~

:J.stPhntlnu l!':JJI':Jhano<~Gifn :~!imt?:i3J !13.Jf!!'.J Ji.J:Jtnn 5sCJhJ3f!7'.JonL 'D.JJL,I.JJtPJif {f)flOJmJ'!/(!!lfl oJ.JnJ3(!!lfJ .J(!}'22J':Jf!!ln.J {!].J3()/.;f)3J 5n116nm.

J:;mhJ @.J J.Jh.;J.J hnanb tP.J tP:JhJnli.J!iJI'.ion lPJ J.rmn .as Jrnm3(!!1n/; b.Jhb.Jdn

/hmh1 hn?J!IL f!l.JtP:Jh8nli.JliJfb J:/3/.; /JJbJ

I au a/2

az1 a:l2 .

:Jni.Jn 1f!!l:JJ-J6t:PJ2Jni../2J.r6 ':J.Jnd(!!I:Jdc.> 'J.Jf!>2J:JiJ flJ.J<lmmJ~II.Jhflf!!'n OJ?Jnt:;a:ianL !J:Jmb:J mhn

OJ:Jh.J3t!!'D ; (Lf-1 ~2 I?J a/2 ~./ .- Jnn?J.Jf!!!f) fJfitE.J:ft:f3fJ ':Jj3J /!?Jf!!'Sd.J6:Jf!!'f1.J 'Mt!!fJ!J 2nb:JtP3ntn. 2J.JlJ3nhnf!!'mtJJ J.Jmh:J n&P.Jdt!J"JnLJ.3JIJ 2J.J@i3:Jbnf!!'fl ~JfP.Jb.Jlf3f!!'Jt3:ii311: ( f,2) (!JJ ( 2, 1J • inh?J:Jt!!'n dJOJ2JJOfl an!YC'ncJ, d.Jmh.J 3n !J:J6tf>n, JdruPmJ Jnh3J(!!I !iJ3h.r3t!!'t .1.d6fa.; afl'O.Jon '7 + rr , a.2mA.Ju :Jn - fin~.;En , - ~. Jdnt!mJ

I all ~121 a .1/ a a ~1 a22

== u (JJ22- 12 21 •

2:Ji.J.;a:J hn3nu tE.Jlf.JhdncJEJ tfu J.:f.3u uJb.:J

I au a,12 a131 Q,21 {lzi aZ3

fL?Jt a?J2 a~, .

,

Page 5: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 6: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 7: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 8: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 9: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 10: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 11: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 12: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 13: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 14: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 15: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 16: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 17: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 18: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 19: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 20: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 21: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 22: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 23: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 24: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 25: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 26: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 27: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 28: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 29: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 30: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 31: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 32: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 33: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 34: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 35: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 36: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 37: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 38: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 39: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 40: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 41: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 42: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

nsl\t.~al~IJ COet~.sJ\nU' lim tl:)el ej jeanQJI !1:16!16.) ~memo.)!_, lim iCl:) =. lin) f'(:X) .~ 1 X-+ C1. f(X> x ... a.. ~(X) ~-..,a.. Q'(~)

esdd'50IY~~J · 3o»~~.>OJ., X Stl'6'n~6~cn .lneJamL 6~n1.an.1hn 6:lhllncnJ. f (X-) ~.) . B~) ~,6;V'n33L a, o~h~Oc'an an3.S&'n~mm 0-nu ~en ao0136J(ffl3.3~n • Cls~nS !lL t1.0':r61U'Ol~O n~j~ns6' ~~~3~cf6n a. &'anl9nc'an0'. jm~nl, Ol:Jnth.1c1nt. d6COlh (L eJ X l>~otfnc~a~, ~mML nsN.!I~:JaJ., nt..jmn c. 6~f\{jncn , nma

f(X)- t (a.) - .J?'( C.)

8 (X)-~ (d) - 3' (C) J

.J?(X' :: flCc) . usnes6'JU'

8GX> S'(c) 5n6sneJ6' C 8mmJ~I.Jj~~cnJ a. e J X lf.:JhtJ11~1,~ '3mn 01.1 • JJn~ma ' ltbl8l.J C-+ a. hmtt" ~~a. • sandlma • 006'J £9mcman11 bJ~~c:lajcq,~ I(}!Ja?JOdCOJ ~~8'~hm9J

lim -tCXJ_ lim t'(C) • X-+a 8 (:):,) - ~a. a I (C)

asanJa, lim t'Cc> nan3~", nJU' lim .P'O:>. !J.n. lim fc:r1 _lim -f'C:r>. C_.(L 3' (c) x~a. S'CXJ x~a 3(;r) - :r~a. ~'CX>

'a~6'n1~6'J. am!f3Joncn mJmn~<lJ ~b~~meJ .2_ t9nJnJJ as~%t1'~h.1(ma9Ju • JJ.,lcM?l.'J 0)30\h~aJ uJashOlcnJ6'nJ .Ee__ LJ>nln1.. aJ6':J~.C'~n~cm~~~nL,OJ.?IOuJII·

00

~:lo£!nmhnu '!Jmha~(!'IIJ

Ol:lmn.1dJ. 'CDd!»J(1), -i?CX) '!~cs-;fiJ'n.)u a, &'.1hl9ncnl. hJna~ aneJam1n aJJ-RiolnJ l::Sham!l~~(~~o n, haa.saej -R.rtll~nm • a.rt:~n6' , J3 3oeJ8mL o:J3nt.an~hn f)C o.lh&>ncnLJ-~1, amnJ~1,6'~~j ~ es X 6':Jh8>nc~i(. 'amhn~ d~~~Jhj nL.:lc110 c ojl\t:9ncn. hmacnLD13nLJl1

PI( pllf. P (h-tl( 1'\-i t>(h) h -¥-Cx.)=t(CL)+ ~(X-ct)+ I.J!!:l(x-~l+ ·· · + T <tl(x-a.) + L cc)(X-<L). (i) . ~ ! 2! (h-1) ~ h!

esalbnttj~J. 3$\'?,nbncmO'I nL.1atn J.l hnU'b?!n' hm4::Jcn0' 3JoOUJ<IJQ!21n~~J <9m""~neJ5' .f'rn' P'l( _£(n-4) tH J1 n

¥C:t:.) = .f(lL)+ ~ (x-a.)+ ~(x-a.)\ .. · + T (aJ(x-ct) -t-' --(x-tL). (2) i ! 2! (h-f)! h !

R~~€ ~6'eJ oJR~6'mtb , hma lL es OC ~mhnL Jn(.,~~gt. nL.Jmn C O'~c9ncn' htnc1cnL-

(1)~1JJU' f Cn)( C) : Jt.. .r3nwOJ5nL e.saJ 30 :tLnnmCI'\ X. tl'Jnd'ncn e.r 3J63nbnan 91 -1:, J n-z,~a~6'L9nv 1:Jae~an e.sabash~ ~c:rEi'.:tt.rnJ Cn

- i'Ci 2 ~·· t -tt-e) h-i JJ.., h \D(t.)= P(t)+ (x-t)+ T Ct1 cx-t)~ ... + (x-t) + - (x-t) . (3) 1 r i! 2! (n-t)~ n!

C?) t.fmcmic\~so -R.J6'l.J , hma ..P(X):: f (X) , brncm ( ~) eJ (2) &mcm~j~neJ~ ~en :I 6~(fll ~01 ., hma ..P (CL) = -?Cx). a.l~JuJeJJj , '-f>[Q): ..P(X) • asn e.j .rdnw, lfbJet~J , .P(i) ~"6'i0'4lJ ll~as" OJnam.:~~sen "a 'a~c.1elb~' hm&nG amcm.:~~nJ ~ t<J X · sc1ot9ma , hmcou Ol.1tnl\3c30L a>J6'JbCIJe, {L es X ~""""" n.rnu6~~L. 11Wmn C. ' hma

f 1(C.)=O· asansa Qll (-c) r f' "'Cil 2 f"Ct.J J f'C-~:) = .f'Ctl+[\! (x--1:)- -f'Ct~ + L 2! (x--1:)- iT (x-t) + ...

+ f t(t\l(t 1 (X-t)h-~. fCn-f>(t) (X-l:)h-:l_ JL (x--f:) (n-.i)

l ~-i1 ~ (h-l) ~ J (h-1)!

~<9~ 'atllJJ3-R~oOJ , nma ua t9fYICfl\'aO!J &h~~J ab..snYBn ~a.3c t;'j3hn aJmntl~~oJ as/x!?..)

i '

Page 43: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 44: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 45: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 46: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 47: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 48: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 49: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 50: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 51: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 52: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 53: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 54: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 55: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 56: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 57: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 58: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 59: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 60: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 61: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 62: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 63: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 64: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 65: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 66: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ
Page 67: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

1

veqtorebi

veqtori, veqtorTa Sekreba da ricxvze gamravleba

arseboben obieqtebi, romlebsac garda sididisa aqvT mimarTulebac. aseT obieqts

veqtors uwodeben. veqtoria, magaliTad, siCqare, aCqareba, Zala da sxva.

G geometriulad veqtori mimarTulebis mqone monakveTiT gamoisaxeba.

naxazze gamosaxuli a

veqtori SeiZleba asec

Caiweros a AB

.

𝐴-s AB

veqtoris sawyisi wertili hqvia, 𝐵-s - bolo wertili. veqtoris sawyis wertils

am veqtoris modebis wertilsac uwodeben. veqtoris sawyis da bolo wertils Soris

manZils veqtoris sigrZe ewodeba. aveqtoris sigrZe a

simboloTi aRiniSneba.

O or veqtors ewodeba toli, Tu maT erTnairi aqvT rogorc sigrZe, ise mimarTu-

leba.

A am gansazRvrebidan gamomdinareobs, rom Cven saqme gvaqvs e.w. Tavisufal veqtoreb-

Tan. Ee.i. Tu veqtors gadavitanT Tavisi Tavis paralelurad da movdebT sxva wertil-

Si, miviRebT mocemulis tol veqtors.

veqtors, romelsac aqvs igive sigrZe, rac a veqtors, mimarTuleba ki sapirispi-

ro, aveqtoris mopirdapire veqtori hqvia da igi a

CanaweriT aRiniSneba.

veqtors, romlis sigrZe nulis tolia, nulovani ewodeba. Nnulovani veqtoris

mimarTuleba araa gansazRvruli– mis mimarTulebad SegviZlia CavTvaloT nebismieri

mimarTuleba.

AB

da BC

veqtorebis jami ganisazRvreba e.w. samkuTxedis wesiT. im SemTxvevaSi,

roca veqtorebi erTsa da imave wertilSia modebuli , maTi Sekreba moxerxebulia e.w.

paralelogramis wesiT(ix.naxazebi).

AB BC AC

veqtorTa Sekrebis „„samkuTxedis wesi”

AB BC AD

veqtorTa Sekrebis „„paralelogramis wesi”

roca veqtorebi arcerTi am saxiT araa mocemuli, paraleleluri gadataniT maT

miviyvanT an erT an meore SemTxvevamde.

A B

C D

A

B

C

A

B 𝑎

Page 68: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

2

aseve,Asivrcis SemTxvevaSi, sami, erT sibrtyeSi aramdebare, erT wertilSi

modebuli veqtorebis Sekreba SeiZleba e.w. paralelepipedis wesiT:

sivrcis sami veqtoris Sekrebis

“paralelepipedis wesi”

AB AC AD AE

Ee.i. mocemuli sami veqtoris jami aris imave wertilSi modebuli paralelepipedis

diagonaliT gamosaxuli veqtori.

k Nnamdvili ricxvisa da a veqtoris namravli ganisazRvreba Semdegnairad:

ka veqtori aris is veqtori, romlis sigrZea k a

da romelsac aqvs a

veqtoris

mimarTuleba, Tu 0k da aqvs a veqtoris sapirispiro mimarTuleba, Tu 0k .

ada b

veqtorebis sxvaoba SegviZlia ganvsazRvroT Semdegnairad:

a b a b

.

Aar aris Zneli imis Semowmeba, rom veqtorebze Semotanil am operaciebs aqvT

Semdegi Tvisebebi:

1. a b b a

2. ( ) ( )a b c a b c

3. 0a a

4. ( ) 0a a

5. 1 2 1 2( )k k a k k a

6. 1 a a

7. 1 a a

8. 0 0a

9. 1 2 1 2k k a k a k a

10. k a b ka kb

ori veqtoris skalaruli namravli

gansazRvreba. ori veqtoris skalaruli namravli ewodeba maTi sigrZeebis namravls am veqtorebs Soris kuTxis kosinusze.

aDda b

veqtorebis skalaruli namravli aRiniSneba a b

simboloTi.

Page 69: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

3

Aam gansazRvrebis Tanaxmad

cos ,a b a b

sadac ( , ).a b

skalarul namravls aqvs Semdegi ZiriTadi Tvisebebi:

1. 0a a

da 0a a

maSin da mxolod maSin, roca 0a

2. a b b a

3. ( )ka b k a b

4. ( )k a b ka kb

N 0cos0 1 tolobis gaTvaliswinebiT SegviZl;ia davweroT 2

cos0a a a a a

,

maSasadame

a a a

.

veqtoris koordinatebi

rogorc viciT, ricxviT RerZze mdebare yovel wertils Sesabameba

erTaderTi namdvili ricxvi, romelsac am wertilis koordinati ewodeba.

RerZze(ricxviT RerZze) aramdebare wertilis koordinati ewodeba am

werilidan am RerZze daSvebuli marTobis fuZis koordinats.

gansazRvreba. veqtoris koordinati RerZze ewodeba misi bolo da sawyis

wertilTa koordinatebis sxvaobas.

vTqvaT, raime RerZze A wertilis koordinatia 1x , B wertilisa ki

2x (ix. naxazi),

maSin, am gansazRvrebis Tanaxmad, AB

veqtoris koordinati am RerZze iqneba 2 1.x x

AB

veqtoris koordinatia 2 1x x

SeniSvna. Nnaxazze mocemuli marTobebi araa paralelurad gamosaxuli, radgan sivrceSi erTi da imave wrfis marTobuli ori wrfe SeiZleba ar iyos urTierTparaleluri.

Page 70: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

4

paraleluri gadatanis dros yvela wertilis koordinati raime RerZze erTi da

imave ricxviT icvleba, amitom veqtoris koordinati RerZze ar aris damokidebuli

imaze, Tu romel wertilSia modebuli is.

veqtors ewodeba erTeulovani, Tu misi sigrZe 1-is tolia.

erTeulovan veqtors, romelsac RerZis mimarTuleba aqvs, am RerZis mimmarTveli veqtori anu mgezavi ewodeba(xSirad mgezavs ortsac uwodeben).

l RerZis mgezavi 𝑒 𝑙-iT aRvniSnoT.

vTqvaT, A da B wertilebidan l RerZze daSvebuli marTobebis fuZeebia1A da

1B ,

Sesabamisad. 1 1

A B

veqtors ewodeba l RerZze AB

veqtoris mdgeneli. Aadvili SesamCnevia,

rom

1 1 lA B xe

sadac x aris AB

-s koordinati l RerZze, ie ki am RerZis mgezavia.

A amrigad, veqtoris mdgeneli RerZze udris am RerZze misi koordinatisa da RerZis

mgezavis namravls.

vTqvaT, sivrceSi mocemulia OXYZ dekartes marTkuTxa koordinatTa sistema. OX ,

OY da OZ RerZebis mgezavebi, Sesabamisad, i, jda k

-Ti aRvniSnoT. is faqti, rom a

veqtoris koordinatebi, OX , OY da OZ RerZebze aris 1a ,

2a da 3a ,Sesabamisad,

CavweroT Semdegnairad

1 2 3; ; ,a a a a

Aan ase

1 2 3; ; .a a a a a

samarTliania Semdegi

Teorema. Tu 1 2 3; ;a a a a

, maSin a

veqtori iSleba, sakoordinato RerZebis

mgezavebis mixedviT, Semdegnairad

1 2 3 .a a i a j a k

D damtkiceba. movdoT a veqtori koordinatTa saTaveSi. avagoT iseTi marTkuTxa

paralelepipedi, romlis diagonalia ada romlis wiboebi sakoordinato RerZebze

mdebareoben(ix. naxazi).

Page 71: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

5

veqtorTa Sekrebis paralelepipedis wesis

Tanaxmad a OA OB OC

.

magram, advili SesamCnevia, rom OA

aris aveqtoris mdgeneli OX RerZze, amitom

1 .OA a i

Aanalogiurad, 2OA a j

da

3 .OA a k

.

MmaSasadame,

1 2 3 .a a i a j a k

Teorema damtkicebulia

.

Ooperaciebi koordinatebiT mocemul veqtorebze

advili saCvenebelia, rom Tu mocemulia 1 2 3; ;a a a a

da 1 2 3; ;b b b b

veqtorebi,

agreTve raime k namdvili ricxvi, maSin

1) 1 1 2 2 3 3; ; ,a b a b a b a b

e.i. veqtorTa Sekrebisas ikribeba Sesabamisi koordinatebi,

2) 1 2 3; ; ,ka ka ka ka

maSasadame, veqtoris ricxvze gamravlebisas, veqtoris TiToeuli koordinati

mravldeba am ricxvze.

samarTliania agreTve Semdegi

Teorema. Tu 1 2 3; ;a a a a

da 1 2 3; ;b b b b

, maSin a

da b

veqtorebis skalaruli

namravli gamoiTvleba formuliT

1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b

damtkiceba. davSaloT mocemuli veqtorebi sakoordinato RerZebis mgezavebis

mixedviT

1 2 3 ,a a i a j a k

1 2 3 .b b i b j b k

maSin gveqneba

1 2 3 1 2 3( )( ).a b a i a j a k b i b j b k

skalaruli namravlis Tvisebebis gaTvaliwinebiT SegviZlia davweroT

1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 .a b a b ii a b jj a b kk a b ij a b ik a b ji a b jk a b ki a b kj

(1)

radgan i , j da k

erTeulovani veqtorebia, amitom skalaruli namravlis

gansazRvrebidan gamomdinare 01 1 cos0 1,ii jj kk

(2)

Page 72: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

6

xolo radgan isini uTierTmarTobulia, gveqneba 01 1 cos90 0,ij ji ik ki jk kj

(3)

(1), (2) da (3) tolobebidan miviRebT

1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b

Teorema damtkicebulia.

damtkicebuli formulidan SegviZlia miviRoT veqtoris sigrZis gamosaTvleli formula

2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 2 3 ,a a a a a a a a a a a a

sadac 1 2 3, ,a a a aris a -s koordinatebi.

ori veqtoris skalaruli namravlis gansazRvrebidan

cos .a b

a b

aqedan da zemoTdadgenili formulebidan miviRebT koordinatebiT mocemul veqtorebs

Soris kuTxis gamosaTvlel Semdeg formulas

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

cos ,a b a b a b

a a a b b b

sadac 1 2 3, ,a a a aris a-s koordinatebi, xolo 1 2 3, ,b b b aris b

-si.

Page 73: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

7

n ganzomilebiani veqtorebi, veqtorTa wrfivad damoukidebloba, bazisi

tolobas 1 2 3; ;a a a a

safuZvlad udeben e.w. „„ n ganzomilebiani veqtoris‟‟

gansazRvrebas.

gansazRvreba. n ganzomilebiani aveqtori ewodeba namdvil ricxvTa dalagebul

n euls:

1 2; ;..; na a a .

1 2; ;...; na a a ricxvebs a veqtoris koordinatebi ewodeba. es faqti ase CavweroT

1 2; ;..; na a a a

an ase 1 2; ;..; .na a a a a

n -ganzomilebian veqtorTa Sekreba da ricxvze gamravleba ganvsazRvroT Semdeg-

nairad:

1 2 1 2 1 1 2 2; ;..; ; ;..; ; ;..; ,n n n na a a b b b a b a b a b

1 2 1 2; ;..; ; ;..; .n nk a a a ka ka ka

n -ganzomilebian veqtorTa simravles, romelSic veqtorTa Sekrebisa da ricxvze

gamravlebis operaciebi gansazRvrulia am wesebiT, ewodeba veqtoruli sivrce.

gansazRvreba . veqtors

1 1 2 2 ... ,m mk a k a k a

sadac 1 2, ,..., mk k k nebismieri namdvili ricxvebia, vuwodoT 1 2; ;..; na a a

veqtorebis wrfivi

kombinacia. gansazRvreba.veqtorTa erTobliobas vuwodoT wfivad damokidebuli, Tu erT-erTi maTgani warmoadgens danarCenTa wrfiv kombinacias. Tu veqtorTa erToblioba araa wrfivad damokidebuli, maSin mas wrfivad damoukidebeli ewodeba. cxadia, Tu veqtorTa erTobliobis romelime wevri nulovania, maSin es

erToblioba wrfivad damokidebulia.

sainteresoa Semdegi

Teorema.vTqvaT, mocemulia veqtorebi:

1 11 12 1; ;..; na a a a

2 21 22 2; ;..; na a a a

………………………..

1 2; ;..; .m m m mna a a a

am veqtorebs Soris wrfivad damoukidebel veqtorTa maqsimaluri raodenoba udris maTi koordinatebisagan Sedgenili

11 12 1

21 22 2

1 2

; ;..;

; ;..;

....................

; ;..;

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

matricis rangs.

Page 74: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

8

gansazRvreba. veqtorTa wrfivad damoukidebel erTobliobas ewodeba sivrcis bazisi, Tu am sivrcis nebismieri veqtori warmoidgineba aRniSnuli erTobliobis wrfivi kombinaciis saxiT. Aadvili SesamCnevia, rom n ganzomilebian veqtorTa sivrceSi Semdegi veqtorebi

qmnian baziss:

1 1;0;..;0 ,e

2 0;1;..;0 ,e

…………………..

0;0;..;1 .ne

marTlac, cxadia, rom arcerTi maTgani ar warmoadgens danarCenTa wrfiv

kombinacias magaliTad,SeuZlebelia 1e

iyos danarCenebis wrfivi kombinacia, vinaidan

yoveli aseTikombinaciis pirveli koordinatia 0, maSin roca 1e

-is pirveli

koordinati aris 1. e.i. veqtorTa es 1 2, ,..., ne e e

erToblioba wrfivad damoukidebelia.

meores mxriv, nebismieri 1 2; ;..; na a a a

veqtori warmoidgineba maTi wrfivi kombinaciis

saxiT. marTlac

1 2 1( ; ;..; ) 1;0;..;0na a a a

2 0;1;..;0a

…………………

0;0;..;1 ,na

Aanu,

1 1 2 2 .. .n na a e a e a e

A SevniSnoT, rom samganzomilebian veqtorul sivrceSi baziss qmnis sakoordinato

RerZebis mgezavebi: A 1;0;0 ,i

0;1;0 ,j

0;0;1 .k

Page 75: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

9

wrfe sibrtyeze

manZili or wertils Soris

Teorema. manZili sibrtyis1 1( ; )A x y da 2 2( ; )B x y wertilebs Soris gamoiTvleba

formuliT

2 2

1 2 1 2 .AB x x y y

damtkiceba. ABC marTkuTxa sankuTxedidan, piTagoras Teoremis Tanaxmad,

A 2 2AB AC BC .

magram 1 2AC x x da 1 2BC y y . amitom

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2AB x x y y x x y y .

Teorema damtkicebulia.

SeniSvna.AmarTkuTxa paralelepipedis dia-

gonalis Tvisebis gamoyenebiT aseve martivad

damtkicdeba, rom sivrceSi manZili 1 1 1( ; ; )A x y z da

2 2 2( ; ; )B x y z wertilebs Soris gamoiTvleba formuliT

2 2 2

1 2 1 2 1 2AB x x y y z z .

monakveTis gayofa mocemuli SefardebiT

Teorema. vTqvaT, 1 1( ; )A x y da 2 2( ; )B x y wertilebi monakveTis boloebia , xolo

0 mocemuli namdvili ricxvia. maSin im ( ; )C x y wertilis kordinatebi, romelic AB

monakveTs yofs -SefardebiT, e.i. romlisTvisac AC

CB , gamoiTvleba formulebiT:

1 2

1

x xx

, 1 2

1

y yy

damtkiceba. proporciuli monakeTebis Sesaxeb Teoremis Tanaxmad 1 1

1 1

AC AC

CB C B .

magram AC

CB da 1 1 1

1 1 2

AC x x

C B x x

. amis gamo

1

2

x x

x x

.

Tu aqedan, rogorc gantolebidan, amovxsniT

x -s, miviRebT, rom 1 2

1

x xx

.

1x 2x

2y

1y 1 2;A x x

2 2;B x y

C

Y

X

O

1A 1C

1B

O

Y

1 1;A x y

;C x y

2 2;B x y

X1x x

2x

Page 76: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

10

analogiurad damtkicdeba meore formulac.

Teorema damtkicebulia.

SeniSvna. aseTive formulebi samarTliania sivrcis wertilTa SemTxvevaSic, magram

daemateba kidev erTi Fformula

1 2

1

z zz

.

SeniSvna. rodesac C wertili AB monakveTis Suawertilia, maSin, cxadia, 1 .

amis gaTvaliswinebiT damtkicebuli formulebian miviRebT monakveTis Suawerti-lis koordinatebis gamosaTvlel formulebs:

1 2

2

x xx

, 1 2

2

y yy

, 1 2

2

z zz

.

wrfis gantoleba kuTxuri koeficientiT

gansazRvreba. sibrtyeze mdebare raime wiris gantoleba ewodeba iseT orcvladian

gantolebas, romelsac akmayofileben mxolod am wiris wertilTa koordinatebi.

Teorema. im wrfis gantolebas, romelic abscisaTa RerZis dadebiT mimarTule-

basTan qmnis kuTxes da romelic ordinatTa RerZs kveTs 0;b wertilSi, aqvs saxe

y kx b (1)

sadac k tg da mas ewodeba mocemuli wrfis kuTxuri koeficienti.

damtkiceba. aviRoT mocemul wrfeze nebismieri ( ; )M x y wertili da vaCvenoT,

rom misi koordinatebi aknayofilebs (1) gantolebas.

AMC -dan y AM tg AO OC tg AO tg xtg .

magram, ABO -dan AO tg b . maSasadame,

,y b xtg

rac dasamtkicebeli (1) formulaa.

Teorema damtkicebulia.

C

Y

O

A

B

;M x y

X x α

b

y

Page 77: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

11

wrfis zogadi saxis gantoleba

gansazRvreba. pirveli rigis orcvladiani gantoleba ewodeba

0Ax By C (1)

saxis gantolebas, sadac x da y cvladebia, A da B ki mocemuli namdvili ricxvebi,

romelTagan erTi mainc gansxvavebulia nulisagan ( e.i. 2 2 0A B ).

Teorema. yoveli wrfis gantoleba pirveli rigis orcvladiani gantolebaa da piriqiT, yovli pirveli rigis orcvladiani gantoleba wrfis gantolebas warmoadgens. D damtkiceba. Tu wrfe abscisTa RerZis marTobuli araa, maSin, rogorc viciT, mis

gantolebas aqvs saxe y kx b , anu 0kx y b . cxadia, es gantoleba (1) saxi-saa,

sadac A k , 1B da C b . Tu wrfe abscisTa RerZis marTobulia, maSin mis

gantolebas aqvs saxe x a , anu 0x a . esec (1) saxisaa, romelSic 1A , 0B da

C a .

piriqiT, Tu mocemulia (1) saxis gantoleba , romelSic 0B , maSin mas SegviZ-

lia mivceT saxe A C

y xB B

. Ees ki iqneba im wrfis gantoleba, romlis kuTxuri

koeficientia A

B da romelic ordinatTa RerZs kveTs 0;

C

B

wertilSi. Tu 0B ,

maSin 0A da (1) gantoleba miiRebs saxes C

xA

. es ki, cxadia, im wrfis ganto-

lebaa, romelic abscisTa RerZis marTobulia da romelic mas ;0C

A

wertilSi

kveTs.

Teorema damtkicebulia.

wrfeTa konis gantoleba

gansazRvreba. mocemul wertilze gamaval wrfeTa erTobliobas am wertilze

gamavali wrfeTa kona ewodeba.

0M

Page 78: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

12

Teorema. sibrtyis 0 0 0;M x y wertilze gamavali wrfeTa konis nebismieri wrfis

gantolebas, garda abscisaTa RerZis marTobulisa, aqvs saxe

0 0y y k x x , (1)

sadac k namdvili ricxvia. Ddamtkiceba. rogorc viciT, nebismieri wrfis gantoleba, garda abscisaTa RerZis

marTobuli wrfisa, SeiZleba Caiweros kuTxuri koeficientiT

y kx b . (2)

radgan es wrfe gadis 0M wertilze, amitom 0M wertilis kooordinatebi daak-

mayofilebs am wrfis gantolebas, e.i.

0 0y kx b (3)

Tu (2) gantolebas wevr-wevrad gamovaklebT (3)-s, miviRebT dasamtkicebel (1) tolobas.

Teorema damtkicebulia.

SeniSvna. (1)-s 0 0 0;M x y wertilze gamavali wrfeTa konis gantolebas uwodeben.

Oor wertilze gamavali wrfis gantoleba

Teorema. sibrtyis 1 1;A x y da 2 2;B x y 1 2 1 2( , )x x y y wertilebze gamavali wrfis

gantolebas aqvs saxe

1 1

2 1 2 1

x x y y

x x y y

. (1)

D damtkiceba. radgan AB wrfe ekuTvnis wertilze gamaval wrfeTa konas, amitom am

wrfis gantolebas aqvs saxe

1 1y y k x x . (2)

radgan 0M wertili Zevs am wrfeze, amitom 0M werti-lis

koordinatebi daakmayofilebs (2) tolobas. e.i.

2 1 2 1y y k x x . (3)

Tu (2) tolobas wevr-wevrad gavyofT (3) tolobaze, miviRebT dasamtkicebel (1) to-

lobas.

Teorema damtkicebulia.

SeniSvna. roca 1 2x x , maSin, cxadia, AB wrfe abscisaTa RerZis marTobulia da

mis gantolebas eqneba saxe 1x x . analogiurad, roca

1 2y y maSin AB wrfe ordi-

natTa RerZis marTobulia da mis gantolebas aqvs saxe 1y y .

2 2;B x y

.

.

1 1;A x y

Page 79: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

13

wrfis gantoleba RerZTa monakveTebSi

Teorema. im wrfis gantolebas, romelic abscisTa RerZs da ordinatTa RerZs

Sesabamisad ;p o da 0;q ( 0, 0)p q wertilebSi kveTs, aqvs saxe

1x y

p q . (1)

damtkiceba. or wertilze gamavali wrfis gantolebis ZaliT

0

0 0

x p y

p q

, anu 1

x y

p q

, saidanac

1x y

p q .

Teorema damtkicebulia.

(1) -s uwodeben wrfis gantolebas RerZTa monakveTebSi.

wrfis normaluri saxis gantoleba

gansazRvreba. vTqvaT, wrfe ar gadis koordinatTa saTaveze. am wrfis normali ewodeba koordinatTa saTavidn masze daSvebul marTobs. Teorema. vTqvaT wrfe ar gadis koordinatTa saTaveze. Tu misi normalis sigrZea ^ n da es normali abscisaTa RerZis dadebiT mimarTulebasTan qmnis sididis kuTxes, maSin am wrfis gantolebas aqvs saxe

O X

Y

1x x 1y y

X

Y

O

X

Y

O p

q

Page 80: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

14

cos sin 0x y n (1)

damtkiceba. damtkiceba moviyvanoT im SemTxvevisaTvis, roca mocemuli wrfe ar

aris paraleluri arcerTi sakoordinato RerZis.

RerZTa monakveTebSi wrfis gantolebis ZaliT 1x y

p q . naxazidan

Cans, rom cos

np

da

sin

nq

. e.i.

1

cos sin

x y

n n

,

saidanac miviRebT tolobas

cos sin 0x y n .

advili Sesamowmebelia, rom Teorema samarTliania im SemTxvevaSic, rodesac wrfe

erT-erTi sakoordinato RerZis paraleluria.

Teorema damtkicebulia.

(1) -s wrfis normaluri saxis gantoleba ewodeba.

wrfis zogadi saxis gantolebis dayvana normalurze

Teorema. Tu wrfis zogadi saxis gantolebaa 0Ax By C , maSin amave wrfis

normaluri saxis gantoleba iqneba

2 2 2 2 2 2

0A B C

x yA B A B A B

, (1)

sadac radikalis win niSani aiReba C koeficientis niSnis sapirispiro. damtkiceba. vTqvaT, mocemuli wrfis normaluri saxis gantolebaa

cos sin 0x y n . advili misaxvedria, rom erTi da imave wrfis sxvadasxva

gantolebebis koeficientebi proporciulia, amitom iarsebebs iseTi ricxvi, rom

cos A , sin B , n C . (2)

aqedan, pirveli ori tolobis orive mxaris kvadratSi ayvaniTa da wevr-wevrad

Sekrebis Sedegad miviRebT 2 2 2 2 2cos sin A B , anu 2 2 2 1A B . aqedan

2 2

1

A B

.

Tu ^ -s am mniSvnelobas SevitanT (2) tolobebSi da sin , cos da ( )n -is miRe-bul

mniSvnelobebs CavsvamT cos sin 0x y n gantolebaSi, miviRebT saZiebel (1)

gantolebas.

dagvrCa SevniSnoT, rom ricxvs aqvs C koeficientis sapirispiro niSani rad-

ganac 0.C n

X

Y

O p

q

n

Page 81: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

15

Teorema damtkicebulia.

SeniSvna. ricxvs 2 2

1

A B

manormirebel mamravls uwodeben. damtkicebuli

Teoremidan vRebulobT, rom wrfis zogado saxis gantolebis normalur saxeze

dasayvanad sakmarisia zogadi saxis gantolebis yvela koeficienti gavamravloT

manormirebel mamravlze.

manZili wertilidan wrfemde

Teorema. manZili 0 0;M x y wertilidan im wrfemde, romlis normaluri saxis

gantolebaa cos sin 0x y n , gamoiTvleba formuliT

0 0cos sind x y n (1)

damtkiceba. mocemuli wrfe aRvniSnoT 1l -iT. radgan am wrfis normalia ON ,

amitom ON n . M wertilze gavavloT 1l -is paraleluri

2l wrfe da 2l -is normalis

sigrZe aRvniSnoT m -iT. cxadia, rom

d m n (2)

2l wrfis AK normali abscisaTa RerZis

dadebiT mimarTulebasTan Seqmnis imave sidi-dis

kuTxes, rasac qmnis 1l . amis gamo

2l -is gan-tolebas

eqneba saxe

cos sin 0x y m .

radgan M wertili Zevs 2l wrfeze, amitom M -

is koordinatebi daakmayofileben 2l -is gantole-

bas. amitom 0 0cos sin 0x y m . aqedan ki

0 0cos sinm x y .

Tu m -is am mniSvnelobas SevitanT (2) tolobaSi, miviRebT dasamtkicebel (1) to-lobas

0 0cos sind x y n .

Teorema damtkicebulia.

SeniSvna. manZili 0 0;M x y wertilidan im wrfemde, romlis zogadi saxis

gantolebaa 0Ax By C , gamoiTvleba formuliT

0 0

2 2

Ax By Cd

A B

.

am formulis misaRebad sakmarisia wrfis zogadi saxis gantoleba daviyvanoT nor-

malur saxeze da Semdeg visargebloT (1) formuliT.

K

2l 1l

X

Y

d 0 0;M x y

N

O

Page 82: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

16

kuTxe or wrfes Soris. wrfeTa paralelurobisa da marTobulobis pirobebi

Teorema. kuTxe im wrfeebs Soris, romelTa kuTxuri koeficientebia, Sesabamisad,

1k da 2k , gamoiTvleba formuliT

1 2

1 21

k ktg

k k

. (1)

damtkiceba. gansazRvrebis Tanaxmad, or wrfes Soris kuTxe maTi gadakveTisas

miRebuli oTxi kuTxidan umciresis sididea, amitom

an . samkuTxedis gare kuTxis Tvisebis

gaTvaliswinebiT davaskvniT, rom

1 2 an 0

1 2 (180 ) .

yvela SemTxvevaSi 1 2tg tg . aqedan, Tu

gaviTvaliswinebT, rom 0tg da gamoviyenebT

ori argumentis sxvaobis tangensis cnobil formulas, miviRebT

1 2

1 21

tg tgtg

tg tg

, anu 1 2

1 21

k ktg

k k

.

Teorema damtkicebulia.

cxadia, ori wrfe paraleluria maSin da mxolod maSin, roca 1 2 . e.i.

rodesac 1 2tg tg , anu roca

1 2k k .

es toloba warmoadgens ori wrfis paralelurobis pirobas.

ori wrfe marTobulia, roca 090 , e.i. roca tg ar arsebobs. (1) formulidan

Cans, rom es moxdeba maSin, roca 1 21 0tg tg , anu rodesac

1 2 1k k .

es toloba warmoadgens ori wrfis marTobulobis pirobas.

X

O

2

1

Y

Page 83: თამაზ ზერეკიძის - TSU Learn · მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2. თამაზ

კონსპექტი შეივსო დაპირებული ნაწილებით:

‘‘ვექტორები’’

‘‘წრფე სიბრტყეზე’’

ეს ნაწილები ელექტრონულ ფაილში შეადგენს

67-82 გვერდებს

ვისაც ამობეჭდილი ქონდა კონსპექტის წინა ვერსია (2 ნოემრამდე, 2011წ),

მან უნდა ამობეჭდოს ეს გვერდები და ჩართოს მე-19 გვერდის შემდეგ.