トポロジカル物質ーバンドのトポロジー理論ー

羽部哲朗

北大 工学院 応用物理学専攻数理物理工学研究室 博士課程 2年

トポロジー理工学特別講義II 2012/11/2

目次

● バンド構造と量子ホール効果 (導入)● トポロジカル絶縁体

– HgTe (2D)– Bi2Se3 (3D)

● トポロジカル超伝導体– CuxBi2Se3

● まとめ

バンド構造と物性理論バンド構造：電子の運動量とエネルギーの関係

M anuel Cardona and Fred H . Pollak, Phys. Rev. 142, 530 543 (1966)–G lenn A . Burdick, Phys. Rev. 129, 138 150 (1963)–

金属(銅) 半導体(シリコン)

伝導度D rudeの公式

n :伝導電荷密度e :電荷 :τ 緩和時間m :有効質量

ギャップがない　→ 　自由な電荷があるギャップがある　→ 　自由な電荷がない

　バンドギャップの有無　＝　絶縁体と金属の区別

量子ホール効果

K . von K litzing, G . D orda and M . Pepper Phys. Rev. Lett. 45, 494 497 (1980)–

　　　　　　バンド構造との関係は？

強磁場中の2次元電子系　→ 　ホール電導度が量子化

量子ホール効果

D .J.Thouless, M . K ohm oto, M .P. N ightingale and M . den N ijs, Phys. Rev. Lett. 49, 405-408 (1982)

図）2 次元 Brillouin zone

久保公式

バンド構造から定義されるベクトル

量子ホール効果：TKNN数

TK N N 数（第1Chern数）：

X .-L. Q i, T. L. H ughes, and S.-C. Zhang ,Phys. Rev. B 78, 195424 (2008)

ホール伝導度：

バンドの詳細によらない離散的な数

端状態

M . Z. H asan and C. L. K ane, Rev. M od. Phys. 82, 3045 3067 (2010)–

TK N N 数の変わる界面にギャップレス状態

この端状態が量子化したホール電流を担う

バンド理論とトポロジー

ギャップのあるバンド構造　＝　なめらかな多様体

・電子はこの多様体上にのみ存在する・多様体の違い　＝　物質の違い

位相幾何学（トポロジー）による新たな物性

トポロジーとはなめらかな多様体の詳細によらない特徴をつかむ

連続変形で変化しない量

位相不変量 （Topological N um ber）

位相不変量の例１もっとも簡単な位相不変量

空間の次元 N

しかし、あまりにも自明

位相不変量の例２

穴の数は位相不変量

穴の数

連続変形では穴の数は変わらない

位相不変量の計算穴の数

曲率：接線ベクトルの変化

曲率の積分によって穴の数を求める

バンド構造のトポロジートポロジカル数

曲率：接線ベクトルの変化

曲率の積分によって穴の数を求める

トポロジカル数の変化トポロジカル数

・整数値しかとらない・ギャップ絶縁体に対して、占有状態の波動関数で決まる

ギャップが閉じない限りトポロジカル数は変化しない

トポロジカルな性質は摂動に強い

トポロジカル数と端状態トポロジカル数の変化

真空：自明なトポロジカル数をもつ絶縁体

トポロジカル数の変化　＝　界面にギャップレス状態

N=1 N=0 (Vacuum)

Gapless state

トポロジーと対称性

トポロジカル超伝導

トポロジカル絶縁体

量子ホール効果

A .P.Schnyder, S.Ryu, A .Furusaki, and A .W .W .Ludw ig, Phys. Rev. B 78, 195125 (2008)

TRS:Tim e Reversal Sym m etry, PH S:Perticle H ole Sym m etry, SLS: TRS x PH S

トポロジカル絶縁体（2D）

L. Fu and C. L. K ane, Phys. Rev. Lett. 95, 146802; 95, 226801 (2005)

トポロジカル数に対応した端状態ができる

伝導度が量子化する

トポロジカル絶縁体（2D）

M . K onig, et al., Science 318, 766 (2007)

B.A . Bernevig, et al., Science 314, 1757 (2006)

実験理論

厚さを小さくするとトポロジカル数がかわる

トポロジカル絶縁体(3D)

Bi2Se3の有効ハミルトニアン

トポロジカル数Z 2=1

トポロジカル絶縁体

Y. X ia, et al., N at. Phys. 5, 398-402 (2009)

A RPESで見た表面状態の分散

Bi2Se3

Y. L. Chen, et al., Science 329, 659 (2010)

トポロジーと対称性

トポロジカル絶縁体

A .P.Schnyder, S.Ryu, A .Furusaki, and A .W .W .Ludw ig, Phys. Rev. B 78, 195125 (2008)

TRS:Tim e Reversal Sym m etry, PH S:Perticle H ole Sym m etry, SLS: TRSxPH S

トポロジカル絶縁体時間反転対称性の破れ

Y. L. Chen, et al., Science 329, 659 (2010)

トポロジカル絶縁体の性質はTRSで守られている

まとめ（中間）時間反転対称性があるバンド絶縁体である

波動関数からトポロジカル数を定義できる

N=1 N=0 (Vacuum)

Gapless state

トポロジカル数の異なる領域界面に特殊な金属状態

超伝導と準粒子ギャップ超伝導転移

電気伝導 準粒子状態金属 伝導電子 ギャップレス

超伝導 クーパー対 ギャップ

BdGハミルトニアン

大きさΔのギャップをもつ準粒子状態を表現

トポロジーと対称性

トポロジカル超伝導

トポロジカル絶縁体

量子ホール効果

A .P.Schnyder, S.Ryu, A .Furusaki, and A .W .W .Ludw ig, Phys. Rev. B 78, 195125 (2008)

トポロジカル超伝導体BdGハミルトニアン

BdGハミルトニアン トポロジカル絶縁体

ペア関数Δが運動量の方向に依存するような超電導体

トポロジカル超電導体

トポロジカル超伝導体CuxBi2Se3

Cuのインターカレーション→ 　電子ドープ

トポロジカル超伝導体CuxBi2Se3

M issner effect Conductance

バルクで超伝導を確認

トポロジカル超伝導

S. Sasaki, et al., Phys. Rev. Lett. 107. 217001 (2011)

CuxBi2Se3

微分コンダクタンスの測定

表面状態？を観測

本講義のまとめ

ギャップを持つバンド構造を多様体と考える

バンドのトポロジー理論

バンドのトポロジカル数による新たな物質のクラス

端状態

位相不変量の異なる物質界面には特殊な粒子が生じる　　　・質量のないディラック粒子　　　・マヨラナ粒子