フロンティア法組合せ問題の解を列挙索引化す...

フロンティア法 - 組合せ問題の解を列挙索引化するZDD構築アルゴリズム

川原純

科学技術振興機構 ERATO湊離散構造処理系プロジェクト

北海道大学情報科学研究科

講義の目標

• パスの数え上げアルゴリズムを理解する

• 大規模データを扱うためのデータ構造の1つ

「ZDD」についてより詳しく知る

– 大規模データの保存、活用

• 様々な対象を表現するZDDを高速に構築する手法

「フロンティア法」アルゴリズムを理解する

– 適用事例について知る

ZDD: 集合の集合を表現するデータ構造

{

}

e1 e2 e4 e2

e5 e4 e3

,

, e3

,

0 1

1 0

e1

e2

e3

e4

e5

e5

e5 e5

e5 ,

{ } { } { }

{ } { } { }

ZDD

集合の集合

(Zero-suppressed Binary Decision Diagram) [S.Minato 93]


{

}

e1 e2 e4 e2

e5 e4 e3

,

, e3

,

0 1

1 0

e1

e2

e3

e4

e5

e5

e5 e5

e5 ,

{ } { } { }

{ } { } { }

集合の集合

ZDD

0 : 0 終端

1 : 1 終端それぞれ1つずつもつ

ei : ノード e1 e5 ～いずれかのラベル

e1 , e2 ,… , e5 の順序


{

}

e1 e2 e4 e2

e5 e4 e3

,

, e3

,

0 1

1 0

e1

e2

e3

e4

e5

e5

e5 e5

e5 ,

{ } { } { }

{ } { } { }

集合の集合

ZDD

0 : 0 終端



e1 , e2 ,… , e5 の順序

ノードは0枝と1枝を1つずつもつ


{

}

e1 e2 e4 e2

e5 e4 e3

,

, e3

,

0 1

1 0

e1

e2

e3

e4

e5

e5

e5 e5

e5 ,

{ } { } { }

{ } { } { }

集合の集合

ZDD 0 : 0 終端



ノードは0枝と1枝を1つずつもつ

1つの集合が、 top からまでの1本のパスに対応 1

0 1

1 0

e1

e2

e3

e4

e5

e2

等価な2つのノードは必ず共有される

0 1

1 0

e1

e2

e3

e4

e5

ZDDの性質

s e1 t

e2

e3

e4

e5

パスは辺の集合で表現できる

s e1 t

e2

e3

e4

e5

s e1 t

e2

e3

e4

e5

s e1 t

e2

e3

e4

e5

s e1 t

e2

e3

e4

e5

{e1, e4} {e2, e5}

{e1, e3 ,e5} {e2, e3 ,e4}

s e1 t

e2

e3

e4

e5


s e1 t

e2

e3

e4

e5

s e1 t

e2

e3

e4

e5

s e1 t

e2

e3

e4

e5

s e1 t

e2

e3

e4

e5

{e1, e4} {e2, e5}

{e1, e3 ,e5} {e2, e3 ,e4}

全ての s-t パスを列挙して、

辺集合の集合で表す

s e1 t

e2

e3

e4

e5


s e1 t

e2

e3

e4

e5

s e1 t

e2

e3

e4

e5

s e1 t

e2

e3

e4

e5

s e1 t

e2

e3

e4

e5

{e1, e4} {e2, e5}

{e1, e3 ,e5} {e2, e3 ,e4}

全ての s-t パスを列挙して、

辺集合の集合で表す

{{e1, e4}, {e2, e5}, {e1, e3 ,e5}, {e2, e3 ,e4}} all s-t path =

Knuth のパス列挙アルゴリズム

全 s-t パスを表現する ZDD をトップダウン的に構築

ZDD

s e1

t

パス列挙（ZDD構築）アルゴリズム [Knuth 08]

1. 辺に順番を付ける（例えば、s から幅優先）

e2

e3

e4

e5

辺 e1, e2,… の順に処理

2. ZDDを構築

e1 e1 = 0

e2 e2 = 0

e4

e2 e2 = 1 e2 = 0 e2 = 1

e1 = 1

e5

各辺変数 ei に対し、 ei = 0 or 1 を決めていく

（もっと良い方法もあり）

e3 e3 e3 e3 0 1

s e1 t

e2

e3

e4

e5

ei = 1 である辺が s-t パスになっているか？

s-t パスになっている 1

s e1

t


e2

e3

e4

e5


2. ZDDを構築

e1 e1 = 0

e2 e2 = 0

e4

e2 e2 = 1 e2 = 0 e2 = 1

e1 = 1

e5



e3 e3 e3 e3 0 1

s e1 t

e2

e3

e4

e5

ei = 1 である辺が s-t パスになっているか？

s-t パスになっていない 0

s e1 t

e2

e3

e4

e5

s-t パス + 余分な辺 0


s e1

t


e2

e3

e4

e5


2. ZDDを構築

e1 e1 = 0

e2 e2 = 0

e4

e2 e2 = 1 e2 = 0 e2 = 1

e1 = 1

e5



e3 e3 e3 e3 0 1

1 1 他は0 1 1

が1つのパスに対応 1



s e1

t

e2

e3

e4

e1 e1 = 0

e2 e2 = 0

e2 e2 = 1 e2 = 0 e2 = 1

e1 = 1

e3 e3 e3

1 0 1 0 1 0 1 0


e1 e1 = 0

e2 e2 = 0

e2 e2 = 1 e2 = 0 e2 = 1

e1 = 1

e3 e3

1 0 1 0

ノードを共有できるときは共有したい

ただし、子DAGを作成せずに、共有可能か判定を行う

s e1

t

e2

e3

e4 e3

1 0 1 0


e1 = 0 e1 = 1

e2 = 0 e2 = 1

e1 = 0 e1 = 1

e2 = 0 e2 = 1

?

s e1

t

e2

e3

e4

途中の経路は分からないが s につながっていることは分かっている


s t

… …

t

フロンティア

処理済み辺未処理辺


s t

… …

t

a

b c

d

h

f

g

f d

s a

b c

d

h

f

g

s t

a

b c

d

h

f

g

s t

f d

s


s t

… …

t

a

b c

d

h

f

g

f d

s a

b c

d

h

f

g

s t

a

b c

d

h

f

g

s t

f d

s

f d

s a

b c

d

h

f

g

s t

接続情報の記憶法

mate 配列

頂点がパスの端

d f g v

mate[v]

逆端の頂点

自身の頂点

頂点がいずれのパスにも含まれない

頂点がパスの途中

0

f d s


a

b c

d

h

f

g

s t

s

a

b

…

…

a b v

mate[v] a 0

パス列挙（ZDD構築）アルゴリズム [Knuth 08] a

b

c

s t

e1

e2 e3

e4

e5

e6 s a

a s

b

a

s

a

b

s

a

b

s

a s

0 b

s 0

s

s

a

c

s

c

s

s

0

mate 値


b

c

s t

e1

e2 e3

e4

e5

e6 mate 値

s a

a s

b

a

s

a

b

s

a

b

s

a s

0 b

s 0

s

s

a

c

s

s

0


b

c

s t

e1

e2 e3

e4

e5

e6

s

a

c

s

s

0

s

a

c

t

s

0


b

c

s t

e1

e2 e3

e4

e5

e6

s

a

c

s

s

0

s

a

c

t

s

0

1

1

1


b

c

s t

e1

e2 e3

e4

e5

e6

s

a

c

s

s

0

s

a

c

t

s

0

1

1

1

根からまでの 1つの経路が 1 つのs-t パスに対応する

1

a b c d f v

mate[v] c 0 a d s

a

b

c s

g

d

f

a

b

c s

g

d

f

a b c d f g v

mate[v] 0 0 g d s c


mate 配列の更新例

一般に

c

d

a

b

a b c d

c d a b

a b c d

0 0 d c

最大4か所書きかえれば更新できる

mate 配列の更新


パス列挙アルゴリズム [Knuth 08]

枝刈り

a

b

c s

g

d

f

a

b

c s

g

d

f

0

枝刈り

a

b

c s

g

d

f t

a

b

c s

g

d

f t

0

枝刈り

a

b

c s

g

d

f t

a

b

c s

g

d

f t

1

終端判定条件

p q if x = 1

if GetDegree(p) = 2 or GetDegree(q) = 2

GetDegree(v)

if mate[v] == v

return 0

if mate[v] == 0

return 2

else

return 1

辺 e を処理する前の判定

終端 0

if (p = s or p = t) and GetDegree(p) = 1

終端 0

if (q = s or q = t) and GetDegree(q) = 1

終端 0

if mate[p] = q and mate[q] = p

終端 0

if mate[p] = s and mate[q] = t

mate[p] = t and mate[q] = s

or

for each vertex v in the frontier

if v != s or v != t or v!= p or v!= q

if GetDegree(v) = 1

終端 0

終端 1

end for

end if

for each v such that v がフロンティアから外れる

if v = s or v = t

if GetDegree(v) = 0

辺 e を処理した後の判定

終端 0

else

if GetDegree(v) = 1

終端 0

GetDegree(v)

if mate[v] == v

return 0

if mate[v] == 0

return 2

else

return 1

a

b

c s

g

d

f

a

b

c s

g

d

f

1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2

1

2 2

1

1 1

1 2 2 2

4

1 2

3 3 2

4 3 3 2

4 3 3 2

6 6

6 6

12 パスの数え上げ s

t

e1

e2

e3

e4 e5 e6

e11

e10 e7 e9

e8

e12

実験結果

n × n グリッド・・・

・・・

・・・

・・・

・・・

・・・ s

t 頂点の数 (n + 1) × (n + 1)

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequence (OEIS) : 数列大辞典

http://oeis.org/A007764

n time（秒）

15 206.0

16 701.9

17 2326.0

18 7607.1

19 28279.2

20 91944.1

21 284117.0

実験結果

n × n グリッド

Thanks to 岩下洋哲氏

・・・

・・・

・・・

・・・

・・・

・・・ s

t 頂点の数 (n + 1) × (n + 1)

頂点数計算時間 ZDDノード数パスの数

日本地図 47 0.01秒 951 1.4 × 1010

2重化 94 248.72秒 18,971,787 5.0 × 1044

14797272518 本

5039760385115189594214594926092397238616064 本（= 503正9760澗3851溝1518穣9594杼2145垓9492京6092兆3972億3861万6064）

実験結果

日本地図グラフ

北海道から鹿児島までの全パス

講義の目標








ZDD と集合族

集合の集合（集合族）は ZDD で効率よく保持できる

{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, d}, {b, c, d}}

a 0 1

b

c

d

1

0 は省略

c

1

b

c

d

1

d

1

a を含む集合だけを取り出し、a を消去する

ZDD と集合族

{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, d}, {b, c, d}} {{b, c, d}, {c}}

a 0 1

b

c

d

1

c

1

b

c

d

1

d

1

トップの要素なら簡単にできる

b

c

d

1

c

1

集合族への操作例：

a を含まない集合だけ取り出すなら、LO 枝側をもってこればよい

ZDD と集合族

c を含む集合だけを取り出し、c を消去する

{{a, b, d}, {a}, {b, d}}

a 0 1

b

c

d

1

c

1

b

c

d

1

d

1

トップでなければ、その変数の深さまで潜って、枝の付け替えを行う

a 0 1

b

c

d

1

c

1

b

c

d

1

d

1


{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, d}, {b, c, d}}

ZDD と集合族


a 0 1

b

c

d

1

c

1

b

c

d

1

d

1

トップでなければ、その変数の深さまで潜って、枝の付け替えを行う

a 0 1

b

c c

b

c

d

1

d

1


c を含まない集合だけ取り出すなら、LO 枝の方に付け替えればよい

d

1

1

{{a, b, d}, {a}, {b, d}} {{a, b, c, d}, {a, c}, {b, d}, {b, c, d}}

集合族 F から要素ｘを含む集合だけを取り出し、x を消去する


ZDD と集合族

F / x

{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, d}, {b, c, d}}

abcd + ac + bd + bcd = (abd + a + bd) c + bd

(abcd + ac + bd + bcd ) / c = abd + a + bd

(abcd + ac + bd + bcd ) % c = bd



集合族 F から要素ｘを含まない集合だけを取り出し、x を消去する

F % x

ZDD と集合族

a を各要素に追加する

{{b, c, d, e}, {b, d}, {c, e}, {c, d}}


{{a, b, c, d, e}, {a, b, d}, {a, c, e}, {a, c, d}}

b 0 1

c

d

e

1

d

1

c

d

e

1

e

1

b

c

d

e

1

d

1

c

d

e

1

e

1

a

トップに加える場合

ZDD と集合族

d を各要素に追加する

{{a, b, c, e}, {a, c}, {b, e}, {b, c}}


{{a, b, c, d, e}, {a, c, d}, {b, d, e}, {b, c, d}}

a 0 1

b

c

e

1

c

1

b

c

e

1

e

1

a

b

c

e

1

c

1

b

c

e

1

e

1

d

間に加える場合

d d

d

d が1つも含まれない場合

d を各要素に追加する

{{a, b, c, e}, {a, d}, {b, e}, {b, d}}


{{a, b, c, d, e}, {a, d}, {b, d, e}, {b, d}}

{d} ∪ {d} = {d} であるそれほど簡単ではない（省略）

d が含まれる場合

ZDD と集合族

集合族 F の各要素にｘを加える


ZDD と集合族

F * x

abce + ad + be + bd

各要素に d を加える

{{a, b, c, e}, {a, d}, {b, e}, {b, d}}

(abce + ad + be + bd) * d = abcde + add + bde + bdd

= abcde + ad + bde + bd

集合族 F から要素ｘを含む集合だけを取り出す（x は消去しない）

(F / x) * x

{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, d}, {b, c, d}}

abcd + ac + bd + bcd = (abd + a + bd) c + bd

c を含む集合だけを取り出す（c は消去しない）

ZDD と集合族

((abcd + ac + bd + bcd ) / c) * c = (abd + a + bd) * c

= abcd + ac + bcd

ZDD と集合族

F ∪ G = { {c}, {b, c} , {a}, {a, b}, {a, b, c}, {b} }

a 0 1

b

c

1

b

c c

F = { {c}, {b, c} , {a}, {a, b}, {a, b, c} }

c + bc + a + ab + abc

G = { {b}, {b, c}, {a, b} }

b + bc + ab

a 0 1

b

1

b

c

a 0 1

b

c

1

b

c c

F = { {c}, {b, c} , {a}, {a, b}, {a, b, c} }

c + bc + a + ab + abc

(c + bc) + a(ε + b + bc)

G = { {b}, {b, c}, {a, b} }

b + bc + ab

a 0 1

b

1

b

c

(b + bc) + a(b)

F ∪ G = (c + bc) ∪ (c + bc) + a((ε + b + bc) ∪(b))

a 0 1 a 0 1

F

F0 F1 G0 G1

G

一般に F = F0 ∪ a * F1 G = G0 ∪ a * G1 のとき F ∪ G = (F0 ∪ G0) ∪ a * (F1 ∪ G1)

a 0 1 a 0 1

F

F0 F1 G0 G1

G

一般に F = F0 ∪ a * F1 G = G0 ∪ a * G1 のとき F ∪ G = (F0 ∪ G0) ∪ a * (F1 ∪ G1)

apply (F, G, ∪) = make_node(a, apply (F0, G0, ∪), apply (F1, G1, ∪))

a 0 1

F0 ∪ G0

F ∪ G

F1 ∪ G1

apply (F, {}, ∪) = F など ∩ や Δ (対称差) なども同様

（ノード飛び越しがあるともっと複雑）

a 0 1 a 0 1

F

F0 F1 G0 G1

G

a 0 1

F0 ∪ G0

F ∪ G

F1 ∪ G1

最悪計算量は (F のノード数) * (G のノード数) 演算をキャッシュすると高速化できる（実用的には出力ZDDのノード数に線形のことが多い）

s

t

e1

e2

e3

e4 e5 e6

e11

e10 e7 e9

e8

e12

F: 全s-t パスを表すZDD

e9 を必ず通る s-t パスの集合は？

(F / e9) * e9

e9 を必ず通らない s-t パスの集合は？

(F % e9) * e9

a 0 1

b

c

1

b

c c

a, b, c, d のうち、ちょうど3個の要素からなる集合の集合を表すZDD

{ {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} }

d d d d

R(3, 4) と表記する

0 0 0 0

s

t

e1

e2

e3

e4 e5 e6

e11

e10 e7 e9

e8

e12

F: 全s-t パスを表すZDD

e9 を必ず通る長さが 8 の s-t パスの集合は？

((F / e9) * e9) ∩ R(8, 12)

（必ずしも効率的とは限らない。フロンティア法で直接作る方が速いことも）

条件付きパス（サイクル）の列挙

1 e1

e2

e3

e4 f = f + f / e4 % e3 % e2 % e1) * e4 + (f % e4 / e3 % e2 % e1) * e3 + (f % e4 % e3 / e2 % e1) * e2 + (f % e4 % e3 % e2 / e1) * e1

条件付きパス（サイクル）の列挙

一様ランダムサンプリング

a 0 1

b

c c

b

c

d

0

d

1

{d}, {c}, {c, d}, {b}, {b, d}, {b, c, d}, {a}, {a, d}, {a, c, d}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}

1 2

3 3 4

6 7

13 a

b b

6 7

13 確率

6

13

7

13

確率


a 0 1

b

c c

b

c

d

0

d

1


1 2

3 3 4

6 7

13

b

c c

3 3

6 確率

3

6

確率 3

6


a 0 1

b

c c

b

c

d

0

d

1


1 2

3 3 4

6 7

13 {b, d}

講義の目標








フロンティア法とは

トップダウンにZDDを構築する技法

e1 e1 = 0

e2 e2 = 0

e2 e2 = 1 e2 = 0 e2 = 1

e1 = 1

e3 e3

1 0 1 0

ノードを共有できるときは共有したい

s t

b c

a

フロンティア

a b c v

mate[v] 0 s c

各ノードについて、フロンティア上に何らかの情報を持たせて、共有可能性と枝刈りを判定

一般化して configuration と呼ぶ


(a), (b), (c) がs-tパスの場合の固有の処理

ハミルトンパス


if v = s or v = t

if GetDegree(v) = 0


終端 0

else

if GetDegree(v) = 1

終端 0

or GetDegree(v) = 0

（全点を通る s-t パス）

複数終端対パス

s1

t2

s2

t1

s1 - t1 パス

s2 - t2 パスの組を全列挙交差しない

s3

t3 s3 - t3 パス

(si , ti) をヒントペアという

si や ti をヒント頂点、

複数終端対パス終端判定条件

p q if x = 1

if GetDegree(p) = 2 or GetDegree(q) = 2

GetDegree(v)

if mate[v] == v

return 0

if mate[v] == 0

return 2

else

return 1

辺 e を処理する前の判定

終端 0

if (p がヒント頂点) and GetDegree(p) = 1

終端 0

if (q がヒント頂点) and GetDegree(q) = 1

終端 0

if mate[p] = q and mate[q] = p

終端 0

if (mate[p] と mate[q] がともにヒント頂点)

(mate[p], mate[q]) も (mate[q], mate[p]) もヒントペアではない

終端 0


if v がヒント頂点

if GetDegree(v) = 0


終端 0

else

if GetDegree(v) = 1

終端 0

GetDegree(v)

if mate[v] == v

return 0

if mate[v] == 0

return 2

else

return 1

複数終端対パス終端判定条件

1 最後の辺を処理し終えて、終端でなければ終端 0

サイクルが生じてはいけない連結成分が2つ以上生じてはいけない

全域木（本質的には [K.Sekine, H.Imai 95]）

フロンティア法（再掲）

configuration の設計

枝刈りの設計


a b c v

mate[v] A A B

a b c v

mate[v] A A B

b

c

b

c

等価

a a

configuration として、各頂点が属する連結成分のIDを記憶

A A

B B


同じ連結成分に属しているなら同じID 異なる連結成分に属しているなら異なるID


枝刈りの設計同じ連結成分を両端とする辺を加えるとき、サイクルができる

0 に接続 b

c

A

B

a

加えない

b

c

A

B

a 孤立成分が生じる

0 に接続

1 に接続

最後の辺まで処理後、 0 に接続されないなら

a b c v

mate[v] A A B

b

c

a

A

B

マッチングの列挙


b

c

a

a b c v

mate[v] 0 1 1

既にマッチングに使われている頂点は 1 使われていない頂点は 0 とすればよい

枝刈りの設計

b

c

a

a b c i

mate[i] 0 1 1

マッチングに使われている頂点に辺を加える時

0 に接続

1 に接続

最後の辺まで処理後、 0 に接続されないなら

辺変数型

パス型森型パス

サイクル


ハミルトンサイクル

オイラー路


（ナンバーリンク）

森全域木

シュタイナー木

カット（セット）

s-tカット

k 終端カット

連結成分

Tutte多項式

Jones多項式（ひもの絡み目）

上記2つ[関根, 今井 1996]

[Yoshinaka et al. 2012]

[Knuth 2008]

信頼性多項式

[Imai et al. 1997]

信頼性多項式

[Hardy et al. 2007]

複数サイクル

頂点変数型

頂点被覆独立集合支配集合

0-1 ナップザック部分和特殊

数分割特殊

頂点彩色

括弧列マトロイド Tutte 多項式

[Imai et al. 1996] [Saitoh et al. 2009]

動的計画法的な見方も可能

クリーク

フラグ型

辺被覆

完全マッチング

マッチング

集合被覆

集合分割

集合パッキング

上記3つ [今井, 今井 1998]

ハイパーグラフ

一般化

グラフ

根付き森、木

有向パス [Knuth 08]

[Knuth 2008]

有向グラフ

支配集合の列挙

ではない全ての頂点は

に隣接する少なくとも1つの

v7

v6

v5

v4

v3

v2

v1

v8

v9 v1 v1 = 0

v2 v2 = 0

v2 v2 = 1 v2 = 0 v2 = 1

v1 = 1

頂点を変数とするZDDを構築 v7

v6

v5

v3

v2 v8

v9

v4 v1

4 5 6 i

mate[i] 0 1 0

頂点が支配されているなら1 支配されていないなら0 とすればよい

頂点の取捨選択の情報を（フロンティア上の）頂点に記憶しているため、効率が良いとは限らない

0/1 ナップザック問題の列挙

x1 50

x2 100 …

xn 210

…

各アイテムを取るかとらないかを選択重さが M 以下になるような取り方

重さ

x1 x1 = 0

x2 x2 = 0

x2 x2 = 1 x2 = 0 x2 = 1

x1 = 1

0

50 0

x1

x2

xn

…

このグラフに対するフロンティア法と見ることができる

動的計画法のテーブルと見ることもできる

configuration = 重さの総和

辺変数型

パス型森型パス

サイクル


ハミルトンサイクル

オイラー路


（ナンバーリンク）

森全域木

シュタイナー木

カット（セット）

s-tカット

k 終端カット

連結成分

Tutte多項式

Jones多項式（ひもの絡み目）

上記2つ[関根, 今井 1996]

[Yoshinaka et al. 2012]

[Knuth 2008]

信頼性多項式

[Imai et al. 1997]

信頼性多項式

[Hardy et al. 2007]

複数サイクル

頂点変数型

頂点被覆独立集合支配集合

0-1 ナップザック部分和特殊

数分割特殊

頂点彩色

括弧列マトロイド Tutte 多項式

[Imai et al. 1996] [Saitoh et al. 2009]

動的計画法的な見方も可能

クリーク

フラグ型

辺被覆

完全マッチング

マッチング

集合被覆

集合分割

集合パッキング

上記3つ [今井, 今井 1998]

ハイパーグラフ

一般化

グラフ

根付き森、木

有向パス [Knuth 08]

[Knuth 2008]

有向グラフまとめ・フロンティア法によって様々な対象を表現する ZDDを構築可能 → configuration と枝刈りの設計

課題: 計算量評価等の理論的裏付け

適用事例：配電網のスイッチ構成

配電網

すべての家はちょうど1つの変電所につながっている必要がある

サイクルが生じてはいけない

変電所を根とする根付き全域森

根付き森 ZDD

電気制約 ZDD

∩ 条件を満たす ZDD

引用： http://www.jst.go.jp/pr/announce/20120223/index.html

適用事例：配電網のスイッチ構成

配電網

すべての家はちょうど1つの変電所につながっている必要がある

サイクルが生じてはいけない

変電所を根とする根付き全域森

根付き森 ZDD

電気制約 ZDD

∩ 条件を満たす ZDD

引用： http://www.jst.go.jp/pr/announce/20120223/index.html

468個のスイッチ制約条件を満たす解の個数は 2136820138348532911682612214804905609 817839244385235398189521540

通り（＝約1063）

約1時間15分 ZDDノード数約110万個 (779MB)

まとめ

• パスの数え上げアルゴリズム

• ZDD について詳細 – 大規模データの保存、ZDD演算によるフィルタリング


「フロンティア法」アルゴリズム – ハミルトンパス

– 複数終端対パス

– 全域木

– マッチング

• 適用事例フロンティア法のソースコード http://www-erato.ist.hokudai.ac.jp/~jkawahara/frontier

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