რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 1

თემა 3-1: წრფივი ალგებრის რიცხვითი მეთოდები

განვიხილოთ წრფივ ალგებრულ განტოლებათა სისტემა, რომელშიც განტოლებათარიცხვი უცნობების რიცხვის ტოლია:

11212111 ... bxaxaxa nn =+++ ,

22222121 ... bxaxaxa nn =+++ , . . . . . . . . . . (1)

nnnnnn bxaxaxa =+++ ...2211 .

ან, შემოკლებული ჩანაწერით:

.,,2,1,1

nibxa i

n

jjij K==å

=

xj უცნობთა ai j კოეფიციენტები ქმნის (1) სისტემის A მატრიცას

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

.......

...

...

21

122221

11211

,

ხოლო nxx ,,1 K უცნობები და nbb ,,1 K მარჯვენა მხარეები ქმნის n-კომპონენტიანვექტორებს _ x და b. ამის გათვალისწინებით (1) სისტემა შეიძლება ჩავწეროთ მატრიცულიფორმით

და (2)(2) სისტემის ამოხსნა არსებობს და ერთადერთია, თუ სრულდება ერთერთი შემდეგი

(ექვივალენტური) დებულება:1. A მატრიცს შებრუნებული გააჩნია ( 0det ¹A );2. A მატრიცის რანგი n -ის ტოლია;3. ერთგვაროვან სისტემას მხოლოდ ნულოვანი ამონახსნი გააჩნია.

ფორმალურად (2) სისტემის ამოხსნას გვაძლევს კრამერის ფორმულები

(3)სადაც წარმოადგენს იმ მატრიცის დეტერმინანტს, რომელიც მიიღება A მატრიცისაგანმისი j -ური სვეტის შეცვლით (1) სისტემის მარჯვენა მხარეებისაგან შედგენილი სვეტით. (3)ფორმულებით n-განზომილებიანი სისტემის ამოხსნას სჭირდება O((n+1)!) არითმეტიკულიოპერაცია. რას ნიშნავს ეს 50-უცნობიანი წრფივ ალგებრულ განტოლებათა სისტემისშემთხვევაში? თუ კომპიუტერის წარმადობაა 109 ოპერაცია წამში, მაშინ კრამერისფორმულებით ამოცანის ამოხსნისთვის საჭირო დრო დაახლოებით 9.6 * 1047 წელია.

ჩატარებული ანალიზი ცხადყოფს, რომ წრფივ განტოლებათა სისტემის ამოხსნაკრამერის ფორმულებით, დეტერმინანტების “პირდაპირი” გამოთვლით, პრაქტიკულადშეუძლებელია. ამიტომ, ამ ფორმულების პრაქტიკული ღირებულება მცირეა.შედარებისთვის, გაუსის მეთოდით (ოპერაციათა რაოდენობა - O(n3) ) იმავე სისტემისამოხსნას იგივე სიმძლავრის კომპიუტერის გამოყენებით დაახლოებით 1 წმ სჭირდება.აღსანიშნავია, რომ ოპერაციათა რაოდენობა O(n3) დიდი განზომილების მქონე

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 2

სისტემებისთვის საკმაოდ დიდ დროს გამოთვლით რესურსს მოითხოვს. სწორედ ამიტომგაუსის მეთოდი შედარებით მცირე ზომის სისტემების ამოსახსნელად არის მოხერხებული.

წრფივ ალგებრულ განტოლებათა სისტემის ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები იყოფაორ ჯგუფად: პირდაპირი მეთოდები - ამონახსნს იძლევა სასრულ რაოდენობის ოპერაციებისჩატარების შემდეგ, და იტერაციული მეთოდები - ამონახსნს იძლევა (თეორიულად)უსასრულოდ განმეორებადი მოქმედებების ჩატარების შემდეგ.

გაუსის, კრამერის მეთოდები - პირდაპირი მეთოდებია.ამოცანის ამოსახსნელად პირდაპირი თუ იტერაციული მეთოდის შერჩევა ხდება

კონკრეტული ამოცანიდან გამომდინარე.

გაუსის გამორიცხვის მეთოდიგაუსის მეთოდი ორ ეტაპად იყოფა. პირველ ეტაპზე (პირდაპირი სვლა) სისტემა

დაიყვანება ექვივალენტურ სისტემაზე (ე.ი. სისტემაზე, რომელსაც იგივე ამონახნებიაქვს), სადაც ზედა სამკუთხა მატრიცია, ხოლო გარდაქმნილი მარჯვენა მხარისვექტორი. მეორე ეტაპზე (უკუსვლა) ხდება x1, x2, …, xn უცნობების მიმდევრობითგამოთვლა ამ სამკუთხა სისტემიდან.

განვიხილოთ სისტემა არაგადაგვარებული მატრიცით . საწყისი სისტემააღვნიშნოთ ასე: ზოგადობის შეუზღუდავად ვიგულისხმოთ, რომელემენტი არანულოვანია. (იმ შემთხვევაში, როცა =0, ადგილებს შევუცვლითგანტოლებებს ნომრებით 1 და i, რომლისთვისაც ai1¹0. რადგან წინასწარ ვთვლით, რომსისტემა არაგადაგვარებულია, ასეთი i-ური განტოლება ყოველთვის მოიძებნება). შემოვიღოთმამრავლები

სადაც აღნიშნავს -ის ელემენტს, და გამოვრიცხოთ უცნობი პირველის გარდაყველა სტრიქონიდან შემდეგი ელემენტარული ოპერაციის ჩატარებით: -ურ სტრიქონს,

გამოვაკლოთ -ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი (იგივენაირადგარდავქმნათ -ური განტოლების მარჯვენა მხარეც). ჩავწეროთ ეს ელემენტარული ოპერაციაშესაბამისი აღნიშვნების და ფორმულების გამოყენებით. შედეგად მივიღებთ:

ანუ მივიღებთ ახალ, საწყისი სისტემის ექვივალენტურ სისტემას

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 3

ან .

ზემოთ მოყვანილი ელემენტარული ოპერაციის მსგავსი ელემენტარული ოპერაციისგამოყენებით ეს უკანასკნელი სისტემა შეგვიძლია ისე გარდავქმნათ, რომ უცნობიგამოვრიცხოთ სტრიქონებიდან.

ზოგადად მივიღებთ სასრულ მიმდევრობას სადაც ,

მატრიცს აქვს შემდეგი ფორმა:

ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ მსჯელობისას ვაკეთებთ დაშვებას: , ცხადია, როცა , მივიღებთ ზედა სამკუთხა სისტემას

ელემენტებს -ური ბიჯის წამყვანი ელემენტები ეწოდება და ჩვენი დაშვების თანახმადისინი არაულოვანი უნდა იყოს, როცა .

ამოვწეროთ ზოგადი ფორმულები, რომლებიც გარდაქმნის -ურ სისტემას

სისტემაში, , :

მაგალითი 1. ამოვხსნათ გაუსის გამორიცხვის მეთოდით შემდეგი სისტემა

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 4

სისტემის მატრიცა წარმოადგენს ე.წ. ჰილბერტის მატრიცას H3 ელემენტებით

სისტემის ამონახსნია ვექტორი . პირველ ბიჯზე გამოვთვალოთ მამრავლები და და გამოვაკლოთ მეორე და მესამე განტოლებიდან პირველი

განტოლება გამრავლებული და -ზე, შესაბამისად. მივიღებთ ექვივალენტურსისტემას

შემდეგ მესამე განტოლებას გამოვაკლოთ -ზე გამრავლებული მეორე განტოლება.მივიღებთ სისტემას ზედა სამკუთხა მატრიცით:

საიდანაც უკუსვლით გამოვთვლით , და, შემდეგ, ჩასმით ვიპოვით დანარჩენ ორუცნობს

გაუსის მეთოდის პირდაპირი სვლისთვის ოპერაციაასაჭირო, პლუს ოპერაცია უკუსვლისთვის. მთლიანად, გაუსის მეთოდით წრფივისისტემის ამოხსნისთვის ოპერაციაა საჭირო.

გაუსის გამორიცხვის მეთოდის ჩაწერა მატრიცული ფორმით. მატრიცის LUფაქტორიზაცია.ვაჩვენოთ, რომ გაუსის გამორიცხვის მეთოდის ჩატარებისას ხდება A მატრიცის დაშლა

ორი მატრიცის ნამრავლად , სადაც . რადგან L და U დამოკიდებულიამხოლოდ A მატრიცზე და არა სისტემის მარჯვენა მხარეზე, ამიტომ ერთი და იგივე დაშლაშეიძლება გამოვიყენოთ რამოდენიმე სისტემის ამოხსნისას ერთიდაიმავე A მატრიცით დასხვადასხვა მარჯვენა მხარით. ეს მნიშვნელოვნად ამცირებს ოპერაციათა საერთორაოდენობას.

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 5

გავიხსენოთ მაგალითი 1 A= ჰილბერტის მატრიცით. პირველ ბიჯზემატრიციდან მატრიცის მისაღებად იგი უნდა გამრავლდეს მარცხნიდან მატრიცზე

მართლაც,

ანალოგიურად, გაუსის გამორიცხვის მეორე (ამ შემთხვევაში, უკანასკნელ) ბიჯზე უნდაგავამრავლოთ მარცხნიდან მატრიცზე

მივიღებთ . ამრიგად, (4)

და მატრიცები ქვედა სამკუთხაა. ქვედა სამკუთხაა მათი ნამრავლიც და მისიშებრუნებულიც. ამიტომ (4)-დან გვექნება

რაც წარმოადგენს A მატრიცის ზემოხსენებულ ფაქტორიზაციას.

ზოგად შემთხვევაში განვსაზღვროთ

მატრიცა, როგორც გაუსის გამორიცხვის მეთოდის k-ური გარდამქმნელი მატრიცა.

, .შენიშვნა. ადვილად შეიძლება დავადგინოთ ზოგადად kM მატრიცების სტრუქტურა. ვთქვათ,

გაუსის მეთოდის (k+1)-ურ ბიჯზე (i, k) პოზიციაში (i>k), გვინდა მივიღოთ ნულოვანი ელემენტი.

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 6

ამისათვის i-ურ განტოლებას უნდა გამოვაკლოთ k-ური განტოლება გამრავლებული)(

)(

kkk

kik

ika

am =

მამრავლზე. ეს ოპერაცია შესრულდება, თუ მიმდინარე სისტემის მატრიცა მარცხნიდან გამრავლდებამატრიცაზე, რომელიც მიიღება ერთეულოვანი მატრიცისაგან მასში (i, k) პოზიციაში 0-ის ( ikm- )-ით

შეცვლით. ანუ, kM მატრიცა მიიღება ერთეულოვანი მატრიცისგან, თუ მასზე ჩავატარებთ ყველა იმ

მოქმედებას, რაც ძირითად მატრიცზე უნდა ჩავატაროთ. ძირითადი მატრიცი kM -ზე მარცხნიდან

გამრავლებისას შესაბამისად გარდაიქმნება. რადგან გაუსის მეთოდის რეალიზაციის ყოველ ბიჯზე(i>k) ამიტომ, ყველა kM მატრიცა ქვედა უნისამკუთხაა (ქვედა სამკუთხა მატრიცა, რომლის ყველა

დიაგონალური ელემენტი ერთის ტოლია).

ზოგადად, მატრიცა მიიღება შემდეგნაირად:

თუ აღვნიშნავთ.

ადვილი შესამოწმებელია, რომ 1-kM მატრიცას აქვს სახე:

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

=+

-

100

0100010

0001

,

,1

1

KK

MOMMMM

MMMOM

KK

kn

kkk

m

mM .

მართლაც, თუ შევხედავთ kM -ს, როგორც გარდამქმნელ მატრიცას, რომელიც გარდაქმნის 1-kM -ს I

ერთეულოვან მატრიცაში, ანუ ანულებს ელემენტებს ინდექსით (k+1,k) … (n, k). მაშინ გვექნება

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

×

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

-

-==

++

-

100

0100010

0001

100

0100010

0001

,

,1

,

,1

1

KK

MOMMMM

MMMOM

KK

KK

MOMMMM

MMMOM

KK

kn

kk

kn

kkkk

x

x

m

mMME ,

სადაც kim , ტოლი უნდა იყოს სიდიდის1,kix

, (i=k+1, … n). აქედან kiki mx ,, = .

საბოლოოდ გვექნება ან

A

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 7

ამრიგად, L მატრიცა არის უნიქვედასამკუთხა, ხოლო დიაგონალის ქვემოთ მდგომიელემენტები წარმოადგენს გაუსის გამორიცხვის მეთოდის მამრავლებს.

ბლოკური მატრიცები

განსაზღვრება. მატრიცს ეწოდება ბლოკური (ან ბლოკებადდანაწევრებული) , თუ იგი წარმოდგება სახით

,

სადაც მატრიცის ქვემატრიცაა. მატრიცის შესაძლო დანაწევრებებს შორის შეიძლება განვიხილოთ დანაწევრება

სვეტების მიხედვით

სადაც - მატრიცის i-ური ვექტორ-სვეტია. ანალოგიურად, მატრიცი შეიძლებადავანაწევროთ სტრიქონების მიხედვით.

აღვნიშნოთ მატრიცის ზომის ქვემატრიცა:

ეს ქვემატრიცა მოიცავს A მატრიცის ელემენტებს, რომლებიც მოთავსებულია დასტრიქონებსა და და სვეტებს შორის.

ბლოკური მატრიცის ტრივიალური მაგალითია ბლოკურ-დიაგონალური მატრიცა.

ოპერაციები ბლოკურ მატრიცებზევთქვათ, და ბლოკური მატრიცებია,

სადაც და შესაბამისად და ზომის მატრიცებია. მაშინ

,

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 8

თუ და მაშინ

თუ და მაშინ

სადაც .

თეორემა LU ფაქტორიზაციის არსებობის და ერთადერთობის შესახებ

თეორემა 1. ვთქვათ A მატრიცის LU-ფაქტორზაცია, სადაც U ზედასამკუთხა მატრიცაა , ხოლო L ქვედა სამკუთხა მატრიცაა მთავარ დიაგონალზე ერთის ტოლიელემენტებით, არსებობს და ერთადერთია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა A მატრიცისყველა მთავარი ქვემატრიცა Ai , i=1,2,..,n-1, არაგადაგვარებულია.

დამტკიცება:საკმარისობა: თუ თეორემის პირობები შესრულებულია, მაშინ არსებობს A მატრიცის

ერთადერთი LU ფაქტორიზაცია.დავამტკიცოთ მათემატიკური ინდუქცის მეთოდით.როცა i=1 - დებულების სამართლიანობა ცხადია.დავუშვათ, თეორემა სამართლიანია (i-1)-თვის. ე.ი. არსებობს და ერთადერთია -

ის ფაქტორიზაცია, სადაც , .

უნდა ვაჩვენოთ, რომ თეორემა სამართლიანია i-თვის. წარმოვადგინოთ მატრიცა,როგორც ბლოკური მატრიცა:

სადაც c და d ვექტორებია, თითოეული i-1 განზომილებიანი, c=(c1,…,ci-1) T, dT=(d1,…,di-1).უნდა დავამტკიცოთ, რომ Ai წარმოდგება შემდეგი სახით

,

(5)

სადაც l და u ვექტორებია, თითოეული i-1 განზომილებიანი, u=(u1,…,ui-1) T, lT=(l1,…,li-1). თუ ამბლოკურ მატრიცებს გადავამრავლებთ და -ს ბლოკებს გავუტოლებთ, მივიღებთ, რომ

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 9

, ხოლო ვექტორები l და u წარმოადგენს დაწრფივი სისტემების ამონახსნებს.

მეორე მხრივ, რადგან

და მატრიცები არაგადაგვარებულია,შესაბამისად, l და u არსებობს დაერთადერთია. ამგვარად, არსებობს და ერთადერთია -ს ფაქტორიზაცია, სადაც არის

განტოლების ერთადერთი ამონახსნი.ამით ინდუქციის დამტკიცება დასრულებულია.აუცილებლობა: თუ ერთადერთი LU ფაქტორიზაცია არსებობს, მაშინ n-1 მთავარი

დიაგონალური მინორი არაგადაგვარებულია.განვიხილოთ ორი შემთხვევა: როცა A გადაგვარებულია და როცა A

არაგადაგვარებულია.Ai , L(i-1) და U(i-1) მატრიცების სტრუქტურიდან გამომდინარე

(6)ა) A არაგადაგვარებულიამაშინ და აუცილებლად , როცა

ბ) A გადაგვარებულიადავუშვათ, მატრიცის დიაგონალური ელემენტი (ერთი მაინც) ნულის ტოლია.

-თი აღვნიშნოთ -ს ნულის ტოლი ელემენტი მინიმალური k ინდექსით. (5)-ის გამოფაქტორიზაციის პროცესი შეუფერხებლად ჩატარდება (k+1) ბიჯამდე. ამ ბიჯზე, რადგანმატრიცა გადაგვარებულია, ვექტორის არსებობა და ერთადერთობა ირღვევა, შესაბამისად,ირღვევა LU ფაქტორიზაციის ერთადერთობის პირობა. იმისათვის, რომ ეს პირობა არდაირღვეს, საჭიროა ყველა განსხვავებული იყოს ნულისგან, k=n-1 ინდექსის ჩათვლით.ამგვარად, (6)-ის გამო, ყველა დიაგონალური მინორი იქნება არაგადაგვარებული,

თეორემა დამტკიცებულია.ამ თეორემიდან შეიძლება დავასკვნათ, რომ თუ გადაგვარებულია,

მაშინ ფაქტორიზაცია ან არ არსებობს ან ერთადერთი არ არის.

მაგალითი 2. განვიხილოთ მატრიცები

B და D - გადაგვარებულია, C- არაგადაგვარებულია.თეორემა 1-ის ძალით გადაგვარებულ B მატრიცს არაგადაგვარებული დიაგონალური

მინორით B1=1 შეიძლება ჰქონდეს ერთადერთი LU ფაქტორიზაცია. C და D მატრიცისშემთხვევაში თეორემის პირობები ირღვევა. არაგადაგვარებული C მატრიცისთვის(გადაგვარებული C1-ით) LU ფაქტორიზაცია შეუძლებელია, მაშინ როცა გადაგვარებული Dმატრიცისთვის (გადაგვარებული D1-ით) შესაძლებელია შემდეგი ფორმის უსასრულოდბევრი LU ფაქტორიზაცია:

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 10

სადაც

თვისება 1: მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლა გაუსის მეთოდის გამოყენებითთუ A მატრიცის LU ფაქტორიზაცია არის ერთადერთი, მაშინ A მატრიცის

დეტერმინანტი ტოლია U მატრიცის დიაგონალური ელემენტების ნამრავლისა.

თვისება 2: წრფივი სისტემის ამოხსნა LU ფაქტორიზაციის გამოყენებითთუ ცნობილია A მატრიცის LU ფაქტორიზაცია, მაშინ Ax=b განტოლებათა სისტემა

დაიყვანება სამკუთხა მატრიცის მქონე ორი უფრო მარტივი სისტემის ამოხსნაზე: Ax=bó Ly=b, Ux=y

თვისება 3: შებრუნებული მატრიცის დათვლა გაუსის მეთოდის გამოყენებით.თუ ცნობილია A მატრიცის LU ფაქტორიზაცია, მაშინ შესაძლებელია ვიპოვოთ A

მატრიცის შებრუნებული მატრიცა A-1 შემდეგ განტოლებათა სისტემის ამოხსნით:Lyi=ei, Uxi=yi, i=1,2,..,n,e1=(1,0,…,0)T, e2=(0,1,0,…,0)T, …, en=(0,0,…,0,1)T,A-1=(x1 x2 … xn)

გაუსის გამორიცხვის მეთოდი წამყვანი ელემენტის ნაწილობრივი არჩევით, სრულიარჩევით.ზემოთ განხილული გაუსის გამორიცხვის მეთოდის გამოყენება შეუძლებელია, თუ

რომელიმე ბიჯზე წამყვანი ელემენტი 0-ის ტოლი გახდება. ასეთ შემთხვევაში საჭიროაწამყვანი ელემენტის შერჩევის ტექნიკის გამოყენება, რაც შემდეგში მდგომარეობს: სისტემისსტრიქონების (ან სვეტების) გადანაცვლების საშუალებით ხდება ეკვივალენტური წრფივალგებრულ განტოლებათა სისტემ(ებ)ის მიღება, რომელსაც არანულოვანი წამყვანიელემენტ(ებ)ი აქვს.

განვიხილოთ გაუსის მეთოდი Ax=b განტოლებისათვის და ვიგულისხმოთ, რომპირველი )1( -k წამყვანი ელემენტი არანულოვანია, ხოლო k-ური ელემენტი ნულის ტოლია.

ნულოვანი წამყვანი ელემენტის წარმოშობისას შესაძლებელია ორი სხვადასხვაშემთხვევა :

ა) სიძნელე ადვილად გადაილახება, თუ განტოლებათა სისტემას აქვს ერთადერთიამონახსნი. მართლაც, ამ შემთხვევაში k-ურ სვეტში (k, k) ელემენტის ქვემოთ გვექნება ერთიმაინც ნულისაგან განსხვავებული ელემენტი, ვთქვათ, 0¹jka (j > k). მაშინ k-ური და j-ური

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 11

განტოლების გადასმა უზრუნველყოფს (k, k) პოზიციაში წამყვანი ელემენტის ნულისაგანგანსხვავებულობას.

ბ) თუ (k, k) ელემენტის ქვემოთ k-ურ სვეტში ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინგანტოლებათა მიღებულ სისტემას უცნობებით nkk xxx ,...,, 1+ ან არა აქვს ამონახსნი, ან აქვსამონახსნთა უსასრულო სიმრავლე. ეს კი ნიშნავს, რომ A მატრიცა გადაგვარებულია.ამრიგად, გაუსის გამორიცხვის მეთოდი შესაძლებლობას გვაძლევს, აღმოვაჩინოთ მატრიცისგადაგვარებულობა. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ დამრგვალების ცდომილებების გამო,პრაქტიკულად, ამ შესაძლებლობის გამოყენება გაძნელებულია.

შენიშვნა. გადანაცვლებათა მატრიცა.კვადრატული მატრიცის ელემენტარული გარდაქმნა (ორი სტრიქონის (სვეტის)

გადანაცვლება; სტრიქონის (სვეტის) ყველა ელემენტის გამრავლება არანულოვან რიცხვზე;რომელიმე სტრიქონის (სვეტის) ელემენტების შეკრება სხვა სტრიქონის (სვეტის) შესაბამისელემენტებთან) ტოლფასია ამ მატრიცის სხვა არანულოვან მატრიცაზე გამრავლებისა. ამასთან,თუ ხდება სტრიქონების (სვეტების) გარდაქმნა, მაშინ გამრავლება ხდება მარცხნიდან(მარჯვნიდან) და გარდამქმნელი მატრიცა მიიღება ერთეულოვანი მატრიციდან ანალოგიურიელემენტარული ოპერაციების ჩატარების შედეგად.

მაგალითად, თუ მაგალითად, თუ უნდა გადავაადგილოთ )n,n(A მატრიცაში i, j სტრიქონები,

უნდა გამოვიყენოთ )n,n(Pij მატრიცაზე მარცხნიდან გამრავლება, სადაც ijP მატრიცა

j

iP

ji

ij

÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççççççç

è

æ

=

1..................0

......0

...1

......

.....................

......1...0......

.....................0............1...0...............1

.

მიიღება ერთეულოვანი მატრიცისაგან i და j სტრიქონების გადანაცვლებით. შევნიშნოთ, რომთუ გამოთვლების პროცესში რამდენჯერმე გვიხდება განტოლებების გადანაცვლება, ijP მატრიცათა

ნამრავლი მოგვცემს ისეთ მატრიცას, რომელზედაც მარცხნიდან გადამრავლების შემდეგ, A მატრიცაშიმოხდება ყველა საჭირო სტრიქონის გადანაცვლება.

გადანაცვლებათა მატრიცა ორთოგონალურია.

საზოგადოდ, თუ A მატრიცა არაგადაგვარებულია, მაშინ არსებობს გადანაცვლებისისეთი P მატრიცა, რომ PA მატრიცა შეიძლება წარმოვადგინოთ LVPA = სახით.

სტრიქონების გადასმა ცვლის დეტერმინანტის ნიშანს, ამიტომ თუ გადანაცვლებათარიცხვი ლუწია, გვექნება )det(det PAA = , ხოლო წინააღმდეგ შემთხვევაში - )det(det PAA -= .

წრფივ განტოლებათა სისტემის გაუსის მეთოდით ამოხსნის პროცედურა შეიძლებაარამდგრადი აღმოჩნდეს შემთხვევითი ცდომილებების მიმართ, რაც გარდაუვალიაკომპიუტერზე გამოთვლების ჩატარების დროს დამრგვალებების გამო. მართლაც, ვთქვათ,

სისტემის სამკუთხა სახეზე დაყვანის პროცესში U მატრიცაში გაჩნდა მოდულით დიდი

რამაზ ბოჭორიშვილი, თინა დავითაშვილი 12

ელემენტები: 1>iju ან, სულაც, 1>>iju . მაშინ, უკუსვლის დროს უცნობების

გამოთვლისას, დამრგვალების ცდომილებებით ნაპოვნი xi რიცხვების გამრავლება Uმატრიცის მოდულით დიდ ელემენტებზე ამ ცდომილებების გაზრდას იწვევს. პირიქით,

თუ U მატრიცა ისეთია, რომ მისი ყველა ელემენტი აკმაყოფილებს პირობას1£iju , (7)

მაშინ დამრგვალების ცდომილებების როლი გამოთვლების პროცესში უმნიშვნელოიქნება.

მდგრადობის გაუმჯობესების მიზნით ( (7) პირობა რომ შესრულდეს) k-ურ ბიჯზეწამყვან ელემენტად შეიძლება შევარჩიოთ A(k-1) მატრიცის k-ური სვეტის nkia k

ik K=- ,)1( ,ელემენტებს შორის მოდულით უდიდესი (ცხადია, აქ საჭირო გახდება სტრიქონებისგადანაცვლება). ამ პროცედურას წამყვანი ელემენტის ნაწილობითი შერჩევა ეწოდება.

შერჩევის პროცესი შეიძლება გავაფართოვოთ და k-ურ ბიჯზე წამყვანი ელემენტიშევარჩიოთ მთელი ქვემატრიციდან (აქ საჭირო გახდება სტრიქონებისგადანაცვლებაც და უცნობების გადანომრაც). ამ პროცედურას წამყვანი ელემენტის სრულიშერჩევა ეწოდება.

ნახ.1. ნაწილობითი შერჩევა სტრიქონების გადანაცვლებით (მარცხნივ) და სრული შერჩევა(მარჯვნივ). გამუქებულია არე, სადაც ხდება წამყვანი ელემენტის შერჩევა.