構造変化の検定

講師: 長倉大輔 (慶應義塾大学経済学部)

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今日の予定

1. Chow 検定について

2. Quandt – Andrews テストについて

3. CUSUM, CUSUMSQ 検定について

4. EViews による分析例

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構造変化の検定

構造変化とは？

計量経済モデルのパラメーターは、通常、時間を

通じて一定と仮定される。しかしながら、何らか

のショックや制度変更などによって、経済構造が

大幅に変化するような場合、それを反映して、モ

デルのパラメーター値がある時点を境に大幅に

変化している可能性がある。そのような変化を構

造変化という。

構造変化の検定

構造変化のモデル

構造変化のモデルは典型的には以下のようなモ

デルである。

t =1, 2…, s

t =s+1, s+2,…,T.

E(εt)= 0, var(εt) = σ2

4

,...11 tKtKtt XXY

,...11 tKtKtt XXY

構造変化の検定

このモデルにおいて、第1期 (t =1,…, s) と第2

期 (t = s + 1,…,T) において切片もしくは係数の

どれか一つでも等しくなければ、つまり

のどれか1つでも成立していれば（部分的な）構

造変化が起きているという。

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,....,,,, 2211 KK

F 検定による構造変化の検定

構造変化が起きた時点 s は（起きたならこの時点というのが)事前に分かっているとする。

変数として、

を定義すると、これらを用いて、先ほどのモデルは

構造変化の検定

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Kkkkk ,...,1,,

構造変化の検定

(第1期)

(第2期)

と表せる。

7

,)(

...)( 111

tKtKK

tt

X

XY

t =1, 2…, T1

,...11 tKtKtt XXY

構造変化の検定

さらにダミー変数

を用いて、第1期と第2期を合わせて1つの回帰式

として

t = 1, …., T

と表せる。

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,

...1111

tKttKKtK

ttttt

XDX

XDXDY

t =1, 2…, T1

Tsst

stDt

...,,2,1,1

...,,2,1,0

構造変化の検定

この回帰式において、「構造変化がない」という

帰無仮説は、

H0: δ = γ1= …. = γK = 0

という K+1 個の制約からなっている。

以後、 表記の簡単化のため M = K + 1 とする。

これは複数のパラメーターに関する検定である

ので F 検定を用いて検定する事ができる。

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構造変化の検定

(構造変化の F 検定)

F値を

によって計算する。ここで SSR0 は構造変化がないモデルからの残差平方和、SSR1は構造変化があるモデルからの残差平方和である。

10

)2/(

/)(

1

10

MTSSR

MSSRSSRFT

構造変化の検定

この F 値は εtが正規分布に従っているという仮

定の下で（厳密には他にも条件がある)、第1自

由度 M, 第2自由度 T – 2M の F分布に従

う。

このような構造変化の検定方法を提案したのが

Chow という人だったので、この検定を Chow 検

定と呼ぶ。

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構造変化の検定

部分的な構造変化の検定

先程のモデルでは切片 α および全ての係数 βk

について構造変化が起こったかどうかを検定した。

もしある特定の係数についてのみ構造変化が起き

たかを検定したい場合も同様に検定できる。

例えば、切片 α、および最初の j 個の係数

βk, k=1,…, j のみに構造変化が起こったかどうかの

みを検定したい場合(残りの係数 βk, k=j+1,…, K

は期間を通じて一定と想定)場合を考える。

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構造変化の検定

この場合、構造変化モデルは

t = 1, 2, …., T

であり、構造変化なしの帰無仮説は

H0: δ = γ1= …. = γj = 0

という j+1 個の制約からなっている。

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,...

......

11

11

tjttjttt

KtKjtjtt

XDXDD

XXXY

構造変化の検定

また J = j+1 とすると、F値は

によって計算する事ができる。ここで SSR0、

SSR1 は新たな帰無仮説の下で先ほどと同様に

定義される。この F統計量は帰無仮説のもとで

(εtが正規分布である場合) F(J, T – 2J) という

F 分布に従う。

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)2/(

/)(

1

10

JTSSR

JSSRSSRFT

構造変化の検定

構造変化点が未知の場合

先ほどは構造変化点があらかじめ分かっている

という状況を考えた。しかしながら、現実にはど

の時点で構造変化が起きているのかわかって

いない場合も多い。

そのような場合に 構造変化があるかどうかを検

定する方法が Andrews (1993) および Andrews

and Ploberger (1994) によって提案されているの

でその方法について説明する。

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構造変化の検定

構造変化が起こった時点を s 時点であるとして

計算した F 検定統計量を F (s) と表すとする。

今、構造変化時点 s は未知とするが、

M ≤ s1 ≤ s ≤ s2 ≤ T – M

を満たす時点とする。 ここで s1 と s2 は、その2

つの時点の間のどこかでは構造変化が起きた

事がわかっているとして、分析者があらかじめ

設定する値である。

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構造変化の検定

この時、以下の3つの検定統計量を定義する。

(sup ワルド F 検定)

(Exp ワルド F 検定)

(Ave ワルド F 検定)

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)(supSup21

sMFF Tsss

T

2

1 2

)(exp

1

1logExp

12

s

ssT

sMF

ssF

2

1

)(1

1Ave

12

s

ssT sMF

ssF

構造変化の検定

Andrews (1993)、Andrews and Ploberger (1994)

はこれらの検定統計量について特定の有意水

準（および特定のM)についての臨界値を求めて

いる。

Hansen (1997) はこれらの検定統計量の P 値を

(任意のMについて、近似的に)求める方法を提

案している。

言うまでもなく、有意水準 100α% の検定ではP

値が α より小さければ棄却となる。

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構造変化の検定

部分的な構造変化の検定の場合は、先ほどの統計量において、M を J に置き換えて計算すればよい。

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EViews による分析

利用するデータはG7各国の 2003/1/2から2008/4/30までMSCI株式指数の（対数階差×100によって計算した）収益率である

msci_ret.xlsx のデータを使用

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信用保証制度の問題点についての実証分析

データの読み込み

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EViews による分析

日本の収益率に対して各国（および自国）の過去の収益率がどのような影響を与えているかを見る。

次のモデルを推定する。

jpt = α + βjp jpt–1 + βge get–1 + βfrfrt–1 + βit itt–1

+ βukukt–1 + βcacat–1 + βus ust–1 + εt

jpt: 日本のデータ, get: ドイツのデータ

frt: フランスのデータ, itt : イタリアのデータ

ukt: イギリスのデータ, cat: カナダのデータ

ust: アメリカのデータ 22

「Quick」→「Estimate Equation」 「jp c jp(-1) ge(-1) fr(-1) it(-1) uk(-1) ca(-1) us(-1) 」 で推定。

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推定結果は上記のようになる。 24

Quandt – Andrews 検定

次にQuandt – Andrews 検定を行う。

「View」→「Stability Diagnostics」→「Quandt-Andrews Breakpoint Test」 を選択 25

「Breakpoint variables」の部分に どの変数の係数の構

造変化を検定するか指定。最初はとりあえず全部指定してあるので、とりあえずそのまま 「OK」

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検定結果が出力される。青丸が上から順に「Sup ワルドF」、「Exp ワルドF」、「Ave ワルドF」検定 27

「LR F statistic」というのは別の統計量。これも構造変化の検定に用いるがここでは解説しない。

P値が0.01以下なのでいずれの検定統計量でも有意水準1%以下で棄却。

にある 12/27/2005 というのは構造変化時点の推定値で、この時点で構造変化があった事を示唆。

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「Trimming」で数値を変えれば変化時点の範囲を変えて検定。 29

「Trimming」 を 5にしてやってみたが特に結果はかわらなかった。これは前後5%のデータの内側に構造変化点あると想定したという事。

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構造変化の検定

CUSUM 検定

他にも、構造変化によく用いられる検定の一つとして CUSUM 検定がある。

先ほどのモデルにおいて t = u 時点までのデー

タを用いて推定した切片、および係数の推定値を

とする。これを用いて次の期 (t = u+1) の予測値を

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,ˆ,...,ˆ,ˆ )()(1

)( uK

uu

構造変化の検定

と計算し、その予測誤差を

とする。

32

,~

...~~~

1,)(

1,1)(

1)(

1 uKu

Kuuu

u XXY

111

~~ uuu YY

構造変化の検定

同様に s = u +2, u +3, …, T についても

その1時点前までのデータ (s –1 時点までのデー

タ)で推定した予測値と予測誤差を

および

と計算していく。

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,~

...~~~

,)1(

,1)1(

1)1(

sKs

Ksss

s XXY

sss YY~~

構造変化の検定

この時、この予測誤差は構造変化がないという帰無仮説が正しい時（および誤差項が正規分布に従う時）

に従う事を示すことができる。ここで は

説明変数 Xit , t =1,…, s の値に依存して決

まる値（関数)である。

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),0(..~~ 22ss mNidi

2sm

構造変化の検定

ここで とする。この時、CUSUM 検定統計量は、 の推定量 で を基準化し、足し合わせることによって

と計算される。

Cs は s = M +1, …, T のT – M 個の求められることに注意しよう。

35

sw

TMsw

Cs

Mu

us ....,,1,

ˆ1 ,

sss mw /~

構造変化の検定

CUSUM 検定では Cs の値がある範囲を超えた

とき（この範囲は有意水準に応じて決まる）に構造変化があるとして構造変化なしの帰無仮説を棄却する。

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構造変化の検定

CUSUMSQ 検定

CUSUM 検定に似た検定として CUSUMSQ 検

定もよく用いられる。これは先ほど定義した変数

を用いると

と定義される。これも CUSUMSQ 検定も

CUSUM検定同様、その値がある範囲を超えた

ときに帰無仮説が棄却される。

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TMsw

wS

T

Mu u

s

Mu u

s ....,,1,

1

2

1

2

EViews による分析

先程と同じデータに対して CUSUM 検定と

CUSUMSQ 検定を行ってみよう。

先程のモデルの推定までは終わっているとする。

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先程と同様に、

「View」→「Stability Diagnostic」 →「Recursive Estimation (OLS only)」

を選択。 39

「CUSUM Test」 を選んで 「OK」をクリック

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CUSUM 検定統計量の値とその有意水準5%の臨界

値の幅がプロットされる。どの値も外側にないのでこの場合構造変化は棄却されない。

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CUSUMSQ 検定は 「CUSUM of Squares Test」を

選択し「OK」をクリック

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検定統計量の値が赤線の外側に出ている。この場合は構造変化なしは棄却される。

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CUSUM 検定は切片の構造変化にCUSUMSQ検

定は誤差分散の構造変化に対して検出力があるといわれる。

ただし共に検出力があまり高くない事が知られている。

EViews による今回の結果もあまりはっきりした結果ではない。

Quandt – Andrews 検定の方が望ましい。

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本日のまとめ

1. 構想変化を検出する方法として Andrews –

Quandt, CUSUM, CUSUMSQ 検定を紹介した。

2. EViews を用いてMSCI 指数の構造変化の検定

を行った。Quandt - Andrews 検定によると2005

年の終わりごろに構造変化が認められた。

3. CUSUM 検定と CUSUMSQ 検定は検出力に

問題があるため、Quandt – Andrews 検定が望

ましいが、EViews の結果もそれを示唆している

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