1

2

-2

-4

-6

y

5 x

ε2

ε1

∆

Γ

Β

Α

O

Μ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 21 – 23 A΄ Οµάδας

1.

Να λύσετε το σύστηµα x y 4

x y 2

− =+ =

i) αλγεβρικά ii) γραφικά

Λύση

i)

x y 4

x y 2

− =+ =

⇔ x 4 y

x y 2

= ++ =

⇔

x 4 y

4 y y 2

= ++ + =

⇔

x 4 y

2y 2

= +

=− ⇔

x 4 y

y 1

= +

=− ⇔ x 4 1

y 1

= −

=− ⇔ x 3

y 1

==−

ii) x – y = 4 ⇔ y = x – 4 παριστάνει ευθεία 1ε

Για x = 0 ⇒ y = – 4 Σηµείο Α(0, – 4) Για y = 0 ⇒ x = 4 Σηµείο B(4, 0) x + y = 2 ⇔ y = – x + 2 παριστάνει ευθεία 2ε

Για x = 0 ⇒ y = 2 Σηµείο Γ(0, 2) Για y = 0 ⇒ x = 2 Σηµείο ∆(2, 0) Η γραφική λύση του συστήµατος είναι το σηµείο τοµής Μ των ευθειών 1ε , 2ε

2

2. Να λύσετε τα συστήµατα

i)

x y

7 8x y 45

=+ =

ii)

x 1 y 23 4

4x 3y 8

− − =

+ =

Λύση

i)

x y7 8

x y 45

=+ =

⇔

7yx

8x y 45

=+ =

7yx

87y

y 458

= + =

7yx

87y 8y 360

=

+ =

7yx

815y 360

=

=

⇔

7 24x

8y 24

⋅ =

=

⇔ x 21y 24

==

ii)

x 1 y 23 4

4x 3y 8

− − =

+ =

⇔ 4x 4 3y 6

4x 3y 8

− = −

+ =

4x 3y 2

4x 3y 8

− =−

+ =

( )( ) 8x 6

6y 10

+ =− =

⇔

3x

45

y 3

= =

3

3. Να λύσετε τα συστήµατα

i)

2y 1x 5 2 02 7

y 6x 6 83 2

+ − + + =

−+ − =

ii)

y 22x 1 43 4

x yx 3 32 3

+ − = −

−+ − =

Λύση

i)

2y 1x 5 2 02 7

y 6x 6 83 2

+ − + + =

−+ − =

⇔ 7x 35 4y 2 28 0

2x 12 3y 18 48

− + + + =

+ − + = ⇔

7x 4y 5

2x 3y 18

+ =

− = (1)

D = 7 4

2 3− = –21 – 8 = –29 xD =

5 4

18 3− = –15 – 72 = –87

yD = 7 5

2 18 = 126 – 10 =116

(1) ⇔ (x, y) = yx DD

, D D

= ( )87 116, 29 29−− −

= ( )3, 4−

ii)

y 22x 1 43 4

x yx 3 32 3

+ − = −

−+ − =

⇔ 8x 4 48 3y 6

3x 9 18 2x 2y

− = − −

+ − = − ⇔

8x 3y 46

x 2y 9

+ =

+ = (1)

D = 8 3

1 2 = 16 – 3 = 13 xD =

46 3

9 2 = 92 – 27 = 65

yD = 8 46

1 9 = 72 – 46 = 26

(1) ⇔ (x, y) = yx DD

, D D

= ( )65 26, 13 13

= ( )5, 2

4

4. Να λύσετε τα συστήµατα

i) x 3y 3

x y 23

− = − = −

ii) 2 y x 2

1 x y 1 02

= +

− + =

Λύση

i)

x 3y 3

x y 23

− = − = −

⇔ x 3y 3

x 3y 6

= +

− = −

x 3y 3

3y 3 3y 6

= +

+ − = − ⇔

x 3y 3

3 6

= += −

αδύνατο

ii)

2 y x 2

1 x y 1 02

= +

− + =

⇔ 2 y x 2

x 2y 2 0

= +

− + =

2 y x 2

x 2y 2

= +

= −

2 y 2 y 2 2

x 2y 2

= − +

= − ⇔

0 0

x 2y 2

=

= − ⇔ x = 2y – 2

Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις , τις (x, y) = (2y – 2 , y) µε y∈ℝ

5

5. Να λύσετε τα συστήµατα µε τη µέθοδο των οριζουσών

i) 2x y 7

3x 5y 4

+ =

− = ii)

2 y 3x 8

x 3y 1 0

= −

+ + =

Λύση

i)

D = 2 1

3 5− = –10 – 3 = –13 xD =

7 1

4 5− = –35 – 4 = –39

yD = 2 7

3 4 = 8 – 21 = –13

(x, y) = yx DD

, D D

= ( )39 13, 13 13− −− −

= (3, 1)

ii) 2 y 3x 8

x 3y 1 0

= −

+ + = ⇔

3x 2 y 8

x 3y 1

− + = −

+ = −

D = 3 2

1 3

− = –9 – 2 = –11 xD =

8 2

1 3

−

− = –24 + 2 = –22

yD = 3 8

1 1

− −

− = 3 + 8 = 11

(x, y) = yx DD

, D D

= ( )22 11, 11 11−− −

= (2, –1)

6

6. Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων των παρακάτω συστηµάτων, χωρίς να τα λύσετε.

i) 2x 5y 4

6x 7 y 100

− =

+ = ii)

2x 3y 40

4x 6y 80

− =

− = iii)

3x y 11

9x 3y 2

+ =− − =

Λύση

i)

D = 2 5

6 7

− = 14 + 30 = 44 ≠ 0 , άρα το σύστηµα έχει µία µόνο λύση

ii)

D = 2 3

4 6

−

− = –12 + 12 = 0 , άρα το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις

xD = 40 3

80 6

−

− = –240 + 240 = 0, yD =

2 40

4 80 = 160 – 160 = 0

Άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις

iii)

D = 3 1

9 3− − = –9 + 9 = 0

xD = 11 1

2 3− = –33 – 2 = –35 ≠ 0 yD =

3 11

9 2− = 6 + 99 = 105 ≠ 0

Άρα το σύστηµα είναι αδύνατο

7

7. Να λύσετε τα συστήµατα

i) ( 3 1)x 2y 2

x ( 3 1)y 1 3

− + = −+ + = − −

ii) ( 3 1)x 4y 71 x ( 3 1)y 12

+ + =

+ − =

Λύση i)

3 1 2D1 3 1

−=+

= 3 – 1 – 2 = 0

xD = 2 2

1 3 3 1−

− − + = – 2 ( 3 + 1 ) – 2 (– 1 – 3 ) = – 2 ( 3 + 1 – 1 – 3 )

= – 2⋅0 = 0

yD = 3 1 21 1 3

− −− −

= ( 3 – 1 ) (– 1 – 3 ) + 2

= – (3 – 1 ) ( 1 + 3 ) +2

= – (3 – 1) + 2 = – 2 + 2 = 0

Άρα τo σύστηµα έχει άπειρες λύσεις

Το σύστηµα ⇔ x + ( 3 + 1) y = – 1 – 3

x = – ( 1 + 3 ) – ( 3 + 1) y

x = – ( 1 + 3 ) (1 + y)

Άρα (x, y) = ( )( )( )1 3 1 y , y− + + , y∈ℝ

ii)

D = 3+1 4

1 3 1

2−

= 3 – 1 – 2 = 0

xD =

7 4

1 3 1− = 7 3 – 7 – 4 = 7 3 – 11 ≠ 0

Άρα το σύστηµα είναι αδύνατο

8

8. Να λύσετε τα συστήµατα

i) 3x 2y 112x 5y 2 35x+y 2ω=33

− −ω=− − ω=

−

ii) 5x y 3 4x 3y 2

3x 2y+2ω=2

− + ω=− +ω=

−

iii)

yx 2 3

23x

+y 52

5x+3y 2ω=16

+ − ω=

+ω=

−

Λύση i)

( )

( )( )

3x 2y 11 12x 5y 2 3 25x+y 2ω=33 3

− −ω=

− − ω= −

(3) (2)⇔−

3x 2y 112x 5y 2 3

3x+6y=30

− − =ω− − ω=

3x 2y 112x 5y 2 3

x+2y=10

− − =ω− − ω=

3x 2y 11

2x 5y 2 3x=10 2y

ω= − −− − ω=

−

3(10 2y) 2y 11

2(10 2y) 5y 2 3x=10 2y

ω= − − −− − − ω=

−

30 6y 2y 11

20 4y 5y 2 3x=10 2y

ω= − − −− − − ω=

−

19 8y

9y 2 17x=10 2y

ω= −− − ω=− −

19 8y

9y 2(19 8y) 17x=10 2y

ω= −+ − =

−

19 8y

9y 38 16y 17x=10 2y

ω= −+ − =

−

19 8y

7y 21x=10 2y

ω= −− =− −

9

19 8.3y 3

x=10 2.3

ω= −=

− ⇔

5y 3x = 4

ω = −=

ii)

5x y 3 4x 3y 2

3x 2y+2ω=2

− + ω=− +ω=

−

⇔ 5x y 3 4x 2 3y

3x 2y+2ω=2

− + ω== + −ω

−

5(2 3y ) y 3 4

x 2 3y3(2+3y ω) 2y+2ω=2

+ −ω − + ω== + −ω

− −

10 15y 5 y 3 4

x 2 3y6+9y 3ω 2y+2ω=2

+ − ω− + ω== + −ω

− −

14y 2 6x 2 3y7y ω 4

− ω=−= + −ω

− =−

7y 3x 2 3y7y 4

−ω=−= + −ω

−ω=−

⇔ 7y 3x 2 3y

3 4

−ω=−= + −ω

− = − αδύνατο

iii)

yx 2 3

23x

+y 52

5x+3y 2ω=16

+ − ω=

+ω=

−

⇔ 2x y 4 6

3x+2y 2 105x+3y 2ω=16

+ − ω=+ ω=

−

y 6 2x 4

3x+2y 2 105x+3y 2ω=16

= − + ω+ ω=

−

y 6 2x 4

3x+2(6 2x 4 ) 2 105x+3(6 2x+4ω) 2ω=16

= − + ω− + ω + ω=

− −

y 6 2x 4

3x+12 4x 8 2 105x+18 6x+12ω 2ω=16

= − + ω− + ω+ ω=

− −

y 6 2x 4

x 10 2x+10ω= 2

= − + ω− + ω=−− −

10

y 6 2x 4

x 10 2

= − + ω

= ω+

y 6 2(10 2) 4

x 10 2

= − ω+ + ω

= ω+

y 6 20 4 4

x 10 2

= − ω− + ω

= ω+ ⇔

y 2 16

x 10 2

= − ω

= ω+

Άρα (x, y, ω) = (10ω + 2, 2 – 16ω, ω) µε ω∈ℝ

11

y

x

ε2ε1

1

2O 1

2

4

-1

B΄ Οµάδας 1. i) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών 1ε και 2ε του διπλανού σχήµατος ii) Ποιο σύστηµα ορίζουν οι 1ε και 2ε και ποια είναι η λύση του συστήµατος;

Λύση i) Έστω

1ε :

1 1y x= α +β

Το σηµείο ( ) 14,0 ∈ε ⇔ 1 10 4= α ⋅ +β

1 14β = − α (1) Το σηµείο ( ) 10,2 ∈ε ⇔ 1 12 0 + β=α ⋅ ⇔ 1 2β =

H (1) ⇔ 12 4= − α ⇔ 112

α = −

Άρα 1ε :

1y x 2

2= − + ⇔ 2y = – x + 4 ⇔ x + 2y = 4

Οµοίως βρίσκουµε 2ε : x – y = 1

ii)

Το σύστηµα : x 2y 4

x y 1

+ =

− = Η λύση : (x, y) = (2, 1)

2. Ένα ξενοδοχείο έχει 26 δωµάτια, άλλα δίκλινα και άλλα τρίκλινα και συνολικά 68

κρεβάτια . Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωµάτια;

Λύση

Έστω x το πλήθος των δίκλινων και y το πλήθος των τρίκλινων δωµατίων.

Τότε x y 26

2x 3y 68

+ =

+ = ⇔

y 26 x

2x 3y 68

= −

+ =

y 26 x

2x 3(26 x ) 68

= −

+ − =

y 26 x

2x 78 3x 68

= −

+ − =

y 26 x

x 10

= −− = −

⇔ y 26 x

x 10

= −

= ⇔

y 16

x 10

=

=

12

3. Σε έναν αγώνα το παιδικό εισιτήριο κοστίζει 1,5 € και το εισιτήριο ενός ενήλικα 4 €. Τον αγώνα παρακολούθησαν 2200 άτοµα και εισπράχτηκαν 5050 €. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι ενήλικες που παρακολούθησαν τον αγώνα.

Λύση

Έστω x το πλήθος των παιδιών και y το πλήθος των ενηλίκων.

Τότε x y 2200

1,5x 4 y 5050

+ =

+ = ⇔

y 2200 x

1,5x 4 y 5050

= −

+ =

y 2200 x

1,5x 4(2200 x ) 5050

= −

+ − =

y 2200 x

1,5x 8800 4x 5050

= −

+ − =

y 2200 x

2,5x 3750

= −− = −

y 2200 x

x 1500

= −

= ⇔

y 700

x 1500

=

=

13

4. Η αντίσταση R ενός σύρµατος ως συνάρτηση της θερµοκρασίας Τα µπορεί να βρεθεί µε τον τύπο R = αΤ+β . Αν στους 20ο C η αντίσταση ήταν 0,4 Ω και στους 80ο C ήταν 0,5 Ω, να βρείτε τα α, β. Λύση Η εξίσωση R = αΤ+β επαληθεύεται για Τ = 20, R = 0,4 ⇒ 0,4 = α.20+β (1) Η εξίσωση R = αΤ+β επαληθεύεται για Τ = 80, R = 0,5 ⇒ 0,5 = α.80 +β (2)

Σύστηµα των (1), (2). 20α + β = 0,4

80α + β = 0,5

⇔ ( )20α + β = 0,4

: 60α = 0,1

−

20α + β = 0,4

1α = 600

20α + β = 0,4

1α = 600

120 + β = 0,4

6001α =

600

4 1 =

10 301α =

600

β −

⇔ 11β = 301α =

600

14

5. Ένας χηµικός έχει δύο διαλύµατα υδροχλωρικού οξέως, το πρώτο έχει περιεκτικό- τητα 50% σε υδροχλωρικό οξύ και το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 80% σε υδρο-χλωρικό οξύ . Ποια ποσότητα από κάθε διάλυµα πρέπει να αναµείξει ώστε να πάρει 100 ml διάλυµα περιεκτικότητας 68% σε υδροχλωρικό οξύ ; Λύση Έστω x, y οι ζητούµενες ποσότητες , αντίστοιχα

Από το πρώτο παίρνει x 50100

υδρ. οξύ και από το δεύτερο y 80100

Το νέο διάλυµα θα περιέχει x 50100

+ y 80100

υδρ.οξύ (1)

Η συνολική ποσότητα του νέου διαλύµατος είναι x + y = 100 και θέλουµε να είναι

περιεκτικότητας 68% σε υδρ.οξύ . Άρα θα περιέχει 100 68100

υδρ.οξύ (2)

Από τις (1), (2) ⇒ x 50100

+ y 80100

= 100 68100

50x + 80y = 6800

5x + 8y = 680

x y 100

5x 8y 680

+ =

+ = ⇔

y 100 x

5x 8y 680

= −

+ =

y 100 x

5x 8(100 x ) 680

= −

+ − =

y 100 x

5x 800 8x 680

= −

+ − =

y 100 x

3x 120

= −

=

y 100 x

x 40

= −

= ⇔

y 60

x 40

=

=

15

6. ∆ίνονται οι ευθείες 1ε : 2x + 4y = 3 και 2ε : x + 2y = α , α∈ℝ . i) Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των 1ε και 2ε . ii) Υπάρχουν τιµές της παραµέτρου α για τις οποίες οι ευθείες τέµνονται; iii) Για ποιες τιµές της παραµέτρου α οι ευθείες είναι παράλληλες; Λύση i)

2x + 4y = 3 ⇔ 4y = –2x + 3 ⇔ y = –24

x + 34

, άρα 1λ = –24

= –12

x + 2y = α ⇔ 2y = –x + α ⇔ y = –12

x + 2α , άρα 2λ = –1

2

ii) Επειδή για κάθε α∈ℝ είναι 1λ = 2λ , οι ευθείες συµπίπτουν ή είναι παράλληλες . Άρα δεν υπάρχουν τιµές της παραµέτρου α για τις οποίες οι ευθείες τέµνονται. iii)

Πρέπει 2α ≠ 3

4 ⇔ 4α≠ 6 ⇔ α≠ 3

2

16

7. Να βρείτε , για τις διάφορες τιµές του α∈ℝ , τα κοινά σηµεία των ευθειών : i) 1ε : αx + y = 2α και 2ε : x + αy = 1

ii) 1ε : αx – y = α και 2ε : x + αy = 1

Λύση

i)

Σύστηµα των 1ε , 2ε : 2x y

x y 1

α + = α

+α =

D = α 1

1 α = 2α – 1 = (α – 1)(α + 1)

xD = 2α 1

1 α = 3α – 1 = (α – 1)( 2α + α + 1)

yD = 2α α

1 1 = α – 2α = – α(α – 1)

• Όταν D≠ 0, δηλαδή όταν (α – 1)(α + 1) ≠ 0 α – 1 ≠ 0 και α + 1≠ 0 α≠ 1 και α≠ –1,

τότε το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση (x, y) = yx DD

, D D

= 2 1,

1 1 α +α + −α α + α +

Άρα οι 1ε , 2ε έχουν µοναδικό κοινό σηµείο το 2 1,

1 1 α +α + −α α + α +

• Όταν D = 0, δηλαδή όταν (α – 1)(α + 1) = 0 α – 1 = 0 ή α + 1= 0 α = 1 ή α = –1, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.

1) Για α = 1, το σύστηµα γίνεται x y 1

x y 1

+ =

+ = ⇔ x + y = 1 .

Οπότε οι 1ε , 2ε έχουν όλα τα σηµεία κοινά. (συµπίπτουν)

2) Για α = –1, το σύστηµα γίνεται x y 1

x y 1

− + =

− = ⇔

x y 1

x y 1

− = −

− =

x y 1

1 1

− = −− =

αδύνατο

Οπότε οι 1ε , 2ε δεν έχουν κοινό σηµείο, άρα είναι παράλληλες

17

ii)

Σύστηµα των 1ε , 2ε : x y

x y 1

α − = α

+α =

D = α 1

1 α

− = 2α + 1 ≠ 0 για κάθε α∈ℝ .

Οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση για κάθε α∈ℝ τη (x, y) = yx DD

, D D

(1)

xD = α 1

1 α

− = 2α + 1 , yD =

α α

1 1 = α – α = 0

(1) ⇒ (x, y) = 2

2 2

1 0, 1 1

α + α + α +

= (1, 0).

Άρα 1ε , 2ε έχουν µοναδικό κοινό σηµείο το (1, 0) για κάθε α∈ℝ .

18

8. Να λύσετε τα συστήµατα :

i) ( )

( )1 x 2y 1

4x 1 y 2

λ− − =

− λ+ =− , λ∈ℝ ii)

( )( )2 x 5y 5

x 2 y 5

µ− + =

+ µ+ = , µ∈ℝ

Λύση

i)

D = ( )

1 24 +1λ− −

− λ = ( )2 2 21 8 1 8 9− λ − + = −λ + + = − λ

xD =

( )1 22 +1

−− − λ

= 1 4 5−λ − − = −λ −

yD = 1 14 2λ−

− = ( )2 1 4 2 2 4 2 2− λ − − = − λ + − = − λ −

D = 0 ⇔ 29 0−λ = ⇔ 2 9λ = ⇔ 3 λ = ή 3 λ = − • Όταν 3 λ ≠ και 3 λ ≠ − δηλαδή όταν D 0≠ , τότε το σύστηµα έχει

µοναδική λύση την xD

xD

= = 2

5

9

−λ −−λ

, y

2

D 2 2y

D 9

− λ −= =

−λ

• Όταν 3 λ = ή 3 λ = − δηλαδή όταν D 0= , τότε το σύστηµα είναι αδύνατο ή αόριστο.

. αν µεν 3λ = , το σύστηµα γίνεται

( )

( )3 1 x 2y 1

4x 3 1 y 2

− − =

− + =− ⇔

2x 2y 1

4x 4y 2

− =

− =− ⇔

2x 2y 1

2x 2y 1

− =

− =−⇒ 1 = –1

το σύστηµα είναι αδύνατο

. αν δε 3λ = − , το σύστηµα γίνεται

( )

( )3 1 x 2y 1

4x 3 1 y 2

− − − =

− − + =− ⇔

4x 2y 1

4x 2y 2

− − =

+ =− ⇔

4x 2y 1

4x 2y 2

+ =−

+ =− ⇒ –1 = –2

το σύστηµα είναι πάλι αδύνατο.

19

ii)

D = 2 5

1 2

µ−µ+

= 2µ – 4 – 5 = 2µ – 9 = (µ – 3) (µ + 3)

xD = 5 5

5 2µ+ = 5µ + 10 – 25 = 5µ – 15 = 5(µ – 3)

yD = 2 5

1 5

µ− = 5µ – 10 – 5 = 5µ – 15 = 5(µ – 3)

D = 0 ⇔ 2µ – 9 = 0 2µ = 9 µ = 3 ή µ = – 3 • Όταν 3 µ ≠ και 3 µ ≠ − δηλαδή όταν D 0≠ , τότε το σύστηµα έχει

µοναδική λύση την xD

xD

= = 5( 3)( 3)( 3)

µ −µ − µ +

= 53µ +

yD

yD

= = 5( 3)( 3)( 3)

µ −µ − µ +

= 53µ +

• Όταν 3µ = ή 3 µ = − δηλαδή όταν D 0= , τότε το σύστηµα είναι αδύνατο ή αόριστο.

. αν µεν µ = 3, το σύστηµα γίνεται

( )

( )3 2 x 5y 5

x 3 2 y 5

− + =

+ + = ⇔

x 5y 5

x 5y 5

+ =+ =

⇔ x + 5y = 5 ⇔ x = 5 – 5y

το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις τις (x, y) = (5 – 5y, y) µε y∈ℝ

. αν δε 3µ = − , το σύστηµα γίνεται

( )

( )3 2 x 5y 5

x 3 2 y 5

− − + =

+ − + = ⇔

5x 5y 5

x y 5

− + =

− =

x y 1

x y 5

− + =

− =

x y 1

x y 5

− =−

− = ⇒ – 1 = 5 αδύνατο

20

y

zz

xy

x

O3

O2O1

z

y

x

ΖΕ

∆ ΓΒ

Α

9. Οι κύκλοι του διπλανού σχήµατος εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο και ισχύει 1Ο 2Ο = 6 ,

1Ο 3Ο = 5 και 2Ο 3Ο = 7. Να υπολογίσετε τις ακτίνες των τριών κύκλων. Λύση

Έστω x, y, z οι ακτίνες των κύκλων. Τότε x + y = 6 (1) y + z = 7 (2) z + x = 5 (3)

(1) + (2) + (3) ⇒ 2x + 2y + 2z = 18 ⇒ x + y + z = 9 (4)

(4) – (1) ⇒ z = 3

(4) – (2) ⇒ x = 2

(4) – (3) ⇒ y = 4 10. Στο διπλανό σχήµα έχουµε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τον εγγεγραµµένο του κύκλο που εφάπτεται των πλευρών στα σηµεία ∆, Ε και Ζ. Να υπολογίσετε τα τµήµατα ΑΖ = x, Β∆ = y και ΓΕ = z , συναρτήσει των πλευρών α , β και γ.

Λύση

Είναι Β∆ = ΒΖ = y, Γ∆ = ΓΕ = z, ΑΕ = ΑΖ = x

( )

( )( )

x + y = γ 1y + z = α 2z + x = β 3

(1) + (2) + (3) ⇒ 2x + 2y + 2z = α +β+ γ ⇒ x + y + z = 12

(α +β+ γ ) (4)

(4) – (1) ⇒ z = 12

(α +β+ γ ) −γ = 12

(α + β – γ)

(4) – (2) ⇒ x = 12

(α +β+ γ )−α = 12

(β + γ – α)

(4) – (3) ⇒ y = 12

(α +β+ γ ) −β = 12

(α + γ – β)

21

11. Ένας χηµικός έχει τρία διαλύµατα από το ίδιο οξύ. Το πρώτο περιέχει 50% οξύ , το δεύτερο 10% οξύ και το τρίτο 30% οξύ. Ο χηµικός θέλει να παρασκευάσει 52 lit διάλυµα περιεκτικότητας 32% σε οξύ , χρησιµοποιώντας και τα τρία διαλύµατα και µάλιστα η ποσότητα του πρώτου διαλύµατος να είναι διπλάσια από την ποσότητα του τρίτου διαλύµατος. Να βρείτε πόσα λίτρα από κάθε διάλυµα θα χρησιµοποιήσει. Λύση

Έστω ότι θα χρησιµοποιήσει x lit από το 1ο , y lit από το 2ο και z lit από το 3ο . Τότε x + y + z = 52 (1) και x = 2z (2) Το νέο διάλυµα θα περιέχει x 50

100 + y 10

100 + z 30

100 lit οξύ = 52 32

100 ⇔

50x + 10y + 30z = 1664 (3)

(1), (2), (3) :

x y z 52

x 2z

50x 10y 30z 1664

+ + =

= + + =

⇔

2z y z 52

x 2z

50 2z 10y 30z 1664

+ + =

= ⋅ + + =

y 52 3z

x 2z

130z 10y 1664

= −

= + =

y 52 3z

x 2z

130z 10(52 3z) 1664

= −

= + − =

y 52 3z

x 2z

130z 520 30z 1664

= −

= + − =

y 52 3z

x 2z

100z 1144

= −

= =

y 52 3z

x 2z

z 11,44

= −

= =

y 52 3 11,44

x 22,88

z 11,44

= − ⋅

= =

⇔

y 17,68

x 22,88

z 11,44

=

= =

22

y

x

y = f(x)

K(2, -1)

3

O

y

x

y = g(x)

O

K(1, 4)

-1

y

x

y = h(x)

O

4

2 4

12. Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών τριωνύµων , δηλαδή συναρτήσεων της µορφής y = α 2x + βx + γ. Να βρείτε τα τριώνυµα αυτά. Λύση

•

f (0) 3

22

f (2) 1

= β− = α

= −

⇔ 2

3

4

2 2 1

γ =β = − αα ⋅ +β⋅ + γ = −

3

4

4 8 3 1

γ =β = − α α − α + = −

3

4

1

γ =β = − αα =

⇔

3

4

1

γ =β = −α =

Άρα f(x) =x2 – 4x + 3

•

g ( 1) 0

12

g(1) 4

− = β− = α

=

⇔

2

2

( 1) ( 1) 0

2

1 1 4

α − +β − + γ =β = − αα ⋅ +β⋅ + γ =

0

2

4

α −β+ γ =β = − αα +β+ γ =

2 0

2

2 4

α + α + γ =β = − αα − α + γ =

3

2

3 4

γ = − αβ = − α−α − α =

23

3

2

1

γ = − αβ = − αα = −

⇔

3

2

1

γ =β =α = −

Άρα g(x) = –x2 + 2x + 3

•

h (0) 4

h (2) 0

h (4) 0

=

= =

⇔ 2

2

4

2 2 0

4 4 0

γ =α ⋅ +β⋅ + γ =α ⋅ +β⋅ + γ =

4

4 2 4 0

16 4 4 0

γ =α + β+ =

α + β+ =

4

2 4 4

4 1 0

γ =β = − α −

α +β+ =

4

2 2

4 1 0

γ =β = − α − α +β+ =

4

2 2

4 2 2 1 0

γ =β = − α − α − α − + =

4

2 2

2 1

γ =β = − α − α =

4

1 2

2 1

γ =β = − − α =

⇔

4

3

0,5

γ =β = −α =

Άρα h(x) = 0,5x2– 3x + 4