àÍ¡ÊÒáÒÃÊ͹

ÇÔªÒ BFM1121 ¿�ÊÔ¡Ê�ÊÒËÃѺ¹Ñ¡ºÃÔËÒ÷ÃѾÂÒ¡ÃÍÒ¤ÒÃ

â´Â

ÍÒ¨ÒÃÂ�ÍÔ·¸Ô¾Å ÁÕ¼Å

ÊÒ¢ÒÇÔªÒ¡ÒúÃÔËÒ÷ÃѾÂÒ¡ÃÍÒ¤ÒÃ

¤³Ðà·¤â¹âÅÂÕÍصÊÒË¡ÃÃÁ ÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑÂÃÒªÀÑ ÊǹÊعѹ·Ò

»‚¡ÒÃÈÖ¡ÉÒ 2559

เรอง การแกสมการ

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. สามารถบอกคณสมบตของการเทากนได

2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชคณสมบตของการเทากนได

ทฤษฎ

สมการ คอ ประโยคสญลกษณทกลาวถงความสมพนธของจานวนโดยมสญลกษณ " = " บอก

ความสมพนธระหวางจานวน

คาตอบของสมการ คอ จานวนทแทนคาตวแปรในสมการแลว ทาใหสมการนนเปนจรง

การแกสมการ คอ การหาคาตอบของสมการหรอการหาคาของตวแปรซงทาใหสมการนนเปนจรง

การแกสมการทาได 2 วธดงน

1. การแทนคาตวแปร

2. การใชคณสมบตของการเทากน

การแกสมการดวยวธการแทนคาตวแปร คอ การทดลองแทนคาของตวแปรในสมการ ถานาจานวนใดมา

แทนคาของตวแปรในสมการนน แลวทาใหสมการนนเปนจรง แสดงวาจานวนนนเปนคาตอบของสมการ

และถานาจานวนใดมาแทนคาของตวแปรในสมการนน แลวทาใหสมการเปนเทจ แสดงวาจานวนนนไม

เปนคาตอบของสมการ

ตวอยางเชน สมการ y + 6 = 15 แทนคา y = 9 แลว

9 + 6 = 15 ดงนน สมการเปนจรง

การแกสมการโดยใชคณสมบตของการเทากน

การเทากน หมายถง คาหรอปรมาณของจานวนทเทากนคณสมบตการเทากนม 4 กรณ ดงน

1.คณสมบตการบวก

เมอมจานวนสองจานวนเทากน นาจานวนหนงมาบวกแตละจานวนทเทากน ผลบวกทไดจะเทากน

เชน a = b ดงนน a + 3 = b + 3

10 = 6 + 4 ดงนน 10 + 5 = ( 6 + 4 ) + 5

จะได 15 = 15

2.คณสมบตการลบ

เมอมจานวนสองจานวนเทากน นาจานวนหนงมาลบแตละจานวนทเทากน ผลลบทไดจะเทากน

เชน a = b ดงนน a - 4 = b - 4

9 = 7 + 2 ดงนน 9 - 4 = ( 7 + 2 ) - 4

จะได 5 = 5

3.คณสมบตการคณ

เมอมจานวนสองจานวนเทากน นาจานวนหนงมาคณแตละจานวนทเทากน ผลคณทไดจะเทากน

เชน a = b ดงนน a x 8 = b x 8

10 = 6 + 4 ดงนน 10 x 5 = ( 6 + 4 ) x 5

จะได 50 = 50

4.คณสมบตการหาร

เมอมจานวนสองจานวนเทากน นาจานวนหนงมาหารแตละจานวนทเทากน ผลหารทไดจะเทากน

เชน ดงนน

ดงนน

หลกการแกปญหาโจทยสมการ

1. อานโจทยใหเขาใจวาโจทยกาหนดอะไรมาใหและตองการหาอะไร

2. กาหนดตวแปรแทนโจทยตองการหา

3. เปลยนประโยคภาษาทโจทยกาหนดใหเปนประโยคสญลกษณ(สมการ)

4. แกสมการเพอหาคาตอบทโจทยตองการ

5. ตรวจสอบคาตอบทไดกบเงอนไขทโจทยกาหนดวาสอดคลองกนหรอไม(แทนคาตวแปร แลว

สมการเปนจรง)

คาสงทใชในการแกสมการ นยมใชคาสงดงน

จงแกสมการ 5x + 2 = 17

จงหาคาตอบของสมการ 5x + 2 = 17

จงหาคาของ x ททาใหสมการ 5x + 2 = 17 เปนจรง

จากสมการ 5x + 2 = 17 จงหาคาของตวแปร

เรอง พนทผวและปรมาตร

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. นกเรยนสามารถบอกสวนประกอบของรปทรงเรขาคณต ชนดตาง ๆ ได

2. สามารถหาพนทผวของรป สามเหลยม สเหลยม และวงกลม ได

3. สามารถหาปรมาตรของ ทรงสามเหลยม ทรงสเหลยม และทรงกลม ได

ทฤษฎ

พนท คอ บรเวณทเปนรปปดทมเสนลอมรอบ

ปรมาตร หมายถง ความมากนอยในปรภมสามมตซงวสดชนดหนงในสถานะใด ๆ (ของแขง ของเหลว หรอ

แกส) หรอรปทรงชนดหนงยดถออยหรอบรรจอย

ทรงกระบอก (Cylinder) คอ ทรงสามมตทมฐานเปนรปวงกลมทเทากนทกประการ และอยในระนาบท

ขนานกน เมอตดทรงสามมตนดวยระนาบทขนานกบฐานแลว จะไดรอยตดเปนวงกลมทเทากนทกประการ

กบฐานเสมอ

พนทผวของทรงกระบอก (Surface area of cylinder)

พนทผวของทรงกระบอก ประกอบดวยพนทผวขางของทรงกระบอก และพนทฐานทงสองของทรงกระบอก

ดงรป

กรวย (Cone) คอทรงสามมตทมฐานเปนรปวงกลม มยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกบฐานและเสนท

ตอระหวางจดยอดและจดใด ๆ บนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรงทยาวเทากนเรยกวา สงเอยง และ

กรวยทมสงเอยงยาวเทากนเรยกวา กรวยตรง

ทรงกลม (Sphere) คอทรงสามมตทมผวเรยบโคงและจดทกจดบนผวโคงอยหางจากจดคงทจดหนงเปน

ระยะเทากน จดคงทนนเรยกวา จดศนยกลางของทรงกลม และระยะทเทากนนนเรยกวา รศมของทรงกลม

ปรซม (Prism) คอทรงสามมตทมหนาตดหวทายเปนรปเหลยมตาง ๆ เหมอนกนทงหวและทายโดยมพนท

เทากน รปแบบเดยวกนและขนานกน ดานขางของปรซมขนานกนและเปนความยาวของปรซมโดยพนท

ดานขางเปนรปสเหลยมผนผาทกรปปรซมมหลายลกษณะขนอยกบหนาตดของรปนน ๆ เชน หนาตดเปน

รปสามเหลยม เรยกปรซมสามเหลยม หนาตดเปนรปหาเหลยม เรยกปรซมหาเหลยม เปนตน

พระมด (Pyramid) คอทรงสามมตทมฐานเปนรปเหลยมใด ๆ มยอดแหลมซงไมอยบนระนาบเดยวกบฐาน

และหนาทกหนาเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทยอดแหลมนนนยมเรยกชอของพระมดตามลกษณะ

ของฐาน เชน พระมดฐานสามเหลยม พระมดฐานสเหลยมผนผา พระมดฐานหกเหลยมดานเทา เปนตน

พระมดแบงออกเปน 2 ลกษณะคอ พระมดตรงและพระมดเอยง

พระมดตรง หมายถงพระมดทมฐานเปนรปเหลยมดานเทามมเทา มสนยาวเทากนทกเสน

จะมสงเอยงทกเสนยาวเทากน และสวนสงตงฉากกบฐานทจดซงอยหางจากจดยอดมมของรปเหลยม

ทเปนฐานเปนระยะเทากนมหนาทกหนาเปนรปสามเหลยมหนาจว สวนกรณทสนทกสนยาวไมเทากน

สงเอยงทกเสนยาวไมเทากน เรยกวา พระมดเอยง

สตรทใชในการคานวณพนทและปรมาตร

1.พนทรปสามเหลยม = x ฐาน x สง

2.พนทรปสามเหลยนดานเทา = 2 x x (ดาน)2

3.พนทรปสเหลยมจตรส = ดาน x ดาน

4.พนทรปสเหลยมผนผา = กวาง x ยาว

5.พนทรปสเหลยมคางหม = x ผลบวกของดานคขนาน x สง

6.พนทรปสเหลยมดานขนาน = ฐาน x สง

7.พนทรปสเหลยมใดๆ = x ความยาวเสนทแยงมม x ผลบวกของความยาวของเสนกง

8.รศมวงกลม = ความยาวเสนผานศนยกลาง/2

9.ความยาวเสนรอบวงของวงกลม =

10.พนทวงกลม =

11.พนทผวขางทรงกระบอก =

12.พนทผวทรงกลม =

13.ปรมาตรทรงกลม =

14.ปรมาตรของพระมด = x พนทฐาน x สง

15.พนทผวของทรงกระบอก =

16.ปรมาตรของทรงกระบอก =

เรอง ปทาโกรส

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. สามารถบอกทฤษฎบทพทาโกรสได

2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชทฤษฎบทพทาโกรสได

ทฤษฎ

ปทาโกรส (Pythagoras) : นกวทยาศาสตร สาขาฟสกส

http://www.hutpaza.com/index.php/tag/composition/

เกด 582 กอนครสตศกราช ทเมองซามอส (Samos) ประเทศกรซ (Greece)

เสยชวต 507 กอนครสตศกราช ทเมองเมตาปอนตม (Metapontum)

ผลงาน - สรางสตรคณหรอตารางปทาโกเรยน (Pythagorean Table)

- ทฤษฎบทเรขาคณตทวา "ในรปสามเหลยมมมฉากใด ๆ กาลงสองของความยาวของดานตรง

ขามมมฉาก เทากบผลบวกของกาลงสองของความยาวของดานประกอบมมฉาก"

- สมบตของแสง และการมองวตถ

- สมบตของเสยง

ปทาโกรส เปนทรจกกนดในฐานะของนกคณตศาสตรผคดคนสตรคณ หรอตารางปทาโกเรยน

(Pythagorean Table) และทฤษฎบทในเรขาคณตทวา "ในรปสามเหลยมมมฉากใดๆกาลงสองของ

ความยาวของดานตรงขามมมฉาก เทากบผลบวกของกาลงสองของความยาวของดานประกอบ

มมฉาก" ซงทฤษฎทงสองนเปนทยอมรบ และใชกนมาจนปจจบนน

บทกลบของทฤษฎบทปทาโกรส กลาวไวดงน

ถา a , b และ c เปนความยาวของดานทงสามของสามเหลยม ABC และ c2 = a2 + b2 แลว

จะไดวาสามเหลยม ABC นเปนสามเหลยมมมฉาก โดยมดานยาว c หนวย เปนดานตรงขามมมฉาก

การเปรยบเทยบทฤษฎบทปทาโกรส กบบทกลบของทฤษฎบทของปทาโกรส

ทฤษฎบทของปทาโกรส

A

B C

AB2 = BC2 + AC2

ขอความทเปนเหต คอ ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

c แทนความยาวของดานตรงขามมมฉาก

a และ b แทนความยาวของดานประกอบมมฉาก

ขอความทเปนผล คอ c2 = a2 + b2

บทกลบของทฤษฎบทของปทาโกรส

ขอความทเปนเหต คอ ABC เปนรปสามเหลยม มดานยาว a , b และ c หนวย และ c2 =

a2 + b2

ขอความทเปนผล คอ รปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก และมดานทยาว c

หนวยเปนดานตรงขามมมฉาก

ตวอยางการนาความรมาใชแกปญหา

จากรปสามเหลยมมมฉากในแตละรปทกาหนดตอไปน

จงหาความยาวของดานทเหลอ

จากทฤษฎบทปทาโกรส x2 + 52 = 13

x2 = 169 - 25 = 144

x = 12

ความสมพนธระหวางทฤษฎบทปทาโกรสกบพนท

พจารณารปสามเหลยมมมฉาก ABC ซงมมม B เปนมมฉาก และใหความยาวดานเปน 3 , 4 และ 5

ดงรป

ถาสรางรปสเหลยมจตรสขนมาโดยมดานเปนความยาวของดานรปสามเหลยมมมฉากทง 3 ดาน จะได

รปดงน

จากรปจะเหนวา

พนทของรปสเหลยมจตรส y รปทมความยาวดานเทากบ 5 พนทเทากบ 5 x 5 = 5 2 ตารางหนวย

พนทของรปสเหลยมจตรส z รปทมความยาวดานเทากบ 3 พนทเทากบ 3 x 3 = 3 2 ตารางหนวย

พนทของรปสเหลยมจตรส x รปทมความยาวดานเทากบ 4 พนทเทากบ 4 x 4 = 4 2 ตารางหนวย

เนองจาก ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

จากทฤษฎบทปทาโกรส จะไดวา

32 + 42 = 52

นนกคอพนทรปสเหลยมจตรสรปทความยาวดานเทากบ 5 มพนทเทากบพนทรปสเหลยมจตรสทม

ความยาวดานเทากบ 3 รวมกบพนทรปสเหลยมจตรสทมความยาวดานเทากบ 4

สรป

ในรปสามเหลยมมมฉากใดๆ พนทของรปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉาก เทากบ ผลบวกของ

พนทของรปสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉาก

เรอง ตรโกณมต

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. สามารถบอกฟงกชนตรโกณมตทสาคญได

2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชฟงกชนตรโกณมตได

ทฤษฎ

ตรโกณมต เปนแขนงหนงของคณตศาสตร วาดวย การวดรปสามเหลยมตาง ๆ โดยหาความสมพนธ

ระหวางดาน มม และพนทของรปสามเหลยม มความสาคญตอวชาดาราศาสตร การเดนเรอ และงาน

สารวจใชในการคานวณความสงของภเขา และหาความกวางของแมนามประโยชนมากสาหรบวชา

วทยาศาสตร วศวกรรมศาสตร และการศกษาเกยวกบวตถ ซงมสภาพเปนคลน เชน แสง เสยง

แมเหลกไฟฟาและวทย สวนทกลาวถงรปสามเหลยมบนพนราบเรยกวา ตรโกณมตระนาบ สวนทกลาวถง

รปสามเหลยมบนพนผวทรงกลมเรยกวา ตรโกณมตทรงกลม

ตรโกณมต (จากภาษากรก trigonon มม 3 มม และ metro การวด) เปนสาขาของคณตศาสตรท

เกยวของกบมม, รปสามเหลยม และฟงกชนตรโกณมต เชน ไซน และ โคไซน มความเกยวของกบ

เรขาคณต แมวาจะสรปไมไดอยางแนชดวา ตรโกณมตเปนหวขอยอยของเรขาคณต

นกคณตศาสตรมสลมในยคกลาง (หรอยคมด ตามคาเรยกของชาวยโรป) มสวนเปนอยางมากในการ

พฒนาและอทศผลงานในคณตศาสตรสาขาตรโกณมต โดยพวกเขาไดรบแนวคดพนฐานมาจาก

• ตาราคณตศาสตรอนเดยทชอ Sūrya Siddhānta (สรยสทธานตะ)

• ตาราอลมาเกส (เปนภาษาอาหรบแปลวายงใหญทสด แสดงใหเหนวานกคณตศาสตรอาหรบยก

ยองหนงสอเลมนมาก) ของทอเลมนกคณตศาสตรทมชอเสยงชาวกรก ; และ

• ตาราสเฟยรก ของเมเนลาอสนกคณตศาสตรชาวกรกเชนกน

อยางไรกตาม ถงแมวานกคณตศาสตรกรกและอนเดยจะมบทบาทในการพฒนาตรโกณมต แตทวานก

ประวตศาสตรคณตศาสตรหลายทาน ไดใหเกยรตนกคณตศาสตรอาหรบวา เปนผพฒนาความรในสาขาน

อยางแทจรง

สาหรบ ประเทศไทยนน กมศาสตรตรโกณมตเขามาตงแตสมยสโขทย ผานทางคมภร สรยยาตร สาหรบ

คานวณหาตาแหนงพระอาทตยและพระจนทร และปรากฏการณขางขนขางแรม (เพยร) โดยปรากฏตาราง

SINE ทกๆ มม 15 องศา เรยกวา ตารางฉายา สวน COSINE จะใชหลกการเทยบจากตารางฉายา เรยกวา

โกฏฉายา

รปสามเหลยมสองรปจะเรยกวา คลายกน ถารปหนงสามารถขยายไดเปนอกรปหนง และจะเปน

กรณนกตอเมอมมทสมนยกนมขนาดเทากน ตวอยางเชน รปสามเหลยมสองรปทมมมรวมกนมมหนง และ

ดานทตรงขามกบมมนนขนานกน เปนขอเทจจรงวารปสามเหลยมทคลายกน ดานแตละดานจะเปนสดสวน

กน นนคอ ถาดานทยาวทสดของรปสามเหลยมหนง ยาวเปนสองเทาของดานทยาวทสดของรปสามเหลยม

ทคลายกน จะกลาวไดวา ดานทสนทสดจะยาวเปนสองเทาของดานทสนทสดของอกรปสามเหลยม และ

ดานทยาวปานกลางกจะเปนสองเทาของอกรปสามเหลยมเชนกน อตราสวนระหวางดานทยาวทสดและ

ดานทสนทสดของรปสามเหลยมแรก จะเทากบ อตราสวนระหวางดานทยาวทสดและดานทสนทสดของรป

สามเหลยมอก รปดวย

จากขอเทจจรงเหลาน เราจะนยามฟงกชนตรโกณมต เรมตนดวย รปสามเหลยมมมฉาก ซงเปนรป

สามเหลยมซงมมมฉากหนงมม (90 องศา หรอ π/2 เรเดยน) ดานทยาวทสดในรปสามเหลยมใดๆจะอย

ตรงขามกบมมทใหญทสด แตเพราะวาผลรวมของมมภายในรปสามเหลยมเทากบ 180 องศา หรอ π

เรเดยน ดงนนมมทใหญทสดในรปสามเหลยมนคอมมฉาก ดานทยาวทสดในรปสามเหลยมจงเปนดานท

ตรงขามกบมมฉาก เรยกวา ดานตรงขามมมฉาก

นารปสามเหลยมมมฉากมาสองรปทมมม A รวมกน รปสามเหลยมทงสองนจะคลายกน และอตราสวนของ

ดานตรงขามมม A ตอดานตรงขามมมฉาก จะเทากนทงสองรป มนจะเปนจานวนระหวาง 0 ถง 1 ขนอยกบ

ขนาดของมม A เทานน เราเรยกวา ไซนของ A และเขยนดวย sin (A) ในทานองเดยวกน เรานยาม โคไซน

ของ A คออตราสวนระหวาง ดานประชดมม A ตอดานตรงขามมมฉาก

อตราสวนตรโกณมต กคอ อตราสวนของความยาวดานสองดานของสามเหลยมมมฉากซงจะมชอ

เรยกดงน

"Sine A" ไซนของมม A หรอเขยนยอวา sin A หาไดจากอตราสวนของความยาวดานตรงขามมม A ตอ

ความยาวดานตรงขามมมฉาก

"Cos A" โคไซนของมม A หรอเขยนยอวา cos A หาไดจากอตราสวนของความยาวดานประชดมม A ตอ

ความยาวดานตรงขามมมฉาก

"Tangent A" แทนเจนตของมม A หรอเขยนยอวา tan A หาไดจากอตราสวนของความยาวดานตรงขาม

มม A ตอความยาวดานประชดมม A

ไซนของมม A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

Aมมมดานตรงขาความยาวของ

โคไซนของมม A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

Aมมดานประชดความยาวของ

แทนเจนตของมม A = A มมดานประชดความยาวของ

Aมมมดานตรงขาความยาวของ

ดานตรงขามมมฉาก

ดานประชดมม A

ดานตรงขามมม A

A

เอกสารอางอง

[1] ครวนยอรณมณ และนางสาววนชพรอรณมณ โรงเรยนโสภณศรราษฎร อาเภอวดเพลง จงหวด

ราชบร http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/ratchaburi/winai_a/sec03p01.html

[2] คมอการเรยนรคณตศาสตร\คมอการเรยนรคณตศาสตรคณตไมมรว\กลมท 2

[3] http://th.wikipedia.org/wiki/พนท

[4] http://th.wikipedia.org/wiki/ปรมาตร http://blog.eduzones.com/hunny/3491

[5] http://www.kr.ac.th/ebook/suvantee/b2.htm

[6] http://blog.eduzones.com/hunny/3491

[7] http://www.hutpaza.com/index.php/tag/composition/

[8] www.deklukhamhan.ob.tc/dot/math_petagorus.doc

[9] http://th.wikipedia.org/wiki/ตรโกณ

[10] http://www.neutron.rmutphysics.com/news

[11] www.pkc.ac.th/patana/webm4.2/treekon.doc