6η Πανελλήνια Συνάντηση Νέων...2015/12/12 · 1 Ὑπὸ τὴν αἰγίδα τῆς Ἱερᾶς Μητροπόλεώς μας 6η Πανελλήνια
Παρουσίαση 6η Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier Σειρές ... ·...
Transcript of Παρουσίαση 6η Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier Σειρές ... ·...
Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία
Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες
Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος
Αναπληρωτής Καθηγητής
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας
Παρουσίαση 6η: Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier
Σειρές Fourier
Περιεχόμενα του μαθήματος (1)
• ΕΝΟΤΗΤΑ 2η Σήματα και ανάλυση Fourier (ΕΡΓΑΣΙΑ 2η)
• Εισαγωγή στα σήματα (Ορισμοί, κατηγορίες σημάτων, βασικά σήματα
συνεχή και διακριτά, κατηγορίες συστημάτων)
• Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier (Ολοκληρώματα, σειρές, μιγαδικές
εκφράσεις, παραδείγματα, ανάλυση σε συνιστώσες συχνοτήτων, σειρές στο
τετράγωνο, στον κύκλο και στη σφαίρα, παραδείγματα υπολογισμού)
• Μετασχηματισμοί Fourier (Από τα ολοκληρώματα – σειρές στους
μετασχηματισμούς, παραδείγματα, χαρακτηριστικοί μετασχηματισμοί,
ιδιότητες και αποδείξεις)
Περιεχόμενα του μαθήματος (2)
• Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Διαφορές από το συνεχή
μετασχηματισμό, θεώρημα δειγματοληψίας, συχνότητα Nyquist, ιδιότητες,
υπολογισμοί, προβλήματα, φασματική διαρροή, παραποίηση, ταχύς
μετασχηματισμός Fourier – FFT, παραδείγματα)
Βιβλιογραφία
• ΕΝΟΤΗΤΑ 2η
• Hsu, H. P. (1995): Signals and Systems, Schaum’s Outlines eds.
• Proakis, J.G. and D.G. Manolakis (2006): Digital Signal Processing, Fourth ed.,
Pearson, Prentice Hall eds.
• Spiegel, M.R. (1974): Ανάλυση Fourier. Schaum’s Outline Series. McGraw-Hill,
ΕΣΠΙ Αθήνα.
• Brigham, E.O. (1988): The Fast Fourier Transform and its Applications. Prentice
Hall eds.
• Bracewell, R.N. (1978): The Fourier Transform and its applications. McGraw-Hill
eds.
Περιεχόμενα παρουσίασης
• Φασματικές μέθοδοι
• Πλεονεκτήματα – μειονεκτήματα φασματικών μεθόδων
• Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης
• Σειρές Fourier – Ερμηνεία
• Παραδείγματα ανάπτυξης σειρών
• Μιγαδικές εκφράσεις σειρών – Συμπαγής μορφή σειράς
• Αναπτύγματα στο επίπεδο, στον κύκλο και στη σφαίρα
Φασματικές Μέθοδοι
• Διαδικασίες ανάλυσης του σήματος σε επιμέρους συνιστώσες
απλοποίηση διαδικασιών και υπολογισμών
• Φασματική ανάλυση (ανάλυση Fourier) ανάλυση πολύπλοκων
σημάτων σε απλούστερα για ευκολότερη επεξεργασία
Σήματα
Signals
Φασματικές μέθοδοι
Spectral methods
Γεωπληροφορική
Geomatics
Πλεονέκτημα φασματικών μεθόδων
• Μεταφορά πληροφορίας από το χώρο των αριθμών στο χώρο των
συχνοτήτων απλοποίηση βασικών υπολογισμών
Time / Space Domain Spectral analysis
(Fourier transforms) Frequency Domain
Πλεονέκτημα φασματικών μεθόδων
• Αναπαράσταση ανάλυσης συνάρτησης από το χώρο των πραγματικών
αριθμών στο χώρο των συχνοτήτων (ανάλυση σε κυρίαρχες συχνότητες)
Στόχοι φασματικής ανάλυσης
• Κυματοειδής μορφή σήματος δυνατότητα ανάλυσης σε συχνότητες
• Ο χώρος των συχνοτήτων επιτρέπει ευκολότερους υπολογισμούς
πολύπλοκες συναρτήσεις αναλύονται σε απλής μορφής διαγράμματα
συχνοτήτων
Σημαντικό να γνωρίζουμε για
κάθε μέτρηση – κύμα τις
κυρίαρχες συχνότητές της
φάσμα (spectrum) της
μέτρησης
Πλεονεκτήματα φασματικής ανάλυσης
• Πληθώρα ετερογενών δεδομένων στη Γεωπληροφορική ανάγκη
ταυτόχρονης αξιοποίησης πολλών δεδομένων
• Μαθηματικό μοντέλο γεωδαιτικών προβλημάτων συνελικτική μορφή
κατάλληλη για φασματική ανάλυση
• Απλοποίηση υπολογισμών και ταχύτητα επεξεργασίας δεδομένων
δυνατότητα ανάλυσης σε σχεδόν – πραγματικό χρόνο (near-real-time
products)
• Δυνατότητες εύκολης διαχρονικής παρακολούθησης περίπλοκων φυσικών
φαινομένων
Πλεονεκτήματα φασματικής ανάλυσης
• Υψηλή υπολογιστική ταχύτητα, αποτελεσματικότητα σε δεδομένα σε
πλέγμα (ψηφιακά δεδομένα) και ταυτόχρονες εκτιμήσεις σε όλα τα σημεία
• Ταχείς υπολογισμοί σε μεγάλες περιοχές μελέτης (τμήματα της επιφάνειας
της Γης ή ολόκληρη την επιφάνεια)
• Αποτελέσματα υψηλής διακριτικής ικανότητας με την αξιοποίηση πυκνών
βάσεων δεδομένων
• Αποτελεσματική απεικόνιση των φασματικών ιδιοτήτων των μετρήσεων
συναρτήσεις συμμεταβλητότητας, συντελεστές συμμεταβλητότητας
σήματος και θορύβου και συναρτήσεις πυκνότητας φασματικής ισχύος
Μειονεκτήματα φασματικής ανάλυσης
• Παραποίηση του σήματος (aliasing effects) από τη χρήση χαμηλής
πυκνότητας δεδομένων αδυναμία ανακατασκευής του σήματος
• Παραδοχές περιοδικότητας δημιουργούν το φαινόμενο της φασματικής
διαρροής (spectral leakage error)
• Ανάγκη αναφοράς σε πλέγμα (ψηφιακή μορφή δεδομένων)
• Θέματα που επιλύθηκαν στην πορεία των εφαρμογών συνδυασμός
ετερογενών δεδομένων, μετάδοση των σφαλμάτων από τις παρατηρήσεις
στα αποτελέσματα
Εφαρμογές φασματικής ανάλυσης
• Παρεμβολή και πρόγνωση τιμών η ανάλυση διακριτών μετρήσεων σε
όρους ημιτόνου ή/και συνημιτόνου ελαχιστοτετραγωνική προσαρμογή
συνάρτησης παρεμβολή σε άλλες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής
• Εκτίμηση συνιστωσών κύματος απομάκρυνση ανεπιθύμητων
συχνοτήτων από τις εκτιμήσεις φιλτράρισμα έλεγχος σήματος και
θορύβου
• Η ανάγκη της περιοδικότητας αντιμετωπίζεται θεώρηση περιόδου
ίσης με το συνολικό χρονικό (χωρικό) διάστημα της μελέτης
Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος
• Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων
t
Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό):
Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος
• Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων
t
Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό):
sin cos
Επανάληψη ημιτόνων ή συνημιτόνων
Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος
• Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων
t
Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό):
sin cos
Επανάληψη ημιτόνων ή συνημιτόνων
κύκλος (= 1 επανάληψη) ημιτόνου κύκλος (= 1 επανάληψη) συνημιτόνου
Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος
• Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων
t
Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό):
Συχνότητα (Frequency) f:
αριθμός κύκλων στη
μονάδα χρόνου (κύκλοι
ανά δευτερόλεπτο)
Τ
Τ
Περίοδος (Period) Τ:
χρόνος που χρειάζεται
για να επαναληφθεί ένας
κύκλος
Μήκος κύματος (wavelength) λ = cT: διάστημα που διανύει το σήμα σε μία περίοδο
c : ταχύτητα φωτός (ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας) στο κενό
1 sec
(f = 2.5 κύκλοι ανά δευτερόλεπτο)
Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος
χαμηλή
συχνότητα
υψηλή
συχνότητα
Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος
μεγάλη
περίοδος
μικρή
περίοδος
Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος
μεγάλο
μήκος κύματος
μικρό
μήκος κύματος
Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης
• Ο όρος φάσμα (spectrum) οφείλεται στον Sir Isaac Newton ανάλυση
του ηλιακού φωτός σε χρώματα μήκη κύματος ακτινοβολίας
• Principia μαθηματικές εξισώσεις στις παρατηρήσεις του Πυθαγόρα (6ος
αιώνας π.Χ.) για περιοδικά φαινόμενα
Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης
• Jean Baptist Fourier Analytic Theory of Heat (1822) οποιαδήποτε
συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε σειρές απείρων όρων με συναρτήσεις
βάσης ημιτονοειδείς ή συνημιτονοειδείς
• Ανάλυση Fourier ανάπτυξη μίας συνάρτησης σε όρους ημιτόνου ή/και
συνημιτόνου
• Ιδιαίτερη ανάπτυξη με τη χρήση της ηλεκτρονικής επιστήμης εισαγωγή
στα ψηφιακά γεωδαιτικά δεδομένα παρατηρήσεις – σήματα
1
sincosk
kkkaxBkaxAxu
Παράδειγμα φασματικής ανάλυσης
• Ανάλυση σε συχνότητες
Παράδειγμα φασματικής ανάλυσης
• Ανάλυση συνάρτησης βηματισμού – unit step function
Σειρές και μετασχηματισμοί Fourier
• Όταν μεταβαίνουμε από τα απλά ημιτονοειδή ή συνημιτονοειδή σήματα
στα πραγματικά σύνθετα
• Σειρές Fourier ανάλυση περιοδικών συναρτήσεων αρμονική
ανάλυση (harmonic analysis)
• Μετασχηματισμοί Fourier ανάλυση μη περιοδικών συναρτήσεων
φασματική ανάλυση (spectral analysis)
• Μαθηματικά εργαλεία για την ανάλυση σύνθετων συναρτήσεων σε
αθροίσματα ή ολοκληρώματα απλών ημιτονοειδών ή
συνημιτονοειδών συναρτήσεων
Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal
• Ένα συνεχές ημιτονοειδές σήμα (sinusoid) έχει τη μορφή
• A εύρος σήματος (amplitude)
• ω0 γωνιακή συχνότητα (angular frequency, σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο)
• θ γωνία φάσης (phase angle, σε ακτίνια)
tAtx0
cos
Σήμα ημιτόνου
Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal
• Το συνεχές ημιτονοειδές σήμα είναι περιοδική συνάρτηση με θεμελιώδη
περίοδο
• Το αντίστροφο της θεμελιώδους περιόδου ονομάζεται θεμελιώδης
(γραμμική) συχνότητα
• Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler
• Ισχύει αντιστοίχως
0
0
2
T
)(1
0
0Hzhertz
Tf
tjerealAtA 0
0cos
tAeimaginaryAtj
0sin0
(κύκλοι/sec)
Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal
• Αναπτύσσοντας το σήμα ισχύει
• Το εύρος Α και η γωνία φάσης θ υπολογίζονται σύμφωνα με
• Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα του Euler
• Το ημιτονοειδές σήμα μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση εκθετικών σημάτων
tbtatA
tAtAtA
000
000
sincoscos
sinsincoscoscos
22 baA
cosAa
sinAb
a
b arctan
tjtetxtj
00sincos0
jtjjtj
tjtj
eeA
eeAee
AtAtx 00
00
222cos)(
0
Σειρές Fourier
• Η ανάπτυξη μίας περιοδικής συνάρτησης σειρά Fourier
• Περιγραφή περιοδικών φαινομένων των γεωεπιστημών, π.χ.
παλίρροιες, ιονοσφαιρική επίδραση στη μετάδοση των σημάτων
• Χρησιμοποιούνται στην ανάλυση και μελέτη συνεχών ή διακριτών
συναρτήσεων αρμονική ανάλυση (harmonic analysis)
• Αναλυτική έκφραση σειράς δεδομένων ενός φυσικού φαινομένου του
οποίου δεν είναι γνωστή η ακριβής μαθηματική συνάρτηση
Σειρές Fourier
• Μία περιοδική συνάρτηση στο διάστημα [–Τ0/2, Τ0/2] με περίοδο Τ0 μπορεί
να αναπτυχθεί σε σειρά ημιτόνων και συνημιτόνων απείρων όρων
• Οι συντελεστές υπολογίζονται ως
0
00sincos
n
nntnbtnatx
0
0
2
T
00
0
0
)()()()(0
0
Tt
t
T
dttxdttxTtxtx
0 00
2sin
2cos)(
n
nnt
T
nbt
T
natx
2/
2/ 00
0
0
2cos)(
2T
T
ndtt
T
ntx
Ta
2/
2/ 00
0
0
2sin)(
2T
T
ndtt
T
ntx
Tb
,...2,1n
2/
2/0
0
0
0
)(1
T
T
dttxT
a
Σειρές Fourier
• Η σειρά Fourier μπορεί να εκφραστεί με παρόμοια μορφή στην περίπτωση
που θεωρηθεί περιοδική σε διάστημα [–L, L] με περίοδο Τ0 = 2L (άλλη
έκφραση ανάπτυξης που παρουσιάζεται στη βιβλιογραφία)
• Οι συντελεστές υπολογίζονται σε αυτή τη μορφή ως
,...2,1n
L
L
dttxL
a )(1
0
L
L
Lt
Lt
dttxdttxLtxtx0
0
2
1
0 sincos2 n
nnt
L
nbt
L
na
atx
L
L
ndtt
L
ntx
La cos)(
1
L
L
ndtt
L
ntx
Lb sin)(
1
Παραδοχές για την ισχύ των σειρών Fourier
• Η συνάρτηση x(t) έχει περιορισμένο αριθμό ακροτάτων σε μία περίοδο
• Η συνάρτηση x(t) έχει περιορισμένο αριθμό ασυνεχειών σε μία περίοδο
• Η συνάρτηση x(t) είναι απολύτως ολοκληρώσιμη μέσα στην περίοδο
• Η τρεις παραπάνω παραδοχές για τη σύγκλιση των σειρών ονομάζονται
συνθήκες του Dirichlet (Dirichlet’s conditions)
• Με την ισχύ των ανωτέρω είναι δυνατή η ανάπτυξη οποιασδήποτε
συνάρτησης σε σειρές απείρων τριγωνομετρικών όρων
Παράδειγμα ανάπτυξης σειράς αn = bn = 1, T = 1
• Η σειρά αναπτύσσεται ως εξής
• Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση αναπτύσσεται σε τριγωνομετρικά
σήματα συχνοτήτων ω0, 2ω0, 3ω0, … ακέραια πολλαπλάσια της
βασικής συχνότητας
tbta
tbtatbtatx
1
22sin
1
22cos
1
12sin
1
12cos
1
02sin
1
02cos)(
22
1100
tttttx 4sin4cos2sin2cos1)(
1 0
Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1)
428
208)(
t
ttf
1
00
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
4T
4
2
2
0
4
0
2cos)8(
22cos8
22cos)(
2dt
T
nt
Tdt
T
nt
Tdt
T
nttf
Tan
4
2
2
0
4
2
2
0
2sin
82sin
82sin
2
162sin
2
16
T
nt
nT
nt
nT
nt
n
T
TT
nt
n
T
T
4
2
2
0
22sin
42sin
802sin
22sin
8
T
n
T
n
nT
n
T
n
n
000008
sin2sin0sinsin8
n
nnnn
,2,1,0n
Λύση
4
2
2
0
4
0
2sin)8(
22sin8
22sin)(
2dt
T
nt
Tdt
T
nt
Tdt
T
nttf
Tbn
Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1)
4
2
2
0
4
2
2
0
2cos
82cos
82cos
2
162cos
2
16
T
nt
nT
nt
nT
nt
n
T
TT
nt
n
T
T
4
2
2
0
22cos
42cos
802cos
22cos
8
T
n
T
n
nT
n
T
n
n
nn
nnn
nnnn
cos116
cos11cos8
cos2cos0coscos8
,2,1n
11 2sin
cos1162sin)cos1(
16)(
nn
nt
n
n
T
ntn
ntf
όn
άnn
1
1cos
περιττός2
άρτιος0cos1
n
nn
Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2)
3t0t2
0t30)t(f
1
00
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
Λύση
6T 36
2
T
20
1ncosn
61ncos
n4
6
3
21ncos
n4
T
3
21
6
3n2cos
n4
T
3
2
n2
T
T
nt2cos
n2
T
3
20
6
3n2sin3
n2
T
3
2dt
n2
T
T
nt2sin)t(
3
2
n2
T
T
nt2sint
3
2
dt)t(n2
T
T
nt2sin
3
2dt
T
nt2cost
6
4dt
T
nt2cost2
T
2
2222
2
22
2
22
2
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
n
312
36
2
9
6
4
2
t
6
4dtt
T
4dt0cost2
T
23
0
23
0
3
0
0
vduuvudvΟλοκλήρωση κατά μέρη
Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2)
1n22 3
tnsin
n
ncos6
3
tncos
n
)1n(cos6
2
3)t(f
ncosn
6
n2
T
T
nt2sin
n
2ncos0
n
6dt
T
nt2cos
n2
T
3
2ncos3
n2
T
3
2
dtn2
T
T
nt2cos)t(
3
2
n2
T
T
nt2cost
3
2
dt)t(n2
T
T
nt2cos
6
4dt
T
nt2sint2
T
2b
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
n
1ncos 1ncos Για n άρτιο: Για n περιττό:
3t 4 t 0f(t)
0 0 t 5
1
00
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
Λύση
T 8 0
2π 2π πω
T 4 4 vduuvudvΟλοκλήρωση κατά μέρη
0
2a T
a
a f t dtT
0
2cos( )
a T
n
a
a f t n t dtT
0
2sin( )
a T
n
a
b f t n t dtT
Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)
0 0 0
n
4 4 4
0 0
4 4
0
4
2 2πnt 6 πnt 6 πnt 4α 3tcos dt t cos dt sin (t)dt
T T 8 4 8 4 πn
6 4 πnt 6 πnt 4t sin (t) sin dt
8 πn 4 8 4 πn
πn 43 3 πnt 40 4 sin cos
πn 4 πn 4 πn
12sin πn
πn
0 0
2 2
4
n2 2 2 2
12 πntcos
π n 4
12 121 cos nπ α 1 cosnπ
π n π n
0 0
02
0 ο44 4
2 6 6 1 3α 3tdt tdt t 0 16 α 6
T 8 8 2 8
Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)
0 0
n
4 4
0 0
4 4
0
4
0
4
2 2πnt 6 4 πntb 3t sin dt cos (t)dt
T T 8 πn 4
6 4 πnt 6 4 πntt cos (t) cos dt
8 πn 4 8 πn 4
3 6 4 2πnt0 4 cos nπ cos dt
πn 8 πn T
12 3 4 πntcosnπ sin
πn πn πn 4
2 2
12 12cosnπ sin nπ
πn π n
0
n
12b cosnπ
πn
Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)
2 2n 1
6 12(1 cosnπ) πnt 12cosπn πntf(t) cos sin
2 π n 4 πn 4
1ncos 1ncos
n 2 2
12α 1 cosnπ
π n
n
12b cosnπ
πn
οα 6
Για n άρτιο Για n περιττό
Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)
Αντιστοιχία χρόνου – χώρου
• Όταν η ανάπτυξη αφορά σε ανεξάρτητη μεταβλητή χώρου εκφράσεις
συναρτήσει του μήκους κύματος
cTμήκος κύματος - wavelength
ταχύτητα φωτός – speed of light
περίοδος - period
Χρόνος Χώρος
2
2k
Γωνιακή συχνότητα
Angular frequency
Γωνιακή χωρική συχνότητα
Angular spatial frequency
Tf
1
(Γραμμική) συχνότητα
(Linear) frequency
1
Κυματαριθμός
wavenumber
t sΑνεξάρτητη μεταβλητή
χρόνου
Ανεξάρτητη μεταβλητή
χώρου
sec/rad mrad /
sec/cycles mcycles /
sec m
Αντιστοιχία χρόνου – χώρου
• Σχέσεις ανάμεσα στις μεταβλητές χρόνου και χώρου
1
]sincos[)(k
kkkko tbtaatf
Βάση Fourier (συναρτήσεις βάσης):
απλούστερη μορφή:
22k T Tk k k s
T
0 0
2 0( ) 1 cos cos
tt t
T
0 0
2( ) cos cosa
k k
ktt t
T
2( ) sin sinb
k k
ktt t
T
0 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )a b
k k k k
k k
f t a t a t b t
Ανάπτυγμα πραγματικής συνάρτησης f(t) ορισμένης στο διάστημα [0,T ] σε σειρά Fourier
2T
T
1Ts
T
Συναρτήσεις βάσης Fourier
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
0
+1
–1
f (x)
Παράδειγμα αναπτύγματος συνάρτησης
σε σειρά Fourier
ανάλυση κάθε όρου χωριστά για k = 0, 1, 2, 3, 4, …
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
0
+1
–1
f (x)
0
+1
–1 T0
συνάρτηση βάσης k = 0
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
0
+1
–1
f (x)
0
+1
–1 T0
0a
όρος σειράς k = 0
0
+1
–1
f (x)
0
+1
–1
0
+1
–1 T T0 0
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
συναρτήσεις βάσης k = 1
0
+1
–1
f (x)
0
+1
–1
0
+1
–1
1b
1a
T T0 0
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
όροι σειράς k = 1
1
2sin
tb
T
1
2cos
ta
T
0
+1
–1
f (x)
0
+1
–1
0
+1
–1 2
T
2
T
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
συναρτήσεις βάσης k = 2
0
+1
–1
f (x)
0
+1
–1
0
+1
–1
2b 2a
2
T
2
T
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
όροι σειράς k = 2
2
2sin
/ 2
tb
T
2
2cos
/ 2
ta
T
0
+1
–1
f (x)
0
+1
–1
0
+1
–1 3
T
3
T
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
συναρτήσεις βάσης k = 3
0
+1
–1
f (x)
0
+1
–1
0
+1
–1
3b
3a
3
T
3
T
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
όροι σειράς k = 3
3
2sin
/ 3
tb
T
3
2cos
/ 3
ta
T
0
+1
–1
f (x)
0
+1
–1
0
+1
–1 4
T
4
T
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
συναρτήσεις βάσης k = 4
0
+1
–1
f (x)
0
+1
–1
0
+1
–1
4b4a
4
T
4
T
0 1 1
2 2
3 3
4 4
2 2( ) 1 cos sin
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin
/ 4 / 4
t tf t a a b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
όροι σειράς k = 4
4
2sin
/ 4
tb
T
4
2cos
/ 4
ta
T
T
0
+1
–1
f (t)
0
1 1
2 2
3 3
4 4
1
2 2cos cos
2 2cos sin
/ 2 / 2
2 2cos sin
/ 3 / 3
2 2cos sin ( )
/ 4 / 4
a
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b
T T
t ta b f t
T T
Σχέσεις ορθογωνικότητας
• Ο υπολογισμός των συντελεστών των σειρών Fourier πραγματοποιείται
χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των σχέσεων μεταξύ συναρτήσεων
• Ξεκινώντας από τη διανυσματική ανάλυση, η επέκταση στις συναρτήσεις
μπορεί να πραγματοποιηθεί θεωρώντας τη συνάρτηση ως διάνυσμα με
άπειρο πλήθος συνιστωσών (διάνυσμα απείρων διαστάσεων)
• Η τιμή κάθε συνιστώσας του διανύσματος ορίζεται σε συγκεκριμένο
διάστημα πεδίο ορισμού της συνάρτησης [α, b]
• Οι έννοιες των διανυσματικών γινομένων οδηγούν στις σχέσεις
ορθογωνικότητας μεταξύ των συναρτήσεων
Διανύσματα
• Συμβολίζεται με βέλος
• Κάθε διάνυσμα εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός μίας τοπικής
διανυσματικής βάσης (μοναδιαία διανύσματα) και των συνιστωσών ως
προς κάθε βάση
• Τα διανύσματα βάσης δε βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (γραμμικά ανεξάρτητα)
αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία διανυσμάτων και συνιστωσών
v
ve
3
2
1
3213
3
2
2
1
1
v
v
v
eeeevevevv
Διάνυσμα βάσης
Συνιστώσες βάσης
Διανύσματα
• Άθροιση διανυσμάτων παράλληλη μετάθεση
• Η παράλληλη μετάθεση είναι ιδιότητα του 5ου αξιώματος του Ευκλείδη
«από δοσμένο σημείο διέρχεται μόνο μία ευθεία παράλληλη προς δοσμένη
ευθεία»
Ορισμός συστήματος αναφοράς
• Επιλογή σημείου αρχής Ο και ορισμός διανυσματικής βάσης
• Διάνυσμα θέσης οποιουδήποτε σημείου P
3
2
1
x
x
x
xΔιάνυσμα καρτεσιανών συντεταγμένων
ως προς τη διανυσματική βάση
321eee
e
xe
x
Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
• Η μαθηματική έκφραση της γωνίας και της απόστασης στη γεωμετρία
καλύπτεται από την έννοια του εσωτερικού γινομένου
• Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων Α και Β προκύπτει από τη διανυσματική
διαφορά των διανυσμάτων θέσης
• Το μήκος ενός διανύσματος προκύπτει από τον ορισμό του εσωτερικού
γινομένου
vu
vuvuvu
arccoscos
ABABAB
xxxxxxAB
uuu
Ορθοκανονικές βάσεις
• Στη Γεωδαισία τα συστήματα αναφοράς που χρησιμοποιούνται είναι
ορθοκανονικά άξονες σχηματίζουν ορθές γωνίες
• Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ορθοκανονικής βάσης είναι μηδενικό
• Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε ορθοκανονικές βάσεις τριών
διαστάσεων
090cos2121
eeee
3
3
2
2
1
1 eueueuu
3
3
2
2
1
1 evevevv
vuT
3
2
1
321332211
v
v
v
uuuvuvuvuvu
Εξωτερικό γινόμενο - Εμβαδόν
• Το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων συνδέεται με το εμβαδόν του
παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα διανύσματα u και v
• Το εξωτερικό γινόμενο είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των u και v
με μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου
sinvuvuA
Μικτό γινόμενο - Όγκος
• Το μικτό γινόμενο διανυσμάτων συνδέεται με τον όγκο του
παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν τα διανύσματα u, v και w
cossin,, wvuwvuwvu
Εσωτερικό γινόμενο συναρτήσεων
• Γενικεύοντας στην περίπτωση των συναρτήσεων (διανύσματα απείρων
διαστάσεων) ορίζονται ως ορθογώνιες συναρτήσεις που το εσωτερικό
τους γινόμενο είναι μηδενικό
• Σε αντιστοιχία με το μοναδιαίο διάνυσμα μία συνάρτηση ονομάζεται
κανονική ή κανονικοποιημένη στο διάστημα [α, b], όταν
• Γενικεύοντας με τη χρήση του τελεστή δ του Kronecker (θυμηθείτε το σήμα
delta) για οποιεσδήποτε συναρτήσεις φ ισχύει
b
a
dxxBxA 0
12
b
a
dxxA
mn
b
a
nmdxxx
nm
nmmn
1
0
Ανάπτυγμα σε ορθοκανονική σειρά
• Αντίστοιχα με την ανάπτυξη διανυσμάτων σε συνιστώσες ως προς μία
ορθοκανονική βάση μοναδιαίων διανυσμάτων:
• Μία συνάρτηση μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ορθοκανονικών
συναρτήσεων ορθοκανονική σειρά στο πεδίο ορισμού [α, b]
3
2
1
x
x
x
x 321
eee
e xe
x
0n
nnxcxf
Γενικευμένοι
συντελεστές Fourier
Ορθοκανονικές
συναρτήσεις βάσης Fourier
Πολλαπλασιάζοντας με φm b
a
mmdxxxfc
Προσεγγίσεις ελαχίστων τετραγώνων
• Για να προσεγγιστεί μία συνάρτηση με σειρά σε συνδυασμό με τις ιδιότητες
της ορθογωνικότητας πρέπει
• Αποδεικνύεται ότι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα γίνεται ελάχιστο όταν:
xf
xf xm
Τμηματικά συνεχείς στο πεδίο [α, b] Ορθοκανονικό σύστημα
συναρτήσεων στο πεδίο [α, b]
0
ˆ
n
nnMxaxf Προσέγγιση της xf
Πεπερασμένος αριθμός συναρτήσεων βάσης και άγνωστων συντελεστών
b
a
Mdxxfxf
abRMS
2ˆ1
Μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσέγγισης
b
a
nnndxxxfca
Ταυτότητα του Parseval
• Όταν το Μ ∞ τότε και ισχύει:
• Στην περίπτωση αυτή (ταυτότητα Parseval) το RMS 0
• Όταν το Μ ∞ (άπειροι όροι στη σειρά) τότε η σειρά συγκλίνει και το
RMS της σύγκλισης γίνεται το ελάχιστο
• Ειδικά για τις σειρές Fourier ισχύει η ταυτότητα του Parseval στη μορφή:
xfxf ˆ
0
22
n
n
b
a
cdxxf
1
22
2
02
02
10
0n
nn
T
T
baa
dxxfT
Μιγαδικές εκφράσεις σειρών
• Το ανάπτυγμα των σειρών Fourier γράφεται σε πιο συμπαγή μορφή
χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μιγαδικών αριθμών ( )
• Αντί για βάσεις ημιτόνων και συνημιτόνων η συμπαγής μορφή της
ανάπτυξης Fourier περιέχει μόνο εκθετική βάση ως προς τις κυκλικές
συχνότητες ωn
1j
sincossincos jeje jj
n
tj
n
n
tjn
n
necectx0)(
0
0
2
T
nn
n
2/
2/0
0
0
1T
T
tj
ndtetx
Tc n
Εκθετική βάση
Μιγαδικές εκφράσεις σειρών
• Η γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών συντελεστών βασίζεται στη διαδικασία
μετασχηματισμού της αρχικής μορφής της σειράς Fourier
• Αντικαθιστώντας τις ταυτότητες σύμφωνα με τα παραπάνω και το σχήμα
tnba
btn
ba
aba
tnbtna
nn
n
nn
n
nn
nn
022022
22
00
sincos
sincos
nc
ncos
nsin
nnnnn
tnctntnc 000
cossinsincoscos
22
nnnbac
n
n
na
barctan
Μιγαδικές εκφράσεις σειρών
• Η γραφική αναπαράσταση των μιγαδικών συντελεστών cn ως προς τη
συχνότητα ονομάζεται φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
• Η γραφική αναπαράσταση της γωνίας φάσης φn των cn ως προς τη
συχνότητα ονομάζεται φάσμα φάσης (phase spectrum)
• Δείκτης n ακέραιος εύρος και φάση φάσματος διακριτές τιμές στις
συχνότητες nω0
• Αναφέρονται και ως διακριτά φάσματα συχνότητας (discrete frequency
spectra) ή γραμμικά φάσματα (linear spectra)
Σύνδεση πραγματικών και μιγαδικών εκφράσεων
• Συνδυαστικά:
1j
n
tj
n
n
tjn
n
necectx0)(
0
0
2
T
nn
n
2/
2/0
0
0
1T
T
tj
ndtetx
Tc n
0
00sincos
n
nntnbtnatx
0
0
2
T
0 00
2sin
2cos)(
n
nnt
T
nbt
T
natx
2/
2/ 00
0
0
2cos)(
2T
T
ndtt
T
ntx
Ta
2/
2/ 00
0
0
2sin)(
2T
T
ndtt
T
ntx
Tb
,...2,1,0n
00
/2 2sin
2cos0
T
ntj
T
ntee
Tntjtj n
*
_2
1
2
1
nnnn
nnn
cjbac
jbac
2/
2/0
0
0
0
)(1
T
T
dttxT
a
Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D)
• Η αρμονική ανάλυση στο επίπεδο αντιστοιχεί στην εύρεση των συντελεστών
μίας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο πεδίο ορισμού
• Ισοδύναμο με διπλή σειρά Fourier πρώτα κατά x και στη συνέχεια κατά
y ή και το αντίστροφο
yxTyTx 00
0
Ty
Tx 0
y
my
x
nxT
mv
T
nu
mn
22
Γωνιακές συχνότητες κατά x και y
Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D)
• Η αρμονική ανάπτυξη στο επίπεδο της συνάρτησης 2 μεταβλητών
0
Ty
Tx 0
0 0
,,,,,n m
d
nmnm
c
nmnm
b
nmnm
a
nmnmyxdyxcyxbyxayxf
0 0
sinsincossinsincoscoscos
,
n m
mnnmmnnmmnnmmnnmyvxudyvxucyvxubyvxua
yxf
Συναρτήσεις βάσης Fourier
yvxuyx
yvxuyx
yvxuyx
yvxuyx
mn
d
nm
mn
c
nm
mn
b
nm
mn
a
nm
sinsin,
cossin,
sincos,
coscos,
Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D)
• Για τον υπολογισμό των συντελεστών της σειράς χρησιμοποιείται ο ορισμός
του εσωτερικού γινομένου συναρτήσεων
0 0
, ( , ) ( , )
yxTT
f g f x y g x y dx dy
x y
x y
x y
x y
T T
mm
yx
d
nm
yx
nm
T T
mm
yx
c
nm
yx
nm
T T
mm
yx
b
nm
yx
nm
T T
mm
yx
a
nm
yx
nm
dxdyyvxuyxfTT
fTT
d
dxdyyvxuyxfTT
fTT
c
dxdyyvxuyxfTT
fTT
b
dxdyyvxuyxfTT
fTT
a
0 0
0 0
0 0
0 0
sinsin,4
,22
cossin,4
,22
sincos,4
,22
coscos,4
,22
Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D)
• Για τη μιγαδική μορφή του αναπτύγματος στο επίπεδο (2Δ)
• Ήδη στις 2 διαστάσεις γίνεται κατανοητή η απλοποίηση των εξισώσεων με
τη χρησιμοποίηση της μιγαδικής έκφρασης του αναπτύγματος
• Το γεγονός αυτό θα φανεί εντονότερα στη διαδικασία των μετασχηματισμών
και ειδικότερα στην περίπτωση του ταχύ μετασχηματισμού Fourier (FFT)
n m
yvxuj
nm
mnecyxf ,y
m
x
nT
mv
T
nu
22
x y
mn
T T
yvxuj
yx
nmdxdyeyxf
TTc
0 0
,11
Ανάπτυγμα σειράς σε n διαστάσεις
1 2
1 21 1 2 2
1 2
( )( , , , )
n
n
k k k
n n
n
i x x x
k k kf x x x c e
1 2
1 2 1 2
1 2 0 0 0
1 1 2 2
1 2
( )1( , , , )
nTT T
n n
n
n n
n
i x x x
k k kc f x x x e dx dx dx
TT T
2k
k
k
T
Mε συμβολισμό πινάκων:
1 2[ ]T
nx x xx1 2[ ]T
n ω1 2 nd dx dx dxx
[ ]
( )[ ]
( )k
Tik
f c eω x
x( )
[ ]
1( )
n
T
n
ik
c f e dV
ω x
x x
[ ]1 2
k nk k kc c
1 2[ ] nk k k k
1 1 2 2{ | 0 ,0 , ,0 }n n nx T x T x T x
1 2| |n n nV TT T
(ορθογώνιο υπερ-παραλληλεπίπεδο)
πεδίο ορισμού:
(όγκος υπερ-παραλληλεπιπέδου)
Ανάπτυγμα σειράς στον κύκλο
• Η αρμονική ανάλυση στον κύκλο επιτυγχάνεται από τους γενικούς τύπους
εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή t αντικατασταθεί με τη γωνία θ
• Το πεδίο ορισμό στον κύκλο (0 < θ ≤ 2π) είναι εξ’ ορισμού περιοδικό και
ισχύουν:
nn
T
n
T
n
2
22
2
0
0θ
00
sincossincosn
nn
n
nnnnnbnabaf
2
0
cos1
dnfan
2
0
sin1
dnfbn
Αρμονική ανάλυση στη σφαίρα – Σφαιρικές αρμονικές
• Η σημαντικότερη οικογένεια αρμονικών συναρτήσεων που αφορούν στο πεδίο
βαρύτητας είναι οι σφαιρικές αρμονικές (spherical harmonics)
• Απαραίτητος ο μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
x
yz
yx
zyxr
arctan
arctan22
222
Σφαιρικές αρμονικές Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές
• Για την εύρεση των τιμών των επιφανειακών σφαιρικών αρμονικών
απαιτείται ένας νέος διαχωρισμός της συνάρτησης σε συναρτήσεις
ανεξάρτητων μεταβλητών
• Οι λύσεις αυτών των συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι είναι της μορφής
• Οι συναρτήσεις ονομάζονται προσαρτημένες συναρτήσεις
Legendre πρώτου είδους βαθμού n και τάξης m (associated Legendre
functions of the first kind of degree n and order m)
,n
Y
hgYn
,
mPSY
mPRY
nmnmn
nmnmn
sincos,,
coscos,,
cosnm
P
Σφαιρικές αρμονικές Ανάπτυξη σε σφαιρικές αρμονικές
• Κάθε γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω εξισώσεων θα αποτελεί επίσης
λύση της εξίσωσης του Laplace (anm και bnm συντελεστές ο υπολογισμός
τους περιγράφεται αργότερα)
• Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ισχύει για τη συνάρτηση V
0 0
,,,n
n
m
nmnmnmnmnSbRaY
0 0
sincoscoscos,,n
n
m
nmnmnmnm
n
imPbmParrV
0 0
1sincoscoscos
1,,
n
n
m
nmnmnmnmnemPbmPa
rrV
Εσωτερικά της συνοριακής επιφάνειας
Εξωτερικά της συνοριακής επιφάνειας
Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές
n = 6, m = 0 n = 6, m = 6
n = 6, m = 4
Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές
• Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών
n=0
n=4
m=0 m=n
Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές
• Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών
Ανάπτυξη αποχών γεωειδούς
n = 30 n = 720
Επέκταση συνάρτησης στο διάστημα εκτός του [0, Τ]
0
1( ) ( )
T
k
k k
k k ki t i i tf t c e f e d e
T
( ) ( )f t f t
( ) ( )f t f t
[0, ]t T
[0, ]t T
( ) ( )f t nT f t [0, ]t T για κάθε ακέραιο n
H επέκταση είναι συνάρτηση περιοδική, με περίοδο Τ ( )f t
ΑΙΤΙΑ ΣΥΝΗΘΟΥΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΗΣ: «Η ανάλυση σε σειρές Fourier
ασχολείται με περιοδικές συναρτήσεις»
T 0 2T 3T –T –2T
( )f t
( )f t
Ανακεφαλαίωση
• Φασματική ανάλυση
• Σειρές Fourier
• Ανάπτυξη σε πραγματική και μιγαδική μορφή
• Αναπτύγματα στο επίπεδο, στον κύκλο και στη σφαίρα
• Παραδείγματα ανάπτυξης συναρτήσεων