Festa Slide nº 1. Festa Slide nº 2 2 Estatística Básica Jorge Festa.
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FestaSlide nº 1
FestaSlide nº 2
2
Estatística Estatística BásicaBásicaJorge FestaJorge Festa
FestaSlide nº 3
Análise Exploratória de Análise Exploratória de DadosDados
Capítulo 1 - Resumo de DadosCapítulo 1 - Resumo de Dados IntroduçãoIntroduçãoTipos de VariáveisTipos de VariáveisDistribuição de FreqüênciasDistribuição de FreqüênciasRepresentação Gráfica das Representação Gráfica das Variáveis QuantitativasVariáveis Quantitativas
Ramo-e-folhasRamo-e-folhas
FestaSlide nº 4
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO O que é O que é ESTATÍSTICAESTATÍSTICA ? ?
– É fundamental na análise de dados É fundamental na análise de dados provenientes de quaisquer processos provenientes de quaisquer processos onde exista onde exista VARIABILIDADEVARIABILIDADE..
– Uso de informações na: Uso de informações na: coleçãocoleção, , apresentaçãoapresentação, , análiseanálise e e tomada de tomada de decisõesdecisões, para solucionar problemas., para solucionar problemas.
Y X
FestaSlide nº 5
EstatísticaEstatística Uma estatística é uma quantidade que é Uma estatística é uma quantidade que é
calculada dos dados amostrados. Ela é calculada dos dados amostrados. Ela é usada para dar informações a respeito usada para dar informações a respeito de valores desconhecidos da de valores desconhecidos da correspondente população. Por correspondente população. Por exemplo, a média dos dados amostrados exemplo, a média dos dados amostrados é utilizada para dar informações sobre é utilizada para dar informações sobre toda a média da população da qual a toda a média da população da qual a amostra foi retirada.amostra foi retirada.
FestaSlide nº 6
GRANDES ÁREAS DA GRANDES ÁREAS DA ESTATÍSTICAESTATÍSTICA
Amostragem e planejamento de Amostragem e planejamento de experimentosexperimentos
coleção ou coleta de dadoscoleção ou coleta de dados Estatística descritivaEstatística descritiva
organização, apresentação e organização, apresentação e sintetização de dadossintetização de dados
Estatística inferencialEstatística inferencialmétodos para tomada de decisões, métodos para tomada de decisões, nas situações onde existem nas situações onde existem incertezas e incertezas e VARIAÇÕESVARIAÇÕES..
FestaSlide nº 7
AMOSTRAGEMAMOSTRAGEM É o processo de escolha da amostra. É a É o processo de escolha da amostra. É a
parte inicial de qualquer estudo estatístico. parte inicial de qualquer estudo estatístico. Consiste na escolha criteriosa dos elementos Consiste na escolha criteriosa dos elementos a serem submetidos ao estudo.a serem submetidos ao estudo.– Ex. Pesquisas sobre tendências de votação.Ex. Pesquisas sobre tendências de votação.
escolha da amostraescolha da amostra, , redação do questionárioredação do questionário, , a a entrevistaentrevista, a , a codificação dos dadoscodificação dos dados, a , a apuração dos resultadosapuração dos resultados são são ETAPAS ETAPAS FUNDAMENTAISFUNDAMENTAIS deste tipo de pesquisa. deste tipo de pesquisa.
FestaSlide nº 8
ESTATÍSTICA DESCRITIVAESTATÍSTICA DESCRITIVA É a É a parte mais conhecidaparte mais conhecida. Quem vê o noticiário, . Quem vê o noticiário,
na televisão ou nos jornais, sabe quão freqüente na televisão ou nos jornais, sabe quão freqüente é o uso de é o uso de médiamédia, , índicesíndices e e gráficosgráficos nas notícias. nas notícias.– Exemplo:Exemplo:
O INPC, Índice Nacional de Preços ao O INPC, Índice Nacional de Preços ao ConsumidorConsumidor– Aumento dos produtos da cesta básica.Aumento dos produtos da cesta básica.
Anuário Estatístico BrasileiroAnuário Estatístico Brasileiro– educação, saúde, transporte, economia, educação, saúde, transporte, economia, cultura etc.cultura etc.
FestaSlide nº 9
Estatística InferencialEstatística InferencialA estatística Inferencial A estatística Inferencial
faz uso das informações faz uso das informações retiradas da amostra para retiradas da amostra para conclusões (inferências), a conclusões (inferências), a respeito da população da respeito da população da qual a amostra foi qual a amostra foi retirada.retirada.
FestaSlide nº 10
POPULAÇÃO E POPULAÇÃO E AMOSTRAAMOSTRA O estudo de qualquer fenômeno, seja ele natural, O estudo de qualquer fenômeno, seja ele natural,
social, econômico ou biológico, exige a social, econômico ou biológico, exige a coleta e coleta e análise de dados análise de dados estatísticos.estatísticos.– PopulaçãoPopulação é a coleção de é a coleção de todas as observações todas as observações
sobre determinado fenômeno.sobre determinado fenômeno.– AmostraAmostra é o conjunto de é o conjunto de dados efetivamente dados efetivamente
observadosobservados, ou , ou extraídos da populaçãoextraídos da população..Exemplo: Determinação do consumo de óleo Exemplo: Determinação do consumo de óleo diesel em ônibus, avaliação de um programa diesel em ônibus, avaliação de um programa de ensino, renda média per capita em de ensino, renda média per capita em diversas regiões do país etc.diversas regiões do país etc.
FestaSlide nº 11
INFERÊNCIAINFERÊNCIA A tomada de decisões sobre a população, com A tomada de decisões sobre a população, com
base nos dados da amostra, constitui o base nos dados da amostra, constitui o problema central da problema central da INFERÊNCIA ESTATÍSTICA. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA.
A tais decisões estão sempre associados um A tais decisões estão sempre associados um grau de incerteza grau de incerteza e, conseqüentemente, uma e, conseqüentemente, uma probabilidade de erroprobabilidade de erro..– Exemplo: Teste sobre medicamentos, Exemplo: Teste sobre medicamentos,
experimentos agrícolas, análise financeira, experimentos agrícolas, análise financeira, consumo de energia etc. consumo de energia etc.
FestaSlide nº 12
APRESENTAÇÃO DE APRESENTAÇÃO DE DADOSDADOS
Técnicas que permitem Técnicas que permitem detectar e corrigir detectar e corrigir erros e inconsistências erros e inconsistências ocorridos durante ocorridos durante um processo de coleta de dados e um processo de coleta de dados e determinar as principais características determinar as principais características destes dados.destes dados.– Grupamento de dados;Grupamento de dados;– Construção de distribuições de Construção de distribuições de
freqüência;freqüência;– Gráficos.Gráficos.
FestaSlide nº 13
Tipos de VariáveisTipos de Variáveis QualitativaQualitativa
– NominalNominalRegião de ProcedênciaRegião de Procedência
– OrdinalOrdinalEducação, Classe SocialEducação, Classe Social
QuantitativaQuantitativa– Discreta Discreta
Número de FilhosNúmero de Filhos– ContínuaContínua
Peso de Indivíduos, Salários em R$Peso de Indivíduos, Salários em R$
FestaSlide nº 14
GRUPAMENTO DE GRUPAMENTO DE DADOSDADOS
168 172 170 181 169 173164 175 182 177 176 173170 186 183 170 168 166169 180 175 164 181 179172 169 174 171 178 166
Alturas, expressas em centímetros de 30 atletas de Alturas, expressas em centímetros de 30 atletas de um clube.um clube.
FestaSlide nº 15
CONSTRUÇÃO DE CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIADISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA
Tabulação de Freqüências-------------------------------------------------------------------------------- Limite Limite Ponto Freqüência Freqüência FreqüênciaClasse Inferior Superior Médio Freqüência Relativa Acumulada Rel. Acum-------------------------------------------------------------------------------- 1 162.000 167.000 164.500 4 0.133 4 0.133 2 167.000 172.000 169.500 9 0.300 13 0.433 3 172.000 177.000 174.500 8 0.267 21 0.700 4 177.000 182.000 179.500 6 0.200 27 0.900 5 182.000 187.000 184.500 3 0.100 30 1.000--------------------------------------------------------------------------------Média = 173.367 Desvio Padrão = 5.89847 Mediana = 172.5
Alturas em cm. de 30 Alturas em cm. de 30 atletasatletas
FestaSlide nº 16
GRÁFICOSGRÁFICOS
157 162 167 172 177 182 187 192
Alturas
0
1
2
3
4
5
6
7
89
10
Freq
uenc
iaHistograma de Frequencia
FestaSlide nº 17
GRÁFICOSGRÁFICOS
157 162 167 172 177 182 187 192
Alturas
0
1
2
3
4
5
6
7
89
10
Freq
uenc
iaPoligono de Frequencias
FestaSlide nº 18
GRÁFICOSGRÁFICOS
157 162 167 172 177 182 187 192
Alturas
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Perc
entu
alFrequencias Relativa Acumulada
Ogiva
FestaSlide nº 19
GRUPAMENTO DE GRUPAMENTO DE DADOSDADOS
0 1 2 3 45 1 1 2 22 3 3 2 23 4 5 1 22 3 2 3 2
Número de filhos em 25 famílias Número de filhos em 25 famílias observadasobservadas
FestaSlide nº 20
CONSTRUÇÃO DE CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE
FREQÜÊNCIAFREQÜÊNCIA Tabulação de Freqüências-------------------------------------------------------------------------------- Limite Limite Ponto Freqüência Freqüência FreqüênciaClasse Inferior Superior Médio Freqüência Relativa Acumulada Rel. Acum-------------------------------------------------------------------------------- 1 -0.5000 0.5000 0.000 1 0.0400 1 0.0400 2 0.5000 1.5000 1.000 4 0.1600 5 0.2000 3 1.5000 2.5000 2.000 10 0.4000 15 0.6000 4 2.5000 3.5000 3.000 6 0.2400 21 0.8400 5 3.5000 4.5000 4.000 2 0.0800 23 0.9200 6 4.5000 5.5000 5.000 2 0.0800 25 1.0000--------------------------------------------------------------------------------Média = 2.4 Desvio Padrão = 1.22474 Mediana = 2
Número de filhos em 25 famílias observadasNúmero de filhos em 25 famílias observadas
FestaSlide nº 21
GRÁFICOSGRÁFICOS
-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5
Filhos
01
2345
678
910
Freq
uenc
iaHistograma de Frequencias
FestaSlide nº 22
GRÁFICOSGRÁFICOS
-1 0 1 2 3 4 5 6
Filhos
01
2345
67
89
10
Freq
uenc
iaPoligono de Frequencias
FestaSlide nº 23
Análise Exploratória de Análise Exploratória de DadosDados
Capítulo 2 - Algumas medidas Capítulo 2 - Algumas medidas associadas a variáveis associadas a variáveis QuantitativasQuantitativas
Medidas de PosiçãoMedidas de PosiçãoMedidas de DispersãoMedidas de DispersãoOutra Estratégia de AnáliseOutra Estratégia de AnáliseDesenho EsquemáticoDesenho Esquemático
FestaSlide nº 24
Estatísticas DescritivasEstatísticas Descritivas Tamanho da AmostraTamanho da Amostra MédiaMédia MedianaMediana ModaModa Média GeométricaMédia Geométrica VariânciaVariância Desvio-padrãoDesvio-padrão Erro-padrãoErro-padrão MínimoMínimo MáximoMáximo
AmplitudeAmplitude Quartil InferiorQuartil Inferior Quartil SuperiorQuartil Superior Intervalo Inter-quartilIntervalo Inter-quartil Assimetria “Skewnwss”Assimetria “Skewnwss” Assimetria PadronizadaAssimetria Padronizada Curtose “Kurtosis”Curtose “Kurtosis” Curtose PadronizadaCurtose Padronizada Coeficiente de VariaçãoCoeficiente de Variação SomatórioSomatório
FestaSlide nº 25
Estatística ClássicaEstatística ClássicaSuposições Probabilísticas das Variáveis EnvolvidasSuposições Probabilísticas das Variáveis EnvolvidasDeclarações sobre os Parâmetros ou Modelo Declarações sobre os Parâmetros ou Modelo UtilizadoUtilizadoNoções Assintóticas de Noções Assintóticas de
– ConsistênciaConsistência– VariânciaVariância “Grandes Amostras”“Grandes Amostras”– EficiênciaEficiência““USE A ESTATÍSTICA COMO O BÊBADO USA OS USE A ESTATÍSTICA COMO O BÊBADO USA OS
POSTES - MAIS PELO APOIO QUE PELA ILUMINAÇÃO”POSTES - MAIS PELO APOIO QUE PELA ILUMINAÇÃO”Andew LangAndew Lang
FestaSlide nº 26
Análise Exploratória de Análise Exploratória de DadosDados
Tukey J. W. (1977)Tukey J. W. (1977)– Técnicas VisuaisTécnicas Visuais
Dados = Modelo + ResíduosDados = Modelo + ResíduosModelo = parte Suave Modelo = parte Suave Resíduos = parte GrosseiraResíduos = parte Grosseira
Y X
FestaSlide nº 27
Análise Exploratória de Análise Exploratória de DadosDados
Ferramentas PrincipaisFerramentas Principais– Ramo-e-folhas - “Stem-and-Ramo-e-folhas - “Stem-and-Leaf”Leaf”
– Esquema de cinco números - Esquema de cinco números - “5-number summary”“5-number summary”
– Desenho Esquemático - “Box-Desenho Esquemático - “Box-Plot”Plot”
FestaSlide nº 28
Ramo-e-folhasRamo-e-folhas ApresentaçãoApresentação
RAMO - à esquerda da linha verticalRAMO - à esquerda da linha verticalFOLHAS - à direita da linha verticalFOLHAS - à direita da linha vertical
Vantagem sobre a Tabela de Vantagem sobre a Tabela de Freqüência:Freqüência:– Não perdemos informaçãoNão perdemos informação– Número de linhas é equivalente ao Número de linhas é equivalente ao
número de classesnúmero de classes
FestaSlide nº 29
CONSTRUÇÃO DE CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE
FREQÜÊNCIAFREQÜÊNCIA
Tabulação de Freqüências-------------------------------------------------------------------------------- Limite Limite Ponto Freqüência Freqüência FreqüênciaClasse Inferior Superior Médio Freqüência Relativa Acumulada Rel. Acum-------------------------------------------------------------------------------- 1 162.000 167.000 164.500 4 0.133 4 0.133 2 167.000 172.000 169.500 9 0.300 13 0.433 3 172.000 177.000 174.500 8 0.267 21 0.700 4 177.000 182.000 179.500 6 0.200 27 0.900 5 182.000 187.000 184.500 3 0.100 30 1.000--------------------------------------------------------------------------------Média = 173.367 Desvio Padrão = 5.89847 Mediana = 172.5
Alturas em cm. de 30 Alturas em cm. de 30 atletasatletas
FestaSlide nº 30
RAMO-E-FOLHASRAMO-E-FOLHASDispositivo Ramo-e-folhas para ALTURAS: unidade = 1 1|2 representa 12
2 16F|44 4 16S|66 9 16o|88999 13 17*|0001 (4) 17T|2233 13 17F|455 10 17S|67 8 17o|89 6 18*|011 3 18T|23 1 18F| 1 18S|6
FestaSlide nº 31
CONSTRUÇÃO DE CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIADISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA
Tabulação de Freqüências-------------------------------------------------------------------------------- Limite Limite Ponto Freqüência Freqüência FreqüênciaClasse Inferior Superior Médio Freqüência Relativa Acumulada Rel. Acum-------------------------------------------------------------------------------- 1 -0.5000 0.5000 0.000 1 0.0400 1 0.0400 2 0.5000 1.5000 1.000 4 0.1600 5 0.2000 3 1.5000 2.5000 2.000 10 0.4000 15 0.6000 4 2.5000 3.5000 3.000 6 0.2400 21 0.8400 5 3.5000 4.5000 4.000 2 0.0800 23 0.9200 6 4.5000 5.5000 5.000 2 0.0800 25 1.0000--------------------------------------------------------------------------------Média = 2.4 Desvio Padrão = 1.22474 Mediana = 2
Número de filhos em 25 famílias observadasNúmero de filhos em 25 famílias observadas
FestaSlide nº 32
RAMO-E-FOLHASRAMO-E-FOLHASDispositivo Ramo-e-folhas para FILHOS: unidade = 0.1 1|2 representa 1.2
LO|0
5 1|0000 (10) 2|0000000000 10 3|000000 4 4|00
HI|50,50
FestaSlide nº 33
Esquema ou Resumo de Esquema ou Resumo de 5 Números5 Números
Sugestão (Tukey) - 1977Sugestão (Tukey) - 1977(i) a mediana(i) a mediana(ii) os extremos (mínimo e máximo)(ii) os extremos (mínimo e máximo)(iii) os quartis ou juntas (inferior e superior)(iii) os quartis ou juntas (inferior e superior)
A Mediana é uma A Mediana é uma Medida ResistenteMedida Resistente, , não é afetada por valores extremos.não é afetada por valores extremos.a Média amostral e o Desvio-padrão são afetados por a Média amostral e o Desvio-padrão são afetados por valores extremosvalores extremosnão temos idéia quanto a simetria da distribuição dos não temos idéia quanto a simetria da distribuição dos dadosdados
FestaSlide nº 34
Desenho EsquemáticoDesenho Esquemático““UM DESENHOUM DESENHO ESQUEMÁTICO OU ESQUEMÁTICO OU
GRÁFICO DO ESQUEMA DE 5 GRÁFICO DO ESQUEMA DE 5 NÚMEROS NÚMEROS VALE MAIS QUE 1000 VALE MAIS QUE 1000
PALAVRAS”PALAVRAS”OUTLIERSOUTLIERS
valores abaixo da J1 - 3/2 dJvalores abaixo da J1 - 3/2 dJvalores acima da J3 + 3/2 dJ, ondevalores acima da J3 + 3/2 dJ, ondeJ1 = 1º quartil, J3 = 3º quartil e dJ = J3 - J1J1 = 1º quartil, J3 = 3º quartil e dJ = J3 - J1
FestaSlide nº 35
ExemploExemplo
150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200altura de alunos em cm
0
1
2
3
4
5
6
frequenciaHistograma de Frequencias
e a Normal Ajustada
FestaSlide nº 36
ExemploExemplo
FestaSlide nº 37
Análise Exploratória de Análise Exploratória de DadosDados
Capítulo 3 - Análise BidimensionalCapítulo 3 - Análise BidimensionalVariáveis MultidimensionaisVariáveis Multidimensionais Independência de VariáveisIndependência de VariáveisMedidas de Dependência entre Medidas de Dependência entre Duas VariáveisDuas Variáveis
Diagrama de DispersãoDiagrama de DispersãoCoeficiente de CorrelaçãoCoeficiente de Correlação
FestaSlide nº 38
Variáveis Variáveis MultidimensionaisMultidimensionais
Em muitas situações observamos Em muitas situações observamos duas ou mais características duas ou mais características simultaneamente, para analisar o simultaneamente, para analisar o seu comportamento. seu comportamento.
A A DISTRIBUIÇÃO CONJUNTADISTRIBUIÇÃO CONJUNTA das das freqüências será um poderoso freqüências será um poderoso instrumento na compreensão dos instrumento na compreensão dos dados.dados.
FestaSlide nº 39
Distribuição ConjuntaDistribuição Conjunta
Distribuição Conjunta do Grau de Instrução e Região
FestaSlide nº 40
Independência de Independência de VariáveisVariáveis
Um dos principais objetivos de uma Um dos principais objetivos de uma distribuição conjunta é descrever a distribuição conjunta é descrever a ASSOCIABILIDADE ASSOCIABILIDADE existenteexistente ENTRE ENTRE DUAS VARIÁVEISDUAS VARIÁVEIS, isto é, queremos , isto é, queremos conhecer o conhecer o GRAU DE DEPENDÊNCIAGRAU DE DEPENDÊNCIA entre elas, de modo que possamos entre elas, de modo que possamos prever melhor o resultado de uma prever melhor o resultado de uma delas quando conhecemos a realização delas quando conhecemos a realização da outra.da outra.
FestaSlide nº 41
Independência de Independência de VariáveisVariáveis
Distribuição conjunta das freqüências e porcentagens segundo sexo e cursoDistribuição conjunta das freqüências e porcentagens segundo sexo e curso
FestaSlide nº 42
Medidas de Medidas de Dependência entre Dependência entre
Duas VariáveisDuas Variáveis coeficientes de associação ou coeficientes de associação ou correlaçãocorrelação– coeficiente de contingência de Karl Pearsoncoeficiente de contingência de Karl Pearson
2
2
1
2
2 121
o e
e
Cn
e C Ct
t
i i
ii
n
*( )
FestaSlide nº 43
Diagramas de Diagramas de DispersãoDispersão
150 160 170 180 190 200
Amostra Ordenada
-2.1
-1.1
-0.1
0.9
1.9
2.9
Esco
res
Padr
oniz
ados
Diagrama de Dispersoes
FestaSlide nº 44
Coeficiente de Coeficiente de CorrelaçãoCorrelação
y A Bx
Bn xy x y
n x x
Ay B x
n
rn xy x y
n x x n y y
2 2
2 2 2 2
( )
FestaSlide nº 45
Origem do Termo Origem do Termo “Regressão”“Regressão”
160 164 168 172 176 180 184altura dos pais
160
164
168
172
176
180
184
Media de alturas de filhos contraalturas composta dos pais Observado
estimadovalor y=x
FestaSlide nº 46
ProbabilidadesProbabilidades Capítulo 4 - ProbabilidadesCapítulo 4 - Probabilidades
IntroduçãoIntroduçãoAlgumas PropriedadesAlgumas PropriedadesProbabilidade Probabilidade Condicional e Condicional e IndependênciaIndependência
Teorema de BayesTeorema de Bayes
FestaSlide nº 47
ProbabilidadesProbabilidades Uma das principais ferramentas da Uma das principais ferramentas da
estatística é a estatística é a probabilidadeprobabilidade, que , que teve seu início formal com a teve seu início formal com a escolha de jogos no início do escolha de jogos no início do século XVII.século XVII.
Para seu entendimento Para seu entendimento necessitamos de alguns necessitamos de alguns conhecimentos conhecimentos BÁSICOS BÁSICOS que que seguem:seguem:
FestaSlide nº 48
ExperimentoExperimento É qualquer processo ou estudo de É qualquer processo ou estudo de
coletar dados revelantes, os quais coletar dados revelantes, os quais exibem variações em seus exibem variações em seus resultados, resultados estes resultados, resultados estes desconhecidos de ante mão.desconhecidos de ante mão.– Ex. Lançamento de um dado Ex. Lançamento de um dado honesto e observar a cada honesto e observar a cada arremesso a face voltada para cima.arremesso a face voltada para cima.
FestaSlide nº 49
Espaço Amostral Espaço Amostral ““”” O espaço amostral “O espaço amostral “”, é o conjunto ”, é o conjunto
de todos os resultados possíveis, de todos os resultados possíveis, elementares e indivisíveis do elementares e indivisíveis do experimento, onde cada resultado é experimento, onde cada resultado é um evento simples.um evento simples.– Ex. Lançamento de um dado Ex. Lançamento de um dado honestohonesto = { f1, f2, f3, f4, f5, f6 }= { f1, f2, f3, f4, f5, f6 }
FestaSlide nº 50
EventoEvento Um evento, indicado pelas letras A, B, ..., Um evento, indicado pelas letras A, B, ...,
é qualquer subconjunto do espaço é qualquer subconjunto do espaço amostral “amostral “”.”.– Exemplo 1: A ocorrência de face impar, Exemplo 1: A ocorrência de face impar,
no lançamento de um dado honesto.no lançamento de um dado honesto.evento A = { f1, f3, f5 }evento A = { f1, f3, f5 }
– Exemplo 2: A ocorrência de face par, no Exemplo 2: A ocorrência de face par, no lançamento de um dado honesto.lançamento de um dado honesto.evento B = { f2, f4, f6 }evento B = { f2, f4, f6 }
FestaSlide nº 51
-álgebra-álgebraUma Uma -álgebra é uma classe de -álgebra é uma classe de
subconjuntos do espaço subconjuntos do espaço amostral, amostral, , satisfazendo os , satisfazendo os seguintes axiomas:seguintes axiomas:iii Se A então Aiii Se A e B então A B
)) ,) ,
FestaSlide nº 52
Definição de Definição de ProbabilidadeProbabilidade
Definição ClássicaDefinição ClássicaDefinição FreqüentistaDefinição FreqüentistaDefinição GeométricaDefinição GeométricaDefinição AxiomáticaDefinição Axiomática
FestaSlide nº 53
Definição AxiomáticaDefinição Axiomática
( ) ( )( ) ( )( ) , , . . .,
, ( , , ; , , , , . . .) ,
[ ] [ ]
i P Aii Piii Se A A é uma sequencia de eventos mutuamente exclusivos em
isto é A A i j i j e se A então
P A P A
i j ii
ii
ii
01
1 2
1 2
1
1 1
FestaSlide nº 54
Algumas PropriedadesAlgumas Propriedades. [ ]. , , . . ., ,
[ ] [ ]
. , [ ] [ ]
. [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
. [
PSe A A A são eventos mutuamente exclusivos em então
P A P A
Se A é um evento em então P A P ASe A e A então P A P A A P A A eP A A P A A P A P A ASe A e A então P A A
n
i ii
n
i
n
0
1
1 2
11
1 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2
1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 211
] [ ] [ ] [ ], [ ] [ ]
. , , . . ., , [ ] [ ]
P A P A P A ASe A e A e A A então P A P A
Se A A A então P A P An i ii
n
i
n
FestaSlide nº 55
Probabilidade Probabilidade CondicionalCondicional
P A BP ABP B
se P B desta forma
P AB P B P A B P A P B A
[ | ][ ][ ]
[ ] ,
[ ] [ ]. [ | ] [ ]. [ | ].
0
FestaSlide nº 56
Teorema da Teorema da Probabilidade TotalProbabilidade Total
P A P A B P Bj jj
n
[ ] [ | ]. [ ]
1
FestaSlide nº 57
Teorema de BayesTeorema de Bayes
P B AP A B P B
P A B P Bk
k k
j jj
n[ | ][ | ]. [ ]
[ | ]. [ ]
1
FestaSlide nº 58
Regra da MultiplicaçãoRegra da Multiplicação
P A B C P AP B AP C A B
( ) ( )( | )( | )
P A A A P A P A A P A A A P A A A An n n[ . ..... ] [ ]. [ | ]. [ | ]. . . . . [ | . ... ]1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1
FestaSlide nº 59
IndependênciaIndependência
( ) [ ] [ ]. [ ]( ) [ | ] [ ] [ ]( ) [ | ] [ ] [ ]
i P AB P A P Bii P A B P A se P Biii P B A P B se P A
00
FestaSlide nº 60
Variável AleatóriaVariável AleatóriaUma variável aleatória, indicada Uma variável aleatória, indicada
por X, é uma função com por X, é uma função com domínio o espaço amostral e domínio o espaço amostral e contradomínio o conjunto dos contradomínio o conjunto dos números Reais, tal que, o evento números Reais, tal que, o evento [ X [ X x ] pertence a x ] pertence a -álgebra -álgebra para todos os valores de x que para todos os valores de x que pertencem aos no.s reais.pertencem aos no.s reais.
FestaSlide nº 61
Função DistribuiçãoFunção DistribuiçãoUma Função Distribuição, indicada Uma Função Distribuição, indicada
por F(x), é uma função, com domínio por F(x), é uma função, com domínio os Reais e contradomínio o intervalo os Reais e contradomínio o intervalo [0,1], satisfazendo as seguintes [0,1], satisfazendo as seguintes propriedades:propriedades:– F(x) é não decrescente;F(x) é não decrescente;– F(x) é contínua à direita;F(x) é contínua à direita;– F(-F(-) = 0 e F() = 0 e F() = 1) = 1
FestaSlide nº 62
Função Distribuição Função Distribuição AcumuladaAcumulada
Dada a variável aleatória X, Dada a variável aleatória X, chamaremos de função chamaremos de função distribuição acumulada a distribuição acumulada a funçãofunçãoF x P X x x( ) ( ),
FestaSlide nº 63
O Conceito de O Conceito de Variável Aleatória Variável Aleatória
DiscretaDiscretaUma variável aleatória X, é dita Uma variável aleatória X, é dita
discreta, se ela assume um discreta, se ela assume um número finito ou infinito número finito ou infinito enumerável.enumerável.
A função, indicada por A função, indicada por p(x)p(x), nós , nós chamamos chamamos função de função de probabilidadeprobabilidade da variável aleatória da variável aleatória discreta X.discreta X.
FestaSlide nº 64
Função de Função de ProbabilidadeProbabilidade
i p x
ii p xx
) ( )
) ( )
0
1
FestaSlide nº 65
O Conceito de O Conceito de Variável Aleatória Variável Aleatória
ContínuaContínuaUma variável aleatória, Uma variável aleatória, indicada por X, é dita indicada por X, é dita contínua, se existe uma contínua, se existe uma função função f(x)f(x), chamada , chamada função função densidade de probabilidadedensidade de probabilidade, , tal que: tal que: f x dx( ) z
FestaSlide nº 66
Função Densidade de Função Densidade de ProbabilidadeProbabilidade
i f x
ii f x dx
) ( )
) ( )
z0
1
FestaSlide nº 67
Valor Esperado de uma Valor Esperado de uma Variável AleatóriaVariável Aleatória
Dada uma variável aleatória X, Dada uma variável aleatória X, chamamos valor médio ou esperança chamamos valor médio ou esperança matemática de X ao valormatemática de X ao valor
E xx p x discretax f x dx continua
( )( ),
( ) ,
FestaSlide nº 68
Valor Esperado de Valor Esperado de Uma Função de uma Uma Função de uma Variável Aleatória X Variável Aleatória X
“g(X)”“g(X)”Dada a variável aleatória X, chamamos Dada a variável aleatória X, chamamos esperança ou valor esperado da função esperança ou valor esperado da função g(x) ao valor:g(x) ao valor:
E g xg x p xg x f x dx
[ ( )]( ) ( )
( ) ( )RS|T|z
FestaSlide nº 69
PropriedadesPropriedades
Se g(x) = aX + b,Se g(x) = aX + b,– E[g(x)] = E(aX + b) = a E(X) + bE[g(x)] = E(aX + b) = a E(X) + b
Se g(x) =[X - E(X)]Se g(x) =[X - E(X)]22 – E[g(x)] = Var(X)E[g(x)] = Var(X)
FestaSlide nº 70
Alguns Modelos DiscretosAlguns Modelos DiscretosDistribuição Uniforme DiscretaDistribuição Uniforme DiscretaDistribuição BernoulliDistribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição BinomialDistribuição HipergeométricaDistribuição HipergeométricaDistribuição GeométricaDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa Distribuição Binomial Negativa Distribuição PoissonDistribuição Poisson
FestaSlide nº 71
Alguns Modelos ContínuosAlguns Modelos Contínuos Uniforme ContínuaUniforme Contínua NormalNormal Exponencial Exponencial GamaGama BetaBeta CauchyCauchy LognormalLognormal Dupla-exponencialDupla-exponencial
Weibull Weibull LogísticaLogística ParetoPareto Gumbel (Valor Gumbel (Valor
Extremo)Extremo) t-Student’st-Student’s F-Snedecor’sF-Snedecor’s Qui-quadradoQui-quadrado Normal BivariadaNormal Bivariada
FestaSlide nº 72
Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias MultidimensionaisMultidimensionais
Capítulo 7 - Variáveis Aleatórias Capítulo 7 - Variáveis Aleatórias MultidimensionaisMultidimensionais– Distribuição ConjuntaDistribuição Conjunta– Distribuições Marginais e CondicionaisDistribuições Marginais e Condicionais– Funções de Variáveis AleatóriasFunções de Variáveis Aleatórias– Covarância de Duas Variáveis Covarância de Duas Variáveis
AleatóriasAleatórias– Variáveis ContínuasVariáveis Contínuas
FestaSlide nº 73
Distribuição ConjuntaDistribuição Conjunta Em muitos experimentos, a um mesmo ponto Em muitos experimentos, a um mesmo ponto
amostral amostral ,atribuímos valores de duas ou mais ,atribuímos valores de duas ou mais variáveis aleatórias.variáveis aleatórias.– Ex. Suponha que queremos estudar a composição Ex. Suponha que queremos estudar a composição
de famílias com 3 crianças, quanto ao sexo.de famílias com 3 crianças, quanto ao sexo.X = número de meninosX = número de meninosY = 1 (se for homem) e 0 (se for mulher)Y = 1 (se for homem) e 0 (se for mulher)Z = no. de vezes que houve variação do sexoZ = no. de vezes que houve variação do sexoW = número de meninasW = número de meninas
FestaSlide nº 74
Função Densidade Função Densidade ConjuntaConjunta
i f x
ii f x y dx dy
) ( )
) ( , )
zz0
1
FestaSlide nº 75
Tabela de Tabela de ProbabilidadesProbabilidades
FestaSlide nº 76
Distribuições Marginais Distribuições Marginais
f xf x y
f x y dy( )
( , )
( , )
FestaSlide nº 77
Distribuições Distribuições CondicionaisCondicionais
f x yf x yf y
( | )( , )( )
FestaSlide nº 78
Distribuições Distribuições IndependentesIndependentes
f x y f x f y( , ) ( ) ( )
FestaSlide nº 79
Covariância de duas Covariância de duas variáveis aleatóriasvariáveis aleatórias
Cov XY E X E X Y E Y( ) [( ( )( ( )]
XY XY X Y
FestaSlide nº 80
Coeficiente de Coeficiente de Correlação de X e YCorrelação de X e Y
( , ) ( , )( ) ( )
X Y Cov X YVar X Var Y
1 1 XY
XY
X y
FestaSlide nº 81
Referências Referências BibliográficasBibliográficas
Montgomery, Douglas C. & Runger, George C. Applied statistics and probability for engineers. New York, Wiley, 1994.
Montgomery, Douglas C., Introduction to statistical quality control. New York, Wiley, 1991.
Bussab, Wilton O., Estatística Básica. 4.ed. São Paulo, 1987