FernandoCorbalaacutenYuste Aacutengel Salar Gaacutelvez

Edita Ayuntamiento de Zaragoza Aacuterea de Cultura y Educacioacuten Servicio de Educacioacuten Texto y fotos Fernando Corbalaacuten y Angel Salar Impresioacuten DL ISBN Disentildeo graacutefico Aiacutesa Publicidad SL Logotipos de Experigoza y disentildeo de tableros de juego Ana Mota

Aprender jugando es el paradigma educativo maacutes poderoso que existe Si ademaacutes eacuteste se aplica al conocimiento y experimentacioacuten de los conceptos matemaacuteticos estamos aportando un valor antildeadido a uno de los aprendizashyjes que tradicionalmente han sido vividos como maacutes complejos y costosos

Experigoza actividad educativa que desarrollamos desde hace varios antildeos en la programacioacuten anual del Servicio de Educacioacuten del Ayuntamiento de Zaragoza es la plasmacioacuten praacutectica de lo dicho anteriormente la experimenshytacioacuten luacutedica no estaacute rentildeida con el aprendizaje del caacutelculo las medidas la geometriacutea y las simetriacuteas Las matemaacuteshyticas pueden aprenderse disfrutando

Este Cuaderno de trabajo representa en definitiva la continuidad de la liacutenea emprendida con las Rutas Matemaacuteshyticas por Zaragoza y pretende aportar a la comunidad educativa en general y a los profesores de matemaacuteticas en particular un aliciente y un apoyo metodoloacutegico para transmitir a sus alumnos el intereacutes por conceptos matemaacuteticos no soacutelo uacutetiles y aplicables en la vida cotidiana sino tambieacuten el gusto por el descubrimiento y una aproximacioacuten a la enorme capacidad de la razoacuten humana

Desde esta Concejaliacutea de Educacioacuten apostamos por una ldquoZaragoza con otros ojosrdquo como una propuesta de ciudad educadora e innovadora donde se puede experimentar y gozar En suma experigoza

Luis Alberto Laguna Miranda Concejal Delegado de Educacioacuten

INTRODUCCIOacuteN

estaacute pensado como un espacio abierto luacutedico e interactivo para la experimentacioacuten y el conocishymiento destinado a proporcionar actividades cientiacuteficas y matemaacuteticas para los alumnos de Primaria y formashycioacuten en esos temas para el profesoradoTrata de proporcionar cuestiones interesantes y atractivas para obtener respuestas parciales y nuevas preguntas por la manipulacioacuten y la praacutectica haciendo ciencia y obteniendo conocishymientos con las manos y con el cerebro

en definitiva procura ser un espacio maacutegico como un laboratorio o un taller de tecnologiacutea donde se potencia la participacioacuten activa se toca se experimenta y se aprende en un ambiente divertido y estimulante En eacutel estaacute presente la magia matemaacutetica y pretende ser una ludoteca en la que por medio del juego y la manipushylacioacuten se ayude a la geacutenesis y consolidacioacuten del conocimiento

Desde hace un tiempo hay un consenso cientiacutefico seguacuten el cual una persona es competente no cuando conoce muchas cosas de memoria sino cuando es capaz de movilizar conocimientos y actitudes para responder a situaciones reales Como es bien conocido que de los alumnos no obtenemos sino lo que pedimos trata de proponer otro tipo de tareas para lograr resultados diferentes aprender en la accioacuten y para la resolushycioacuten de situaciones complejas reales diversas y atractivas

La actividad se ubica fiacutesicamente en el recinto del Antiguo Matadero de Zaragoza cuya utilidad originaria acaboacute hace antildeos y estaacute ahora dedicado a diversas actividades sociales Como es un espacio vallado se tiene la seguridad de que los escolares pueden participar en las actividades sin riesgos algo que no sucederiacutea en calles o plazas de la ciudad

Cada una de las actividades estaacute pensada para el nivel psicoloacutegico y de conocimientos de las edades propuestas aunque en algunos casos puede haber alguna pequentildea diferencia entre los conocimientos matemaacuteticos del curso que estudian y ciertas necesidades del desarrollo de Pero nunca son importantes y ademaacutes hay que pensar que en ella se trata sobre todo de inducir ilusioacuten y ganas de saber mediante la sorpresa y el placer por medio de elementos luacutedicos Cuando se profundicen o desarrollen en el propio centro se podraacuten proporshycionar conocimientos maacutes precisos

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Aunque pueda parecer que no hay relacioacuten entre algunas de las actividades y los conocimientos matemaacuteticos hay que pensar que aquiacute se apela a conocimientos interdisciplinares que hacen referencia a materias diversas y que en todo caso hay conexiones claras y tambieacuten que bastantes de los objetos y actividades que se utilizan tienen aplicaciones diferentes seguacuten la edad o maduracioacuten de los destinatarios estando adaptados en nuestro caso al nivel de los asistentes Se puede hacer posteriormente una utilizacioacuten maacutes personalizada en las aulas puesto que uno de los objetivos fundamentales de es dar instrumentos para realizar una enseshyntildeanza luacutedica y motivadora en las clases de cada diacutea

Asiacute en el Taller de Juegos y en los juegos en gran formato se trata de iniciar o continuar en un ambiente luacutedico la aplicacioacuten de las grandes estrategias de pensamiento y de resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten permanente en los diferentes campos del conocimiento y a lo largo de toda la vida

El Taller de Mosaicos introduce una geometriacutea creativa y trata de mostrar en la praacutectica la importancia de la imaginacioacuten en el quehacer matemaacutetico a la vez que destaca la importancia de las propiedades geomeacutetrishycas como la simetriacutea en la buacutesqueda de la belleza

En el Taller de Medidas se trata de interiorizar que lo maacutes importante es encontrar la medida adecuada a cada una de las necesidades sociales algo que puede conseguirse por diferentes procedimientos asiacute como poner de manifiesto que la intuicioacuten no siempre nos proporciona los resultados reales

El Taller de Ilusiones oacutepticas y Figuras imposibles ademaacutes de sorprender e ilusionar quiere despertar la nocioacuten de la necesidad de las medidas y de los instrumentos geomeacutetricos para comprobar o rechazar las intuiciones o sospechas

Por fin el espectaacuteculo matemaacutetico-teatral ademaacutes de divertir y proporcionar conocimientos y reflexiones matemaacuteticas pretende reforzar los sentimientos positivos hacia las matemaacuteticas presentaacutendolas asociadas a la muacutesica el baile la participacioacuten y el humor Bastante alejadas por tanto de los estereotipos sociales que presentan las matemaacuteticas como algo pesado repetitivo y sin imaginacioacuten

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JUE

GO

S

Empieza por lo faacutecil

Ensayo y error (experimenta)

Hazte un esquema una figura un diagrama

Busca la simetriacutea de la situacioacuten

Escoge un lenguaje adecuado una notacioacuten apropiada

Estudio sistemaacutetico de todos los casos

Busca un problema semejante

Induccioacuten

Empezar por el final (suponer el problema resuelto)

Supongamos que no

IIIEjecucioacuten

del plan

IV Examinar la solucioacuten obtenida

Plan de Polya

IComprender

el problema

IIConcebirun plan

Una de la tareas fundamentales en la ensentildeanza de las matemaacuteticas es la RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS (RP) no solo de simples ejercicios que son aplicacioacuten directa de lo que se acaba de explicar A resolver problemas se puede aprender y es conveniente empezar a hacerlo cuanto antes Polya fue el primer teoacuterico de la RP y da un meacutetodo en cuatro etapas para afrontar la resolucioacuten de un problema

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Las estrategias de RP entran en la etapa II Algunas de las maacutes importantes son Unos problemasque casi no se reconocen como tales permiten de una forma

muy sencilla experimentar la RP LOS JUEGOS DE ESTRATEGIA Huizinga da una definicioacuten de juego muy clarificadora para su utilizacioacuten en la ensentildeanzaldquoJuego es una accioacuten u ocupacioacuten voluntaria que se desarrolla dentro de liacutemites temporales y espaciales determinados seguacuten reglas absolutamente obligashytorias aunque libremente aceptadas accioacuten que tiene un fin en siacute misma y estaacute acompantildeada de un sentimiento de tensioacuten y alegriacuteardquo En un juego se llama Estrashytegia de un jugador a una descripcioacuten completa de la manera en que se deberiacutea comportar el jugador ante cualquier circunstancia posible en cada jugadaY en un juego se llama ESTRATEGIA GANADORA (EG) a una estrategia que lleva al jugador al eacutexito (a ganar la partida) hagan lo que hagan sus adversarios

No todos los juegos tienen EG pero en aquellos en los que la hay su buacutesqueshyda es un problema atractivo que ademaacutes nos permite ganar siempre Otros juegos permiten llevar a una situacioacuten de empate (o tablas) si los dos jugadoshyres juegan bien no gana ninguno de los dos Pero en algunos de esos juegos hay estrategias favorecedoras las que hacen maacutes faacutecil ganar a la menor equivocashycioacuten del contrario

Normalmente se sobrentiende que las situaciones de juego requieren dos personas al menos pero esa misma situacioacuten se da en los juegos solitarios (de una sola persona) en los que el ldquocontrincanterdquo a superar para conseguir el eacutexito son las propias reglas del juego Por eso tambieacuten utilizaremos juegos solitarios en los que hay una tarea que realizar siguiendo unas reglas determinadas de antemano peleando contra un contrincante incorpoacutereo (pero no siempre maacutes asequible) LAS REGLAS DEL JUEGO En los juegos de estrategia hay que buscar el procedimiento para ganar siempre En los individuales solo se tiene que actuar contra las reglas mientras que en los juegos por parejas hay que hacerlo contra el adversario siguiendo unas reglas

Puedes intentar resolver el siguiente juego individual COLOCACION DIFICIL

Situar los nueve primeros nuacutemeros naturales en las nueve casillas de forma que los tres productos sean iguales

x x= x=

Los juegos se suelen considerar poco importantes cosas de nintildeos con poca cabida en la escuela al menos en clase de matemaacuteticas y menos cuando la edad del alumnado aumenta Pero hay muchas razones que invitan a utilizarlos En primer lugar como comenta el poeta alemaacuten Heine ldquoaquellos que se toman el juego como un simple juego y el trabajo con excesiva seriedad no han comprendido mucho ni de uno ni de otrordquo

Las relaciones entre los juegos y las matemaacuteticas no solo se dan en el comienzo de las mismas sino que hay ramas enteras de las matemaacuteticas que tienen su origen en la actividad luacutedica Hay tres casos significativos y bien conocidos la Teoriacutea de Nuacutemeshyros la Teoriacutea de Probabilidashydes y la Teoriacutea de GrafosY es reciente la Teoriacutea de Juegos con aplicaciones en muchas ramas del conocimiento como la Economiacutea y la Poliacutetica ademaacutes del aacutembito militar

Huizinga dice que ldquoel auteacutentico el puro juego es una de las principales

bases de la civilizacioacutenrdquo y antildeade Argemiacute ldquoson las conductas luacutedicas

las que generan la culturardquo Como sentildeala Bishop todas las culturas

juegan y lo que es maacutes importante iexcltoman sus juegos muy en serio

Por eso es esencial no tratar el juego como un aspecto relativamente

poco importante de la vida cultural Dentro del conjunto de los

juegos los que siguen una reglas predeterminadas parecen estar en la

base del inicio y del desarrollo de las matemaacuteticas ldquolos juegos son

valorados por los matemaacuteticos porque el comportamiento siguiendo

unas reglas es como las matemaacuteticas en siacute mismas No es demasiado

difiacutecil imaginar que los criterios siguiendo unas reglas de las matemaacuteti-

cas se han desarrollado a partir de los placeres y las satisfacciones del

comportamiento de los juegos de reglasrdquo luego son una buena manera

de entrenarse en matemaacuteticas8

-

-

-

Todos los grandes juegos que se extienden en el tiempo y en el espacio son modelos de situaciones atractivas que han arraigado en la conciencia social Los juegos de baraja de las cuales la espantildeola es la gran aportacioacuten hispaacutenica al gran universo de los juegos son modelizacioacuten de una situacioacuten real Los cuatro palos son una estilizacioacuten de los estamentos medievales el de oros representa la burguesiacutea el de copas al clero las espadas a la nobleza y los bastos a los campesinos

Las barajas sajonas tambieacuten son un modelo de la realidad en este caso del transcurrir de un antildeo Asiacute hay cuatro palos tantos como estaciones en cada uno hay 13 cartas luego en total 52 tantas como semanas en un antildeo los nuacutemeros en cada palo suman 91 (1+2+3++13) que multiplicado por 4 son 364 maacutes una del comodiacuten tenemos los diacuteas del antildeo

En los juegos de cartas a pesar de gozar de bastante mala fama hay muchos aspectos matemaacuteticos En las diferentes modalidades de juegos de cartas hay uno o varios de los siguientes aspectos

Caacutelculo de probabilidades Consustancial a todos los juegos con apuesshytas como el poker Un buen ejercicio es calcular la dificultad de obtener una jugada y poder compararla con la valoracioacuten que se le da si un poker gana a un full debe ser que esta jugada es maacutes probable que la primera

Recuentos de posibilidades Cuando hay que prever todas las posibilidashydes que se puedan presentar en un juego en funcioacuten de nuestras cartas y las posibles distribuciones entre el resto de jugadores Es lo que pasa en el tute subastado en el que uno o varios de los tres jugadores dicen cuaacutentos puntos van a hacer y juega quien maacutes oferta contra los otros dos

Clasificaciones Clasificar es una tarea central del conocimiento En los juegos de cartas en que hay que ligar como el rabino o el chinchoacuten se trata de hacer clasificaciones conocida la ley o relacioacuten de equivalencia que tenemos que aplicar

Ordenaciones Es una tarea habitual en casi todos los juegos de cartas y objeto especiacutefico de algunos como el cinquilloTambieacuten para algunas jugadas de los juegos tipo poker (escaleras y orden de prioridad de jugadas)

Operaciones aritmeacuteticas En casi todos los juegos habituales de cartas hay que sumar restar o multiplicar para saber quien gana en cada partida para llevar las cuentas de triunfadores parciales o finales

En cuanto a procedimientos que se aplican habitual mente en los juegos de cartas y que lo son tambieacuten en la RP destacamos dos

Suponer el problema resuelto o empezar por el final Se hace con frecuencia jugando a cartas pero que es imprescindible en el subastado si se quieren contar bien los puntos que se pueden obtener (para lo cual hay que ir descontando los que se pueden perder del total posible)

Resolver problemas parciales Por ejemplo en todos los juegos en que hay que hacer determi nadas jugadas (en los que se liga) En el chinchoacuten o en el rabino en algunos momentos la preocupacioacuten es no sobrepasar un nuacutemero de puntos (con el que se pierde la partida) y una vez conseguido ese obje tivo se puede intentar ganar

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Los humanos somos simeacutetricos de forma aproximada seguramente por eso son simeacutetricos buena parte de los utensilios que manejamos asiacute como las casas en que habitamos y los disentildeos que nos rodeanY tambieacuten la simetriacutea se utiliza de forma generalizada en el arte con una especial presencia en un arte tan aragoneacutes como el mudeacutejar

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SIM

ET

RIacuteA

Hay diferentes tipos de simetriacuteas (en el plano y en el espacio central o axial de diferenshytes ordenes) Para llegar a conocerlas y percibirlas la mejor forma es disfrutarlas y sorprenderse con ellas Eso se hace en Experigoza con dos aparatos con los que se experimenta y se disfruta el caleidoscopio gigante y la maacutequina de volar Ambas estaacuten compuestas por espejos uacutetil cotidiano presente en todas las casas y centros de ensentildeanza que nos proporciona imaacutegenes simeacutetricas de lo que pongamos delante de ellos La combinacioacuten de varios permite ver otras simetriacuteas y reflexionar sobre ellas

Algunas cuestiones para pensar

Los imaacutegenes en los espeshy

jos cambian la izquierda

por la derecha pero no lo

que estaacute arriba por lo que

estaacute abajo iquestCoacutemo podeshy

mos lograr este cambio

Cuando estamos delante de un

espejo si movemos la mano

derecha en nuestra imagen se

mueve la izquierda iquestQueacute

podemos hacer para que en la

imagen se mueva la misma

mano que movemos nosotros

Tambieacuten hay un recorrido de observa

cioacuten

de los edificios y mobiliario urbano

del

Antiguo Matadero donde tiene lugar la

actividad una Ruta Matemaacutetica en la

que se hace mencioacuten especial a la obsershy

vacioacuten de la simetriacutea

PPP P

O OO O

PacutePacute Pacute Pacute

fig 1 fig 2

DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA CENTRAL Una figura plana tiene un centro de simetriacutea O (y se dice que tiene simetriacutea central) cuando al unir un punto cualquiera P de la misma con O y prolongar la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que O es el punto medio de PPrsquo (figura 1) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a O Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a su centro o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto al punto de corte de sus diagonales (figura 2)

r racute DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA AXIAL Una figura plana tiene un eje de simetriacutea r (o se dice que tiene simetriacutea axial) cuando si desde cualquier punto P de la misma trazamos una perpendicular a r y prolongamos la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que r es la perpendicular en el

P Pacute punto medio de PPrsquo (figura 3) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a r Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a cualquiera de sus diaacutemetros o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto a todas sus diagonales y tambieacuten respecto a las rectas que unen los puntos

r medios de sus lados opuestos (figura 4) fig 3 fig 4

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EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

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Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

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Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

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MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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Edita Ayuntamiento de Zaragoza Aacuterea de Cultura y Educacioacuten Servicio de Educacioacuten Texto y fotos Fernando Corbalaacuten y Angel Salar Impresioacuten DL ISBN Disentildeo graacutefico Aiacutesa Publicidad SL Logotipos de Experigoza y disentildeo de tableros de juego Ana Mota

Aprender jugando es el paradigma educativo maacutes poderoso que existe Si ademaacutes eacuteste se aplica al conocimiento y experimentacioacuten de los conceptos matemaacuteticos estamos aportando un valor antildeadido a uno de los aprendizashyjes que tradicionalmente han sido vividos como maacutes complejos y costosos

Experigoza actividad educativa que desarrollamos desde hace varios antildeos en la programacioacuten anual del Servicio de Educacioacuten del Ayuntamiento de Zaragoza es la plasmacioacuten praacutectica de lo dicho anteriormente la experimenshytacioacuten luacutedica no estaacute rentildeida con el aprendizaje del caacutelculo las medidas la geometriacutea y las simetriacuteas Las matemaacuteshyticas pueden aprenderse disfrutando

Este Cuaderno de trabajo representa en definitiva la continuidad de la liacutenea emprendida con las Rutas Matemaacuteshyticas por Zaragoza y pretende aportar a la comunidad educativa en general y a los profesores de matemaacuteticas en particular un aliciente y un apoyo metodoloacutegico para transmitir a sus alumnos el intereacutes por conceptos matemaacuteticos no soacutelo uacutetiles y aplicables en la vida cotidiana sino tambieacuten el gusto por el descubrimiento y una aproximacioacuten a la enorme capacidad de la razoacuten humana

Desde esta Concejaliacutea de Educacioacuten apostamos por una ldquoZaragoza con otros ojosrdquo como una propuesta de ciudad educadora e innovadora donde se puede experimentar y gozar En suma experigoza

Luis Alberto Laguna Miranda Concejal Delegado de Educacioacuten

INTRODUCCIOacuteN

estaacute pensado como un espacio abierto luacutedico e interactivo para la experimentacioacuten y el conocishymiento destinado a proporcionar actividades cientiacuteficas y matemaacuteticas para los alumnos de Primaria y formashycioacuten en esos temas para el profesoradoTrata de proporcionar cuestiones interesantes y atractivas para obtener respuestas parciales y nuevas preguntas por la manipulacioacuten y la praacutectica haciendo ciencia y obteniendo conocishymientos con las manos y con el cerebro

en definitiva procura ser un espacio maacutegico como un laboratorio o un taller de tecnologiacutea donde se potencia la participacioacuten activa se toca se experimenta y se aprende en un ambiente divertido y estimulante En eacutel estaacute presente la magia matemaacutetica y pretende ser una ludoteca en la que por medio del juego y la manipushylacioacuten se ayude a la geacutenesis y consolidacioacuten del conocimiento

Desde hace un tiempo hay un consenso cientiacutefico seguacuten el cual una persona es competente no cuando conoce muchas cosas de memoria sino cuando es capaz de movilizar conocimientos y actitudes para responder a situaciones reales Como es bien conocido que de los alumnos no obtenemos sino lo que pedimos trata de proponer otro tipo de tareas para lograr resultados diferentes aprender en la accioacuten y para la resolushycioacuten de situaciones complejas reales diversas y atractivas

La actividad se ubica fiacutesicamente en el recinto del Antiguo Matadero de Zaragoza cuya utilidad originaria acaboacute hace antildeos y estaacute ahora dedicado a diversas actividades sociales Como es un espacio vallado se tiene la seguridad de que los escolares pueden participar en las actividades sin riesgos algo que no sucederiacutea en calles o plazas de la ciudad

Cada una de las actividades estaacute pensada para el nivel psicoloacutegico y de conocimientos de las edades propuestas aunque en algunos casos puede haber alguna pequentildea diferencia entre los conocimientos matemaacuteticos del curso que estudian y ciertas necesidades del desarrollo de Pero nunca son importantes y ademaacutes hay que pensar que en ella se trata sobre todo de inducir ilusioacuten y ganas de saber mediante la sorpresa y el placer por medio de elementos luacutedicos Cuando se profundicen o desarrollen en el propio centro se podraacuten proporshycionar conocimientos maacutes precisos

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Aunque pueda parecer que no hay relacioacuten entre algunas de las actividades y los conocimientos matemaacuteticos hay que pensar que aquiacute se apela a conocimientos interdisciplinares que hacen referencia a materias diversas y que en todo caso hay conexiones claras y tambieacuten que bastantes de los objetos y actividades que se utilizan tienen aplicaciones diferentes seguacuten la edad o maduracioacuten de los destinatarios estando adaptados en nuestro caso al nivel de los asistentes Se puede hacer posteriormente una utilizacioacuten maacutes personalizada en las aulas puesto que uno de los objetivos fundamentales de es dar instrumentos para realizar una enseshyntildeanza luacutedica y motivadora en las clases de cada diacutea

Asiacute en el Taller de Juegos y en los juegos en gran formato se trata de iniciar o continuar en un ambiente luacutedico la aplicacioacuten de las grandes estrategias de pensamiento y de resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten permanente en los diferentes campos del conocimiento y a lo largo de toda la vida

El Taller de Mosaicos introduce una geometriacutea creativa y trata de mostrar en la praacutectica la importancia de la imaginacioacuten en el quehacer matemaacutetico a la vez que destaca la importancia de las propiedades geomeacutetrishycas como la simetriacutea en la buacutesqueda de la belleza

En el Taller de Medidas se trata de interiorizar que lo maacutes importante es encontrar la medida adecuada a cada una de las necesidades sociales algo que puede conseguirse por diferentes procedimientos asiacute como poner de manifiesto que la intuicioacuten no siempre nos proporciona los resultados reales

El Taller de Ilusiones oacutepticas y Figuras imposibles ademaacutes de sorprender e ilusionar quiere despertar la nocioacuten de la necesidad de las medidas y de los instrumentos geomeacutetricos para comprobar o rechazar las intuiciones o sospechas

Por fin el espectaacuteculo matemaacutetico-teatral ademaacutes de divertir y proporcionar conocimientos y reflexiones matemaacuteticas pretende reforzar los sentimientos positivos hacia las matemaacuteticas presentaacutendolas asociadas a la muacutesica el baile la participacioacuten y el humor Bastante alejadas por tanto de los estereotipos sociales que presentan las matemaacuteticas como algo pesado repetitivo y sin imaginacioacuten

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JUE

GO

S

Empieza por lo faacutecil

Ensayo y error (experimenta)

Hazte un esquema una figura un diagrama

Busca la simetriacutea de la situacioacuten

Escoge un lenguaje adecuado una notacioacuten apropiada

Estudio sistemaacutetico de todos los casos

Busca un problema semejante

Induccioacuten

Empezar por el final (suponer el problema resuelto)

Supongamos que no

IIIEjecucioacuten

del plan

IV Examinar la solucioacuten obtenida

Plan de Polya

IComprender

el problema

IIConcebirun plan

Una de la tareas fundamentales en la ensentildeanza de las matemaacuteticas es la RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS (RP) no solo de simples ejercicios que son aplicacioacuten directa de lo que se acaba de explicar A resolver problemas se puede aprender y es conveniente empezar a hacerlo cuanto antes Polya fue el primer teoacuterico de la RP y da un meacutetodo en cuatro etapas para afrontar la resolucioacuten de un problema

7

Las estrategias de RP entran en la etapa II Algunas de las maacutes importantes son Unos problemasque casi no se reconocen como tales permiten de una forma

muy sencilla experimentar la RP LOS JUEGOS DE ESTRATEGIA Huizinga da una definicioacuten de juego muy clarificadora para su utilizacioacuten en la ensentildeanzaldquoJuego es una accioacuten u ocupacioacuten voluntaria que se desarrolla dentro de liacutemites temporales y espaciales determinados seguacuten reglas absolutamente obligashytorias aunque libremente aceptadas accioacuten que tiene un fin en siacute misma y estaacute acompantildeada de un sentimiento de tensioacuten y alegriacuteardquo En un juego se llama Estrashytegia de un jugador a una descripcioacuten completa de la manera en que se deberiacutea comportar el jugador ante cualquier circunstancia posible en cada jugadaY en un juego se llama ESTRATEGIA GANADORA (EG) a una estrategia que lleva al jugador al eacutexito (a ganar la partida) hagan lo que hagan sus adversarios

No todos los juegos tienen EG pero en aquellos en los que la hay su buacutesqueshyda es un problema atractivo que ademaacutes nos permite ganar siempre Otros juegos permiten llevar a una situacioacuten de empate (o tablas) si los dos jugadoshyres juegan bien no gana ninguno de los dos Pero en algunos de esos juegos hay estrategias favorecedoras las que hacen maacutes faacutecil ganar a la menor equivocashycioacuten del contrario

Normalmente se sobrentiende que las situaciones de juego requieren dos personas al menos pero esa misma situacioacuten se da en los juegos solitarios (de una sola persona) en los que el ldquocontrincanterdquo a superar para conseguir el eacutexito son las propias reglas del juego Por eso tambieacuten utilizaremos juegos solitarios en los que hay una tarea que realizar siguiendo unas reglas determinadas de antemano peleando contra un contrincante incorpoacutereo (pero no siempre maacutes asequible) LAS REGLAS DEL JUEGO En los juegos de estrategia hay que buscar el procedimiento para ganar siempre En los individuales solo se tiene que actuar contra las reglas mientras que en los juegos por parejas hay que hacerlo contra el adversario siguiendo unas reglas

Puedes intentar resolver el siguiente juego individual COLOCACION DIFICIL

Situar los nueve primeros nuacutemeros naturales en las nueve casillas de forma que los tres productos sean iguales

x x= x=

Los juegos se suelen considerar poco importantes cosas de nintildeos con poca cabida en la escuela al menos en clase de matemaacuteticas y menos cuando la edad del alumnado aumenta Pero hay muchas razones que invitan a utilizarlos En primer lugar como comenta el poeta alemaacuten Heine ldquoaquellos que se toman el juego como un simple juego y el trabajo con excesiva seriedad no han comprendido mucho ni de uno ni de otrordquo

Las relaciones entre los juegos y las matemaacuteticas no solo se dan en el comienzo de las mismas sino que hay ramas enteras de las matemaacuteticas que tienen su origen en la actividad luacutedica Hay tres casos significativos y bien conocidos la Teoriacutea de Nuacutemeshyros la Teoriacutea de Probabilidashydes y la Teoriacutea de GrafosY es reciente la Teoriacutea de Juegos con aplicaciones en muchas ramas del conocimiento como la Economiacutea y la Poliacutetica ademaacutes del aacutembito militar

Huizinga dice que ldquoel auteacutentico el puro juego es una de las principales

bases de la civilizacioacutenrdquo y antildeade Argemiacute ldquoson las conductas luacutedicas

las que generan la culturardquo Como sentildeala Bishop todas las culturas

juegan y lo que es maacutes importante iexcltoman sus juegos muy en serio

Por eso es esencial no tratar el juego como un aspecto relativamente

poco importante de la vida cultural Dentro del conjunto de los

juegos los que siguen una reglas predeterminadas parecen estar en la

base del inicio y del desarrollo de las matemaacuteticas ldquolos juegos son

valorados por los matemaacuteticos porque el comportamiento siguiendo

unas reglas es como las matemaacuteticas en siacute mismas No es demasiado

difiacutecil imaginar que los criterios siguiendo unas reglas de las matemaacuteti-

cas se han desarrollado a partir de los placeres y las satisfacciones del

comportamiento de los juegos de reglasrdquo luego son una buena manera

de entrenarse en matemaacuteticas8

-

-

-

Todos los grandes juegos que se extienden en el tiempo y en el espacio son modelos de situaciones atractivas que han arraigado en la conciencia social Los juegos de baraja de las cuales la espantildeola es la gran aportacioacuten hispaacutenica al gran universo de los juegos son modelizacioacuten de una situacioacuten real Los cuatro palos son una estilizacioacuten de los estamentos medievales el de oros representa la burguesiacutea el de copas al clero las espadas a la nobleza y los bastos a los campesinos

Las barajas sajonas tambieacuten son un modelo de la realidad en este caso del transcurrir de un antildeo Asiacute hay cuatro palos tantos como estaciones en cada uno hay 13 cartas luego en total 52 tantas como semanas en un antildeo los nuacutemeros en cada palo suman 91 (1+2+3++13) que multiplicado por 4 son 364 maacutes una del comodiacuten tenemos los diacuteas del antildeo

En los juegos de cartas a pesar de gozar de bastante mala fama hay muchos aspectos matemaacuteticos En las diferentes modalidades de juegos de cartas hay uno o varios de los siguientes aspectos

Caacutelculo de probabilidades Consustancial a todos los juegos con apuesshytas como el poker Un buen ejercicio es calcular la dificultad de obtener una jugada y poder compararla con la valoracioacuten que se le da si un poker gana a un full debe ser que esta jugada es maacutes probable que la primera

Recuentos de posibilidades Cuando hay que prever todas las posibilidashydes que se puedan presentar en un juego en funcioacuten de nuestras cartas y las posibles distribuciones entre el resto de jugadores Es lo que pasa en el tute subastado en el que uno o varios de los tres jugadores dicen cuaacutentos puntos van a hacer y juega quien maacutes oferta contra los otros dos

Clasificaciones Clasificar es una tarea central del conocimiento En los juegos de cartas en que hay que ligar como el rabino o el chinchoacuten se trata de hacer clasificaciones conocida la ley o relacioacuten de equivalencia que tenemos que aplicar

Ordenaciones Es una tarea habitual en casi todos los juegos de cartas y objeto especiacutefico de algunos como el cinquilloTambieacuten para algunas jugadas de los juegos tipo poker (escaleras y orden de prioridad de jugadas)

Operaciones aritmeacuteticas En casi todos los juegos habituales de cartas hay que sumar restar o multiplicar para saber quien gana en cada partida para llevar las cuentas de triunfadores parciales o finales

En cuanto a procedimientos que se aplican habitual mente en los juegos de cartas y que lo son tambieacuten en la RP destacamos dos

Suponer el problema resuelto o empezar por el final Se hace con frecuencia jugando a cartas pero que es imprescindible en el subastado si se quieren contar bien los puntos que se pueden obtener (para lo cual hay que ir descontando los que se pueden perder del total posible)

Resolver problemas parciales Por ejemplo en todos los juegos en que hay que hacer determi nadas jugadas (en los que se liga) En el chinchoacuten o en el rabino en algunos momentos la preocupacioacuten es no sobrepasar un nuacutemero de puntos (con el que se pierde la partida) y una vez conseguido ese obje tivo se puede intentar ganar

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Los humanos somos simeacutetricos de forma aproximada seguramente por eso son simeacutetricos buena parte de los utensilios que manejamos asiacute como las casas en que habitamos y los disentildeos que nos rodeanY tambieacuten la simetriacutea se utiliza de forma generalizada en el arte con una especial presencia en un arte tan aragoneacutes como el mudeacutejar

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SIM

ET

RIacuteA

Hay diferentes tipos de simetriacuteas (en el plano y en el espacio central o axial de diferenshytes ordenes) Para llegar a conocerlas y percibirlas la mejor forma es disfrutarlas y sorprenderse con ellas Eso se hace en Experigoza con dos aparatos con los que se experimenta y se disfruta el caleidoscopio gigante y la maacutequina de volar Ambas estaacuten compuestas por espejos uacutetil cotidiano presente en todas las casas y centros de ensentildeanza que nos proporciona imaacutegenes simeacutetricas de lo que pongamos delante de ellos La combinacioacuten de varios permite ver otras simetriacuteas y reflexionar sobre ellas

Algunas cuestiones para pensar

Los imaacutegenes en los espeshy

jos cambian la izquierda

por la derecha pero no lo

que estaacute arriba por lo que

estaacute abajo iquestCoacutemo podeshy

mos lograr este cambio

Cuando estamos delante de un

espejo si movemos la mano

derecha en nuestra imagen se

mueve la izquierda iquestQueacute

podemos hacer para que en la

imagen se mueva la misma

mano que movemos nosotros

Tambieacuten hay un recorrido de observa

cioacuten

de los edificios y mobiliario urbano

del

Antiguo Matadero donde tiene lugar la

actividad una Ruta Matemaacutetica en la

que se hace mencioacuten especial a la obsershy

vacioacuten de la simetriacutea

PPP P

O OO O

PacutePacute Pacute Pacute

fig 1 fig 2

DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA CENTRAL Una figura plana tiene un centro de simetriacutea O (y se dice que tiene simetriacutea central) cuando al unir un punto cualquiera P de la misma con O y prolongar la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que O es el punto medio de PPrsquo (figura 1) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a O Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a su centro o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto al punto de corte de sus diagonales (figura 2)

r racute DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA AXIAL Una figura plana tiene un eje de simetriacutea r (o se dice que tiene simetriacutea axial) cuando si desde cualquier punto P de la misma trazamos una perpendicular a r y prolongamos la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que r es la perpendicular en el

P Pacute punto medio de PPrsquo (figura 3) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a r Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a cualquiera de sus diaacutemetros o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto a todas sus diagonales y tambieacuten respecto a las rectas que unen los puntos

r medios de sus lados opuestos (figura 4) fig 3 fig 4

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EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

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Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

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Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

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MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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Aprender jugando es el paradigma educativo maacutes poderoso que existe Si ademaacutes eacuteste se aplica al conocimiento y experimentacioacuten de los conceptos matemaacuteticos estamos aportando un valor antildeadido a uno de los aprendizashyjes que tradicionalmente han sido vividos como maacutes complejos y costosos

Experigoza actividad educativa que desarrollamos desde hace varios antildeos en la programacioacuten anual del Servicio de Educacioacuten del Ayuntamiento de Zaragoza es la plasmacioacuten praacutectica de lo dicho anteriormente la experimenshytacioacuten luacutedica no estaacute rentildeida con el aprendizaje del caacutelculo las medidas la geometriacutea y las simetriacuteas Las matemaacuteshyticas pueden aprenderse disfrutando

Este Cuaderno de trabajo representa en definitiva la continuidad de la liacutenea emprendida con las Rutas Matemaacuteshyticas por Zaragoza y pretende aportar a la comunidad educativa en general y a los profesores de matemaacuteticas en particular un aliciente y un apoyo metodoloacutegico para transmitir a sus alumnos el intereacutes por conceptos matemaacuteticos no soacutelo uacutetiles y aplicables en la vida cotidiana sino tambieacuten el gusto por el descubrimiento y una aproximacioacuten a la enorme capacidad de la razoacuten humana

Desde esta Concejaliacutea de Educacioacuten apostamos por una ldquoZaragoza con otros ojosrdquo como una propuesta de ciudad educadora e innovadora donde se puede experimentar y gozar En suma experigoza

Luis Alberto Laguna Miranda Concejal Delegado de Educacioacuten

INTRODUCCIOacuteN

estaacute pensado como un espacio abierto luacutedico e interactivo para la experimentacioacuten y el conocishymiento destinado a proporcionar actividades cientiacuteficas y matemaacuteticas para los alumnos de Primaria y formashycioacuten en esos temas para el profesoradoTrata de proporcionar cuestiones interesantes y atractivas para obtener respuestas parciales y nuevas preguntas por la manipulacioacuten y la praacutectica haciendo ciencia y obteniendo conocishymientos con las manos y con el cerebro

en definitiva procura ser un espacio maacutegico como un laboratorio o un taller de tecnologiacutea donde se potencia la participacioacuten activa se toca se experimenta y se aprende en un ambiente divertido y estimulante En eacutel estaacute presente la magia matemaacutetica y pretende ser una ludoteca en la que por medio del juego y la manipushylacioacuten se ayude a la geacutenesis y consolidacioacuten del conocimiento

Desde hace un tiempo hay un consenso cientiacutefico seguacuten el cual una persona es competente no cuando conoce muchas cosas de memoria sino cuando es capaz de movilizar conocimientos y actitudes para responder a situaciones reales Como es bien conocido que de los alumnos no obtenemos sino lo que pedimos trata de proponer otro tipo de tareas para lograr resultados diferentes aprender en la accioacuten y para la resolushycioacuten de situaciones complejas reales diversas y atractivas

La actividad se ubica fiacutesicamente en el recinto del Antiguo Matadero de Zaragoza cuya utilidad originaria acaboacute hace antildeos y estaacute ahora dedicado a diversas actividades sociales Como es un espacio vallado se tiene la seguridad de que los escolares pueden participar en las actividades sin riesgos algo que no sucederiacutea en calles o plazas de la ciudad

Cada una de las actividades estaacute pensada para el nivel psicoloacutegico y de conocimientos de las edades propuestas aunque en algunos casos puede haber alguna pequentildea diferencia entre los conocimientos matemaacuteticos del curso que estudian y ciertas necesidades del desarrollo de Pero nunca son importantes y ademaacutes hay que pensar que en ella se trata sobre todo de inducir ilusioacuten y ganas de saber mediante la sorpresa y el placer por medio de elementos luacutedicos Cuando se profundicen o desarrollen en el propio centro se podraacuten proporshycionar conocimientos maacutes precisos

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Aunque pueda parecer que no hay relacioacuten entre algunas de las actividades y los conocimientos matemaacuteticos hay que pensar que aquiacute se apela a conocimientos interdisciplinares que hacen referencia a materias diversas y que en todo caso hay conexiones claras y tambieacuten que bastantes de los objetos y actividades que se utilizan tienen aplicaciones diferentes seguacuten la edad o maduracioacuten de los destinatarios estando adaptados en nuestro caso al nivel de los asistentes Se puede hacer posteriormente una utilizacioacuten maacutes personalizada en las aulas puesto que uno de los objetivos fundamentales de es dar instrumentos para realizar una enseshyntildeanza luacutedica y motivadora en las clases de cada diacutea

Asiacute en el Taller de Juegos y en los juegos en gran formato se trata de iniciar o continuar en un ambiente luacutedico la aplicacioacuten de las grandes estrategias de pensamiento y de resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten permanente en los diferentes campos del conocimiento y a lo largo de toda la vida

El Taller de Mosaicos introduce una geometriacutea creativa y trata de mostrar en la praacutectica la importancia de la imaginacioacuten en el quehacer matemaacutetico a la vez que destaca la importancia de las propiedades geomeacutetrishycas como la simetriacutea en la buacutesqueda de la belleza

En el Taller de Medidas se trata de interiorizar que lo maacutes importante es encontrar la medida adecuada a cada una de las necesidades sociales algo que puede conseguirse por diferentes procedimientos asiacute como poner de manifiesto que la intuicioacuten no siempre nos proporciona los resultados reales

El Taller de Ilusiones oacutepticas y Figuras imposibles ademaacutes de sorprender e ilusionar quiere despertar la nocioacuten de la necesidad de las medidas y de los instrumentos geomeacutetricos para comprobar o rechazar las intuiciones o sospechas

Por fin el espectaacuteculo matemaacutetico-teatral ademaacutes de divertir y proporcionar conocimientos y reflexiones matemaacuteticas pretende reforzar los sentimientos positivos hacia las matemaacuteticas presentaacutendolas asociadas a la muacutesica el baile la participacioacuten y el humor Bastante alejadas por tanto de los estereotipos sociales que presentan las matemaacuteticas como algo pesado repetitivo y sin imaginacioacuten

6

JUE

GO

S

Empieza por lo faacutecil

Ensayo y error (experimenta)

Hazte un esquema una figura un diagrama

Busca la simetriacutea de la situacioacuten

Escoge un lenguaje adecuado una notacioacuten apropiada

Estudio sistemaacutetico de todos los casos

Busca un problema semejante

Induccioacuten

Empezar por el final (suponer el problema resuelto)

Supongamos que no

IIIEjecucioacuten

del plan

IV Examinar la solucioacuten obtenida

Plan de Polya

IComprender

el problema

IIConcebirun plan

Una de la tareas fundamentales en la ensentildeanza de las matemaacuteticas es la RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS (RP) no solo de simples ejercicios que son aplicacioacuten directa de lo que se acaba de explicar A resolver problemas se puede aprender y es conveniente empezar a hacerlo cuanto antes Polya fue el primer teoacuterico de la RP y da un meacutetodo en cuatro etapas para afrontar la resolucioacuten de un problema

7

Las estrategias de RP entran en la etapa II Algunas de las maacutes importantes son Unos problemasque casi no se reconocen como tales permiten de una forma

muy sencilla experimentar la RP LOS JUEGOS DE ESTRATEGIA Huizinga da una definicioacuten de juego muy clarificadora para su utilizacioacuten en la ensentildeanzaldquoJuego es una accioacuten u ocupacioacuten voluntaria que se desarrolla dentro de liacutemites temporales y espaciales determinados seguacuten reglas absolutamente obligashytorias aunque libremente aceptadas accioacuten que tiene un fin en siacute misma y estaacute acompantildeada de un sentimiento de tensioacuten y alegriacuteardquo En un juego se llama Estrashytegia de un jugador a una descripcioacuten completa de la manera en que se deberiacutea comportar el jugador ante cualquier circunstancia posible en cada jugadaY en un juego se llama ESTRATEGIA GANADORA (EG) a una estrategia que lleva al jugador al eacutexito (a ganar la partida) hagan lo que hagan sus adversarios

No todos los juegos tienen EG pero en aquellos en los que la hay su buacutesqueshyda es un problema atractivo que ademaacutes nos permite ganar siempre Otros juegos permiten llevar a una situacioacuten de empate (o tablas) si los dos jugadoshyres juegan bien no gana ninguno de los dos Pero en algunos de esos juegos hay estrategias favorecedoras las que hacen maacutes faacutecil ganar a la menor equivocashycioacuten del contrario

Normalmente se sobrentiende que las situaciones de juego requieren dos personas al menos pero esa misma situacioacuten se da en los juegos solitarios (de una sola persona) en los que el ldquocontrincanterdquo a superar para conseguir el eacutexito son las propias reglas del juego Por eso tambieacuten utilizaremos juegos solitarios en los que hay una tarea que realizar siguiendo unas reglas determinadas de antemano peleando contra un contrincante incorpoacutereo (pero no siempre maacutes asequible) LAS REGLAS DEL JUEGO En los juegos de estrategia hay que buscar el procedimiento para ganar siempre En los individuales solo se tiene que actuar contra las reglas mientras que en los juegos por parejas hay que hacerlo contra el adversario siguiendo unas reglas

Puedes intentar resolver el siguiente juego individual COLOCACION DIFICIL

Situar los nueve primeros nuacutemeros naturales en las nueve casillas de forma que los tres productos sean iguales

x x= x=

Los juegos se suelen considerar poco importantes cosas de nintildeos con poca cabida en la escuela al menos en clase de matemaacuteticas y menos cuando la edad del alumnado aumenta Pero hay muchas razones que invitan a utilizarlos En primer lugar como comenta el poeta alemaacuten Heine ldquoaquellos que se toman el juego como un simple juego y el trabajo con excesiva seriedad no han comprendido mucho ni de uno ni de otrordquo

Las relaciones entre los juegos y las matemaacuteticas no solo se dan en el comienzo de las mismas sino que hay ramas enteras de las matemaacuteticas que tienen su origen en la actividad luacutedica Hay tres casos significativos y bien conocidos la Teoriacutea de Nuacutemeshyros la Teoriacutea de Probabilidashydes y la Teoriacutea de GrafosY es reciente la Teoriacutea de Juegos con aplicaciones en muchas ramas del conocimiento como la Economiacutea y la Poliacutetica ademaacutes del aacutembito militar

Huizinga dice que ldquoel auteacutentico el puro juego es una de las principales

bases de la civilizacioacutenrdquo y antildeade Argemiacute ldquoson las conductas luacutedicas

las que generan la culturardquo Como sentildeala Bishop todas las culturas

juegan y lo que es maacutes importante iexcltoman sus juegos muy en serio

Por eso es esencial no tratar el juego como un aspecto relativamente

poco importante de la vida cultural Dentro del conjunto de los

juegos los que siguen una reglas predeterminadas parecen estar en la

base del inicio y del desarrollo de las matemaacuteticas ldquolos juegos son

valorados por los matemaacuteticos porque el comportamiento siguiendo

unas reglas es como las matemaacuteticas en siacute mismas No es demasiado

difiacutecil imaginar que los criterios siguiendo unas reglas de las matemaacuteti-

cas se han desarrollado a partir de los placeres y las satisfacciones del

comportamiento de los juegos de reglasrdquo luego son una buena manera

de entrenarse en matemaacuteticas8

-

-

-

Todos los grandes juegos que se extienden en el tiempo y en el espacio son modelos de situaciones atractivas que han arraigado en la conciencia social Los juegos de baraja de las cuales la espantildeola es la gran aportacioacuten hispaacutenica al gran universo de los juegos son modelizacioacuten de una situacioacuten real Los cuatro palos son una estilizacioacuten de los estamentos medievales el de oros representa la burguesiacutea el de copas al clero las espadas a la nobleza y los bastos a los campesinos

Las barajas sajonas tambieacuten son un modelo de la realidad en este caso del transcurrir de un antildeo Asiacute hay cuatro palos tantos como estaciones en cada uno hay 13 cartas luego en total 52 tantas como semanas en un antildeo los nuacutemeros en cada palo suman 91 (1+2+3++13) que multiplicado por 4 son 364 maacutes una del comodiacuten tenemos los diacuteas del antildeo

En los juegos de cartas a pesar de gozar de bastante mala fama hay muchos aspectos matemaacuteticos En las diferentes modalidades de juegos de cartas hay uno o varios de los siguientes aspectos

Caacutelculo de probabilidades Consustancial a todos los juegos con apuesshytas como el poker Un buen ejercicio es calcular la dificultad de obtener una jugada y poder compararla con la valoracioacuten que se le da si un poker gana a un full debe ser que esta jugada es maacutes probable que la primera

Recuentos de posibilidades Cuando hay que prever todas las posibilidashydes que se puedan presentar en un juego en funcioacuten de nuestras cartas y las posibles distribuciones entre el resto de jugadores Es lo que pasa en el tute subastado en el que uno o varios de los tres jugadores dicen cuaacutentos puntos van a hacer y juega quien maacutes oferta contra los otros dos

Clasificaciones Clasificar es una tarea central del conocimiento En los juegos de cartas en que hay que ligar como el rabino o el chinchoacuten se trata de hacer clasificaciones conocida la ley o relacioacuten de equivalencia que tenemos que aplicar

Ordenaciones Es una tarea habitual en casi todos los juegos de cartas y objeto especiacutefico de algunos como el cinquilloTambieacuten para algunas jugadas de los juegos tipo poker (escaleras y orden de prioridad de jugadas)

Operaciones aritmeacuteticas En casi todos los juegos habituales de cartas hay que sumar restar o multiplicar para saber quien gana en cada partida para llevar las cuentas de triunfadores parciales o finales

En cuanto a procedimientos que se aplican habitual mente en los juegos de cartas y que lo son tambieacuten en la RP destacamos dos

Suponer el problema resuelto o empezar por el final Se hace con frecuencia jugando a cartas pero que es imprescindible en el subastado si se quieren contar bien los puntos que se pueden obtener (para lo cual hay que ir descontando los que se pueden perder del total posible)

Resolver problemas parciales Por ejemplo en todos los juegos en que hay que hacer determi nadas jugadas (en los que se liga) En el chinchoacuten o en el rabino en algunos momentos la preocupacioacuten es no sobrepasar un nuacutemero de puntos (con el que se pierde la partida) y una vez conseguido ese obje tivo se puede intentar ganar

9

Los humanos somos simeacutetricos de forma aproximada seguramente por eso son simeacutetricos buena parte de los utensilios que manejamos asiacute como las casas en que habitamos y los disentildeos que nos rodeanY tambieacuten la simetriacutea se utiliza de forma generalizada en el arte con una especial presencia en un arte tan aragoneacutes como el mudeacutejar

10

SIM

ET

RIacuteA

Hay diferentes tipos de simetriacuteas (en el plano y en el espacio central o axial de diferenshytes ordenes) Para llegar a conocerlas y percibirlas la mejor forma es disfrutarlas y sorprenderse con ellas Eso se hace en Experigoza con dos aparatos con los que se experimenta y se disfruta el caleidoscopio gigante y la maacutequina de volar Ambas estaacuten compuestas por espejos uacutetil cotidiano presente en todas las casas y centros de ensentildeanza que nos proporciona imaacutegenes simeacutetricas de lo que pongamos delante de ellos La combinacioacuten de varios permite ver otras simetriacuteas y reflexionar sobre ellas

Algunas cuestiones para pensar

Los imaacutegenes en los espeshy

jos cambian la izquierda

por la derecha pero no lo

que estaacute arriba por lo que

estaacute abajo iquestCoacutemo podeshy

mos lograr este cambio

Cuando estamos delante de un

espejo si movemos la mano

derecha en nuestra imagen se

mueve la izquierda iquestQueacute

podemos hacer para que en la

imagen se mueva la misma

mano que movemos nosotros

Tambieacuten hay un recorrido de observa

cioacuten

de los edificios y mobiliario urbano

del

Antiguo Matadero donde tiene lugar la

actividad una Ruta Matemaacutetica en la

que se hace mencioacuten especial a la obsershy

vacioacuten de la simetriacutea

PPP P

O OO O

PacutePacute Pacute Pacute

fig 1 fig 2

DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA CENTRAL Una figura plana tiene un centro de simetriacutea O (y se dice que tiene simetriacutea central) cuando al unir un punto cualquiera P de la misma con O y prolongar la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que O es el punto medio de PPrsquo (figura 1) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a O Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a su centro o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto al punto de corte de sus diagonales (figura 2)

r racute DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA AXIAL Una figura plana tiene un eje de simetriacutea r (o se dice que tiene simetriacutea axial) cuando si desde cualquier punto P de la misma trazamos una perpendicular a r y prolongamos la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que r es la perpendicular en el

P Pacute punto medio de PPrsquo (figura 3) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a r Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a cualquiera de sus diaacutemetros o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto a todas sus diagonales y tambieacuten respecto a las rectas que unen los puntos

r medios de sus lados opuestos (figura 4) fig 3 fig 4

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EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

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Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

13

Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

14

MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

17

INTRODUCCIOacuteN

estaacute pensado como un espacio abierto luacutedico e interactivo para la experimentacioacuten y el conocishymiento destinado a proporcionar actividades cientiacuteficas y matemaacuteticas para los alumnos de Primaria y formashycioacuten en esos temas para el profesoradoTrata de proporcionar cuestiones interesantes y atractivas para obtener respuestas parciales y nuevas preguntas por la manipulacioacuten y la praacutectica haciendo ciencia y obteniendo conocishymientos con las manos y con el cerebro

en definitiva procura ser un espacio maacutegico como un laboratorio o un taller de tecnologiacutea donde se potencia la participacioacuten activa se toca se experimenta y se aprende en un ambiente divertido y estimulante En eacutel estaacute presente la magia matemaacutetica y pretende ser una ludoteca en la que por medio del juego y la manipushylacioacuten se ayude a la geacutenesis y consolidacioacuten del conocimiento

Desde hace un tiempo hay un consenso cientiacutefico seguacuten el cual una persona es competente no cuando conoce muchas cosas de memoria sino cuando es capaz de movilizar conocimientos y actitudes para responder a situaciones reales Como es bien conocido que de los alumnos no obtenemos sino lo que pedimos trata de proponer otro tipo de tareas para lograr resultados diferentes aprender en la accioacuten y para la resolushycioacuten de situaciones complejas reales diversas y atractivas

La actividad se ubica fiacutesicamente en el recinto del Antiguo Matadero de Zaragoza cuya utilidad originaria acaboacute hace antildeos y estaacute ahora dedicado a diversas actividades sociales Como es un espacio vallado se tiene la seguridad de que los escolares pueden participar en las actividades sin riesgos algo que no sucederiacutea en calles o plazas de la ciudad

Cada una de las actividades estaacute pensada para el nivel psicoloacutegico y de conocimientos de las edades propuestas aunque en algunos casos puede haber alguna pequentildea diferencia entre los conocimientos matemaacuteticos del curso que estudian y ciertas necesidades del desarrollo de Pero nunca son importantes y ademaacutes hay que pensar que en ella se trata sobre todo de inducir ilusioacuten y ganas de saber mediante la sorpresa y el placer por medio de elementos luacutedicos Cuando se profundicen o desarrollen en el propio centro se podraacuten proporshycionar conocimientos maacutes precisos

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Aunque pueda parecer que no hay relacioacuten entre algunas de las actividades y los conocimientos matemaacuteticos hay que pensar que aquiacute se apela a conocimientos interdisciplinares que hacen referencia a materias diversas y que en todo caso hay conexiones claras y tambieacuten que bastantes de los objetos y actividades que se utilizan tienen aplicaciones diferentes seguacuten la edad o maduracioacuten de los destinatarios estando adaptados en nuestro caso al nivel de los asistentes Se puede hacer posteriormente una utilizacioacuten maacutes personalizada en las aulas puesto que uno de los objetivos fundamentales de es dar instrumentos para realizar una enseshyntildeanza luacutedica y motivadora en las clases de cada diacutea

Asiacute en el Taller de Juegos y en los juegos en gran formato se trata de iniciar o continuar en un ambiente luacutedico la aplicacioacuten de las grandes estrategias de pensamiento y de resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten permanente en los diferentes campos del conocimiento y a lo largo de toda la vida

El Taller de Mosaicos introduce una geometriacutea creativa y trata de mostrar en la praacutectica la importancia de la imaginacioacuten en el quehacer matemaacutetico a la vez que destaca la importancia de las propiedades geomeacutetrishycas como la simetriacutea en la buacutesqueda de la belleza

En el Taller de Medidas se trata de interiorizar que lo maacutes importante es encontrar la medida adecuada a cada una de las necesidades sociales algo que puede conseguirse por diferentes procedimientos asiacute como poner de manifiesto que la intuicioacuten no siempre nos proporciona los resultados reales

El Taller de Ilusiones oacutepticas y Figuras imposibles ademaacutes de sorprender e ilusionar quiere despertar la nocioacuten de la necesidad de las medidas y de los instrumentos geomeacutetricos para comprobar o rechazar las intuiciones o sospechas

Por fin el espectaacuteculo matemaacutetico-teatral ademaacutes de divertir y proporcionar conocimientos y reflexiones matemaacuteticas pretende reforzar los sentimientos positivos hacia las matemaacuteticas presentaacutendolas asociadas a la muacutesica el baile la participacioacuten y el humor Bastante alejadas por tanto de los estereotipos sociales que presentan las matemaacuteticas como algo pesado repetitivo y sin imaginacioacuten

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JUE

GO

S

Empieza por lo faacutecil

Ensayo y error (experimenta)

Hazte un esquema una figura un diagrama

Busca la simetriacutea de la situacioacuten

Escoge un lenguaje adecuado una notacioacuten apropiada

Estudio sistemaacutetico de todos los casos

Busca un problema semejante

Induccioacuten

Empezar por el final (suponer el problema resuelto)

Supongamos que no

IIIEjecucioacuten

del plan

IV Examinar la solucioacuten obtenida

Plan de Polya

IComprender

el problema

IIConcebirun plan

Una de la tareas fundamentales en la ensentildeanza de las matemaacuteticas es la RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS (RP) no solo de simples ejercicios que son aplicacioacuten directa de lo que se acaba de explicar A resolver problemas se puede aprender y es conveniente empezar a hacerlo cuanto antes Polya fue el primer teoacuterico de la RP y da un meacutetodo en cuatro etapas para afrontar la resolucioacuten de un problema

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Las estrategias de RP entran en la etapa II Algunas de las maacutes importantes son Unos problemasque casi no se reconocen como tales permiten de una forma

muy sencilla experimentar la RP LOS JUEGOS DE ESTRATEGIA Huizinga da una definicioacuten de juego muy clarificadora para su utilizacioacuten en la ensentildeanzaldquoJuego es una accioacuten u ocupacioacuten voluntaria que se desarrolla dentro de liacutemites temporales y espaciales determinados seguacuten reglas absolutamente obligashytorias aunque libremente aceptadas accioacuten que tiene un fin en siacute misma y estaacute acompantildeada de un sentimiento de tensioacuten y alegriacuteardquo En un juego se llama Estrashytegia de un jugador a una descripcioacuten completa de la manera en que se deberiacutea comportar el jugador ante cualquier circunstancia posible en cada jugadaY en un juego se llama ESTRATEGIA GANADORA (EG) a una estrategia que lleva al jugador al eacutexito (a ganar la partida) hagan lo que hagan sus adversarios

No todos los juegos tienen EG pero en aquellos en los que la hay su buacutesqueshyda es un problema atractivo que ademaacutes nos permite ganar siempre Otros juegos permiten llevar a una situacioacuten de empate (o tablas) si los dos jugadoshyres juegan bien no gana ninguno de los dos Pero en algunos de esos juegos hay estrategias favorecedoras las que hacen maacutes faacutecil ganar a la menor equivocashycioacuten del contrario

Normalmente se sobrentiende que las situaciones de juego requieren dos personas al menos pero esa misma situacioacuten se da en los juegos solitarios (de una sola persona) en los que el ldquocontrincanterdquo a superar para conseguir el eacutexito son las propias reglas del juego Por eso tambieacuten utilizaremos juegos solitarios en los que hay una tarea que realizar siguiendo unas reglas determinadas de antemano peleando contra un contrincante incorpoacutereo (pero no siempre maacutes asequible) LAS REGLAS DEL JUEGO En los juegos de estrategia hay que buscar el procedimiento para ganar siempre En los individuales solo se tiene que actuar contra las reglas mientras que en los juegos por parejas hay que hacerlo contra el adversario siguiendo unas reglas

Puedes intentar resolver el siguiente juego individual COLOCACION DIFICIL

Situar los nueve primeros nuacutemeros naturales en las nueve casillas de forma que los tres productos sean iguales

x x= x=

Los juegos se suelen considerar poco importantes cosas de nintildeos con poca cabida en la escuela al menos en clase de matemaacuteticas y menos cuando la edad del alumnado aumenta Pero hay muchas razones que invitan a utilizarlos En primer lugar como comenta el poeta alemaacuten Heine ldquoaquellos que se toman el juego como un simple juego y el trabajo con excesiva seriedad no han comprendido mucho ni de uno ni de otrordquo

Las relaciones entre los juegos y las matemaacuteticas no solo se dan en el comienzo de las mismas sino que hay ramas enteras de las matemaacuteticas que tienen su origen en la actividad luacutedica Hay tres casos significativos y bien conocidos la Teoriacutea de Nuacutemeshyros la Teoriacutea de Probabilidashydes y la Teoriacutea de GrafosY es reciente la Teoriacutea de Juegos con aplicaciones en muchas ramas del conocimiento como la Economiacutea y la Poliacutetica ademaacutes del aacutembito militar

Huizinga dice que ldquoel auteacutentico el puro juego es una de las principales

bases de la civilizacioacutenrdquo y antildeade Argemiacute ldquoson las conductas luacutedicas

las que generan la culturardquo Como sentildeala Bishop todas las culturas

juegan y lo que es maacutes importante iexcltoman sus juegos muy en serio

Por eso es esencial no tratar el juego como un aspecto relativamente

poco importante de la vida cultural Dentro del conjunto de los

juegos los que siguen una reglas predeterminadas parecen estar en la

base del inicio y del desarrollo de las matemaacuteticas ldquolos juegos son

valorados por los matemaacuteticos porque el comportamiento siguiendo

unas reglas es como las matemaacuteticas en siacute mismas No es demasiado

difiacutecil imaginar que los criterios siguiendo unas reglas de las matemaacuteti-

cas se han desarrollado a partir de los placeres y las satisfacciones del

comportamiento de los juegos de reglasrdquo luego son una buena manera

de entrenarse en matemaacuteticas8

-

-

-

Todos los grandes juegos que se extienden en el tiempo y en el espacio son modelos de situaciones atractivas que han arraigado en la conciencia social Los juegos de baraja de las cuales la espantildeola es la gran aportacioacuten hispaacutenica al gran universo de los juegos son modelizacioacuten de una situacioacuten real Los cuatro palos son una estilizacioacuten de los estamentos medievales el de oros representa la burguesiacutea el de copas al clero las espadas a la nobleza y los bastos a los campesinos

Las barajas sajonas tambieacuten son un modelo de la realidad en este caso del transcurrir de un antildeo Asiacute hay cuatro palos tantos como estaciones en cada uno hay 13 cartas luego en total 52 tantas como semanas en un antildeo los nuacutemeros en cada palo suman 91 (1+2+3++13) que multiplicado por 4 son 364 maacutes una del comodiacuten tenemos los diacuteas del antildeo

En los juegos de cartas a pesar de gozar de bastante mala fama hay muchos aspectos matemaacuteticos En las diferentes modalidades de juegos de cartas hay uno o varios de los siguientes aspectos

Caacutelculo de probabilidades Consustancial a todos los juegos con apuesshytas como el poker Un buen ejercicio es calcular la dificultad de obtener una jugada y poder compararla con la valoracioacuten que se le da si un poker gana a un full debe ser que esta jugada es maacutes probable que la primera

Recuentos de posibilidades Cuando hay que prever todas las posibilidashydes que se puedan presentar en un juego en funcioacuten de nuestras cartas y las posibles distribuciones entre el resto de jugadores Es lo que pasa en el tute subastado en el que uno o varios de los tres jugadores dicen cuaacutentos puntos van a hacer y juega quien maacutes oferta contra los otros dos

Clasificaciones Clasificar es una tarea central del conocimiento En los juegos de cartas en que hay que ligar como el rabino o el chinchoacuten se trata de hacer clasificaciones conocida la ley o relacioacuten de equivalencia que tenemos que aplicar

Ordenaciones Es una tarea habitual en casi todos los juegos de cartas y objeto especiacutefico de algunos como el cinquilloTambieacuten para algunas jugadas de los juegos tipo poker (escaleras y orden de prioridad de jugadas)

Operaciones aritmeacuteticas En casi todos los juegos habituales de cartas hay que sumar restar o multiplicar para saber quien gana en cada partida para llevar las cuentas de triunfadores parciales o finales

En cuanto a procedimientos que se aplican habitual mente en los juegos de cartas y que lo son tambieacuten en la RP destacamos dos

Suponer el problema resuelto o empezar por el final Se hace con frecuencia jugando a cartas pero que es imprescindible en el subastado si se quieren contar bien los puntos que se pueden obtener (para lo cual hay que ir descontando los que se pueden perder del total posible)

Resolver problemas parciales Por ejemplo en todos los juegos en que hay que hacer determi nadas jugadas (en los que se liga) En el chinchoacuten o en el rabino en algunos momentos la preocupacioacuten es no sobrepasar un nuacutemero de puntos (con el que se pierde la partida) y una vez conseguido ese obje tivo se puede intentar ganar

9

Los humanos somos simeacutetricos de forma aproximada seguramente por eso son simeacutetricos buena parte de los utensilios que manejamos asiacute como las casas en que habitamos y los disentildeos que nos rodeanY tambieacuten la simetriacutea se utiliza de forma generalizada en el arte con una especial presencia en un arte tan aragoneacutes como el mudeacutejar

10

SIM

ET

RIacuteA

Hay diferentes tipos de simetriacuteas (en el plano y en el espacio central o axial de diferenshytes ordenes) Para llegar a conocerlas y percibirlas la mejor forma es disfrutarlas y sorprenderse con ellas Eso se hace en Experigoza con dos aparatos con los que se experimenta y se disfruta el caleidoscopio gigante y la maacutequina de volar Ambas estaacuten compuestas por espejos uacutetil cotidiano presente en todas las casas y centros de ensentildeanza que nos proporciona imaacutegenes simeacutetricas de lo que pongamos delante de ellos La combinacioacuten de varios permite ver otras simetriacuteas y reflexionar sobre ellas

Algunas cuestiones para pensar

Los imaacutegenes en los espeshy

jos cambian la izquierda

por la derecha pero no lo

que estaacute arriba por lo que

estaacute abajo iquestCoacutemo podeshy

mos lograr este cambio

Cuando estamos delante de un

espejo si movemos la mano

derecha en nuestra imagen se

mueve la izquierda iquestQueacute

podemos hacer para que en la

imagen se mueva la misma

mano que movemos nosotros

Tambieacuten hay un recorrido de observa

cioacuten

de los edificios y mobiliario urbano

del

Antiguo Matadero donde tiene lugar la

actividad una Ruta Matemaacutetica en la

que se hace mencioacuten especial a la obsershy

vacioacuten de la simetriacutea

PPP P

O OO O

PacutePacute Pacute Pacute

fig 1 fig 2

DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA CENTRAL Una figura plana tiene un centro de simetriacutea O (y se dice que tiene simetriacutea central) cuando al unir un punto cualquiera P de la misma con O y prolongar la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que O es el punto medio de PPrsquo (figura 1) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a O Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a su centro o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto al punto de corte de sus diagonales (figura 2)

r racute DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA AXIAL Una figura plana tiene un eje de simetriacutea r (o se dice que tiene simetriacutea axial) cuando si desde cualquier punto P de la misma trazamos una perpendicular a r y prolongamos la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que r es la perpendicular en el

P Pacute punto medio de PPrsquo (figura 3) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a r Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a cualquiera de sus diaacutemetros o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto a todas sus diagonales y tambieacuten respecto a las rectas que unen los puntos

r medios de sus lados opuestos (figura 4) fig 3 fig 4

11

EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

12

Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

13

Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

14

MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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Aunque pueda parecer que no hay relacioacuten entre algunas de las actividades y los conocimientos matemaacuteticos hay que pensar que aquiacute se apela a conocimientos interdisciplinares que hacen referencia a materias diversas y que en todo caso hay conexiones claras y tambieacuten que bastantes de los objetos y actividades que se utilizan tienen aplicaciones diferentes seguacuten la edad o maduracioacuten de los destinatarios estando adaptados en nuestro caso al nivel de los asistentes Se puede hacer posteriormente una utilizacioacuten maacutes personalizada en las aulas puesto que uno de los objetivos fundamentales de es dar instrumentos para realizar una enseshyntildeanza luacutedica y motivadora en las clases de cada diacutea

Asiacute en el Taller de Juegos y en los juegos en gran formato se trata de iniciar o continuar en un ambiente luacutedico la aplicacioacuten de las grandes estrategias de pensamiento y de resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten permanente en los diferentes campos del conocimiento y a lo largo de toda la vida

El Taller de Mosaicos introduce una geometriacutea creativa y trata de mostrar en la praacutectica la importancia de la imaginacioacuten en el quehacer matemaacutetico a la vez que destaca la importancia de las propiedades geomeacutetrishycas como la simetriacutea en la buacutesqueda de la belleza

En el Taller de Medidas se trata de interiorizar que lo maacutes importante es encontrar la medida adecuada a cada una de las necesidades sociales algo que puede conseguirse por diferentes procedimientos asiacute como poner de manifiesto que la intuicioacuten no siempre nos proporciona los resultados reales

El Taller de Ilusiones oacutepticas y Figuras imposibles ademaacutes de sorprender e ilusionar quiere despertar la nocioacuten de la necesidad de las medidas y de los instrumentos geomeacutetricos para comprobar o rechazar las intuiciones o sospechas

Por fin el espectaacuteculo matemaacutetico-teatral ademaacutes de divertir y proporcionar conocimientos y reflexiones matemaacuteticas pretende reforzar los sentimientos positivos hacia las matemaacuteticas presentaacutendolas asociadas a la muacutesica el baile la participacioacuten y el humor Bastante alejadas por tanto de los estereotipos sociales que presentan las matemaacuteticas como algo pesado repetitivo y sin imaginacioacuten

6

JUE

GO

S

Empieza por lo faacutecil

Ensayo y error (experimenta)

Hazte un esquema una figura un diagrama

Busca la simetriacutea de la situacioacuten

Escoge un lenguaje adecuado una notacioacuten apropiada

Estudio sistemaacutetico de todos los casos

Busca un problema semejante

Induccioacuten

Empezar por el final (suponer el problema resuelto)

Supongamos que no

IIIEjecucioacuten

del plan

IV Examinar la solucioacuten obtenida

Plan de Polya

IComprender

el problema

IIConcebirun plan

Una de la tareas fundamentales en la ensentildeanza de las matemaacuteticas es la RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS (RP) no solo de simples ejercicios que son aplicacioacuten directa de lo que se acaba de explicar A resolver problemas se puede aprender y es conveniente empezar a hacerlo cuanto antes Polya fue el primer teoacuterico de la RP y da un meacutetodo en cuatro etapas para afrontar la resolucioacuten de un problema

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Las estrategias de RP entran en la etapa II Algunas de las maacutes importantes son Unos problemasque casi no se reconocen como tales permiten de una forma

muy sencilla experimentar la RP LOS JUEGOS DE ESTRATEGIA Huizinga da una definicioacuten de juego muy clarificadora para su utilizacioacuten en la ensentildeanzaldquoJuego es una accioacuten u ocupacioacuten voluntaria que se desarrolla dentro de liacutemites temporales y espaciales determinados seguacuten reglas absolutamente obligashytorias aunque libremente aceptadas accioacuten que tiene un fin en siacute misma y estaacute acompantildeada de un sentimiento de tensioacuten y alegriacuteardquo En un juego se llama Estrashytegia de un jugador a una descripcioacuten completa de la manera en que se deberiacutea comportar el jugador ante cualquier circunstancia posible en cada jugadaY en un juego se llama ESTRATEGIA GANADORA (EG) a una estrategia que lleva al jugador al eacutexito (a ganar la partida) hagan lo que hagan sus adversarios

No todos los juegos tienen EG pero en aquellos en los que la hay su buacutesqueshyda es un problema atractivo que ademaacutes nos permite ganar siempre Otros juegos permiten llevar a una situacioacuten de empate (o tablas) si los dos jugadoshyres juegan bien no gana ninguno de los dos Pero en algunos de esos juegos hay estrategias favorecedoras las que hacen maacutes faacutecil ganar a la menor equivocashycioacuten del contrario

Normalmente se sobrentiende que las situaciones de juego requieren dos personas al menos pero esa misma situacioacuten se da en los juegos solitarios (de una sola persona) en los que el ldquocontrincanterdquo a superar para conseguir el eacutexito son las propias reglas del juego Por eso tambieacuten utilizaremos juegos solitarios en los que hay una tarea que realizar siguiendo unas reglas determinadas de antemano peleando contra un contrincante incorpoacutereo (pero no siempre maacutes asequible) LAS REGLAS DEL JUEGO En los juegos de estrategia hay que buscar el procedimiento para ganar siempre En los individuales solo se tiene que actuar contra las reglas mientras que en los juegos por parejas hay que hacerlo contra el adversario siguiendo unas reglas

Puedes intentar resolver el siguiente juego individual COLOCACION DIFICIL

Situar los nueve primeros nuacutemeros naturales en las nueve casillas de forma que los tres productos sean iguales

x x= x=

Los juegos se suelen considerar poco importantes cosas de nintildeos con poca cabida en la escuela al menos en clase de matemaacuteticas y menos cuando la edad del alumnado aumenta Pero hay muchas razones que invitan a utilizarlos En primer lugar como comenta el poeta alemaacuten Heine ldquoaquellos que se toman el juego como un simple juego y el trabajo con excesiva seriedad no han comprendido mucho ni de uno ni de otrordquo

Las relaciones entre los juegos y las matemaacuteticas no solo se dan en el comienzo de las mismas sino que hay ramas enteras de las matemaacuteticas que tienen su origen en la actividad luacutedica Hay tres casos significativos y bien conocidos la Teoriacutea de Nuacutemeshyros la Teoriacutea de Probabilidashydes y la Teoriacutea de GrafosY es reciente la Teoriacutea de Juegos con aplicaciones en muchas ramas del conocimiento como la Economiacutea y la Poliacutetica ademaacutes del aacutembito militar

Huizinga dice que ldquoel auteacutentico el puro juego es una de las principales

bases de la civilizacioacutenrdquo y antildeade Argemiacute ldquoson las conductas luacutedicas

las que generan la culturardquo Como sentildeala Bishop todas las culturas

juegan y lo que es maacutes importante iexcltoman sus juegos muy en serio

Por eso es esencial no tratar el juego como un aspecto relativamente

poco importante de la vida cultural Dentro del conjunto de los

juegos los que siguen una reglas predeterminadas parecen estar en la

base del inicio y del desarrollo de las matemaacuteticas ldquolos juegos son

valorados por los matemaacuteticos porque el comportamiento siguiendo

unas reglas es como las matemaacuteticas en siacute mismas No es demasiado

difiacutecil imaginar que los criterios siguiendo unas reglas de las matemaacuteti-

cas se han desarrollado a partir de los placeres y las satisfacciones del

comportamiento de los juegos de reglasrdquo luego son una buena manera

de entrenarse en matemaacuteticas8

-

-

-

Todos los grandes juegos que se extienden en el tiempo y en el espacio son modelos de situaciones atractivas que han arraigado en la conciencia social Los juegos de baraja de las cuales la espantildeola es la gran aportacioacuten hispaacutenica al gran universo de los juegos son modelizacioacuten de una situacioacuten real Los cuatro palos son una estilizacioacuten de los estamentos medievales el de oros representa la burguesiacutea el de copas al clero las espadas a la nobleza y los bastos a los campesinos

Las barajas sajonas tambieacuten son un modelo de la realidad en este caso del transcurrir de un antildeo Asiacute hay cuatro palos tantos como estaciones en cada uno hay 13 cartas luego en total 52 tantas como semanas en un antildeo los nuacutemeros en cada palo suman 91 (1+2+3++13) que multiplicado por 4 son 364 maacutes una del comodiacuten tenemos los diacuteas del antildeo

En los juegos de cartas a pesar de gozar de bastante mala fama hay muchos aspectos matemaacuteticos En las diferentes modalidades de juegos de cartas hay uno o varios de los siguientes aspectos

Caacutelculo de probabilidades Consustancial a todos los juegos con apuesshytas como el poker Un buen ejercicio es calcular la dificultad de obtener una jugada y poder compararla con la valoracioacuten que se le da si un poker gana a un full debe ser que esta jugada es maacutes probable que la primera

Recuentos de posibilidades Cuando hay que prever todas las posibilidashydes que se puedan presentar en un juego en funcioacuten de nuestras cartas y las posibles distribuciones entre el resto de jugadores Es lo que pasa en el tute subastado en el que uno o varios de los tres jugadores dicen cuaacutentos puntos van a hacer y juega quien maacutes oferta contra los otros dos

Clasificaciones Clasificar es una tarea central del conocimiento En los juegos de cartas en que hay que ligar como el rabino o el chinchoacuten se trata de hacer clasificaciones conocida la ley o relacioacuten de equivalencia que tenemos que aplicar

Ordenaciones Es una tarea habitual en casi todos los juegos de cartas y objeto especiacutefico de algunos como el cinquilloTambieacuten para algunas jugadas de los juegos tipo poker (escaleras y orden de prioridad de jugadas)

Operaciones aritmeacuteticas En casi todos los juegos habituales de cartas hay que sumar restar o multiplicar para saber quien gana en cada partida para llevar las cuentas de triunfadores parciales o finales

En cuanto a procedimientos que se aplican habitual mente en los juegos de cartas y que lo son tambieacuten en la RP destacamos dos

Suponer el problema resuelto o empezar por el final Se hace con frecuencia jugando a cartas pero que es imprescindible en el subastado si se quieren contar bien los puntos que se pueden obtener (para lo cual hay que ir descontando los que se pueden perder del total posible)

Resolver problemas parciales Por ejemplo en todos los juegos en que hay que hacer determi nadas jugadas (en los que se liga) En el chinchoacuten o en el rabino en algunos momentos la preocupacioacuten es no sobrepasar un nuacutemero de puntos (con el que se pierde la partida) y una vez conseguido ese obje tivo se puede intentar ganar

9

Los humanos somos simeacutetricos de forma aproximada seguramente por eso son simeacutetricos buena parte de los utensilios que manejamos asiacute como las casas en que habitamos y los disentildeos que nos rodeanY tambieacuten la simetriacutea se utiliza de forma generalizada en el arte con una especial presencia en un arte tan aragoneacutes como el mudeacutejar

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SIM

ET

RIacuteA

Hay diferentes tipos de simetriacuteas (en el plano y en el espacio central o axial de diferenshytes ordenes) Para llegar a conocerlas y percibirlas la mejor forma es disfrutarlas y sorprenderse con ellas Eso se hace en Experigoza con dos aparatos con los que se experimenta y se disfruta el caleidoscopio gigante y la maacutequina de volar Ambas estaacuten compuestas por espejos uacutetil cotidiano presente en todas las casas y centros de ensentildeanza que nos proporciona imaacutegenes simeacutetricas de lo que pongamos delante de ellos La combinacioacuten de varios permite ver otras simetriacuteas y reflexionar sobre ellas

Algunas cuestiones para pensar

Los imaacutegenes en los espeshy

jos cambian la izquierda

por la derecha pero no lo

que estaacute arriba por lo que

estaacute abajo iquestCoacutemo podeshy

mos lograr este cambio

Cuando estamos delante de un

espejo si movemos la mano

derecha en nuestra imagen se

mueve la izquierda iquestQueacute

podemos hacer para que en la

imagen se mueva la misma

mano que movemos nosotros

Tambieacuten hay un recorrido de observa

cioacuten

de los edificios y mobiliario urbano

del

Antiguo Matadero donde tiene lugar la

actividad una Ruta Matemaacutetica en la

que se hace mencioacuten especial a la obsershy

vacioacuten de la simetriacutea

PPP P

O OO O

PacutePacute Pacute Pacute

fig 1 fig 2

DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA CENTRAL Una figura plana tiene un centro de simetriacutea O (y se dice que tiene simetriacutea central) cuando al unir un punto cualquiera P de la misma con O y prolongar la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que O es el punto medio de PPrsquo (figura 1) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a O Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a su centro o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto al punto de corte de sus diagonales (figura 2)

r racute DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA AXIAL Una figura plana tiene un eje de simetriacutea r (o se dice que tiene simetriacutea axial) cuando si desde cualquier punto P de la misma trazamos una perpendicular a r y prolongamos la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que r es la perpendicular en el

P Pacute punto medio de PPrsquo (figura 3) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a r Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a cualquiera de sus diaacutemetros o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto a todas sus diagonales y tambieacuten respecto a las rectas que unen los puntos

r medios de sus lados opuestos (figura 4) fig 3 fig 4

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EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

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Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

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Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

14

MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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JUE

GO

S

Empieza por lo faacutecil

Ensayo y error (experimenta)

Hazte un esquema una figura un diagrama

Busca la simetriacutea de la situacioacuten

Escoge un lenguaje adecuado una notacioacuten apropiada

Estudio sistemaacutetico de todos los casos

Busca un problema semejante

Induccioacuten

Empezar por el final (suponer el problema resuelto)

Supongamos que no

IIIEjecucioacuten

del plan

IV Examinar la solucioacuten obtenida

Plan de Polya

IComprender

el problema

IIConcebirun plan

Una de la tareas fundamentales en la ensentildeanza de las matemaacuteticas es la RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS (RP) no solo de simples ejercicios que son aplicacioacuten directa de lo que se acaba de explicar A resolver problemas se puede aprender y es conveniente empezar a hacerlo cuanto antes Polya fue el primer teoacuterico de la RP y da un meacutetodo en cuatro etapas para afrontar la resolucioacuten de un problema

7

Las estrategias de RP entran en la etapa II Algunas de las maacutes importantes son Unos problemasque casi no se reconocen como tales permiten de una forma

muy sencilla experimentar la RP LOS JUEGOS DE ESTRATEGIA Huizinga da una definicioacuten de juego muy clarificadora para su utilizacioacuten en la ensentildeanzaldquoJuego es una accioacuten u ocupacioacuten voluntaria que se desarrolla dentro de liacutemites temporales y espaciales determinados seguacuten reglas absolutamente obligashytorias aunque libremente aceptadas accioacuten que tiene un fin en siacute misma y estaacute acompantildeada de un sentimiento de tensioacuten y alegriacuteardquo En un juego se llama Estrashytegia de un jugador a una descripcioacuten completa de la manera en que se deberiacutea comportar el jugador ante cualquier circunstancia posible en cada jugadaY en un juego se llama ESTRATEGIA GANADORA (EG) a una estrategia que lleva al jugador al eacutexito (a ganar la partida) hagan lo que hagan sus adversarios

No todos los juegos tienen EG pero en aquellos en los que la hay su buacutesqueshyda es un problema atractivo que ademaacutes nos permite ganar siempre Otros juegos permiten llevar a una situacioacuten de empate (o tablas) si los dos jugadoshyres juegan bien no gana ninguno de los dos Pero en algunos de esos juegos hay estrategias favorecedoras las que hacen maacutes faacutecil ganar a la menor equivocashycioacuten del contrario

Normalmente se sobrentiende que las situaciones de juego requieren dos personas al menos pero esa misma situacioacuten se da en los juegos solitarios (de una sola persona) en los que el ldquocontrincanterdquo a superar para conseguir el eacutexito son las propias reglas del juego Por eso tambieacuten utilizaremos juegos solitarios en los que hay una tarea que realizar siguiendo unas reglas determinadas de antemano peleando contra un contrincante incorpoacutereo (pero no siempre maacutes asequible) LAS REGLAS DEL JUEGO En los juegos de estrategia hay que buscar el procedimiento para ganar siempre En los individuales solo se tiene que actuar contra las reglas mientras que en los juegos por parejas hay que hacerlo contra el adversario siguiendo unas reglas

Puedes intentar resolver el siguiente juego individual COLOCACION DIFICIL

Situar los nueve primeros nuacutemeros naturales en las nueve casillas de forma que los tres productos sean iguales

x x= x=

Los juegos se suelen considerar poco importantes cosas de nintildeos con poca cabida en la escuela al menos en clase de matemaacuteticas y menos cuando la edad del alumnado aumenta Pero hay muchas razones que invitan a utilizarlos En primer lugar como comenta el poeta alemaacuten Heine ldquoaquellos que se toman el juego como un simple juego y el trabajo con excesiva seriedad no han comprendido mucho ni de uno ni de otrordquo

Las relaciones entre los juegos y las matemaacuteticas no solo se dan en el comienzo de las mismas sino que hay ramas enteras de las matemaacuteticas que tienen su origen en la actividad luacutedica Hay tres casos significativos y bien conocidos la Teoriacutea de Nuacutemeshyros la Teoriacutea de Probabilidashydes y la Teoriacutea de GrafosY es reciente la Teoriacutea de Juegos con aplicaciones en muchas ramas del conocimiento como la Economiacutea y la Poliacutetica ademaacutes del aacutembito militar

Huizinga dice que ldquoel auteacutentico el puro juego es una de las principales

bases de la civilizacioacutenrdquo y antildeade Argemiacute ldquoson las conductas luacutedicas

las que generan la culturardquo Como sentildeala Bishop todas las culturas

juegan y lo que es maacutes importante iexcltoman sus juegos muy en serio

Por eso es esencial no tratar el juego como un aspecto relativamente

poco importante de la vida cultural Dentro del conjunto de los

juegos los que siguen una reglas predeterminadas parecen estar en la

base del inicio y del desarrollo de las matemaacuteticas ldquolos juegos son

valorados por los matemaacuteticos porque el comportamiento siguiendo

unas reglas es como las matemaacuteticas en siacute mismas No es demasiado

difiacutecil imaginar que los criterios siguiendo unas reglas de las matemaacuteti-

cas se han desarrollado a partir de los placeres y las satisfacciones del

comportamiento de los juegos de reglasrdquo luego son una buena manera

de entrenarse en matemaacuteticas8

-

-

-

Todos los grandes juegos que se extienden en el tiempo y en el espacio son modelos de situaciones atractivas que han arraigado en la conciencia social Los juegos de baraja de las cuales la espantildeola es la gran aportacioacuten hispaacutenica al gran universo de los juegos son modelizacioacuten de una situacioacuten real Los cuatro palos son una estilizacioacuten de los estamentos medievales el de oros representa la burguesiacutea el de copas al clero las espadas a la nobleza y los bastos a los campesinos

Las barajas sajonas tambieacuten son un modelo de la realidad en este caso del transcurrir de un antildeo Asiacute hay cuatro palos tantos como estaciones en cada uno hay 13 cartas luego en total 52 tantas como semanas en un antildeo los nuacutemeros en cada palo suman 91 (1+2+3++13) que multiplicado por 4 son 364 maacutes una del comodiacuten tenemos los diacuteas del antildeo

En los juegos de cartas a pesar de gozar de bastante mala fama hay muchos aspectos matemaacuteticos En las diferentes modalidades de juegos de cartas hay uno o varios de los siguientes aspectos

Caacutelculo de probabilidades Consustancial a todos los juegos con apuesshytas como el poker Un buen ejercicio es calcular la dificultad de obtener una jugada y poder compararla con la valoracioacuten que se le da si un poker gana a un full debe ser que esta jugada es maacutes probable que la primera

Recuentos de posibilidades Cuando hay que prever todas las posibilidashydes que se puedan presentar en un juego en funcioacuten de nuestras cartas y las posibles distribuciones entre el resto de jugadores Es lo que pasa en el tute subastado en el que uno o varios de los tres jugadores dicen cuaacutentos puntos van a hacer y juega quien maacutes oferta contra los otros dos

Clasificaciones Clasificar es una tarea central del conocimiento En los juegos de cartas en que hay que ligar como el rabino o el chinchoacuten se trata de hacer clasificaciones conocida la ley o relacioacuten de equivalencia que tenemos que aplicar

Ordenaciones Es una tarea habitual en casi todos los juegos de cartas y objeto especiacutefico de algunos como el cinquilloTambieacuten para algunas jugadas de los juegos tipo poker (escaleras y orden de prioridad de jugadas)

Operaciones aritmeacuteticas En casi todos los juegos habituales de cartas hay que sumar restar o multiplicar para saber quien gana en cada partida para llevar las cuentas de triunfadores parciales o finales

En cuanto a procedimientos que se aplican habitual mente en los juegos de cartas y que lo son tambieacuten en la RP destacamos dos

Suponer el problema resuelto o empezar por el final Se hace con frecuencia jugando a cartas pero que es imprescindible en el subastado si se quieren contar bien los puntos que se pueden obtener (para lo cual hay que ir descontando los que se pueden perder del total posible)

Resolver problemas parciales Por ejemplo en todos los juegos en que hay que hacer determi nadas jugadas (en los que se liga) En el chinchoacuten o en el rabino en algunos momentos la preocupacioacuten es no sobrepasar un nuacutemero de puntos (con el que se pierde la partida) y una vez conseguido ese obje tivo se puede intentar ganar

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Los humanos somos simeacutetricos de forma aproximada seguramente por eso son simeacutetricos buena parte de los utensilios que manejamos asiacute como las casas en que habitamos y los disentildeos que nos rodeanY tambieacuten la simetriacutea se utiliza de forma generalizada en el arte con una especial presencia en un arte tan aragoneacutes como el mudeacutejar

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SIM

ET

RIacuteA

Hay diferentes tipos de simetriacuteas (en el plano y en el espacio central o axial de diferenshytes ordenes) Para llegar a conocerlas y percibirlas la mejor forma es disfrutarlas y sorprenderse con ellas Eso se hace en Experigoza con dos aparatos con los que se experimenta y se disfruta el caleidoscopio gigante y la maacutequina de volar Ambas estaacuten compuestas por espejos uacutetil cotidiano presente en todas las casas y centros de ensentildeanza que nos proporciona imaacutegenes simeacutetricas de lo que pongamos delante de ellos La combinacioacuten de varios permite ver otras simetriacuteas y reflexionar sobre ellas

Algunas cuestiones para pensar

Los imaacutegenes en los espeshy

jos cambian la izquierda

por la derecha pero no lo

que estaacute arriba por lo que

estaacute abajo iquestCoacutemo podeshy

mos lograr este cambio

Cuando estamos delante de un

espejo si movemos la mano

derecha en nuestra imagen se

mueve la izquierda iquestQueacute

podemos hacer para que en la

imagen se mueva la misma

mano que movemos nosotros

Tambieacuten hay un recorrido de observa

cioacuten

de los edificios y mobiliario urbano

del

Antiguo Matadero donde tiene lugar la

actividad una Ruta Matemaacutetica en la

que se hace mencioacuten especial a la obsershy

vacioacuten de la simetriacutea

PPP P

O OO O

PacutePacute Pacute Pacute

fig 1 fig 2

DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA CENTRAL Una figura plana tiene un centro de simetriacutea O (y se dice que tiene simetriacutea central) cuando al unir un punto cualquiera P de la misma con O y prolongar la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que O es el punto medio de PPrsquo (figura 1) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a O Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a su centro o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto al punto de corte de sus diagonales (figura 2)

r racute DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA AXIAL Una figura plana tiene un eje de simetriacutea r (o se dice que tiene simetriacutea axial) cuando si desde cualquier punto P de la misma trazamos una perpendicular a r y prolongamos la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que r es la perpendicular en el

P Pacute punto medio de PPrsquo (figura 3) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a r Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a cualquiera de sus diaacutemetros o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto a todas sus diagonales y tambieacuten respecto a las rectas que unen los puntos

r medios de sus lados opuestos (figura 4) fig 3 fig 4

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EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

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Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

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Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

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MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

15

Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

16

Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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Normalmente se sobrentiende que las situaciones de juego requieren dos personas al menos pero esa misma situacioacuten se da en los juegos solitarios (de una sola persona) en los que el ldquocontrincanterdquo a superar para conseguir el eacutexito son las propias reglas del juego Por eso tambieacuten utilizaremos juegos solitarios en los que hay una tarea que realizar siguiendo unas reglas determinadas de antemano peleando contra un contrincante incorpoacutereo (pero no siempre maacutes asequible) LAS REGLAS DEL JUEGO En los juegos de estrategia hay que buscar el procedimiento para ganar siempre En los individuales solo se tiene que actuar contra las reglas mientras que en los juegos por parejas hay que hacerlo contra el adversario siguiendo unas reglas

Puedes intentar resolver el siguiente juego individual COLOCACION DIFICIL

Situar los nueve primeros nuacutemeros naturales en las nueve casillas de forma que los tres productos sean iguales

x x= x=

Los juegos se suelen considerar poco importantes cosas de nintildeos con poca cabida en la escuela al menos en clase de matemaacuteticas y menos cuando la edad del alumnado aumenta Pero hay muchas razones que invitan a utilizarlos En primer lugar como comenta el poeta alemaacuten Heine ldquoaquellos que se toman el juego como un simple juego y el trabajo con excesiva seriedad no han comprendido mucho ni de uno ni de otrordquo

Las relaciones entre los juegos y las matemaacuteticas no solo se dan en el comienzo de las mismas sino que hay ramas enteras de las matemaacuteticas que tienen su origen en la actividad luacutedica Hay tres casos significativos y bien conocidos la Teoriacutea de Nuacutemeshyros la Teoriacutea de Probabilidashydes y la Teoriacutea de GrafosY es reciente la Teoriacutea de Juegos con aplicaciones en muchas ramas del conocimiento como la Economiacutea y la Poliacutetica ademaacutes del aacutembito militar

Huizinga dice que ldquoel auteacutentico el puro juego es una de las principales

bases de la civilizacioacutenrdquo y antildeade Argemiacute ldquoson las conductas luacutedicas

las que generan la culturardquo Como sentildeala Bishop todas las culturas

juegan y lo que es maacutes importante iexcltoman sus juegos muy en serio

Por eso es esencial no tratar el juego como un aspecto relativamente

poco importante de la vida cultural Dentro del conjunto de los

juegos los que siguen una reglas predeterminadas parecen estar en la

base del inicio y del desarrollo de las matemaacuteticas ldquolos juegos son

valorados por los matemaacuteticos porque el comportamiento siguiendo

unas reglas es como las matemaacuteticas en siacute mismas No es demasiado

difiacutecil imaginar que los criterios siguiendo unas reglas de las matemaacuteti-

cas se han desarrollado a partir de los placeres y las satisfacciones del

comportamiento de los juegos de reglasrdquo luego son una buena manera

de entrenarse en matemaacuteticas8

-

-

-

Todos los grandes juegos que se extienden en el tiempo y en el espacio son modelos de situaciones atractivas que han arraigado en la conciencia social Los juegos de baraja de las cuales la espantildeola es la gran aportacioacuten hispaacutenica al gran universo de los juegos son modelizacioacuten de una situacioacuten real Los cuatro palos son una estilizacioacuten de los estamentos medievales el de oros representa la burguesiacutea el de copas al clero las espadas a la nobleza y los bastos a los campesinos

Las barajas sajonas tambieacuten son un modelo de la realidad en este caso del transcurrir de un antildeo Asiacute hay cuatro palos tantos como estaciones en cada uno hay 13 cartas luego en total 52 tantas como semanas en un antildeo los nuacutemeros en cada palo suman 91 (1+2+3++13) que multiplicado por 4 son 364 maacutes una del comodiacuten tenemos los diacuteas del antildeo

En los juegos de cartas a pesar de gozar de bastante mala fama hay muchos aspectos matemaacuteticos En las diferentes modalidades de juegos de cartas hay uno o varios de los siguientes aspectos

Caacutelculo de probabilidades Consustancial a todos los juegos con apuesshytas como el poker Un buen ejercicio es calcular la dificultad de obtener una jugada y poder compararla con la valoracioacuten que se le da si un poker gana a un full debe ser que esta jugada es maacutes probable que la primera

Recuentos de posibilidades Cuando hay que prever todas las posibilidashydes que se puedan presentar en un juego en funcioacuten de nuestras cartas y las posibles distribuciones entre el resto de jugadores Es lo que pasa en el tute subastado en el que uno o varios de los tres jugadores dicen cuaacutentos puntos van a hacer y juega quien maacutes oferta contra los otros dos

Clasificaciones Clasificar es una tarea central del conocimiento En los juegos de cartas en que hay que ligar como el rabino o el chinchoacuten se trata de hacer clasificaciones conocida la ley o relacioacuten de equivalencia que tenemos que aplicar

Ordenaciones Es una tarea habitual en casi todos los juegos de cartas y objeto especiacutefico de algunos como el cinquilloTambieacuten para algunas jugadas de los juegos tipo poker (escaleras y orden de prioridad de jugadas)

Operaciones aritmeacuteticas En casi todos los juegos habituales de cartas hay que sumar restar o multiplicar para saber quien gana en cada partida para llevar las cuentas de triunfadores parciales o finales

En cuanto a procedimientos que se aplican habitual mente en los juegos de cartas y que lo son tambieacuten en la RP destacamos dos

Suponer el problema resuelto o empezar por el final Se hace con frecuencia jugando a cartas pero que es imprescindible en el subastado si se quieren contar bien los puntos que se pueden obtener (para lo cual hay que ir descontando los que se pueden perder del total posible)

Resolver problemas parciales Por ejemplo en todos los juegos en que hay que hacer determi nadas jugadas (en los que se liga) En el chinchoacuten o en el rabino en algunos momentos la preocupacioacuten es no sobrepasar un nuacutemero de puntos (con el que se pierde la partida) y una vez conseguido ese obje tivo se puede intentar ganar

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Los humanos somos simeacutetricos de forma aproximada seguramente por eso son simeacutetricos buena parte de los utensilios que manejamos asiacute como las casas en que habitamos y los disentildeos que nos rodeanY tambieacuten la simetriacutea se utiliza de forma generalizada en el arte con una especial presencia en un arte tan aragoneacutes como el mudeacutejar

10

SIM

ET

RIacuteA

Hay diferentes tipos de simetriacuteas (en el plano y en el espacio central o axial de diferenshytes ordenes) Para llegar a conocerlas y percibirlas la mejor forma es disfrutarlas y sorprenderse con ellas Eso se hace en Experigoza con dos aparatos con los que se experimenta y se disfruta el caleidoscopio gigante y la maacutequina de volar Ambas estaacuten compuestas por espejos uacutetil cotidiano presente en todas las casas y centros de ensentildeanza que nos proporciona imaacutegenes simeacutetricas de lo que pongamos delante de ellos La combinacioacuten de varios permite ver otras simetriacuteas y reflexionar sobre ellas

Algunas cuestiones para pensar

Los imaacutegenes en los espeshy

jos cambian la izquierda

por la derecha pero no lo

que estaacute arriba por lo que

estaacute abajo iquestCoacutemo podeshy

mos lograr este cambio

Cuando estamos delante de un

espejo si movemos la mano

derecha en nuestra imagen se

mueve la izquierda iquestQueacute

podemos hacer para que en la

imagen se mueva la misma

mano que movemos nosotros

Tambieacuten hay un recorrido de observa

cioacuten

de los edificios y mobiliario urbano

del

Antiguo Matadero donde tiene lugar la

actividad una Ruta Matemaacutetica en la

que se hace mencioacuten especial a la obsershy

vacioacuten de la simetriacutea

PPP P

O OO O

PacutePacute Pacute Pacute

fig 1 fig 2

DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA CENTRAL Una figura plana tiene un centro de simetriacutea O (y se dice que tiene simetriacutea central) cuando al unir un punto cualquiera P de la misma con O y prolongar la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que O es el punto medio de PPrsquo (figura 1) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a O Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a su centro o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto al punto de corte de sus diagonales (figura 2)

r racute DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA AXIAL Una figura plana tiene un eje de simetriacutea r (o se dice que tiene simetriacutea axial) cuando si desde cualquier punto P de la misma trazamos una perpendicular a r y prolongamos la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que r es la perpendicular en el

P Pacute punto medio de PPrsquo (figura 3) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a r Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a cualquiera de sus diaacutemetros o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto a todas sus diagonales y tambieacuten respecto a las rectas que unen los puntos

r medios de sus lados opuestos (figura 4) fig 3 fig 4

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EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

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Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

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Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

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MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

17

-

-

-

Todos los grandes juegos que se extienden en el tiempo y en el espacio son modelos de situaciones atractivas que han arraigado en la conciencia social Los juegos de baraja de las cuales la espantildeola es la gran aportacioacuten hispaacutenica al gran universo de los juegos son modelizacioacuten de una situacioacuten real Los cuatro palos son una estilizacioacuten de los estamentos medievales el de oros representa la burguesiacutea el de copas al clero las espadas a la nobleza y los bastos a los campesinos

Las barajas sajonas tambieacuten son un modelo de la realidad en este caso del transcurrir de un antildeo Asiacute hay cuatro palos tantos como estaciones en cada uno hay 13 cartas luego en total 52 tantas como semanas en un antildeo los nuacutemeros en cada palo suman 91 (1+2+3++13) que multiplicado por 4 son 364 maacutes una del comodiacuten tenemos los diacuteas del antildeo

En los juegos de cartas a pesar de gozar de bastante mala fama hay muchos aspectos matemaacuteticos En las diferentes modalidades de juegos de cartas hay uno o varios de los siguientes aspectos

Caacutelculo de probabilidades Consustancial a todos los juegos con apuesshytas como el poker Un buen ejercicio es calcular la dificultad de obtener una jugada y poder compararla con la valoracioacuten que se le da si un poker gana a un full debe ser que esta jugada es maacutes probable que la primera

Recuentos de posibilidades Cuando hay que prever todas las posibilidashydes que se puedan presentar en un juego en funcioacuten de nuestras cartas y las posibles distribuciones entre el resto de jugadores Es lo que pasa en el tute subastado en el que uno o varios de los tres jugadores dicen cuaacutentos puntos van a hacer y juega quien maacutes oferta contra los otros dos

Clasificaciones Clasificar es una tarea central del conocimiento En los juegos de cartas en que hay que ligar como el rabino o el chinchoacuten se trata de hacer clasificaciones conocida la ley o relacioacuten de equivalencia que tenemos que aplicar

Ordenaciones Es una tarea habitual en casi todos los juegos de cartas y objeto especiacutefico de algunos como el cinquilloTambieacuten para algunas jugadas de los juegos tipo poker (escaleras y orden de prioridad de jugadas)

Operaciones aritmeacuteticas En casi todos los juegos habituales de cartas hay que sumar restar o multiplicar para saber quien gana en cada partida para llevar las cuentas de triunfadores parciales o finales

En cuanto a procedimientos que se aplican habitual mente en los juegos de cartas y que lo son tambieacuten en la RP destacamos dos

Suponer el problema resuelto o empezar por el final Se hace con frecuencia jugando a cartas pero que es imprescindible en el subastado si se quieren contar bien los puntos que se pueden obtener (para lo cual hay que ir descontando los que se pueden perder del total posible)

Resolver problemas parciales Por ejemplo en todos los juegos en que hay que hacer determi nadas jugadas (en los que se liga) En el chinchoacuten o en el rabino en algunos momentos la preocupacioacuten es no sobrepasar un nuacutemero de puntos (con el que se pierde la partida) y una vez conseguido ese obje tivo se puede intentar ganar

9

Los humanos somos simeacutetricos de forma aproximada seguramente por eso son simeacutetricos buena parte de los utensilios que manejamos asiacute como las casas en que habitamos y los disentildeos que nos rodeanY tambieacuten la simetriacutea se utiliza de forma generalizada en el arte con una especial presencia en un arte tan aragoneacutes como el mudeacutejar

10

SIM

ET

RIacuteA

Hay diferentes tipos de simetriacuteas (en el plano y en el espacio central o axial de diferenshytes ordenes) Para llegar a conocerlas y percibirlas la mejor forma es disfrutarlas y sorprenderse con ellas Eso se hace en Experigoza con dos aparatos con los que se experimenta y se disfruta el caleidoscopio gigante y la maacutequina de volar Ambas estaacuten compuestas por espejos uacutetil cotidiano presente en todas las casas y centros de ensentildeanza que nos proporciona imaacutegenes simeacutetricas de lo que pongamos delante de ellos La combinacioacuten de varios permite ver otras simetriacuteas y reflexionar sobre ellas

Algunas cuestiones para pensar

Los imaacutegenes en los espeshy

jos cambian la izquierda

por la derecha pero no lo

que estaacute arriba por lo que

estaacute abajo iquestCoacutemo podeshy

mos lograr este cambio

Cuando estamos delante de un

espejo si movemos la mano

derecha en nuestra imagen se

mueve la izquierda iquestQueacute

podemos hacer para que en la

imagen se mueva la misma

mano que movemos nosotros

Tambieacuten hay un recorrido de observa

cioacuten

de los edificios y mobiliario urbano

del

Antiguo Matadero donde tiene lugar la

actividad una Ruta Matemaacutetica en la

que se hace mencioacuten especial a la obsershy

vacioacuten de la simetriacutea

PPP P

O OO O

PacutePacute Pacute Pacute

fig 1 fig 2

DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA CENTRAL Una figura plana tiene un centro de simetriacutea O (y se dice que tiene simetriacutea central) cuando al unir un punto cualquiera P de la misma con O y prolongar la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que O es el punto medio de PPrsquo (figura 1) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a O Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a su centro o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto al punto de corte de sus diagonales (figura 2)

r racute DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA AXIAL Una figura plana tiene un eje de simetriacutea r (o se dice que tiene simetriacutea axial) cuando si desde cualquier punto P de la misma trazamos una perpendicular a r y prolongamos la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que r es la perpendicular en el

P Pacute punto medio de PPrsquo (figura 3) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a r Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a cualquiera de sus diaacutemetros o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto a todas sus diagonales y tambieacuten respecto a las rectas que unen los puntos

r medios de sus lados opuestos (figura 4) fig 3 fig 4

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EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

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Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

13

Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

14

MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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Los humanos somos simeacutetricos de forma aproximada seguramente por eso son simeacutetricos buena parte de los utensilios que manejamos asiacute como las casas en que habitamos y los disentildeos que nos rodeanY tambieacuten la simetriacutea se utiliza de forma generalizada en el arte con una especial presencia en un arte tan aragoneacutes como el mudeacutejar

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SIM

ET

RIacuteA

Hay diferentes tipos de simetriacuteas (en el plano y en el espacio central o axial de diferenshytes ordenes) Para llegar a conocerlas y percibirlas la mejor forma es disfrutarlas y sorprenderse con ellas Eso se hace en Experigoza con dos aparatos con los que se experimenta y se disfruta el caleidoscopio gigante y la maacutequina de volar Ambas estaacuten compuestas por espejos uacutetil cotidiano presente en todas las casas y centros de ensentildeanza que nos proporciona imaacutegenes simeacutetricas de lo que pongamos delante de ellos La combinacioacuten de varios permite ver otras simetriacuteas y reflexionar sobre ellas

Algunas cuestiones para pensar

Los imaacutegenes en los espeshy

jos cambian la izquierda

por la derecha pero no lo

que estaacute arriba por lo que

estaacute abajo iquestCoacutemo podeshy

mos lograr este cambio

Cuando estamos delante de un

espejo si movemos la mano

derecha en nuestra imagen se

mueve la izquierda iquestQueacute

podemos hacer para que en la

imagen se mueva la misma

mano que movemos nosotros

Tambieacuten hay un recorrido de observa

cioacuten

de los edificios y mobiliario urbano

del

Antiguo Matadero donde tiene lugar la

actividad una Ruta Matemaacutetica en la

que se hace mencioacuten especial a la obsershy

vacioacuten de la simetriacutea

PPP P

O OO O

PacutePacute Pacute Pacute

fig 1 fig 2

DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA CENTRAL Una figura plana tiene un centro de simetriacutea O (y se dice que tiene simetriacutea central) cuando al unir un punto cualquiera P de la misma con O y prolongar la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que O es el punto medio de PPrsquo (figura 1) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a O Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a su centro o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto al punto de corte de sus diagonales (figura 2)

r racute DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA AXIAL Una figura plana tiene un eje de simetriacutea r (o se dice que tiene simetriacutea axial) cuando si desde cualquier punto P de la misma trazamos una perpendicular a r y prolongamos la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que r es la perpendicular en el

P Pacute punto medio de PPrsquo (figura 3) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a r Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a cualquiera de sus diaacutemetros o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto a todas sus diagonales y tambieacuten respecto a las rectas que unen los puntos

r medios de sus lados opuestos (figura 4) fig 3 fig 4

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EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

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Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

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Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

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MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

16

Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

17

PPP P

O OO O

PacutePacute Pacute Pacute

fig 1 fig 2

DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA CENTRAL Una figura plana tiene un centro de simetriacutea O (y se dice que tiene simetriacutea central) cuando al unir un punto cualquiera P de la misma con O y prolongar la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que O es el punto medio de PPrsquo (figura 1) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a O Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a su centro o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto al punto de corte de sus diagonales (figura 2)

r racute DEFINICIOacuteN SIMETRIacuteA AXIAL Una figura plana tiene un eje de simetriacutea r (o se dice que tiene simetriacutea axial) cuando si desde cualquier punto P de la misma trazamos una perpendicular a r y prolongamos la recta eacutesta corta a la figura en otro punto Prsquo tal que r es la perpendicular en el

P Pacute punto medio de PPrsquo (figura 3) El punto Prsquo se llama simeacutetrico de P respecto a r Ejemplos de figuras con simetriacutea central son la circunferencia respecto a cualquiera de sus diaacutemetros o el cuadrado y el hexaacutegono regular respecto a todas sus diagonales y tambieacuten respecto a las rectas que unen los puntos

r medios de sus lados opuestos (figura 4) fig 3 fig 4

11

EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

12

Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

13

Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

14

MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

15

Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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EJEMPLOS DE EJES

Un cuadrado tiene Un triaacutengulo equilaacutetero cuatro ejes de simetriacutea tiene tres Se puede doblar por cada una de las lineas

azules y siempre quedashyraacuten superpuestas las dos

mitades

GIROS Y ROTACIONES

El punto central de un triaacutengulo equilaacutetero es un centro de giro de orden tres Podemos girar respecto a eacutel la figura tres veces 120ordm y siempre se mantendraacute invarianshyte Para poder distinguir cada movimiento tenemos que numerar los veacutertices

1 3 2

2 3 1 2 3 1

Un rectaacutengulo o un Una cometa rombo tienen dos tiene uno

Un cuadrado tiene un centro de giro de orden cuatro Podemos girarlo cuatro veces 90ordm respecto a su punto central y en los cuatro casos se mantiene invariante El cuadrado y el triaacutengulo equilaacutetero tienen tambieacuten ejes de simetriacutea Estos ejes se cortan en el centro de giro Pero una figura puede tener centro de giro sin tener ninguacuten eje de simetriacutea Por ejemplo el centro de un paraleloshygramo es centro de giro de orden dos Los giros seraacuten ahora de 180ordm

2 1 4 3

Una circunferencia tiene infinitos

3 4 1 2

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Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

13

Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

14

MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

17

Actividad

Somos solo aproximadamente simeacutetricos

Para comprobarlo coge la foto de una cara

haz el simeacutetrico de cada una de sus dos

partes y compaacuteralas con el original

Hay toda una gama de objeshytos que no son simeacutetricos aquellos que tenemos que utilizar con la mano derecha (o izquierda) como las tijeras

En el caso de cuerpos en el espacio se define la simetriacutea respecto a un plano de la misma forma que en el plano respecto a un eje Las personas tenemos un plano de simetriacutea aproximado que nos ldquoparterdquo por la mitad pasando por la nariz y entre los dos pies

13

Actividad

Buscar obje tos no aptospara las dos manos

14

MO

SA

ICO

S

A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

15

Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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MO

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A nuestro alrededor la geometriacutea estaacute por todas partes De esta geometriacutea que lsquorespiramosrsquo quizaacutes sea la de los mosaicos suelos o pavimentos una de las maacutes evidentes o al menos una de las maacutes faacuteciles de ver y comprender En ella se funden la estructura geomeacutetrica subyacente la creatividad plaacutestica del disentildeo y la parte teacutecnica de su realizacioacuten y acabadoEn Experigoshyza tratamos de poner de manifiesto la forma que tienen las losetas que embaldosan los suelos de nuestras casas calles y plazas y sobre todo la estructura geomeacutetrica que permite su construccioacutenVeremos coacutemo se puede rellenar el plano con formas simples repetidas para conseguir una estructura de una gran complejidad aparente Esta tarea es enorme si se pretende hacer un estudio exhaustivo Matemaacuteticos de la talla de Kepler intentaron poner orden y sistematizar este tema sin conseguirlo asiacute que en Experigoza solo presentamos algunos aspectos de los mosaicos maacutes sencillos pero no por ello de menor intereacutes matemaacutetico En este trabajo geomeacutetrico con mosaicos se trata de promover la experimentacioacuten y la intuicioacuten de los nintildeos Los profesores interesados en profundizar en estas cuestiones pueden estar seguros que tienen ante siacute un campo lleno de posibilidades Las distintas civilizaciones desde muy antiguo utilizan los mosaicos y han dedicado maacutes o menos empentildeo a esta tarea En algunos casos como en el de los antiguos aacuterabes especialmente los granadinos nos han legado ejemplos de los maacutes bellos mosaicos de la humanidad haciendo de la Alhambra un auteacutentico museo de la geometriacuteaVisto desde la perspectiva matemaacutetishyca fue una suerte que la religioacuten islaacutemica prohibiese la representacioacuten de figuras humanas en lugares puacuteblicos por lo que decoshyraron sus palacios con motivos geomeacutetricos Los artesanos aacuterabes que trabajaron en la Alhambra descubrieron de forma intuitiva las 17 formas posibles con las que podiacutean combinar baldosas para rellenar el plano Desconociacutean que hubiese 17 formas (los grupos de simetriacutea del plano) pero su praacutecshytica y experiencia les llevoacute de hecho sin ser conscientes de ello a descubrirlas en la praacutectica de forma empiacuterica No fue hasta el siglo XIX cuando los matemaacuteticos establecieron estos resultados de forma definitiva Estos artesanos pusieron de manifiesto que la intuicioacuten y la praacutectica casi siempre suelen ir por delante de la teoriacutea y no al reveacutes Eso intentamos que los alumnos hagan en Experigoza experimentar y reflexionar sobre la experiencia destacando los aspectos maacutes interesantes de la geometriacutea que aparece Para ello disponen de un material atractivo y multicolor para hacer el trabajo experimental desarrollar la intuicioacuten y a pequentildea escala tratar de emular a aquellos artesanos que sin grandes conocimientos geomeacutetricos fueron capaces de crear mosaicos de singular belleza A continuacioacuten se exponen unos pequentildeos retazos de las posibilidades de este trabajo empiacuterico complementaacutendolo con sugerencias y observaciones sobre sus posibilishydades didaacutecticas y a veces con algunas ideas geomeacutetricas y analiacuteticas que son el fundamento teoacuterico de la experimentacioacuten

MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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MOSAICOS REGULARES

En primer lugar conviene precisar queacute se entiende por mosaico Se trata de una estructura compleja que rellena completamente el plano y estaacute formada de piezas simples que llamamos baldosas losetas ladrillos azulejos o teselas Ademaacutes las baldosas deben cumplir varias condiciones los veacutertices de cada poliacutegono se deben unir con los de los otros no pueden solaparse o superponerse ni deben dejar huecos y han de rellenar completamente el plano es decir deben poder extenderse indefinidamente Estas condiciones iniciales van apareciendo en el desarrollo del trabajo experimental sin necesidad de enunciarlas expresamente La conveniencia o no de presentarlas expliacutecitamente a los alumnos dependeraacute bien de la edad de los chicos o de las intencioshynes didaacutecticas del profesor En cualquier caso en el trabajo con nintildeos pequentildeos en los talleres de Experigoza se empieza utilizando una idea intuitiva y coloquial de lo que es un mosaico y a medida que se trabaja se van fijando el resto de condiciones Conviene empezar por lo maacutes simple que es a la vez base y fundamento de los principios maacutes complejos Para ello nuestra primera propuesta consiste en embalshydosar el suelo (o una pared o cualquier superficie plana) utilizando poliacutegonos regulares iguales solo podemos utilizar un tipo de baldosas Estos mosaicos se llaman mosaicos regulares El maacutes corriente de ellos estaacute formado soacutelo por cuadrados y es bien conocido porque la mayoriacutea de suelos y pavimentos son asiacute

Muchas personas que no conocen el problema piensan que ldquocon todos los poliacutegonos es posiblerdquo que cualquier poliacutegono regular sirve para hacer un mosaico

Esto se debe a que no se ha pensado en los requisitos elementales que necesitamos para poder embaldosar

Hay un contraejemplo claro que nos permitiraacute reflexioshynar sobre la afirmacioacuten anterior con pentaacutegonos regulares no se puede embaldosar iquestPor queacute Experimentalmente se ve que no encajan pero vamos a verlo con mayor detenimiento Suponemos que teneshymos un montoacuten de pentaacutegonos regulares iguales y queremos llenar un plano Decidimos una primera forma de colocarlos tocaacutendose los veacutertices Con los dos primeros no hay ninguacuten problema pero al antildeadir el tercero vemos que no cierra sobra un trozo que no podemos llenar con otro pentaacutegono (siacute que podriacuteamos romper trozos de baldosa cada vez para rellenar el hueco pero entonces no seriacutean iguales todas las baldoshysas) iquestPor queacute no se cierra el plano con tres pentaacutegoshynos Porque el aacutengulo del pentaacutegono regular es de 108ordm y juntando tres pentaacutegonos sus aacutengulos suman 3 x 108ordm = 324ordm Para cerrar se necesitan 360deg una vuelta comshypleta faltan 36ordm Si utilizamos cuatro pentaacutegonos nos sobran trozos de pentaacutegono porque se solapan unos con otros

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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Se puede deducir queacute es lo que ha de

pasar para poder embaldosar utilizando poliacutegonos en tor

poliacutegonos regulares iguales al colocar no a un veacutertice la suma de sus aacutengulos ha de dar 360deg

El problema puede plantearse al reveacutes

buscar los poliacutegonos regulares cuyos aacutengulos sean divisores de 360ordm

Soacutelo hay que encontrar los poliacutegonos

cuyos aacutengulos cumplan esta condicioacuten y tendremos la respuesta Para ello

resulta muy uacutetil construir una tabla con los aacutengulos de los poliacutegonos e ir

comprobando

Nordm lados del poliacutegono Angulo (grados)

REGULARIDADES OBSERVADAS

Experimentalmente se ve enseguida que el aacutengulo de los poliacutegonos aumenta al aumentar el nuacutemero de lados de manera que si se toma el poliacutegono maacutes lsquopequentildeorsquo (triaacutengulo) el aacutengulo que forman sus lados es menor que el del cuadrado y eacuteste a su vez es menor que el del pentaacuteshygono y asiacute sucesivamente De forma que al juntar poliacutegonos para consshytruir mosaicos aparece una regularidad que a primera vista parece poco importante pero que es fundamental A medida que aumenta el nuacutemero de lados del poliacutegono que voy a utilizar como baldosa disminuye el nuacutemero de poliacutegonos que puedo juntar alrededor de un veacutertice Con el poliacutegono maacutes pequentildeo (triaacutengulo) necesito juntar 6 baldosas si sigo con el cuadrado necesito soacutelo 4 baldosas con el de 5 lados ya hemos visto que no se puede y con el de 6 soacutelo se necesitan tres poliacutegonos Pero a partir del hexaacutegono si probamos con poliacutegonos de maacutes lados (7 8 9) lo que ocurre es que los poliacutegonos se solapan y unos montan sobre otros En este momento parece que la investigacioacuten ha llegado a su fin iquestPor queacute estoy seguro de que solo hay estas tres posibilidades

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 90 108 120 1286 135 140 144 1472 150

Mediante un procedimiento analiacutetico se puede llegar a la misma conclusioacuten los divisores de 360 son 120 90 y 60 que corresponden al hexaacutegono

regular cuadrado y triaacutengulo equilaacutetero Eacutestas seraacuten por lo tanto las uacutenicas baldosas (poliacutegonos regulares) con las que se podraacute embaldosar

Otro divisor de 360ordm que hemos desechado es el propio 180ordm iquestPor queacute En realidad de forma experimental tambieacuten se puede razonar y llegar a la misma conclusioacuten Asiacute despueacutes de utilizar el hexaacutegono que forma mosaico

juntando tres poliacutegonos en un veacutertice si se continuacutea con cualquier otro poliacutegono de mayor nuacutemero de lados la formacioacuten del mosaico se conseguiriacutea juntando soacutelo dos poliacutegonos Y es evidente que al juntar soacutelo dos poliacutegonos

en un veacutertice no se puede formar un mosaico

En conclusioacuten soacutelo hay tres mosaicos regulares

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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Ademaacutes un hexaacutegono se puede dividir en seis triaacutengulos equilaacuteteros de forma que estructuralmente podriacutea considerarse que soacutelo hay dos posibilidades de llenar el plano con poliacutegonos regulares triaacutengulos y cuadrados Estas estructushyras se suelen llamar tramas cuadradas y triangulares Con ellas mediante deforshymaciones y combinaciones de color se pueden construir nuevos mosaicos de gran belleza Un buen nuacutemero de los mosaicos de la Alhambra utilizan estas teacutecnicas

PONER NOMBRE A UN MOSAICO Hasta ahora se ha estado utilizando sin decirlo expresamente el concepto de veacutertice de un mosaico como el punto en el que se unen los veacutertices de los poliacutegonos que lo forman La importancia de este punto del mosaico es fundashymental y conviene destacarla ya que lo que ocurre en eacutel determina que se pueda o no construir el mosaico y el tipo de mosaico de que se trata La condishycioacuten necesaria para que un mosaico exista es que los poliacutegonos encajen todos en torno al veacuterticeAdemaacutes el veacutertice permite ponerle un nombre al mosaico

MOSAICOS SEMIRREGULARES

El hecho de que solo hay 3 mosaicos regulares no deja de ser sorprendente Las restricciones impuestas (utilizar cada vez un solo poliacutegono) limitan mucho las posibilidades Si dejamos de lado las anteriores condiciones se puede ampliar la buacutesqueda y encontrar nuevos mosaicos Se propone una nueva investigacioacuten encontrar los mosaicos que se pueden construir utilizando dos o maacutes tipos de poliacutegonos regulares (los mosaicos semirregulares) El nuacutemero de mosaicos que hay ahora es maacutes numeroso que en el anterior Pero iquestcuaacutentos puedo hacer En el supuesto de que el lector desconozca el resultado se le sugiere como se hace con los alumnos que emita una conjetura previa sobre el resultado Hay pocos fundamentos para hacerla y es posible que los preconceptos y falsas creencias influyan en ella A pesar de todo en matemaacuteticas la emisioacuten de conjeturas y su comprobacioacuten juegan un papel importante En casos como este nos permiten al final analizar y corregir las creencias y los preconceptos que utilizamos y de los que no somos conscientes Para empezar la investigacioacuten como antes primero hay que comprobar si los poliacutegonos ldquoencajanrdquo entre siacute Luego hay que ver si ademaacutes de encajar rellenan por completo el plano Es decir si forman un mosaico como ocurre en el ejemplo siguiente un mosaico semirregular formado por octoacutegonos y cuadrados

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A LA BUSQUEDA DE TODOS LOS MOSAICOS POSIBLES

En la resolucioacuten de problemas y en el trabajo experimental en un principio se suele proceder al azar y de forma desordenada En alguacuten momento habraacute que detenerse a reflexionar y poner orden en los resultados que se van obteniendo para hacer maacutes sistemaacutetico el proceso de investigacioacuten Se sentildealan a continuacioacuten algunos aspectos que aparecen en la experimentacioacuten y que permiten hacer maacutes sistemaacutetico y ordenado el trabajo Suelen aparecer mosaicos con estructuras como las dos siguientes

iquestCuaacutel es la diferencia entre los dos iquestSon igual de lsquoregularesrsquo Aparenshytemente los dos son lsquomuy regularesrsquo y eso suelen afirmar los alumshynos entendiendo por lsquoregularrsquo en este caso lsquomuy simeacutetricorsquo o lsquomuy uniformersquo Pero en el A los veacutertices son todos del mismo tipo [3636] mientras que en el B los veacutertices son de dos tipos unos son [6633] y otros [3636]

REGULARIDADES QUE PERMITEN SISTEMATIZAR LA INVESTIGACION

Una vez establecidas las condiciones precisas de los mosaicos que estamos buscando hay dos regushylaridades que permiten cerrar completamente la investigacioacuten iquestQueacute se puede decir sobre el nuacutemero maacuteximo de poliacutegonos que puedo colocar en un veacutertice iquestY del nuacutemero miacutenimo Lo que se ha estudiado en los mosaicos regulares sirve tambieacuten ahora Hay un uacutenico caso maacuteximo que consiste en juntar 6 poliacutegonos (triaacutengulos) en un veacutertice pero es un mosaico regular Si se utilizan menos de 6 poliacutegonos hay que estudiar detenidamente cada caso y ver lo que ocurre pero el nuacutemero miacutenimo de poliacutegonos que es lo que interesa es tresConclusioacuten los mosaicos semirregushylares se forman juntando un miacutenimo de 3 y un maacuteximo de 5 poliacutegonos regulares otros casos no son posibles Dicho de otra forma no puede haber mosaicos semirregulares que esteacuten formados por maacutes de 5 o menos de 3 poliacutegonos en un veacutertice

A B

Estaacute claro que el mosaico A es maacutesregular que el B estaacute mejor hecho Si unahormiga recorriera los dos mosaicos enel A al llegar a cada veacutertice no notariacuteaninguna diferencia respecto a otroveacutertice en cambio en el otro mosaico elB unas veces se encontrariacutea en un tipo deveacutertice y otras veces en otro diferente

No resulta difiacutecil decidir para acotar la

investigacioacuten que los mosaicos semishy

rregulares que nos interesan son los del

tipo A los que tienen todos sus veacutertices

iguales En realidad un mosaico

semirregular es aquel que cumple esta

condicioacuten aunque se haya omitido al

principio enunciarlo expliacutecitamente

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Nuestra investigacioacuten se ha reducido a buscar combinaciones de 3 4 o 5 poliacutegonos alrededor de un veacutertice Si en vez de fijar la atencioacuten en el nuacutemero de poliacutegonos lo hacemos en el tipo tambieacuten se pueden sacar conclusiones relevantes que imponen limitaciones decisivas iquestQueacute pasa cuando trato de juntar tres poliacutegonos distintos en un veacutertice Si tomamos para empezar los lsquomaacutes pequentildeosrsquo el triaacutengulo el cuadrado y el pentaacutegono y los unimos en un veacutertice la suma de sus aacutengulos es 60deg+90deg+108ordm=258ordm Si antildeadimos a continuacioacuten el hexaacutegono la suma de sus aacutengulos seriacutea 60ordm+90ordm+108ordm+120ordm=378ordm Como suma maacutes de 360ordm no se puede formar mosaico Puesto que hemos utilizado los poliacutegonos que tienen los aacutengulos menores cualquier otra combinacioacuten de maacutes de 4 poliacutegonos distintos resultariacutea imposible La conclusioacuten es que el tipo de poliacutegonos que se use tambieacuten impone limitaciones iquestQuiere esto decir que no existen mosaicos regulares que tengan en un veacutertice 4 poliacutegonos La respuesta es negativa como ya se ha visto en el ejemplo anterior del mosaico [3636] Lo que ocurre es que si utilizamos cuatro poliacutegonos no pueden ser distintos dos al menos deberaacuten ser iguales Hay varias posibilidades pueden ser tres poliacutegonos de un tipo y el cuarto de otro tipo o dos de un tipo y los dos restantes de otro tipo Hay otra posibilidad que dejamos para lector interesado En cualquier caso puede averiguarse cual es esta posibilidad observando las diferentes combinacioshynes en la imagen siguiente

En conclusioacuten no puede haber maacutes de tres clases de poliacutegonos distintos en torno a un veacutertice

Teniendo en cuenta la conclusioacuten alcanzada se podriacutea encontrar despueacutes de un estudio combinashytorio exhaustivo cuaacutentos mosaishycos semirregulares hay

El resultado definitivo es que hay soacutelo

8 tipos distintos

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MOSAICOS MODULARES MOSAICOS NAZARIES

La Alhambra de Granada se construyoacute en tiempos de la dinastiacutea nazariacute Por esa razoacuten se suele llamar mosaicos nazariacutees a los mosaicos que hay en la Alhambra Estos mosaicos de una gran complejidad aparenshyte estaacuten realizados por descomposiciones sencishyllas de las baldosas de los mosaicos regulares for- mados por cuadrados y triaacutengulos principalmenshyte A continuacioacuten se muestran graacuteficamente dos ejemplos de estas descomposiciones que dan lugar a mosaicos de una gran belleza

LA PAJARITA

Se forma partiendo de un triaacutengulo equilaacutetero que da lugar a la baldosa que se conoce con el nombre de ldquoLa pajaritardquo

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EL HUESO

En este caso el poliacutegono de partida que permite construir la baldosa es un cuadrado

21

En este apartado se pretende llegar a tener alguna idea de lo que las unidades de medida suponen en nuestra vida y experishymentar para lograr imaacutegenes mentales de la relacioacuten entre magnitudes de medida de distancias superficies y voluacutemenes que no son evidentes

Las primeras unidades de longitud que se registran en la historia estuvieron relacionadas con medidas humanas palmo pie pasohellip Por eso es loacutegico que en las primeras etapas del aprendizaje se sigan utilizando esas medidas aunque hay que advertir sobre las variaciones que pueden ocasionar no son iguales (y a veces ni parecidos) los pies de todos

Por eso mismo en general las unidades de medida variaban mucho seguacuten la regioacuten la comarca e incluso la poblacioacuten tanto que en la entrada de algunas ciudades se indicaban los patrones de medida oficiales en aquella ciudad Esa diversidad dificultashyba el intercambio comercial y era fuente de abusos y malentendidos Por ejemplo la vara de Valencia y de Castelloacuten mediacutea aproximadamente 0906 m mientras que la vara de Teruel era de 0768 m Comprando tela por vara en Valencia y vendieacutendola al mismo precio en Teruel iexclse podiacutea obtener un beneficio del 18 Los pies tambieacuten eran muy distintos desde el pie de Burgos (0278 m) al largo pie franceacutes (0324 m)

La falta de una definicioacuten comuacuten de las unidades de medida permitiacutea que fueran un instrumento de dominacioacuten de las clases populares por parte de los poderosos por eso su unificacioacuten fue uno de los primeros objetivos de la Revolucioacuten Francesa que puso las condiciones para la definicioacuten del metro como base del Sistema Meacutetrico Decimal de uso comuacuten en la actualidad Como en el metro las unidades variacutean seguacuten potencias de 10 los caacutelculos son muy sencillos Lo que se pretende en Experigoshyza es que se comience una relacioacuten cordial vivida y sorprendente de las medidas Porque para medir de forma aproximada utilizamos el sentido de la vista que con frecuencia solo nos sirve para hacernos una idea quizaacutes en el caso de las longitudes Pero cuando se trata de superficies ya falla bastante y todaviacutea maacutes cuando abordamos los voluacutemenes

ME

DID

AS

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Se propone la medicioacuten de distancias en una gran superficie (como podriacutea hacerse en los patios de los centros de ensentildeanza) iquestCoacutemo medir grandes longitudes Se escuchan las propuestas de los diferentes asistentes pasos pies la distancia entre los brazos abiertos nuacutemero de baldosas con cinta meacutetrica Se pasa a la accioacuten con cada una de las propuestas se ponen en comuacuten y se evaluacutean las ventajas e inconvenientesAsiacute hasta obtener una respuesta a la distancia cuya precisioacuten depenshyderaacute de las necesidades que tengamos Finalmente se puede dar una respuesta lsquoexactarsquo por medio de un aparato de laser de los usados por los profesionales que nos da una medicioacuten con la precishysioacuten de un centiacutemetro (que no es necesaria en la vida corriente) En esa misma superficie se puede intentar delimitar una habitacioacuten o toda una casa para intentar hacerse idea de esas superficies

A B

H

h P

espejo

Tambieacuten se haraacute alguna medida indirecta como la altura de alguno de los edificios Para ello se utiliza un meacutetodo sencillo con un espejo Si queremos medir una altura H elegimos una recta AB hasta la base del monumento y desde una altura h que podemos medir (que puede ser la de nuestro ojo) vamos moviendo un espejo hasta que veamos el extremo del monumento en el punto P

Como sabemos que y podemos medir h AP y PB tendremos que

La uacutenica dificultad del procedimiento es que tenemos que medir con cuidado todas las distancias y asegurarnos de que el punto P (donde decimos que

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

vemos el extremo del monumento) estaacute situado alliacute exactamente Por eso es conveniente entrenar previamente el proceso (deduciendo una altura que podamos medir luego de forma directa) para comprobar la exactitud de nuestras medidas (puede ser por ejemplo la altura de una clase)

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TALLER DE MEDIDAS DE VOLUMEN Y PESO

Tenemos una serie de cuerpos geomeacutetricos conos cilindros esferas prismas cubos huecos de madera y plaacutestico cubos de espuma del mismo tamantildeo y diferente densidad diferentes envases industriales (tetrabriks botellas botes ciliacutendricos) y bolas pequentildeas de poliuretano de colores para poder llenarshylos asiacute como una balanza electroacutenica para pesar

Empezamos con un cuerpo corriente el cuboTenemos uno de lado 20 cm otro de 10 centiacutemetros (o un deciacutemetro) y otro cuyo lado es la mitad 5 cm iquesthay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes La del mediano es un deciacutemetro cuacutebico que como podemos comprobar es lo mismo que un litro (la capacidad de los tetrabriks y de muchas botellas) iquestY la del pequentildeo En este caso se hacen apuestas no es ni la mitad ni la tercera ni la cuarta parte iexclEs la octava parte O dicho de otra forma hay que llenar 8 veces el cubo pequentildeo para lograr completar el litro iquestPor queacute Porque su arista es doble (2 veces) y en el caso del volumen hay que elevar al cubo 23=2 x 2 x 2=8

Comparamos un cilindro y un cono huecos de las mismas dimensiones es decir tienen iguales el radio y la altura iquesthay alguna relacioacuten entre los voluacutemenes de ambos De nuevo se hacen apuestas las respuestas habituales son 2 3 o 4 veces Pasamos a experimentarlo Se llena el recipiente coacutenico y lo vaciamos en el cilindro hasta que lo llenemos completamente con tres veces se llena el cilindro de forma completa exacta iexclLa lsquoevidenciarsquo nos puede jugar malas pasadas

Hacemos lo mismo con un prisma y una piraacutemide que tienen la misma base y la misma altura Nos preguntamos de nuevo por si hay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes iquestEs la misma que en el caso anterior Se puede comprobar que siacute y podemos enunciar una regla general

MEDIDAS DE SUPERFICIE

En una cristalera hay bloques de vidrio cuadrados Se trata de ver que si el lado se hace doble triple

10 veces el nuacutemero de bloques es 4 9 100

el volumen de los cuerpos acabados en punta (como los conos o piraacutemides)

es un tercio que de los de la misma base pero cuya seccioacuten permanece

constante (como cilindros o prismas)

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CILINDRO Y ESFERA

Cuando queremos jugar a tenis nos encontramos botes con tres o cuatro pelotas Se trata de esferas dentro de un cilindro Es evidente que hay muchos huecos pero iquestcuaacutento espacio queda libre

Se comprueba que el volumen de la esfera es justamente 23 del volumen de un cilindro de igual base y altura igual a la de la esfera En el caso del bote de cuatro pelotas queda libre 13 del espacio la mitad del ocupado Es decir que en el bote de cuatro hay espashycio libre bastante como para otras dos pelotas de tenis

Tenemos ahora una esfera y un cubo de arista igual al diaacutemetro de la esfera iquestcuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes Comprobamos que en este caso la respuesta no es sencilla iexclNo siempre la natushyraleza es faacutecil

DIFERENTES ENVASES

En los supermercados encontramos envases de formas diferenshytes pero con el mismo volumen Se trata de apostar y experishymentar sobre en cuaacutel cabe maacutes o si tienen igual volumen

DENSIDAD

Tenemos tres cubos de espuma de igual tamantildeo iquestPesaraacuten igual Despueacutes de cogerlos se ve que no y en la baacutescula electroacutenica se comprueban las intuiciones Asiacute tenemos una introduccioacuten al concepto de densidad

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-

--

-

Con el descubrimiento consciente de la primera figura imposible en 1934 el mundo visual de los humanos ha experimentado una absoluta novedad Algo que roza los liacutemites de nuestra capacidad de representa cioacuten En este sentido las figuras imposibles son un enriquecimiento del espiacuteritu humano Forman un geacutenero propio No son objetos matemaacuteti cos aunque puede aplicarse la matemaacutetica para describirlos y analizar los Tampoco son obras de arte las figuras imposibles pueden dibujarse con gusto y expresividad pero su eficacia no es subsidiaria de sus cuali dades artiacutesticas Representan un mundo propio un mundo que no es en modo alguno ajeno al hombre Las figuras imposibles son ademaacutes un valioso material de anaacutelisis para conocer mejor el funcionamiento del OJO

Un mundo de figuras imposibles Bruno Ernst

MU

ND

OS

IM

PO

SIB

LE

S

Las ilusiones oacutepticas son divertidas sorprendentes creativasTienen algo de maacutegico y suponen un desafiacuteo a la mente tanto para pequentildeos como para mayores Estimulan la puesta en accioacuten del pensamiento la reflexioacuten la creatividad y especialmente la imagishynacioacuten Pero no soacutelo ocurre con las ilusiones la magia los acertijos las imposibilidades y las paradojas tambieacuten les gustan particushylarmente a los nintildeos Como ha sentildealado Martin Gardner ldquoLas ilusiones oacutepticas figuras objetos o sucesos que no son lo que aparentan al ser percibidos han tenido y tienen todaviacutea una importante relacioacuten con las bellas artes las matemaacuteticas la psicologiacutea e incluso con la filosofiacuteardquo Otros campos de conocimiento como la fiacutesica o la tecnologiacutea no han sido ajenos a la atraccioacuten que provocan estos fenoacutemenos

Aunquedesde un punto de vista menos formal estas actividades puedan considerarse de intereacutes porque son sencillamente divershytidas tambieacuten y como ha apuntado Martin Gardner el intereacutes de los matemaacuteticos por las ilusiones oacutepticas se debe a que muchas de ellas guardan relacioacuten con la perspectiva (una rama de la geometriacutea proyectiva) y con otras cuestiones geomeacutetricas Proporshycionan situaciones que dan lugar a plantearse muacuteltiples cuestiones acerca de nuestra percepcioacuten e interpretacioacuten del espacio en el que vivimos y en coacutemo observamos la realidad

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AMBIGUumlEDAD Las ilusiones e imposibilidades nos recuerdan que el mundo exterior en ocasiones no siempre es lo que parece y que ldquomirarrdquo o ldquoverrdquo como sabemos son dos cosas bien distintas porque si bien miramos con los ojos vemos con el cerebro que percibe e interpreta la realidad de forma muy diversa y variada Asiacute dos personas pueden mirar la misma cosa pero no por ello los dos ven lo mismo La caracteriacutestica principal de la mayor parte de figuras imposibles es la ambiguumledadY aunque haya un tipo particular de ilusiones oacutepticas conocidas especiacuteficamente entre los especialistas como figuras ambishyguas la misma idea de ambiguumledad recorre todo el mundo de las ilusiones oacutepticas Por esta razoacuten uno de los lemas que hemos seleccionado como hilo conductor de toda la actividad que aquiacute se presenta es eacuteste la ambiguumledad Ambiguumledad que surge de la dualidad de interpretaciones o la ausencia de interpretacioacuten posible en muchos casos Una parte imporshytante de Experigoza lo constituyen este tipo especial de figuras imposibles que reciben el nombre de figuras ambiguas Estas figuras son aquellas que el ojo ve y que el cerebro interpreta unas veces de una forma y a la vez de otra La interpretashycioacuten espacial de estas imaacutegenes se sobrepone a nuestra voluntad Unas veces son una cosa y otras son otra distinta y lo percibimos asiacute independiente de nuestro empentildeo por mantener un enfoque determinado En las figuras que siguen unas veces vemos un pato y otra un conejo Las dos cosas son diferentes pero no existe oposicioacuten entre ellas es a la vez pato y conejo

Es bien conocida igualmente entre la figuras ambiguas la siguiente a la vez es joven o es vieja pero no las dos cosas a la vez Muchas persoshynas no consiguen en ocasiones enfocar adecuadamente una de las imaacutegenes y soacutelo ven una parte la joven o la vieja

Pero maacutes sorprendente resulta auacuten si cabe que en este tipo de imaacutegenes cuando se ha conseguido el enfoque adecuado de una de ellas si intentamos mirarla fijamente el tiempo suficiente la propia imagen se nos impone y cambia en contra de nuestra voluntad alternando sorprendentemente entre una y otra interpretacioacuten A los nintildeos que tienen una gran capacidad para sorprenderse este tipo de ldquoengantildeosrdquo visuales les entusiasman a la vez que les provoshycan no pequentildeas frustraciones al no poder controlar adecuadamente su capacidad de enfoque Bastantes preguntas y debates surgen con estas propuesshytas aunque siempre se disfruta con el engantildeo que nos proporcionan como se disfruta cuando un mago nos confunde con sus trucos de magia

En Experigoza ademaacutes se muestran muchos otros fenoacutemenos que por su aparente imposibilidad fiacutesica presentan un cierto grado de ambiguumledad anaacuteloga a la apuntada anteriormente pero tienen sin embargo una clara explicacioacuten cientiacutefica Aunque todo lo que se va a ver choca con la realidad esperada no por ello todo es imposible realmente Soacutelo lo es de forma aparente En tal sentido es por lo que nos ha parecido conveniente utilizar como hilo conductor la ambiguumledad

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Nuestra investigacioacuten se ha reducido a buscar combinaciones de 3 4 o 5 poliacutegonos alrededor de un veacutertice Si en vez de fijar la atencioacuten en el nuacutemero de poliacutegonos lo hacemos en el tipo tambieacuten se pueden sacar conclusiones relevantes que imponen limitaciones decisivas iquestQueacute pasa cuando trato de juntar tres poliacutegonos distintos en un veacutertice Si tomamos para empezar los lsquomaacutes pequentildeosrsquo el triaacutengulo el cuadrado y el pentaacutegono y los unimos en un veacutertice la suma de sus aacutengulos es 60deg+90deg+108ordm=258ordm Si antildeadimos a continuacioacuten el hexaacutegono la suma de sus aacutengulos seriacutea 60ordm+90ordm+108ordm+120ordm=378ordm Como suma maacutes de 360ordm no se puede formar mosaico Puesto que hemos utilizado los poliacutegonos que tienen los aacutengulos menores cualquier otra combinacioacuten de maacutes de 4 poliacutegonos distintos resultariacutea imposible La conclusioacuten es que el tipo de poliacutegonos que se use tambieacuten impone limitaciones iquestQuiere esto decir que no existen mosaicos regulares que tengan en un veacutertice 4 poliacutegonos La respuesta es negativa como ya se ha visto en el ejemplo anterior del mosaico [3636] Lo que ocurre es que si utilizamos cuatro poliacutegonos no pueden ser distintos dos al menos deberaacuten ser iguales Hay varias posibilidades pueden ser tres poliacutegonos de un tipo y el cuarto de otro tipo o dos de un tipo y los dos restantes de otro tipo Hay otra posibilidad que dejamos para lector interesado En cualquier caso puede averiguarse cual es esta posibilidad observando las diferentes combinacioshynes en la imagen siguiente

En conclusioacuten no puede haber maacutes de tres clases de poliacutegonos distintos en torno a un veacutertice

Teniendo en cuenta la conclusioacuten alcanzada se podriacutea encontrar despueacutes de un estudio combinashytorio exhaustivo cuaacutentos mosaishycos semirregulares hay

El resultado definitivo es que hay soacutelo

8 tipos distintos

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MOSAICOS MODULARES MOSAICOS NAZARIES

La Alhambra de Granada se construyoacute en tiempos de la dinastiacutea nazariacute Por esa razoacuten se suele llamar mosaicos nazariacutees a los mosaicos que hay en la Alhambra Estos mosaicos de una gran complejidad aparenshyte estaacuten realizados por descomposiciones sencishyllas de las baldosas de los mosaicos regulares for- mados por cuadrados y triaacutengulos principalmenshyte A continuacioacuten se muestran graacuteficamente dos ejemplos de estas descomposiciones que dan lugar a mosaicos de una gran belleza

LA PAJARITA

Se forma partiendo de un triaacutengulo equilaacutetero que da lugar a la baldosa que se conoce con el nombre de ldquoLa pajaritardquo

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EL HUESO

En este caso el poliacutegono de partida que permite construir la baldosa es un cuadrado

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En este apartado se pretende llegar a tener alguna idea de lo que las unidades de medida suponen en nuestra vida y experishymentar para lograr imaacutegenes mentales de la relacioacuten entre magnitudes de medida de distancias superficies y voluacutemenes que no son evidentes

Las primeras unidades de longitud que se registran en la historia estuvieron relacionadas con medidas humanas palmo pie pasohellip Por eso es loacutegico que en las primeras etapas del aprendizaje se sigan utilizando esas medidas aunque hay que advertir sobre las variaciones que pueden ocasionar no son iguales (y a veces ni parecidos) los pies de todos

Por eso mismo en general las unidades de medida variaban mucho seguacuten la regioacuten la comarca e incluso la poblacioacuten tanto que en la entrada de algunas ciudades se indicaban los patrones de medida oficiales en aquella ciudad Esa diversidad dificultashyba el intercambio comercial y era fuente de abusos y malentendidos Por ejemplo la vara de Valencia y de Castelloacuten mediacutea aproximadamente 0906 m mientras que la vara de Teruel era de 0768 m Comprando tela por vara en Valencia y vendieacutendola al mismo precio en Teruel iexclse podiacutea obtener un beneficio del 18 Los pies tambieacuten eran muy distintos desde el pie de Burgos (0278 m) al largo pie franceacutes (0324 m)

La falta de una definicioacuten comuacuten de las unidades de medida permitiacutea que fueran un instrumento de dominacioacuten de las clases populares por parte de los poderosos por eso su unificacioacuten fue uno de los primeros objetivos de la Revolucioacuten Francesa que puso las condiciones para la definicioacuten del metro como base del Sistema Meacutetrico Decimal de uso comuacuten en la actualidad Como en el metro las unidades variacutean seguacuten potencias de 10 los caacutelculos son muy sencillos Lo que se pretende en Experigoshyza es que se comience una relacioacuten cordial vivida y sorprendente de las medidas Porque para medir de forma aproximada utilizamos el sentido de la vista que con frecuencia solo nos sirve para hacernos una idea quizaacutes en el caso de las longitudes Pero cuando se trata de superficies ya falla bastante y todaviacutea maacutes cuando abordamos los voluacutemenes

ME

DID

AS

22

Se propone la medicioacuten de distancias en una gran superficie (como podriacutea hacerse en los patios de los centros de ensentildeanza) iquestCoacutemo medir grandes longitudes Se escuchan las propuestas de los diferentes asistentes pasos pies la distancia entre los brazos abiertos nuacutemero de baldosas con cinta meacutetrica Se pasa a la accioacuten con cada una de las propuestas se ponen en comuacuten y se evaluacutean las ventajas e inconvenientesAsiacute hasta obtener una respuesta a la distancia cuya precisioacuten depenshyderaacute de las necesidades que tengamos Finalmente se puede dar una respuesta lsquoexactarsquo por medio de un aparato de laser de los usados por los profesionales que nos da una medicioacuten con la precishysioacuten de un centiacutemetro (que no es necesaria en la vida corriente) En esa misma superficie se puede intentar delimitar una habitacioacuten o toda una casa para intentar hacerse idea de esas superficies

A B

H

h P

espejo

Tambieacuten se haraacute alguna medida indirecta como la altura de alguno de los edificios Para ello se utiliza un meacutetodo sencillo con un espejo Si queremos medir una altura H elegimos una recta AB hasta la base del monumento y desde una altura h que podemos medir (que puede ser la de nuestro ojo) vamos moviendo un espejo hasta que veamos el extremo del monumento en el punto P

Como sabemos que y podemos medir h AP y PB tendremos que

La uacutenica dificultad del procedimiento es que tenemos que medir con cuidado todas las distancias y asegurarnos de que el punto P (donde decimos que

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

vemos el extremo del monumento) estaacute situado alliacute exactamente Por eso es conveniente entrenar previamente el proceso (deduciendo una altura que podamos medir luego de forma directa) para comprobar la exactitud de nuestras medidas (puede ser por ejemplo la altura de una clase)

23

TALLER DE MEDIDAS DE VOLUMEN Y PESO

Tenemos una serie de cuerpos geomeacutetricos conos cilindros esferas prismas cubos huecos de madera y plaacutestico cubos de espuma del mismo tamantildeo y diferente densidad diferentes envases industriales (tetrabriks botellas botes ciliacutendricos) y bolas pequentildeas de poliuretano de colores para poder llenarshylos asiacute como una balanza electroacutenica para pesar

Empezamos con un cuerpo corriente el cuboTenemos uno de lado 20 cm otro de 10 centiacutemetros (o un deciacutemetro) y otro cuyo lado es la mitad 5 cm iquesthay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes La del mediano es un deciacutemetro cuacutebico que como podemos comprobar es lo mismo que un litro (la capacidad de los tetrabriks y de muchas botellas) iquestY la del pequentildeo En este caso se hacen apuestas no es ni la mitad ni la tercera ni la cuarta parte iexclEs la octava parte O dicho de otra forma hay que llenar 8 veces el cubo pequentildeo para lograr completar el litro iquestPor queacute Porque su arista es doble (2 veces) y en el caso del volumen hay que elevar al cubo 23=2 x 2 x 2=8

Comparamos un cilindro y un cono huecos de las mismas dimensiones es decir tienen iguales el radio y la altura iquesthay alguna relacioacuten entre los voluacutemenes de ambos De nuevo se hacen apuestas las respuestas habituales son 2 3 o 4 veces Pasamos a experimentarlo Se llena el recipiente coacutenico y lo vaciamos en el cilindro hasta que lo llenemos completamente con tres veces se llena el cilindro de forma completa exacta iexclLa lsquoevidenciarsquo nos puede jugar malas pasadas

Hacemos lo mismo con un prisma y una piraacutemide que tienen la misma base y la misma altura Nos preguntamos de nuevo por si hay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes iquestEs la misma que en el caso anterior Se puede comprobar que siacute y podemos enunciar una regla general

MEDIDAS DE SUPERFICIE

En una cristalera hay bloques de vidrio cuadrados Se trata de ver que si el lado se hace doble triple

10 veces el nuacutemero de bloques es 4 9 100

el volumen de los cuerpos acabados en punta (como los conos o piraacutemides)

es un tercio que de los de la misma base pero cuya seccioacuten permanece

constante (como cilindros o prismas)

24

CILINDRO Y ESFERA

Cuando queremos jugar a tenis nos encontramos botes con tres o cuatro pelotas Se trata de esferas dentro de un cilindro Es evidente que hay muchos huecos pero iquestcuaacutento espacio queda libre

Se comprueba que el volumen de la esfera es justamente 23 del volumen de un cilindro de igual base y altura igual a la de la esfera En el caso del bote de cuatro pelotas queda libre 13 del espacio la mitad del ocupado Es decir que en el bote de cuatro hay espashycio libre bastante como para otras dos pelotas de tenis

Tenemos ahora una esfera y un cubo de arista igual al diaacutemetro de la esfera iquestcuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes Comprobamos que en este caso la respuesta no es sencilla iexclNo siempre la natushyraleza es faacutecil

DIFERENTES ENVASES

En los supermercados encontramos envases de formas diferenshytes pero con el mismo volumen Se trata de apostar y experishymentar sobre en cuaacutel cabe maacutes o si tienen igual volumen

DENSIDAD

Tenemos tres cubos de espuma de igual tamantildeo iquestPesaraacuten igual Despueacutes de cogerlos se ve que no y en la baacutescula electroacutenica se comprueban las intuiciones Asiacute tenemos una introduccioacuten al concepto de densidad

25

-

--

-

Con el descubrimiento consciente de la primera figura imposible en 1934 el mundo visual de los humanos ha experimentado una absoluta novedad Algo que roza los liacutemites de nuestra capacidad de representa cioacuten En este sentido las figuras imposibles son un enriquecimiento del espiacuteritu humano Forman un geacutenero propio No son objetos matemaacuteti cos aunque puede aplicarse la matemaacutetica para describirlos y analizar los Tampoco son obras de arte las figuras imposibles pueden dibujarse con gusto y expresividad pero su eficacia no es subsidiaria de sus cuali dades artiacutesticas Representan un mundo propio un mundo que no es en modo alguno ajeno al hombre Las figuras imposibles son ademaacutes un valioso material de anaacutelisis para conocer mejor el funcionamiento del OJO

Un mundo de figuras imposibles Bruno Ernst

MU

ND

OS

IM

PO

SIB

LE

S

Las ilusiones oacutepticas son divertidas sorprendentes creativasTienen algo de maacutegico y suponen un desafiacuteo a la mente tanto para pequentildeos como para mayores Estimulan la puesta en accioacuten del pensamiento la reflexioacuten la creatividad y especialmente la imagishynacioacuten Pero no soacutelo ocurre con las ilusiones la magia los acertijos las imposibilidades y las paradojas tambieacuten les gustan particushylarmente a los nintildeos Como ha sentildealado Martin Gardner ldquoLas ilusiones oacutepticas figuras objetos o sucesos que no son lo que aparentan al ser percibidos han tenido y tienen todaviacutea una importante relacioacuten con las bellas artes las matemaacuteticas la psicologiacutea e incluso con la filosofiacuteardquo Otros campos de conocimiento como la fiacutesica o la tecnologiacutea no han sido ajenos a la atraccioacuten que provocan estos fenoacutemenos

Aunquedesde un punto de vista menos formal estas actividades puedan considerarse de intereacutes porque son sencillamente divershytidas tambieacuten y como ha apuntado Martin Gardner el intereacutes de los matemaacuteticos por las ilusiones oacutepticas se debe a que muchas de ellas guardan relacioacuten con la perspectiva (una rama de la geometriacutea proyectiva) y con otras cuestiones geomeacutetricas Proporshycionan situaciones que dan lugar a plantearse muacuteltiples cuestiones acerca de nuestra percepcioacuten e interpretacioacuten del espacio en el que vivimos y en coacutemo observamos la realidad

26

AMBIGUumlEDAD Las ilusiones e imposibilidades nos recuerdan que el mundo exterior en ocasiones no siempre es lo que parece y que ldquomirarrdquo o ldquoverrdquo como sabemos son dos cosas bien distintas porque si bien miramos con los ojos vemos con el cerebro que percibe e interpreta la realidad de forma muy diversa y variada Asiacute dos personas pueden mirar la misma cosa pero no por ello los dos ven lo mismo La caracteriacutestica principal de la mayor parte de figuras imposibles es la ambiguumledadY aunque haya un tipo particular de ilusiones oacutepticas conocidas especiacuteficamente entre los especialistas como figuras ambishyguas la misma idea de ambiguumledad recorre todo el mundo de las ilusiones oacutepticas Por esta razoacuten uno de los lemas que hemos seleccionado como hilo conductor de toda la actividad que aquiacute se presenta es eacuteste la ambiguumledad Ambiguumledad que surge de la dualidad de interpretaciones o la ausencia de interpretacioacuten posible en muchos casos Una parte imporshytante de Experigoza lo constituyen este tipo especial de figuras imposibles que reciben el nombre de figuras ambiguas Estas figuras son aquellas que el ojo ve y que el cerebro interpreta unas veces de una forma y a la vez de otra La interpretashycioacuten espacial de estas imaacutegenes se sobrepone a nuestra voluntad Unas veces son una cosa y otras son otra distinta y lo percibimos asiacute independiente de nuestro empentildeo por mantener un enfoque determinado En las figuras que siguen unas veces vemos un pato y otra un conejo Las dos cosas son diferentes pero no existe oposicioacuten entre ellas es a la vez pato y conejo

Es bien conocida igualmente entre la figuras ambiguas la siguiente a la vez es joven o es vieja pero no las dos cosas a la vez Muchas persoshynas no consiguen en ocasiones enfocar adecuadamente una de las imaacutegenes y soacutelo ven una parte la joven o la vieja

Pero maacutes sorprendente resulta auacuten si cabe que en este tipo de imaacutegenes cuando se ha conseguido el enfoque adecuado de una de ellas si intentamos mirarla fijamente el tiempo suficiente la propia imagen se nos impone y cambia en contra de nuestra voluntad alternando sorprendentemente entre una y otra interpretacioacuten A los nintildeos que tienen una gran capacidad para sorprenderse este tipo de ldquoengantildeosrdquo visuales les entusiasman a la vez que les provoshycan no pequentildeas frustraciones al no poder controlar adecuadamente su capacidad de enfoque Bastantes preguntas y debates surgen con estas propuesshytas aunque siempre se disfruta con el engantildeo que nos proporcionan como se disfruta cuando un mago nos confunde con sus trucos de magia

En Experigoza ademaacutes se muestran muchos otros fenoacutemenos que por su aparente imposibilidad fiacutesica presentan un cierto grado de ambiguumledad anaacuteloga a la apuntada anteriormente pero tienen sin embargo una clara explicacioacuten cientiacutefica Aunque todo lo que se va a ver choca con la realidad esperada no por ello todo es imposible realmente Soacutelo lo es de forma aparente En tal sentido es por lo que nos ha parecido conveniente utilizar como hilo conductor la ambiguumledad

27

MOSAICOS MODULARES MOSAICOS NAZARIES

La Alhambra de Granada se construyoacute en tiempos de la dinastiacutea nazariacute Por esa razoacuten se suele llamar mosaicos nazariacutees a los mosaicos que hay en la Alhambra Estos mosaicos de una gran complejidad aparenshyte estaacuten realizados por descomposiciones sencishyllas de las baldosas de los mosaicos regulares for- mados por cuadrados y triaacutengulos principalmenshyte A continuacioacuten se muestran graacuteficamente dos ejemplos de estas descomposiciones que dan lugar a mosaicos de una gran belleza

LA PAJARITA

Se forma partiendo de un triaacutengulo equilaacutetero que da lugar a la baldosa que se conoce con el nombre de ldquoLa pajaritardquo

20

EL HUESO

En este caso el poliacutegono de partida que permite construir la baldosa es un cuadrado

21

En este apartado se pretende llegar a tener alguna idea de lo que las unidades de medida suponen en nuestra vida y experishymentar para lograr imaacutegenes mentales de la relacioacuten entre magnitudes de medida de distancias superficies y voluacutemenes que no son evidentes

Las primeras unidades de longitud que se registran en la historia estuvieron relacionadas con medidas humanas palmo pie pasohellip Por eso es loacutegico que en las primeras etapas del aprendizaje se sigan utilizando esas medidas aunque hay que advertir sobre las variaciones que pueden ocasionar no son iguales (y a veces ni parecidos) los pies de todos

Por eso mismo en general las unidades de medida variaban mucho seguacuten la regioacuten la comarca e incluso la poblacioacuten tanto que en la entrada de algunas ciudades se indicaban los patrones de medida oficiales en aquella ciudad Esa diversidad dificultashyba el intercambio comercial y era fuente de abusos y malentendidos Por ejemplo la vara de Valencia y de Castelloacuten mediacutea aproximadamente 0906 m mientras que la vara de Teruel era de 0768 m Comprando tela por vara en Valencia y vendieacutendola al mismo precio en Teruel iexclse podiacutea obtener un beneficio del 18 Los pies tambieacuten eran muy distintos desde el pie de Burgos (0278 m) al largo pie franceacutes (0324 m)

La falta de una definicioacuten comuacuten de las unidades de medida permitiacutea que fueran un instrumento de dominacioacuten de las clases populares por parte de los poderosos por eso su unificacioacuten fue uno de los primeros objetivos de la Revolucioacuten Francesa que puso las condiciones para la definicioacuten del metro como base del Sistema Meacutetrico Decimal de uso comuacuten en la actualidad Como en el metro las unidades variacutean seguacuten potencias de 10 los caacutelculos son muy sencillos Lo que se pretende en Experigoshyza es que se comience una relacioacuten cordial vivida y sorprendente de las medidas Porque para medir de forma aproximada utilizamos el sentido de la vista que con frecuencia solo nos sirve para hacernos una idea quizaacutes en el caso de las longitudes Pero cuando se trata de superficies ya falla bastante y todaviacutea maacutes cuando abordamos los voluacutemenes

ME

DID

AS

22

Se propone la medicioacuten de distancias en una gran superficie (como podriacutea hacerse en los patios de los centros de ensentildeanza) iquestCoacutemo medir grandes longitudes Se escuchan las propuestas de los diferentes asistentes pasos pies la distancia entre los brazos abiertos nuacutemero de baldosas con cinta meacutetrica Se pasa a la accioacuten con cada una de las propuestas se ponen en comuacuten y se evaluacutean las ventajas e inconvenientesAsiacute hasta obtener una respuesta a la distancia cuya precisioacuten depenshyderaacute de las necesidades que tengamos Finalmente se puede dar una respuesta lsquoexactarsquo por medio de un aparato de laser de los usados por los profesionales que nos da una medicioacuten con la precishysioacuten de un centiacutemetro (que no es necesaria en la vida corriente) En esa misma superficie se puede intentar delimitar una habitacioacuten o toda una casa para intentar hacerse idea de esas superficies

A B

H

h P

espejo

Tambieacuten se haraacute alguna medida indirecta como la altura de alguno de los edificios Para ello se utiliza un meacutetodo sencillo con un espejo Si queremos medir una altura H elegimos una recta AB hasta la base del monumento y desde una altura h que podemos medir (que puede ser la de nuestro ojo) vamos moviendo un espejo hasta que veamos el extremo del monumento en el punto P

Como sabemos que y podemos medir h AP y PB tendremos que

La uacutenica dificultad del procedimiento es que tenemos que medir con cuidado todas las distancias y asegurarnos de que el punto P (donde decimos que

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

vemos el extremo del monumento) estaacute situado alliacute exactamente Por eso es conveniente entrenar previamente el proceso (deduciendo una altura que podamos medir luego de forma directa) para comprobar la exactitud de nuestras medidas (puede ser por ejemplo la altura de una clase)

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TALLER DE MEDIDAS DE VOLUMEN Y PESO

Tenemos una serie de cuerpos geomeacutetricos conos cilindros esferas prismas cubos huecos de madera y plaacutestico cubos de espuma del mismo tamantildeo y diferente densidad diferentes envases industriales (tetrabriks botellas botes ciliacutendricos) y bolas pequentildeas de poliuretano de colores para poder llenarshylos asiacute como una balanza electroacutenica para pesar

Empezamos con un cuerpo corriente el cuboTenemos uno de lado 20 cm otro de 10 centiacutemetros (o un deciacutemetro) y otro cuyo lado es la mitad 5 cm iquesthay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes La del mediano es un deciacutemetro cuacutebico que como podemos comprobar es lo mismo que un litro (la capacidad de los tetrabriks y de muchas botellas) iquestY la del pequentildeo En este caso se hacen apuestas no es ni la mitad ni la tercera ni la cuarta parte iexclEs la octava parte O dicho de otra forma hay que llenar 8 veces el cubo pequentildeo para lograr completar el litro iquestPor queacute Porque su arista es doble (2 veces) y en el caso del volumen hay que elevar al cubo 23=2 x 2 x 2=8

Comparamos un cilindro y un cono huecos de las mismas dimensiones es decir tienen iguales el radio y la altura iquesthay alguna relacioacuten entre los voluacutemenes de ambos De nuevo se hacen apuestas las respuestas habituales son 2 3 o 4 veces Pasamos a experimentarlo Se llena el recipiente coacutenico y lo vaciamos en el cilindro hasta que lo llenemos completamente con tres veces se llena el cilindro de forma completa exacta iexclLa lsquoevidenciarsquo nos puede jugar malas pasadas

Hacemos lo mismo con un prisma y una piraacutemide que tienen la misma base y la misma altura Nos preguntamos de nuevo por si hay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes iquestEs la misma que en el caso anterior Se puede comprobar que siacute y podemos enunciar una regla general

MEDIDAS DE SUPERFICIE

En una cristalera hay bloques de vidrio cuadrados Se trata de ver que si el lado se hace doble triple

10 veces el nuacutemero de bloques es 4 9 100

el volumen de los cuerpos acabados en punta (como los conos o piraacutemides)

es un tercio que de los de la misma base pero cuya seccioacuten permanece

constante (como cilindros o prismas)

24

CILINDRO Y ESFERA

Cuando queremos jugar a tenis nos encontramos botes con tres o cuatro pelotas Se trata de esferas dentro de un cilindro Es evidente que hay muchos huecos pero iquestcuaacutento espacio queda libre

Se comprueba que el volumen de la esfera es justamente 23 del volumen de un cilindro de igual base y altura igual a la de la esfera En el caso del bote de cuatro pelotas queda libre 13 del espacio la mitad del ocupado Es decir que en el bote de cuatro hay espashycio libre bastante como para otras dos pelotas de tenis

Tenemos ahora una esfera y un cubo de arista igual al diaacutemetro de la esfera iquestcuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes Comprobamos que en este caso la respuesta no es sencilla iexclNo siempre la natushyraleza es faacutecil

DIFERENTES ENVASES

En los supermercados encontramos envases de formas diferenshytes pero con el mismo volumen Se trata de apostar y experishymentar sobre en cuaacutel cabe maacutes o si tienen igual volumen

DENSIDAD

Tenemos tres cubos de espuma de igual tamantildeo iquestPesaraacuten igual Despueacutes de cogerlos se ve que no y en la baacutescula electroacutenica se comprueban las intuiciones Asiacute tenemos una introduccioacuten al concepto de densidad

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Con el descubrimiento consciente de la primera figura imposible en 1934 el mundo visual de los humanos ha experimentado una absoluta novedad Algo que roza los liacutemites de nuestra capacidad de representa cioacuten En este sentido las figuras imposibles son un enriquecimiento del espiacuteritu humano Forman un geacutenero propio No son objetos matemaacuteti cos aunque puede aplicarse la matemaacutetica para describirlos y analizar los Tampoco son obras de arte las figuras imposibles pueden dibujarse con gusto y expresividad pero su eficacia no es subsidiaria de sus cuali dades artiacutesticas Representan un mundo propio un mundo que no es en modo alguno ajeno al hombre Las figuras imposibles son ademaacutes un valioso material de anaacutelisis para conocer mejor el funcionamiento del OJO

Un mundo de figuras imposibles Bruno Ernst

MU

ND

OS

IM

PO

SIB

LE

S

Las ilusiones oacutepticas son divertidas sorprendentes creativasTienen algo de maacutegico y suponen un desafiacuteo a la mente tanto para pequentildeos como para mayores Estimulan la puesta en accioacuten del pensamiento la reflexioacuten la creatividad y especialmente la imagishynacioacuten Pero no soacutelo ocurre con las ilusiones la magia los acertijos las imposibilidades y las paradojas tambieacuten les gustan particushylarmente a los nintildeos Como ha sentildealado Martin Gardner ldquoLas ilusiones oacutepticas figuras objetos o sucesos que no son lo que aparentan al ser percibidos han tenido y tienen todaviacutea una importante relacioacuten con las bellas artes las matemaacuteticas la psicologiacutea e incluso con la filosofiacuteardquo Otros campos de conocimiento como la fiacutesica o la tecnologiacutea no han sido ajenos a la atraccioacuten que provocan estos fenoacutemenos

Aunquedesde un punto de vista menos formal estas actividades puedan considerarse de intereacutes porque son sencillamente divershytidas tambieacuten y como ha apuntado Martin Gardner el intereacutes de los matemaacuteticos por las ilusiones oacutepticas se debe a que muchas de ellas guardan relacioacuten con la perspectiva (una rama de la geometriacutea proyectiva) y con otras cuestiones geomeacutetricas Proporshycionan situaciones que dan lugar a plantearse muacuteltiples cuestiones acerca de nuestra percepcioacuten e interpretacioacuten del espacio en el que vivimos y en coacutemo observamos la realidad

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AMBIGUumlEDAD Las ilusiones e imposibilidades nos recuerdan que el mundo exterior en ocasiones no siempre es lo que parece y que ldquomirarrdquo o ldquoverrdquo como sabemos son dos cosas bien distintas porque si bien miramos con los ojos vemos con el cerebro que percibe e interpreta la realidad de forma muy diversa y variada Asiacute dos personas pueden mirar la misma cosa pero no por ello los dos ven lo mismo La caracteriacutestica principal de la mayor parte de figuras imposibles es la ambiguumledadY aunque haya un tipo particular de ilusiones oacutepticas conocidas especiacuteficamente entre los especialistas como figuras ambishyguas la misma idea de ambiguumledad recorre todo el mundo de las ilusiones oacutepticas Por esta razoacuten uno de los lemas que hemos seleccionado como hilo conductor de toda la actividad que aquiacute se presenta es eacuteste la ambiguumledad Ambiguumledad que surge de la dualidad de interpretaciones o la ausencia de interpretacioacuten posible en muchos casos Una parte imporshytante de Experigoza lo constituyen este tipo especial de figuras imposibles que reciben el nombre de figuras ambiguas Estas figuras son aquellas que el ojo ve y que el cerebro interpreta unas veces de una forma y a la vez de otra La interpretashycioacuten espacial de estas imaacutegenes se sobrepone a nuestra voluntad Unas veces son una cosa y otras son otra distinta y lo percibimos asiacute independiente de nuestro empentildeo por mantener un enfoque determinado En las figuras que siguen unas veces vemos un pato y otra un conejo Las dos cosas son diferentes pero no existe oposicioacuten entre ellas es a la vez pato y conejo

Es bien conocida igualmente entre la figuras ambiguas la siguiente a la vez es joven o es vieja pero no las dos cosas a la vez Muchas persoshynas no consiguen en ocasiones enfocar adecuadamente una de las imaacutegenes y soacutelo ven una parte la joven o la vieja

Pero maacutes sorprendente resulta auacuten si cabe que en este tipo de imaacutegenes cuando se ha conseguido el enfoque adecuado de una de ellas si intentamos mirarla fijamente el tiempo suficiente la propia imagen se nos impone y cambia en contra de nuestra voluntad alternando sorprendentemente entre una y otra interpretacioacuten A los nintildeos que tienen una gran capacidad para sorprenderse este tipo de ldquoengantildeosrdquo visuales les entusiasman a la vez que les provoshycan no pequentildeas frustraciones al no poder controlar adecuadamente su capacidad de enfoque Bastantes preguntas y debates surgen con estas propuesshytas aunque siempre se disfruta con el engantildeo que nos proporcionan como se disfruta cuando un mago nos confunde con sus trucos de magia

En Experigoza ademaacutes se muestran muchos otros fenoacutemenos que por su aparente imposibilidad fiacutesica presentan un cierto grado de ambiguumledad anaacuteloga a la apuntada anteriormente pero tienen sin embargo una clara explicacioacuten cientiacutefica Aunque todo lo que se va a ver choca con la realidad esperada no por ello todo es imposible realmente Soacutelo lo es de forma aparente En tal sentido es por lo que nos ha parecido conveniente utilizar como hilo conductor la ambiguumledad

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EL HUESO

En este caso el poliacutegono de partida que permite construir la baldosa es un cuadrado

21

En este apartado se pretende llegar a tener alguna idea de lo que las unidades de medida suponen en nuestra vida y experishymentar para lograr imaacutegenes mentales de la relacioacuten entre magnitudes de medida de distancias superficies y voluacutemenes que no son evidentes

Las primeras unidades de longitud que se registran en la historia estuvieron relacionadas con medidas humanas palmo pie pasohellip Por eso es loacutegico que en las primeras etapas del aprendizaje se sigan utilizando esas medidas aunque hay que advertir sobre las variaciones que pueden ocasionar no son iguales (y a veces ni parecidos) los pies de todos

Por eso mismo en general las unidades de medida variaban mucho seguacuten la regioacuten la comarca e incluso la poblacioacuten tanto que en la entrada de algunas ciudades se indicaban los patrones de medida oficiales en aquella ciudad Esa diversidad dificultashyba el intercambio comercial y era fuente de abusos y malentendidos Por ejemplo la vara de Valencia y de Castelloacuten mediacutea aproximadamente 0906 m mientras que la vara de Teruel era de 0768 m Comprando tela por vara en Valencia y vendieacutendola al mismo precio en Teruel iexclse podiacutea obtener un beneficio del 18 Los pies tambieacuten eran muy distintos desde el pie de Burgos (0278 m) al largo pie franceacutes (0324 m)

La falta de una definicioacuten comuacuten de las unidades de medida permitiacutea que fueran un instrumento de dominacioacuten de las clases populares por parte de los poderosos por eso su unificacioacuten fue uno de los primeros objetivos de la Revolucioacuten Francesa que puso las condiciones para la definicioacuten del metro como base del Sistema Meacutetrico Decimal de uso comuacuten en la actualidad Como en el metro las unidades variacutean seguacuten potencias de 10 los caacutelculos son muy sencillos Lo que se pretende en Experigoshyza es que se comience una relacioacuten cordial vivida y sorprendente de las medidas Porque para medir de forma aproximada utilizamos el sentido de la vista que con frecuencia solo nos sirve para hacernos una idea quizaacutes en el caso de las longitudes Pero cuando se trata de superficies ya falla bastante y todaviacutea maacutes cuando abordamos los voluacutemenes

ME

DID

AS

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Se propone la medicioacuten de distancias en una gran superficie (como podriacutea hacerse en los patios de los centros de ensentildeanza) iquestCoacutemo medir grandes longitudes Se escuchan las propuestas de los diferentes asistentes pasos pies la distancia entre los brazos abiertos nuacutemero de baldosas con cinta meacutetrica Se pasa a la accioacuten con cada una de las propuestas se ponen en comuacuten y se evaluacutean las ventajas e inconvenientesAsiacute hasta obtener una respuesta a la distancia cuya precisioacuten depenshyderaacute de las necesidades que tengamos Finalmente se puede dar una respuesta lsquoexactarsquo por medio de un aparato de laser de los usados por los profesionales que nos da una medicioacuten con la precishysioacuten de un centiacutemetro (que no es necesaria en la vida corriente) En esa misma superficie se puede intentar delimitar una habitacioacuten o toda una casa para intentar hacerse idea de esas superficies

A B

H

h P

espejo

Tambieacuten se haraacute alguna medida indirecta como la altura de alguno de los edificios Para ello se utiliza un meacutetodo sencillo con un espejo Si queremos medir una altura H elegimos una recta AB hasta la base del monumento y desde una altura h que podemos medir (que puede ser la de nuestro ojo) vamos moviendo un espejo hasta que veamos el extremo del monumento en el punto P

Como sabemos que y podemos medir h AP y PB tendremos que

La uacutenica dificultad del procedimiento es que tenemos que medir con cuidado todas las distancias y asegurarnos de que el punto P (donde decimos que

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

vemos el extremo del monumento) estaacute situado alliacute exactamente Por eso es conveniente entrenar previamente el proceso (deduciendo una altura que podamos medir luego de forma directa) para comprobar la exactitud de nuestras medidas (puede ser por ejemplo la altura de una clase)

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TALLER DE MEDIDAS DE VOLUMEN Y PESO

Tenemos una serie de cuerpos geomeacutetricos conos cilindros esferas prismas cubos huecos de madera y plaacutestico cubos de espuma del mismo tamantildeo y diferente densidad diferentes envases industriales (tetrabriks botellas botes ciliacutendricos) y bolas pequentildeas de poliuretano de colores para poder llenarshylos asiacute como una balanza electroacutenica para pesar

Empezamos con un cuerpo corriente el cuboTenemos uno de lado 20 cm otro de 10 centiacutemetros (o un deciacutemetro) y otro cuyo lado es la mitad 5 cm iquesthay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes La del mediano es un deciacutemetro cuacutebico que como podemos comprobar es lo mismo que un litro (la capacidad de los tetrabriks y de muchas botellas) iquestY la del pequentildeo En este caso se hacen apuestas no es ni la mitad ni la tercera ni la cuarta parte iexclEs la octava parte O dicho de otra forma hay que llenar 8 veces el cubo pequentildeo para lograr completar el litro iquestPor queacute Porque su arista es doble (2 veces) y en el caso del volumen hay que elevar al cubo 23=2 x 2 x 2=8

Comparamos un cilindro y un cono huecos de las mismas dimensiones es decir tienen iguales el radio y la altura iquesthay alguna relacioacuten entre los voluacutemenes de ambos De nuevo se hacen apuestas las respuestas habituales son 2 3 o 4 veces Pasamos a experimentarlo Se llena el recipiente coacutenico y lo vaciamos en el cilindro hasta que lo llenemos completamente con tres veces se llena el cilindro de forma completa exacta iexclLa lsquoevidenciarsquo nos puede jugar malas pasadas

Hacemos lo mismo con un prisma y una piraacutemide que tienen la misma base y la misma altura Nos preguntamos de nuevo por si hay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes iquestEs la misma que en el caso anterior Se puede comprobar que siacute y podemos enunciar una regla general

MEDIDAS DE SUPERFICIE

En una cristalera hay bloques de vidrio cuadrados Se trata de ver que si el lado se hace doble triple

10 veces el nuacutemero de bloques es 4 9 100

el volumen de los cuerpos acabados en punta (como los conos o piraacutemides)

es un tercio que de los de la misma base pero cuya seccioacuten permanece

constante (como cilindros o prismas)

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CILINDRO Y ESFERA

Cuando queremos jugar a tenis nos encontramos botes con tres o cuatro pelotas Se trata de esferas dentro de un cilindro Es evidente que hay muchos huecos pero iquestcuaacutento espacio queda libre

Se comprueba que el volumen de la esfera es justamente 23 del volumen de un cilindro de igual base y altura igual a la de la esfera En el caso del bote de cuatro pelotas queda libre 13 del espacio la mitad del ocupado Es decir que en el bote de cuatro hay espashycio libre bastante como para otras dos pelotas de tenis

Tenemos ahora una esfera y un cubo de arista igual al diaacutemetro de la esfera iquestcuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes Comprobamos que en este caso la respuesta no es sencilla iexclNo siempre la natushyraleza es faacutecil

DIFERENTES ENVASES

En los supermercados encontramos envases de formas diferenshytes pero con el mismo volumen Se trata de apostar y experishymentar sobre en cuaacutel cabe maacutes o si tienen igual volumen

DENSIDAD

Tenemos tres cubos de espuma de igual tamantildeo iquestPesaraacuten igual Despueacutes de cogerlos se ve que no y en la baacutescula electroacutenica se comprueban las intuiciones Asiacute tenemos una introduccioacuten al concepto de densidad

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-

Con el descubrimiento consciente de la primera figura imposible en 1934 el mundo visual de los humanos ha experimentado una absoluta novedad Algo que roza los liacutemites de nuestra capacidad de representa cioacuten En este sentido las figuras imposibles son un enriquecimiento del espiacuteritu humano Forman un geacutenero propio No son objetos matemaacuteti cos aunque puede aplicarse la matemaacutetica para describirlos y analizar los Tampoco son obras de arte las figuras imposibles pueden dibujarse con gusto y expresividad pero su eficacia no es subsidiaria de sus cuali dades artiacutesticas Representan un mundo propio un mundo que no es en modo alguno ajeno al hombre Las figuras imposibles son ademaacutes un valioso material de anaacutelisis para conocer mejor el funcionamiento del OJO

Un mundo de figuras imposibles Bruno Ernst

MU

ND

OS

IM

PO

SIB

LE

S

Las ilusiones oacutepticas son divertidas sorprendentes creativasTienen algo de maacutegico y suponen un desafiacuteo a la mente tanto para pequentildeos como para mayores Estimulan la puesta en accioacuten del pensamiento la reflexioacuten la creatividad y especialmente la imagishynacioacuten Pero no soacutelo ocurre con las ilusiones la magia los acertijos las imposibilidades y las paradojas tambieacuten les gustan particushylarmente a los nintildeos Como ha sentildealado Martin Gardner ldquoLas ilusiones oacutepticas figuras objetos o sucesos que no son lo que aparentan al ser percibidos han tenido y tienen todaviacutea una importante relacioacuten con las bellas artes las matemaacuteticas la psicologiacutea e incluso con la filosofiacuteardquo Otros campos de conocimiento como la fiacutesica o la tecnologiacutea no han sido ajenos a la atraccioacuten que provocan estos fenoacutemenos

Aunquedesde un punto de vista menos formal estas actividades puedan considerarse de intereacutes porque son sencillamente divershytidas tambieacuten y como ha apuntado Martin Gardner el intereacutes de los matemaacuteticos por las ilusiones oacutepticas se debe a que muchas de ellas guardan relacioacuten con la perspectiva (una rama de la geometriacutea proyectiva) y con otras cuestiones geomeacutetricas Proporshycionan situaciones que dan lugar a plantearse muacuteltiples cuestiones acerca de nuestra percepcioacuten e interpretacioacuten del espacio en el que vivimos y en coacutemo observamos la realidad

26

AMBIGUumlEDAD Las ilusiones e imposibilidades nos recuerdan que el mundo exterior en ocasiones no siempre es lo que parece y que ldquomirarrdquo o ldquoverrdquo como sabemos son dos cosas bien distintas porque si bien miramos con los ojos vemos con el cerebro que percibe e interpreta la realidad de forma muy diversa y variada Asiacute dos personas pueden mirar la misma cosa pero no por ello los dos ven lo mismo La caracteriacutestica principal de la mayor parte de figuras imposibles es la ambiguumledadY aunque haya un tipo particular de ilusiones oacutepticas conocidas especiacuteficamente entre los especialistas como figuras ambishyguas la misma idea de ambiguumledad recorre todo el mundo de las ilusiones oacutepticas Por esta razoacuten uno de los lemas que hemos seleccionado como hilo conductor de toda la actividad que aquiacute se presenta es eacuteste la ambiguumledad Ambiguumledad que surge de la dualidad de interpretaciones o la ausencia de interpretacioacuten posible en muchos casos Una parte imporshytante de Experigoza lo constituyen este tipo especial de figuras imposibles que reciben el nombre de figuras ambiguas Estas figuras son aquellas que el ojo ve y que el cerebro interpreta unas veces de una forma y a la vez de otra La interpretashycioacuten espacial de estas imaacutegenes se sobrepone a nuestra voluntad Unas veces son una cosa y otras son otra distinta y lo percibimos asiacute independiente de nuestro empentildeo por mantener un enfoque determinado En las figuras que siguen unas veces vemos un pato y otra un conejo Las dos cosas son diferentes pero no existe oposicioacuten entre ellas es a la vez pato y conejo

Es bien conocida igualmente entre la figuras ambiguas la siguiente a la vez es joven o es vieja pero no las dos cosas a la vez Muchas persoshynas no consiguen en ocasiones enfocar adecuadamente una de las imaacutegenes y soacutelo ven una parte la joven o la vieja

Pero maacutes sorprendente resulta auacuten si cabe que en este tipo de imaacutegenes cuando se ha conseguido el enfoque adecuado de una de ellas si intentamos mirarla fijamente el tiempo suficiente la propia imagen se nos impone y cambia en contra de nuestra voluntad alternando sorprendentemente entre una y otra interpretacioacuten A los nintildeos que tienen una gran capacidad para sorprenderse este tipo de ldquoengantildeosrdquo visuales les entusiasman a la vez que les provoshycan no pequentildeas frustraciones al no poder controlar adecuadamente su capacidad de enfoque Bastantes preguntas y debates surgen con estas propuesshytas aunque siempre se disfruta con el engantildeo que nos proporcionan como se disfruta cuando un mago nos confunde con sus trucos de magia

En Experigoza ademaacutes se muestran muchos otros fenoacutemenos que por su aparente imposibilidad fiacutesica presentan un cierto grado de ambiguumledad anaacuteloga a la apuntada anteriormente pero tienen sin embargo una clara explicacioacuten cientiacutefica Aunque todo lo que se va a ver choca con la realidad esperada no por ello todo es imposible realmente Soacutelo lo es de forma aparente En tal sentido es por lo que nos ha parecido conveniente utilizar como hilo conductor la ambiguumledad

27

En este apartado se pretende llegar a tener alguna idea de lo que las unidades de medida suponen en nuestra vida y experishymentar para lograr imaacutegenes mentales de la relacioacuten entre magnitudes de medida de distancias superficies y voluacutemenes que no son evidentes

Las primeras unidades de longitud que se registran en la historia estuvieron relacionadas con medidas humanas palmo pie pasohellip Por eso es loacutegico que en las primeras etapas del aprendizaje se sigan utilizando esas medidas aunque hay que advertir sobre las variaciones que pueden ocasionar no son iguales (y a veces ni parecidos) los pies de todos

Por eso mismo en general las unidades de medida variaban mucho seguacuten la regioacuten la comarca e incluso la poblacioacuten tanto que en la entrada de algunas ciudades se indicaban los patrones de medida oficiales en aquella ciudad Esa diversidad dificultashyba el intercambio comercial y era fuente de abusos y malentendidos Por ejemplo la vara de Valencia y de Castelloacuten mediacutea aproximadamente 0906 m mientras que la vara de Teruel era de 0768 m Comprando tela por vara en Valencia y vendieacutendola al mismo precio en Teruel iexclse podiacutea obtener un beneficio del 18 Los pies tambieacuten eran muy distintos desde el pie de Burgos (0278 m) al largo pie franceacutes (0324 m)

La falta de una definicioacuten comuacuten de las unidades de medida permitiacutea que fueran un instrumento de dominacioacuten de las clases populares por parte de los poderosos por eso su unificacioacuten fue uno de los primeros objetivos de la Revolucioacuten Francesa que puso las condiciones para la definicioacuten del metro como base del Sistema Meacutetrico Decimal de uso comuacuten en la actualidad Como en el metro las unidades variacutean seguacuten potencias de 10 los caacutelculos son muy sencillos Lo que se pretende en Experigoshyza es que se comience una relacioacuten cordial vivida y sorprendente de las medidas Porque para medir de forma aproximada utilizamos el sentido de la vista que con frecuencia solo nos sirve para hacernos una idea quizaacutes en el caso de las longitudes Pero cuando se trata de superficies ya falla bastante y todaviacutea maacutes cuando abordamos los voluacutemenes

ME

DID

AS

22

Se propone la medicioacuten de distancias en una gran superficie (como podriacutea hacerse en los patios de los centros de ensentildeanza) iquestCoacutemo medir grandes longitudes Se escuchan las propuestas de los diferentes asistentes pasos pies la distancia entre los brazos abiertos nuacutemero de baldosas con cinta meacutetrica Se pasa a la accioacuten con cada una de las propuestas se ponen en comuacuten y se evaluacutean las ventajas e inconvenientesAsiacute hasta obtener una respuesta a la distancia cuya precisioacuten depenshyderaacute de las necesidades que tengamos Finalmente se puede dar una respuesta lsquoexactarsquo por medio de un aparato de laser de los usados por los profesionales que nos da una medicioacuten con la precishysioacuten de un centiacutemetro (que no es necesaria en la vida corriente) En esa misma superficie se puede intentar delimitar una habitacioacuten o toda una casa para intentar hacerse idea de esas superficies

A B

H

h P

espejo

Tambieacuten se haraacute alguna medida indirecta como la altura de alguno de los edificios Para ello se utiliza un meacutetodo sencillo con un espejo Si queremos medir una altura H elegimos una recta AB hasta la base del monumento y desde una altura h que podemos medir (que puede ser la de nuestro ojo) vamos moviendo un espejo hasta que veamos el extremo del monumento en el punto P

Como sabemos que y podemos medir h AP y PB tendremos que

La uacutenica dificultad del procedimiento es que tenemos que medir con cuidado todas las distancias y asegurarnos de que el punto P (donde decimos que

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

vemos el extremo del monumento) estaacute situado alliacute exactamente Por eso es conveniente entrenar previamente el proceso (deduciendo una altura que podamos medir luego de forma directa) para comprobar la exactitud de nuestras medidas (puede ser por ejemplo la altura de una clase)

23

TALLER DE MEDIDAS DE VOLUMEN Y PESO

Tenemos una serie de cuerpos geomeacutetricos conos cilindros esferas prismas cubos huecos de madera y plaacutestico cubos de espuma del mismo tamantildeo y diferente densidad diferentes envases industriales (tetrabriks botellas botes ciliacutendricos) y bolas pequentildeas de poliuretano de colores para poder llenarshylos asiacute como una balanza electroacutenica para pesar

Empezamos con un cuerpo corriente el cuboTenemos uno de lado 20 cm otro de 10 centiacutemetros (o un deciacutemetro) y otro cuyo lado es la mitad 5 cm iquesthay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes La del mediano es un deciacutemetro cuacutebico que como podemos comprobar es lo mismo que un litro (la capacidad de los tetrabriks y de muchas botellas) iquestY la del pequentildeo En este caso se hacen apuestas no es ni la mitad ni la tercera ni la cuarta parte iexclEs la octava parte O dicho de otra forma hay que llenar 8 veces el cubo pequentildeo para lograr completar el litro iquestPor queacute Porque su arista es doble (2 veces) y en el caso del volumen hay que elevar al cubo 23=2 x 2 x 2=8

Comparamos un cilindro y un cono huecos de las mismas dimensiones es decir tienen iguales el radio y la altura iquesthay alguna relacioacuten entre los voluacutemenes de ambos De nuevo se hacen apuestas las respuestas habituales son 2 3 o 4 veces Pasamos a experimentarlo Se llena el recipiente coacutenico y lo vaciamos en el cilindro hasta que lo llenemos completamente con tres veces se llena el cilindro de forma completa exacta iexclLa lsquoevidenciarsquo nos puede jugar malas pasadas

Hacemos lo mismo con un prisma y una piraacutemide que tienen la misma base y la misma altura Nos preguntamos de nuevo por si hay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes iquestEs la misma que en el caso anterior Se puede comprobar que siacute y podemos enunciar una regla general

MEDIDAS DE SUPERFICIE

En una cristalera hay bloques de vidrio cuadrados Se trata de ver que si el lado se hace doble triple

10 veces el nuacutemero de bloques es 4 9 100

el volumen de los cuerpos acabados en punta (como los conos o piraacutemides)

es un tercio que de los de la misma base pero cuya seccioacuten permanece

constante (como cilindros o prismas)

24

CILINDRO Y ESFERA

Cuando queremos jugar a tenis nos encontramos botes con tres o cuatro pelotas Se trata de esferas dentro de un cilindro Es evidente que hay muchos huecos pero iquestcuaacutento espacio queda libre

Se comprueba que el volumen de la esfera es justamente 23 del volumen de un cilindro de igual base y altura igual a la de la esfera En el caso del bote de cuatro pelotas queda libre 13 del espacio la mitad del ocupado Es decir que en el bote de cuatro hay espashycio libre bastante como para otras dos pelotas de tenis

Tenemos ahora una esfera y un cubo de arista igual al diaacutemetro de la esfera iquestcuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes Comprobamos que en este caso la respuesta no es sencilla iexclNo siempre la natushyraleza es faacutecil

DIFERENTES ENVASES

En los supermercados encontramos envases de formas diferenshytes pero con el mismo volumen Se trata de apostar y experishymentar sobre en cuaacutel cabe maacutes o si tienen igual volumen

DENSIDAD

Tenemos tres cubos de espuma de igual tamantildeo iquestPesaraacuten igual Despueacutes de cogerlos se ve que no y en la baacutescula electroacutenica se comprueban las intuiciones Asiacute tenemos una introduccioacuten al concepto de densidad

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Con el descubrimiento consciente de la primera figura imposible en 1934 el mundo visual de los humanos ha experimentado una absoluta novedad Algo que roza los liacutemites de nuestra capacidad de representa cioacuten En este sentido las figuras imposibles son un enriquecimiento del espiacuteritu humano Forman un geacutenero propio No son objetos matemaacuteti cos aunque puede aplicarse la matemaacutetica para describirlos y analizar los Tampoco son obras de arte las figuras imposibles pueden dibujarse con gusto y expresividad pero su eficacia no es subsidiaria de sus cuali dades artiacutesticas Representan un mundo propio un mundo que no es en modo alguno ajeno al hombre Las figuras imposibles son ademaacutes un valioso material de anaacutelisis para conocer mejor el funcionamiento del OJO

Un mundo de figuras imposibles Bruno Ernst

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Las ilusiones oacutepticas son divertidas sorprendentes creativasTienen algo de maacutegico y suponen un desafiacuteo a la mente tanto para pequentildeos como para mayores Estimulan la puesta en accioacuten del pensamiento la reflexioacuten la creatividad y especialmente la imagishynacioacuten Pero no soacutelo ocurre con las ilusiones la magia los acertijos las imposibilidades y las paradojas tambieacuten les gustan particushylarmente a los nintildeos Como ha sentildealado Martin Gardner ldquoLas ilusiones oacutepticas figuras objetos o sucesos que no son lo que aparentan al ser percibidos han tenido y tienen todaviacutea una importante relacioacuten con las bellas artes las matemaacuteticas la psicologiacutea e incluso con la filosofiacuteardquo Otros campos de conocimiento como la fiacutesica o la tecnologiacutea no han sido ajenos a la atraccioacuten que provocan estos fenoacutemenos

Aunquedesde un punto de vista menos formal estas actividades puedan considerarse de intereacutes porque son sencillamente divershytidas tambieacuten y como ha apuntado Martin Gardner el intereacutes de los matemaacuteticos por las ilusiones oacutepticas se debe a que muchas de ellas guardan relacioacuten con la perspectiva (una rama de la geometriacutea proyectiva) y con otras cuestiones geomeacutetricas Proporshycionan situaciones que dan lugar a plantearse muacuteltiples cuestiones acerca de nuestra percepcioacuten e interpretacioacuten del espacio en el que vivimos y en coacutemo observamos la realidad

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AMBIGUumlEDAD Las ilusiones e imposibilidades nos recuerdan que el mundo exterior en ocasiones no siempre es lo que parece y que ldquomirarrdquo o ldquoverrdquo como sabemos son dos cosas bien distintas porque si bien miramos con los ojos vemos con el cerebro que percibe e interpreta la realidad de forma muy diversa y variada Asiacute dos personas pueden mirar la misma cosa pero no por ello los dos ven lo mismo La caracteriacutestica principal de la mayor parte de figuras imposibles es la ambiguumledadY aunque haya un tipo particular de ilusiones oacutepticas conocidas especiacuteficamente entre los especialistas como figuras ambishyguas la misma idea de ambiguumledad recorre todo el mundo de las ilusiones oacutepticas Por esta razoacuten uno de los lemas que hemos seleccionado como hilo conductor de toda la actividad que aquiacute se presenta es eacuteste la ambiguumledad Ambiguumledad que surge de la dualidad de interpretaciones o la ausencia de interpretacioacuten posible en muchos casos Una parte imporshytante de Experigoza lo constituyen este tipo especial de figuras imposibles que reciben el nombre de figuras ambiguas Estas figuras son aquellas que el ojo ve y que el cerebro interpreta unas veces de una forma y a la vez de otra La interpretashycioacuten espacial de estas imaacutegenes se sobrepone a nuestra voluntad Unas veces son una cosa y otras son otra distinta y lo percibimos asiacute independiente de nuestro empentildeo por mantener un enfoque determinado En las figuras que siguen unas veces vemos un pato y otra un conejo Las dos cosas son diferentes pero no existe oposicioacuten entre ellas es a la vez pato y conejo

Es bien conocida igualmente entre la figuras ambiguas la siguiente a la vez es joven o es vieja pero no las dos cosas a la vez Muchas persoshynas no consiguen en ocasiones enfocar adecuadamente una de las imaacutegenes y soacutelo ven una parte la joven o la vieja

Pero maacutes sorprendente resulta auacuten si cabe que en este tipo de imaacutegenes cuando se ha conseguido el enfoque adecuado de una de ellas si intentamos mirarla fijamente el tiempo suficiente la propia imagen se nos impone y cambia en contra de nuestra voluntad alternando sorprendentemente entre una y otra interpretacioacuten A los nintildeos que tienen una gran capacidad para sorprenderse este tipo de ldquoengantildeosrdquo visuales les entusiasman a la vez que les provoshycan no pequentildeas frustraciones al no poder controlar adecuadamente su capacidad de enfoque Bastantes preguntas y debates surgen con estas propuesshytas aunque siempre se disfruta con el engantildeo que nos proporcionan como se disfruta cuando un mago nos confunde con sus trucos de magia

En Experigoza ademaacutes se muestran muchos otros fenoacutemenos que por su aparente imposibilidad fiacutesica presentan un cierto grado de ambiguumledad anaacuteloga a la apuntada anteriormente pero tienen sin embargo una clara explicacioacuten cientiacutefica Aunque todo lo que se va a ver choca con la realidad esperada no por ello todo es imposible realmente Soacutelo lo es de forma aparente En tal sentido es por lo que nos ha parecido conveniente utilizar como hilo conductor la ambiguumledad

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Se propone la medicioacuten de distancias en una gran superficie (como podriacutea hacerse en los patios de los centros de ensentildeanza) iquestCoacutemo medir grandes longitudes Se escuchan las propuestas de los diferentes asistentes pasos pies la distancia entre los brazos abiertos nuacutemero de baldosas con cinta meacutetrica Se pasa a la accioacuten con cada una de las propuestas se ponen en comuacuten y se evaluacutean las ventajas e inconvenientesAsiacute hasta obtener una respuesta a la distancia cuya precisioacuten depenshyderaacute de las necesidades que tengamos Finalmente se puede dar una respuesta lsquoexactarsquo por medio de un aparato de laser de los usados por los profesionales que nos da una medicioacuten con la precishysioacuten de un centiacutemetro (que no es necesaria en la vida corriente) En esa misma superficie se puede intentar delimitar una habitacioacuten o toda una casa para intentar hacerse idea de esas superficies

A B

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h P

espejo

Tambieacuten se haraacute alguna medida indirecta como la altura de alguno de los edificios Para ello se utiliza un meacutetodo sencillo con un espejo Si queremos medir una altura H elegimos una recta AB hasta la base del monumento y desde una altura h que podemos medir (que puede ser la de nuestro ojo) vamos moviendo un espejo hasta que veamos el extremo del monumento en el punto P

Como sabemos que y podemos medir h AP y PB tendremos que

La uacutenica dificultad del procedimiento es que tenemos que medir con cuidado todas las distancias y asegurarnos de que el punto P (donde decimos que

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

vemos el extremo del monumento) estaacute situado alliacute exactamente Por eso es conveniente entrenar previamente el proceso (deduciendo una altura que podamos medir luego de forma directa) para comprobar la exactitud de nuestras medidas (puede ser por ejemplo la altura de una clase)

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TALLER DE MEDIDAS DE VOLUMEN Y PESO

Tenemos una serie de cuerpos geomeacutetricos conos cilindros esferas prismas cubos huecos de madera y plaacutestico cubos de espuma del mismo tamantildeo y diferente densidad diferentes envases industriales (tetrabriks botellas botes ciliacutendricos) y bolas pequentildeas de poliuretano de colores para poder llenarshylos asiacute como una balanza electroacutenica para pesar

Empezamos con un cuerpo corriente el cuboTenemos uno de lado 20 cm otro de 10 centiacutemetros (o un deciacutemetro) y otro cuyo lado es la mitad 5 cm iquesthay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes La del mediano es un deciacutemetro cuacutebico que como podemos comprobar es lo mismo que un litro (la capacidad de los tetrabriks y de muchas botellas) iquestY la del pequentildeo En este caso se hacen apuestas no es ni la mitad ni la tercera ni la cuarta parte iexclEs la octava parte O dicho de otra forma hay que llenar 8 veces el cubo pequentildeo para lograr completar el litro iquestPor queacute Porque su arista es doble (2 veces) y en el caso del volumen hay que elevar al cubo 23=2 x 2 x 2=8

Comparamos un cilindro y un cono huecos de las mismas dimensiones es decir tienen iguales el radio y la altura iquesthay alguna relacioacuten entre los voluacutemenes de ambos De nuevo se hacen apuestas las respuestas habituales son 2 3 o 4 veces Pasamos a experimentarlo Se llena el recipiente coacutenico y lo vaciamos en el cilindro hasta que lo llenemos completamente con tres veces se llena el cilindro de forma completa exacta iexclLa lsquoevidenciarsquo nos puede jugar malas pasadas

Hacemos lo mismo con un prisma y una piraacutemide que tienen la misma base y la misma altura Nos preguntamos de nuevo por si hay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes iquestEs la misma que en el caso anterior Se puede comprobar que siacute y podemos enunciar una regla general

MEDIDAS DE SUPERFICIE

En una cristalera hay bloques de vidrio cuadrados Se trata de ver que si el lado se hace doble triple

10 veces el nuacutemero de bloques es 4 9 100

el volumen de los cuerpos acabados en punta (como los conos o piraacutemides)

es un tercio que de los de la misma base pero cuya seccioacuten permanece

constante (como cilindros o prismas)

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CILINDRO Y ESFERA

Cuando queremos jugar a tenis nos encontramos botes con tres o cuatro pelotas Se trata de esferas dentro de un cilindro Es evidente que hay muchos huecos pero iquestcuaacutento espacio queda libre

Se comprueba que el volumen de la esfera es justamente 23 del volumen de un cilindro de igual base y altura igual a la de la esfera En el caso del bote de cuatro pelotas queda libre 13 del espacio la mitad del ocupado Es decir que en el bote de cuatro hay espashycio libre bastante como para otras dos pelotas de tenis

Tenemos ahora una esfera y un cubo de arista igual al diaacutemetro de la esfera iquestcuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes Comprobamos que en este caso la respuesta no es sencilla iexclNo siempre la natushyraleza es faacutecil

DIFERENTES ENVASES

En los supermercados encontramos envases de formas diferenshytes pero con el mismo volumen Se trata de apostar y experishymentar sobre en cuaacutel cabe maacutes o si tienen igual volumen

DENSIDAD

Tenemos tres cubos de espuma de igual tamantildeo iquestPesaraacuten igual Despueacutes de cogerlos se ve que no y en la baacutescula electroacutenica se comprueban las intuiciones Asiacute tenemos una introduccioacuten al concepto de densidad

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Con el descubrimiento consciente de la primera figura imposible en 1934 el mundo visual de los humanos ha experimentado una absoluta novedad Algo que roza los liacutemites de nuestra capacidad de representa cioacuten En este sentido las figuras imposibles son un enriquecimiento del espiacuteritu humano Forman un geacutenero propio No son objetos matemaacuteti cos aunque puede aplicarse la matemaacutetica para describirlos y analizar los Tampoco son obras de arte las figuras imposibles pueden dibujarse con gusto y expresividad pero su eficacia no es subsidiaria de sus cuali dades artiacutesticas Representan un mundo propio un mundo que no es en modo alguno ajeno al hombre Las figuras imposibles son ademaacutes un valioso material de anaacutelisis para conocer mejor el funcionamiento del OJO

Un mundo de figuras imposibles Bruno Ernst

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Las ilusiones oacutepticas son divertidas sorprendentes creativasTienen algo de maacutegico y suponen un desafiacuteo a la mente tanto para pequentildeos como para mayores Estimulan la puesta en accioacuten del pensamiento la reflexioacuten la creatividad y especialmente la imagishynacioacuten Pero no soacutelo ocurre con las ilusiones la magia los acertijos las imposibilidades y las paradojas tambieacuten les gustan particushylarmente a los nintildeos Como ha sentildealado Martin Gardner ldquoLas ilusiones oacutepticas figuras objetos o sucesos que no son lo que aparentan al ser percibidos han tenido y tienen todaviacutea una importante relacioacuten con las bellas artes las matemaacuteticas la psicologiacutea e incluso con la filosofiacuteardquo Otros campos de conocimiento como la fiacutesica o la tecnologiacutea no han sido ajenos a la atraccioacuten que provocan estos fenoacutemenos

Aunquedesde un punto de vista menos formal estas actividades puedan considerarse de intereacutes porque son sencillamente divershytidas tambieacuten y como ha apuntado Martin Gardner el intereacutes de los matemaacuteticos por las ilusiones oacutepticas se debe a que muchas de ellas guardan relacioacuten con la perspectiva (una rama de la geometriacutea proyectiva) y con otras cuestiones geomeacutetricas Proporshycionan situaciones que dan lugar a plantearse muacuteltiples cuestiones acerca de nuestra percepcioacuten e interpretacioacuten del espacio en el que vivimos y en coacutemo observamos la realidad

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AMBIGUumlEDAD Las ilusiones e imposibilidades nos recuerdan que el mundo exterior en ocasiones no siempre es lo que parece y que ldquomirarrdquo o ldquoverrdquo como sabemos son dos cosas bien distintas porque si bien miramos con los ojos vemos con el cerebro que percibe e interpreta la realidad de forma muy diversa y variada Asiacute dos personas pueden mirar la misma cosa pero no por ello los dos ven lo mismo La caracteriacutestica principal de la mayor parte de figuras imposibles es la ambiguumledadY aunque haya un tipo particular de ilusiones oacutepticas conocidas especiacuteficamente entre los especialistas como figuras ambishyguas la misma idea de ambiguumledad recorre todo el mundo de las ilusiones oacutepticas Por esta razoacuten uno de los lemas que hemos seleccionado como hilo conductor de toda la actividad que aquiacute se presenta es eacuteste la ambiguumledad Ambiguumledad que surge de la dualidad de interpretaciones o la ausencia de interpretacioacuten posible en muchos casos Una parte imporshytante de Experigoza lo constituyen este tipo especial de figuras imposibles que reciben el nombre de figuras ambiguas Estas figuras son aquellas que el ojo ve y que el cerebro interpreta unas veces de una forma y a la vez de otra La interpretashycioacuten espacial de estas imaacutegenes se sobrepone a nuestra voluntad Unas veces son una cosa y otras son otra distinta y lo percibimos asiacute independiente de nuestro empentildeo por mantener un enfoque determinado En las figuras que siguen unas veces vemos un pato y otra un conejo Las dos cosas son diferentes pero no existe oposicioacuten entre ellas es a la vez pato y conejo

Es bien conocida igualmente entre la figuras ambiguas la siguiente a la vez es joven o es vieja pero no las dos cosas a la vez Muchas persoshynas no consiguen en ocasiones enfocar adecuadamente una de las imaacutegenes y soacutelo ven una parte la joven o la vieja

Pero maacutes sorprendente resulta auacuten si cabe que en este tipo de imaacutegenes cuando se ha conseguido el enfoque adecuado de una de ellas si intentamos mirarla fijamente el tiempo suficiente la propia imagen se nos impone y cambia en contra de nuestra voluntad alternando sorprendentemente entre una y otra interpretacioacuten A los nintildeos que tienen una gran capacidad para sorprenderse este tipo de ldquoengantildeosrdquo visuales les entusiasman a la vez que les provoshycan no pequentildeas frustraciones al no poder controlar adecuadamente su capacidad de enfoque Bastantes preguntas y debates surgen con estas propuesshytas aunque siempre se disfruta con el engantildeo que nos proporcionan como se disfruta cuando un mago nos confunde con sus trucos de magia

En Experigoza ademaacutes se muestran muchos otros fenoacutemenos que por su aparente imposibilidad fiacutesica presentan un cierto grado de ambiguumledad anaacuteloga a la apuntada anteriormente pero tienen sin embargo una clara explicacioacuten cientiacutefica Aunque todo lo que se va a ver choca con la realidad esperada no por ello todo es imposible realmente Soacutelo lo es de forma aparente En tal sentido es por lo que nos ha parecido conveniente utilizar como hilo conductor la ambiguumledad

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TALLER DE MEDIDAS DE VOLUMEN Y PESO

Tenemos una serie de cuerpos geomeacutetricos conos cilindros esferas prismas cubos huecos de madera y plaacutestico cubos de espuma del mismo tamantildeo y diferente densidad diferentes envases industriales (tetrabriks botellas botes ciliacutendricos) y bolas pequentildeas de poliuretano de colores para poder llenarshylos asiacute como una balanza electroacutenica para pesar

Empezamos con un cuerpo corriente el cuboTenemos uno de lado 20 cm otro de 10 centiacutemetros (o un deciacutemetro) y otro cuyo lado es la mitad 5 cm iquesthay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes La del mediano es un deciacutemetro cuacutebico que como podemos comprobar es lo mismo que un litro (la capacidad de los tetrabriks y de muchas botellas) iquestY la del pequentildeo En este caso se hacen apuestas no es ni la mitad ni la tercera ni la cuarta parte iexclEs la octava parte O dicho de otra forma hay que llenar 8 veces el cubo pequentildeo para lograr completar el litro iquestPor queacute Porque su arista es doble (2 veces) y en el caso del volumen hay que elevar al cubo 23=2 x 2 x 2=8

Comparamos un cilindro y un cono huecos de las mismas dimensiones es decir tienen iguales el radio y la altura iquesthay alguna relacioacuten entre los voluacutemenes de ambos De nuevo se hacen apuestas las respuestas habituales son 2 3 o 4 veces Pasamos a experimentarlo Se llena el recipiente coacutenico y lo vaciamos en el cilindro hasta que lo llenemos completamente con tres veces se llena el cilindro de forma completa exacta iexclLa lsquoevidenciarsquo nos puede jugar malas pasadas

Hacemos lo mismo con un prisma y una piraacutemide que tienen la misma base y la misma altura Nos preguntamos de nuevo por si hay alguna relacioacuten entre sus voluacutemenes iquestEs la misma que en el caso anterior Se puede comprobar que siacute y podemos enunciar una regla general

MEDIDAS DE SUPERFICIE

En una cristalera hay bloques de vidrio cuadrados Se trata de ver que si el lado se hace doble triple

10 veces el nuacutemero de bloques es 4 9 100

el volumen de los cuerpos acabados en punta (como los conos o piraacutemides)

es un tercio que de los de la misma base pero cuya seccioacuten permanece

constante (como cilindros o prismas)

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CILINDRO Y ESFERA

Cuando queremos jugar a tenis nos encontramos botes con tres o cuatro pelotas Se trata de esferas dentro de un cilindro Es evidente que hay muchos huecos pero iquestcuaacutento espacio queda libre

Se comprueba que el volumen de la esfera es justamente 23 del volumen de un cilindro de igual base y altura igual a la de la esfera En el caso del bote de cuatro pelotas queda libre 13 del espacio la mitad del ocupado Es decir que en el bote de cuatro hay espashycio libre bastante como para otras dos pelotas de tenis

Tenemos ahora una esfera y un cubo de arista igual al diaacutemetro de la esfera iquestcuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes Comprobamos que en este caso la respuesta no es sencilla iexclNo siempre la natushyraleza es faacutecil

DIFERENTES ENVASES

En los supermercados encontramos envases de formas diferenshytes pero con el mismo volumen Se trata de apostar y experishymentar sobre en cuaacutel cabe maacutes o si tienen igual volumen

DENSIDAD

Tenemos tres cubos de espuma de igual tamantildeo iquestPesaraacuten igual Despueacutes de cogerlos se ve que no y en la baacutescula electroacutenica se comprueban las intuiciones Asiacute tenemos una introduccioacuten al concepto de densidad

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Con el descubrimiento consciente de la primera figura imposible en 1934 el mundo visual de los humanos ha experimentado una absoluta novedad Algo que roza los liacutemites de nuestra capacidad de representa cioacuten En este sentido las figuras imposibles son un enriquecimiento del espiacuteritu humano Forman un geacutenero propio No son objetos matemaacuteti cos aunque puede aplicarse la matemaacutetica para describirlos y analizar los Tampoco son obras de arte las figuras imposibles pueden dibujarse con gusto y expresividad pero su eficacia no es subsidiaria de sus cuali dades artiacutesticas Representan un mundo propio un mundo que no es en modo alguno ajeno al hombre Las figuras imposibles son ademaacutes un valioso material de anaacutelisis para conocer mejor el funcionamiento del OJO

Un mundo de figuras imposibles Bruno Ernst

MU

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Las ilusiones oacutepticas son divertidas sorprendentes creativasTienen algo de maacutegico y suponen un desafiacuteo a la mente tanto para pequentildeos como para mayores Estimulan la puesta en accioacuten del pensamiento la reflexioacuten la creatividad y especialmente la imagishynacioacuten Pero no soacutelo ocurre con las ilusiones la magia los acertijos las imposibilidades y las paradojas tambieacuten les gustan particushylarmente a los nintildeos Como ha sentildealado Martin Gardner ldquoLas ilusiones oacutepticas figuras objetos o sucesos que no son lo que aparentan al ser percibidos han tenido y tienen todaviacutea una importante relacioacuten con las bellas artes las matemaacuteticas la psicologiacutea e incluso con la filosofiacuteardquo Otros campos de conocimiento como la fiacutesica o la tecnologiacutea no han sido ajenos a la atraccioacuten que provocan estos fenoacutemenos

Aunquedesde un punto de vista menos formal estas actividades puedan considerarse de intereacutes porque son sencillamente divershytidas tambieacuten y como ha apuntado Martin Gardner el intereacutes de los matemaacuteticos por las ilusiones oacutepticas se debe a que muchas de ellas guardan relacioacuten con la perspectiva (una rama de la geometriacutea proyectiva) y con otras cuestiones geomeacutetricas Proporshycionan situaciones que dan lugar a plantearse muacuteltiples cuestiones acerca de nuestra percepcioacuten e interpretacioacuten del espacio en el que vivimos y en coacutemo observamos la realidad

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AMBIGUumlEDAD Las ilusiones e imposibilidades nos recuerdan que el mundo exterior en ocasiones no siempre es lo que parece y que ldquomirarrdquo o ldquoverrdquo como sabemos son dos cosas bien distintas porque si bien miramos con los ojos vemos con el cerebro que percibe e interpreta la realidad de forma muy diversa y variada Asiacute dos personas pueden mirar la misma cosa pero no por ello los dos ven lo mismo La caracteriacutestica principal de la mayor parte de figuras imposibles es la ambiguumledadY aunque haya un tipo particular de ilusiones oacutepticas conocidas especiacuteficamente entre los especialistas como figuras ambishyguas la misma idea de ambiguumledad recorre todo el mundo de las ilusiones oacutepticas Por esta razoacuten uno de los lemas que hemos seleccionado como hilo conductor de toda la actividad que aquiacute se presenta es eacuteste la ambiguumledad Ambiguumledad que surge de la dualidad de interpretaciones o la ausencia de interpretacioacuten posible en muchos casos Una parte imporshytante de Experigoza lo constituyen este tipo especial de figuras imposibles que reciben el nombre de figuras ambiguas Estas figuras son aquellas que el ojo ve y que el cerebro interpreta unas veces de una forma y a la vez de otra La interpretashycioacuten espacial de estas imaacutegenes se sobrepone a nuestra voluntad Unas veces son una cosa y otras son otra distinta y lo percibimos asiacute independiente de nuestro empentildeo por mantener un enfoque determinado En las figuras que siguen unas veces vemos un pato y otra un conejo Las dos cosas son diferentes pero no existe oposicioacuten entre ellas es a la vez pato y conejo

Es bien conocida igualmente entre la figuras ambiguas la siguiente a la vez es joven o es vieja pero no las dos cosas a la vez Muchas persoshynas no consiguen en ocasiones enfocar adecuadamente una de las imaacutegenes y soacutelo ven una parte la joven o la vieja

Pero maacutes sorprendente resulta auacuten si cabe que en este tipo de imaacutegenes cuando se ha conseguido el enfoque adecuado de una de ellas si intentamos mirarla fijamente el tiempo suficiente la propia imagen se nos impone y cambia en contra de nuestra voluntad alternando sorprendentemente entre una y otra interpretacioacuten A los nintildeos que tienen una gran capacidad para sorprenderse este tipo de ldquoengantildeosrdquo visuales les entusiasman a la vez que les provoshycan no pequentildeas frustraciones al no poder controlar adecuadamente su capacidad de enfoque Bastantes preguntas y debates surgen con estas propuesshytas aunque siempre se disfruta con el engantildeo que nos proporcionan como se disfruta cuando un mago nos confunde con sus trucos de magia

En Experigoza ademaacutes se muestran muchos otros fenoacutemenos que por su aparente imposibilidad fiacutesica presentan un cierto grado de ambiguumledad anaacuteloga a la apuntada anteriormente pero tienen sin embargo una clara explicacioacuten cientiacutefica Aunque todo lo que se va a ver choca con la realidad esperada no por ello todo es imposible realmente Soacutelo lo es de forma aparente En tal sentido es por lo que nos ha parecido conveniente utilizar como hilo conductor la ambiguumledad

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CILINDRO Y ESFERA

Cuando queremos jugar a tenis nos encontramos botes con tres o cuatro pelotas Se trata de esferas dentro de un cilindro Es evidente que hay muchos huecos pero iquestcuaacutento espacio queda libre

Se comprueba que el volumen de la esfera es justamente 23 del volumen de un cilindro de igual base y altura igual a la de la esfera En el caso del bote de cuatro pelotas queda libre 13 del espacio la mitad del ocupado Es decir que en el bote de cuatro hay espashycio libre bastante como para otras dos pelotas de tenis

Tenemos ahora una esfera y un cubo de arista igual al diaacutemetro de la esfera iquestcuaacutel es la relacioacuten entre sus voluacutemenes Comprobamos que en este caso la respuesta no es sencilla iexclNo siempre la natushyraleza es faacutecil

DIFERENTES ENVASES

En los supermercados encontramos envases de formas diferenshytes pero con el mismo volumen Se trata de apostar y experishymentar sobre en cuaacutel cabe maacutes o si tienen igual volumen

DENSIDAD

Tenemos tres cubos de espuma de igual tamantildeo iquestPesaraacuten igual Despueacutes de cogerlos se ve que no y en la baacutescula electroacutenica se comprueban las intuiciones Asiacute tenemos una introduccioacuten al concepto de densidad

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Con el descubrimiento consciente de la primera figura imposible en 1934 el mundo visual de los humanos ha experimentado una absoluta novedad Algo que roza los liacutemites de nuestra capacidad de representa cioacuten En este sentido las figuras imposibles son un enriquecimiento del espiacuteritu humano Forman un geacutenero propio No son objetos matemaacuteti cos aunque puede aplicarse la matemaacutetica para describirlos y analizar los Tampoco son obras de arte las figuras imposibles pueden dibujarse con gusto y expresividad pero su eficacia no es subsidiaria de sus cuali dades artiacutesticas Representan un mundo propio un mundo que no es en modo alguno ajeno al hombre Las figuras imposibles son ademaacutes un valioso material de anaacutelisis para conocer mejor el funcionamiento del OJO

Un mundo de figuras imposibles Bruno Ernst

MU

ND

OS

IM

PO

SIB

LE

S

Las ilusiones oacutepticas son divertidas sorprendentes creativasTienen algo de maacutegico y suponen un desafiacuteo a la mente tanto para pequentildeos como para mayores Estimulan la puesta en accioacuten del pensamiento la reflexioacuten la creatividad y especialmente la imagishynacioacuten Pero no soacutelo ocurre con las ilusiones la magia los acertijos las imposibilidades y las paradojas tambieacuten les gustan particushylarmente a los nintildeos Como ha sentildealado Martin Gardner ldquoLas ilusiones oacutepticas figuras objetos o sucesos que no son lo que aparentan al ser percibidos han tenido y tienen todaviacutea una importante relacioacuten con las bellas artes las matemaacuteticas la psicologiacutea e incluso con la filosofiacuteardquo Otros campos de conocimiento como la fiacutesica o la tecnologiacutea no han sido ajenos a la atraccioacuten que provocan estos fenoacutemenos

Aunquedesde un punto de vista menos formal estas actividades puedan considerarse de intereacutes porque son sencillamente divershytidas tambieacuten y como ha apuntado Martin Gardner el intereacutes de los matemaacuteticos por las ilusiones oacutepticas se debe a que muchas de ellas guardan relacioacuten con la perspectiva (una rama de la geometriacutea proyectiva) y con otras cuestiones geomeacutetricas Proporshycionan situaciones que dan lugar a plantearse muacuteltiples cuestiones acerca de nuestra percepcioacuten e interpretacioacuten del espacio en el que vivimos y en coacutemo observamos la realidad

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AMBIGUumlEDAD Las ilusiones e imposibilidades nos recuerdan que el mundo exterior en ocasiones no siempre es lo que parece y que ldquomirarrdquo o ldquoverrdquo como sabemos son dos cosas bien distintas porque si bien miramos con los ojos vemos con el cerebro que percibe e interpreta la realidad de forma muy diversa y variada Asiacute dos personas pueden mirar la misma cosa pero no por ello los dos ven lo mismo La caracteriacutestica principal de la mayor parte de figuras imposibles es la ambiguumledadY aunque haya un tipo particular de ilusiones oacutepticas conocidas especiacuteficamente entre los especialistas como figuras ambishyguas la misma idea de ambiguumledad recorre todo el mundo de las ilusiones oacutepticas Por esta razoacuten uno de los lemas que hemos seleccionado como hilo conductor de toda la actividad que aquiacute se presenta es eacuteste la ambiguumledad Ambiguumledad que surge de la dualidad de interpretaciones o la ausencia de interpretacioacuten posible en muchos casos Una parte imporshytante de Experigoza lo constituyen este tipo especial de figuras imposibles que reciben el nombre de figuras ambiguas Estas figuras son aquellas que el ojo ve y que el cerebro interpreta unas veces de una forma y a la vez de otra La interpretashycioacuten espacial de estas imaacutegenes se sobrepone a nuestra voluntad Unas veces son una cosa y otras son otra distinta y lo percibimos asiacute independiente de nuestro empentildeo por mantener un enfoque determinado En las figuras que siguen unas veces vemos un pato y otra un conejo Las dos cosas son diferentes pero no existe oposicioacuten entre ellas es a la vez pato y conejo

Es bien conocida igualmente entre la figuras ambiguas la siguiente a la vez es joven o es vieja pero no las dos cosas a la vez Muchas persoshynas no consiguen en ocasiones enfocar adecuadamente una de las imaacutegenes y soacutelo ven una parte la joven o la vieja

Pero maacutes sorprendente resulta auacuten si cabe que en este tipo de imaacutegenes cuando se ha conseguido el enfoque adecuado de una de ellas si intentamos mirarla fijamente el tiempo suficiente la propia imagen se nos impone y cambia en contra de nuestra voluntad alternando sorprendentemente entre una y otra interpretacioacuten A los nintildeos que tienen una gran capacidad para sorprenderse este tipo de ldquoengantildeosrdquo visuales les entusiasman a la vez que les provoshycan no pequentildeas frustraciones al no poder controlar adecuadamente su capacidad de enfoque Bastantes preguntas y debates surgen con estas propuesshytas aunque siempre se disfruta con el engantildeo que nos proporcionan como se disfruta cuando un mago nos confunde con sus trucos de magia

En Experigoza ademaacutes se muestran muchos otros fenoacutemenos que por su aparente imposibilidad fiacutesica presentan un cierto grado de ambiguumledad anaacuteloga a la apuntada anteriormente pero tienen sin embargo una clara explicacioacuten cientiacutefica Aunque todo lo que se va a ver choca con la realidad esperada no por ello todo es imposible realmente Soacutelo lo es de forma aparente En tal sentido es por lo que nos ha parecido conveniente utilizar como hilo conductor la ambiguumledad

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Con el descubrimiento consciente de la primera figura imposible en 1934 el mundo visual de los humanos ha experimentado una absoluta novedad Algo que roza los liacutemites de nuestra capacidad de representa cioacuten En este sentido las figuras imposibles son un enriquecimiento del espiacuteritu humano Forman un geacutenero propio No son objetos matemaacuteti cos aunque puede aplicarse la matemaacutetica para describirlos y analizar los Tampoco son obras de arte las figuras imposibles pueden dibujarse con gusto y expresividad pero su eficacia no es subsidiaria de sus cuali dades artiacutesticas Representan un mundo propio un mundo que no es en modo alguno ajeno al hombre Las figuras imposibles son ademaacutes un valioso material de anaacutelisis para conocer mejor el funcionamiento del OJO

Un mundo de figuras imposibles Bruno Ernst

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Las ilusiones oacutepticas son divertidas sorprendentes creativasTienen algo de maacutegico y suponen un desafiacuteo a la mente tanto para pequentildeos como para mayores Estimulan la puesta en accioacuten del pensamiento la reflexioacuten la creatividad y especialmente la imagishynacioacuten Pero no soacutelo ocurre con las ilusiones la magia los acertijos las imposibilidades y las paradojas tambieacuten les gustan particushylarmente a los nintildeos Como ha sentildealado Martin Gardner ldquoLas ilusiones oacutepticas figuras objetos o sucesos que no son lo que aparentan al ser percibidos han tenido y tienen todaviacutea una importante relacioacuten con las bellas artes las matemaacuteticas la psicologiacutea e incluso con la filosofiacuteardquo Otros campos de conocimiento como la fiacutesica o la tecnologiacutea no han sido ajenos a la atraccioacuten que provocan estos fenoacutemenos

Aunquedesde un punto de vista menos formal estas actividades puedan considerarse de intereacutes porque son sencillamente divershytidas tambieacuten y como ha apuntado Martin Gardner el intereacutes de los matemaacuteticos por las ilusiones oacutepticas se debe a que muchas de ellas guardan relacioacuten con la perspectiva (una rama de la geometriacutea proyectiva) y con otras cuestiones geomeacutetricas Proporshycionan situaciones que dan lugar a plantearse muacuteltiples cuestiones acerca de nuestra percepcioacuten e interpretacioacuten del espacio en el que vivimos y en coacutemo observamos la realidad

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AMBIGUumlEDAD Las ilusiones e imposibilidades nos recuerdan que el mundo exterior en ocasiones no siempre es lo que parece y que ldquomirarrdquo o ldquoverrdquo como sabemos son dos cosas bien distintas porque si bien miramos con los ojos vemos con el cerebro que percibe e interpreta la realidad de forma muy diversa y variada Asiacute dos personas pueden mirar la misma cosa pero no por ello los dos ven lo mismo La caracteriacutestica principal de la mayor parte de figuras imposibles es la ambiguumledadY aunque haya un tipo particular de ilusiones oacutepticas conocidas especiacuteficamente entre los especialistas como figuras ambishyguas la misma idea de ambiguumledad recorre todo el mundo de las ilusiones oacutepticas Por esta razoacuten uno de los lemas que hemos seleccionado como hilo conductor de toda la actividad que aquiacute se presenta es eacuteste la ambiguumledad Ambiguumledad que surge de la dualidad de interpretaciones o la ausencia de interpretacioacuten posible en muchos casos Una parte imporshytante de Experigoza lo constituyen este tipo especial de figuras imposibles que reciben el nombre de figuras ambiguas Estas figuras son aquellas que el ojo ve y que el cerebro interpreta unas veces de una forma y a la vez de otra La interpretashycioacuten espacial de estas imaacutegenes se sobrepone a nuestra voluntad Unas veces son una cosa y otras son otra distinta y lo percibimos asiacute independiente de nuestro empentildeo por mantener un enfoque determinado En las figuras que siguen unas veces vemos un pato y otra un conejo Las dos cosas son diferentes pero no existe oposicioacuten entre ellas es a la vez pato y conejo

Es bien conocida igualmente entre la figuras ambiguas la siguiente a la vez es joven o es vieja pero no las dos cosas a la vez Muchas persoshynas no consiguen en ocasiones enfocar adecuadamente una de las imaacutegenes y soacutelo ven una parte la joven o la vieja

Pero maacutes sorprendente resulta auacuten si cabe que en este tipo de imaacutegenes cuando se ha conseguido el enfoque adecuado de una de ellas si intentamos mirarla fijamente el tiempo suficiente la propia imagen se nos impone y cambia en contra de nuestra voluntad alternando sorprendentemente entre una y otra interpretacioacuten A los nintildeos que tienen una gran capacidad para sorprenderse este tipo de ldquoengantildeosrdquo visuales les entusiasman a la vez que les provoshycan no pequentildeas frustraciones al no poder controlar adecuadamente su capacidad de enfoque Bastantes preguntas y debates surgen con estas propuesshytas aunque siempre se disfruta con el engantildeo que nos proporcionan como se disfruta cuando un mago nos confunde con sus trucos de magia

En Experigoza ademaacutes se muestran muchos otros fenoacutemenos que por su aparente imposibilidad fiacutesica presentan un cierto grado de ambiguumledad anaacuteloga a la apuntada anteriormente pero tienen sin embargo una clara explicacioacuten cientiacutefica Aunque todo lo que se va a ver choca con la realidad esperada no por ello todo es imposible realmente Soacutelo lo es de forma aparente En tal sentido es por lo que nos ha parecido conveniente utilizar como hilo conductor la ambiguumledad

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AMBIGUumlEDAD Las ilusiones e imposibilidades nos recuerdan que el mundo exterior en ocasiones no siempre es lo que parece y que ldquomirarrdquo o ldquoverrdquo como sabemos son dos cosas bien distintas porque si bien miramos con los ojos vemos con el cerebro que percibe e interpreta la realidad de forma muy diversa y variada Asiacute dos personas pueden mirar la misma cosa pero no por ello los dos ven lo mismo La caracteriacutestica principal de la mayor parte de figuras imposibles es la ambiguumledadY aunque haya un tipo particular de ilusiones oacutepticas conocidas especiacuteficamente entre los especialistas como figuras ambishyguas la misma idea de ambiguumledad recorre todo el mundo de las ilusiones oacutepticas Por esta razoacuten uno de los lemas que hemos seleccionado como hilo conductor de toda la actividad que aquiacute se presenta es eacuteste la ambiguumledad Ambiguumledad que surge de la dualidad de interpretaciones o la ausencia de interpretacioacuten posible en muchos casos Una parte imporshytante de Experigoza lo constituyen este tipo especial de figuras imposibles que reciben el nombre de figuras ambiguas Estas figuras son aquellas que el ojo ve y que el cerebro interpreta unas veces de una forma y a la vez de otra La interpretashycioacuten espacial de estas imaacutegenes se sobrepone a nuestra voluntad Unas veces son una cosa y otras son otra distinta y lo percibimos asiacute independiente de nuestro empentildeo por mantener un enfoque determinado En las figuras que siguen unas veces vemos un pato y otra un conejo Las dos cosas son diferentes pero no existe oposicioacuten entre ellas es a la vez pato y conejo

Es bien conocida igualmente entre la figuras ambiguas la siguiente a la vez es joven o es vieja pero no las dos cosas a la vez Muchas persoshynas no consiguen en ocasiones enfocar adecuadamente una de las imaacutegenes y soacutelo ven una parte la joven o la vieja

Pero maacutes sorprendente resulta auacuten si cabe que en este tipo de imaacutegenes cuando se ha conseguido el enfoque adecuado de una de ellas si intentamos mirarla fijamente el tiempo suficiente la propia imagen se nos impone y cambia en contra de nuestra voluntad alternando sorprendentemente entre una y otra interpretacioacuten A los nintildeos que tienen una gran capacidad para sorprenderse este tipo de ldquoengantildeosrdquo visuales les entusiasman a la vez que les provoshycan no pequentildeas frustraciones al no poder controlar adecuadamente su capacidad de enfoque Bastantes preguntas y debates surgen con estas propuesshytas aunque siempre se disfruta con el engantildeo que nos proporcionan como se disfruta cuando un mago nos confunde con sus trucos de magia

En Experigoza ademaacutes se muestran muchos otros fenoacutemenos que por su aparente imposibilidad fiacutesica presentan un cierto grado de ambiguumledad anaacuteloga a la apuntada anteriormente pero tienen sin embargo una clara explicacioacuten cientiacutefica Aunque todo lo que se va a ver choca con la realidad esperada no por ello todo es imposible realmente Soacutelo lo es de forma aparente En tal sentido es por lo que nos ha parecido conveniente utilizar como hilo conductor la ambiguumledad

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EXPERIGOZA UN MODO DE ENTENDER LA REALIDAD

Las interpretaciones y explicaciones que de algunos de estos fenoacutemenos proporcionan diferentes estudiosos del tema especialmente los sicoacutelogos son variadas contradictorias o incluso divergentes Esta multiplicidad pone de manifiesto la complejidad y desconocimiento que existe acerca del funcionashymiento cerebral cuando se trata de explicar la percepcioacuten visual incluso cuando se trata de las ilusiones maacutes simples Un ejemplo histoacuterico de esta varieshydad de interpretaciones que sigue sin tener una respuesta universalmente aceptada es la conocida desde la antiguumledad como la ilusioacuten de la luna que consiste en el aumento aparente de tamantildeo cuando se encuentra cerca de nuestro horizonte visual En tal sentido nos ha parecido superfluo tratar de dar interpretaciones o respuestas acabadas a los nintildeos de las situaciones que se presentan Experigoza es un lugar en el que se debe disfrutar y sorprenderse por encima de todoTratamos no tanto de responder como de provocar la curiosidad por saber maacutes y sobre todo despertar la imaginacioacuten espacial y visual En cualquier caso conocer y disfrutar de estas experiencias ya nos parece suficientemente enriquecedor y gratificante Si se tiene eacutexito en nuestra propuesta seraacuten los profesores de los grupos que nos visitan los que deberaacuten decidir si ampliacutean y profundizan en estos temas en sus clases y si consideran conveniente plantear alguna de las explicaciones posibles

SENTIDO DEL ESPACIO Y VISION ESPACIAL

Ya hemos sentildealado anteriormente algunas de las razones por las que los matemaacuteticos han estado interesados desde antiguo en estos temas pero no es eacutesta la razoacuten fundamental por la que se ha planteado esta actividad y que la justificariacutea plenamente Hay un motivo que no tiene tanto que ver con las matemaacuteticas acadeacutemicas como con la ensentildeanza de las matemaacuteticas y la competencia social de nuestros alumnos Se trata de la imaginashycioacuten y la visioacuten espacialComo profesores de matemaacuteticas creeshymos que la visioacuten espacial o mejor el sentido espacial es un componente fundamental en el aprendizaje de las matemaacuteticas y no soacutelo de la geometriacutea Los estudios internacionales de evaluacioacuten de los sistemas educativos PISA en particular han puesto el eacutenfasis en este aspecto del conocimiento como un componente fundamental de las competencias matemaacuteticas que un ciudadano deberiacutea adquirir en su etapa escolarCuando trata de los contenidos matemaacuteticos que seriacutea deseable que nuestros alumnos alcancen no hablan (como se ha hecho claacutesicamente) de geometriacutea sino de Espacio y FormaY en este sentido atribushyyen a la visioacuten espacial y a la imaginacioacuten una importancia que siendo fundamental en la geometriacutea trasciende el marco de eacutesta y alcanza al disentildeo la plaacutestica la teacutecnica y muchas otras materias de importancia fundamental en la vida de los ciudadanos

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iquestQUEacute ES EL SENTIDO ESPACIAL

El sentido espacial estaacute iacutentimamente relacionado con la capacidad de crear imaacutegenes mentales Como ha sentildealado Hernaacuten esta capacidad de la imaginacioacuten que eacutel ha llamado ldquoimaginabilidadrdquo expresa dos ideas relacionadas con ella la cualidad de imaginable (como caraacutecter de algo) y la habilidad para crear imaacutegenes (como facultad sicoloacutegica)

Tener sentido espacial es poseer la capacidad de comparar la forma de figuras con diferente orientacioacuten (mentalmente giramos una de ellas para hacerlo maacutes faacutecil) reconocer las simetriacuteas de ciertas figuras relacionar rectaacutengulos y paralelogramos (manteniendo las longitudes de los lados pero cambiando los valores de los aacutengulos) dibujar un diagrama para ayudarnos en la resolucioacuten de un problema de enunciado verbal o estimar el valor del aacutengulo de dos liacuteneas rectas que se cortan

El sentido espacial juega un gran papel en el razonamiento matemaacutetico y traspasa los liacutemites de la misma geomeshytriacutea Se ha puesto de manifiesto en diversas investigaciones que los buenos resolutores de problemas usan maacutes la imaginacioacuten mental que los malos y que la habilidad para transformar y comparar imaacutegenes mentalmente estaacute en estrecha relacioacuten con el eacutexito en el caacutelculo integral por citar soacutelo dos ejemplos de importancia capital en matemaacuteticas

El desarrollo del sentido espacial tiene un componente ya apuntado asociado iacutentimamente con las matemaacuteticas pero su aacutembito desborda los liacutemites estrechos de la disciplina Ocupa un territorio fronterizo en el que pueden confluir una gran parte de las aacutereas del curriacuteculum en especial la Educacioacuten Plaacutestica y visual pero no es menos importante en Educacioacuten Fiacutesica Ciencias Sociales Ciencias Naturales Educacioacuten Ambiental etc Esto le confiere unas caracteriacutesticas interdisciplinares de primer orden que vendriacutean a abundar auacuten maacutes si cabe en la necesidad de un tratamiento en profundidad en el curriacuteshyculum escolar

Conviene ademaacutes hacer una precisioacuten final acerca del teacutermino ldquoimaginacioacutenrdquo citando textualmente ideas de F HernaacutenldquoEn su acepcioacuten maacutes comuacuten la imaginacioacuten tiene un aura de capacidad innata hay escritores con imaginacioacuten y escritores sin ella hay empresarios con imaginacioacuten y otros que son maacutes realistas los poetas tienen imaginashycioacuten y los linguumlistas necesitan de un pensamiento maacutes analiacutetico Imaginacioacuten suele alinearse con intuicioacuten y ambas se contraponen a realismo y anaacutelisisrdquo Aquiacute haremos uso de la expresioacuten ldquosentido espacial y creacioacuten de imaacutegenesrdquo de una manera menos ambigua de una manera mucho maacutes plaacutestica que literariaY consideraremos la capacidad de crear imaacutegenes mentales como una capacidad no innata sino educable es decir coacutegnitivamente evolutiva y perfeccionashyble

Dicho de otra manera la imaginacioacuten es un recurso didaacutectico cuya principal caracteriacutestica es que es dinaacutemica las imaacutegenes no funcionan sino a traveacutes de la dinaacutemica de la mente Este recurshyso tiene la ventaja antildeadida de que al no ser un recurso material es el maacutes barato de todos

Es por todas estas razones que desde Experigoza utilizando las ilusiones oacutepticas como pretexshyto y el arte y la ciencia como medios se pueden favorecer el desarrollo de todas estas capacishydades a la vez que se pasa una mantildeana divertida

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ILUSIONES OacutePTICAS

Ilusiones oacutepticas claacutesicas

Con estas viejas y conocidas ilusiones los alumnos pueden emitir hipoacutetesis y a continuacioacuten comprobar lo acertado o no de ellasTambieacuten pueden los alumnos servirse de instrumentos de medida para comprobar realmente si su vista les engantildea y finalmente discutir sobre la limitacioacuten de nuestras apreciaciones y la conveniencia de la comprobacioacuten

A A

B

B

A A

B B

iquestCual es maacutes grande Los segmentos A y B Los segmentos A y B Este sombrero la A o la B iquestson iguales o diferentes iquestson iguales o diferentes iquestmide maacutes de ancho o de alto

Ilusiones que producen un movimiento aparente

Recientemente han conocido una cierta popularidad por razones propagandiacutesticas y comerciales un nuevo tipo de ilusiones oacutepticas que producen una sensacioacuten de movimiento aparente Lo maacutes sorprendente de estas ilusiones es que si fijamos la vista en un espacio reducido de la imagen en ese sector de la imagen el movishymiento cesa mientras que en los contornos sigue movieacutendose el resto del conjunto Si cambiamos de sector y desplazamos la vista a otra parte reducida de la imagen nuevamente la zona en la que nos fijamos cesa en su movimiento y sin embargo la zona anterior que habiacuteamos comprobado que permaneciacutea en reposo comienza de nuevo su movimiento aparente Nada se mueve y por maacutes que forcemos a nuestra voluntad para detener el movimiento eacuteste sigue y sigue Son imaacutegenes que suscitan una gran perplejidad y asombro

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

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FIGURAS IMPOSIBLES

Claacutesicas Puede que sea el tribar la maacutes conocida de entre todas las figuras imposibles En un gran nuacutemero de museos de la ciencia hay un modelo de tribar junto al cual los visitanshytes pueden incluso fotografiarse si se colocan en un determinado punto de vista En Experigoza se ha disentildeado un tribar que los alumnos pueden ldquomaterializarrdquo colocaacutenshydose en la posicioacuten adecuada Si ademaacutes se cierra uno de los ojos y se hace desapareshycer la visioacuten tridimensional los efectos conseguidos se acentuacutean

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Pintores y artistas Numerosos artistas han creado ilusiones visuales de gran impacto y difusioacuten Escher es sin duda el maacutes conocido de ellos pero otros como Ernst o en Espantildea Yturralde han contribuido a desarrollar este campo artiacutestico

Escher

Yturralde

Bruno Ernst

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Publicidad Las figuras imposibles y las ilusiones oacutepticas ocupan tambieacuten un lugar destacado en la publicidad y en los logotipos que utilizan las marcas para anunciar sus productos Aquiacute van algunos ejemplos

ANAMORFOSIS

Las anamorfosis son imaacutegenes deformadas de la realidad o de otras imaacutegenes Las deformaciones se producen de acuerdo con determinadas reglas proyectivas del plano sobre otras superficies generalmente sobre superficies ciliacutendricas o coacutenicas

Supongamos que un cilindro en el que hemos dibujado unas imaacutegenes se coloca sobre un espejo Las imaacutegenes dibujadas en el cilindro al proyectarse sobre el espejo apareceraacuten deformadas e ininteligibles Podemos hacer una copia en papel de las imaacutegenes reflejadas y proceder a la inversa esto es coloshycando sobre el papel con las imaacutegenes deformes un cilindro cuya superficie fuese un espejo Las imaacutegenes deformes del plano se recompondriacutean sobre el cilindro restaurando las imaacutegenes iniciales Esta curiosa propiedad dio lugar en la eacutepoca victoriana a juegos muy divertidos que gozaron de gran populashyridad en los que laacuteminas de dibujos deformes y sin sentido se recomponiacutean como imaacutegenes ldquonormalesrdquo en cilindros o conos cuyas superficies eran espeshyjos Un apartado de Experigoza consiste en la reproduccioacuten de estos juegos

EFECTO MOIREacute Este efecto se produce al superponer dos patrones geomeacutetricos uno de los cuales debe ser transparente Se consigue con ello un efecto de movimiento y animashycioacuten de los modelos geomeacutetricos Durante el siglo XIX se disentildearon juguetes que produciacutean movimiento y que tuvieron una gran aceptacioacuten En la actualidad se han creado transparencias sorprendentes con escenarios figurativos con las que se consiguen animar imaacutegenes de objetos animales y personas

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64 cuadrados

b) Desde que Sam Loyd popularizara su conocido rompecabezas Get Off the Earth un montaje de dos piezas donde al girar un globo terraacutequeo ldquodesapareshycerdquo uno de los personajes han ido apareciendo otros rompecabezas similares basados en la misma idea El que presentamos es esta ocasioacuten en Experigoza consta de tres partes que se pueden recortar y recomponer de dos formas distintas En una de las ocasiones aparecen 12 y en la otra 13 personajes iquestA doacutende va a parar el personaje que unas veces aparece y otras desaparece

APARICIONES Y DESAPARICIONES

En este caso maacutes que de ilusiones oacutepticas se trata de conocishydos rompecabezas geomeacutetricos o figurativos que provocan gran sorpresaTraemos como ejemplos dos de ellos

a) uno de tipo geomeacutetrico descomposicioacuten y recomposicioacuten de un cuadrado

iexclCUIDADO CON LA VISTA

Si recortas las piezas que se sentildealan en el

cuadrado y las vuelves a juntar de las 2

formas que se indican en un caso se gana un

cuadrado y en el otro se pierde

iquestCoacutemo es posible que esto pase

65 cuadrados

63 cuadrados

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FIGURAS APARENTEMENTE IMPOSIBLES QUE PUEDEN CONSTRUIRSE

Folio imposible Ciacuterculo imposible

ILUSIONES QUE PUEDES HACER EN CASA

Bajo este epiacutegrafe traemos un conjunto de ilusiones y actividashydes curiosas que pueden realizarse faacutecilmente sin apenas mediosAlgunas de ellas tienen su origen en el hecho de que poseemos dos ojos y que la visioacuten tridimensional se produce como consecuencia de la superposicioacuten de las imaacutegenes que cada ojo produce por separado es lo que se llama la visioacuten binocular Forzando o modificando las condiciones umbrales de distancia en las que se produce la visioacuten tridimensional se consiguen estos curiosos fenoacutemenos Otras de estas impropiashymente llamadas ilusiones porque son soacutelo efectos oacutepticos sorprendentes estaacuten basadas en las propiedades de los espejos En estos casos la explicacioacuten no hay que ir a buscarla maacutes allaacute de las leyes de la fiacutesica por maacutes que los resultados no dejen de parecernos ilusiones sorprendentes

Coloca las puntas de los dedos iacutendices juntos y delante de los ojos a poca distancia Separa los dedos poco a poco y veraacutes aparecer una especie de salchishycha flotando como si los dedos se hubiesen cortado

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Sosteniendo un laacutepiz suavemente entre los dedos pulgar e iacutendice y haciendo que el laacutepiz oscile entre los dedos a la vez que se hace un pequentildeo movimiento hacia arriba y abajo da la sensacioacuten de que el laacutepiz fuese de goma y estuviera doblaacutendose

Coloca un tubo pequentildeo en el ojo derecho Con la palma de la mano izquierda tapa el otro ojo Enfoca con el tubo a una pared en blanco Ambos ojos deben estar abiertos Ahora mante- Coloca dos monedas grandes entre los dedosA continuacioacuten frota niendo la palma de la mano pegada al tubo ve separaacutendola una contra la otra con un movimiento de giro raacutepido hacia arriba y poco a poco del ojoVeraacutes que aparece un agujero en tu mano hacia abajoVeraacutes que aparece una terecera moneda entre las dos

Coloca dos espejos simples formando un Cruza los dedos iacutendice y aacutengulo recto Si te miras en el espejo corazoacuten Coloca entre ellos ajustando la imagen hasta que veas tu una canica y sentiraacutes que cara completa podraacutes comprobar que se estaacutes tocando dos canicas origina un extrantildeo efecto iexclGuintildea el ojo El experimento funciona derecho y observa queacute sucede mejor si cierras los ojos

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PARADOJAS FIacuteSICAS

Algunos experimentos producen resultados que aparentemente desafiacutean las leyes fiacutesicas de forma espectacular No es posible dar creacutedito a lo que ven nuestros ojos por maacutes que su explicacioacuten esteacute dentro de las mismas leyes de la fiacutesica

Huchas maacutegicas Disco de Euler Colocando dos espejos con un aacutengulo Se trata de un disco ciliacutendrico de gran inercia apropiado (45ordm en nuestro caso) se con la apariencia de una moneda grande consigue el efecto oacuteptico de que un Cuando se le hace girar de forma anaacuteloga a objeto (un cubo o un avioacuten) aparece como se hace con una moneda sobre una suspendido en el aire como volando en superficie pulida el disco gira y a la vez rueda el vaciacuteo en el interior de una caja cuacutebica sobre la superficie El efecto resultante es

similar al de una peonza que utiliza el momento angular para mantenerse en pie contrarrestanshydo en cierta medida la fuerza gravitatoria que tiende a hacerla caer Como el rozamiento es pequentildeo y el disco tiene una gran inercia se mantiene sorprendentemente girando durante varios minutos dando la sensacioacuten contra toda loacutegica de que nunca vaya a detenerse y a caer

Espejos esfeacutericos Se trata de dos espejos coacutencavos superpuestos con una ranura central en el

Levitroacuten espejo superior Al colocar un objeto en el interior del conjunto una pequentildea Una peonza imantada gira suspendida en el aire Parece rana de goma o una moneda como se aprecia en la figura la imagen del objeto increiacuteble pero la peonza vuela y vuela El efecto del giro se refleja sobre la ranura superior La imagen reflejada parece real Sin embargo combinado con la fuerza de unos potentes imanes consi- cuando se intenta coger la rana o la moneda con no poca sorpresa resulta gue hacerla ldquolevitarrdquo mientras gira durante varios minutos imposible porque lo que parece real se trata tan soacutelo de una imagen virtual

37

QU

INC

ES

UM

A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

40

QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

SO

MB

RA

44

NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 2

48

iquestQUEacute ES EL SENTIDO ESPACIAL

El sentido espacial estaacute iacutentimamente relacionado con la capacidad de crear imaacutegenes mentales Como ha sentildealado Hernaacuten esta capacidad de la imaginacioacuten que eacutel ha llamado ldquoimaginabilidadrdquo expresa dos ideas relacionadas con ella la cualidad de imaginable (como caraacutecter de algo) y la habilidad para crear imaacutegenes (como facultad sicoloacutegica)

Tener sentido espacial es poseer la capacidad de comparar la forma de figuras con diferente orientacioacuten (mentalmente giramos una de ellas para hacerlo maacutes faacutecil) reconocer las simetriacuteas de ciertas figuras relacionar rectaacutengulos y paralelogramos (manteniendo las longitudes de los lados pero cambiando los valores de los aacutengulos) dibujar un diagrama para ayudarnos en la resolucioacuten de un problema de enunciado verbal o estimar el valor del aacutengulo de dos liacuteneas rectas que se cortan

El sentido espacial juega un gran papel en el razonamiento matemaacutetico y traspasa los liacutemites de la misma geomeshytriacutea Se ha puesto de manifiesto en diversas investigaciones que los buenos resolutores de problemas usan maacutes la imaginacioacuten mental que los malos y que la habilidad para transformar y comparar imaacutegenes mentalmente estaacute en estrecha relacioacuten con el eacutexito en el caacutelculo integral por citar soacutelo dos ejemplos de importancia capital en matemaacuteticas

El desarrollo del sentido espacial tiene un componente ya apuntado asociado iacutentimamente con las matemaacuteticas pero su aacutembito desborda los liacutemites estrechos de la disciplina Ocupa un territorio fronterizo en el que pueden confluir una gran parte de las aacutereas del curriacuteculum en especial la Educacioacuten Plaacutestica y visual pero no es menos importante en Educacioacuten Fiacutesica Ciencias Sociales Ciencias Naturales Educacioacuten Ambiental etc Esto le confiere unas caracteriacutesticas interdisciplinares de primer orden que vendriacutean a abundar auacuten maacutes si cabe en la necesidad de un tratamiento en profundidad en el curriacuteshyculum escolar

Conviene ademaacutes hacer una precisioacuten final acerca del teacutermino ldquoimaginacioacutenrdquo citando textualmente ideas de F HernaacutenldquoEn su acepcioacuten maacutes comuacuten la imaginacioacuten tiene un aura de capacidad innata hay escritores con imaginacioacuten y escritores sin ella hay empresarios con imaginacioacuten y otros que son maacutes realistas los poetas tienen imaginashycioacuten y los linguumlistas necesitan de un pensamiento maacutes analiacutetico Imaginacioacuten suele alinearse con intuicioacuten y ambas se contraponen a realismo y anaacutelisisrdquo Aquiacute haremos uso de la expresioacuten ldquosentido espacial y creacioacuten de imaacutegenesrdquo de una manera menos ambigua de una manera mucho maacutes plaacutestica que literariaY consideraremos la capacidad de crear imaacutegenes mentales como una capacidad no innata sino educable es decir coacutegnitivamente evolutiva y perfeccionashyble

Dicho de otra manera la imaginacioacuten es un recurso didaacutectico cuya principal caracteriacutestica es que es dinaacutemica las imaacutegenes no funcionan sino a traveacutes de la dinaacutemica de la mente Este recurshyso tiene la ventaja antildeadida de que al no ser un recurso material es el maacutes barato de todos

Es por todas estas razones que desde Experigoza utilizando las ilusiones oacutepticas como pretexshyto y el arte y la ciencia como medios se pueden favorecer el desarrollo de todas estas capacishydades a la vez que se pasa una mantildeana divertida

29

ILUSIONES OacutePTICAS

Ilusiones oacutepticas claacutesicas

Con estas viejas y conocidas ilusiones los alumnos pueden emitir hipoacutetesis y a continuacioacuten comprobar lo acertado o no de ellasTambieacuten pueden los alumnos servirse de instrumentos de medida para comprobar realmente si su vista les engantildea y finalmente discutir sobre la limitacioacuten de nuestras apreciaciones y la conveniencia de la comprobacioacuten

A A

B

B

A A

B B

iquestCual es maacutes grande Los segmentos A y B Los segmentos A y B Este sombrero la A o la B iquestson iguales o diferentes iquestson iguales o diferentes iquestmide maacutes de ancho o de alto

Ilusiones que producen un movimiento aparente

Recientemente han conocido una cierta popularidad por razones propagandiacutesticas y comerciales un nuevo tipo de ilusiones oacutepticas que producen una sensacioacuten de movimiento aparente Lo maacutes sorprendente de estas ilusiones es que si fijamos la vista en un espacio reducido de la imagen en ese sector de la imagen el movishymiento cesa mientras que en los contornos sigue movieacutendose el resto del conjunto Si cambiamos de sector y desplazamos la vista a otra parte reducida de la imagen nuevamente la zona en la que nos fijamos cesa en su movimiento y sin embargo la zona anterior que habiacuteamos comprobado que permaneciacutea en reposo comienza de nuevo su movimiento aparente Nada se mueve y por maacutes que forcemos a nuestra voluntad para detener el movimiento eacuteste sigue y sigue Son imaacutegenes que suscitan una gran perplejidad y asombro

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

30

FIGURAS IMPOSIBLES

Claacutesicas Puede que sea el tribar la maacutes conocida de entre todas las figuras imposibles En un gran nuacutemero de museos de la ciencia hay un modelo de tribar junto al cual los visitanshytes pueden incluso fotografiarse si se colocan en un determinado punto de vista En Experigoza se ha disentildeado un tribar que los alumnos pueden ldquomaterializarrdquo colocaacutenshydose en la posicioacuten adecuada Si ademaacutes se cierra uno de los ojos y se hace desapareshycer la visioacuten tridimensional los efectos conseguidos se acentuacutean

31

Pintores y artistas Numerosos artistas han creado ilusiones visuales de gran impacto y difusioacuten Escher es sin duda el maacutes conocido de ellos pero otros como Ernst o en Espantildea Yturralde han contribuido a desarrollar este campo artiacutestico

Escher

Yturralde

Bruno Ernst

32

Publicidad Las figuras imposibles y las ilusiones oacutepticas ocupan tambieacuten un lugar destacado en la publicidad y en los logotipos que utilizan las marcas para anunciar sus productos Aquiacute van algunos ejemplos

ANAMORFOSIS

Las anamorfosis son imaacutegenes deformadas de la realidad o de otras imaacutegenes Las deformaciones se producen de acuerdo con determinadas reglas proyectivas del plano sobre otras superficies generalmente sobre superficies ciliacutendricas o coacutenicas

Supongamos que un cilindro en el que hemos dibujado unas imaacutegenes se coloca sobre un espejo Las imaacutegenes dibujadas en el cilindro al proyectarse sobre el espejo apareceraacuten deformadas e ininteligibles Podemos hacer una copia en papel de las imaacutegenes reflejadas y proceder a la inversa esto es coloshycando sobre el papel con las imaacutegenes deformes un cilindro cuya superficie fuese un espejo Las imaacutegenes deformes del plano se recompondriacutean sobre el cilindro restaurando las imaacutegenes iniciales Esta curiosa propiedad dio lugar en la eacutepoca victoriana a juegos muy divertidos que gozaron de gran populashyridad en los que laacuteminas de dibujos deformes y sin sentido se recomponiacutean como imaacutegenes ldquonormalesrdquo en cilindros o conos cuyas superficies eran espeshyjos Un apartado de Experigoza consiste en la reproduccioacuten de estos juegos

EFECTO MOIREacute Este efecto se produce al superponer dos patrones geomeacutetricos uno de los cuales debe ser transparente Se consigue con ello un efecto de movimiento y animashycioacuten de los modelos geomeacutetricos Durante el siglo XIX se disentildearon juguetes que produciacutean movimiento y que tuvieron una gran aceptacioacuten En la actualidad se han creado transparencias sorprendentes con escenarios figurativos con las que se consiguen animar imaacutegenes de objetos animales y personas

33

64 cuadrados

b) Desde que Sam Loyd popularizara su conocido rompecabezas Get Off the Earth un montaje de dos piezas donde al girar un globo terraacutequeo ldquodesapareshycerdquo uno de los personajes han ido apareciendo otros rompecabezas similares basados en la misma idea El que presentamos es esta ocasioacuten en Experigoza consta de tres partes que se pueden recortar y recomponer de dos formas distintas En una de las ocasiones aparecen 12 y en la otra 13 personajes iquestA doacutende va a parar el personaje que unas veces aparece y otras desaparece

APARICIONES Y DESAPARICIONES

En este caso maacutes que de ilusiones oacutepticas se trata de conocishydos rompecabezas geomeacutetricos o figurativos que provocan gran sorpresaTraemos como ejemplos dos de ellos

a) uno de tipo geomeacutetrico descomposicioacuten y recomposicioacuten de un cuadrado

iexclCUIDADO CON LA VISTA

Si recortas las piezas que se sentildealan en el

cuadrado y las vuelves a juntar de las 2

formas que se indican en un caso se gana un

cuadrado y en el otro se pierde

iquestCoacutemo es posible que esto pase

65 cuadrados

63 cuadrados

34

FIGURAS APARENTEMENTE IMPOSIBLES QUE PUEDEN CONSTRUIRSE

Folio imposible Ciacuterculo imposible

ILUSIONES QUE PUEDES HACER EN CASA

Bajo este epiacutegrafe traemos un conjunto de ilusiones y actividashydes curiosas que pueden realizarse faacutecilmente sin apenas mediosAlgunas de ellas tienen su origen en el hecho de que poseemos dos ojos y que la visioacuten tridimensional se produce como consecuencia de la superposicioacuten de las imaacutegenes que cada ojo produce por separado es lo que se llama la visioacuten binocular Forzando o modificando las condiciones umbrales de distancia en las que se produce la visioacuten tridimensional se consiguen estos curiosos fenoacutemenos Otras de estas impropiashymente llamadas ilusiones porque son soacutelo efectos oacutepticos sorprendentes estaacuten basadas en las propiedades de los espejos En estos casos la explicacioacuten no hay que ir a buscarla maacutes allaacute de las leyes de la fiacutesica por maacutes que los resultados no dejen de parecernos ilusiones sorprendentes

Coloca las puntas de los dedos iacutendices juntos y delante de los ojos a poca distancia Separa los dedos poco a poco y veraacutes aparecer una especie de salchishycha flotando como si los dedos se hubiesen cortado

35

Sosteniendo un laacutepiz suavemente entre los dedos pulgar e iacutendice y haciendo que el laacutepiz oscile entre los dedos a la vez que se hace un pequentildeo movimiento hacia arriba y abajo da la sensacioacuten de que el laacutepiz fuese de goma y estuviera doblaacutendose

Coloca un tubo pequentildeo en el ojo derecho Con la palma de la mano izquierda tapa el otro ojo Enfoca con el tubo a una pared en blanco Ambos ojos deben estar abiertos Ahora mante- Coloca dos monedas grandes entre los dedosA continuacioacuten frota niendo la palma de la mano pegada al tubo ve separaacutendola una contra la otra con un movimiento de giro raacutepido hacia arriba y poco a poco del ojoVeraacutes que aparece un agujero en tu mano hacia abajoVeraacutes que aparece una terecera moneda entre las dos

Coloca dos espejos simples formando un Cruza los dedos iacutendice y aacutengulo recto Si te miras en el espejo corazoacuten Coloca entre ellos ajustando la imagen hasta que veas tu una canica y sentiraacutes que cara completa podraacutes comprobar que se estaacutes tocando dos canicas origina un extrantildeo efecto iexclGuintildea el ojo El experimento funciona derecho y observa queacute sucede mejor si cierras los ojos

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PARADOJAS FIacuteSICAS

Algunos experimentos producen resultados que aparentemente desafiacutean las leyes fiacutesicas de forma espectacular No es posible dar creacutedito a lo que ven nuestros ojos por maacutes que su explicacioacuten esteacute dentro de las mismas leyes de la fiacutesica

Huchas maacutegicas Disco de Euler Colocando dos espejos con un aacutengulo Se trata de un disco ciliacutendrico de gran inercia apropiado (45ordm en nuestro caso) se con la apariencia de una moneda grande consigue el efecto oacuteptico de que un Cuando se le hace girar de forma anaacuteloga a objeto (un cubo o un avioacuten) aparece como se hace con una moneda sobre una suspendido en el aire como volando en superficie pulida el disco gira y a la vez rueda el vaciacuteo en el interior de una caja cuacutebica sobre la superficie El efecto resultante es

similar al de una peonza que utiliza el momento angular para mantenerse en pie contrarrestanshydo en cierta medida la fuerza gravitatoria que tiende a hacerla caer Como el rozamiento es pequentildeo y el disco tiene una gran inercia se mantiene sorprendentemente girando durante varios minutos dando la sensacioacuten contra toda loacutegica de que nunca vaya a detenerse y a caer

Espejos esfeacutericos Se trata de dos espejos coacutencavos superpuestos con una ranura central en el

Levitroacuten espejo superior Al colocar un objeto en el interior del conjunto una pequentildea Una peonza imantada gira suspendida en el aire Parece rana de goma o una moneda como se aprecia en la figura la imagen del objeto increiacuteble pero la peonza vuela y vuela El efecto del giro se refleja sobre la ranura superior La imagen reflejada parece real Sin embargo combinado con la fuerza de unos potentes imanes consi- cuando se intenta coger la rana o la moneda con no poca sorpresa resulta gue hacerla ldquolevitarrdquo mientras gira durante varios minutos imposible porque lo que parece real se trata tan soacutelo de una imagen virtual

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QU

INC

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A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

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ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

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ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

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NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

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S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

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Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

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NUacute

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ILUSIONES OacutePTICAS

Ilusiones oacutepticas claacutesicas

Con estas viejas y conocidas ilusiones los alumnos pueden emitir hipoacutetesis y a continuacioacuten comprobar lo acertado o no de ellasTambieacuten pueden los alumnos servirse de instrumentos de medida para comprobar realmente si su vista les engantildea y finalmente discutir sobre la limitacioacuten de nuestras apreciaciones y la conveniencia de la comprobacioacuten

A A

B

B

A A

B B

iquestCual es maacutes grande Los segmentos A y B Los segmentos A y B Este sombrero la A o la B iquestson iguales o diferentes iquestson iguales o diferentes iquestmide maacutes de ancho o de alto

Ilusiones que producen un movimiento aparente

Recientemente han conocido una cierta popularidad por razones propagandiacutesticas y comerciales un nuevo tipo de ilusiones oacutepticas que producen una sensacioacuten de movimiento aparente Lo maacutes sorprendente de estas ilusiones es que si fijamos la vista en un espacio reducido de la imagen en ese sector de la imagen el movishymiento cesa mientras que en los contornos sigue movieacutendose el resto del conjunto Si cambiamos de sector y desplazamos la vista a otra parte reducida de la imagen nuevamente la zona en la que nos fijamos cesa en su movimiento y sin embargo la zona anterior que habiacuteamos comprobado que permaneciacutea en reposo comienza de nuevo su movimiento aparente Nada se mueve y por maacutes que forcemos a nuestra voluntad para detener el movimiento eacuteste sigue y sigue Son imaacutegenes que suscitan una gran perplejidad y asombro

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

30

FIGURAS IMPOSIBLES

Claacutesicas Puede que sea el tribar la maacutes conocida de entre todas las figuras imposibles En un gran nuacutemero de museos de la ciencia hay un modelo de tribar junto al cual los visitanshytes pueden incluso fotografiarse si se colocan en un determinado punto de vista En Experigoza se ha disentildeado un tribar que los alumnos pueden ldquomaterializarrdquo colocaacutenshydose en la posicioacuten adecuada Si ademaacutes se cierra uno de los ojos y se hace desapareshycer la visioacuten tridimensional los efectos conseguidos se acentuacutean

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Pintores y artistas Numerosos artistas han creado ilusiones visuales de gran impacto y difusioacuten Escher es sin duda el maacutes conocido de ellos pero otros como Ernst o en Espantildea Yturralde han contribuido a desarrollar este campo artiacutestico

Escher

Yturralde

Bruno Ernst

32

Publicidad Las figuras imposibles y las ilusiones oacutepticas ocupan tambieacuten un lugar destacado en la publicidad y en los logotipos que utilizan las marcas para anunciar sus productos Aquiacute van algunos ejemplos

ANAMORFOSIS

Las anamorfosis son imaacutegenes deformadas de la realidad o de otras imaacutegenes Las deformaciones se producen de acuerdo con determinadas reglas proyectivas del plano sobre otras superficies generalmente sobre superficies ciliacutendricas o coacutenicas

Supongamos que un cilindro en el que hemos dibujado unas imaacutegenes se coloca sobre un espejo Las imaacutegenes dibujadas en el cilindro al proyectarse sobre el espejo apareceraacuten deformadas e ininteligibles Podemos hacer una copia en papel de las imaacutegenes reflejadas y proceder a la inversa esto es coloshycando sobre el papel con las imaacutegenes deformes un cilindro cuya superficie fuese un espejo Las imaacutegenes deformes del plano se recompondriacutean sobre el cilindro restaurando las imaacutegenes iniciales Esta curiosa propiedad dio lugar en la eacutepoca victoriana a juegos muy divertidos que gozaron de gran populashyridad en los que laacuteminas de dibujos deformes y sin sentido se recomponiacutean como imaacutegenes ldquonormalesrdquo en cilindros o conos cuyas superficies eran espeshyjos Un apartado de Experigoza consiste en la reproduccioacuten de estos juegos

EFECTO MOIREacute Este efecto se produce al superponer dos patrones geomeacutetricos uno de los cuales debe ser transparente Se consigue con ello un efecto de movimiento y animashycioacuten de los modelos geomeacutetricos Durante el siglo XIX se disentildearon juguetes que produciacutean movimiento y que tuvieron una gran aceptacioacuten En la actualidad se han creado transparencias sorprendentes con escenarios figurativos con las que se consiguen animar imaacutegenes de objetos animales y personas

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64 cuadrados

b) Desde que Sam Loyd popularizara su conocido rompecabezas Get Off the Earth un montaje de dos piezas donde al girar un globo terraacutequeo ldquodesapareshycerdquo uno de los personajes han ido apareciendo otros rompecabezas similares basados en la misma idea El que presentamos es esta ocasioacuten en Experigoza consta de tres partes que se pueden recortar y recomponer de dos formas distintas En una de las ocasiones aparecen 12 y en la otra 13 personajes iquestA doacutende va a parar el personaje que unas veces aparece y otras desaparece

APARICIONES Y DESAPARICIONES

En este caso maacutes que de ilusiones oacutepticas se trata de conocishydos rompecabezas geomeacutetricos o figurativos que provocan gran sorpresaTraemos como ejemplos dos de ellos

a) uno de tipo geomeacutetrico descomposicioacuten y recomposicioacuten de un cuadrado

iexclCUIDADO CON LA VISTA

Si recortas las piezas que se sentildealan en el

cuadrado y las vuelves a juntar de las 2

formas que se indican en un caso se gana un

cuadrado y en el otro se pierde

iquestCoacutemo es posible que esto pase

65 cuadrados

63 cuadrados

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FIGURAS APARENTEMENTE IMPOSIBLES QUE PUEDEN CONSTRUIRSE

Folio imposible Ciacuterculo imposible

ILUSIONES QUE PUEDES HACER EN CASA

Bajo este epiacutegrafe traemos un conjunto de ilusiones y actividashydes curiosas que pueden realizarse faacutecilmente sin apenas mediosAlgunas de ellas tienen su origen en el hecho de que poseemos dos ojos y que la visioacuten tridimensional se produce como consecuencia de la superposicioacuten de las imaacutegenes que cada ojo produce por separado es lo que se llama la visioacuten binocular Forzando o modificando las condiciones umbrales de distancia en las que se produce la visioacuten tridimensional se consiguen estos curiosos fenoacutemenos Otras de estas impropiashymente llamadas ilusiones porque son soacutelo efectos oacutepticos sorprendentes estaacuten basadas en las propiedades de los espejos En estos casos la explicacioacuten no hay que ir a buscarla maacutes allaacute de las leyes de la fiacutesica por maacutes que los resultados no dejen de parecernos ilusiones sorprendentes

Coloca las puntas de los dedos iacutendices juntos y delante de los ojos a poca distancia Separa los dedos poco a poco y veraacutes aparecer una especie de salchishycha flotando como si los dedos se hubiesen cortado

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Sosteniendo un laacutepiz suavemente entre los dedos pulgar e iacutendice y haciendo que el laacutepiz oscile entre los dedos a la vez que se hace un pequentildeo movimiento hacia arriba y abajo da la sensacioacuten de que el laacutepiz fuese de goma y estuviera doblaacutendose

Coloca un tubo pequentildeo en el ojo derecho Con la palma de la mano izquierda tapa el otro ojo Enfoca con el tubo a una pared en blanco Ambos ojos deben estar abiertos Ahora mante- Coloca dos monedas grandes entre los dedosA continuacioacuten frota niendo la palma de la mano pegada al tubo ve separaacutendola una contra la otra con un movimiento de giro raacutepido hacia arriba y poco a poco del ojoVeraacutes que aparece un agujero en tu mano hacia abajoVeraacutes que aparece una terecera moneda entre las dos

Coloca dos espejos simples formando un Cruza los dedos iacutendice y aacutengulo recto Si te miras en el espejo corazoacuten Coloca entre ellos ajustando la imagen hasta que veas tu una canica y sentiraacutes que cara completa podraacutes comprobar que se estaacutes tocando dos canicas origina un extrantildeo efecto iexclGuintildea el ojo El experimento funciona derecho y observa queacute sucede mejor si cierras los ojos

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PARADOJAS FIacuteSICAS

Algunos experimentos producen resultados que aparentemente desafiacutean las leyes fiacutesicas de forma espectacular No es posible dar creacutedito a lo que ven nuestros ojos por maacutes que su explicacioacuten esteacute dentro de las mismas leyes de la fiacutesica

Huchas maacutegicas Disco de Euler Colocando dos espejos con un aacutengulo Se trata de un disco ciliacutendrico de gran inercia apropiado (45ordm en nuestro caso) se con la apariencia de una moneda grande consigue el efecto oacuteptico de que un Cuando se le hace girar de forma anaacuteloga a objeto (un cubo o un avioacuten) aparece como se hace con una moneda sobre una suspendido en el aire como volando en superficie pulida el disco gira y a la vez rueda el vaciacuteo en el interior de una caja cuacutebica sobre la superficie El efecto resultante es

similar al de una peonza que utiliza el momento angular para mantenerse en pie contrarrestanshydo en cierta medida la fuerza gravitatoria que tiende a hacerla caer Como el rozamiento es pequentildeo y el disco tiene una gran inercia se mantiene sorprendentemente girando durante varios minutos dando la sensacioacuten contra toda loacutegica de que nunca vaya a detenerse y a caer

Espejos esfeacutericos Se trata de dos espejos coacutencavos superpuestos con una ranura central en el

Levitroacuten espejo superior Al colocar un objeto en el interior del conjunto una pequentildea Una peonza imantada gira suspendida en el aire Parece rana de goma o una moneda como se aprecia en la figura la imagen del objeto increiacuteble pero la peonza vuela y vuela El efecto del giro se refleja sobre la ranura superior La imagen reflejada parece real Sin embargo combinado con la fuerza de unos potentes imanes consi- cuando se intenta coger la rana o la moneda con no poca sorpresa resulta gue hacerla ldquolevitarrdquo mientras gira durante varios minutos imposible porque lo que parece real se trata tan soacutelo de una imagen virtual

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INC

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UM

A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

40

QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

SO

MB

RA

44

NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 2

48

FIGURAS IMPOSIBLES

Claacutesicas Puede que sea el tribar la maacutes conocida de entre todas las figuras imposibles En un gran nuacutemero de museos de la ciencia hay un modelo de tribar junto al cual los visitanshytes pueden incluso fotografiarse si se colocan en un determinado punto de vista En Experigoza se ha disentildeado un tribar que los alumnos pueden ldquomaterializarrdquo colocaacutenshydose en la posicioacuten adecuada Si ademaacutes se cierra uno de los ojos y se hace desapareshycer la visioacuten tridimensional los efectos conseguidos se acentuacutean

31

Pintores y artistas Numerosos artistas han creado ilusiones visuales de gran impacto y difusioacuten Escher es sin duda el maacutes conocido de ellos pero otros como Ernst o en Espantildea Yturralde han contribuido a desarrollar este campo artiacutestico

Escher

Yturralde

Bruno Ernst

32

Publicidad Las figuras imposibles y las ilusiones oacutepticas ocupan tambieacuten un lugar destacado en la publicidad y en los logotipos que utilizan las marcas para anunciar sus productos Aquiacute van algunos ejemplos

ANAMORFOSIS

Las anamorfosis son imaacutegenes deformadas de la realidad o de otras imaacutegenes Las deformaciones se producen de acuerdo con determinadas reglas proyectivas del plano sobre otras superficies generalmente sobre superficies ciliacutendricas o coacutenicas

Supongamos que un cilindro en el que hemos dibujado unas imaacutegenes se coloca sobre un espejo Las imaacutegenes dibujadas en el cilindro al proyectarse sobre el espejo apareceraacuten deformadas e ininteligibles Podemos hacer una copia en papel de las imaacutegenes reflejadas y proceder a la inversa esto es coloshycando sobre el papel con las imaacutegenes deformes un cilindro cuya superficie fuese un espejo Las imaacutegenes deformes del plano se recompondriacutean sobre el cilindro restaurando las imaacutegenes iniciales Esta curiosa propiedad dio lugar en la eacutepoca victoriana a juegos muy divertidos que gozaron de gran populashyridad en los que laacuteminas de dibujos deformes y sin sentido se recomponiacutean como imaacutegenes ldquonormalesrdquo en cilindros o conos cuyas superficies eran espeshyjos Un apartado de Experigoza consiste en la reproduccioacuten de estos juegos

EFECTO MOIREacute Este efecto se produce al superponer dos patrones geomeacutetricos uno de los cuales debe ser transparente Se consigue con ello un efecto de movimiento y animashycioacuten de los modelos geomeacutetricos Durante el siglo XIX se disentildearon juguetes que produciacutean movimiento y que tuvieron una gran aceptacioacuten En la actualidad se han creado transparencias sorprendentes con escenarios figurativos con las que se consiguen animar imaacutegenes de objetos animales y personas

33

64 cuadrados

b) Desde que Sam Loyd popularizara su conocido rompecabezas Get Off the Earth un montaje de dos piezas donde al girar un globo terraacutequeo ldquodesapareshycerdquo uno de los personajes han ido apareciendo otros rompecabezas similares basados en la misma idea El que presentamos es esta ocasioacuten en Experigoza consta de tres partes que se pueden recortar y recomponer de dos formas distintas En una de las ocasiones aparecen 12 y en la otra 13 personajes iquestA doacutende va a parar el personaje que unas veces aparece y otras desaparece

APARICIONES Y DESAPARICIONES

En este caso maacutes que de ilusiones oacutepticas se trata de conocishydos rompecabezas geomeacutetricos o figurativos que provocan gran sorpresaTraemos como ejemplos dos de ellos

a) uno de tipo geomeacutetrico descomposicioacuten y recomposicioacuten de un cuadrado

iexclCUIDADO CON LA VISTA

Si recortas las piezas que se sentildealan en el

cuadrado y las vuelves a juntar de las 2

formas que se indican en un caso se gana un

cuadrado y en el otro se pierde

iquestCoacutemo es posible que esto pase

65 cuadrados

63 cuadrados

34

FIGURAS APARENTEMENTE IMPOSIBLES QUE PUEDEN CONSTRUIRSE

Folio imposible Ciacuterculo imposible

ILUSIONES QUE PUEDES HACER EN CASA

Bajo este epiacutegrafe traemos un conjunto de ilusiones y actividashydes curiosas que pueden realizarse faacutecilmente sin apenas mediosAlgunas de ellas tienen su origen en el hecho de que poseemos dos ojos y que la visioacuten tridimensional se produce como consecuencia de la superposicioacuten de las imaacutegenes que cada ojo produce por separado es lo que se llama la visioacuten binocular Forzando o modificando las condiciones umbrales de distancia en las que se produce la visioacuten tridimensional se consiguen estos curiosos fenoacutemenos Otras de estas impropiashymente llamadas ilusiones porque son soacutelo efectos oacutepticos sorprendentes estaacuten basadas en las propiedades de los espejos En estos casos la explicacioacuten no hay que ir a buscarla maacutes allaacute de las leyes de la fiacutesica por maacutes que los resultados no dejen de parecernos ilusiones sorprendentes

Coloca las puntas de los dedos iacutendices juntos y delante de los ojos a poca distancia Separa los dedos poco a poco y veraacutes aparecer una especie de salchishycha flotando como si los dedos se hubiesen cortado

35

Sosteniendo un laacutepiz suavemente entre los dedos pulgar e iacutendice y haciendo que el laacutepiz oscile entre los dedos a la vez que se hace un pequentildeo movimiento hacia arriba y abajo da la sensacioacuten de que el laacutepiz fuese de goma y estuviera doblaacutendose

Coloca un tubo pequentildeo en el ojo derecho Con la palma de la mano izquierda tapa el otro ojo Enfoca con el tubo a una pared en blanco Ambos ojos deben estar abiertos Ahora mante- Coloca dos monedas grandes entre los dedosA continuacioacuten frota niendo la palma de la mano pegada al tubo ve separaacutendola una contra la otra con un movimiento de giro raacutepido hacia arriba y poco a poco del ojoVeraacutes que aparece un agujero en tu mano hacia abajoVeraacutes que aparece una terecera moneda entre las dos

Coloca dos espejos simples formando un Cruza los dedos iacutendice y aacutengulo recto Si te miras en el espejo corazoacuten Coloca entre ellos ajustando la imagen hasta que veas tu una canica y sentiraacutes que cara completa podraacutes comprobar que se estaacutes tocando dos canicas origina un extrantildeo efecto iexclGuintildea el ojo El experimento funciona derecho y observa queacute sucede mejor si cierras los ojos

36

PARADOJAS FIacuteSICAS

Algunos experimentos producen resultados que aparentemente desafiacutean las leyes fiacutesicas de forma espectacular No es posible dar creacutedito a lo que ven nuestros ojos por maacutes que su explicacioacuten esteacute dentro de las mismas leyes de la fiacutesica

Huchas maacutegicas Disco de Euler Colocando dos espejos con un aacutengulo Se trata de un disco ciliacutendrico de gran inercia apropiado (45ordm en nuestro caso) se con la apariencia de una moneda grande consigue el efecto oacuteptico de que un Cuando se le hace girar de forma anaacuteloga a objeto (un cubo o un avioacuten) aparece como se hace con una moneda sobre una suspendido en el aire como volando en superficie pulida el disco gira y a la vez rueda el vaciacuteo en el interior de una caja cuacutebica sobre la superficie El efecto resultante es

similar al de una peonza que utiliza el momento angular para mantenerse en pie contrarrestanshydo en cierta medida la fuerza gravitatoria que tiende a hacerla caer Como el rozamiento es pequentildeo y el disco tiene una gran inercia se mantiene sorprendentemente girando durante varios minutos dando la sensacioacuten contra toda loacutegica de que nunca vaya a detenerse y a caer

Espejos esfeacutericos Se trata de dos espejos coacutencavos superpuestos con una ranura central en el

Levitroacuten espejo superior Al colocar un objeto en el interior del conjunto una pequentildea Una peonza imantada gira suspendida en el aire Parece rana de goma o una moneda como se aprecia en la figura la imagen del objeto increiacuteble pero la peonza vuela y vuela El efecto del giro se refleja sobre la ranura superior La imagen reflejada parece real Sin embargo combinado con la fuerza de unos potentes imanes consi- cuando se intenta coger la rana o la moneda con no poca sorpresa resulta gue hacerla ldquolevitarrdquo mientras gira durante varios minutos imposible porque lo que parece real se trata tan soacutelo de una imagen virtual

37

QU

INC

ES

UM

A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

40

QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

SO

MB

RA

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NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 2

48

Pintores y artistas Numerosos artistas han creado ilusiones visuales de gran impacto y difusioacuten Escher es sin duda el maacutes conocido de ellos pero otros como Ernst o en Espantildea Yturralde han contribuido a desarrollar este campo artiacutestico

Escher

Yturralde

Bruno Ernst

32

Publicidad Las figuras imposibles y las ilusiones oacutepticas ocupan tambieacuten un lugar destacado en la publicidad y en los logotipos que utilizan las marcas para anunciar sus productos Aquiacute van algunos ejemplos

ANAMORFOSIS

Las anamorfosis son imaacutegenes deformadas de la realidad o de otras imaacutegenes Las deformaciones se producen de acuerdo con determinadas reglas proyectivas del plano sobre otras superficies generalmente sobre superficies ciliacutendricas o coacutenicas

Supongamos que un cilindro en el que hemos dibujado unas imaacutegenes se coloca sobre un espejo Las imaacutegenes dibujadas en el cilindro al proyectarse sobre el espejo apareceraacuten deformadas e ininteligibles Podemos hacer una copia en papel de las imaacutegenes reflejadas y proceder a la inversa esto es coloshycando sobre el papel con las imaacutegenes deformes un cilindro cuya superficie fuese un espejo Las imaacutegenes deformes del plano se recompondriacutean sobre el cilindro restaurando las imaacutegenes iniciales Esta curiosa propiedad dio lugar en la eacutepoca victoriana a juegos muy divertidos que gozaron de gran populashyridad en los que laacuteminas de dibujos deformes y sin sentido se recomponiacutean como imaacutegenes ldquonormalesrdquo en cilindros o conos cuyas superficies eran espeshyjos Un apartado de Experigoza consiste en la reproduccioacuten de estos juegos

EFECTO MOIREacute Este efecto se produce al superponer dos patrones geomeacutetricos uno de los cuales debe ser transparente Se consigue con ello un efecto de movimiento y animashycioacuten de los modelos geomeacutetricos Durante el siglo XIX se disentildearon juguetes que produciacutean movimiento y que tuvieron una gran aceptacioacuten En la actualidad se han creado transparencias sorprendentes con escenarios figurativos con las que se consiguen animar imaacutegenes de objetos animales y personas

33

64 cuadrados

b) Desde que Sam Loyd popularizara su conocido rompecabezas Get Off the Earth un montaje de dos piezas donde al girar un globo terraacutequeo ldquodesapareshycerdquo uno de los personajes han ido apareciendo otros rompecabezas similares basados en la misma idea El que presentamos es esta ocasioacuten en Experigoza consta de tres partes que se pueden recortar y recomponer de dos formas distintas En una de las ocasiones aparecen 12 y en la otra 13 personajes iquestA doacutende va a parar el personaje que unas veces aparece y otras desaparece

APARICIONES Y DESAPARICIONES

En este caso maacutes que de ilusiones oacutepticas se trata de conocishydos rompecabezas geomeacutetricos o figurativos que provocan gran sorpresaTraemos como ejemplos dos de ellos

a) uno de tipo geomeacutetrico descomposicioacuten y recomposicioacuten de un cuadrado

iexclCUIDADO CON LA VISTA

Si recortas las piezas que se sentildealan en el

cuadrado y las vuelves a juntar de las 2

formas que se indican en un caso se gana un

cuadrado y en el otro se pierde

iquestCoacutemo es posible que esto pase

65 cuadrados

63 cuadrados

34

FIGURAS APARENTEMENTE IMPOSIBLES QUE PUEDEN CONSTRUIRSE

Folio imposible Ciacuterculo imposible

ILUSIONES QUE PUEDES HACER EN CASA

Bajo este epiacutegrafe traemos un conjunto de ilusiones y actividashydes curiosas que pueden realizarse faacutecilmente sin apenas mediosAlgunas de ellas tienen su origen en el hecho de que poseemos dos ojos y que la visioacuten tridimensional se produce como consecuencia de la superposicioacuten de las imaacutegenes que cada ojo produce por separado es lo que se llama la visioacuten binocular Forzando o modificando las condiciones umbrales de distancia en las que se produce la visioacuten tridimensional se consiguen estos curiosos fenoacutemenos Otras de estas impropiashymente llamadas ilusiones porque son soacutelo efectos oacutepticos sorprendentes estaacuten basadas en las propiedades de los espejos En estos casos la explicacioacuten no hay que ir a buscarla maacutes allaacute de las leyes de la fiacutesica por maacutes que los resultados no dejen de parecernos ilusiones sorprendentes

Coloca las puntas de los dedos iacutendices juntos y delante de los ojos a poca distancia Separa los dedos poco a poco y veraacutes aparecer una especie de salchishycha flotando como si los dedos se hubiesen cortado

35

Sosteniendo un laacutepiz suavemente entre los dedos pulgar e iacutendice y haciendo que el laacutepiz oscile entre los dedos a la vez que se hace un pequentildeo movimiento hacia arriba y abajo da la sensacioacuten de que el laacutepiz fuese de goma y estuviera doblaacutendose

Coloca un tubo pequentildeo en el ojo derecho Con la palma de la mano izquierda tapa el otro ojo Enfoca con el tubo a una pared en blanco Ambos ojos deben estar abiertos Ahora mante- Coloca dos monedas grandes entre los dedosA continuacioacuten frota niendo la palma de la mano pegada al tubo ve separaacutendola una contra la otra con un movimiento de giro raacutepido hacia arriba y poco a poco del ojoVeraacutes que aparece un agujero en tu mano hacia abajoVeraacutes que aparece una terecera moneda entre las dos

Coloca dos espejos simples formando un Cruza los dedos iacutendice y aacutengulo recto Si te miras en el espejo corazoacuten Coloca entre ellos ajustando la imagen hasta que veas tu una canica y sentiraacutes que cara completa podraacutes comprobar que se estaacutes tocando dos canicas origina un extrantildeo efecto iexclGuintildea el ojo El experimento funciona derecho y observa queacute sucede mejor si cierras los ojos

36

PARADOJAS FIacuteSICAS

Algunos experimentos producen resultados que aparentemente desafiacutean las leyes fiacutesicas de forma espectacular No es posible dar creacutedito a lo que ven nuestros ojos por maacutes que su explicacioacuten esteacute dentro de las mismas leyes de la fiacutesica

Huchas maacutegicas Disco de Euler Colocando dos espejos con un aacutengulo Se trata de un disco ciliacutendrico de gran inercia apropiado (45ordm en nuestro caso) se con la apariencia de una moneda grande consigue el efecto oacuteptico de que un Cuando se le hace girar de forma anaacuteloga a objeto (un cubo o un avioacuten) aparece como se hace con una moneda sobre una suspendido en el aire como volando en superficie pulida el disco gira y a la vez rueda el vaciacuteo en el interior de una caja cuacutebica sobre la superficie El efecto resultante es

similar al de una peonza que utiliza el momento angular para mantenerse en pie contrarrestanshydo en cierta medida la fuerza gravitatoria que tiende a hacerla caer Como el rozamiento es pequentildeo y el disco tiene una gran inercia se mantiene sorprendentemente girando durante varios minutos dando la sensacioacuten contra toda loacutegica de que nunca vaya a detenerse y a caer

Espejos esfeacutericos Se trata de dos espejos coacutencavos superpuestos con una ranura central en el

Levitroacuten espejo superior Al colocar un objeto en el interior del conjunto una pequentildea Una peonza imantada gira suspendida en el aire Parece rana de goma o una moneda como se aprecia en la figura la imagen del objeto increiacuteble pero la peonza vuela y vuela El efecto del giro se refleja sobre la ranura superior La imagen reflejada parece real Sin embargo combinado con la fuerza de unos potentes imanes consi- cuando se intenta coger la rana o la moneda con no poca sorpresa resulta gue hacerla ldquolevitarrdquo mientras gira durante varios minutos imposible porque lo que parece real se trata tan soacutelo de una imagen virtual

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QU

INC

ES

UM

A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

40

QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

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NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 2

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ANAMORFOSIS

Las anamorfosis son imaacutegenes deformadas de la realidad o de otras imaacutegenes Las deformaciones se producen de acuerdo con determinadas reglas proyectivas del plano sobre otras superficies generalmente sobre superficies ciliacutendricas o coacutenicas

Supongamos que un cilindro en el que hemos dibujado unas imaacutegenes se coloca sobre un espejo Las imaacutegenes dibujadas en el cilindro al proyectarse sobre el espejo apareceraacuten deformadas e ininteligibles Podemos hacer una copia en papel de las imaacutegenes reflejadas y proceder a la inversa esto es coloshycando sobre el papel con las imaacutegenes deformes un cilindro cuya superficie fuese un espejo Las imaacutegenes deformes del plano se recompondriacutean sobre el cilindro restaurando las imaacutegenes iniciales Esta curiosa propiedad dio lugar en la eacutepoca victoriana a juegos muy divertidos que gozaron de gran populashyridad en los que laacuteminas de dibujos deformes y sin sentido se recomponiacutean como imaacutegenes ldquonormalesrdquo en cilindros o conos cuyas superficies eran espeshyjos Un apartado de Experigoza consiste en la reproduccioacuten de estos juegos

EFECTO MOIREacute Este efecto se produce al superponer dos patrones geomeacutetricos uno de los cuales debe ser transparente Se consigue con ello un efecto de movimiento y animashycioacuten de los modelos geomeacutetricos Durante el siglo XIX se disentildearon juguetes que produciacutean movimiento y que tuvieron una gran aceptacioacuten En la actualidad se han creado transparencias sorprendentes con escenarios figurativos con las que se consiguen animar imaacutegenes de objetos animales y personas

33

64 cuadrados

b) Desde que Sam Loyd popularizara su conocido rompecabezas Get Off the Earth un montaje de dos piezas donde al girar un globo terraacutequeo ldquodesapareshycerdquo uno de los personajes han ido apareciendo otros rompecabezas similares basados en la misma idea El que presentamos es esta ocasioacuten en Experigoza consta de tres partes que se pueden recortar y recomponer de dos formas distintas En una de las ocasiones aparecen 12 y en la otra 13 personajes iquestA doacutende va a parar el personaje que unas veces aparece y otras desaparece

APARICIONES Y DESAPARICIONES

En este caso maacutes que de ilusiones oacutepticas se trata de conocishydos rompecabezas geomeacutetricos o figurativos que provocan gran sorpresaTraemos como ejemplos dos de ellos

a) uno de tipo geomeacutetrico descomposicioacuten y recomposicioacuten de un cuadrado

iexclCUIDADO CON LA VISTA

Si recortas las piezas que se sentildealan en el

cuadrado y las vuelves a juntar de las 2

formas que se indican en un caso se gana un

cuadrado y en el otro se pierde

iquestCoacutemo es posible que esto pase

65 cuadrados

63 cuadrados

34

FIGURAS APARENTEMENTE IMPOSIBLES QUE PUEDEN CONSTRUIRSE

Folio imposible Ciacuterculo imposible

ILUSIONES QUE PUEDES HACER EN CASA

Bajo este epiacutegrafe traemos un conjunto de ilusiones y actividashydes curiosas que pueden realizarse faacutecilmente sin apenas mediosAlgunas de ellas tienen su origen en el hecho de que poseemos dos ojos y que la visioacuten tridimensional se produce como consecuencia de la superposicioacuten de las imaacutegenes que cada ojo produce por separado es lo que se llama la visioacuten binocular Forzando o modificando las condiciones umbrales de distancia en las que se produce la visioacuten tridimensional se consiguen estos curiosos fenoacutemenos Otras de estas impropiashymente llamadas ilusiones porque son soacutelo efectos oacutepticos sorprendentes estaacuten basadas en las propiedades de los espejos En estos casos la explicacioacuten no hay que ir a buscarla maacutes allaacute de las leyes de la fiacutesica por maacutes que los resultados no dejen de parecernos ilusiones sorprendentes

Coloca las puntas de los dedos iacutendices juntos y delante de los ojos a poca distancia Separa los dedos poco a poco y veraacutes aparecer una especie de salchishycha flotando como si los dedos se hubiesen cortado

35

Sosteniendo un laacutepiz suavemente entre los dedos pulgar e iacutendice y haciendo que el laacutepiz oscile entre los dedos a la vez que se hace un pequentildeo movimiento hacia arriba y abajo da la sensacioacuten de que el laacutepiz fuese de goma y estuviera doblaacutendose

Coloca un tubo pequentildeo en el ojo derecho Con la palma de la mano izquierda tapa el otro ojo Enfoca con el tubo a una pared en blanco Ambos ojos deben estar abiertos Ahora mante- Coloca dos monedas grandes entre los dedosA continuacioacuten frota niendo la palma de la mano pegada al tubo ve separaacutendola una contra la otra con un movimiento de giro raacutepido hacia arriba y poco a poco del ojoVeraacutes que aparece un agujero en tu mano hacia abajoVeraacutes que aparece una terecera moneda entre las dos

Coloca dos espejos simples formando un Cruza los dedos iacutendice y aacutengulo recto Si te miras en el espejo corazoacuten Coloca entre ellos ajustando la imagen hasta que veas tu una canica y sentiraacutes que cara completa podraacutes comprobar que se estaacutes tocando dos canicas origina un extrantildeo efecto iexclGuintildea el ojo El experimento funciona derecho y observa queacute sucede mejor si cierras los ojos

36

PARADOJAS FIacuteSICAS

Algunos experimentos producen resultados que aparentemente desafiacutean las leyes fiacutesicas de forma espectacular No es posible dar creacutedito a lo que ven nuestros ojos por maacutes que su explicacioacuten esteacute dentro de las mismas leyes de la fiacutesica

Huchas maacutegicas Disco de Euler Colocando dos espejos con un aacutengulo Se trata de un disco ciliacutendrico de gran inercia apropiado (45ordm en nuestro caso) se con la apariencia de una moneda grande consigue el efecto oacuteptico de que un Cuando se le hace girar de forma anaacuteloga a objeto (un cubo o un avioacuten) aparece como se hace con una moneda sobre una suspendido en el aire como volando en superficie pulida el disco gira y a la vez rueda el vaciacuteo en el interior de una caja cuacutebica sobre la superficie El efecto resultante es

similar al de una peonza que utiliza el momento angular para mantenerse en pie contrarrestanshydo en cierta medida la fuerza gravitatoria que tiende a hacerla caer Como el rozamiento es pequentildeo y el disco tiene una gran inercia se mantiene sorprendentemente girando durante varios minutos dando la sensacioacuten contra toda loacutegica de que nunca vaya a detenerse y a caer

Espejos esfeacutericos Se trata de dos espejos coacutencavos superpuestos con una ranura central en el

Levitroacuten espejo superior Al colocar un objeto en el interior del conjunto una pequentildea Una peonza imantada gira suspendida en el aire Parece rana de goma o una moneda como se aprecia en la figura la imagen del objeto increiacuteble pero la peonza vuela y vuela El efecto del giro se refleja sobre la ranura superior La imagen reflejada parece real Sin embargo combinado con la fuerza de unos potentes imanes consi- cuando se intenta coger la rana o la moneda con no poca sorpresa resulta gue hacerla ldquolevitarrdquo mientras gira durante varios minutos imposible porque lo que parece real se trata tan soacutelo de una imagen virtual

37

QU

INC

ES

UM

A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

40

QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

SO

MB

RA

44

NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 2

48

64 cuadrados

b) Desde que Sam Loyd popularizara su conocido rompecabezas Get Off the Earth un montaje de dos piezas donde al girar un globo terraacutequeo ldquodesapareshycerdquo uno de los personajes han ido apareciendo otros rompecabezas similares basados en la misma idea El que presentamos es esta ocasioacuten en Experigoza consta de tres partes que se pueden recortar y recomponer de dos formas distintas En una de las ocasiones aparecen 12 y en la otra 13 personajes iquestA doacutende va a parar el personaje que unas veces aparece y otras desaparece

APARICIONES Y DESAPARICIONES

En este caso maacutes que de ilusiones oacutepticas se trata de conocishydos rompecabezas geomeacutetricos o figurativos que provocan gran sorpresaTraemos como ejemplos dos de ellos

a) uno de tipo geomeacutetrico descomposicioacuten y recomposicioacuten de un cuadrado

iexclCUIDADO CON LA VISTA

Si recortas las piezas que se sentildealan en el

cuadrado y las vuelves a juntar de las 2

formas que se indican en un caso se gana un

cuadrado y en el otro se pierde

iquestCoacutemo es posible que esto pase

65 cuadrados

63 cuadrados

34

FIGURAS APARENTEMENTE IMPOSIBLES QUE PUEDEN CONSTRUIRSE

Folio imposible Ciacuterculo imposible

ILUSIONES QUE PUEDES HACER EN CASA

Bajo este epiacutegrafe traemos un conjunto de ilusiones y actividashydes curiosas que pueden realizarse faacutecilmente sin apenas mediosAlgunas de ellas tienen su origen en el hecho de que poseemos dos ojos y que la visioacuten tridimensional se produce como consecuencia de la superposicioacuten de las imaacutegenes que cada ojo produce por separado es lo que se llama la visioacuten binocular Forzando o modificando las condiciones umbrales de distancia en las que se produce la visioacuten tridimensional se consiguen estos curiosos fenoacutemenos Otras de estas impropiashymente llamadas ilusiones porque son soacutelo efectos oacutepticos sorprendentes estaacuten basadas en las propiedades de los espejos En estos casos la explicacioacuten no hay que ir a buscarla maacutes allaacute de las leyes de la fiacutesica por maacutes que los resultados no dejen de parecernos ilusiones sorprendentes

Coloca las puntas de los dedos iacutendices juntos y delante de los ojos a poca distancia Separa los dedos poco a poco y veraacutes aparecer una especie de salchishycha flotando como si los dedos se hubiesen cortado

35

Sosteniendo un laacutepiz suavemente entre los dedos pulgar e iacutendice y haciendo que el laacutepiz oscile entre los dedos a la vez que se hace un pequentildeo movimiento hacia arriba y abajo da la sensacioacuten de que el laacutepiz fuese de goma y estuviera doblaacutendose

Coloca un tubo pequentildeo en el ojo derecho Con la palma de la mano izquierda tapa el otro ojo Enfoca con el tubo a una pared en blanco Ambos ojos deben estar abiertos Ahora mante- Coloca dos monedas grandes entre los dedosA continuacioacuten frota niendo la palma de la mano pegada al tubo ve separaacutendola una contra la otra con un movimiento de giro raacutepido hacia arriba y poco a poco del ojoVeraacutes que aparece un agujero en tu mano hacia abajoVeraacutes que aparece una terecera moneda entre las dos

Coloca dos espejos simples formando un Cruza los dedos iacutendice y aacutengulo recto Si te miras en el espejo corazoacuten Coloca entre ellos ajustando la imagen hasta que veas tu una canica y sentiraacutes que cara completa podraacutes comprobar que se estaacutes tocando dos canicas origina un extrantildeo efecto iexclGuintildea el ojo El experimento funciona derecho y observa queacute sucede mejor si cierras los ojos

36

PARADOJAS FIacuteSICAS

Algunos experimentos producen resultados que aparentemente desafiacutean las leyes fiacutesicas de forma espectacular No es posible dar creacutedito a lo que ven nuestros ojos por maacutes que su explicacioacuten esteacute dentro de las mismas leyes de la fiacutesica

Huchas maacutegicas Disco de Euler Colocando dos espejos con un aacutengulo Se trata de un disco ciliacutendrico de gran inercia apropiado (45ordm en nuestro caso) se con la apariencia de una moneda grande consigue el efecto oacuteptico de que un Cuando se le hace girar de forma anaacuteloga a objeto (un cubo o un avioacuten) aparece como se hace con una moneda sobre una suspendido en el aire como volando en superficie pulida el disco gira y a la vez rueda el vaciacuteo en el interior de una caja cuacutebica sobre la superficie El efecto resultante es

similar al de una peonza que utiliza el momento angular para mantenerse en pie contrarrestanshydo en cierta medida la fuerza gravitatoria que tiende a hacerla caer Como el rozamiento es pequentildeo y el disco tiene una gran inercia se mantiene sorprendentemente girando durante varios minutos dando la sensacioacuten contra toda loacutegica de que nunca vaya a detenerse y a caer

Espejos esfeacutericos Se trata de dos espejos coacutencavos superpuestos con una ranura central en el

Levitroacuten espejo superior Al colocar un objeto en el interior del conjunto una pequentildea Una peonza imantada gira suspendida en el aire Parece rana de goma o una moneda como se aprecia en la figura la imagen del objeto increiacuteble pero la peonza vuela y vuela El efecto del giro se refleja sobre la ranura superior La imagen reflejada parece real Sin embargo combinado con la fuerza de unos potentes imanes consi- cuando se intenta coger la rana o la moneda con no poca sorpresa resulta gue hacerla ldquolevitarrdquo mientras gira durante varios minutos imposible porque lo que parece real se trata tan soacutelo de una imagen virtual

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QU

INC

ES

UM

A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

40

QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

SO

MB

RA

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NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 2

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FIGURAS APARENTEMENTE IMPOSIBLES QUE PUEDEN CONSTRUIRSE

Folio imposible Ciacuterculo imposible

ILUSIONES QUE PUEDES HACER EN CASA

Bajo este epiacutegrafe traemos un conjunto de ilusiones y actividashydes curiosas que pueden realizarse faacutecilmente sin apenas mediosAlgunas de ellas tienen su origen en el hecho de que poseemos dos ojos y que la visioacuten tridimensional se produce como consecuencia de la superposicioacuten de las imaacutegenes que cada ojo produce por separado es lo que se llama la visioacuten binocular Forzando o modificando las condiciones umbrales de distancia en las que se produce la visioacuten tridimensional se consiguen estos curiosos fenoacutemenos Otras de estas impropiashymente llamadas ilusiones porque son soacutelo efectos oacutepticos sorprendentes estaacuten basadas en las propiedades de los espejos En estos casos la explicacioacuten no hay que ir a buscarla maacutes allaacute de las leyes de la fiacutesica por maacutes que los resultados no dejen de parecernos ilusiones sorprendentes

Coloca las puntas de los dedos iacutendices juntos y delante de los ojos a poca distancia Separa los dedos poco a poco y veraacutes aparecer una especie de salchishycha flotando como si los dedos se hubiesen cortado

35

Sosteniendo un laacutepiz suavemente entre los dedos pulgar e iacutendice y haciendo que el laacutepiz oscile entre los dedos a la vez que se hace un pequentildeo movimiento hacia arriba y abajo da la sensacioacuten de que el laacutepiz fuese de goma y estuviera doblaacutendose

Coloca un tubo pequentildeo en el ojo derecho Con la palma de la mano izquierda tapa el otro ojo Enfoca con el tubo a una pared en blanco Ambos ojos deben estar abiertos Ahora mante- Coloca dos monedas grandes entre los dedosA continuacioacuten frota niendo la palma de la mano pegada al tubo ve separaacutendola una contra la otra con un movimiento de giro raacutepido hacia arriba y poco a poco del ojoVeraacutes que aparece un agujero en tu mano hacia abajoVeraacutes que aparece una terecera moneda entre las dos

Coloca dos espejos simples formando un Cruza los dedos iacutendice y aacutengulo recto Si te miras en el espejo corazoacuten Coloca entre ellos ajustando la imagen hasta que veas tu una canica y sentiraacutes que cara completa podraacutes comprobar que se estaacutes tocando dos canicas origina un extrantildeo efecto iexclGuintildea el ojo El experimento funciona derecho y observa queacute sucede mejor si cierras los ojos

36

PARADOJAS FIacuteSICAS

Algunos experimentos producen resultados que aparentemente desafiacutean las leyes fiacutesicas de forma espectacular No es posible dar creacutedito a lo que ven nuestros ojos por maacutes que su explicacioacuten esteacute dentro de las mismas leyes de la fiacutesica

Huchas maacutegicas Disco de Euler Colocando dos espejos con un aacutengulo Se trata de un disco ciliacutendrico de gran inercia apropiado (45ordm en nuestro caso) se con la apariencia de una moneda grande consigue el efecto oacuteptico de que un Cuando se le hace girar de forma anaacuteloga a objeto (un cubo o un avioacuten) aparece como se hace con una moneda sobre una suspendido en el aire como volando en superficie pulida el disco gira y a la vez rueda el vaciacuteo en el interior de una caja cuacutebica sobre la superficie El efecto resultante es

similar al de una peonza que utiliza el momento angular para mantenerse en pie contrarrestanshydo en cierta medida la fuerza gravitatoria que tiende a hacerla caer Como el rozamiento es pequentildeo y el disco tiene una gran inercia se mantiene sorprendentemente girando durante varios minutos dando la sensacioacuten contra toda loacutegica de que nunca vaya a detenerse y a caer

Espejos esfeacutericos Se trata de dos espejos coacutencavos superpuestos con una ranura central en el

Levitroacuten espejo superior Al colocar un objeto en el interior del conjunto una pequentildea Una peonza imantada gira suspendida en el aire Parece rana de goma o una moneda como se aprecia en la figura la imagen del objeto increiacuteble pero la peonza vuela y vuela El efecto del giro se refleja sobre la ranura superior La imagen reflejada parece real Sin embargo combinado con la fuerza de unos potentes imanes consi- cuando se intenta coger la rana o la moneda con no poca sorpresa resulta gue hacerla ldquolevitarrdquo mientras gira durante varios minutos imposible porque lo que parece real se trata tan soacutelo de una imagen virtual

37

QU

INC

ES

UM

A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

40

QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

SO

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NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

HO

NUacute

ME

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S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 2

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Sosteniendo un laacutepiz suavemente entre los dedos pulgar e iacutendice y haciendo que el laacutepiz oscile entre los dedos a la vez que se hace un pequentildeo movimiento hacia arriba y abajo da la sensacioacuten de que el laacutepiz fuese de goma y estuviera doblaacutendose

Coloca un tubo pequentildeo en el ojo derecho Con la palma de la mano izquierda tapa el otro ojo Enfoca con el tubo a una pared en blanco Ambos ojos deben estar abiertos Ahora mante- Coloca dos monedas grandes entre los dedosA continuacioacuten frota niendo la palma de la mano pegada al tubo ve separaacutendola una contra la otra con un movimiento de giro raacutepido hacia arriba y poco a poco del ojoVeraacutes que aparece un agujero en tu mano hacia abajoVeraacutes que aparece una terecera moneda entre las dos

Coloca dos espejos simples formando un Cruza los dedos iacutendice y aacutengulo recto Si te miras en el espejo corazoacuten Coloca entre ellos ajustando la imagen hasta que veas tu una canica y sentiraacutes que cara completa podraacutes comprobar que se estaacutes tocando dos canicas origina un extrantildeo efecto iexclGuintildea el ojo El experimento funciona derecho y observa queacute sucede mejor si cierras los ojos

36

PARADOJAS FIacuteSICAS

Algunos experimentos producen resultados que aparentemente desafiacutean las leyes fiacutesicas de forma espectacular No es posible dar creacutedito a lo que ven nuestros ojos por maacutes que su explicacioacuten esteacute dentro de las mismas leyes de la fiacutesica

Huchas maacutegicas Disco de Euler Colocando dos espejos con un aacutengulo Se trata de un disco ciliacutendrico de gran inercia apropiado (45ordm en nuestro caso) se con la apariencia de una moneda grande consigue el efecto oacuteptico de que un Cuando se le hace girar de forma anaacuteloga a objeto (un cubo o un avioacuten) aparece como se hace con una moneda sobre una suspendido en el aire como volando en superficie pulida el disco gira y a la vez rueda el vaciacuteo en el interior de una caja cuacutebica sobre la superficie El efecto resultante es

similar al de una peonza que utiliza el momento angular para mantenerse en pie contrarrestanshydo en cierta medida la fuerza gravitatoria que tiende a hacerla caer Como el rozamiento es pequentildeo y el disco tiene una gran inercia se mantiene sorprendentemente girando durante varios minutos dando la sensacioacuten contra toda loacutegica de que nunca vaya a detenerse y a caer

Espejos esfeacutericos Se trata de dos espejos coacutencavos superpuestos con una ranura central en el

Levitroacuten espejo superior Al colocar un objeto en el interior del conjunto una pequentildea Una peonza imantada gira suspendida en el aire Parece rana de goma o una moneda como se aprecia en la figura la imagen del objeto increiacuteble pero la peonza vuela y vuela El efecto del giro se refleja sobre la ranura superior La imagen reflejada parece real Sin embargo combinado con la fuerza de unos potentes imanes consi- cuando se intenta coger la rana o la moneda con no poca sorpresa resulta gue hacerla ldquolevitarrdquo mientras gira durante varios minutos imposible porque lo que parece real se trata tan soacutelo de una imagen virtual

37

QU

INC

ES

UM

A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

40

QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

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NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

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NUacute

ME

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S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

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Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

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PARADOJAS FIacuteSICAS

Algunos experimentos producen resultados que aparentemente desafiacutean las leyes fiacutesicas de forma espectacular No es posible dar creacutedito a lo que ven nuestros ojos por maacutes que su explicacioacuten esteacute dentro de las mismas leyes de la fiacutesica

Huchas maacutegicas Disco de Euler Colocando dos espejos con un aacutengulo Se trata de un disco ciliacutendrico de gran inercia apropiado (45ordm en nuestro caso) se con la apariencia de una moneda grande consigue el efecto oacuteptico de que un Cuando se le hace girar de forma anaacuteloga a objeto (un cubo o un avioacuten) aparece como se hace con una moneda sobre una suspendido en el aire como volando en superficie pulida el disco gira y a la vez rueda el vaciacuteo en el interior de una caja cuacutebica sobre la superficie El efecto resultante es

similar al de una peonza que utiliza el momento angular para mantenerse en pie contrarrestanshydo en cierta medida la fuerza gravitatoria que tiende a hacerla caer Como el rozamiento es pequentildeo y el disco tiene una gran inercia se mantiene sorprendentemente girando durante varios minutos dando la sensacioacuten contra toda loacutegica de que nunca vaya a detenerse y a caer

Espejos esfeacutericos Se trata de dos espejos coacutencavos superpuestos con una ranura central en el

Levitroacuten espejo superior Al colocar un objeto en el interior del conjunto una pequentildea Una peonza imantada gira suspendida en el aire Parece rana de goma o una moneda como se aprecia en la figura la imagen del objeto increiacuteble pero la peonza vuela y vuela El efecto del giro se refleja sobre la ranura superior La imagen reflejada parece real Sin embargo combinado con la fuerza de unos potentes imanes consi- cuando se intenta coger la rana o la moneda con no poca sorpresa resulta gue hacerla ldquolevitarrdquo mientras gira durante varios minutos imposible porque lo que parece real se trata tan soacutelo de una imagen virtual

37

QU

INC

ES

UM

A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

40

QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

SO

MB

RA

44

NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 2

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QU

INC

ES

UM

A El primer jugador coloca una de sus fichas en la casilla que quiera

Al llegar su turno el jugador coloca una de sus fichas en cualquier casilla vaciacutea

Colocadas las seis fichas los jugadores pueden mover sus fichas a una casilla vaciacutea

GANA el primer jugador que consiga colocar sus tres fichas en casillas que sumen 15

Para dos jugadores que utilizan 3 fichas de un color diferente cada uno

REGLAS

ACTIVIDADES

PROPUESTAS

38

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

40

QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

SO

MB

RA

44

NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 2

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Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) y Participativo once participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

LA

MA

RG

AR

ITA

El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Cada jugador en su turno puede quitar de la margarita con 11 peacutetalos uno o dos peacutetalos a su eleccioacuten Pero si decide quitar dos peacutetalos tienen que estar juntos

GANA el jugador que se lleva el uacuteltimo peacutetalo

Para dos jugadores y una margarita con una ficha en cada uno de sus 11 peacutetalos

REGLAS

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QU

ITA

FIC

HA

S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

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NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

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S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

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S El orden del inicio en la primera partida es por sorteo y en las demaacutes por turno

Los dos jugadores van haciendo sus jugadas alternativamente

Se colocan 10 fichas y cada jugador en su turno puede quitar 1 oacute 2 seguacuten quiera

GANA el jugador que consigue retirar la uacuteltima ficha

Para dos jugadores

REGLAS

Se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que dos jugadores juegan con fichas Participativo diez participantes hacen de fichas y los jugadores los van quitando en el desarrollo del juego Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior con grandes fichas

42

Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

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NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

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S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

HO

NUacute

ME

RO

S 2

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Es un juego individual

REGLAS

El juego consiste en intercambiar la colocacioacuten de las fichas las que estaban a la izquierda ponerlas en la derecha y viceversa Hacerlo en el menor nuacutemero de movimientos posible

1 Las fichas colocadas inicialmente a la izquierda solo se mueven hacia la derecha Las de la derecha solo hacia la izquierda 2 Una ficha puede moverse a la casilla de su lado si estaacute vaciacutea

3 Si una ficha tiene a su lado una de otro color y a continuacioacuten una casilla libre puede saltar a dicha casilla libre

POSICIOacuteN INICIAL

FORMA DE MOVER LAS FICHAS

SO

L Y

SO

MB

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44

NUNCA PUEDE HABER EN UNA CASILLA MAacuteS DE UNA FICHA NO ES NECESARIO MOVER ALTERNATIVAMENTE FICHAS DE LOS DOS COLORES

OC

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S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

46

Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

OC

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S 2

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NUacute

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S 1

Es un juego individual

REGLAS

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la tira de ocho casillas que aparece abajo con la condicioacuten de que entre cada uno de ellos y los que estaacuten a su lado haya por lo menos 4 unidades de diferencia Y hay que lograrlo de todas las formas posibles

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Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

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Es un juego individual

Se trata de colocar los ocho nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 5 6 7 y 8 en la cuadriacutecula adjunta con la condicioacuten de que ninguno de los nuacutemeros tenga al lado uno consecutivo con eacutel y eso mirando en horizontal en vertical y en diagonalY se trata tambieacuten de hacerlo de todas las formas posibles

REGLAS

De los dos juegos se pueden hacer diferentes versiones Tablero en el que un jugador coloca fichas Gran formato (tipo lona para el suelo) en el que las fichas son ocho personas con camisetas con los nuacutemeros que se colocan en las casillas adecuadas (bajo su propia decisioacuten o guiados por un jugador externo) Marcado en el suelo (en el recinto de Experigoza aprovechando los ladrillos) se juega de la misma forma que en el caso anterior

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