n

1

Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer

Fermi-Diracstatistikenvid olika temperaturer

Hög TLåg T

T=0

FF = Fermienergin

Partikel i boxen

Tillåtna våglängder:

n

2L

n

Tillåtna rörelsemängder (de Broglie):

n

n

h hnp

2L

För alla 3 rymdkoordinater gäller:

yx xx y z

2 2 22 2x y z 2 2 2

x y z2

hnhn hnp p p

2L 2L 2L

p p pp hn n n

2m 2m 8mL

När man har Fermi-Dirac statistik, gäller för Fermienergin: 2 2

maxF 2

h n

8mL

ny

nx

nzmax nx

2+ny2+nz

2

Maxenergin formar en åttondel av en kulyta med r = n2. Volumen är:

3 3

max max4 n nN(n)

3 8 6

När vi fyller de tillstånd med partikler med halvtalig spin, t. ex.elektroner, får vi plats för 2 elektroner per tillstånd med olik spin: 2 33

2maxmax

2 3 2 32 2 2 23max

F 2 2

n 3NN 2N(n) n

3

h n h 3N h 3Nmed V L

8mL 8mL 8m V

Insättning i formeln för Fermienergin utgör:

x y z

n n nx y z

n2 2 max

2 2

0 0 0

n nmax max 4 2 2 22

2 2

0 0

5 2 3 2 2

max max maxF2

2

5 2

maxF 2

U 2 (n) 2 (n)dn dn dn

U 2 (n)n sin dn d d 2 d sin d (n)n dn

n h n hU 2 (n)n dn dn med (n)

2 8mL 8mL

n h n h nU N

40mL 3 8mL

n hN U

3 8mL

F

3N

5

Energin av hela ensemblen är:

2 partikler pertillstånd Övergång till polarkoordinater

Genomsnittliga energin av en partikel är 60 % av Fermi-energin.

Antal av tillstånd per energi

nmax 2 2 22

22

0

2 2

2 2

3/ 2F F2 2 2

2 2 2

0 0

3/ 2F 2

2

0

h n 8mLU (n)n dn n

8mL h

dn 8mL 1 8mL 1dn d

d h h2 2

8mL 8mL 1 8mLU d d

h h 2 h2

8mLU g( )d med g( )

2 h

g() är ett mått hur många tillstånd finns per energi

Graf av g() vid T=0

g()

F

< F alla tillstånd fullt ockuperad

> F ingen tillstånd ockuperad

FD vid laga temperaturer

Vid T=0 räcker det att summera alla tillstånd från 0 till Fermi-kanten för att få antalet av partikler:

F

0

N 2 g( ) d

g(e) = Antal av tillstånd per energi

Vid laga T måste troligheten att tillståndet är ockuperad beaktas:

( ) / kT

0 0

( ) / kT

0 0

1N 2 g( )n(FD)d g( ) d

1 e

1U 2 g( )n(FD)d g( ) d

1 e

g()

F

T=0

T>0

Graf av g() vid T>0

Photon i boxen

Tillåtna våglängder:

n

2L

n

Tillåtna energier

hc hnc

2L

BE statistik för fotoner

( ) / kT

1n(BE)

e 1

Om man betraktar en absorptions (eller emissions) process av en foton genom en elektron

e- + h e-

så gäller i jämnvikt:

(e-) + (h) = (e-)

(h) = 0

Planck-fördelningfotoner / kT nh / kT

1 1n(BE )

e 1 e 1

I 3 dimensioner:

hcn / 2LkTn n n n ,n ,nx y z x y z

hcn 1U 2 n(BE)

L e 1

2 oberoende polarisationer per energi

/ 2 / 2 32

hcn / 2LkT hcn / 2LkT

0 0 0 0

hcn 1 hcn 1U dn d d n sin

L e 1 2 L e 1

2 2 2

x y zhc n n nhnc

2L 2L

33

hcn / 2LkT hcn / 2LkT

0 0

3 3 3 3 3 3

3 3 3 / kT 3 3 / kT

0 0

4 3

3 3 / kT

0

4 453

3 3 x 3 3

0

hcn d hc 2Ldn d

2L dn 2L hc

hcn 1 1U dn n d

2 L e 1 e 1

8 L h c n 1 8 Ld d

h c 8L e 1 h c e 1

8 V kT / kTU d( / kT)

h c e 1

8 kT 8 kTU x xdx med

V h c e 1 15h c

3 4

x

0

dxe 1 15

L3=V

Med x=/kT

Rsin

Rsind

Röda volymen: 2Rd R sin d cdt cR sin d d dt

Fotonpassering genom ett hål

Rd

R

cdt

R=ct

Rd

R

cdt

R=ct

Alla fotoner kommer inte attpassera hålet , bara de som har rätta vinkeln.

Energiförlust: Fotonenergi i volym (U/V) trolighet av passering (Pp)i tidsintervall dt.

Acos

A

2

UU(volym) (volym)

VU

cR sin d d dtV

p 2

AcosP

4 R

p

2

2

2 / 2 / 2

0 0 0

4 45 5

3 3 3 2

45

4

3 2

UE(pass) (volym) P

VU A cos

E(pass) cR sin d d dtV 4 R

U Ac U AcE(tot) d d cos sin dt d sin cos dt

V 4 V 2

8 kT 2 kTU c AcE(tot) dt dt Adt

V 4 15h c 4 15h c

2 kTP E(tot)T

A Adt 15h c

Energin som passerar med fotoner genom hålet:

För totala energiförlusten gäller:

Lag av Stefan-Boltzmann, är Stefan-Boltzmann-konstanten5.67 x 10-8 Wm-2K-4

T(box)=T(strålare)

Om strålningen av boxeneller strålaren är intensivare,skulle en av dem uppvärmas menden andra svalnas omöjligt.

Betrakta en strålare med samma T och samma yta som hålet:

Om strålningen en av dem är intensivare vid en viss våglängd, skulle man åstådkomma samma situationen med hjälp av en filter.

Svarta strålare

T(box)=T(strålare)

Strålningen av en svart strålare har samma spektrum och samma intesitet som den från ett hål.

Jorden som svart strålare

Intensiteten av solstrålningen är 1370 W/m2, så kallade solarkonstanten. Jordtvärsnittet är R2 Intensiteten av instrålning av solen är:

2P(in) solarkons tan t R

Om man betrakta jorden som svarta strålare, så gäller4 2 4P(ut) A T 4 R T

I jämnvikt är P(in)=P(ut):

2 2 4

1/ 4

solarkons tan t R 4 R T

solarkons tan tT 279K

4

Men: Jorden är ingen svart strålare, men reflektera 30 %. Denna förlust kompenseras med växthuseffekten.

Månen som svart strålare

Månen saknar atmosfär, därför finns ingen konvektiv värmetransport. Om man antar lodrätt infall av solstrålen (på månekvatorn) och vet att månen reflekterar 7 % av infallande ljuset, är infallsintensiteten på 1m2:

P(in) solarkons tan t 1 0.93

Månen är ingen perfekt svart strålare, den emitterar bara 96 % av ljuset som den skulle som svart strålare, så för 1 m2 är:

4P(ut) 0.96 T

4

1/ 4

P(ut) P(in) 0.96 T 0.93 (solkons tan ten)

0.93 (solkons tan ten)T 391 K

0.96

I jämnvikt gäller:

som överensstämmer ganska bra med den uppmätta temperaturen 400K.

4.

Debyemodellen av fast kropp

n=1

n=2

n=3

Vi betraktar en endimensions-kristall. Kristallatomer kan utföra vibrationer medföljande vaglängder:

s s

2L

n

hc hc n

2L

För tillåtna energier gäller:

cs = utbredningshastgheten av vibrationer = ljudhastighet

hc n / 2LkT/ kT s

n n nx y z

1 1n

e 1 e 1

U 3 n

Vibrationer kan händer i 1 longi- tudinal och 2 transversala moder, därför inkludras en faktor 3.

U i tre dimensioner:

Området av tillåtna tillstånd harformen av en tärning i nx-ny-nz rum,Debye gjorde approximation med en attondel av en kula med samma volym. Volumen av kulattondelen måste utgör N, därför gäller:

Debye-approximation

nx

ny

nz

3 3

max max

1/ 3

max

4(n ) (n )N

3 8 6

6Nn

n / 2 / 2max

2

/ kT

0 0 0

n nmax max 32 s s

nhc / 2LkT/ kT s

0 0

3

sn xmax max4 4 3 4 4 3

s

nhc / 2LkT3 3 3 3 xss s0 0

max

U 3 dn d d n sine 1

hc nhc3 3 nU n dn dn med

2 e 1 2 2L e 1 2L

nhc

nhc2LkT3 8k T L 12k T V xd dx

2 h c e 1 2LkT h c e 1

x

1/ 3 1/ 3 3 3max s s s D

3 3 3 3 3

D s s

T / T T / T T / TD D D4 4 3 3 3 4 34

3 3 x 3 3 x 3 x

s s D0 0 0

n hc hc hc T6N 6N 9 9 8k V 12k V

2LkT 2LkT 2kT V T T 6Nh c Nh c

12 k T V x 12k V x 9NkT xU dx NkT dx dx

h c e 1 h c N e 1 T e 1

L=V1/3

T / TD4 3x

D3 x

D 0

T / T T / T 3D D4 3 4 42 D

3 3 3

D D D0 0

9NkT xU dx när T T är x 1 och e 1 x

T e 1

9NkT x 9NkT 9NkT 1 TU dx x dx 3NkT

T 1 x 1 T T 3 T

Vid höga temperaturer gäller:

Vid laga temperaturer:

T / TD4 3

3 x

D 0

4 3 4 4

D 3 x 3

D D0

4 4

3

D

9NkT xU dx

T e 1

9NkT x 9 NkTnär T T är U dx

T e 1 15T

3 NkTU

5T

Värmekapacitet av fast kropp

V

4 4

3

D

4 3

V 3

D

U 3NkT

UC 3Nk

T

3 NkTU

5T

12 NkTC

5T

Hög T

Lag T

0.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

T/ TD

C / 3NkV

Värmekapaciteten av en fast kropp

Ising modell av en ferromagnet

I en paramagnet tenderar dipolmomenter av atomer att utriktar sig antiparallel till ett externt magnetfält. I en ferromagnet händer utriktningen av dipolmomenter spontant (utan externt fält) parallelt.

Vi betraktar först 2 dipolmomenter bredvid varandra. Om vi fixer en till utrikning s=1 (“upp”) så finns s möjligheter s=1 (upp) och s=-1 (ned) för den andra med olika energier:

E = E = -

E = -s

Om vi utvidga den här modellen till en 4x4-atomig planar kristall:

Om vi antar alla utriktningar utav den röda (som har 8 grannar) är frusna, så gäller för energier av de två utriktningar vid den :

Ened = (5-3)2 och Eupp = -2

Generellt gäller för energin för en dipol:

med n = antal av granndipoler och s som deras genomsnittlig utriktning.

Eupp = -snEupp = sn

Ei ns ns ns

i

ensens(s )i

i i

i

i

Z e e e e 2cosh ns

2sinh ns1 1 e ( 1)es s e

Z 2cosh ns 2cosh ns

s tanh ns

Graf av s och tanh(s)

Vid n < 1 Vid n > 1

s

tanh(s)

sstabil

Enda stabila tillstånd med s = 0 ingen spontan utriktning

stabil

stabilostabil

tanh(s)

s

Stabila tillstånd med s = 0 spontan utriktning

Stabilitetsgränsen ligger alltså vid n = 1:

c

n n1 T T

kT kT

Tc kallas Curie-Temperatur

Ferromagneter visar ferromagnetismen vid T< Tc ,vid T>Tc bara vanligaparamagnetismen.

Curietemperaturer

Järn 1024 KNickel 627 K

Kobalt 1122 KGadolinium 280 K

Varför är magnetisera järnet sig inte spontantvis rumstemperatur ?

Bara några i sma områden (Weiss-områden) utriktar sig dipoler spontant parallelt:

Utan externt magnetfält

Weissområde

Vid starkt externt magnetfält

Vid ett starkt externt magnetfält kan man utrikta Weiss-områdenparallelt och tillverka en permanentmagnet.

B