Universita degli Studi di Padova

Facolta di Scienze MM.FF.NNDipartimento di Fisica G. Galilei

Corso di Laurea Triennale in Fisica

FENOMENI DI SUPERDEFORMAZIONE

NEI NUCLEI ATOMICI

Relatore: Prof. Andrea Vitturi

Laureando: Matteo BiagettiMatricola: 561085-SF

Anno accademico 2008/2009

Indice

1 Introduzione: il modello a goccia liquida 21.1 Perche costruire un modello collettivo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Modi vibrazionali del nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Modi rotazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 L’Hamiltoniano di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Modello a shell e modello collettivo: situazioni realistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Fondamenti microscopici del modello collettivo 62.1 Il modello di Nilsson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Hamiltoniano di Nilsson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Moti rotazionali: Cranking model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Superdeformazione 103.1 Forme nucleari ad elevati momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Minimi di energia ad elevate deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Transizioni e decadimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Regioni di superdeformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Conclusioni 18

1

1 Introduzione: il modello a goccia liquida

1.1 Perche costruire un modello collettivo?

Il piu semplice approccio atto a spiegare gran parte delle proprieta riguardanti nuclei atomici particolar-mente stabili (o prossimi alla stabilita) e quello basato sull’assunzione che i nucleoni, protoni e neutroni,siano immersi in un unico campo medio a simmetria sferica, in analogia con quanto fatto per l’atomo egli elettroni, che permetta di descrivere ciascuna particella in maniera indipendente dalle altre.

Questo modello, detto modello a shell, prevede la formazione, come per gli elettroni, di livelli dienergia quantizzati che vengono riempiti dai nucleoni (in maniera separata da protoni e neutroni) secondole regole di composizione dei momenti angolari orbitali e il principio di Pauli. In questo modo si riesconoa spiegare i valori di energia dello stato fondamentale e dei primi stati eccitati dei nuclei maggiormentestabili, cioe i nuclei caratterizzati da shell chiuse o quelli prossimi ad essi.

Attraverso specifiche reazioni nucleari, si sono potuti popolare stati eccitati in cui sia protoni cheneutroni si trovano lontani dalle configurazioni di shell chiuse; in questo ambito, ad esempio, si sonochiaramente evidenziate alcune proprieta collettive legate al primo stato di eccitazione con momentoangolare e partita 2+ la cui energia risulta molto al di sotto di quella richiesta dal modello a shellper eccitare le coppie di nucleoni. Per contro le transizioni elettromagnetiche osservate hanno valori diprobabilita molto maggiori delle stime di particella singola fatte tramite questo modello. Fenomeni diquesto tipo si verificano con maggiore evidenza nelle regioni di massa A w 160− 180 e A & 230.

Risulta quindi necessario costruire un modello che tenga conto del comportamento collettivo, cioedegli stati di energia che sono originati da un movimento coerente dei nucleoni. Questo modello vienedefinito a goccia liquida: il nucleo viene descritto come una goccia liquida sferica carica con una certaenergia di legame che risultera dal contributo di un termine di volume (proporzionale al numero dimassa), uno di superficie (in analogia con gli effetti di tensione superficiale), uno Coulombiano, unodovuto a effetti di simmetria e infine un termine relativo all’interazione di appaiamento (pairing), nellaformula di Weizsacher:

B(A,Z) = bvA− bsA23 − 3

5Z2

Re2 − 1

2bsym

(N − Z)2

A+ δ (1)

dove A e il numero di massa, Z il numero atomico e R il raggio del nucleo.

Nel modello la goccia liquida in generale puo vibrare e ruotare in seguito a sollecitazioni esterne: peri nuclei si suppone quindi l’esistenza di stati di energia vibrazionali e rotazionali che potranno esserespiegati, almeno in prima approssimazione, sulla base del comportamento macroscopico del sistema.

1.2 Modi vibrazionali del nucleo

Un metodo per descrivere stati di eccitazione causati da moti coerenti dei nucleoni nel nucleo partequindi dallo studio delle fluttuazioni della distribuzione di densita nucleare attorno a una forma sferica(o anche deformata) di equilibrio.

La descrizione della dinamica di una goccia liquida fu sviluppata da Bohr, Mottelson e altri dellascuola di Copenhagen: il primo passo e la parametrizzazzione della superficie in coordinate sferiche,scrivendo il raggio R della goccia liquida in funzione degli angoli polari θ e φ:

R(θ, φ) = R0(1 +∑λ,µ

αλµY∗λµ(θ, φ)) (2)

dove R0 e il raggio nella configurazione d’equilibrio sferica della goccia, αλ,µ i coefficienti dello svilupponella base delle armoniche sferiche e Y ∗λ,µ(θ, φ) le armoniche sferiche; il parametro λ rappresenta lamultipolarita della forma:

2

La dinamica di questo oggetto, nel limite delle piccole oscillazioni attorno a una forma d’equilibriosferica, si puo descrivere con l’Hamiltoniano in (2λ+ 1)-dimensioni

H = T + U(αλµ) =∑λ,µ

Bλ2|αλµ|2 +

∑λ,µ

Cλ2|αλµ|2 (3)

ove Bλ e il parametro di massa e Cλ i parametro relativo alla forza di richiamo. Si puo definire ilmomento πλµ = Bλα

∗λµ e gli operatori di creazione e distruzione b+λµ e bλµ per il quanto d’oscillazione di

una data multipolarita e quantizzare quindi l’Hamiltoniano scrivendolo come

Hvibr =∑λ

~ωλ∑µ

(b+λµbλµ +12

) (4)

dove ωλ rappresenta la frequenza d’oscillazione ωλ =√

CλBλ

Lo stato fondamentale non ha alcun fonone di oscillazione in quanto bλµ|0〉 = 0 e i fononi di oscillazionesuccessivi sono ottenuti mediante successive applicazioni dell’operatore di creazione. Si ottiene in questomodo uno spettro di multifonone, ove ogni fonone trasporta momento angolare λ.

Per esempio, nel caso di oscillazioni quadrupolari (λ = 2), i livelli sono equispaziati con spaziaturadi energia ~ω2 e il primo stato d’eccitazione con momento angolare totale 2+ puo descrivere alcuni deglistati d’eccitazione osservati sperimentalmente. Si sono prese le oscillazioni di quadrupolo come esempiopoiche sono quelle che si verificano piu facilmente, dato che vibrazioni monopolari, dipolari, ottupolarie di ordine piu alto avvengono ad elevate energie: per esempio nel 40Ca sono necessari 20-30 Mev pergenerare vibrazioni monopolari. In questo caso entra in gioco il coefficiente di compressibilita del nucleo,in genere molto alto nella maggior parte dei nuclei.

1.3 Modi rotazionali

Vi sono alcune oscillazioni armoniche che si possono verificare attorno a una forma di equilibrio non-sferica: il potenziale U(α2µ) nell’Hamiltoniano collettivo puo cioe presentare un minimo per valori nonnulli (α2µ)0. In questo caso si ottiene un nucleo deformato stabile che rende possibile l’osservazione dirotazioni collettive descritte dalle variabili collettive α2µ: per oggetti con simmetria assiale il sistematende a ruotare attorno a un asse perpendicolare all’asse di simmetria.

Per studiare il moto rotazionale del nucleo a partire dalle variabili collettive αλµ del nucleo rigidodeformato si opera una trasformazione di coordinate: nel caso quadrupolare la parametrizzazione dellasuperficie porta a 5 variabili (vedi equazione(2)); si fa in modo, ruotando il sistema, di separare lecoordinate intrinseche da quelle del sistema degli assi principali d’inerzia.

α2µ −→ θ1, θ2, θ3 + α′

2µ

ove gli angoli θ1, θ2, θ3 sono gli angoli di Eulero che determinano l’orientamento del sistema degli assiprincipali d’inerzia della goccia liquida rispetto al sistema del laboratorio. Usando la trasformazione sipassa quindi dalle 5 variabili αλµ a 2 variabili indipendenti α′20 e α′22 = α′2−2 (con α′21 = α′2−1 = 0)che descrivono la dinamica intrinseca piu i tre angoli di Eulero. I due parametri α′20 e α′22 vengono poiespressi nella forma

α′20 = β cos γ α′22 =1√2β sin γ (5)

dove il parametro β e detto parametro di deformazione e γ parametro di simmetria assiale. Casiparticolari si ottengono per:

(a) γ = 0o, 120o, 240o forma prolata con assi di simmetria rispettivamente 3,1 e 2;

(b) γ = 180o, 300o, 60o danno forma oblata;

(c) γ diverso da un multiplo di 60o, che da’ origine ad una forma triassiale ( non c’e piu simmetriarispetto a un solo asse)

3

Come si puo notare, l’intervallo 0o ≤ γ ≤ 60o e sufficiente per descrivere tutte le possibili deformazioniquadrupolari.

1.3.1 L’Hamiltoniano di Bohr

Per tener conto dunque delle rotazioni e deformazioni del nucleo e necessario quindi riscrivere il terminecinetico dell’equazione (3) nelle nuove variabili:

T (β, γ) =12B2(β2 + β2γ2) + Trot (6)

dove

Trot =12

3∑k=1

Ikω2k (7)

In questo caso, ωk descrive la velocita angolare attorno all’asse k e le Ik sono funzioni dei parametri β eγ date da

Ik = 4B2β2 sin2(γ − 2π

3k) k = 1, 2, 3 (8)

Per fissati valori dei parametri β e γ, Trot rappresenta l’energia cinetica rotazionale collettiva con momentidi inerzia Ik. Con β e γ variabili, le energie collettive rotazionali e vibrazionali diventano accoppiate inmodo complicato: gli stati rotazionali dipendono (tramite Ik che dipende esplicitamente da β e γ )daglistati di deformazione intrinseca.

Il passo successivo e quello di quantizzare l’Hamiltoniano classico composto dai termini cinetici T (β, γ)e potenziali U(β, γ) definiti in precedenza. Si riscrive dunque l’Hamiltoniano di Bohr:

H = − ~2

2B2

[1β4

∂

∂β

(β4 ∂

∂β

)+

1β2 sin 3γ

∂

∂γ

(sin 3γ

∂

∂γ

)]+

3∑k=1

I2k

2Ik+ U(β, γ) (9)

Gli operatori Ik descrivono le proiezioni del momento angolare totale lungo assi del corpo.

Come gia anticipato, questo Hamiltoniano e molto complicato da studiare poiche il termine cineticorotazionale e quello intrinseco vibrazionale sono accoppiati tramite i parametri β e γ. Si puo tuttaviatrattare in modo semplice il sistema nel caso di un minimo pronunciato in U(β, γ) corrispondente auna deformazione β = β0 e γ = 0o, per il quale il sistema si puo descrivere come un sistema rigido (entro buona approssimazione) rotante considerando trascurabili le vibrazioni e trattando quindi sepa-ratamente il comportamento rotazionale da quello intrinseco di deformazione. In questo caso, e possibiledunque osservare delle bande rotazionali distinte la cui energia varia a seconda dei valori dei minimi dideformazione e dei corrispondenti valori del momento di inerzia.

Il potenziale U(β, γ) riscritto nelle nuove variabili intrinseche α20 e α22 in funzione dei parametri β, γrisulta:

U(β, γ) =12C20(α20(β, γ)− ◦

α20)2 + C22(α22(β, γ)− ◦α22)2 (10)

corrispondente all’oscillazione quadratica di piccola ampiezza attorno al punto di equilibrio (◦α20,

◦α22

,◦

α2−2). Oscillazioni attorno a questi minimi daranno origine a bande rotazionali basate su eccitazioniintrinseche.

In figura sono riportati alcuni possibili andamenti del potenziale in funzione dei parametri di defor-mazione connessi a diverse situazioni.

4

1.4 Modello a shell e modello collettivo: situazioni realistiche

Il sistema descritto dall’Hamiltoniano di Bohr, in cui convivono allo stesso tempo le bande rotazionali cheseguono la regola dello spin J(J + 1) e le bande vibrazionali dipendenti dai parametri di deformazione, eun sistema idealizzato. In molti nuclei sono presenti spettri che hanno un comportamento intermedio traquello di sistemi puramente armonici con vibrazioni quadrupolari e quello associato a sistemi rotazionalipuramente rigidi.

Un buon indicatore della natura dello spettro collettivo e il rapporto E4+

E2+tra le energie di eccitazione

dei livelli 2+ e 4+ che risulta essere pari a 2 per sistemi puramente vibrazionali e 3.33 per gli spettri dirotore rigido. E inoltre possibile eseguire un confronto tra gli spettri collettivi e gli spettri previsti dalmodello a shell: configurazioni di shell chiuse e quindi di sistemi estremamente rigidi presentano rapportivicini a 1.

Figura 1: Rapporto delle energie E4+

E2+al crescere del numero di massa A

5

2 Fondamenti microscopici del modello collettivo

Nella sezione precedente si e illustrato come possano essere descritti stati eccitati in cui i nucleoni simuovono con moti coerenti che deformano il nucleo o che generano rotazioni dello stesso attorno ad unoo piu assi. A questi moti coerenti sono connessi diversi fenomeni che incidono sul comportamento dellesingole particelle. Risulta necessario quindi cercare di studiare il modello collettivo anche dal punto divista microscopico per cercare di svilupparlo insieme al modello a shell. I modelli che vengono esposti orarappresentarono alcuni anni fa una importante conquista nello sviluppo teorico in campo nucleare percheintrodussero un approccio semplice per spiegare fenomeni fisici estremamente complessi. Oggi si e dotatidello strumento offerto da sofisticati calcoli numerici per effettuare stime di potenziali approssimati.

2.1 Il modello di Nilsson

Partiamo con l’introdurre l’Hamiltoniano di un singolo nucleone soggetto a un potenziale armonico condistribuzione sferica o deformata caratterizzata da frequenze ωx, ωy, ωz:

Hdef = − ~2

2m∆ +

12m(ω2

xx2 + ω2

yy2 + ω2

zz2) (11)

ove si prendono le frequenze inversamente proporzionali al semiasse dello sferoide deformato dalle oscil-lazioni:

ωx,y,z =◦ω

R0

ax,y,z(12)

imponendo chiaramente la conservazione del volume ωxωyωz =oω0

3.

Questo Hamiltoniano e separabile nelle tre direzioni e gli autovalori dell’energia sono facilmentericavabili dai risultati noti per l’oscillatore armonico unidimensionale. Per i sistemi a simmetria assiale,come quelli considerati in precedenza, si puo introdurre una variabile di deformazione δ definendo (z el’asse di simmetria):

ω⊥(= ωx = ωy) = ω0(δ)(1 +23δ)

12 (13)

ωz = ω0(δ)(1− 43δ)

12 (14)

dove ω0(δ) si ricava imponendo la conservazione del volume al secondo ordine in δ:

ω0(δ) =oω0 (1 +

23δ2) (15)

A questo punto si puo introdurre una lunghezza d’oscillatore dipendente dalla deformazione (Nilsson1950) b(δ) = ( ~

mω0(δ))

12 facendo una trasformazione in coordinate adimensionali:

x′ = xb(δ)

y′ = yb(δ)

z′ = zb(δ)

Si riscrive quindi Hdef , ponendo le frequenze come in (13) e (14), ottenendo

H ′def =~ω0(δ)

2

[−∆′ + (1 +

23δ)(x′2 + y′2) + (1− 4

3δ)z′2

](16)

Passando poi a coordinate sferiche r′, θ′, φ′ si giunge alla

H = ~ω0(δ)

(−1

2∆′ +

r′2

2− 1

3

√16π5δr′2Y20(r′)

)(17)

Questo Hamiltoniano rappresenta un sistema soggetto a un potenziale di un oscillatore isotropico sfericoa cui e stato aggiunto un termine di deformazione (o perturbazione) quadrupolare. Questo termine di

6

perturbazione rompe la simmetria sferica e quindi la degenerazione in m delle soluzioni sferiche (j,m);l’entita dello splitting dipende dalla variabile di deformazione δ.

Poiche viene rotta la simmetria sferica, ma rimane quella assiale, le soluzioni possono essere ottenutepassando a coordinate cilindriche con i numeri quantici nz, nρ,ml (dove ml e la proiezione del momentoangolare orbitale sull’asse di rotazione). Si trovano dunque tramite le relazioni N = nx + ny + nz =nz + 2nρ +ml gli autovalori

εδ(N,nz) ∼= ~ oω0

[(N +

32

)+ δ

(N

3− nz

)](18)

Si ha quindi uno splitting nel numero del quanto d’oscillazione lungo z come funzione della variabile dideformazione δ.

A questo punto e necessario includere innanzitutto lo spin intrinseco di ciascun nucleone, con proiezionems = ± 1

2 lungo z, scrivendo dunque il momento angolare totale lungo l’asse di simmetria come J =ml+ms che rimane un buon numero quantico per il sistema e caratterizza gli autovalori di un potenzialedeformato con simmetria assiale.

Quando le frequenze w⊥ e wz sono in rapporti interi vi sono delle forti degenerazioni che creano deigap di energia a particolari numeri di massa, come illustrato in figura:

Si noti che se w⊥ : wz = 1 : 1 si ottiene l’oscillatore sferico, mentre per w⊥ : wz = 1 : 2 si trova unadeformazione prolata o se 2 : 1 oblata. Il corrispondente valore del parametro di deformazione e β ≈ 0.6(molto maggiore degli usuali valori β ≈ 0.2 − 0.3 degli stati fondamentali) e questo grafico rappresentapercio una prima evidenza dell’esistenza di possibili stati superdeformati dotati di una certa stabilita.

2.1.1 Hamiltoniano di Nilsson

Nonostante questa schematizzazione contenga la maggior parte degli effetti relativi alle deformazioninucleari, devono essere aggiunti altri due termini per descrivere uno spettro realistico deformato diparticella singola: il termine di spin-orbita l · s e un termine l2 che renda il potenziale maggiormentepiatto nella regione nucleare piu interna rispetto a quello di oscillatore armonico. L’Hamiltoniano diNilsson completo risulta pertanto:

HNilsson = ~ oω0 (δ)

(−1

2∆′ +

r′2

2− βr′2Y20(r′)

)− k~ o

ω0 (2l · s+ µ(l2 − 〈l2〉N ) (19)

7

dove k regola l’intensita del termine di spin-orbita e µ lo shift d’energia causato dal termine l2. I nuovitermini, pur correggendo e rendendo piu precisa la forma del potenziale, non sono piu diagonali nellabase ricavata precedentemente e inoltre l’Hamiltoniano non commuta con l2 e i numeri quantici cherimangono validi sono solo quelli del momento angolare totale J .

Nel lavoro di Nilsson furono calcolate le matrici di energia per nuclei leggeri diagonalizzando l’Hamil-toniano nella base |NnzmlJ〉. Per piccole deformazioni e invece possibile considerare il termine quadrupo-lare come termine perturbativo e calcolare cosi la matrice dell’energia nella base sferica. Per deformazionimolto ampie i termini da considerare perturbativi sono quello di spin-orbita e quello che corregge ilpotenziale armonico.

Il modello di Nilsson fornisce dunque un buon punto di partenza per ricavare le energie degli statideformati, stati quindi generati da movimenti coerenti dei nucleoni, a partire dal comportamento dellesingole particelle. Rimane in ogni caso molto difficile riuscire a prevedere in maniera corretta le energiedello stato fondamentale poiche le proprieta che descrivono il modello sono collettive e piccoli shift dienergia di singola particella possono portare a grossi errori nel calcolo dell’energia di legame.

Per ottenere una corretta stima sia delle variazioni globali (goccia liquida) sia di quelle locali (modelloa shell) come funzioni della deformazione nucleare, Strutinsky ha sviluppato un metodo che combina lemigliori proprieta di entrambi i modelli nucleari. Il suo lavoro non viene qui analizzato nel dettaglio; essoconsiste nel correggere l’energia del modello a goccia liquida aggiungendo un termine d’energia ricavatodal modello a shell.

2.2 Moti rotazionali: Cranking model

Risulta a questo punto chiaro che, come la deformazione, anche il moto rotazionale collettivo di un nucleo,considerato finora un fenomeno puramente macroscopico, e di natura microscopica. E da una descrizionemicroscopica che e necessario partire per determinare le variabili e i parametri collettivi: il Crankingmodel, di cui fu data una prima definizione da Inglis(1954-1956) utilizza un approccio semi-classico perricavare tali parametri.

Si parte da un sistema di particelle indipendenti che si muovono soggette a un potenziale medio cheruota, con le coordinate del sistema di riferimento fisse rispetto al potenziale. A tale scopo consideriamodunque un potenziale U di particella singola con forma fissata rotante attorno a un asse ~ω e scriviamola dipendenza dal tempo del potenziale come

U(~r; t) = U(r, θ, φ− ωt; 0) (20)

Il problema ora e scrivere l’hamiltoniana con una forma indipendente dal tempo: questo e possibileportando la dipendenza dal tempo nella funzione d’onda.

Sia la trasformazione unitaria U = ei~ ~ω· ~Jt con ~ω · ~J = −i~ω

(∂∂φ

). Allora si puo indurre una

trasformazione di un angolo φ = ωt attorno all’asse di rotazione e definire la funzione d’onda trasformatacome

ψr = Uψ (21)

e dunque ricavare

i~∂ψr∂t

= (H(t = 0)− ~ω · ~J)ψr. (22)

Con l’Hamiltoniano indipendente dal tempo Hω = H(t = 0)− ~ω · ~J si possono trovare gli autovalori

Hωψr = (H(t = 0)− ~ω · ~J) = ε′ωψr (23)

Possiamo ottenere ora gli autovalori dell’Hamiltoniano originale scrivendo

εω = 〈ψ|H(t)|ψ〉 = 〈ψr|H(t = 0)|ψr〉 = ε′ω + ω〈ψr| ~J |ψr〉 (24)

dove quindi ~ω · ~J e l’interazione di Coriolis. Per particelle con spin ( come il nostro caso ) il momentoangolare ~J si scrive come somma del momento angolare orbitale e di spin ~J = ~L+ ~S: per convenzione siprende l’asse di rotazione parallelo all’asse x e perpedicolare all’asse di simmetria.

8

Possiamo ora scrivere l’Hamiltoniano totale per il sistema a molti corpi

Hω = H − ωJx =A∑i=1

Hω(i) (25)

dove H e somma di singoli potenziali deformati e Jx =∑Ai=1 Jx(i) e il momento angolare totale del

sistema.L’energia sara dunque

E(ω) = 〈ψω|H|ψω〉+ ω〈ψω|Jx|ψω〉 = E(ω = 0) +12I(1)ω2 + ... (26)

con

J(ω) = 〈ψω|Jx|ψω〉 = I(2)ω + ... (27)

Poiche al primo ordine I(1) = I(2) otteniamo dunque

ω =dE

dJ(28)

La frequenza angolare ω non e pero un osservabile, bisogna quindi trovare dei mezzi per determinarla apartire dalle energie e dai momenti angolari. Come suggerito da Inglis, se poniamo

J = ~√J(J + 1) (29)

otteniamo al primo ordine

ω =~√J(J + 1)I(1)

(30)

e cosı finalmente l’espressione dell’energia per un sistema di A particelle rotanti attorno a un asse

E(J) = E(0) +~2

2I(1)J(J + 1) (31)

che evidenzia dei livelli di energia con spaziatura proporzionale a J(J + 1) che si infittiscono al cresceredell’inerzia rispetto all’asse I(1).

2.2.1 Osservazioni

(1) La forza di Coriolis e le forze centrifughe influenzano e modificano la struttura intrinseca del nucleorotante: a seconda se la rotazione avvenga in senso orario o antiorario, l’interazione di Coriolisda’ origine a forze che hanno segni opposti rompendo cosı l’invarianza per inversioni temporali edunque inserendo una direzione privilegiata di rotazione.

(2) Per i nuclei pari-pari con velocita angolari non troppo elevate bisogna tener conto delle correlazionid’accoppiamento: queste contrastano l’allineamento degli spin e tendono a mantenere i nucleoniaccoppiati per formare coppie di momento angolare totale 0+.

(3) La dipendenza dello spettro di eccitazione dalla forma del nucleo e contenuta nel momento d’inerzia:come visto in (8) esso dipende, in un modello macroscopico, dai parametri di deformazione β e γ.

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3 Superdeformazione

Uno tra i fenomeni piu spettacolari che siano stati scoperti nel campo della struttura nucleare e l’esistenzadi bande rotazionali superdeformate, di bande cioe caratterizzate da deformazione (prolata e oblata)dell’ordine di β ∼ 0.6− 0.7 ed energie di legame relativamente basse, tali percio da essere osservate. Nel1985, Twin et al al Daresbury Laboratory trovarono effettivamente un pattern regolare di transizioni γmolto vicine tra loro nello spettro del 152Dy che interpretarono come una banda rotazionale con valoridi spin tra i 60~ e i 24~ ed energie di eccitazione tra i 30 e i 12 MeV. Il momento d’inerzia associato allabanda corrispondeva a quello di un rotore rigido con gli assi in rapporto 2:1.

La scoperta di queste bande superdeformate era stata predetta da alcuni calcoli teorici che indicavanola regione del 152Dy come favorevole alla formazione di bande supedeformate; inoltre l’esistenza dellaforma prolata con assi in rapporto 2:1 era stata evidenziata negli isomeri di fissione nella regione deinuclei attinidi.

L’idea importante che e emersa dalle osservazioni del 1985, enfatizzata dai calcoli successivi fattitramite il modello Cranking e le tecniche suggerite da Strutinsky, e che le rotazioni siano lo strumentopratico ed essenziale per la stabilizzazione di configurazioni con accentuata deformazione; allo stessotempo, gli effetti quantistici della struttura a shell non svaniscono col crescere della deformazione e dellarotazione, ma anzi influenzano la struttura nucleare anche alle piu rapide rotazioni sostenibili da unsistema stabile. Sara dunque necessario partire da questi due aspetti per cercare di spiegare la complessastruttura e la fenomenologia di un nucleo superdeformato.

3.1 Forme nucleari ad elevati momenti angolari

Il primo approccio per studiare il comportamento di un nucleo che ruota rapidamente attorno a un assee quello macroscopico: si riprendono i calcoli fatti per la goccia liquida e si vede che, all’aumentare dellarotazione, la forma sferica viene schiacciata ai poli. La deformazione cresce col crescere del momentoangolare e raggiunge un massimo detto di instabilita di Jacobi dove la forma perde la simmetria assialee diventa triassiale.

Stretching centrifugo e forza di Coriolis Analizziamo ora piu nel dettaglio il comportamento deinuclei deformati rotanti: poiche il nucleo non e un rotore rigido, ma una struttura composta di diverseparticelle, non basta una semplice analisi macroscopica; infatti, al crescere della velocita di rotazione,entrano in gioco alcuni fattori che deviano dal comportamento puramente collettivo, per esempio, previstodal modello Cranking e da quello di Nilsson.

Le deviazioni osservate dello spettro rotazionale rispetto a quanto previsto dalla (31) con andamentoJ(J + 1) sono un’evidenza sperimentale di queste alterazioni di campo medio al crescere del momentoangolare. Le alterazioni possono influenzare sia la deformazione quadrupolare stessa che lo spin deinucleoni. I principali responsabili di questa variazione di campo medio sono la forza centrifuga e quelladi Coriolis, entrambe dipendenti dal momento angolare: all’aumentare della velocita di rotazione pereffetto della forza centrifuga le particelle tendono ad allontanarsi dall’asse di rotazione causando inquesto modo il crescere della deformazione; la forza di Coriolis invece rompe la simmetria per rotazioniin senso orario e antiorario. Questa rottura di simmetria e la principale causa della diminuzione del gap diaccoppiamento di due nucleoni (di cui si e accennato in precedenza per i nuclei pari-pari), vale a dire chela forza di Coriolis tende a modificare la direzione dello spin intrinseco dei nucleoni. Presi due nucleoniall’interno di una shell inizialmente accoppiati in modo da avere spin totale pari a 0+ (e percio con spintra loro antiparalleli), all’aumentare della velocita di rotazione essi tendono ad allinearsi con l’asse dirotazione: in questi casi altre bande rispetto a quella originale intrinseca di stato fondamentale possonodiventare energicamente favorite. Questo fenomeno di passaggio da uno schema di accoppiamento ad unaltro e chiamato backbending.

Fenomeno del backbending Per cercare di correggere l’equazione (31) trovata con il modello Crank-ing sono state proposte diverse formule. Spesso per esempio viene utilizzata un’espansione del tipo:

E(J) = E0 +AJ(J + 1) +B[J(J + 1)]2 + C[J(J + 1)]4 + ... (32)

10

che ha pero lo svantaggio di avere una convergenza molto lenta. Un altra forma e quella proposta daHarris (1965):

E(J) = αω2 + βω4 + γω6 + ... (33)

da cui si puo ricavare il momento angolare J in funzione di ω sfruttando le relazioni trovate col modelloCranking ( 28 ) e dunque scrivendo

dE

dω=dE

dJ

dJ

dω= ω

dJ

dω(34)

trovando

J(ω) = 2αω +43βω3 +

65γω5 + ... (35)

da cui applicando la (29) e la (30) otteniamo un’espansione del momento d’inerzia in potenze dellavelocita angolare ω

I(ω) = 2α+43βω2 +

65γω4 + ... (36)

Da queste relazioni risulta che un plot del momento d’inerzia I come funzione di ω2 dovrebbe dare unadipendenza principalmente lineare, utilizzando solo i primi due termini della formula di Harris. In figuraalcuni esempi di applicazione della formula per 2, 3 e 4 parametri. In ascissa e riportato il valore di(~ω)2 e in ordinata quello di 2I

~2 . La figura a destra si riferisce al 165Y b, quella a sinistra al 172Hf .

Per altri nuclei pero, il comportamento al crescere dello spin risulta completamente diverso da quantoci si aspetta e si ha una prima evidenza del fenomeno del backbending :

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come si puo vedere in figura per i valori di spin piu bassi l’andamento e effettivamente lineare come cisi aspetterebbe, mentre al crescere della velocita angolare si ha una crescita quasi verticale del momentod’inerzia, a velocita angolare pressoche costante. Il backbending (letteralmente significa piegamentoall’indietro) consiste in questo drastico cambiamento del momento d’inerzia che puo essere interpretatocome dovuto a una transizione di fase da uno stato superfluido a uno stato normale: quando infattiscompare la correlazione d’accoppiamento, il momento d’inerzia deve raggiungere rapidamente il valoredi rotore rigido e questo avviene a velocita angolare costante.

Terminazione di bande Quando tutti i nucleoni di valenza (cioe non appartenenti a shell chiuse)di una data configurazione sono allineati al massimo valore consenito del momento angolare totale, labanda rotazionale associata termina, ovverossia non esistono stati eccitati possibili con maggiore energia.Ottenere stati con momenti angolari maggiori richiede un drastico cambiamento nella struttura dellabanda.

L’esempio piu semplice di terminazione di banda e dato dalla banda fondamentale del 20Ne, in cui idue protoni e due neutroni al di fuori del core 16O si accoppiano ognuno nella shell d5/2. Nell’approssi-mazione di campo medio, lo spin piu alto possibile [8~ = 2 × (5/2 + 3/2)~] corrisponde a una formaoblata con β = 0.1, γ = 60o e il vettore momento angolare coincidente con l’asse di simmetria. Questaconfigurazione e molto diversa da quella dello stato fondamentale che ha una deformazione prolata diβ = 0.35 e γ = 0o. L’interruzione delle bande e dunque associata alla transizione da una forma collettivaprolata a una non-collettiva oblata. Con rotazione non-collettiva si intendono quelle configurazioni nellequali tutto il momento angolare del sistema e determinato da pochi nucleoni eccitati. Questo tipo dirotazione viene spesso citata come una rotazione attorno all’asse di simmetria.

Nei nuclei piu pesanti, la banda di stato fondamentale non termina che a spin molto elevati, quandoil sistema e molto lontano dalla stabilita. Nonostante questo alcuni allineamenti di spin lungo l’assedi rotazione tendono a creare una distribuzione di densita simmetrica attorno all’asse di rotazione:questo puo portare anche in questi casi a una forma oblata con il momento angolare che e la sommadei contributi di spin di poche particelle; questa transizione da forme prolate a forme oblate suggeriscel’esistenza di alcune bande interrotte anche nei nuclei piu pesanti. In questi nuclei gli stati non-collettivicon alti numeri di spin decadono con facilita in configurazioni interamente collettive di bande rotazionaliadiacenti ad esse. Questo in generale non accade nei nuclei leggeri ove i sistemi in rotazione collettivasono praticamente assenti.

3.2 Minimi di energia ad elevate deformazioni

Si e visto nei paragrafi precedenti come al crescere della rotazione la struttura nucleare diventi piuttostocomplessa: tra i fenomeni che si verificano in alcune regioni di massa vi e la superdeformazione. Succedecioe che per determinate velocita di rotazioni in alcuni nuclei si formino delle bande di energia in cuiil sistema ha deformazioni elevate, dell’ordine di β ≈ 0.65. L’osservazione di tali bande e resa possibiledal fatto che al crescere dello spin di rotazione il sistema preferisca, in termini di energia, assumere unaconfigurazione superdeformata, cambiando forma rispetto alla banda fondamentale che ha deformazionimolto piu basse. Questi secondi minimi di energia erano stati predetti da diversi modelli e ossevati, comegia anticipato, da Twin nel 1985.

In figura due esempi di calcolo teorico relativo a questo fenomeno: in ascissa vi e la deformazionedel nucleo e in ordinata l’energia; sono illustrate le curve per crescenti valori del momento angolare I inunita di ~.

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Come si puo vedere, ad esempio nel caso del 152Dy, vi sono due minimi per ogni curva, uno a bassadeformazione (β ≈ 0.2) e un altro a uno stato di superdeformazione (β ≈ 0.65); il minimo relativo allasuperdeformazione diventa pero energicamente favorito rispetto a quello debolmente deformato a circaI = 50~ e dunque si possono osservare delle bande superdeformate.

Nel seguente grafico invece si puo vedere lo spettro sperimentale del 152Dy:

Questo spettro mostra la coesistenza di un numero di bande abbastanza distinte: la banda deformatafondamentale (sinistra), una banda di struttura non-collettiva (al centro) e una superdeformata (destra).A parita di spin la banda superdeformata diviene la banda energeticamente favorita per spin superiori aI = 46~.

3.2.1 Transizioni e decadimenti

Le bande superdeformate quindi sono popolate in reazioni di fusione-evaporazione a spin maggiori rispettoa quelle con deformazioni minori, con intensita maggiori di quasi un ordine di grandezza rispetto a quantoci si aspetterebbe da un comportamento normale. Elementi importanti che influenzano il popolamentodelle bande sono la densita dei livelli (deformati e superdeformati), il mescolamento di queste due classidi bande a moderate energie di eccitazione e le probabilita dei decadimenti elettromagnetici nei dueminimi d’energia e nella barriera di potenziale che li separa.

La conoscenza dei meccanismi di decadimento e molto importante perche permette la selezione dellecondizioni ottimali per gli studi spettroscopici della superdeformazione: queste informazioni possonoessere ottenute studiando principalmente le intensita di popolazione come funzioni di spin ed energia del

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raggio incidente in uno o piu sistemi proiettile-bersaglio e le distribuzioni dello spin e dell’energia delnucleo prodotto della reazione.

Intensita delle bande superdeformate Mostriamo in figura le intensita relative in funzione del-la frequenza di rotazione ~ω nel 149Gd e nel 192Hg che sono rappresentativi delle regioni di massarispettivamente di A = 150 e A = 190.

Nella regione A = 150 le energie di transizione tra livelli successivi all’interno della banda sono quasiil doppio rispetto alla regione A = 190; questo e dovuto ai piu elevati spin degli stati emettitori e aiminori momenti di inerzia. L’andamento della curva e caratterizzato da una crescita dell’intensita con ildecrescere della frequenza di rotazione fino a giungere a un massimo dopo il quale scende rapidamentein corrispondenza delle transizioni agli stati fondamentali normalmente deformati.

Diseccitazione delle bande Il rapido decrescere delle intensita delle transizioni superdeformate abasse frequenze indica che, dopo una serie di transizioni intrabanda, ha luogo un decadimento versolo stato fondamentale. Nessuno di questi ultimi decadimenti e stato mai osservato finora nelle regioniA = 150 e A = 190, cio fa pensare al fatto che il decadimento sia frammentato in varie transizioni,ognuna troppo debole perche possa essere risolta dagli strumenti, e probabilmente di origine statistica.Le transizioni da bande superdeformate a stati con forma normale sono caratterizzati da un drasticoriarrangiamento del sistema. Risulta quindi comprensibile che i decadimenti siano frammentati in statiintermedi eccitati i quali determinano, in alcuni casi, un ritardo temporale nel raggiungere lo stato fonda-mentale. Proprio perche la transizione a uno stato meno deformato comporta una notevole modificazionedello stato del sistema, la probabilita che uno stato eccitato della banda superdeformata decada in unonormale prima del minimo inferiore di energia della banda stessa e molto basso; in altre parole, la proba-bilita che una transizione rimanga all’interno della stessa banda e molto piu alta rispetto a quella relativaa una transizione intrabanda.

3.3 Regioni di superdeformazione

I nuclei superdeformati che sono stati scoperti ad oggi si trovano in quattro regioni di massa distintedella tavola periodica con masse attorno ad A = 130, A = 150, A = 190, A = 240 con rapporti tra gliassi rispettivamente di 3 : 2, 1.9 : 1, 1.7 : 1, 2 : 1. Queste coincidono con le regioni dove la teoria, checome abbiamo visto incorpora termini macroscopici (modello a goccia-liquida) e microscopici (modelloa shell), predice la formazione di strutture nucleari con maggiori deformazioni. Le regioni che finorae stato possibile osservare con maggiore precisione sono quelle attorno A = 150 e A = 190: in questeregioni e stato possibile eseguire studi spettroscopici dei secondi minimi del potenziale corrispondentialla superdeformazione e sono state osservate sia le bande fondamentali che quelle eccitate.

Regione A = 150 In questa regione di massa, le prime osservazioni di bande superdeformate sono stateeffettuate sul 152Dy e confermano il carattere magico dei numeri N = 86 e Z = 66 e la deformazione2 : 1 che era stata calcolata teoricamente.

Il seguente diagramma di energia mostra la stima teorica delle superfici energia potenziale sul piano(β2, N) per diversi valori del numero di neutroni:

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Per ogni valore del parametro di deformazione quadrupolare β2 si e minimizzato rispetto ai parametridi multipolarita di ordine successivo β4 e β6. Le aree corrispondenti alle energie negative (sistemi legati)sono quelle piu scure e tra due linee di separazione adiacenti vi e 1MeV di differenza. Si possono notarei minimi in corrispondenza della deformazione β = 0.6 per N ≈ 86.

Le energie delle bande superdeformate misurate sono illustrate nella figura successiva:

Insieme con la banda superdeformata, (con spin ≈ 40~), si osservano due forme coesistenti nello stessonucleo: una oblata non-collettiva e una prolata debolmente deformata. Le tre forme possono essereassociate ai minimi presenti nella superficie energia potenziale ottenuta teoricamente e illustrata infigura, relativa allo spin I = 40~

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Regione A = 190 Bande superdeformate in questa regione sono state osservate nei nuclei 191,192,193,194Hge nel 194Pb. In questa regione di massa (N ≈ 114, Z ≈ 80) le superdeformazioni sono dell’ordine diβ2 = 0.5, minori quindi rispetto alla regione del 152Dy.

Anche in questo caso le osservazioni sperimentali sono state precedute da alcune analisi teoriche chehanno mostrato l’esistenza di un minimo superdeformato, anche per un momento angolare I = 0 cheviene stabilizzato dalla rotazione. L’energia di eccitazione a I = 0 predetta varia tra i 4 e i 7.5 MeV.Bisogna dire pero che finora tutte le bande superdeformate tendono a svanire al di sotto di valori di spindi 8 o 10~.

Il momento d’inerzia dinamico I(2) ( con I(2) = dJdω , vedi formula (27) ) misurato nella banda

superdeformata in questa regione cresce con ω, come ilustrato in figura:

Questo comportamento e sostanzialmente opposto rispetto a quello osservato nella regione del 152Dyed e spiegato dal passaggio graduale da una banda accoppiata a una in cui i nucleoni si allineano conl’asse di rotazione, cioe dalla transizione da una banda fondamentale superdeformata a una s-bandadi protone e neutrone. Ad ogni modo, a causa dell’accoppiamento ridotto dei neutroni e del grandevalore del gap per Z = 80, questi passaggi inducono una decrescita lenta del I(2) e i due allineamenti(dei protoni e dei neutroni) non possono essere distinti. Al di sopra di questa transizione il momentod’inerzia dinamico, secondo le previsioni teoriche, dovrebbe decrescere, vale a dire che I(2) dovrebberaggiungere un massimo al punto di transizione. Questo massimo viene stimato essere raggiunto attornoal ~ω = 0.4 MeV . La verifica sperimentale di questa previsione darebbe una conferma importanteall’analisi teorica del comportamento del momento d’inerzia dinamico.

Nuclei leggeri Un discorso a parte meritano i nuclei leggeri. Una proprieta particolare di questi nucleie data dal fatto che riarrangiando una o piu particelle del sistema, questo puo cambiare drasticamentela sua forma. Se un rapporto di 2 : 1 o maggiore puo essere considerato superdeformazione, allora alcuninuclei leggeri sono certamente superdeformati. Per esempio, lo stato fondamentale del 8Be puo esseredescritto in termini di una deformazione prolata 2 : 1 ( 2 particelle α) e lo stato fondamentale del 12Ccorrisponde a una oblata 1 : 2 (tre particelle α in un triangolo). Puo essere considerata una delle formepiu esotiche quella del 11Be che si calcola essere superdeformata triassiale con β = 0.65 e γ = 40o: questaforma potrebbe giustificare perche lo stato fondamentale 1/2+ ha una parita non naturale (ossia oppostaa quella prevista dal semplice modello a particelle indipendenti) e forse anche dare una spiegazione deglielevati valori del raggio medio trovati sperimentalmente.

Alcuni nuclei leggeri possono avere stati eccitati ancora piu superdeformati. Se coppie di protoni eneutroni nel 12C vengono eccitate dalla shell p alla shell sd la forma che ne risulta e quella di 3 particelleα allineate, cioe una deformazione con gli assi in rapporto 3 : 1 (β ≈ 1.0). Stati eccitati con spin 0+ e2+ con energie osservate di 10-11 MeV potrebbero essere connessi ad una simile configurazione: questastruttura prolata 3 : 1 dovrebbe transire da quella oblata fondamentale gia a uno spin pari a 4, come dagrafico in figura:

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In ascissa e riportato lo spin e in ordinata l’energia di eccitazione.

Simili fenomeni dovuti a forme deformate legate ad allineamenti di particelle α sono previsti anchein altri nuclei con A = 4n, ad elevate energie di eccitazione. In figura sono illustrati alcuni esempi diqueste possibili strutture a particelle α, tutte caratterizzate dai grandi valori della deformazione.

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4 Conclusioni

Il rapido sviluppo a partire dagli anni ’80 dei dispositivi di rivelazione γ ha permesso la messa in luce,in particolari regioni di massa, di bande eccitate con proprieta rotazionali, dotate di deformazioni moltomaggiori di quelle caratterizzanti le bande basate sullo stato fondamentale.

Modelli teorici a carattere collettivo, basati pero su una descrizione microscopica, sono stati fonda-mentali nel predire, descrivere e intepretare i vari aspetti di queste bande superdeformate. Infatti questimodelli prevedono l’esistenza, oltre al minimo d’energia corrispondente alla banda fondamentale, di unsecondo minimo che si realizza a deformazioni molto elevate e che ad alte velocita di rotazione del sistemadiventa energeticamente favorevole rispetto al primo.

Questo fenomeno, detto superdeformazione, e determinato principalmente dall’effetto delle forze cen-trifuga e di Coriolis a cui sono soggette le particelle in rotazione: e fondamentale dunque tener conto siadel comportamento collettivo che del comportamento dei singoli nucleoni. Piu nel dettaglio si e visto inquali regioni di massa siano state osservate bande superdeformate, le popolazioni di tali bande e comeavvenga la transizione alla banda fondamentale.

In questa tesina questi temi sono stati brevemente introdotti, illustrati e discussi.

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Riferimenti bibliografici

Per la trattazione degli argomenti di questa tesina ci si e basati, principalmente, sui libri e articoli diseguito elencati:

• K.Heyde, Basic ideas and concepts in nuclear physics: an introductory approach, Institute ofPhysics, London 1994.

• Sven Aberg, Hubert Flocard and Witold Nazarewicz, Nuclear shapes in mean field theory, Annu.Rev. Nucl. Part. Sci. 1990. 40: 439-527.

• P.J.Nolan and P.J.Twin, Superdeformed shapes at high angular momentum, Annu. Rev. Nucl.Part. Sci. 1988. 38: 533-562.

• Robert V.F. Janssens and Teng Lek Khoo, Superdeformed nuclei, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci.1991. 41: 321-355.

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