FEN VE MÜHENDİSLİKTE

MATEMATİK METOTLAR

10. KİTAP

DİFERANSİYEL DENKLEMLER III

DD III

83

İÇİNDEKİLER

I. SO(3) ve KÜRESEL HARMONİKLER

A) SO 3 Spektrumu

B) Diferansiyel Operatör Temsilleri

C) Uzay Tersinmesi

D) Küresel Harmonikler

II. SO(2,1) ve SPEKTRUM OLUŞTURAN CEBİRLER

A) SO 2,1 Spektrumu

B) Örnek I : Harmonik Osilatör

C) Örnek II : Hidrojen Atomu

D) KHGDD ile ilişki

EKLER VE NOTLAR

84

I. SO(3) ve KÜRESEL HARMONİKLER

A) SO(3) Spektrumu

Bu noktaya kadar DD 'ler ve çözümleri, iki ayrı yaklaşımla, reel eksen ve kompleks düzlemde

incelendi. Üçüncü ve son bir yaklaşım olarak DD 'lerin çözümleri Lie grup yapısı içinde

aranacaktır. HGDD 'in özel bir hali olan Legendre DD 'inin SO 3 grubu ile ve KHGDD 'in

SO 2,1 grubu ile ilişkileri saptanacak ve bu grupların jeneratörlerinin 'Spektrum

Oluşturan Cebir 'leri çözümlerin ana yapısını oluşturacaktır. Dönme jeneratörleri

1 2 3 2 3 1 3 1 2 , , , , , i i i L L L L L L L L L

komütasyon bağıntıları ile kapalı bir Lie cebri oluşturur. Sadece komütatörü sıfır olan

operatör çiftlerinin beraberce diyagonal biçime getirilebildikleri ve ortak özketlere sahip

oldukları görülmüştü. Buna göre L 'nin sadece bir bileşeninin spektrumu elde edilebilir.

Küresel koordinatlarda en basit biçimde ifade edilen koordinat z olduğu için bu bileşen

3L olarak seçilir. Skalar olduğu için tüm iL operatörleri ile komütatörü sıfır olan 2L

SO 3 grubunun Casimir operatörüdür.

2

3 , L L 0 olduğu için bu iki hermitsel operatörün ortak özketli özdeğer problemi

2 m m L ; 3 m m m L

biçiminde ifade edilir. 3exp 2 exp 2 i m i m m m L

şartından m özdeğerlerinin tamsayı oldukları sonucu çıkar. Şimdiye kadar kullanım dışı

kalan 1L ve 2L operatörlerinin de hermitsel olmayan ama birbirlerinin hermitsel

eşleniği olan 1 2 1 2 ; i i

L L L L L L L bileşimleri

3 3 , ; , L L L L L L denklemlerini sağlarlar.

3 , L L L denkleminin m ketine etki etmesi sonucu

85

3 3 m m L L L L L

3 1 m m m L L L ,

ve aynı yaklaşım 3 , L L L denklemi için tekrar edilince

3 1 m m m L L L dolayısıyla

1 , 1 m c m m c m L L ifadelerine ulaşılır.

Bu da L Lve operatörlerinin, 3L 'ün spektrum merdiveninde, birim yükseltme

ve alçaltma işlemleri yaptıklarını göstermektedir. c ve c katsayılarının

belirlenmesinde 2 2

3 3 2 ; 2 + L L L L L L L L L L L

özdeşliklerinden elde edilen 2 2 2 2

3 3 3 3 + ; L L L L L L L L L L

denklemlerinden yararlanılarak

2 1 1 m m m m c m m

L L L L

2 2 2 2

3 3 + m m m m m m c m m L L L

sonucuna erişilir. Benzer biçimde 2 c m m bulunur ve

2 1m m m m L ; 2 1m m m m L

ara sonuçlarına erişilir. Üç hermitsel operatörün karelerinin toplamı olan

2 2 2 2

1 2 3 + +L L L L için 2 2

3Spektrum Spektrum L L veya 2 m

olduğu açıktır. Bu da m özdeğerinin alttan ve üstten sınırlı, tek parçalı bir spektruma sahip

olduğunun kanıtıdır. : Tm Üst , : Bm Alt olmak üzere

Tm L ; Bm L sağlayan iki uç ket’inin varlığını

öngörerek 2 1 1 0 2 4T T Tm m m ve

86

2 1 1 0 2 4B B Bm m m bulunur, ancak T Bm m

olması gereğinden 1 1 2 4Tm , 1 1

2 4B Tm m

seçilir ve Tm tanımıyla da 1 elde edilir.

Elde edilen tüm sonuçlar yeni bir yazılımla :

2 1 m m L , 3

m m mL

1 1m m m m L

1 1m m m m L

3Spektrum ; 0 , . . . , 2 L

mm

L olarak ifade edilir. L ve L operatörleri

kullanılarak herhangi bir m özketinden, başka herhangi bir m özketine

geçiş mümkündür. Ancak değişik değerleri arasındaki geçişler için ileride

1 1 örneği ele alınacaktır. Genel spektrum yapısı aşağıdaki figürle

özetlenmektedir :

87

B) Diferansiyel Operatör Temsilleri

Dönme jeneratörlerinin temsillerini önce kartezyen koordinatlarda yazıp, sonra da kısmi

türev zincir kuralı uygulayarak küresel koordinat temsiline geçilebilir. Ancak aşağıda sunulan

metod daha kısa ve pratiktir. L vektörünün bileşenlerinin küresel koordinat temsillerini

, , i i iF G

L olarak yazıp, sonra mesela

1 , L x 0 , 1 , i L y z denklemlerini

1 1 , sin cos 0F G

, 1 1 , sin sin cosF G i

şeklinde ifade ederek elde edilen

1 1 cos cos sin sin 0F G , 1 1 cos sin sin cos cosF G i

denklemleri 1F ve 1G için çözülüp 1 sinF i , 1 ctn cosG i bulunur.

Benzer biçimde 2 cosF i , 2 ctn sinG i ; 3 0F , 3 G i ve

dolayısıyla

1 sin ctn cos i

L ,

2 cos ctn sin i

L , 3 i

L ,

exp ctn i i

L , exp ctn i i

L

sonuçlarına erişilir. Bu operatörler kullanılarak da

2

2

2 2

1 1 sin

sin sin

L diferansiyel operatörü bulunur.

Özdeğer denklemi 2 1 m m L ise

88

ˆ ˆ , mm r m Y r tanımları ile

2

2 2

1 1 sin 1 , 0

sin sinm

Y

haline gelir.

,m

Y fonksiyonları 'Küresel Harmonik' olarak adlandırılır ve çok geniş uygulama

alanları vardır. 0 0

L , 0 0

L , 3

0 0 L

sonuçları 00ˆ ˆ 0 0 Y r r Sabit olduğuna işaret etmektedir.(1)

C) Küresel Harmonikler

Herhangi bir V vektörü için 2 , i L V 0 olmakla beraber, çok özel durumlar

dışında 2 , i V L sıfır değildir. 1 2 i =V V V , 1 2 i =V V V

tanımları yapılarak 3 , L V V ve 2

3 3 , 2 +L V V L V L V

olduğu gösterilir. Bu komütatörlerin 2 1 L ve

3 L denklemlerine etki etmesi sonucunda ise

1 1

V 1 1 elde edilir.

Böylece 0 0

V dolayısıyla 0 0 mm

L V

olmaktadır. Küresel harmonik fonksiyonları konum uzayında belirlerken, boyut problemi

oluşturmaması açısından ˆV r seçimi uygun olacaktır. Bu seçim sonucu

sin cos sin sin

ˆ sin expr i r

r ir

olduğu için

ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 sin exp 0 0 sin exp ˆY r r r r i i

r

bulunur. Zahmetli bir normalizasyon işlemi sonucu

ˆ , cos , ,m m m m

Y r Y Y Y w küresel harmonik fonksiyonları,

0m için, = cosw ve 2 21 sinm

mw olmak üzere

89

2 2

, 1 1 exp

mm

m m m

dY w N w w im

dw

olarak tanımlanır.

Normalizasyon katsayısı ise

1 2 1 !

2 ! 4 !

m

m

mN

m

ile verilir.

0m için ise tanım *

, 1 ,

m

m mY w Y w olmaktadır.

Arfken, Jackson gibi yazarlarca kullanılan bu ifade Condon-Shortley konvansiyonu olarak

adlandırılır. Tüm bu yaklaşımı öğrenip, benimsedikten sonra bile küresel harmonik

fonksiyonları matematik tablolardan bakarak kullanmak en emniyetli ve kolay yoldur.

D) Uzay Tersinmesi

, i L L L denkleminin sol yanı iki L operatörünün çarpımını içerdiği için

tersinme dönüşümleri altında aynı kalacaktır. Sağ yanın da aynı kalma gereği L L

elde edilir. Öte yandan ˆ 0 0 r Sabit olduğu için, doğal olarak uzay tersinmesi

işleminden etkilenmez ve 0 0 0 0 olur. için ise

0 0ˆ

r denklemi 0 0ˆ

r olarak dönüştürülüp

= 1 bulunur. m özketleri mm

L ile

verildiği için m mm

L L

1 1 m m

L sağlanır.

90

PROBLEMLER

P.A.1 ) i) exp 2 2 1 ? L , ii) 2exp 2 3 1 ?L

P.A.2 ) z -ekseni etrafında açısıyla dönmeyi temsil eden cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

matrisini 3exp i L olarak ifade edip, 0

i

işlemi ile

3

0 0

0 0

0 0 0

i

i

L

temsilini elde edin. x y z x koordinat çevrim simetrisi kullanarak diğer

bileşenleri bulun ve , i L L L denklemini doğrulayın.

P.A.3) 2 3

3 1 2 3 oP w a a w a w a w gibi bir 3. derece polinom, 4-Boyutlu bir

sütun vektör olarak 1

2

3

oa

a

a

a

ile gösterildiğinde :

i) 3 3 P w P w dönüşümünden d

dw diferansiyel operatörünün 4 4 matris

temsilini oluşturun,

ii) 3 3 P w P w dönüşümünden 2

2

d

dw diferansiyel operatörünün 4 4 matris

temsilini oluşturun,

iii) (ii) sonucunun (i) sonucunun karesi olduğunu gösterin,

iv) d

wdw

diferansiyel operatörünün 4 4 matris temsilini oluşturun,

v) 2

2

2

dw

dw diferansiyel operatörünün 4 4 matris temsilini oluşturun,

91

vi) 2

2

21 2

d dw w

dw dw Legendre diferansiyel operatörünün 4 4 matris temsilini

oluşturun,

vii) Legendre diferansiyel operatörünün matris temsilinin özdeğerlerini bulun; genel boyutlu

P w için özdeğer formülünü tahmin edin,

viii) Legendre diferansiyel operatörünün matris temsilinin özvektörlerini bulun.

; 0 3P w Legendre polinomlarınıı elde etmek için 1 1P olacak

şekilde "normalize" edin.

P.B.1 ) 1 , sin cos sini L , 2 , sin cos cosi L ,

3 , sin 0 L olduğunu gösterin.

P.B.2 ) 1 , cos sin sini L , 2 , cos sin cosi L ,

3 , cos 0 L olduğunu gösterin.

P.B.3 ) 2

1 , sin ctn cosi L , 2 , sin ctn sin cosi L ,

3 , sin cosi L olduğunu gösterin.

P.B.4 ) 1 , cos ctn sin cosi L , 2

2 , cos ctn sini L ,

3 , cos sini L olduğunu gösterin.

92

P.B.5 ) Silindir koordinatlar cinsinden 1 cos , 1 cos , z z

olarak ifade edilen silindir parabolik koordinatlarda L ve 2L temsillerini oluşturun.

P.B.6 ) i) 1 i y zz y

L denkleminden yola çıkarak

2 2 22 2 2

1 2 2 2

y z yz y z

z y z y y z

L temsilini doğrulayın,

ii) x y z x koordinat çevrim simetrisi kullanarak

2

2 2 2 r r r L olduğunu gösterin.

iii) r rr

eşitliğini kullanarak

2

2

2 2

1 1 sin

sin sin

L olduğunu gösterin.

P.C.1 ) sin ? , cos ? ,

sin ? , cos ?

P.D.1 ) i) 3 L Y

i Y

oluşundan

exp Y i olduğunu,

ii) L exp ctn 0Y i i Y

oluşundan sinY olduğunu,

iii) sin exp Y N i ifadesinde normalizasyon katsayısının

1 2 1 !

2 ! 4N

olduğunu gösterin. [ 1 : konvansiyon ! ]

93

II. SO(2,1) ve SPEKTRUM OLUŞTURAN CEBİRLER

A) SO(2,1) Spektrumu

SO 2,1 cebri, SO 3 cebrine benzemekle beraber sonuç aşamasında büyük farklılıklar

gösteren bir Lie grubudur.

1 1

1 0 0

0 ch sh exp

0 sh ch

i

B ,

2 2

ch 0 sh

0 1 0 exp

sh 0 ch

i

B ,

3 3

cos sin 0

sin cos 0 exp

0 0 1

i

B

denklemlerinden elde edilen 1 2 3 , , jeneratörleri

1

0 0 0

0 0

0 0

i

i

, 2

0 0

0 0 0

0 0

i

i

, 3

0 0

0 0

0 0 0

i

i

ile verilir ve 1 2 3 , i , 2 3 1 , i , 3 1 2 , i

komütasyon bağıntılarını sağlarlar. Öte yandan bir metrik yardımı ile 'üniter' olan matrisler

için geçerli U G U G denkleminde 1 0

0 1

G alınır ve Det 1U

şartı koşulursa 11 12

21 22

u u

u u

U için * *

22 11 12 21 , u u u u olması gerektiği

görülür. 1

2

R I R I

R I R I

i i

i i

U parametrizasyonu sonucu , izi sıfır olan üç

jeneratör 1

01

02

i

i

, 2

0 11

1 02

, 3

1 01

0 12

olarak

94

bulunur ve gene aynı 1 2 3 , i , 2 3 1 , i , 3 1 2 , i

komütasyon bağıntıları elde edilir. Görülmektedir ki SO 3 ve SU 2 çiftinde olduğu

gibi SO 2,1 ve SU 1,1 de benzer cebirsel yapılara sahiptir. Öte yandan SO 3 ve

SO 2,1 arasındaki ilişki 1 1 2 2 3 3 , , i i L L L olarak

özetlenebilir; dolayısıyla Casimir operatörü de 2 2 2 2

3 1 2 olacaktır. Grup

elemanları gerçek anlamda üniter olmadıkları halde jeneratörlerin hermitsel olarak, veya en

azından bir benzerlik dönüşümü ile hermitsel olacak biçimde inşa edilmeleri mümkündür.

Komütasyon bağıntılarının ve spektrumların benzerlik dönüşümlerinden etkilenmedikleri

bilinmektedir. Buna dayanılarak ilerideki tüm çıkartım ve ispatlarda 1 2 3 , ,

operatörlerinin hermitsel olduğu varsayılacaktır. Yukarıda elde edilen formüllere alternatif

olan ve ileride hesap kolaylığı sağlayacak olan bazı formüller ise

2 3 1 3 1 , i , 2 3 1 3 1 , i

3 1 3 1 2 , 2 i

2 2 2

3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 i i

olarak verilir. 2

3 , = 0 olduğu için bu iki hermitsel operatörün ortak özketli

özdeğer problemi 2 Q Q Q ; 3 Q Q

biçiminde ifade edilir. Şimdiye kadar kullanım dışı kalan 1 ve 2 operatörlerinin de

1 2 = i ; 1 2 = i bileşimleri 3 , ;

3 , denklemlerini sağlarlar. Bu denklemlerin Q ketlerine etki

etmesi sonucu

1 Q Q

;

1 Q Q

ifadelerine ulaşılır. Bu da

ve

operatörlerinin, 3 'ün spektrum

merdiveninde birim yükseltme ve alçaltma işlemleri yaptıklarını göstermektedir. ve

katsayılarının belirlenmesinde 3+ +Λ Λ Λ Λ 2 ;

2 2

3+ +Λ Λ Λ Λ 2 özdeşliklerinden elde edilen

2 2

3 3+Λ Λ ; 2 2

3 3Λ Λ

95

denklemlerinden yararlanılarak

2 1 1 Q Q Q Q Q Q

2 2 2 2

3 3 Q Q Q Q Q Q

sonucuna erişilir. Benzer biçimde 2 Q bulunur ve

2 1Q Q Q ; 2 1Q Q Q

ara sonuçlarına erişilir. Casimir operatörü 2 2 2 2

3 1 2 için

2 2

3Spektrum Spektrum veya 2 Q olduğu açıktır. Bu da

özdeğerinin iki parçalı bir spektruma sahip olduğu ve üst parçanın alttan, alt parçanın da

üstten sınırlı olduğunun kanıtıdır. Alttan sınırlı üst parçaya odaklanıp, BQ

sağlayan bir taban ket’inin varlığını öngörerek

2 1 1 0 2 4B B BQ Q bulunur, ancak 0B olması

gereğinden 0Q için 1 1 + 2 4B Q , 1 < 0

4Q durumunda

ise 2 1 1 0 2 4B B BQ Q kullanılır.

Böylece 3

1 1 1 , 0 2 4 4

Spektrum 1 1 , 0

2 4

Q Q

Q Q

;

0 ,1 , 2 , . . . olmaktadır.(1)

96

B) Örnek I : Harmonik Osilatör

Yukarıda geliştirilen matematik yapının hayata geçirilmesi için gerekli adımlar :

i) SO(2,1) jeneratörlerinin somut bir temsilini inşa etmek,

ii) Casimir operatörünü hesaplamak,

iii) 3Spektrum 'ü bulmak,

iv) Bu spektruma uyacak fiziksel problemleri araştırmak

olarak özetlenebilir.

İlk örnek olarak 2 2

2 2

3 12 2

1 1 ,

4 4

d d

d d

temsillerinden

yola çıkıp 2

2 , , , 2

d d dF F F F F

d d d

özdeşliklerini kullanarak,

2 3 1 , i denkleminden 2

1

2 2

i d

d

elde edilir.

Bu noktada daha kullanışlı 2 2

3 1 3 1 2 2 i formülünden Casimir

operatörü 3

16

Q olarak bulunur. 1 < < 04

Q olduğu için de

3

4 341 1Spektrum

2 4 4 14

Q

veya

3

1Spektrum *

4 TekTamsayı sonucuna ulaşılır. Bu noktada 3 operatörü ile

bilinen problemler karşılaştırılınca akla 1 , 2 , 0 2 n nH n H Hermite DD’i

gelir. 2 1 , , 0oF F F y DD 'inin,

2

1 1 1 , exp 2 2 2

o

F F FI F y dx

97

kullanılıp 1 , 0 , 0I invaryant biçime getirilmesi hatırlanarak Hermite DD 'inin

invaryant hali, Sturm-Liouville formatında

2 2

2 1 , 0 , exp 2 1 exp 2 2n nH n H

olarak yazılır.

2

3 1 , 0 , 4 oluşundan

2 2

2 1 , 0 , exp 2 1 exp 2 2n nH n H

ara sonucuna ulaşılır. Bunu somut bir fizik problemine uygulamak için 1-Boyutta Harmonik

Osilatör için yazılan Schrödinger DD 'i 2 2 2

2

2

2 2n n n

d mx E

m dx

,

m

x

tanımıyla 2

2

2

2 n

n n

d E

d

biçimine getirilir ve

2 2 1nE

n

veya 1 2nE n elde edilir.

2

2 2

mU r r

potansiyel fonksiyonu ile belirlenen 3-Boyutlu harmonik osilatör

problemi için ise başlangıç noktası

2 22 2

3 12 2 2 2

1 11 1 ,

4 4

d d

d d

temsilleridir. Bunlardan 2

1

2 2

i d

d

,

1 3

4 16Q

ve

3

3Spektrum

2 4 elde edilir. 1-Boyutlu probleminkine benzer yollardan

bulunan ,3 2

2E ifadesi enerji düzeylerini ve bu düzeylerin çokkatlılık

yapısını doğru olarak vermektedir.

98

C) Örnek II : Hidrojen Atomu

Şimdiye kadar hep hermitsel temsiller kullanılmıştı; bu bölümün jeneratörleri hermitsel

olmamakla beraber bir benzerlik dönüşümü ile kolayca hermitsel yapılabilecek ifadeler

olacaktır. c

U rr

potansiyel fonksiyonu ile belirlenen hidrojen atomu problemi

için ise başlangıç noktası

2 2

3 12 2

1 11 1 ,

2 2

d d

d d

temsilleridir.

Bunlardan 2 d

id

, 1Q ve

3Spektrum 1 bulunur. Sonuçta elde edilen

22

, 2

1E mc

ifadesi enerji düzeylerini ve bu düzeylerin çokkatlılık yapısını

doğru olarak vermektedir. İncelenen 3-Boyutlu problemlerde 1 2 3 , , 'ün üç

tane skalardan oluşan bir küme olduğu ve üç skaların bir vektör etmediği unutulmamalıdır.

D) KHGDD ile ilişki

Uygulamalı matematikte karşımıza çıkan bir çok DD 'in alt yapısını oluşturan KHGDD

1 1 , , 0F denkleminin invaryant biçimi

2 2

1 12

12 2 2 1

1 , 0 , 04

e F

ile verilir. Bu DD, ile çarpılıp Sturm-Liouville formatında yazılınca da

2

2 21 12

12 2

, , 4

de F

d

2 21 1 , , 0

2e F

elde edilir.

99

2

3 2

12 2

4

d

d

2

1 2

12 2

4

d

d

seçimlerinden

2 d

id

, 12 2

Q

ve

3Spektrum 2

sonuçlarına ulaşılır.

3 Spektrum 2 2

eşitliklerinden de şartı elde

edilir ki bu da 2 21 1 , ,e F

özfonksiyonlarının 0 ,

aralığında ' karesi integre edilebilen fonksiyon ' lar olmasını sağlar.

PROBLEMLER

P.2.1 ) 1-Boyutlu harmonik osilatör çözümünde kullanılan jeneratörleri

1 1 ,

2 2

d da a

d d

operatörleri cinsinden ifade edin.

100

P.2.2 ) 2 2

3 12 2 + + , +

2 2 2 2 2 2

d d

d d

temsillerinden yola çıkarak

i) 2 temsilini bulun, ii) SO 2,1 komütasyon bağıntılarının sağlandığını gösterin,

iii) Casimir operatörü Q ’yu hesaplayın, iv) 3Spektrum 'ü belirleyin,

v) Hidrojen atomu için 2 2

2 2 2 2

2 2

1+

E dm c

c r dr r

Klein-Gordon denklemini akılcı bir biçimde boyutsuz hale getirerek SO 2,1 spektrum

oluşturan cebri kullanarak çözün.

İpucu :

1 2

22

, 22

2

1

1 1 2 2

E mc

Dirac denklemi sonucu ise

1 2

22

, 22

2

1

1 1 2 2

jE mc

j

olur ve açılımı 4 mertebesine kadar

2 42

, 2 3

1 3 1

12 2 42

jE mcn n nj

ile verilir.

101

EKLER VE NOTLAR

(1) Bu düzeyde bir kitabın okuyucusunun, toplamda etkisiz ketini etiketleyen

sembolü ile açısını karıştırmaması beklenir.

(2) İleride ele alınacak tüm örneklerde 3 pozitif bir operatör olacağı için

3Spektrum 0 veren bu yaklaşım doğaldır.