FDA 1.4 ProprietaStrutturali 2015

Fondamenti di Automatica Propriet strutturalipag. 1

Fondamenti di Automatica

Propriet strutturali dei sistemi LTI

Dott. Ing. Marcello BonfDipartimento di Ingegneria - Universit di Ferrara

Tel. +39 0532 974839E-mail: [email protected]


Propriet strutturali dei sistemi LTIRAGGIUNGIBILITA E CONTROLLABILITA


Ancora (!) definizioni importanti

STATI INDISTINGUIBILI in [t0,t1]: x1 e x2, tali che

per ogni t [t0,t1] e per ogni u(.) UfSTATI EQUIVALENTI: x1 e x2 stati indistinguibili in [t0,t1] per ogni t0,t1 T con t0 < t1SISTEMA IN FORMA MINIMA: un sistema che NON ha stati equivalenti

N.B.: un sistema non in forma minima pu essere ridotto in forma minima definendo un nuovo insieme di stati in cui ogni nuovo stato corrisponde ad una classe di vecchi stati equivalenti


Ancora (!) definizioni importanti - 1

SISTEMI EQUIVALENTI (S1 S2):sono due sistemi dinamici S1 e S2 per i quali

Gli insiemi degli ingressi coincidono U1 = U2 = U Gli insiemi delle funzioni di ingresso coincidono Uf1 = Uf2 = Uf Gli insiemi delle uscite coincidono Y1 = Y2 = Ye ad ogni stato x1 X1 delluno si pu associare uno stato x2 X2 dellaltro tale che le uscite coincidano:

per ogni t0,t T con t t0 e per ogni u(.) Uf

N.B. X1 e X2 possono non coincidere e non avere la stessa dimensione


Ancora (!) definizioni importanti - 1a

SISTEMI EQUIVALENTI (S1 S2):

uguali


Esempio: sistemi equivalenti

I due circuiti elettrici sono equivalenti:

se L / R1 = R2 CE sufficiente avere condizione iniziale tale chei0(0) R1 = vc(0) e definire lassociazione tra statinecessaria per stabilire lequivalenza, cio i0(t) R1 = vc(t)


Sistemi equivalenti: nota

Il concetto dei sistemi equivalenti molto diverso (e pi generale) da quello delle rappresentazioni equivalenti di uno stesso sistema (v. FdA-1.3-Analisi_2015, pagg. 75-78)Infatti, le rappresentazioni equivalenti sono valide per i sistemi lineari e stazionari e sono ottenute tramite un "semplice" cambio di variabili x = T zSistemi equivalenti (non necessariamente lineari) possono invece differire tra loro in modo pi significativo, pur avendo una forma minima comune


Raggiungibilit e controllabilit

Sono propriet di un sistema che descrivono la possibilit di influire sul suo moto x(.) agendo opportunamente sulla funzione di ingresso u(.)Tali propriet sono strutturali, cio NONdipendono dalla rappresentazione (scelta delle variabili di stato)Inoltre, NON sono modificabili tramite il controlloAnalisi di Raggiungibilit / controllabilit: Applicazione diretta: pianificazione dellazione

di controllo in catena aperta Conseguenze: propriet in catena chiusa


Raggiungibilit (da x(t0)=x0 a ??)

[Def.] Lo stato x1 di un sistema dinamico raggiungibile da x0 nellintervallo di tempo [t0,t1] (con t0 < t1) se esiste una funzione di ingressou(.) Uf tale che:

Linsieme degli stati raggiungibili allistante t1 a partire dallevento (t0,x0) indicato con


Controllabilit (da ?? a x(t1)=x1 )

[Def.] Lo stato x0 di un sistema dinamico controllabile a x1 nellintervallo di tempo [t0,t1] (con t0 < t1) se esiste una funzione di ingresso ammissibile u(.) Uf tale che:

Linsieme degli stati controllabili allevento (t1,x1) a partire dallistante t0 indicato con


Raggiungibilit e controllabilit

Per estensione:Linsieme degli stati raggiungibili in un istante t qualunque dellintervallo [t0,t1] a partire dallevento (t0,x0) indicato con

Linsieme degli stati controllabili allevento (t1,x1) a partire da un istante t qualunque dellintervallo [t0,t1] indicato con


Interpretazione geometrica

C(t1,x1) e C(t0,x0): insieme dei moti cui appartengono (t1,x1) e (t0,x0)


Relazioni tra gli insiemi

Per ogni x X vale:


Raggiungibilit e controllabilit completa

Un sistema si dice completamente raggiungibile dallevento (t0,x) nellintervallo di tempo [t0,t1] se

Un sistema si dice completamente controllabile allevento (t0,x) nellintervallo di tempo [t0,t1] se


Esempi: sistemi non completamente raggiungibili

1) Circuiti elettrici con rami in parallelo, per i quali sia R1*C1 = R2*C2 oppure L1/R1 = R2*C2

E impossibile portare lorigine verso qualunque condizionein cui sia x1(t) x2(t)


Esempi: sistemi non completamente raggiungibili - 1

2) Sistemi meccanici con strutture in parallelo, per i quali i parametri siano perfettamente bilanciati:

E impossibile portare lorigine verso qualunque condizionein cui le posizioni dei due blocchi siano diverse!

N.B.: si vedr nel seguito la formalizzazione di questa condizione


Raggiungibilit e controllabilit nei sistemi LTI

Tali propriet sono, come detto in precedenza, strutturali (NON dipendono dalla scelta delle variabili di stato) e NON sono modificabili tramite il controlloPer i sistemi LTI, si assume t0 = 0Per i sistemi LTI, si pu considerare x = 0 come unico punto di interesse dellanalisiSi parla quindi di raggiungibilit DALLorigine e controllabilit ALLorigine


Raggiungibilit e controllabilit complete

Il sistema MIMO LTI t.continuo [t.discreto]

completamente raggiungibile se qualunque stato pu essere raggiunto da x=0 in un tempo finito

completamente controllabile se x=0 pu essere raggiunto da qualunque stato in t finito


Raggiungibilit e movimento forzato

La possibilit di considerare x = 0 come unico punto di interesse nei sistemi LTI lega la raggiungibilit unicamente al moto forzato:

Tempo continuo

Tempo discreto


Raggiungibilit dei sistemi LTI discreti

Insieme di stati raggiungibili in k passi per:

Perci:= sottospazio stati raggiungibili in k passi


Esempi

1)

2) Idem, ma con


Raggiungibilit dei sistemi LTI discreti - 1

Linsieme (o sottospazio) degli stati raggiungibili in n passi anche linsieme degli stati raggiungibili dal sistemaInfatti, oltre gli n passi non utile proseguire per via del teorema di Cayley-Hamilton, dal quale:

Si definisce sottospazio raggiungibile


Controllabilit dei sistemi LTI t.discreti

Si consideri ancoracon lobiettivo di controllare (a 0) un certo x(0) 0,in k passi:

x(0) 0 controllabile in k passi se raggiungibile in k passi


Raggiungibilit dei sistemi LTI continui

Analogamente, per determinare gli stati raggiungibili di :

Dal teorema di Cayley-Hamilton si pu esprimere:

con opportune funzioni scalari Si ottiene quindi:


Controllabilit dei sistemi LTI continui

Per uno stato x(0) 0 controllabile (a 0) al tempo t se esiste una funzione di ingresso ammissibile u(.) tale che:

ovvero

perci si possono applicare considerazioni analoghe a quelle viste in precedenza


Matrice di raggiungibilit

[Def.] Si definisce matrice di raggiungibilit di un sistema LTI la matrice di dimensione [n x (n r)]

Teorema: Il sistema completamente raggiungibile e completamente controllabile se e solo se:


Matrice di raggiungibilit

Osservazioni: Le propriet di raggiungibilit e controllabilit, seppure

correlate, NON coincidono in generale per tutte le classi di sistemi dinamici

In alcuni testi, soprattutto in lingua inglese, per via del fatto che per sistemi LTI continui vale tale coincidenza, la matrice di raggiungibilit chiamata (impropriamente) matrice di controllabilit

Per tale motivo, in molti programmi di calcolo numerico (es. Matlab di Mathworks Inc.), che supportino il progetto di controlli automatici, la funzione per calcolare tale matrice chiamata: P=ctrb(A,B)


Esempi: sistemi non completamente raggiungibili

1) Circuiti elettrici con rami in parallelo, per i quali sia R1*C1 = R2*C2 oppure L1/R1 = R2*C2

E impossibile portare lorigine verso qualunque condizionein cui sia x1(t) x2(t)



1) PROVA: ponendo R1*C1 = R2*C2 = 1

Il rango di P 1 < 2 (la seconda colonna AB = -B, quindi lin. dipendente dalla prima colonna), pertanto il sistema NON completamente raggiungibile e controllabile



1) NOTA: scegliendo come variabili di stato (sempre con R1*C1 = R2*C2 = 1):

Le equazioni dinamiche diventano:

dalle quali si pu facilmente capire che la variabile z2dipende solo da s stessa e quindi non c alcuna possibilit di influenzarla tramite lingresso!

N.B.: si pu anche dire (in generale) che una parte dei modi del sistema non sono controllabili (in questo caso quello di z2 )



1) NOTA1: se invece fosse R1*C1 = 1 e R2*C2 = 2

La matrice di raggiungibilit diventerebbe:

che di rango = 2 ( impossibile ottenere la seconda colonna dalla prima moltiplicata per un coefficiente..)Il sistema sarebbe quindi completamente raggiungibile e controllabile!



2) Sistemi meccanici con strutture in parallelo, per i quali i parametri siano perfettamente bilanciati:

E impossibile portare lorigine verso qualunque condizionein cui le posizioni dei due blocchi siano diverse!



2) PROVA: normalizzando a 1 tutti i parametri del modello:

Si ottiene che il rango di P 2 < 4

T



2) NOTA: la matrice P ha rango 2 perch:- le prime due colonne sono indipendenti- la terza colonna corrisponde alla somma delle prime due moltiplicate entrambe per -1

- la quarta colonna uguale alla prima!!

p1 p2 -p1-p2 p4=p1



3) Esempio simile ai precedenti (con dimostrazione lasciata per esercizio): masse oscillanti azionate da getto daria



IN GENERALE, sistemi nei quali vi siano parti aventi una dinamica identica (stessi modi), in parallelo e sulle quali agisce lo stesso ingresso, risultano non completamente raggiungibili


Raggiungibilit e controllabilit: un caso pratico

ESEMPIO 1: il pendolo su carrello (cart-pole) un sistema nonlineare (e instabile se upright) completamente raggiungibile, di interesse per le analogie con molti sistemi ingegneristici (veicoli tipo Segway, missili, ecc.)


Raggiungibilit e controllabilit: un caso pratico - 1

MODELLO: linearizzando le equazioni dinamiche nonlineari (qui non considerate) nella posizione upright, si ottengono le matrici di stato e di distribuzione dellingresso (ponendo ):



Matrice di raggiungibilit: sempre a rango = 4 per ogni valore dei parametri



ESEMPIO 2: il sistema avente invece due pendoli (con identica massa e lunghezza dellasta) installati sullo stesso carrello non completamente raggiungibile ( costituito appunto da due parti con la stessa dinamica e controllate tramite lo stesso ingresso, la forza F agente sul carrello)



MODELLO: linearizzando le equazioni nonlineari nella posizione upright per entrambi i pendoli, si ottengono le matrici di stato e di distribuzione dellingresso (con

):



Matrice di raggiungibilit: a rango = 6 solo se m1m2 e l1l2


Raggiungibilit come propriet strutturale

Come detto, rappresentazioni equivalenti, per le quali cio sia :

hanno le stesse propriet di raggiungibilit:

in quanto la trasformazione non influisce sul rango della matrice di raggiungibilit


Scomposizione di sistemi non compl. raggiungibili

Dato

e sia Esprimendo con T1 la matrice costruita con le colonne linearmente indipendenti di P e con T2 una qualunque matrice [n x (nnc)], tale che T = [T1 T2] sia non singolare, risulta:

con:


Scomposizione di sistemi non compl. raggiungibili-1

Il sottosistema la parte completamente raggiungibile e controllabile del sistemaLa matrice ha dimensione (nc x nc) La matrice ha dimensione (nc x r) La matrice ha dimensione (m x nc)

Parte raggiungibile

Parte nonraggiungibile

u



Pi precisamente:



Osservazioni controllistiche: Le variabili di stato z2 NON sono influenzate

dallingresso e quindi da qualunque controllore si possa progettare

Se z2(0) = 0, sar z2(t) = 0 per ogni t > 0 Se gli autovalori della matrice non sono a

parte reale negativa o nulla, il sistema risulta instabile per qualunque progetto di controllo


Propriet strutturali dei sistemi LTIOSSERVABILITA E RICOSTRUIBILITA


Osservabilit e ricostruibilit

Sono propriet di un sistema che descrivono la possibilit di determinare lo stato iniziale x(t0) o finale x(t1) di un sistema dalla conoscenza del comportamento ingresso-uscita u[t0,t1], y[t0,t1]Anche tali propriet sono strutturali, cio NONdipendono dalla rappresentazione (scelta dello stato), ma possono essere influenzate dal controlloAnalisi di osservabilit / ricostruibilit: Applicazione: progetto di algoritmi di stima e

ricostruzione dello stato


Osservabilit (x(t0)=x0 e u(.)/y(.))

[Def.] Lo stato x0 di un sistema dinamico compatibile con le funzioni di ingresso u(.) e uscita y(.) nellintervallo di tempo [t0,t1] (t0


Ricostruibilit (x(t1)=x1 e u(.)/y(.))

[Def.] Lo stato x1 di un sistema dinamico compatibile con le funzioni di ingresso u(.) e uscita y(.) nellintervallo di tempo [t0,t1] (t0


Osservabilit e ricostruibilit complete - 1

Formalmente, si possono dare le [Definizioni]:Un sistema si dice completamente osservabilein [t0,t1] se la conoscenza del comportamento ingresso-uscita u[t0,t1], y[t0,t1] consente di determinare univocamente lo stato iniziale x(t0)per ogni u[t0,t1]Un sistema si dice completamente ricostruibilein [t0,t1] se la conoscenza del comportamento ingresso-uscita u[t0,t1], y[t0,t1] consente di determinare univocamente lo stato finale x(t1) per ogni u[t0,t1]


Osservabilit e ricostruibilit nei sistemi LTI

Per i sistemi LTI, si pu considerare solo t = t1 - t0Per i sistemi LTI, si possono considerare solo le propriet della risposta libera per capire se il sistema sia osservabile ( possibile determinare lo stato iniziale) e ricostruibile ( possibile determinare lo stato finale)Poich noto lo stato iniziale possibile calcolare il corrispondente stato finale, la completa osservabilit implica la completa ricostruibilit


Osservabilit e ricostruibilit nei sistemi LTI - 1

Per risolvere il problema di osservabilit, si pu considerare il sistema libero:

Lobiettivo calcolare lo stato conoscendo luscita, operazione immediata se C invertibile:

Se C non invertibile, si pu tentare di ricavare una relazione invertibile derivando luscita:



Loperazione di derivata sulluscita si pu ripetere fino allordine n-1, sempre con lobiettivo di ricavare una relazione invertibile uscita-stato:

Ovviamente, per il teorema di Cayley-Hamilton NON utile proseguire oltre lordine n-1



In modo analogo, per sistemi discreti si pu esprimere la possibilit di osservazione dello stato iniziale analizzando le uscite dei primi n-1 passi:

Ovviamente, per il teorema di Cayley-Hamilton NON utile proseguire oltre il passo n-1


Osservabilit e ricostruibilit nei sistemi LTI - 3a

NOTA: le considerazioni precedenti giustificano le definizioni e i risultati formali presentati nel seguito, MA non descrivonoun metodo pratico per losservazione (o ricostruzione) dello stato tramite le derivate delluscita (fino allordine n-1), per sistemi continui, o una sequenza di n-1 valori delluscita, per sistemi discreti.Lesecuzione pratica di tali operazioni, infatti, potrebbe: essere computazionalmente onerosa amplificare eccessivamente il rumore del segnale ritardare eccessivamente losservazione stessaLeffettiva realizzazione di osservatori dello stato si deve basare sul modello completo ingresso/stato/uscita, secondo metodi che verranno presentati nella sezione successiva.


Matrice di osservabilit

[Def.] Si definisce matrice di osservabilit di un sistema LTI la matrice di dimensione [n x (n m)]

o equivalentemente:

Teorema: Il sistema completamente osservabile e completamente ricostruibile se e solo se:


Matrice di osservabilit

Osservazioni: Come per le propriet di raggiungibilit e controllabilit,

le propriet di osservabilit e ricostruibilit sono correlate tra loro e sono intrinsecamente legate, per i sistemi LTI, alle propriet della matrice di osservabilit (che ben pochi testi chiamano matrice di ricostruibilit)

Nella maggior parte dei programmi di calcolo numerico (es. Matlab di Mathworks Inc.), che supportino il progetto di controlli automatici, la funzione per calcolare tale matrice chiamata: Q=obsv(A,C)


Esempio: sistema non completamente osservabile

Nel circuito elettrico mostrato, dal comportamento ingresso-uscita non possibile distinguere stati per i quali valga inizialmente x1 + x2 = 0 (corrente che ricircola nella maglia delle due induttanze)

L1L2

C

x1

x2 x3u

y


Esempio: sistema non completamente osservabile-1

Il modello matematico infatti:

Il rango di Q 2 < 3


Esempio: sistema non completamente osservabile-2

NOTA: in generale, sistemi nei quali vi siano parti in parallelo, caratterizzate dagli stessi modi e i cui stati si sommino nelluscita, risultano non completamente osservabili


Osservabilit come propriet strutturale

Come detto, rappresentazioni equivalenti, per le quali cio sia :

hanno le stesse propriet di osservabilit:

in quanto la trasformazione non influisce sul rango della matrice di osservabilit


Forma minima

Un sistema completamente osservabile e ricostruibile non ha stati equivalenti, cio in forma minimaPer i sistemi discreti le considerazioni sono del tutto analoghe, sia per quanto riguarda la matrice di osservabilit che per quanto riguarda la forma minimaSe il sistema non completamente osservabile e ricostruibile, si pu sfruttare una opportuna trasformazione dello stato per evidenziare la sua parte osservabile/ricostruibile, cio appunto la sua forma minima


Forma minima ed equivalenza

Per la definizione formale di pag. 4, due sistemisono equivalenti se le rispettive forme minime, cio le loro parti osservabili e ricostruibili, coincidono (a meno della rappresentazione)In altre parole, le due forme minime possono differire solo per un cambiamento di variabili, ma i due sistemi nel loro complesso possono NONessere riconducibili luno allaltro con una diversa rappresentazione


Scomposizione di sistemi non compl. osservabili

Dato

e sia Esprimendo con T1 la matrice costruita con le colonne linearmente indipendenti di QT e con T2 una qualunque matrice [n x (nno)], tale che T = [T1 T2] sia non singolare, e T2TT1 = 0, risulta:

con:


Scomposizione di sistemi non compl. osservabili-1

Il sottosistema la parte completamente osservabile e ricostruibile del sistema , cio la sua forma minimaLa matrice ha dimensione (no x no) La matrice ha dimensione (no x r) La matrice ha dimensione (m x no)

Parte osservabile

Parte nonosservabile

u

Funzionedi uscita

y



Pi precisamente:



Considerando la forma minima , applicando ad essa la trasformazione vista per scomporre le parti raggiungibile-controllabile e non:

tale che contenga le noccolonne linearmente indipendenti di

e che renda la matrice invertibile



Risulta:

Il sottosistema la parte raggiungibile-controllabile e osservabile-ricostruibile del sistemacio quella che caratterizza il comportamento ingressouscita a partire dallo stato 0


Scomposizione canonica

Unendo le due trasformazioni viste

Comportamentoingresso-uscita

Non influenzatodalle altre parti, se queste partono dallo stato 0

Forma minima


Propriet strutturali dei sistemi LTISTABILITA I.L.S.L. e I.L.U.L.


Stabilit di un moto con ingresso perturbato

Dato il sistema LTI continuo

moto di rif.

moto perturb.

N.B.: Si noti che NON dipende dal moto di riferimento, pertanto per i sistemi LTI si pu parlare di stabilit del sistema, anzich di stabilit dello specifico moto (o stato di equilibrio)


Stabilit di un moto con ingresso perturbato - 1

Si dice che il sistema stabile ingresso limitato stato limitato (i.l.s.l.) se e solo se lintegrale:

cio limitato.Ci si verifica se e solo se la parte raggiungibile e controllabile del sistema asintoticamente stabile gli autovalori della matrice sono a parte reale negativa


Stabilit di una risposta con ingresso perturbato

Dato il sistema LTI continuo

risposta di rif.

risposta perturb.


Stabilit di una risposta con ingresso perturbato - 1

Si dice che il sistema stabile ingresso limitato uscita limitata (i.l.u.l.) se e solo se lintegrale:

cio limitato.Ci si verifica se e solo se la parte raggiungibile-controllabile e osservabile-ricostruibile del sistema asintoticamente stabile gli autovalori della matrice sono a parte reale negativa


Stabilit i.l.s.l. e i.l.u.l.: implicazioni

Per sistemi sia continui che discreti valgono le seguenti implicazioni (ma NON il viceversa):

STABILITA ASINTOTICA

STABILITA I.L.S.L.

STABILITA I.L.U.L.


Stabilit i.l.s.l. e i.l.u.l.: implicazioni - 1

Valgono invece (ovviamente) le seguenti implicazioni per lassenza di stabilit:

Sistema NON STABILE I.L.U.L.

Sistema NON STABILE I.L.S.L.

Sistema NON ASINTOTICAMENTE STABILE


Stabilit i.l.s.l. e i.l.u.l.: implicazioni - 2

Se un sistema stabile i.l.u.l., ma NON i.l.s.l., significa che la parte raggiungibile-controllabile, ma non osservabile-ricostruibile NON ha tutti gli autovalori a parte reale negativa (potrebbe essere instabile o solo semplicemente stabile..)Se un sistema stabile i.l.s.l., ma NON asintoticamente stabile, significa che la parte non raggiungibile-controllabile NON ha tutti gli autovalori a parte reale negativa (potrebbe essere instabile o solo semplicemente stabile..)


Scomposizione canonica e stabilit i.l.s.l. / i.l.u.l.

Dalle definizioni viste:

Se stabile sistema stabile i.l.u.l.Se stabile sistema

stabile i.l.s.l.


Propriet strutturali dei sistemi LTIDUALITA


Dualit

I risultati ottenuti dalle analisi di raggiungibilit e osservabilit mostrano notevoli analogie.Per formalizzare tali analogie, si usa ricorrere alla definizione di dualit (qui nel caso LTI t. continuo)Dato:

si definisce sistema duale:


Dualit - 1

Il numero di ingressi (uscite) di S corrisponde al numero di uscite (ingressi) di SDLe matrici di raggiungibilit e osservabilit di SD(PD e QD) sono legate a quelle di S (P e Q) come segue:


Dualit - 2

Risulta pertanto:

S stabile SD stabileS ragg.-contr. SD oss.-ric.

S oss.-ric. SD ragg.-contr.


Dualit - 3

La propriet di dualit ha importanti conseguenze relative al progetto dei sistemi di controllo e dei modelli per losservazione dello stato (osservatori dinamici)Infatti, nelle applicazioni pratiche con sistemi MIMO complessi, il problema di controllo richiede in tempo reale informazioni complete sullo stato (le sole uscite misurabili non sono sufficienti ai fini del controllo)Grazie agli osservatori dinamici, possibile calcolare tali informazioni sullo stato e sfruttarle pienamente per il controllo


PROPRIET STRUTTURALI DEI SISTEMI LTI- Raggiungibilit e Controllabilit- Osservabilit e Ricostruibilit- Stabilit i.l.s.l. e i.l.u.l.- Dualit

FINE

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 200 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 400 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/CreateJDFFile false /Description >>> setdistillerparams> setpagedevice

FDA 1.4 ProprietaStrutturali 2015

Documents

Transcript of FDA 1.4 ProprietaStrutturali 2015