パラオ共和国におけるエコツーリズム促進と観光振 …. エコツーリズム...パラオ共和国におけるエコツーリズム促進と観光振興予備調査
情報と物理: 単振り子と中心力場 Simple Pendulum and...
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情報と物理:単振り子と中心力場Simple Pendulum and
Central Force Field只木進一
2016年後期
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座標系の選択
二次元の場合、 𝑥, 𝑦 座標が絶対的では無い
他にも座標系の可能性がある
直交座標系 (Ortho-normal coordinate system)
基底ベクトルが直交し、規格化されている
極座標
中心からの距離と、角度で位置を表示
©只木進一(佐賀大学)
2
-
運動の極座標表示
位置の極座標表示
時間で微分
d d d
d d d
d d d
cos sin
sin cod d d
s
x r
t t t
y r
t
r
rt t
cos
sin
x r
y r
©只木進一(佐賀大学)
3
-
cos sin
sin cos
d d d
d d d
d d d
d d d
x y r
t t t
x y
tr
t t
cos sin cos
sin cos sin
r x y
x y
v v v
v vv v
v
一般的なベクトルの変換式
©只木進一(佐賀大学)
4
-
加速度
22 2 2
2 2 2
22 2 2
2 2 2
dr d dsin cos
d d d
d d dsin cos cos sin
d
d d dcos 2sin
d d d
d d d2
d d dd d
x rr
t t t
y
rt t t
rr
t t t
rr
t t t
①
②
©只木進一(佐賀大学)
5
-
加速度
cos𝜃 ×①+sin𝜃 ×②
−sin𝜃 ×①+cos𝜃 ×②
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6
22 2 2
2 2 2cos
d d d dsin
d d d d
x y rr
t t t t
2 2 22
2 2 2
d d d d d 1 d d2
d d d dsin cos
d d d
x y rr r
t t t t t r t t
-
力の座標変換
一般式から
逆に解いて
cos sin
sin cos
r x y
x y
F F
F
F
F F
cos sin
sin cos
x r
y r
F F
F F
F
F
©只木進一(佐賀大学)
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-
極座標表示による運動方程式
©只木進一(佐賀大学)
8
22
2
2
d d 1
d d
1 d d 1
d d
r
rr F
t t m
r Fr t t m
-
応用例:単振動子
力
動径方向へは動かないことに注意
cos
sin
r mg TF
mgF
2
2
2
dcos
d
sind
d
Tl g
t m
l gt
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-
角度方向の加速度の式の両辺にd𝜃/d𝑡を乗ず
2
2
2
2
2
d dsin
d d
d dcos
2 d d
d
d
d
d
d
d2 cos
d
d2 cos
d
0d
l gt
gt
g
t t
l
t
g
t t
lt
tl
一定©只木進一(佐賀大学)
10
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初期条件:時刻𝑡 = 0で𝜃 = 𝜃0、d𝜃/d𝑡 = 0
動径方向の式に代入
2
0
d2 cos 2 cos
dg
tl g
0
0
2 cos cocos
3cos co
s
2 s
Tg
mg
Tg
m
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角度が非常に小さいとして近似的に解く
調和振動子
次元から振動数を予想できる
sin
2
2
0
2
d
d
expt t
g
g
i
l
lt
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重力による円運動
太陽を回る惑星の運動は、本当は楕円
ここでは単純化して、円、つまり動径方向には動かないとする
運動方程式22
2 2
2
d d
d d
1 d d0
d d
r GMr
t t r
rr t t
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半径は一定値とする:𝑟 = 𝑅
周期の2乗は、半径の3乗に比例する:ケプラーの第三法則
面積速度は保存する:ケプラーの第二法則
2
3
d
d
GM
t R
2d d 0d d
Rt t
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重力場中の楕円運動
運動方程式
面積速度一定則より
運動法則
22
2 2
2
d d
d d
1 d d0
d d
r GMr
t t r
rr t t
2 d
dr H
t
定数
2 2
2 3 2
d
d
r H GM
t r r
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従属変数の変換
𝑟を𝜃の関数と考える
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2
1/
d d d d
d d d d
r
Hst t
s
2 2 2 2
2 22 2
2 2
d d d 1 d d
d d d d d
d d d d
d d d d
r r s sHs Hs s Hs H
t s
r s sHs H Hs
t
-
𝑠に対する方程式
𝑠の原点をずらす
位相差は、角度の原点の選び方なのでゼロとした
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2
2 2
d
d
s GMs
H
2
2 2 2
2
d
d
cos
GM GMs s
H H
GMs A
H
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楕円または双曲線
惑星または彗星
2
2
cos 1
H
GMrH
AGM
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二次曲線と極表示
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,P x y
,H x p
0,0O
2 2 cosx y
OPe
PH
eが一定である曲線
-
二次曲線:𝑒 = 1
二次曲線となる
角度と動径の関係
2 2
2 2 2 2
2 2
2
1
2
x y y p
x y y py p
x pp
y
cos
1 cos
r r p
pr
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二次曲線: 0 < 𝑒 < 1の場合
楕円
2 2
2 2 2 2 2
22
2 2 2 2
2 2
1
11
2
1
ex y p
x y e y p
x y e y py p
pe e
e e
cos
1 cos
rr p
e
epr
e
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二次曲線:𝑒 > 1の場合
双曲線
2 2
2 2 2 2 2
22
2 2 2 2
2 2
11
2
1 1
ex y p
x y e y p
x y e y py p
pe e
e e
cos
1 cos
rr p
e
epr
e
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