Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

15
Fast Computation of Scale Normalised G aussian R eceptiv e Fields James L. Crowley and Olivier Riff {Crowley, Riff}@inrialpes.fr http://www-prima.imag.fr/ 1 I n t r o d u c t i o n

Transcript of Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

Page 1: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

Fast Computation of Scale Normalised

G aussian R eceptiv e Fields

James L. Crowley and Olivier Riff

����������� ��� � ���������������� �������������� � ���! "� $#%�&('�' ��)( �*� �!,+ -/.����"� 0��132,4(5�4�4�6�78�� � ���� � ��� ��19��� �:0

{Crowley, Riff}@inrialpes.fr http://www-prima.imag.fr/

;�<>=?@0A�B�?CED �� F:�������0:� ��� #G � :FH,���I� � �� >#%� :KJI#%:0�0! L��M��L! ��:0�0!�� NL�KO� P"��� ��, Q� #� �� #%:0�0! �"������NL � �����>R���� :��S �� �����"�! �0:0� �� S"����)(� *� $#T��! ��:0�0!�NL��U(� NP.�NWV0�P 0���! XP �)( ��,X"��(#%� � �� Q� Q�� Q� NL�KO� PR�� ! !� �U���� ��� Y�F#GNL�0! !E �.�NP�� �����M�#G.�:��Q:�������0:� ��� #G � :L#%:0�0! $#ZV[ ��NP"�.� � (O\��)( 0:� ������M�����.>#]#%� �� ^*� ��� )(�� � )( $#�H,�P����.>#]#%� �� �_] � J�����P:�������0:� ��� #G � :#%:0�0! �"����)(� *� $#��L#%:0�0! S� �)(���� �� ��M, 0�� .�� �)( 0:� ����M,���� ��0:�`(� (O��>NL�� :���� (O��a� �*� �U(� (O�� �*b� 0:0��O� �� � �� 9V�c���R� �)( ���I �� d:0��NP"�.� �� � �� ��0!S:0�(#GF��Me*�� � 0:� ! Xf#% 0���:���� (Og �� #%:0�0! ���U(� #�M,���E �� �:�������0:� ��� #G � :I#%:0�0! ���a 0�0:��L� NL�KO� �"��(#%� � �� L:0�� P�� �"������� ��� � )( 0! X �U�"� � >#%� )( hVIij j*� $#%:��� �� j�8M,�$#GSNL � ����*bM,���k:0��NP"�.� � (Ol�m)( 0:� ���k��Me����.>#]#%� �� *� ��� )(�� � )( $#� �������� W ����,NL�0! � #% 0*Q �Q �� e:�������0:� ��� #G � :n#%:0�0! e��� 0�0:��o"�� U( 0! V D ��� #NL � ����*p� #^���$#% 0*f�� q��#%:0�0! j 0r�.�� )(���� �� �L���0! M,2,��:� ��)( 8��� ���NL� �0!P"�X����NL� *�V D �� :�������0:� ��� #G � :�#%:0�0! IM,���Y 0�0:��F"�� U( 0!a� #�*� � ��,NL� � 0*P��XL�� W� � ��,"���! �� 0*PNL��U(� NP.�Ns� �� Lt�� M�M, �� � �:0 W��M�����.>#]#%� �� m�$#��LM .� �:� � �� o��M�#%:0�0! hVaij W#G����Rs ������ � ��,"���! �� � �� �� � R� 0 � W"�� U( 0! #��0:���(#]#�#%:0�0! $#�:0�� W�� I.>#% 0*L �S"����)(� *� ��� e�0:0:�.���� � $#G � NL�� ���ME �� � � �� >#%� :I#%:0�0! ���a 0�0:��F� NL�KO� �"���� �,Vfij �"�� $#% � �a�� F �U�"� ��� NL � � �0!> �)(�0! .��� � �� S ����:0��NP"���� $#� �� W#%:0�0! F� �)(���� �� �:0 L��MY ��� #�NL � ����*e �k*�� � 0:�Y:0��NP"�.� �� � �� k.>#%� (Oe1a���M,� ! ��%#%�E�� �*e �k�� Q� NP"�! �NL � � �� � �� k.>#%� (Oe� 0:�.��%#%� )( SM,� ! ��%#ZVoij� �\ ��� #�NL � ����*WR� ���� �0� L��#%:0�0! � ����,NL�0! � #% 0*P����.>#]#%� �� SuZ �9���)(� *� 0����� �M,���/�SvZw xL#%� y$ �za���Q� NL�KO� ��� ��#G �� �*����*\v$V ' ���(y�zE � � � .�NfR����,`�#G �� � �� 9V

1 I n t r o d u c t i o n {�|a}o~a���]�a�����h�9�3}��h�Z�h�a��}8�9�S�Q�a}�� ��|>�3���%|a�9�9�g���h���3}m�9}����h�Z� �3}��j�>�b�m� �9�����I{��$�a� ���e��}h�Z� }�����h��� {�|a}F���9}���� ��� }h�>�G�I�9�T� |a���I��}h�Z� }��������3�]�,� � �>�,}L�L�}��h� �>�Z}P~a}��h�,����� |a�h�������\�3���h�,� �\�Z}h�9�Z}���}h�>�G�� |a}j�a}�� ��|>�3���%|a�9�9�p�h�9�3}��h�Z�h�a��}�����^� �a�9}h�a� �9� � �3� �h�a�l�^�h�,�h|a� �9� ���9��� {�|a}g��}h�F�9�F�3�a�K��� �3� }� �9�����3� �^���9}��a}�� ��|>�3���%|a�9�9�a��� |a�h�3�9�Z�0�0}��h�3�,�W� |a}L���h�^}S�}��h� �>�Z}�~a}��h�,�����h�Z}��Z}��}h�%�Z}��W�,�\����� |a}�Z� �9�����L�$}h� � ����� }$�q�9�Z���3� }h��� �s�����\�9�>�,� �9�f� |a}g� �9�������0}h�W���o�9}h�,}h�%�^� �a� �9�f� |a}b������� }g�h�� |a� �h|e�,�\}h~a��� �a�h�,}�� |a}S� �^���9}S�9}h�Z� ~a�h�,� ~a}�� �� � �a�9}h�3}h�]� �  3� |a���S�9}����h�Z� �3}��d������� }k� �>~a�h�Z� �h�>���}��h� �>�Z}����3����}��8���m�9�Z�9�� � }��S�9�I¡F�h�3�K��� �h�

�9}h�Z� ~a�h�,� ~a}��F���h�Z�a�K�W������� }�� �E¢ �8�3�h�%�,� �h�a� �h��£/� |a}\�9�Z�9�� � }^�9��� |a} � �h�3� ����� �h�3£T}h~a��� �a�h�,}��d��~a}h�S��Z�h�9�9}\�9�I������� }��P�h���h�8� �^���9}W�3�9� �>�G£3�9�Z��~a� �9}����e� �9�����T�9}����h�Z� �9�,� ���Q� |a�h����� � }�¤��a� ~a�h�Z� �h�>� � �,��h|a�h�9�9}��k� �p������� } �Y¥ ¤��a� ~a�h�Z� �h�a��}m�^}��h�3�e� |a�h��� |a}8�}��h� �>�Z}o~a}��h�,���F� �Z�h�3��� �h�,}��\}h�a���h�,� � � � � |������� }\�h�a�m���h�o� |>�3���3}W�3��}��Q�,�Q� �Z��� � £/� �a�9}h�8�h�a�Q�Z}����>���a� ¦�}k�]� �%�a�h� �>�Z}��P� �Q� |a}F�9�Z}���}h�a��}e�9��h|a�h�9�9}���� �^������� } �{�|a}o�9�Z���3� }h� � � � |g� |a���\�h�9�9�Z�9���h|l���F� |a�h���m�9� �Z}��h�������\�9�>�,�h�,� ���b�9��� |a}m�h|a�h�Z���h�,}h�Z���]�,� �

������� }g�h�W}����h|§� �^���9}j�3�a��� �,� ���§�h�9�3}��h���^�,�f�^� � }j�Z}���� ¨,�,� �^}g� �\�3� }h�^}h�>�,�h�,� ���p�>�a�}������ �3� } �{�|a���\�3�h�3}h�e�9�Z}���}h�>�G�^�8�^}h� |a�9�b�,�l���9�,��� �b� |a}d�h|a�h�Z���h�,}h�Z���]�,� �j������� }m�>�f� �>�,}h�%�3�9� �h�,� �9�g� |a}

Page 2: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

���h�\�3� }��S�9�I�e|a��� �¨�9�h�,�h~a} � �h�3� ����� �h���/�>�Z�h�^� �m��� ���9�Q�3��� |o� |a}\� �^���9}\�h�a�Q� |a}k������� }\�h�a}�� �{�|a} � �h�3� ����� �h�b����W�h���b� �^���9}Q�3�a��� �,� ���b���W���9�,��� �a}��d�>�j�3� ¨� � �a}��h�F� �>�,}h�%�3�9� �h�,� ���j�3}h� � }�}h����0�0����}h�>�����h�\�3� } �3� �a}���� � � �9�����o�^�h�a� �^� ��~a}h�p������� } �h�Z} �9}h�,}h�%�^� �a}�� �>� � �� � �,� �9� ��3�h�Z�h�3�9� � �^�,�>�a�h�,� ���8�,�j���h�\�3� }��L� �8� |a}Q������� }^�9� �Z}��h�,� ���j�h���e�3� �a}�� ��� � � }h~a}h��£E�a���a���3�]���h����\�a� �,� ¨,�Z}����9� �>�,� ��� �>�>�Z�h�^� � ���h� �3}l�3��}�� ����j�]�a�h| ����� �h�a� �h�,� ���3� ��� ����� }�¨� �>~a�h�Z� �h�>�^� �^���9}�9}����h�Z� �9�,� ���d�Z}�¤��a� �Z}��S� |a�h��� |a}o���h�\�3� }��j� �\�9�a����}\�Z}��]�3���3��}\�3}\� |a}Q���h�^}^�h��}h~a}h��j� }h~a}����9�� |a}��>�>�Z�h�^� � �

2 F a s t C o m p u t a t i o n o f C h r o m a t i c R e c e p t i v e F i e l d s �b�a� �,� ¨,�Z}����9� �>�,� ���j�^}h� |a�9�a�L|a�h~a}^�3}�}h�j�3��}���� �g�����\�9�>�,}h�S~a����� ���b��� �a��}^� |a} ����� � �/¥ �h�Z� �� ��� � � �q�\�a� �,� ¨,�Z}����9� �>�,� ���§� �^���9}g�9}����h�Z� �9�,� ��� � ���^�9�Z� �^�h�Z� � �p�^���,� ~a�h�,}��f�>�§�g�9}���� �Z}j�,��Z}����a��}W� |a}\�����\�9�>�,�h�,� ���a���Y���a�]���9���^}h� |a�9�a�P������ �^���9}\�9}����h�Z� �9�,� ���8�h�a�m� �^���9}W�^�h�,�h|a� �9� � �a}j�9�L� |a}j}��h�Z� � }��]�P�3��}�� � ���^�8�,}��h|>�a� ¤��a}8�Z}��}h�%�Z}��g�,�l��� � �3� �h�>�a� �9� � � £�� � � |a� �h|f� �^���9}�Z}����9� �>�,� ��� � ���\�Z}����a��}��b�>�q�]�>�\�^� �9�b�3� �a}����^� �l�a���a¨��~a}h�Z� �h�9�3� �9���������3� �9� � � ���>��� {�|a}�Z}��]�a� �G�b�9�d}��>�9}s�9}h�,}��h�,� ��� �h�m� � � �Z}����9� �>�,� ��� � }h�Z}q�3��}�� �,� ��}�� }��h�^�Z}��9� ���3�g�����}��>�9}�9}h�,}��h�,� ���k�h�3|a� ��|e�Z}����9� �>�,� ��� ��b�a� �,� ¨,�Z}����9� �>�,� ���8�9�Z�9��}��K��� �9� � ���F���9���d�9}h�a}h�Z��� � ¦�}��o�,�8�����\�9�>�,� �9�o�\�a� �,� �3� }k�����3� }��S�9�

�h�f� �^���9}m�>�b�Z}h�3}��h�,}��9� �p�]�>�\�^� �9�g�a���a¨��~a}h�Z� �h�9�3� �9���3� �9� � �\�9�P�3� �a}����\�h�a���Z}�¨%���h�\�3� � �9��>�>�,� �T� |a}k� �^���9}e�Z}����a��}��o�,�8�^�]�^��� �T�>�>�\�3}h�P�9���3� �a}���� ��� �a�h|d�^�]� �%�a�h� �>�Z}e�3}����h�^} � �a� � ����s� �\�a� �,� ¨,�Z}����9� �>�,� ��� �>�>�Z�h�^� � ���9���Q¢ �n� � �>�3� ������}��h�Z� � �>�>�Z�h�^� � ��� �9���Z� � |>�Q£Q�a���a¨��~a}h�Z� �h�9�3� �9�q�3� �9� � �8�9�   �   �3� �a}���� � }h�Z}f�]�>�\�^}��s�h�e}����h|s� }h~a}��S�,�p�9�Z�9���a��}�� |a}��a}h�>��Z}����a��}�� �Z}����9� �>�,� ��� � }h~a}�� ��� �a�h| �>�>�Z�h�^� � �]� �%�a�h� �>�Z}�� � }h�Z} �3��}�� �,�������3�]� �%�a�h�§����]���� �9���Z� � |>�Q�\����W� �^���9}8��}����^}h�>�,�h�,� ���3£�}��>�9}m�9}h�,}��h�,� ���3£��h�a�j�,�g������}�� }h�Z�h�,}m�����%�Z}�� �h�,� ���b�����]�,}h�Z}����^�h�,�h|a� �9� ��� �a����%� �>�a�h�,}�� �3£������\�9�>�,� �9�g�Q�>�>�Z�h�^� �j�>�b�h~a}h�Z���9� �9�j�a���a¨��~a}h�Z� �h�9�3� �9�� � �a�9� � �W�Z}��]�a� �,}��b� �f�]�>�E�]�,�h�>�,� ������� � ����� �9� ��� �a�h|b��� � ����� �9�g���F�^�a�]�I�a���,� ��}��h�3� }m���e�m� �h�]�9}�����\�3���a}h�>�I�9�����9�9� �,� ~a}k�Z�h�a�9���n�a�9����}^�9}h�a}h�Z�h�,}��8�>��� �^���9}k� �Z�h�3��� �h�,� ��� ��� �a�h|8�a�9����}^���h��Z}h�a�9}h�Y�^�a�]�/� �^���9}S�h�a��� �3��������� �9���Z� � |>�Q���>�>�Z}�� � �h�3� } �{�|a} �9�Z���3� }h� �9�f��}����^}h�>�,�h�,� ��� �h�a� ��� ���K��� �� ���h�,� ��� �9���,}h�>� �>�Z}��q� }�� � �>�>�\�3}h�p�9�

�Z}���}��h�Z�h|a}h��� �,� � �9� � ���� �9}h�a}h�Z��� ¨,�9�>�%�3�a��} �\�a� �,� ¨,�Z}����9� �>�,� ��� �Z}h�9�Z}���}h�>�,�h�,� ���3� ��� �>�%��9�Z���3�a��}�� �q�\�a� �,� ¨,�Z}����9� �>�,� ��� �>�>�Z�h�^� � ��� �9���Z� � |>� �3��� �9� �]�^�9��� |a� �9� � � � | ��~a}h�Z� �h�9�3� �9�� � �a�9� � � ��9����� }�� ��|>�G�L������ |a}Q�]�^�9��� |a� �9�d�� � �,}h��� � }h�Z}k���9�,��� �a}��o�>�m�3�a�]� �a� �h�,� �9�8�^��}h���9�����>���9�Z� �a��� �3� }�� � {�|a}���}§�9�Z� �a��� �3� }��g�Z}��]�a� �,}�� � � � |a}§�3��} �9�j�§�^��� � � |a�h�d��}h�%~a}��b���b��]�^�9��� |a� �9� �� � �,}h�d����m�Z}h�3}��h�,}��s�Z}�¨%���h�\�3� � �9� ��� |a� � }q�]�^�9��� |a� �9� � � � | � |a}���}l�^��� � �j�9� ��Z}����a��}L�a�9����}�£E��� ���a� �� ���h�>�Y��� � ����� �9�Q}���}��h�G���]�,� � �E�Z}h�^��� �a}�� � �f���Z}���~a}h��£ � �>�%� � ���>�>�Z�h�^� � � ����a����������� }S� �>~a�h�Z� �h�>� ��F�>�Z� �9�j� |a���F�3}h�Z� �9�a£��^|a��� �¨�9�h�,�h~a}m������� }�¨� �>~a�h�Z� �h�>���>�>�Z�h�^� ����� �9���Z� � |>� � ���L�9�Z���3�a��}��

�3����}�� ��� �����3��� �9}h�Z�h�,� ���3�d�,�Z��� ��� ���a���F�9�Z�9��}��K��� �9� � � ��� {�|a���d��� �9���Z� � |>� � ���d}h�>�3� � ��� �,� ��9}���� ���a}��8�,�8�^��� �>�,��� �d� |a}o���h�^}o���h�\�3� }��j� �\�9�a����}k�Z}��]�3���3��}Q�h��}����h|j� }h~a}�� �E¢ �^���9}�� � }h�Z}�]�^�9��� |a}����>�l�8¡F�h�3�K��� �h�l�� � �,}h�e�9}���� ���a}����,�b�h~a�9� �b��� � ����� �9�g}���}��h�G� ��� �a����%� �>�a�h�,}�� �3£Y� |a}�3��}e�9��� �h�]�9}� ¢"! ¡F�h�3�K��� �h�m�� � �,}h����� }��^�,�o�����\�9�>�,� �9�^�,� �^}������Q� |a}e���Z�9}h�I�9���h�^|a���>�I����I���� �9�9� }S� �^���9} �� ��� |a}Q�^� �9¨ ��� � �� �K£Y� |a}Q�\�a� �,� ¨,�Z}����9� �>�,� �����>�>�Z�h�^� �d|a���d�3}������^}o�m�]�,�h�a�9�h�Z�g�]� �%�a�h� �>�Z}

������3��}W� �m�]�,}h�Z}��k�^�h�,�h|a� �9�Q�h�a�k�^���,� ���o�h�a��� �3����� ���9��� {�|a}L�3��}W�9�T�,}��h|>�a� ¤��a}��I�,�Z��� �9� �9� �,������ ���a���I�9�Z�9��}��K��� �9�g�9�Z��~a� �9}��g�^�h� |a}h�^�h�,� �����I�,�9�9���e�,���>�a�9}h���]�,�h�a��� |a}8}���}��h�G�\�9�P�Z}h�3}��h�,}���]�^�9��� |a� �9�Q�h�a�o���h�\�3� � �9� �#� �^� |a}W� �h�,} ��� � �� �K£9�>�>�Z�h�^� �a� � }h�Z}L�9}h�a}h�Z��� � �Q�����\�9�>�,}��\�3��� �9�

Page 3: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

¡F�h�3�K��� �h�j�� � �,}h���L�9���]�a��� ��� }h�>�,� �j� �h�]�9}Q��� ¦�}Q���8�����,�o�^� �a� �^� ¦�}e� |a}e�Z�h�a�9��� �a�9����}k���a}����,���� � ����� �9� � � � � }h~a}h��£��9}h�a}h�Z��� � �k� � � �,� }S�h� �,}h�>�,� ��� � �����3��� �W�,�W� |a}L������� }�¨� �>~a�h�Z� �h�>�3�9�Z���3}h�%�,� }�� �

3 A s c a l e i n v a r i a n t h a l f o c t a v e p y r a m i d � ������� }�¨}�¤��a� ~a�h�Z� �h�>���]�3����}k���h�m�3}k�����3�]� �%�a�h�,}��o�3��� �9�8�h��� � }h�%�a}����,�>�a�h�,� ��� � � }h��� � ���I�3}\���� ���a�����9}��� �a}��8��~a}h�P�k�����>�,� �>�a���3��~a�h�Z� �h�3� }e� �d� � }h�%�a}����,�>�a�h�,� ���3£ � � ���Z£����h�m�3}^������� }��o�,��h��� ������� } ����h�,����£o�K£k�>� �9� ~a� �9� �9� �8�>� � � {�|>�3�f����l�����>�,� �>�a���3�b~a�h�Z� �h�3� }��K£^� ������� }�¨}�¤��a� ~a�h�Z� �h�>� � ������� }�¨%�]�3����} � � �Z}h�9�Z}���}h�>�,�h�,� ���k�9�T�L��� ���a���3����}������ � �k�9}��� �a}��a£>���

)(*)(),(s

tktxstp =

� ���\�9�>�,� �9�j�o���h�\�3� }��d�9� �9� �,���Y�Z}h�9�Z}���}h�>�,�h�,� ���j�9���]�a�h|j�Q�]�3����}\�Z}�¤��a� �Z}��L�h|a�9�a��� �9�m� |a}�h�9�9�Z���9�Z� �h�,}����h�\�3� }8�Z�h�,}��^����e�L�h�a�l����k� � {�|a}j���h�\�3� }m�Z�h�,}�£�{��W£�����W� |a}m��~a�h�Z� �h�3� }d����9}h�,}h�%�^� �a}��p�>�q� |a}b�,�Z}�¤��a}h�a�$�s�����>�,}h�>�W�9�W� |a}b��� ���a���P� |a�h�e�]|a���a� �f�3}j�9�Z}���}h�%~a}��q� �p� |a}���h�\�3� }��8�Z}h�9�Z}���}h�>�,�h�,� ��� � T���S�Q������� }�¨� �>~a�h�Z� �h�>���Z}h�9�Z}���}h�>�,�h�,� ���3£/� |a}\~a�h�Z� �h�3� }Q�F�]|a���a� �m�3}���h�\�3� }��W�3��� �9�\�h�k}h�>�3���a}h�>�,� ���E��}h�Z� }��

�� ss �=

{�|a���^���^}������ � �q�]|a� � �b�>�b�,� � � �9�g� |a}d� �>�9�h�Z� � |>� �9�S� G� � {�|a}d� �>�9�h�Z� � |>� �����>~a}h�%�G�e� |a} � G��,}h�%� � �>�,�q� �Z�h�3��� �h�,� ��� ��� ���9�q� |a}f������� }b�h�a��� � {�|>�3�m�h|a�h�9�9}��m� � ������� }b�h�Z}b}h�>�9�Z}��K��}��§���� �Z�h�3��� �h�,� ���k� �k�S� �>�9�h�Z� � |>�^� �L������� }L�]�3����} �{�|a}b��}h�W�9�W�3�a�K��� �3� }b������� }��k�Z�h�9�9}��,�Z��� � �,�l� |a}d�>�>�\�3}h�^�9�\���h�\�3� }�� � {�|a}��9}���� �Z}��

���h�\�3� }Q�Z�h�,}m� �l������� } � � � �I�9�,�,}h�g�9}h�3}h�a�����j� |a}m�]�^�9��� |>�a}��K�W�9��� |a} � }h�%�a}�� � {�|a}o���a�]���9��9�%�>�,}8����Z��}d���h�\�3� � �9�b�9�F�]�a�h|l�d�]�3����}8���W� |a}o�>�>�\�3}h�e�9�L��� ���a�������h�\�3� }��K£�k£Y�,� �^}��F� |a}�>�>�\�3}h���9�d������� }s���h�\�3� }��K£ � �>�� � {�|>�3�������\�9�>�,�h�,� ���a���k���a�]�Q�9�8�]�a�h| �§�]�3����}q���K£W� ��9�Z� �a��� �3� }�£ � � �>� �� � � �a� }��K�^� |a}j�3�h�a� � � ��� |§�9�W� � ���^���o� � �^� �,}��q�h�a�f� |a} � }h�%�a}��S����9�Z���3}h�Z� �f�h|a�a��}h�3£�� |a}d���h� �a���������3�]�,�h�>�G�W�Z}�¤��a� �Z}��b����\�]�a�h|l�d�]�3����}8�h�Z}8�����\�9�>�,�h�,� ���a��� � ��9�Z��|a� �3� �,� ~a} �� �\�a� �,� ¨,�Z}����9� �>�,� ��� �>�>�Z�h�^� � ��� �9���Z� � |>� �9�Z�9���a��}�� � ���h�\�3� }�� ������� }�¨%�]�3����}

�Z}h�9�Z}���}h�>�,�h�,� ��� �9�d� ��� ���a����£W� � �G£ ���Z£ � � � | �s�����\�9�>�,�h�,� ���a���^�����\�3� }h�a� � � �9� � �� � {�|a}�Z}����a�h�,� ���d� �d�����\�3� }h�a� � �d���S���h|a� }h~a}��o�>�m�Z}�¨,�3��� �9�8}����h|j������� }�¨%���h�\�3� }��o�Z}h�9�Z}���}h�>�,�h�,� ���d�9�� |a}8��� ���a���I���e�h�b� �>�,}h�%�^}��9� �h�,}Q�Z}��]�a� ������L�9�Z�9���a��� �9�j� |a}Q�a}h�>� ��� � �Z� �h�P������� }o}�¤��a� ~a�h�Z� �h�a��}�Z}�¤��a� �Z}��\� |a�h�L�����>~a�9� �>�,� ���p�9�F� � }h�%�a}����� � �,}h� � � � |f� �G��}�� �S�9�Z�9���a��}d�j������� }��l�����>�f�9�S� |a}� }h�%�a}��3�� � �,}h���

k(t

s � ) = k(t)* k(t)

{�|a}S¡F�h�3�K��� �h�k�,�>�a�h�,� �����

g(t,σ) = e− ��

�σ�

���3}$�3�\� |a���e�9�Z���3}h�%� �3£ � � � |f�j������� }d����h�,���\�9�s � = 2 ���������! "�$#%�$��&(' ' )+*-, .%�0/1&$2+34365 &$#7 28#%9$,:5 ��#+3;&$���<9(' �%36�(=>28#%="�$�?9(��#8@%�"' 28,:5 ��#A�ABC.%&$,D5�34*A, .%�<9(��#8@%�"' 28,:5 ��#0� 7 , E1�!/1&$2+34365 &$#+3?� 7

@%&$��5 &$#%9(� σ F G-&$#%= σ G GH���I3J2%' ,K3L5 #M&N/1&$2+34365 &$#M�7 @%&$��5 &$#%9(� σ OKG P Q σ F GCR σ G G6�TS�31&U���I3J2%' ,K*�&

Page 4: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

369(&(' ��� 5 #8@%&$��5 &$#8, � )8��&��<5 = 9(&$#��+� ="� 7 5 #%�(=��8) 9(&I369(&(="�(= 9(��#8@%�"' 28,:5 ��# E15 , . & /1&$2+34365 &$#� �$� #%�('K�BC.%� /1&$2+34365 &$# 7 28#%9$,:5 ��#N.%&I3 &L#82��+�$�H� 7 ��, .%�$� � ��� � �$� ,:5 �I3 , .%&$,��<& � ��5 ,C5 ="�(&(' ' )!3J2%5 ,:�(=7 ��� 2+36� &I3 & � �$� #%�(' 7 5 ' ,:�$� 7 ���H9(��� � 28,:5 #" >&U369(&(' ��� 5 #8@%&$��5 &$#8, � )8��&��<5 =T�8S �<��#" <, .%�I36��5�3 , .%�7 &(9$, , .%&$, & 9(5 ��9$2%' &$��' ) 3 )��<�$, ��5 9 /1&$2+34365 &$# 5�3 36� � &$��&��+' � 5 #8,:� & � ���"=�2%9$, � 7�� ���

9(��� � ��#%�$#8,K3��"BC.%5�3 � ��� � �$� , )N&(' ' ��EL3D2+3D,:� 9(��� � 28,:�;, .%�L9(��#8@%�"' 28,:5 ��#N� 7 &$#����� /1&$2+34365 &$#�8) &!36�$��5 �I3�� 7 , E1� � ��� 9(��#8@%�"' 28,:5 ��#+3���BC.82+3;, .%�N9(��#8@%�"' 28,:5 ��# E15 , .M&N/1&$2+34365 &$# �����<&(5 #+3��� ����*8�$@%�$#�E?.%�$#U& ��� ' 5 �(=L,:� &������������ 365 �#%&('K��� "!

#%$'&)(+*-,�.0/21�3�4 &6587 9�:�3<;67 3�9>=@?�A>;63�BC7 DSE� 2%' ,:5 �:���I36�"' 28,:5 ��# � )8��&��<5 =!5�3?&$# ��� ���F�<�$, .%�"= 7 ��� 9(��� � 28,:5 #" !&<36&�� � ' �(=0369(&(' �<3 � &(9(���BC.%�0���(=�2%9$,:5 ��# 5 # 9(��� � 28,:&$,:5 ��# 5�3<&(9$.%5 �$@%�(=G�8) ���$2+365 #" ��(&(9$. ' �$@%�(' &I3<&$# 5 #8,:�$�H�<�(="5 &$,:����I3J2%' , ,:��9(��� � 28,:�>, .%�>#%���8,?' �$@%�('K�-BC.%5�3 � )8��&��<5 = &(' "����5 , .� 5�3<369(&(' �0��I�2%5 @%&$��5 &$#8, ��JD&(9$.' �$@%�('T5�3-���I36&�� � ' �(=U&$,�&13J,:� � 365 KI� , .%&$,����%&(9$,:' )<��I�2%&('�3-, .%�;5 #%9$���(&I36�?5 #<369(&(' ����BC.82+3C, .%�H��&$,:5 �� 7 369(&(' �1,:�>36&�� � ' �1��&$,:��5�3H9(��#+3J,:&$#8, �>L+9(&(' 5 #" N& 365 �#%&('A, ��&$#+36' &$,:�I3H5 ,K3 ���I3 � ��#+36��5 # , .%� 369(&(' �&��%5�3��BC.%� 369(&(' ��� ��I�2%5 @%&$��5 &$#8, � )8��&��<5 = &(' "����5 , .� 3J.%��E?# 5 # 7 5 �28���NM 5�3 9(��� � �%36�(= � 7 &$#

5 #%5 ,:5 &('�9(��#8@%�"' 28,:5 ��#UE15 , .U, .%� � �$� #%�(' 7 5 ' ,:�$� 7 �"' ' ��E1�(=�8) &L36�$��5 �I3 � 7 � ���"9(�I34365 #" 3J,:& "�I34* � QPO,:�RQ<��S����H�(&(9$.03J,:& "�I* � *+, .%� � )8��&��<5 =>5�3 9(��� � �%36�(=>� 7 , .8���(� 365 �#%&('�3 ��T � #+* � ��* � F � #+* � � &$#%=�G� #+* � �4�%BC.%����28, � 28,C� 7 �(&(9$.!3J,:& "��5�3 ���I36&�� � ' �(=<,:� � ���"=�2%9(�;, .%�L5 # � 28, 7 ����, .%�;#%���8,C3J,:& "���U �(9(&$2+36�U� 7 ���I36&�� � ' 5 #" %*��(&(9$. 3J,:& "�U5�3?9(��� � �%36�(=!� 7 ��V Q ��W � V 36&�� � ' �I3 � 5 #N, .%� 9(&I36� � 7 &� ��� 365 �#%&(' �4�

*g(n,σ)

po(n,0)

*g(n, X σ)

S{-}

po(n,1)

p1(n,0)

p2(n,0)

Y�Z [6\^]`_2a<bcY�Z ]Hd-e<d-e f2[^_hg�i�e j�_cdHklflm _hZ n^opfq]`Z fqn^e�r^s6]`fqt Z uvflm [^g6]`Z e j^t�wBC.%�1365 �#%&(' ��T � #+* � ��36�$� @%�I3D&I3-, .%�;5 # � 28,T,:��, .%� �x y 3J,:& "����BC.%5�3 365 �#%&('+5�3�9(��#8@%�"' @%�(=LE15 , .�, .%�� �$� #%�(' 7 5 ' ,:�$�6*� � #+* σ ��*�,:� � ����@%5 ="� � F � #+* � �lz

p { (n,k) = p | (n,k)* g(n,σ)

BC.%�;36�(9(��#%=U3J,:& "�?5�3�9(��� � 28,:�(=��8)U9(��#8@%�"' 28,:5 ��#�E15 , .U&;369(&(' �(= 9(� � )U� 7 , .%� � �$� #%�(' 7 5 ' ,:�$�}zp ~ (n,k) = p� (n,k)* g(n, 2σ)

BC.%5�3D369(&(' �(= 9(� � )U9(&$#��+�?���",:&(5 #%�(=��8)U9(&I369(&(="�(= 9(��#8@%�"' 28,:5 ��#�E15 , .�, .%� � �$� #%�(' 7 5 ' ,:�$�}zp � (n,k) = p{ (n,k)* g(n,σ)* g(n,σ)

Page 5: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

B�� ="���<��#+3J, ��&$,:�M, .%� 369(&(' � ��I�2%5 @%&$��5 &$#%9(�I* 9(��#+365 ="�$�<, .%� 5 � � 2%'�36� ���I3 � ��#+36� 7 ���N& 369(&(' ���5 #8@%&$��5 &$#8, � )8��&��<5 =!E15 , . & /1&$2+34365 &$# � �$� #%�('- � #+* O � 2+365 #" &U, ) � 5 9(&('C@%&(' 2%� � 7 σ Q � ��BC.82+3, .%� � �$� #%�(' 7 5 ' ,:�$�-5�3�z

g(n,1) = e− ���

B�� .%&$@%� &$# 5 � � 2%'�36� &I3M5 # � 28,K*�&I343J2�<� &$#��� 36&�� � ' � 5 # � 28,N365 �#%&('�� ���� = ��

−� �

9(��� � �%36�(= � 7 KI�$��� @%&(' 2%�I34* ���%9(� � ,L&$, � �%365 ,:5 ��# ��W � E?.%�$��� , .%� @%&(' 2%�M5�3>36�$,;,:� � � BC.%�5 #%5 ,:5 &(' 5 KI&$,:5 ��#<3J,:� � 9(��#8@%�"' @%�I3C, .%�?5 � � 2%'�36�HE15 , .�, .%� � �$� #%�(' 7 5 ' ,:�$�}z

p � (n,0) = g(n,1)

BC.82+3C, .%�H@%&$��5 &$#%9(�?&$#%=U3J,:&$#%="&$��= ="�$@%5 &$,:5 ��#U&$, ��T � #+* � �C&$�����+��, . � � O ��BC.%�H#%���8,�3J,:� � 5�3p (n,0) = p � (n,0)* g(n,1)

��������� ����������� �� �!"�#����$&% '( �) *,+��-�σ . % /�0213�� �45� ���6�7!"�"8 �#9:�"!��<;=�>�-� σ ?A@ = 2 BDC ;= ��<� ���� ,E�)

p F (n,0) = p G (n,0)* g(n,1) *g(n,1)�����2������� �� �!"�H;,9�$ / '( �) *,+I�-� σ . / /J0LKJ)J�� �43� ����� σ . / 0L1 B �����2���M����8 ���-�I���M�7��NO$�8 �"4P���&�Q%J0R1�<;L$,��;=��� 4,�5���<�SE,�#*,0UT B �V;P����;=WX� ���2�"9:9:�"!��(�I;,9>�7��NO$�8 � ,E�)�!";= ��7� 4,���Y�2!����� ,E,�2� L������� ��Z�8 �M�[)NL0R1, �)D�<;O;=Z,�<�"�

p \ (m,1) = p ] (2m,0)^>_�$,���M�[�7�"4O� H� ���#;=��� E,� ��"8,������� ��Z�8 �M)D �)D���M�7��NO$�8 � ,EO4,;,�M�� �;=�R�"9:9:�"!���� ����������� �� �!"�#;=�σ;,9

� ���6�7� E= ��"8 B ������� σ . % /:0R1`�� �4σ . % 0R1 B"a ;=W2�������7)�!";= ���;,8 ���<� ;= HW2� � �L�����M�7��NO$�8 �"4L�7� E= ��"8��-�� ���6�7��N3�#�M�Y�7!"�"8 � ,E5� ����*����b ��"8�9:� 8 �<��� B �������[)

p c (m,1) = p d (m,1)* g(m,1) = p e (n,0)* g(2n,1)fUgP��� �b� ���H;,9����M�7��NO$�8 � ,E�)�� ���Hh2�����[�7� �� P*����b ��"8R���M���"9:9:�"!��<� ���"8 g3Z��"�� 3���M�7!"�"8 �"4LZ�gi�59:�"!��<;=�;,9

σ0R1 B �����-�V�-�V�"j=��� ���"8 �� ����<;5���M�7!"�"8 � ,E5� ����������� �� �!"�#;,9R� ���#h2�����[�7� �� HZ�gHK B �������

σ k�kl

= 8)��� �4 σ m�m = 2 2 B

C ;= ��<� ���� ,E5� ���6���<�SE,�M)p ] (m,1) = p \ (m,1)* g(m,1) *g(m,1)W#��� !��iE,� ���M� σ n-oo =16

)J�� �4 σ \-] = 4 B �����2���M����8 ���-�I���M�7��NO$�8 �"43�<;3$,��;=��� 4,�6� ���5� �$,���p�<;� ���� ���_��p���<�SE,�#�� �45� ����$,��;,!"�M�[�V�-������$��"���<�"4Rqr s t u v w x = r y t z u v z x�����H���M����8 �V�-�#�3�7�"j=���� �!"�L;,9I�7� E= ��"8-�Q� iW#��� !��iZ�;=� �i� ���L�7��NO$�8 �5�����<�O�� �4P� ���L�7!"�"8 �O9:�"!��<;=�

E=��;=W{� |$�;=W2���7�};,9O1 BI~ �O�"�"!������<�SE,�M)#�� X� ��<���bN3�"4,� ���<�����M����8 �H9:;=�3$&% '( �) *,+L$,��;=��� 4,�M���� �7!"�"8 � ,EO;,9R� ���#� NO$,��8-�7�����M��$�;= ��7� B�����XT��<���"8 E,;=��� � ��N�4,�"9:� ��"4|��Z�;=�����-���"�M�7� 8 g|E,�� ������"8 � �M�"4��<;�1��<��Z�g�����$�8 �"!"� ,E�� ���������� ��Z�8 �6 3W2� � �3_�)�g B �����-�U� �$,�����7� E= ��"8p�-�U!����� ,E,�"4P9<��;=N�$�'( ,+Y;,9>�7� �M�Q���7��NO$�8 �#�<;O$�'(_�) g,+;,9&�7� �M�U�H/ B"a ;=W2�������7)D� ���#h2�����[�7� �� H*����b ��"8��-�Y�7��$�������Z�8 ��q

g(x, y,σ) = e− � � + � ��

σ � = e− � ��

σ � * e− � ��

σ �

Page 6: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

������������ ������ ����� �� ���� � ��� ���������� �������� � � �� "!$#�!%� &"�('��)��� �*��)���&,+�������-.�/�0�,�1���2� �/���3�� ���.4�5�!)6$7�8�9:��� ������ ����� �� ��<;��������=� ���)����>����3?��� ������ ����� �� ���� � � �)@��������1� �� "�2��&"��� ��4�5�!)6��� �-$� ���0�2�/�>��� ��� �'$+�A��2��&"� -,�B�?�� C4�5�!)6���� '����2� � ��& ;

4 E x p e r i m e n t a l c o m p a r i s o n o f f a s t G a u s s i a n f i l t e r s

D�EBF G?H�I1J�KCH�L�I�I�M H�N.O�M P J>Q/R(I

9)� '�� �����S3T� � �����1�0��� �*��$-��/�1� '� ���-C���1� �'���� � �����=�$-�� �2����U5WVYXTZ06[���?�2������1�1� ���$5TX�XTZ06[3T����& ;������-�� �2�����3T����&\�B�0��*������ ���-��/�]�$3T� �� ���^ ���&,*����=��3?�1��&,+�� �/�]��3U� ���$-��/�1� �2��-�� &,+����B�1�^�2�/�>+��� ��1��;�����_�2������1�1� ���`3T����&a�B�"-��/�1� '� ���-b�/�"�_�2����� �b��3^+���� A� ���&"� ���B�"� c� ���_d`-���&"��� �;fe]� ���>���2��� �-����^��� ������ ����� �� g+��2����� -��/���C� ��� �2-_&"��� ����-g3T���h-��/�1� '� �� �'g@��������1� �� `3T� � �����1�i*�A`��/�1���-����� ������ ����� �� �;������,3T��� � ����� �'_�1������ �� _���&,+����2�/�]� ���/�1�$� ���2���)� &,+�� ��&"�� �������� �� �&"��� ����-��03T����"7�8�9j@��������1� �� C3T� � �����k;D�EBFlEBF

m]n�QiGfo1pjM q.r�P Q�q.Q�NJ>H�J>M s�N.s�OUH,KCH�L�I�I�M H�N����� �1� &,+�� �/�>�[&"���� ��h���`� &,+�� ��&"�� ��=��-�� '�� �����?@��������1� �� t3T� � �����^�B�h���t�1��&,+�� �C� ����@��������1� �� 3��� ����� �� u���C� ����('����.&,��� ��� +�� �/�g��3��?v2;]VS���

σ w 7(�h�x�2���/�1�� ���*�� Ay'�����-y��+�+��2��#�� &"����� �� z�B���*������ ���-$���1� �',�0������ �������� -�� �C��3S{$+�� #����B�<;l�����B�f'�� ���/�

G(x) = e|�}<~�

3T���f� ����('����U����� ���/�?��3�#C� )� ���0�2�� �'��0#∈ � 8���l���1;

D�E � �iM N�s�q.M H�P�O�M P J>Q/R(I

�h� ���&"� ����3T� � �����1�=���2����*������ ���-,��� � ����/�1���-���-"��� ������ ����� �� "��3U�i������ ����3T� � �����?���&,+����1��-C��3� 7(�S7��1;l�����h�����3T3T� �� �� ��W�?3T���U� ���0 �� �C3T� � �����f� )� ���^�1���2� �/���l*��>5W&C62�����2�h-���3T� ���-$*�AY�

b � (m) = [1,1]� ��h�����2� � ���g��#�+��� ��� ��$�� b-��� ������/�$ c��������8T��� ������ ����� �� ��<;������g�1���i��3^3T� � �����)�����3T3T� �� �� ��W�,�B������ ���� ����h �/�=� ����*�� ���&"� ���U�1���2� �/�����3����� ���&,+�������-"���1� �'"�U�/�1���� � �=� �2� �� �'�� ��;������B�0�1���2� �/�+��2����� -���� ����*��/�>��5�� ���/�>�f�>��&\��3[�1�������2�/�0�����2���>6=��+�+��2��#�� &"����� �� ������$@��������1� �� .3��� ����� �� "*�A�� "� ����('����?�����3T3T� �� �� ��Y�1�������� ���h��3S3T� �� ���h-����2����� �� �;l�����0+��2��+�������� �/�?��3�� ���0*�� ���&"� ����3T� � �����1����2�)+�������� ���� ���2� Ag���/��A ���_���&,+�������;�VS���i��#���&,+�� �/�Y3T���=� ���$ �� �[*�� ���&"� ���Y*��>5W&C62��� �����2�,���2�$ �����3T3T� �� �� ��W�����h�����1�$�>��&%�B�?� � ;������h&"� -�+���� ��S5����[��� ������[��3U'��2����� � A�6?�B�?� ���������3T3T� �� �� ��W�=���m =

n

2

�� �-$� ���0�����2� �� ���h�B� σ � =n

4

;�����^*�� ���&"� ���Y3T� � �����1�[*���5W&C6�5W��� � �������3T3T� �� �� ��W� � 7(�����7��T6?�� �-,*���5W&C6?5W��� � �������3T3T� �� �� ��W�

� 7(�����������S7��T6����2�h��3U�>+����� ����� ������2�/�>��;l�����0VS�����2� ���U� �2�� ��13T����&���3�*���5W&C6`�B�?�^�1� �'�� �0+����2� ��-��3=�C����1� ��C�� .+�� ����3T����&��� �-�� �����i�B�i�$&"�� ������� �� ,� ����8�+��/���i3T� � �����=��� � �. ����2� +�+�� �/�i� .� ����>����+,*��� �-��

�]�2�ω � = � + �f����� ω( )

Page 7: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

� � ���g� ���t������ �8T���2-����,*�� ���&"� ���B�����2�t��������8T��� ������ ����� �� �����3�� ���B��3T� � �����1�[� ����� �)VS�����2� ���� �2�� ��13T����&��h���2�)+��������1�h��3?�i��5

ω60�� �-�� �����]�������$ ����2� +�+�� �/�i� .� ���C�>����+ *��� �-;������,3T� � �����1�

*���5W&C6x�� �- *���5W&C6 ������� �����2� �� ���/�c��3��; � �� �- 7(�)�2�/�>+������� ����� A�;$�����y3T� � �����x�B�t*���5W&C6������� ����� �� ��h���c*���5W&C6.�g*���5W&C6�;[���������]�

σ w 7_@��������1� �� �3T� � �����C��� c*��`���&,+�������- *�Ac� ������ ������ ����� �� ��0��� � �.� ���$������ ���� � 7(����[7��=���f�,����>�f��3f� ����&,��� ��� +�� � ������ �� ��i�� �-��g��-�-�� ��� �� ��+����U+�� #����W;D�E ��EBF

p)Q���LYR(I�M ��QhO�M P J>Q/R(IZi������1�1� ���`� &,+�� ��&"�� �������� �� ��C��3�@��������1� �� b3T� � �����1�)������� *����� +��2��+����1��-x*�A 9)���2� ���� � 7������ �- *�A�)� � ���W��)���� �'_�� �-��)����*������ � 7�7��1;�?�.&"��� ������ `�>��� 3��?� ������2� �� ���C5����0d/���2�.+����/�1�(62�� ����3T� � �����^�B��� &,+�� ��&"�� �����-`�/������/�1���-��"��3]3T���������2-g�� �- *�����������2-g-�� 3T3T���2�� ���"����������� �� ����� � �)�2����� 8������ ����-,�����3T3T� �� �� ��W��*Y;

����������������v[n] = αx[n]− b � v[n − i]� = �

�∑

���� "!�#� �$�%y[n] = αv[n]− b & y[n + i]& = '

(∑

)+* , -/. α =1+ b 00 = 1

2∑

354 * 4 ,76�896;:<,7* 4�=?> 89@ > 6�8A, BC@�DE896�F�GH8I:I* J�6KDL* M ,76�8I:N*O:P, -�Q�,R, -�6 4 GHSRTU6�8P@�D�@ > 6�89Q�,7* @ 4 :�*O:* 4�V 6 > 6 4�V 6 4 ,W@�DW, -�65J�Q�89* Q 4 F�6X@�DW, -�6XDL* M ,76�8Y.HZ 4 , -�6XDL@�M M @[)+* 4�= )+6+F�@ 4 :I* V 6�8\896�F�GH8I:I* J�6+DL* M ,76�8I:@�DW:I* ];6�^`_WaU.b�c d

egf�h/i f�j�k f�l�f�mnfRo/k pApAq;r�q�l/j�q�s�pWtuf�v/m"m"k f�l/m3wV * DLDL6�896 4 F�65@�DWx+Q�GU:":I* Q 4 :ny{z`@�x5|\*O:\)+* V 6�M B`GU:I6 V Q;:}Q 4 Q >�> 89@[~�* S�Q�,7* @ 4 DL@[8W, -�6g�}Q > M Q�F�* Q 4@�D�Qwx+Q�GU:":I* Q 4 . 3 x+Q�GU:":I* Q 4 M @[)+� > Q;:": > BH89Q�S�* V *O:�, -HGU:�6�Q;:I* M B�GU:I6 V ,7@�F�@[S > GH,76wQ�}Q > M Q�F�* Q 4�> BH89Q�S�* V .��`@[)+6�J�6�8I�U, -�6 > 896�F�*O:I* @ 4 @�D�, -�*O:gQ >�> 89@[~�* S�Q�,7* @ 4 *O:�89Q�896�M B�:<, G V * 6 V .�Z 489Q V * Q�MUDL@[8ASE��, -�6 4 @[8AS�Q�M * ];6 V �}Q > M Q�F�* Q 4 *O:}Q5:I6�F�@ 4�VRV 6�89* J�Q�,7* J�6;� = * J�6 4 THB��

∇ � G(r,σ) =r � − σ �σ � 2π

e− ���{�

σ �

� -�6 V * DLDL6�896 4 F�6�@�D�x+Q�GU:":I* Q 4 :}*O:��

DOG(r,σ �<�<� ) =1

σ � 2πe

−�� ��

σ�

–1

σ �<�<� 2πe

−� � ��

σ � � ��

35>�> 89@[~�* S�Q�,7* 4�= , -�6��}Q > M Q�F�* Q 4 )+* , - Q V * DLDL6�896 4 F�6¡@�D¢x+Q�GU:":I* Q 4 :£896�¤[G�* 896;:£, -�6: > 6�F�* DL* F�Q�,7* @ 4 @�D�, -�6�, )+@ > Q�89Q�S�6�,76�8I: σ ¥ Q 4�V σ ¦L§{¨ .+©�GH8�x+Q�GU:":I* Q 4ª> BH89Q�S�* V?> 89@[J�* V 6;:x+Q�GU:":I* Q 4 :�* 4 :IF�Q�M 6K:<,76 > :I* ];6;:P@�D « :I@¬, -�Q�,

σ ­ = ® σ ¯ ° ± . � @ V 6�,76�8AS�* 4 6�, -�6 σ @�Du, -�6F�@[8A896;: > @ 4�V * 4�= �}Q > M Q�F�* Q 4 ��)+65)�89@[,76XQ`:I* S > M 6`:IF�89* > ,W:I6�Q�89F�-EDL@[8\, -�6�J�Q�M G�6+@�D σ DL@[8\)�-�* F�-, -�6N:<GHS¡@�D`:I¤[G�Q�896;:u@�D�, -�6 V * DLDL6�896 4 F�6P*O:`S�* 4 * S�* ];6 V . � -�6S�* 4 * SRGHS�6�8A89@[8R6 4 6�8 = B�)+Q;:

Page 8: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

@[T�,7Q�* 4 6 V )�-�6 4 σ � � � _��;.���� σ ¦L§{¨ .��* = GH8965a�:<-�@[)X:`, -�6 V * DLDL6�896 4 F�6TU6�, )+6�6 4 Q�}Q > M Q�F�* Q 4 * 489Q V * Q�MUDL@[8AS Q 4�V Q V * DLDL6�896 4 F�6�@�D�x+Q�GU:":I* Q 4 : .

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8binomial DOGDOGreal laplacian

�� ������������������� ��! "#��$�"%��&'��()�)*�+%� ��* �),)! � $�-.( �#"0/�"1��()�)*�23��45� $�6�7�! $����8! �)*�23��49&����σ : ; < = = � $�6

σ > = ? σ @ A B � $�6σ C D E = F G H

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

level of the pyramid

% o

f err

or

error Laplacian−binomial DOGerror Laplacian−real DOG

I%J K�L�M)NPO'Q.RS-.�)* /�� T ! ��$8��&��),), /����), U���&�� ��������V.! �8� T ! ��$8��&��+%� ��* �),)! � $�W�! T X8�7�! $����8! �)*�23��4�Y

Z�[]\_^ `�a�bdcfehg8ikjml'npo�l�qsr'a�t�c�uwvx^ t y{z�^ [hl�q|^ i�}~o�l'c�����^ o�^ c�[�t0��i�[hu]i�jml'npo�l�qsr'a�t�c�ua�� ^ ['`�i�[�\%Z���nxi�a���� ^ i�[�i�bdcmo�l�qsr�i�bdc�u|t�l�ixt b#ahcx��i�r�} i�o�^ i�[S�h�yhcx\%Z��]jml'n�u'c�q|l�[���t bdi�t�c��i~o�l�[���t�i�[�t�c�b#bdl�b�l'�i�r'r'bdl��h^ q|i�t�c�} ���1� e���i�t_i�} }%� o�i�} c������yhcf�f^ [hl�q|^ i�}�jml'n���t�i�b#t0��vx^ t y�i�[c�b#bdl�b�l'�f��e���z'a�t%bdi�r�^ u'} ��u'c�� o�c�[huh��t�l�q|i�t�o�y|t yhc~�1� e���c�b#bdl�b�l'��t yhc8\%Z��]^ qsr�} c�q|c�[�t�i�t�^ l�[z��mt yhc3t yh^ bdus^ q|i�`'cfl'�St yhc3r���bdi�q|^ u1�

�yhc~z�^ [hl�q|^ i�}%r���bdi�q|^ u�z�i�� c�u�l�[�t yhcx�mc�b#[hc�}_��^ } t�c�b8� ��gh 1g1ehgh 1g���¡Pr'bdl�¢h^ u'c���t yhcm��i���t�c���t^ qsr�} c�q|c�[�t�i�t�^ l�[�l'��t yhc£q|c�t yhl'uh�¤t�c���t�c�u1�8�yhcwc���r�c�bd^ q|c�[�t0�5^ [hu'^ o�i�t�c£t yhi�t�t yh^¥�¤q|c�t yhl'ur'bdl�¢h^ u'c�����ah����^ o�^ c�[�t�} ��i�o�o�a�bdi�t�cfi�r'r'bdl��h^ q|i�t�^ l�[���l�bPi3��i�r�} i�o�^ i�[S�

5 C o m p a r i s o n o f s c a l e i n v a r i a n c e �yhc�� o�i�} c|^ [�¢hi�bd^ i�[ho�c|l'��t yhc�^ qsr'ah}¥� cmbdc���r�l�[�� c���l�b�imr���bdi�q|^ u�vx^ t y

σ ¦0§ �xvxi��fc�¢hi�} ahi�t�c�ul�[�i�[�^ q|i�`'cxvfyhc�bdcxt yhcmo�c�[�t bdi�}Sr�^ �hc�}Syhi��3ix¢hi�} ahcml'�f��¨'¨�i�[hu�i�} }%l�t yhc�b ��r�^ �hc�}¥��i�bdcm� c�t%t�l© c�bdl1��nxi�a���� ^ i�[�ªS��bdi�q|^ uh�Pvx^ t y

σ ¦0§ ��vxc�bdc8o�l�qsr'a�t�c�uma�� ^ ['`mt yhc�t y�bdc�c8��^ } t�c�bq|c�t yhl'uh��«.\%Z��¬�­ §_®�¯ g���c�o�a�b � ^ ¢hc ¬�­ §�°�¯ i�[hu{�f^ [hl�q|^ i�}0���vxl{jml'n±^ q|i�`'c���vxc�bdc²o�l�qsr'a�t�c�u]i�tsc�i�o�y} c�¢hc�}�«

Page 9: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

d ��� (i, j,k) = p� (i, j,k) − p � (i, j,k)

d ��� (i,j,k) = p � (i,j,k) − p� (i, j,k)� } }_t y�bdc�cs��^ } t�c�b ��c���yh^ z�^ t�c�u�bdi�r�^ u�o�l�[�¢hc�b�`'c�[ho�c~t�l�i�� o�i�} c���^ [�¢hi�bd^ i�[�tP^ qsr'ah}¥� c~bdc���r�l�[�� c��

\_l�b�c��hi�qsr�} c�g�t yhc9r�c�bdo�c�[�t�i�`'c�l'�so�yhi�['`'c5��l�bst yhc5o�c�[�t�c�bsr�^ �hc�}fi�tx} c�¢hc�}¥�� § ��g 1g �hg  {i�bdc��yhl�vf[²��l�bmu ¦�� ¬ ^¥g �g � ¯ i�[huku � � ¬ ^¥g �g � ¯ ^ [�\_^ `�a�bdc��1��yhc�� c�i�bdc�bdc�r'bdc�� c�[�t�i�t�^ ¢hc�l'�3t yhc�c�b#bdl�b �l�z1� c�b#¢hc�u i�txl�t yhc�bsr�^ �hc�}3r�lh� ^ t�^ l�[������f[hc5o�i�[£[hl�t�c¤t yhi�tft yhc5^ [�¢hi�bd^ i�[ho�c9c�b#bdl�b���l�b�u ¦�� ^¥�vx^ t yh^ [{�������yhc9z�^ [hl�q|^ i�}¥g�t yhc9bdc�o�a�b � ^ ¢hc�i�[hu£t yhc9\%Z�����^ } t�c�b�^ qsr�} c�q|c�[�t�i�t�^ l�[���bdi�r�^ u'} �o�l�[�¢hc�b�`'c�u~t�lsc���t bdc�q|c�} �|��q|i�} }�c�b#bdl�b � ¬ } c����t yhi�[�¨1� ¨'¨'¨���� ¯ ��yhc~r�c�bdo�c�[�t�i�`'csc�b#bdl�b3��l�b3u � � ¬ ^¥g �g � ¯ i�bdc~vx^ t yh^ [²����vx^ t y�t yhcs� i�q|cxbdi�r�^ u�o�l�[�¢hc�b�`'c�[ho�c���yhcm^ qsr'bdl�¢hc�q|c�[�t^ [�c�b#bdl�b�bdi�t�c��3^¥��r'bd^ q|i�bd^ } ��u�ahcxt�l|t yhcmc���t bdis��q|l'l�t yh^ ['`|r'bdl�¢h^ u'c�u|z���i} i�b�`'c�b�bdi�t�^ l]l'�

σt�l � i�qsr�} c�bdi�t�c�g3vfyh^ o�y{bdc���ah} t0��^ [ } c�����c�b#bdl�b�u�ahc5t�l]� i�qsr�} ^ ['`1���yhc

c���r�c�bd^ q|c�[�t0��i�}¥� l�¢hi�} ^ u'i�t�csl�a�b3o�yhl'^ o�csl'�σ ¦0§ ��� ¨���l�b3l�a�b�r���bdi�q|^ u�z��¤��yhl�vx^ ['`�t yhi�tP��aho�y

r���bdi�q|^ u~r'bdl�¢h^ u'c��bdc�i�� l�[hi�z�} ��i�o�o�a�bdi�t�c8� o�i�} cf^ [�¢hi�bd^ i�[ho�c��

1 2 3 4 5−1.0%

0.0%

1.0%

2.0%

FIRRecursiveBinomial

\_^ `�a�bdc��'i���o�i�} cf^ [�¢hi�bd^ i�[ho�cfl'�_u ¦�� ¬ ^¥g �g � ¯ ��l�b�\%Z��fg.��c�o�a�b � ^ ¢hcfi�[hu~�f^ [hl�q|^ i�}'��i�r�} i�o�^ i�[��

1 2 3 4 5−0.5%

0.0%

0.5%

1.0%

FIRRecursiveBinomial

��! ��/���(���7���,)�)* (�! $�-.� ��! � $�,)(���&�6�� � ��! ! "#! $&%�&����'�)(�*�!+*�(), /��#"#! -.(�� $�6-,�! $����8! �)*�+%� ��* �),)! � $�"��i�z�} c9�xbdc�o�i�r�^ t ah} i�t�c��3t yhcmr'bdc�¢h^ l�a��3bdc���ah} t0�f^ [�l�r�c�bdi�t�^ l�[���r�c�b�r�^ �hc�}���l�b3��^ } t�c�b �3` ¦ i�[hu�` �vx^ t y�t yhcf\%Z�� ¬�­ §_®�¯ g�t yhcfz�^ [hl�q|^ i�}� ��g�1g��¡i�[hu.�bdc�o�a�b � ^ ¢hc8��^ } t�c�b � ¬�­ § ��i�[hu ­ §�°�¯ ���yh^¥���yhl�v~��t yhi�t�imr���bdi�q|^ u�o�l�qsr'a�t�c�u�a�� ^ ['`�t yhcmz�^ [hl�q|^ i�}��^ } t�c�b�yhi��fi�} l�vxc�b�o�lh��tt yhi�[¤c�^ t yhc�bt yhc3bdc�o�a�b � ^ ¢hcf��^ } t�c�bPl�b�t yhcfu'^ bdc�o�t�\%Z��w��^ } t�c�b)�

\_^ } t�c�b \%Z�� ­ §_® �f^ [hl�q|^ i�} Z#Z�� ­ § � Z#Z�� ­ §�°` ¦ ¬ [ ¯ 36 ��e 0/  ' 

` � ¬ [ ¯ �1 �1 0/  ' ` ¦ ¬ [ ¯ ∗ ` � ¬ [ ¯ 1 0 8

 0/ ° e /2/��i�z�} c|����3�l�qsr'a�t�i�t�^ l�[hi�}�o�lh��t ¬ �'t�i�[hu'i�bdu4�fr1� ¯ r�c�b�r�^ �hc�}���l�bPu'^ ����c�bdc�[�tS��^ } t�c�b�t ��r�c����

Page 10: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

6 D e t e r m i n i n g I n t r i n s i c s c a l e jmc�t�c�b#q|^ [h^ ['` o�yhi�bdi�o�t�c�bd^¥��t�^ o�� o�i�} c¤bdc���ah^ bdc��|o�l�qsr�i�bd^¥� l�[ l'�8��i�r�} i�o�^ i�[²¢hi�} ahc��|i�} l�['`kt yhc� o�i�} c i��h^¥�����ml�vxc�¢hc�b g5z�c�o�i�a�� c t yhc r���bdi�q|^ u ^¥��o�l�qsr'a�t�c�u l�[ bdc�� i�qsr�} c�u ^ q|i�`'c���g��i�r�} i�o�^ i�[ ¢hi�} ahc��{i�bdc�[hl�t5u'^ bdc�o�t�} � i�¢hi�^ } i�z�} c�i�t¤q|lh��t¤r�^ �hc�}¥���|�yhc�� c�� i�qsr�} c��£vxc�bdcc�} ^ q|^ [hi�t�c�u]vx^ t y q|^ [h^ q|i�}s} lh���9l'��^ [h��l�b#q|i�t�^ l�[�u�ahckt�l���q|l'l�t yh^ ['`1���y�a���t yhc���o�i�[]z�cbdc�o�l�¢hc�bdc�u~t y�bdl�a'`�ymz�^ ��} ^ [hc�i�bP^ [�t�c�b#r�l'} i�t�^ l�[S�

�'a�r'r�lh� ckt yhi�tmvxc � c�c �{t yhc�¢hi�} ahc²i�t~r�^ �hc�}~^¥g 9i�ts} c�¢hc�} ��gfi�[huwt yhi�t~t yh^¥��r�^ �hc�}~��i�} }¥�z�c�t vxc�c�[mr�^ �hc�}¥����� ���� �xi�[hu���� � ���� �'� ­ l�t�c3t yhi�tS��� § � ^¥�t yhc8� i�qsr�} c3bdi�t�cfi�tS} c�¢hc�}2�S�.nx^ ¢hc�[

T

kjipkjipac

T

kjipkjipb

T

kjipkjipa

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

����

����

����

−+=

−=

−=

� ����� �����! #"%$'& (!����)+*�(�& ,���(!�%"%� -���&%�.0/1�2),,())(()()(),,( 334444 kjipjjiicjjbiiakjip +−−+−+−=

5'67 8:9';=<?>A@�B C?DFE�G?H�IJH'EJ@�KLIJB MN@�B E�M0E�H'O KP �!�Q,%2� R��ST�! 1��$�� ���F)'� STST�! R�!��U��F$'SWV:(!,%202N� (!�X� YZ(J['�L2\(!����(�U!�X& �!*���&?]X(L2\& ^`_=ST$� �)'a0bc(!��)

& ^�deST$� f)cb gNhjik�lU�(!�m)'��ST� ���l(!�m� �����J['�! f2NU�(�& �l� ��)'�!-n�'^?o']'p`&�h�q`$� r(s� t�"%� U�(�&Zu'vT& �!*���&"�t� R(!YZ� )�.w�x #,��%2yS� R$�Yz_+��$�d'dLh�{F2N� �'[+� ���2y� ��)'�!-|(L2y(�S� R���\*�(! R� (!}%& �L.w� ��� P (!"%& (�U�� (!�x"' R$'ST� & �L.(!�A"%� -���&A~#�. /0���2�� ���:2N�! R� �L2y$'S`� �����! #"%$'& (!����) P (!"%& (�U�� (!�x*�(�& ,��L20.w� ����)'~��'��)'�!���! #YZ� ����)FST$� ���(�U!�"%� -���&?�. /Jh�������"%��(!]�� �|� ���2y"' R$'ST� & �:�21����,�� *�(! R� (!���A�:� � ��2NU�(�& ��hwik�� R��ST�! ���$x� ���:2NU�(�& �j$'Sc� ���2"%��(!]|(L2�� ����U!��(! R(�U!���! R�2���� Uj2NU�(�& ��$'S?� ���j2N� [���(�&%(!�%� ��(!�?� YZ(J['�\"%$�2N� ��� $��?h�����|"' R��U��2N� $��r$'S1� ���ZU!��(! R(�U!���! R�2���� U�2NU�(�& �ZU�(!��}%�Z� YF"' R$�*���)X}�t�� �����! #"%$'& (!��� $���,%2N� �'[�(

"%(! R(!}%$'& (:ST$� �� ����� �� R���+2N(!YF"%& �L21U�& $�2N�L2��?��$F� ����"%��(!]?h P �!�)( �nd}%�:(:& $'U�(�&%"%��(!]�� �Z)'~��'�0h

������� �����! #"%$'& (!����)F�!-�� R�!YF,�Yz�2

σ �A�� = n � +1+d(n � −1)− d(n � +1)

2(d(n � −1)+ d(n � +1)− 2d(n � )� ,�& ��� "%& ��U!��(! R(�U!���! R�2���� U�2NU�(�& �L2FU�$� # R�L2�"%$���)r��$�U�$���U��!��� R� U="%(!� ���! #�%2F� ��(!��� YZ(J['��h��������(�& STvT$'U!��(!*��:"�t� R(!YZ� )=& � YZ� ��2\)'�2NU! R� YZ� ��(!��� $��X$'Sy2�,�U!�Z"%(!� ���! #�%2W��$�U�$���U��!��� R� Ux2NU�(�& �+U!��(!�'['�L2$'S�"%$��:�! N2�$'S�och%�����2��2\(xS�,���)'(!YZ�!����(�&`& � YZ� ��(!��� $��X)�,��:��$X2N(!YF"%& � �'[X2NU�(�& �x(!�`YF,�& ��� "%& �L2\$'S2h�q`$� #� ,���(!����& t|)'�!�%2N�! �U�$���U��!��� R� Uj2NU�(�& �L2����!��)+��$+}%�\ R(! R��� �x R��(�&%� YZ(J['�L2�h

�����jST$'& & $��:� �'[F[� R(!"'�Z~�q`� [�,� R�+�w�y2���$��+2W(!�Z�!-�(!YF"%& �j$'S P (!"%& (�U�� (!�F*�(�& ,��L2y(L2y(�S�,���U!��� $��$'S�� ���FU!��(! R(�U!���! R�2���� U|2NU�(�& �F$���(�d�o%vT& �!*���&c"�t� R(!YZ� )X~#��h ��h .?uX2���(J['�L2R�0h������x�!-�� R�!YF,�Y�$'S�� ���U!,� #*��:� ��ST� [�,� R�:�Z�21& $'U�(!����)Z(! R$�,���)Z(:U!��(! R(�U!���! R�2���� U+2NU�(�& �:$'S�d!_F"%� -���&2�h������:� �����! #"%$'& (!����)U!,� #*����2W2���$����|(L2y(�)'(L2�����)F& � ����$��x� ���2yST� [�,� R��h

Page 11: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

20 40 60 80−90 −80 −70 −60 −50

−40−30−20−10

010

lapl

acia

n va

lues

laplacian profileparabola to locate the max

CHARACTERISTIC SCALE AT THE EXTREMUM

q`� [�,� R�:��h��T�����! #"%$'& (!��� $��|$'S?� ��� P (!"%& (�U�� (!�x"' R$'ST� & �5'6 �

�\MN@�B ;=H�@�B C?DFM0B �wK���IJ9'; B CA@RIJB C?M0B E�M0E�H'O K�y$��!*�(�& ,�(!���F� ���|(!}%� & � � t�$'S1� ��� R� �%2N� UZ2NU�(�& �x��$= R��U�$�*��! �2N� �L�L.A�:�|U�$��%2�� #,�U!����)�(!��� YZ(J['�Z2N�!�U�$�����(�� ��� �'[�,���� ST$� #Y )'�2�]%2+$'S� R(�)'� ,%2+S� R$�Y dF��$ld!_'_�"%� -���&2�h�W(�U!�f� YZ(J['�Z�:(L2j"' R$'U��L202N��)�:� � �e(�}%� ��$�YZ� (�&\"�t� R(!YZ� )�.1(!��)�� ����"' R$'ST� & ��$'S P (!"%& (�U�� (!��*�(�& ,��L2F�:(L2ZU�$�YF"',�����) (!��� ���U��!�����! j$'S1� ����U�� RU�& ��hc�����2�"' R$'ST� & �|�:(L2:� �����! #"%$'& (!����)X,%2N� �'[X"%(! R(!}%$'& � UZ� �����! #"%$'& (!��� $��?h������� �����! #"%$'& (!����)|*�(�& ,��L2�$'SQ� ��� P (!"%& (�U�� (!�=(!�Q��(�U!�=�!-�� R�!YF,�Y (! R�+U�$�YF"%(! R��)�� �Zq`� [�,� R�+�|��$�(!�� )'��(�&`2�� R(�� [����Q& � ����h'�����+U�$��%2���(!��U�t=$'SQ� ���L2N�:U!,� #*��L21S�,� #� ���! WU�$���ST� #Y�2y� ���+2NU�(�& �:� ��*�(! R� (!��U��$'S?� ���\"�t� R(!YZ� )Ah

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

char

acte

ristic

sca

le characteristic scale computed straight−line fit

radius of the circle�� ������������������ ��� �!"�$#%� �$ ����'&�(*)����$)��$#%���$+ �$#%� ,-+ � ��,.����� �0/1�2,3�2,-+ � 4��$+ ��56�$+�+ )������$ �+ �$#�7�� 8"���9;:<#�=?>�>� 4��?@��2,���:< �+ ��� �� "@0�����$)���:< �+ ��� �� "@05�� ,-A�,�:'9�#%��5�� B�,9 #%:<4C=D+ :E=?>�>17�� 8"��� ,GF

7 I n v a r i a n c e t o r o t a t i o n q`� [�,� R� d!_�)'�!YZ$��%2�� R(!���L2+� ����� ��*�(! R� (!��U��=��$r R$���(!��� $���$'S\� ���XU!��(! R(�U!���! R�2���� U�2NU�(�& �L2�hH�T�

� ���2��!-�"%�! R� YZ�!����.\� ����U!��(! R(�U!���! R�2���� U 2NU�(�& �f�:(L2XU�$�YF"',�����)l(!�x�!*��! Tte"%� -���&:$'S|(!�k� YZ(J['�U�$�����(�� ��� �'[�(EIx� R(�UZ� YF"',�&2N��h������F R�L2�,�& ��� �'[�� YZ(J['�|$'S1U!��(! R(�U!���! R�2���� UZ2NU�(�& �L20.c�!��U�$')'��)�(L2[� R(�tX& �!*���&20.A�2\)'�2�"%& (�t���)Z��$�['�!� ���! W�:� � �X(F2N�!��$'Sy& �!*���&`U!,� #*��L2�h�JF$����:� ���F2N& � [����Q)'�!*�� (!��� $��%2S� R$�Y "%�! RST��U!�% R(�)'� (�&A2#t�YFYZ�!� Tt?h

Page 12: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

�� ������������ � :<+ �$+ � :< ���� � �!"�$#%� �$ ���� :'9�� �+ #%� �,.� �������� �

8 S y n t h e s i s o f N o r m a l i z e d R e c e p t i v e F i e l d s � ��U��!"'��� *��XST� ��& )�2x(!�\U�(!��$���� U�(�&1~� R$�� (!��)rU�$'& ,�YF�'�j)'� R��U!��� $��%2+U�(!��}%�=)'� R��U!��& tfU�$�YF"',�����)S� R$�Y )'� STST�! R�!��U��L2j$'S�(�)�/�(�U��!����"%� -���&2j(!�W& �!*���&�$'Sy� ���x}%� ��$�YZ� (�&`"�t� R(!YZ� )Ah�',�U!��)'�! R� *�(!��� *��ST� & ���! N2=(! R�fU�& $�2N�f(!"'"' R$�-�� YZ(!��� $��%2Z��$eV:(!,%202N� (!�l)'�! R� *�(!��� *��L2=(!�j� ���f2N(!YZ�f2NU�(�& ��h �T� � ���22N��U!��� $��X�:�|�!-�"%& (�� �X��$��m��$XU�(�& U!,�& (!���|2�,�U!�= R��U��!"'��� *��FST� ��& )�2�S� R$�Y � ���+}%� ��$�YZ� (�&c"�t� R(!YZ� )�.��$��z��$�2������! \� ���F R��U��!"'��� *��ZST� ��& )�2���$X� ���Z� ��� R� �%2N� UZ$� R� �!����(!��� $��%.`(!��)�)'�!YZ$��%2�� R(!���x� ��(!��� ���� YF"',�&2N�\ R�L2�"%$��%2N�\��(L2y(j2NU�(�& ��� ��*�(! R� (!��U��\� ��(!�?�2W2N� YZ� & (! Q��$+� ���\*�(�& ,���)'�!YZ$��%2�� R(!����)F(!}%$�*��ST$� Q� ���\}%� ��$�YZ� (�&%ST� & ���! N2�hq`$� ���(�U!��� YZ(J['�F"%$'� ���W� ��(Z& $�['$�$� �� �R.c(|& $'U�(�&�ST��(!� ,� R�x*���U!��$� �U�(!�X}%�x"' R$')�,�U���)=}�t

,%2N� �'[=� ���x}%� ��$�YZ� (�&`"�t� R(!YZ� )=��$�U�$�YF"',����|(x*���U!��$� �$'S1�XU!�� R$�YZ(!��� U+ R��U��!"'��� *��FST� ��& )�2 �Nd�o��Nh�����2�*���U!��$� \U�(!�=}%�FU�$�YF"',�����)X� ��(+YZ(!�����! W� ��(!���21��$� #YZ(�& � �L��)Z��$Z� ���x� ��� R� �%2N� UF2NU�(�& �x(!��)$� R� �!����(!��� $��e(!��� ��(!��"%$'� ���#h��',�U!����$� #YZ(�& � �L(!��� $���"' R$�*�� )'�L2Z(�*���U!��$� |ST$� x R$�}',%2���YZ(!��U!��� �'[� ��*�(! R� (!���%��$+� R(!�%2NST$� #YZ(!��� $��%2W2NU�(�& ��(!��)F$� R� �!����(!��� $��?h������ R��U��!"'��� *���ST� ��& )+*���U!��$� ��2�}%(L2N��)F$��|U�$�YF"',���� �'[+� ���\"' R$')�,�U!�%�:� � �|(\*���U!��$� �$'S`� YZ(J['�

)'� STST�! R�!��U��L2�� � � ���e R$�� (!��) U�$'& ,�YF�m)'� R��U!��� $��%2f$'S=� ���l& ,�YZ� ��(!��U��l(!��) U!�� R$�YZ� ��(!��U��� YZ(J['�L2�hw������& ,�YZ� ��(!��U���~ P ��(!��)FU!�� R$�YZ� ��(!��U���~��:b .��1gT��� YZ(J['�L2yU�(!�x}%��$�}'��(�� ����)+}�t

P ^ � p`Vjp��j.����=�� ��� − �� "! =

#$ % & + ' − (")*,+.- /103254768/9- :<;82=- :<6>;@? ACB7DE2 F<6G/9ACHIAC/KJ@A7? L�MGBN47- /96@J82=- ACBN-�0OACP72=;@- B<6@4EP�QNJ@ACB�:<A7? L�2=- ACBRHS- 2 F

2 F<6SMT;U03VXW1Y[Z]\<Z7^_Y8`"- B>2 F<;82a47- /96@J82=- ACB�b>cdAC/"e�A<01- 2=- ACBEfhg�Z7Q7i5;82a01;8MGe�? 6@4je�Q�/9;8MT- 4>- MT;[D76OV�Z2 F<-�0_-�0_6@kCL<- :<;@? 68B�2�2=AGJ@ACMGe7L�2=- B7D 2 F<6K47- +.+.68/968B<J@6U0_A7+d;@4mlm;@J@68B�2�e�- g<6@?�0

naoqp rts[u<s�vhw>xynKp rSzE{@s[u<s�vhw�z|nKp r�}5{@s[u<s�vhwn~8p rts[u<s�vhw>xynKp rts[ujzE{@s�vhw�z|nKp rts[ua}5{@s�vhw

� F<6E016@J@ACB<4X47- +.+.68/968B<J@6y-�0 J@ACMGe7L�2=6@4�P�Q�;>J@ACB�:<A7? L�2=- ACBXA7+52 F<6jMT;U03V�W1Y[Z�^<�]Z�Y8`1b]cdAC/�2 F<6/9ACH 0_;8B<4GJ@A7? L�MGB�0_;82�e�Q�/9;8MT- 4G? 68:<6@?7V�Zt2 F<-�0_-�0_6@kCL<- :<;@? 68B�2�2=A]b

���h�8� �<�C����������T� �>���U�C����������T� �����U�C������G�X�_� �T� �<�C������

Page 13: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

n~�~8p rts[u<s�vhw>xynKp rts[ujzE{@s�vhwj}RnKp rts[uN}�{@s�vhw�z���� nKp rts[u<s�vhw� F<6�MT- g<6@4G4768/9- :<;82=- :<6K-�0

nao ~8p rts u<s vhw>xynKp rtz{@s u]vhwj}RnKp r�}5{@s u<s vhwj}RnKp rts u<z{@s vhwj}RnKp rts ua}5{@s vw[z���� nKp rts u<s vhw� MT;[D76K47- +.+.68/968B<J@6U0_J@ACMGe7L�2=6@4GAC:<68/�2 F<6�"Z� � Z�;8B<4����- MT;[D76U0_J@ACMGe�A<016�2 F<6�:<6@J82=AC/mb

),,,,,,,,,,,( ������ ���������������������������PPPPPPPPPPPPP =

r

� F<-�0a:<6@J82=AC/aD7- :<6U0_;8B|L�B��.AC/9- 68B�2=6@4G+.6@;82 L�/96�:<6@J82=AC/ ;82�6@;@J8F�e�A7- B�2�6@kCL<- :<;@? 68B�2�2=A>=< ),(),( yxpGP σ

rr

HKF<68/96),,,,,,,,,,,( ������ ���������� ��� ��� ��� � �

GGGGGGGGGGGGG =r

-�0a2 F<6�:<6@J82=AC/ A7+"!S;8L�0q01- ;8Bj4768/9- :<;82=- :<6U0_;82�2 F<6K- B�2 /9- B�01- JO01J@;@? 6Cb� F<6 47- +.+.68/968B<J@6U0�- B /9ACH ;8B<4 J@A7? L�MGBI47- /96@J82=- ACB�0�J@;8B P�6 032=6@68/96@4 2=A 2 F<6 - B�2 /9- B�01- J

AC/9- 68B�2=;82=- ACB�ZθZ|;82Te�- g<6@?Tfhg�ZOQ7iRL�01- B7D 2 F<6 032=6@68/9;8P�? 6 +.- ? 2=68/X+.AC/�MGL<? ;U0�A7+yc�/96@68MT;8B ;8B<4

* 476@?�0168BEW1Y$#7`&%')(_xynao+*-,/.@p θwj}Rn~+.10 2�p θw

'�3�xynao�o+*-,/.@p θw3 }Rnao ~�*-,/.@p θw4.10 2�p θwj}Rn~+.10 2�p θw

3HKF<68/96�2 F<6K- B�2 /9- B�01- JKAC/9- 68B�2=;82=- ACBj+.AC/ 6@;@J8F|e�- g<6@?�-�0ae7/9AC:<- 476@4 P�Q5%

θ = 6�718 − 9�: ; <;>=?

@BA�C�DFEGC-C$HIC-JLK M>N-O-K+PQC-O$E R�HIC�S�C-N$EGMTH4PQMTH4K R�UWV X�O$X�N-CWO$X�JYN$A�HIMTUWV X�O$X�N-C�O$EBE A�C�V X�E HIV XZD[V NWD[N-O-K CO$X�J�MTHIV C$X�EGO$EGV MTX\N-O$X^]ZC_4HIV E EGC$X�O`D

),,,,,,,,(),( aaabbb cdcdcd eeeeeefffVVVVVVVVVyxV =

r

_4A�C$HICgE A�ChDFR�]�D[N$HIV i>E5jYHIC$i>HIC`D[C$X�E�DkOlPQV H[DFEmJ>C$HIV S�O$EGV S�CnO$X�JoE A�ClDFR�]�D[N$HIV i>E4pqHIC$i>HIC`D[C$X�E�D�OD[C-N-MTX�J�J>C$HIV S�O$EGV S�Cr"V sTR�HIChj>j$OkO$X�Jtj>ju]oDFA�MT_vE A�CkV U�i>R�K�D[CWHIC`DFiZMTXZD[CkMT]>EGO-V X�C-JnPGHIMTUwDFR�N$AnO�N-O-K N$R�K O$EGV MTX)x

yzA�V EGC{iZV |�C-K�D}HIC$i>HIC`D[C$X�EoiZM�D[V EGV S�C{S�O-K R�C`D~O$X�J�i>R�H�iZK C�X�C1s>O$EGV S�C�S�O-K R�C`D�x���D[C-N-MTX�JJ>C$HIV S�O$EGV S�C N-O$X�]ZC MT]>EGO-V X�C-JWPGHIMTUvO N-MTX�S�M>K R�EGV MTX�M>P��[j1�T��p��Bj$�[x^r"V sTR�HIC�j>j$N�O$X�Jgj>j$JWDFA�MT_C$|�O$U�iZK C`DkM>PmE A�CgHIC`DFR�K EGV X>szV U�i>R�K�D[CLHIC`DFiZMTXZD[CTxv@BA�CLUWV |�C-JqV U�i>R�K�D[CLHIC`DFiZMTXZD[C`D�N-O$X�]ZCMT]>EGO-V X�C-JW]��5N-MTX�S�M>K S�V X>sWE A�C HIMT_\J>V HIC-N$EGV MTXZD�_ V E An�[j1�����>��j$��PQM>K K MT_ C-JW]��5N-MTX�S�M>K S�V X>s�E A�CN-M>K R�U�X�J>V HIC-N$EGV MTXZD5_ V E A�E A�V�DLPQV K EGC$Hux�r"V sTR�HIC~j>j$CqDFA�MT_mDYO$X}C$|�O$U�iZK CoM>P�E A�ClHIC`DFR�K EGV X>sV U�i>R�K�D[CWHIC`DFiZMTXZD[CTxB����X�E A�C$EGV NkPQV K EGC$H[DmO$E�O$XT�lJ>C`D[V HIC-JnO$X>s>K CkN-O$XL]ZC�N-MTU�i>R�EGC-JgPGHIMTU�E A�C`D[CPQV K EGC$H[DBRZD[V X>s�O_ C-V sTA�EGC-J�DFR�U�M>P)E A�C4J>C$HIV S�O$EGV S�C`D�x

Page 14: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

O���������|Z� ��� ]�������|Z� ��� N������ ����|Z� ��� J����� ���|Z� ��� C����������|Z� ������ ����� ��������������� "!���# $%��� ��$&!�'�(�$%��$*)�'���� �,+,��!�- � ./�0)�� �,# 1/$2+,'� "!���- �,1�) � '� 3- ����!�4�� 5� 6� 1"5�-�# ��./�,#/7��

84C-N-O$RZD[CkE A�CLD[O$U�iZK C-JhV U�i>R�K�D[CkHIC`DFiZMTXZD[C5M>PE A�C�i���HIO$UWV JlV�D E A�CYD[O$UWC5O$EC$S�C$HQ�hK C$S�C-K��]ZC���MTX�JLE A�CkPQV H[DFE9�I�"E A�CkV U�i>R�K�D[CWHIC`DFiZMTXZD[C`DmM>P�E A�C�J>C$HIV S�O$EGV S�C`D O$HIC�O-K�D[MgC;:TR�V S�O-K C$X�E�O$E�O-K KK C$S�C-K�D�x��^DW_ V E A�E A�C=<�O$iZK O-N-V O$XZ��E A�C`D[CnJ>C$HIV S�O$EGV S�CnV U�i>R�K�D[CLHIC`DFiZMTXZD[C`D�O$HIC?>&C;:TR�V S�O$HIV O$X�E%>_ V E AnD[N-O-K CTxZ�^D�OWJ>C$UWMTXZDFE HIO$EGV MTXgM>P�E A�CWV X�S�O$HIV O$X�N-CWM>P�E A�CWV U�i>R�K�D[C�HIC`DFiZMTXZD[C`�lr"V sTR�HICgjupDFA�MT_mD�E A�C V U�i>R�K�D[C4HIC`DFiZMTXZD[C`D�PGHIMTUvPQV K EGC$H�������V��,@���A��+O$X�JB��� ����V��,@���A��+N-MTU�i>R�EGC-J�O$E�E A�C�PQV H[DFEV UWO1s>C^V X5C-O-N$A5M>PBE A�C�DFEGO1s>C`DM>PBE A�C ]ZV X�MTUWV O-K)i���HIO$UWV J�x�@BA�O$EBV�D&��E A�C`D[C^V U�i>R�K�D[C HIC`DFiZMTXZD[C`DO$HIC

CEDGF&H I�J�I�K&LNMPOGQ2R;I&S;I&R�TVU�WYXZF&H I�J�I�K&L

CED9DGF&H I�J�I�K&LNMPO;R;I�Q[�I2R�TVU�W]\%F&H I�J�I�K&LPQMTH�A_^z��� j1�"p���`��ba���cZx*dQE�N-O$XL]ZCkD[C-C$XnPGHIMTU�PQV sTR�HICljupgE A�O$E�O-PGEGC$H E A�C�PQV H[DFE�K C$S�C-K�M>P�E A�Ci���HIO$UWV J��/E A�C4V U�i>R�K�D[CHIC`DFiZMTXZD[C4V�D�V X�S�O$HIV O$X�EZEGM�D[N-O-K CTx

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

pixel localisation

valu

e

g00

g10

g20

g30

g40

g50

O����ZN-O-K C4V X�S�O$HIV O$X�N-C4PQMTH0����e ��|Z� �Z� A�� −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

pixel localisation

valu

e

g00

g10

g20

g30

g40

g50

]���ZN-O-K C4V X�S�O$HIV O$X�N-C4M>Pb��� ��f ��|Z� �Z� A��r"V sTR�HIC jup�xhg�MTU�iZO$HIV�D[MTX�M>PzV U�i>R�K�D[C�HIC`DFiZMTXZD[C{PQMTH�PQV H[DFEoO$X�J D[C-N-MTX�Ji� O$RZD&D[V O$X

J>C$HIV S�O$EGV S�C`D�PQMTH i���HIO$UWV J�DFEGO1s>C`D�A�^"���Qj1� p�� `�� a�� cZx

9 S u m m a r y a n d c o n c l u s i o n @BA�Cg]ZV X�MTUWV O-Ki���HIO$UWV J�s>V S�C`D�OlD[V U�iZK CnO$X�JqPQO`DFE4UWC$E A�M>JoEGMqC$S�O-K R�O$EGCnN$A�O$HIO-N$EGC$HIV�DFEGV N

D[N-O-K C`DtO$ElO$XT� iZV |�C-KgV X O$X V UWO1s>CTx�@BA�V�DqUWC$E A�M>J V�Dq]ZO`D[C-J MTXvE A�C N-MTU�i>R�EGO$EGV MTX M>PJ>V PQPQC$HIC$X�N-C`D�M>P�� O$RZD&D[V O$XZD�MT]>EGO-V X�C-J�]���]ZV X�MTUWV O-K)PQV K EGC$HIV X>sWV X�O i���HIO$UWV J�xT@BA�C�C$|�iZC$HIV UWC$X�E�DJ>C`D[N$HIV ]ZC-J�O$]ZMTS�C�J>C$UWMTXZDFE HIO$EGCE A�O$E)O�D[N-O-K C;jQV X�S�O$HIV O$X�EZA�O-K P jQM>N$EGO$S�Ci���HIO$UWV J�N-MTU�i>R�EGC-Jm_ V E AO ]ZV X�MTUWV O-KA�C$H�X�C-K�N-O$X�i>HIMTS�V J>C�O$XWC-PQPQV N-V C$X�E�O$X�J^i>HIC-N-V�D[C UWC-O$XZD+EGM�N-MTU�i>R�EGC4N$A�O$HIO-N$EGC$HIV�DFEGV N

Page 15: Fast Computation of Scale Normalised Gaussian Receptive Fields

D[N-O-K C`D�x���EnPQV H[DFEgs>K O$X�N-C`�kV ELUWO�� D[C-C$U�DFR�H�i>HIV�D[V X>s{E A�O$EnO�HIC-K O$EGV S�C-K � N$H�R�J>C � O$RZD&D[V O$XO$i>i>HIMT|�V UWO$EGV MTX�DFR�N$AWO`D�O�j�jGp�j�j�]ZV X�MTUWV O-K�PQV K EGC$H ��V C-K J�D+HIC-K V O$]ZK C�C`DFEGV UWO$EGC`D�M>P"N$A�O$HIO-N$EGC$HIV�DFEGV ND[N-O-K CTx��^MT_ C$S�C$H[��E A�V�D�A�C$H�X�C-K)O-K K MT_mD+S�V J>C-M^HIO$EGC�N-O-K N$R�K O$EGV MTXWM>P V X�E HIV XZD[V N D[N-O-K C�PQMTH�j�� a����6<V UWO1s>C`D�MTX�O�DFEGO$X�J>O$HIJLj`x c ���� iZC$H[D[MTX�O-KZN-MTU�i>R�EGC$HuxAcknowledgment

@BA�V�D�_ MTH%AkA�O`D�]ZC-C$XkiZO$H�EGV O-K K �YPGR�X�J>C-JW]���i>HIM,@uC-N$E d[�Z@� ��@��Yg�@oR�X�J>C$H�E A�C �+R�HIMTiZC-O$Xd[�Z@ g�M�sTX�V EGV S�C��^V�D[V MTX���HIM�sTHIO$U5x

R ef er ences ���

� � � ����'���(�1���� � (�� 5�(�1��"� � ��./5�(���'�'���(���� ����!�� ��$%��(�- 5�- � '�( ';) # '�+,5,#����,'� 6��- ��4�� (�- ���0./� $&��5,#$&4/$&- �� �!��"�� '�# ';��� +,5,#�#b4�$�����(���- � +�$ ��%�%�& '�(�)�*+'�)�%,���.-�/,)��

7��

��� 0]��12'�2]�����!34$.5��,+�-����,+,';��(�� - � '�( ) � '� # '�+,5,#B$%+,5,# ��*�� (�./5�� � 5�(�-B)��,5�- ��� ��$6�!� � ( �.-�-�-79(�- ����(�5�- � '�(�5,#8#�'�(/)���� ��(�+,� '�(9#�'� "!���- ���;:"� $%� '�(9<=7 #�#>:�*+-�-,? �@#�'��&) �A00� �,�,+,���*!�!?����%,B�*����%,)���C���!�-����.-�-�-��

'��

#���C�+��� 6� 1 5�(�1D�E�FE '�������� 12'�+,5,#���� ��4�./5,# ��� � (�./5�� � 5�(�-9$ )�'�� � 65G��� � ��- � � ��./5,# �!��7=GHGHG��� 5�(�$%5,+�- � '�(�$2'�(�IJ�KEL7 ��IJ�KEL7J:"'�#*�.-��NM"'��,%,��!�5G����$>%,'�B�* %,',O����.-�-�)��

O�� �b�F12� (�1��P$����&���Q�&���,5�- ��� � 1���- �,+�- � '�( 2]� - � 5���- '� 65�- � + $%+,5,# � $%�,# �,+�- � '�(R�!�79(�- ����(�5�- � '�(�5,# � '�����(�5,#�';)S#�'� "!���- ���S:"� $%� '�( �,7 � #>:T'�B�<97�?6& )�)�*����.(����.-�-�//�

%/�

E �F���U���,# # 4��V� Gb1;��� 1���- �,+�- � '�(W$�4 +,'� "!���- ��� � ( !�� +�- ��� ��$ ��$%� (/� !�# 5�(�(�� (/���!�E 5,+���� (��879(�- �,# # � ����(�+,� ��(R& '�)�-�*=O�B�-����.-�)����

(��

C��F1 �;�*5�(�� 6'�- '65�(�1"�b�FI 5�./# � 1�� $!��� � ��� ��� 5�� +���� +,5,#�1�5�- 5E$&- ����+�- ��� ��)�'�� !�� +�- ��� �0!�� '�+,��$�$%� (/���!�#�'� "!���- ���H00� 5�!���� +�$25�(�1�79 65G����I� '�+,��$�$%� (/� �,OJ& �.B,O�*����.-����.-�)�%/�

)��

I2� � �X"�����-]5�(�1LG��FY��H�]1��,# $%'�(��4� ������125�!�# 5,+,� 5�( !�4�� 5� 6� 1 5�$65B+,'� "!�5,+�-E� 65G���B+,'�1��N�!�7=GHGHGN��� 5�(�$%5,+�- � '�(�$2'�(�#�'� " "��(�� +,5�- � '�(�$ ��'���& %,';7�* %�O�B����.-�/,'��

//� � �F1 ��#b� '�2]# ��4���� �Z����!�� ��$%��(�- 5�- � '�(�)�'��S:"� $&��5,#�79(/)�'��� 65�- � '�( �!����'�+�- '�� 5,#���� $�$%����- 5�- � '�(��

#�5���(��G��� ��* E �,# # '�(�[E(�� ./���%$%� - 4����.-�/���-��

I2�F�Y(�5�(�1�5�(��Q� E �,5�$&��� � (/� :"� $&��5,#\E '�- � '�( ) � '� 79 65G��� C���]�����(�+,��$6�!�I��� - ����$%� $!�^#�'� "!���- ���VC�+,� ��(�+,�_����!�5���- 6��(�- �`��'�+�- '�� 5,# ������$%� $!�`[E(�� ./���%$%� - 4 ';)E 5�$�$%5,+�����$%��- -9$!���.-�/,)��

�.B��

�E�F����� � +������a���,+����%$%� ./�,# 4h� "!�# �� 6��(�- � (/� - ���b0Y5���$�$%� 5�( 5�(�1h� -9$ 1���� � ./5�- � ./��$Z���5�!�!�'���-�1������,+������ +�������/,-�'��,7 M;�87=�;��C�'�!���� 5��Y(�- � !�'�# � $!����� 5�(�+,�����Y!������.-�-�'��

�����

1 � � �]./5�(c:"# � ��- ��7%���b�;d�'���(/���65�(�1TI2�Ne �;:"���+$��,�P���;���,+����%$%� ./�Z0Y5���$�$%� 5�( 1���� � ./5�- � ./�)�� # - ���%$Z�479(DI� '�+��6�PO;- ��79(�- ����(�5�- � '�(�5,#�#�'�(/)���� ��(�+,� '�(fI 5�- - ����(f���,+,';��(�� - � '�(�<=7 #>IJ�4g -�/�? �./'�# �� 6���.��!�5G����$>%,B�-�* %�PO��N7=GHGHGh#�'� "!���- ���>C�'�+,� ��- 4;I� ��$�$!���Y�/�����.-�-�//�

��7��

���FY�5,# # ��:6��#�'�# � (61���:"��� 1�� ��� ��5�(�1 � �F1 ��#b� '�2]# ��4����!34$.5��,+�-����,+,';��(�� - � '�("��$%� (/��#�'�# '���� �,1���,+,��!�- � ./� ��� �,# 1��!�@( - � G*��� '�!��,5�(9#�'�(/)���� ��(�+,� '�(9#�'� "!���- ���;:"� $%� '�(��8C�!�� � (/�����i:"��� # 5G����E��$�# � (���!�! �.(,O�*��.)�/,� � ��(��07�B�B�B���.'��

e � �b� ��� �,�� 65�(���G�� Y��f�]1��,# $%'�(��`� �����j����$%� ��( 5�(�1k["$%�P';)lC�- �,��� 5P$�# � ��� # - ���%$6�!���� 5�(�$%5,+�- � '�(�$Y'�(mI 5�- - ����(m�Y(�5,# 4/$%� $Y5�(�1E 5,+���� (���79(�- �,# # � ����(�+,� �J< IJ�KEL7+? ��:"'�#0�.'���M"'���-��!�! /,-��.*+-�B�(���C���!�- �� �$������.-�-����