Ecuaciones diferenciales

Segunda actividad

Situación problema

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de

1000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago

con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fábrica

empezó a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces,

dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde,

bombea contaminantes al río a razón de 1 m3/s. Suponga que el

lago tiene una salida de 1000m3/s de agua bien mezclada.

Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de

contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un

año (365 días).

Aplicación de ecuaciones

diferenciales de primer orden

• Datos del problema

Volumen del caudal: v = 1000m3/sCaudal entrante: 1000m3/sCaudal saliente: 1000m3/sContaminantes: c1 = 1m

3/s

Datos que no se conoce:

Volumen en cualquier instante de tiempo: v t =?Cantidad de contaminantes en cualquier instante: Q t =?

Aplicación de ecuaciones

diferenciales de primer orden

Se procede a hallar una ecuación diferencial para calcular la

concentración de contaminantes en el transcurso del tiempo entonces

esta estará en función del (t)

Tasa de entrada al lago A A=1000𝑚3

𝑠

Tasa de salida del lago B B=1000𝑚3

𝑠

Concentración de entrada c1=1000𝑚3

𝑠

Concentración saliente depende del tiempo c(t)???

V(t) volumen en el tanque en cualquier instante de tiempo

Q(t) cantidad de contaminante en cualquier instante

C(t) concentración que hay en cualquier tiempo

Modelado del

problema

• 𝑉 𝑡 = 𝐴 − 𝐵 𝑡 + 𝑉0

•𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝐴 ∗ 𝐶 − 𝐵 ∗

𝑄(𝑡)

𝑉(𝑡)

FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013

Desarrollo• c(t) Q(t)/v(t) 𝑐 𝑡

𝑄 𝑡

𝑣(𝑡)

Se analizan cada una de las variables anteriormente mencionadas.

Variación del volumen depende del tiempo

𝑑 𝑣

𝑑(𝑡)= 𝐴 − 𝐵

La variación del volumen es lo que entra menos lo que sale

d(v)= 𝐴 − 𝐵 𝑑(𝑡)Integrando ambos lados de la ecuación

𝑑𝑣 = 𝐴 − 𝐵 𝑑𝑡

Solucionando las integrales

v= A − B 𝑡 + 𝑐Para hallar C partimos de una condición inicial del volumen en t=0

v= 0 A − B 0 + 𝑐v 0 = 𝑐

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Desarrollo

Como A y B son iguales el volumen en todo tiempo es el mismo V(t)=1000 millones de metros cúbicos

Ahora para Q

𝑑 𝑄

𝑑(𝑡)= 𝑅1 − 𝑅2

Como A y B son iguales el volumen en todo tiempo es el mismo V(t)=1000 millones de metros cúbicos

Ahora para Q

𝑑 𝑄

𝑑(𝑡)= 𝑅1 − 𝑅2

R1=razón de entrada=A*C1

R2=razón de salida=B*C(t)=B*Q(t)/V(t)

Entonces

𝑑 𝑄

𝑑(𝑡)= 𝐴 ∗ 𝑐1 −

𝐵 ∗ 𝑄(𝑡)

𝑣

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Desarrollo

• 𝐷𝑒𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝐴 ∗ 𝐶𝑖 −

𝐵𝑄

𝐴−𝐵 𝑡+𝑉𝑜

•𝑑𝑄

𝑑𝑡= 1000 ∗ 1 −

1000𝑄

1000−1000 𝑡+109

•𝑑𝑄

𝑑𝑡= 1000 −

1000𝑄

109

•𝑑𝑄

𝑑𝑡+1000𝑄

109= 1000

•𝑑𝑄

𝑑𝑡+1𝑄

106= 1000

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Se utiliza factor

integrante

• 𝑒 1

106𝑑𝑡= 𝑒𝑡/10

6

• 𝑒𝑡

106𝑑𝑄

𝑑𝑡+ 𝑒

𝑡

50𝑄

106= 1000𝑒

𝑡

106

•𝑑

𝑑𝑡𝑒𝑡

106𝑄 = 1000𝑒𝑡

106

• 𝑒𝑡

106 𝑄 = 1000 𝑒𝑡/106𝑑𝑡

• 𝑒𝑡

106 𝑄 = 1000𝑒𝑡

106 106 + 𝐶

• 𝑒𝑡

106 𝑄 = 109𝑒𝑡

106 + 𝐶

• 𝑄(𝑡) = 109 + 𝐶𝑒−𝑡

106 Solución

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Conversión

• Tiempo (día)

𝑡𝑑 = 4ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 3600𝑠𝑒𝑔 𝑡𝑑 = 14400 𝑠𝑒𝑔

• Tiempo (mes)

𝑡𝑚 = 30𝑑𝑖𝑎𝑠 ∗ 4ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 3600𝑠𝑒𝑔 𝑡𝑚= 432000 𝑠𝑒𝑔

• Tiempo (año)

𝑡𝑎 = 365𝑑𝑖𝑎𝑠 ∗ 4ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 3600𝑠𝑒𝑔 𝑡𝑎= 5256000 𝑠𝑒𝑔

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reemplaza

• Ahora se reemplaza en el tiempo

• 𝑄(𝑡) = 109 + 𝐶𝑒−𝑡

106

• 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑑í𝑎:

• 𝑄 𝑡𝑑 = 109 + 𝐶𝑒−14400

106

• 𝑄 𝑡𝑑 = 109 + 0.98𝐶

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Respuesta

• 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑠:

• 𝑄 𝑡𝑚 = 109 + 𝐶𝑒−432000

106

• 𝑄 𝑡𝑚 = 109 + 0.64𝐶

• 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜:

• 𝑄 𝑡𝑎 = 109 + 𝐶𝑒−5256000

106

• 𝑄 𝑡𝑎 = 109 + 0.0052𝐶

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Grafica

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Con la ayuda de wólfram alpha