PROBLEMI AFFASCINANTI DI FISICA

Gravitazione universale

1) Dimostra che l’ energia totale di un corpo rigido di massa 𝒎, in rivoluzione attorno ad un

pianeta di massa 𝑴 su un’ orbita ellittica (di semiasse maggiore 𝒂) vale:

𝑬 = − 𝑮𝑴𝒎/𝟐𝒂

2) Nell’ universo di Star Trek, il capitano Kirk spegne i motori della navicella, la quale entra

improvvisamente in un campo di forza centrale, generato da un oggetto misterioso. La

navicella compie una traiettoria ad arco di circonferenza di raggio 𝒂, per poi schiantarsi

contro l’ oggetto misterioso. Dire come varia la forza in funzione della distanza dal corpo

attrattore e quanto tempo (comparando la forza a 𝑭 = − 𝑲𝑴𝒎/𝒓𝟓) la navicella impiega

prima della collisione con l’ oggetto, supponendo che compia un arco pari a mezza

circonferenza (𝒓 = 𝟐𝒂).

3) Un oggetto è lanciato da un’ altezza 𝑹 con la velocità di fuga 𝑽𝒇 . Quanto tempo impiega a

raggiungere un’ altezza 𝒉?

4) Una costruzione altissima posta all’ equatore è formata da moduli attaccati l’ un l’ altro (di

massa 1 𝐾𝑔 e altezza 1 𝑚 ciascuno). Dimostra che esiste un’ altezza per cui, all’ aumentare

del numero di blocchi, il peso sopportato dalle fondamenta comincia a diminuire. Trova il

valore di questa altezza. Determina infine l’ altezza per cui il peso sopportato dalle

fondamenta si azzera.

5) Si osserva un sistema binario di stelle. Di una di esse conosciamo la massa (6 𝑀𝑠), il

periodo di rivoluzione (1.7 𝑔) e la velocità orbitale (270'000 𝐾𝑚/𝑠). Quanto vale la massa

dell’ altra stella in masse solari? Si considerino circolari le orbite.

6) Tre stelle di ugual massa 𝑴/𝟑 (𝑴 è la massa totale del sistema) ruotano sulla stessa orbita

circolare di raggio 𝑹 e sono ai vertici di un triangolo equilatero. Determina la loro velocità

angolare 𝝎 attorno al centro di massa. Tenendo invariati la massa totale del sistema e il

raggio dell’ orbita, compara 𝝎 a quella a 2 corpi e a quella a 4 corpi. Cosa succede alla

velocità angolare quando 𝒏 tende all’ infinito?

7) Un corpo di massa 𝒎 (e densità 𝜹) e raggio 𝑹 orbita attorno ad un pianeta di massa 𝑴 (e

densità 𝝆). Se il corpo si avvicina troppo al pianeta, inizia a sfaldarsi a causa delle forze di

marea. Calcola la minima distanza tra il centro del pianeta e il corpo affinché il corpo non

incominci a sfaldarsi (questa distanza è detta “limite di Roche”).

8) Un satellite di massa 𝒎 orbita attorno ad un pianeta. Una forza di attrito 𝑭 = − 𝑨𝒗 agisce

sul corpo. Determina la distanza del satellite dal centro del pianeta, in funzione del tempo.

Considera 𝑹° la distanza iniziale. Ripeti il calcolo supponendo 𝑭 = − 𝒃𝒗^𝟐.

(Qual‘ è l’ effetto dell’ attrito sul moto dei satelliti? La velocità del satellite aumenta o

diminuisce? Cosa succede al momento angolare? Considera orbite circolari)

9) Un pianeta di massa 𝒎 ruota attorno ad una stella di massa 𝑴, mantenendosi sempre a

distanza 𝒅. La regione di spazio in cui domina l’ attrazione del pianeta è detta “sfera di Hill”.

Per essere in un orbita stabile attorno al pianeta, un satellite deve sempre giacere all’ interno

della sfera di Hill. Assumendo orbite circolari, calcola il raggio della sfera di Hill in relazione alla

distanza 𝒅 e alle masse 𝑴 e 𝒎.

10) Un satellite di massa 𝒎 è in orbita circolare attorno ad un pianeta di massa 𝑴.

improvvisamente la massa del pianeta diminuisce dell’ 1%. Quanto vale l’ eccentricità 𝒆

della nuova orbita? Cosa succederebbe se la massa venisse dimezzata? E se scomparisse

del tutto?

11) In un universo parallelo, ci sono solamente due particelle di dimensioni trascurabili, una di

massa 𝑴 e l’ altra di massa 𝒎, con 𝒎 << 𝑴. All’ istante iniziale, esse sono ferme a

distanza 𝒅 l’ una dall’ altra. A causa dell’ attrazione gravitazionale, la massa 𝒎 viene attratta

verso la massa 𝑴. Calcola il tempo impiegato dalla massa 𝒎 per collidere con la massa 𝑴,

trascurando effetti relativistici e considerando la massa 𝑴 sempre ferma.