Fakulteta za elektrotehnikoRazdelilna in industrijska omrežja

SEMINARSKA NALOGAIzračun toka in napetosti v električnem

omrežju (vezju)

Valerija Jordanmentor: prof. dr. Grega Bizjak

april 2019

Kazalo1 Uvod 3

2 Topološki opis vezja 3

3 Modeli elementov vezja 43.1 Upor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Tuljava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Napetostni neodvisni vir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.5 Tokovni neodvisni vir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.6 Krmiljeni viri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Elektrotehniški zakoni, ki jih uporabimo pri izračunih 84.1 Ohmov zakon za splošno impedanco . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Tokov Kirchhoffov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Napetostni Kirchhoffov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.4 Princip superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.5 Theveninov in Nortonov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Metode reševanja modelov vezij 115.1 Vejna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Zančna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.3 Vozliščna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Obnašanje toka in napetosti v vezju 12

7 Nadomestna vezja 157.1 Nadomestno vezje sinhronskega stroja . . . . . . . . . . . . . . 157.2 Nadomestno vezje asinhronskega stroja . . . . . . . . . . . . . 167.3 Nadomestno vezje transformatorja . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8 Nadomestno vezje voda in izračun električnih parametrovvodov in kablov 178.1 Model voda s porazdeljenimi parametri . . . . . . . . . . . . . 178.2 Rešitev v splošni točki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.3 Četveropolna predstavitev voda . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9 Vprašanja in naloga 21

1

Slike1 Primer vezja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Vozlišča v vezju, označena z rdečo barvo. . . . . . . . . . . . . 43 Splošna veja z osnovnima spremenljivkama ik(t), uk(t). . . . . 44 Napetost in tok na uporu v časovnem prostoru. . . . . . . . . 55 Napetost in tok na tuljavi v časovnem prostoru. . . . . . . . . 56 Napetost in tok na kondenzatorju v časovnem prostoru. . . . . 67 Simbolna predstavitev napetostnega neodvisnega vira. . . . . . 68 Simbolna predstavitev tokovnega neodvisnega vira. . . . . . . 79 Simbolna predstavitev krmiljenih virov: napetostno (levo zgo-

raj) in tokovno (desno zgoraj) krmiljeni napetostni vir ter na-petostno (levo spodaj) in tokovno (desno spodaj) krmiljenitokovni vir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

10 Zgled uporabe Ohmovega zakona. . . . . . . . . . . . . . . . . 811 Zgled uporabe tokovnega Kirchhoffovega zakona. . . . . . . . . 912 Zgled uporabe napetostnega Kirchhoffovega zakona. . . . . . . 913 Théveninovo (desno zgoraj) in Nortonovo (desno spodaj) na-

domestno vezje linearnega vezja (levo). . . . . . . . . . . . . . 1014 Označeno vezje za izračun vejnih tokov. . . . . . . . . . . . . . 1115 Označeno vezje za izračun zančnih tokov. . . . . . . . . . . . . 1216 Označeno vezje za izračun vozliščnih napetosti. . . . . . . . . 1217 Zaporedna vezava elementov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318 Vzporedna vezava elementov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419 Nadomestno vezje sinhronskega generatorja. . . . . . . . . . . 1520 Nadomestno vezje asinhronskega stroja. . . . . . . . . . . . . . 1621 Nadomestno vezje transformatorja. . . . . . . . . . . . . . . . 1622 Nadomestno vezje voda za izpeljavo modela s porazdeljenimi

parametri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723 Nadomestno vezje splošnega četveropola. . . . . . . . . . . . . 2024 Théveninovo (desno zgoraj) in Nortonovo (desno spodaj) na-

domestno vezje linearnega vezja (levo). . . . . . . . . . . . . . 2225 π nadomestno vezje voda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226 Vezje za nalogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

1 UvodRecimo, da imamo realen električni sistem (omrežje ali vezje), v katerem naszanimajo napetosti in tokovi. Da bi našli iskane količine, moramo sistem nazačetku matematično opisati. Priredimo mu torej abstraktni (matematični)model omrežja ali vezja. Model je ustrezen, kadar:

• se ga da opisati z enačbami,

• se ga da analizirati (sistem enačb, ki ga opisuje, je rešljiv),

• rezultat analize je dovolj blizu realnosti.

Poznamo več možnih analiz, s katerimi iščemo napetosti in tokove vmodelu (klasična, izmenična, Fourierovi vrsti in transformacija, Laplaceovatransformacija). Za naše potrebe bo dovlj, če si izberemo klasično ali izme-nično analizo, torej analizo v časovnem ali frekvenčnem prostoru.

2 Topološki opis vezjaVzemimo primer vezja in si poglejmo, kako ga topološko opišemo.

Slika 1: Primer vezja.

• VOZLIŠČE je točka oziroma del vezja z istim potencialom.Število vseh vozlišč v vezju označimo s črko N. Na primeru s slike 1vidimo, da imamo 4 vozlišča, ki so označena z obkroženimi številkamiod 0 do 3.

3

Slika 2: Vozlišča v vezju, označena z rdečo barvo.

• VEJA je del vezja, ki ima karakteristiko (k-ta napetost se da zapisatikot funkcija k-tega toka in obratno).Število vseh vej v vezju označimo s črko B. Na primeru s slike 1 vidimo,da imamo 6 vej, ki so označene s puščicami in številkami od 1 do 6.

• OKNO je zaključeno zaporedje vej, ki v notranjosti nima drugih vej.Število vseh oken v vezju označimo s črko C. Na primeru s slike 1vidimo, da imamo 3 okna, ki so označena s številkami od 1 do 3 vodprtih krožnicah s puščico.

• OSNOVNE SPREMENLJIVKE so vejne napetosti (u1, ...uB) in vejnitokovi (i1, ..., iB).

Slika 3: Splošna veja z osnovnima spremenljivkama ik(t), uk(t).

3 Modeli elementov vezjaČe imamo preprosto vezje, sestaveljno iz tuljav, kondenzatorjev, uporov invirov, elemente prav tako matematično opišemo in jih predstavimo z modeli.

4

3.1 UporV časovnem prostoru za napetost in tok na uporu R velja naslednja enačba:

u(t) = R · i(t)

Slika 4: Napetost in tok na uporu v časovnem prostoru.

Enačbo iz časovnega prostora lahko zapišemo v frekvenčnem prostoru,kjer dobi naslednjo obliko:

U = R · I

3.2 TuljavaV časovnem prostoru za napetost in tok na tuljavi z induktivnostjo L veljanaslednja enačba:

u(t) = L · di(t)dt

Slika 5: Napetost in tok na tuljavi v časovnem prostoru.

Enačbo iz časovnega prostora lahko zapišemo v frekvenčnem prostoru,kjer dobi naslednjo obliko:

U = jωLI

5

3.3 KondenzatorV časovnem prostoru za napetost in tok na kondenzator s kapacitivnostjo Cvelja naslednja enačba:

i(t) = C · du(t)dt

Slika 6: Napetost in tok na kondenzatorju v časovnem prostoru.

Enačbo iz časovnega prostora lahko zapišemo v frekvenčnem prostoru,kjer dobi naslednjo obliko:

I = jωCU

3.4 Napetostni neodvisni virNapetostni neodvisni vir zagotavlja na zunanjih sponkah konstantno nape-tost, ki je neodvisna od stanj v vezju, ki ga napaja. Napetost torej ne nihav odvisnosti od obremenitev (seveda pa lahko niha v odvisnosti od časa, čeimamo izmenični vir). Na sliki 7 je prikazana simbolna predstavitev napeto-stnega neodvisnega vira.

Slika 7: Simbolna predstavitev napetostnega neodvisnega vira.

3.5 Tokovni neodvisni virTokovni neodvisni vir na svojih sponkah zagotavlja tok, ki je neodvisen odstanj v vezju, ki ga napaja. Tok torej ne niha v odvisnosti od obremenitev

6

(seveda pa lahko niha v odvisnosti od časa, če imamo izmenični vir). Na sliki7 je prikazana simbolna predstavitev tokovnega neodvisnega vira.

Slika 8: Simbolna predstavitev tokovnega neodvisnega vira.

3.6 Krmiljeni viriViri, ki so krmiljeni s tokovi ali napetostmi v vezju, se imenujejo krmiljeniviri. Poznamo več vrst krmiljenih virov: napetostno krmiljeni napetostni vir,tokovno krmiljeni napetostni vir, napetostno krmiljeni tokovni vir in tokovnokrmiljeni tokovni vir. Simbolna predstavitev teh elementov je prikazana nasliki 9.

Slika 9: Simbolna predstavitev krmiljenih virov: napetostno (levo zgoraj) intokovno (desno zgoraj) krmiljeni napetostni vir ter napetostno (levo spodaj)in tokovno (desno spodaj) krmiljeni tokovni vir.

V splošnem je naš cilj poiskati nadomestno impedanco danega elementa,saj lahko s tem podatkom računamo dalje. Če to ni mogoče, torej pri siste-mih, v katere so vključeni kompleksnejši elementi (generator, transformator,vod, itd.) in če le-teh ne moremo predstaviti z zgolj enim parametrom (im-pedanco), za celoten element sestavimo nadomestno vezje in ga ustreznoumestimo v model celotnega vezja. Več o tem kasneje.

7

4 Elektrotehniški zakoni, ki jih uporabimopri izračunih

Pri izračunih tokov in napetosti v modelu si pomagamo z naslednjimi osnov-nimi elektrotehniškimi zakoni:

4.1 Ohmov zakon za splošno impedanco

I = U

Z(1)

Ohmov zakon za splošno impedanco pravi, da je velikost električnegatoka premo sorazmerna z električno napetostjo in obratno sorazmerna z im-pedanco.

V kolikor imamo čisto ohmsko breme, preide enačba v naslednjo obliko:

I = U

R(2)

Enačba 2 predstavlja Ohmov zakon. Če poznamo napetost na uporu innjegovo upornost, torej poznamo tudi tok, ki teče skozenj. Primer uporabesi ogledamo na sliki 10.

Slika 10: Zgled uporabe Ohmovega zakona.

4.2 Tokov Kirchhoffov zakonB∑k=1

Ik(t) = 0 ∀t (3)

Tokov Kirchhoffov zakon pravi, da je algebrajska vsota vseh tokov, ki sestekajo v dano vozlišče, v vsakem trenutku enaka 0. Število B v enačbi (3)predstavlja število vseh vej, ki se stekajo v dano vozlišče.

Na sliki 11 je zgled uporabe tokovnega Kirchhoffovega zakona.

8

Slika 11: Zgled uporabe tokovnega Kirchhoffovega zakona.

4.3 Napetostni Kirchhoffov zakonB∑k=1

Uk(t) = 0 ∀t (4)

Napetostni Kirchhoffov zakon pravi, da je algebrajska vsota vseh nape-tosti po zaključenem zaporedju vej v vsakem trenutku enaka 0. Število B venačbi (4) predstavlja število vseh vej v zaključeni zanki.

Primer uporabe napetostnega Kirchhoffovega zakona je prikazan na sliki12. Oznake V predstavljajo napetost.

Slika 12: Zgled uporabe napetostnega Kirchhoffovega zakona.

4.4 Princip superpozicije

U =N∑i=1

Ui (5)

Recimo, da imamo več neodvisnih virov napetosti. Princip superpozi-cije pravi, da je v vezju, ki ga hkrati zbujamo z več viri, vsota prispevkovposameznih virov (Ui) v poljubnem trenutku enaka odzivu U . Potrebno jepoudariti, da princip superpozicije velja le v linearnih vezjih in velja tudi zatok.

4.5 Theveninov in Nortonov teoremPravimo, da sta dvopola ekvivalentna s stališča priključnih sponk, če se vvseh razmerah enako obnašata.

9

Theveninov in Nortonov teorem poenostavita analizo obsežnejših vezijz uvedbo enostavnejšega ekvivalentnega vezja za del vezja. Teorema lahkouporabimo za tisti del vezja, ki nas iz kakršnih koli razlogov ne zanima.Ta del poenostavimo v ekvivalentno Theveninovo ali Nortonovo nadomestnovezje in na ga priključimo na tisti del prvotnega vezja, ki ga analiziramo.

Imejmo torej linearno vezje, ki je sestavljeno iz linearnih elementov inneodvisnih virov.

Takemu vezju je ekvivalentno Theveninovo nadomestno vezje, ki je zgra-jeno kot zaporedna vezava neodvisnega napetostnega vira UT in nadomestneimpedance ZT . Vrednost napetosti UT je enaka napetosti odprtih sponk medpriključnima sponkama vezja, kateremu računamo Theveninovo nadomestnovezje. Vrednost nadomestne impedance ZT je enaka impedanci med priključ-nima sponkama vezja, kateremu računamo Theveninovo nadomestno vezje.

Podobno je takemu vezju ekvivalentno Nortonovo nadomestno vezje, kije zgrajeno kot vzporedno vezava neodvisnega tokovnega vira IN in nado-mestne admitance YN . Vrednost toka IN je enaka kratkostičnemu toku medpriključnima sponkama vezja, kateremu računamo Nortonovo nadomestnovezje. Vrednost nadomestne admitance YN je enaka admitanci med priključ-nima sponkama vezja, kateremu računamo Nortonovo nadomestno vezje.

Ker je ekvivalenca tranzitivna relacija, sledi, da sta tudi Nortonovo inTheveninovo nadomestno vezje ekvivalentna s stališča priključnih sponk.

Slika 13: Théveninovo (desno zgoraj) in Nortonovo (desno spodaj) nadome-stno vezje linearnega vezja (levo).

Theveninov in Nortonov ekvivalentni dvopol se pogosto uporablja primetodah reševanja vezij. Oglejmo si, katere so.

10

5 Metode reševanja modelov vezijRecimo, da imamo vezje, v katerem nas zanimajo napetosti in tokovi. Doiskanih količin lahko pridemo z več različnimi metodami, ki so predstavljenev nadaljevanju.

5.1 Vejna metodaSpremenljivke vejne metode so vejni tokovi (i1, ..., iB). Enačbe, s katerimiopišemo vezje, so tokovne Kirchhoffove enačbe in napetostne Kirchhoffoveenačbe.

Oglejmo si primer izračuna vejnih tokov s pomočjo vejne metode. Vze-mimo vezje s slike 14. Vejni tokovi so na sliki označeni z IRj; j = 1, 2, 3.

Slika 14: Označeno vezje za izračun vejnih tokov.

Imamo dve napetostni Kirchhoffovi enačbi (NKE1 in NKE2) in eno to-kovno Kirchhoffovo enačbo (TKE):

NKE1: − UG1 +R1IR1 +R3IR3 = 0NKE2: −R3IR3 −R2IR2 + UG2 = 0TKE: IR1 + IR2 − IR3 = 0

5.2 Zančna metodaSpremenljivke zančne metode so zančni tokovi (iZ1, ..., iZC). Enačbe, s kate-rimi opišemo vezje, so napetostne Kirchhoffove enačbe.

Oglejmo si primer izračuna zančnih tokov s pomočjo zančne metode. Vze-mimo vezje s slike 15. Zančna tokova sta na sliki označena z I1 in I2.

11

Slika 15: Označeno vezje za izračun zančnih tokov.

Imamo dve napetostni Kirchhoffovi enačbi (NKE1 in NKE2):

NKE1: − UG1 +R1I1 +R3(I1 − I2) = 0NKE2: R3(I2 − I2) +R2I2 + UG2 = 0

5.3 Vozliščna metodaSpremenljivke vozliščne metode so vozliščne napetosti (uV 1, ..., uV (N−1)). Enačbe,s katerimi opišemo vezje, so tokovne Kirchhoffove enačbe in napetostne Kir-chhoffove enačbe.

Oglejmo si primer izračuna vozliščnih napetosti s pomočjo vozliščne me-tode. Vzemimo vezje s slike 16. Imamo eno samo vozliščno napetost, na slikije označena z VA.

Slika 16: Označeno vezje za izračun vozliščnih napetosti.

Imamo eno samo tokovno Kirchhoffovo enačbo (TKE):

TKE: UG1 − VAR1

+ UG2 − VAR2

− VAR3

= 0

6 Obnašanje toka in napetosti v vezjuPri računanju tokov in napetosti v vezju običajno vezje čim bolj poenosta-vimo, preden se lotimo izračunov. Veliko naredimo že, če poiščemo nado-mestne impedance več vzporedno ali zaporedno vezanih elementov (pri tem

12

pazimo, da se tistim elementom, za katere nas zanimata napetost in tok, tidve količini ne spremenita). Ločimo dva primera:

a) nadomestna impedanca zaporedno vezanih elementovImamo dva elementa z impedancama Z1 in Z2, ki sta zaporedno vezana.Njuna nadomestna impedanca je enaka vsoti impedanc.

Znadomestna = Z1 + Z2

b) nadomestna impedanca vzporedno vezanih impedancImamo dva elementa z impedancama Z1 in Z2, ki sta vzporedno vezana.Obratna vrednost njune nadomestne impedance je enaka vsoti obratnihvrednosti impedanc.

1Znadomestna

= 1Z1

+ 1Z2

oziromaZnadomestna = Z1 · Z2

Z1 + Z2

Oba primera lahko posplošimo na večje število bremen in tako izračunamoskupno nadomestno impedanco posamezne veje v modelu vezja.

Pri zaporedni in vzporedni vezavi bremen je pomembno tudi, da vemo,kako se obnašata tok in napetost na posameznih bremenih. Velja namrečnaslednje:

• če imamo v isti veji dva zaporedno vezana elementa (z impedancamaZ1 in Z2) in je skupna napetost enaka U , je tok I skoznju enak (I =I1 = I2); skupna napetost pa se med elementa razdeli.

Slika 17: Zaporedna vezava elementov.

Na elementu 1 je padec napetosti enak U1, na elementu 2 pa U2. Zatok I in napetosti U1 in U2 velja naslednje:

13

I = U

Z1 + Z2

U1 = Z1 · I = Z1

Z1 + Z2· U

U2 = Z2 · I = Z2

Z1 + Z2· U

U = U1 + U2

U1

U2= Z1

Z2

• če imamo v isti veji dva vzporedno vezana elementa (z impedancamaZ1 in Z2), je njuna napetost enaka U (padec napetosti na posameznemelementu je enak U1 = U2 = U); skupen tok I pa se porazdeli medelementa.

Slika 18: Vzporedna vezava elementov.

Skozi element 1 teče tok I1, skozi element pa I2. Za tokove I, I1, I2 innapetost U velja naslednje:

14

I = UZ1·Z2Z1+Z2

= U · (Z1 + Z2)Z1 · Z2

I1 = U

Z1

I2 = U

Z2

I = I1 + I2

I1

I2= Z2

Z1

Zgornje ugotovitve lahko posplošimo tudi na večje število elementov.

7 Nadomestna vezjaV poglavju 3 smo videli, kakšni so modeli enostavnih elementov omrežju(vezju). Na koncu istega poglavja smo omenili, da bolj zapletene elementelahko opišemo z nadomestnimi vezji. V nadaljevanju je prikazanih nekajnadomestnih vezij elementov, ki jih pogosto srečamo v električnem omrežju.

7.1 Nadomestno vezje sinhronskega strojaNa sliki 19 je prikazano nadomestno vezje sinhronskega generatorja. V pri-meru sinhronskega motorja statorski tok teče v nasprotno smer.

Slika 19: Nadomestno vezje sinhronskega generatorja.

15

Levo vezje s slike 19 predstavlja nadomestno vezje vzbujalnega navitja,desno pa nadomestno vezje statorja. EA označuje inducirano napetost, XS

sinhronsko reaktanco, RA upornost statorskega navitja, Vo je napetost nasponkah generatorja.

7.2 Nadomestno vezje asinhronskega strojaNa sliki 20 je prikazano nadomestno vezje asinhronskega stroja.

Slika 20: Nadomestno vezje asinhronskega stroja.

Na nadomestnem vezju element RS označuje statorsko upornost, XσS

stresano reaktanco na statorju, RFe prečno upornost, ki predstavlja izgube vželezu, XSR prečno reaktanco, ki predstavlja magnetenje jedra, XσR stresanoreaktanco rotorja, R′

R

supornost rotorja, ki je odvisna od obratovalne točke

(slipa).

7.3 Nadomestno vezje transformatorjaNa sliki 21 je prikazano nadomestno vezje transformatorja.

Slika 21: Nadomestno vezje transformatorja.

Na nadomestnem vezju element R1 označuje upornost primarja, X1 re-aktanco primarja, R0 prečno upornost, X0 prečno reaktanco, R′2 upornost

16

sekundarja, reducirano na primarno stran in X ′2 reaktanco sekundarja, redu-cirano na primarno stran transformatorja.

8 Nadomestno vezje voda in izračun električ-nih parametrov vodov in kablov

Za izračun toka in napetosti vodov moramo le-te ponazoriti z ustreznimnadomestnim vezjem. Za začetek si oglejmo model voda s porazdeljenimiparametri (slika 22).

Slika 22: Nadomestno vezje voda za izpeljavo modela s porazdeljenimi para-metri.

Če opazujemo električni vod iz istega zornega kota kot električna vezja,mu moramo pripisati enake parametre kot jih ima električno vezje: upornost,induktivnost in kapacitivnost. Ker se pojavi na vodih širijo vzdolž vodaz veliko hitrostjo, parametri vodov niso koncentrirani ampak porazdeljeni.Zato jih podajamo na enoto dolžine. V homogenem vodu so vsi parametri(upornost, induktivnost, kapacitivnost) vzdolž voda konstantni in jih zatoimenujemo konstante voda (primarne konstante).

8.1 Model voda s porazdeljenimi parametriModel voda s porazdeljenimi parametri omogoča natančen opis električnihveličin voda in je osnova za izpeljavo nadomestnih vezij voda. Pri tem modeluvsak odsek enofaznega voda z dolžino dx predstavimo z zaporedno impedancoZ ′ (impedanca na enoto dolžine) in vzporedno admitanco Y ′ (admitanca naenoto dolžine). Označimo:

17

Z ′ = R′ + jX ′L = R′ + jωL′

Y ′ = G′ + jX ′C = G′ + jωC ′

Zanima nas, kakšne so napetosti in tokovi voda, pri čemer predposta-vljamo, da parametre R′, L′, G′, C ′ že poznamo.

Zapišimo diferenčni enačbi za napetost in tok v splošni točki na razdaljix+ ∆x:

U(x+ ∆x) = Z ′ ·∆x · I(x) + U(x) (6)

I(x+ ∆x) = Y ′ ·∆x · U(x+ ∆x) + I(x) (7)

Iz enačb 6 in 7 z nekaj matematične manipulacije dobimo:

U(x+ ∆x)− U(x)∆x = Z ′ · I(x)

I(x+ ∆x)− I(x)∆x = Y ′ · U(x+ ∆x) (8)

Če pošljemo ∆x proti 0 in izračunamo limito, iz enačb 8 dobimo:

dU

dx= Z ′ · I(x)

dI

dx= Y ′ · U(x) (9)

Enačbi 9 še enkrat odvajamo po x in dobimo:

d2U

dx2 = Z ′ · dI(x)dx

d2I

dx2 = Y ′ · dU(x)dx

(10)

S kombinacijo enačb 9 in 10 dobimo končno obliko enačbe za tok in na-petost, ki se imenuje telegrafska enačba.

d2U

dx2 = Z ′ · Y ′ · U

d2I

dx2 = Z ′ · Y ′ · I (11)

18

8.2 Rešitev v splošni točkiRešitev telegrafske enačbe (enačbi 11) nam podaja napetost in tok v plošnitočki daljnovoda:

U(x) = ch(γx) · U2 + ZV · sh(γx) · I2 (12)I(x) = ch(γx) · I2 + Y V · sh(γx) · U2

Pri tem je γ konstanta širjenja in je enaka

γ =√Z ′ · Y ′ =

√(R′ + jωL′)(G′ + jωC ′)

γ.= jω√L′C ′,

parametra ZV in Y V pa sta valovna impedanca in admitanca in sta enaka

ZV =√Z ′

Y ′=√R + jωL

G+ jωC.=√L

C

Y V =√Y ′

Z ′

Če upoštevamo zapis hiperboličnih funkcij z ekponentno, dobimo nasle-dnjo obliko zapisa rešitve telegrafske enačbe:

U(x) = 12(U2 + ZV · I2) · eγx + 1

2(U2 − ZV · I2) · e−γx (13)

I(x) = 12(I2 + Y V · U2) · eγx + 1

2(I2 − Y V · U2) · e−γx (14)

Prvi člen predstavlja direktni sinusni val, drugi člen pa odbiti sinusni val.Napetost v poljubni točki je torej vsota obeh valov.

Pri idealnem vodu, ki je zaključen z ZV (naravna obremenitev voda), niodbitega vala in velja:

I2 = U2

ZV

U(x) = U2 · eγx

I(x) = I2 · eγx

Pri naravno obremenjenem vodu imata torej napetost in tok konstantnoamplitudo vzdolž voda in sta v fazi.

19

8.3 Četveropolna predstavitev vodaVelikokrat nas zanimajo samo razmere na začetku in koncu voda. Če splošnorešitev telegrafske enačbe (enačba 12), zapišemo v matrični obliki in pišemox = l, dobimo četveropolno predstavitev voda:(

U1I1

)=(

ch(γl) ZV · sh(γl)Y V · sh(γl) ch(γl)

)·(U2I2

)(15)

Nadomestno vezje splošnega četveropola je prikazano na sliki 23.

Slika 23: Nadomestno vezje splošnega četveropola.

Enačbe napetosti in tokov splošnega četveropola so naslednje:

(U1I1

)=

1 + ZπY π2 Zπ

Y π(1 + ZπY π4 ) 1 + ZπY π

2

· (U2I2

)(16)

S primerjavo matričnih enačb 15 in 16 določimo elemente tako imenova-nega π nadomestnega vezja dolgega voda in dobimo t.i. ekvivalentni modelvoda:

Zπ = ZV · sh(γl)Y π

2 = 1ZV

· th(γl

2 )

Pri kratkih vodih lahko upoštevamo še poenostavitev:

sh(γl) .= γl

th(γl) .= γl

20

in dobimo elemente π nadomestnega vezja kratkega voda, t.i. nazivnimodel voda:

Zπ.= ZV · γl = Z ′ · l

Y π

2.= 1ZV

·γl

2 = Y ′ · l2

Nadzemni oziroma kabelski vod lahko privzamemo kot kratek, če velja:

• l < 200 km za nadzemni vod,

• l < 60 km za kabelski vod.

9 Vprašanja in nalogaVprašanja:

a) Opiši Theveninov in Nortonov teorem.Rešitev:Theveninov teorem pravi, da je vsakemu lineranemu vezju, ki je sesta-vljeno iz linearnih elementov in neodvisnih virov, ekvivalentno Theveni-novo nadomestno vezje, ki je zgrajeno kot zaporedna vezava neodvisneganapetostnega vira UT in nadomestne impedance ZT . Vrednost napetostiUT je enaka napetosti odprtih sponk med priključnima sponkama vezja,kateremu računamo Theveninovo nadomestno vezje. Vrednost nadome-stne impedance ZT pa je enaka impedanci med priključnima sponkamavezja, kateremu računamo Theveninovo nadomestno vezje.Nortonov teorem pravi, da je vsakemu lineranemu vezju, ki je sestavljenoiz linearnih elementov in neodvisnih virov, ekvivalentno Nortonovo na-domestno vezje, ki je zgrajeno kot vzporedno vezava neodvisnega tokov-nega vira IN , in nadomestne admitance YN . Vrednost toka IN je enakakratkostičnemu toku med priključnima sponkama vezja, kateremu raču-namo Nortonovo nadomestno vezje. Vrednost nadomestne admitance YNje enaka admitanci med priključnima sponkama vezja, kateremu raču-namo Nortonovo nadomestno vezje.

21

Slika 24: Théveninovo (desno zgoraj) in Nortonovo (desno spodaj) nadome-stno vezje linearnega vezja (levo).

b) Kakšno je razmerje tokov oziroma napetosti med dvema vzpo-redno oziroma zaporedno vezanima impedancama?Rešitev:Imamo impedanci Z1 in Z2.Če sta impedanci vezani zaporedno, je tok skoznju enak ( I1

I2= 1), razmerje

napetosti pa je enako razmerju impedanc U1U2

= Z1Z2.

Če sta impedanci vezani vzporedno, je napetost na njima enaka (U1U2

= 1),razmerje tokov pa je obratno razmerju impedanc I1

I2= Z2

Z1.

c) Kaj je nadomestno vezje voda?Rešitev:Nadomestno vezje voda je model, ki matematično opiše električne lastno-sti voda. Ponazorimo ga s tako imenovanim π nadomestnim vezjem, ki jeprikazano na slliki 25.

Slika 25: π nadomestno vezje voda.

22

Naloga: Dano vezje opiši z vsemi tremi metodami.

Slika 26: Vezje za nalogo.

Rešitev:Vezje s slike 26 je že ustrezno označeno, zato se lahko lotimo zapisa enačb.

Zančne tokove zank 1, 2 in 3 zapišemo z oznakami IZ1, IZ2, IZ3.

• Enačbe vejne metode so:

TKE1: Ig + I1 + I4 = 0TKE2: − I1 + I2 + I3 = 0TKE2: − I2 − Ig + I5 = 0NKE1: − Ug + I1R1 + I3R3 − I4R4 = 0NKE2: − I3R3 + I2R2 + I5R5 = 0

• Enačbe zančne metode so:

NKE1: − Ug + (IZ1 − IZ3)R1 + (IZ1 − IZ2)R3 − IZ1R4 = 0NKE2: (IZ2 − IZ1)R3 + (IZ2 − IZ3)R2 + IZ2R5 = 0NKE3: IZ3 = Ig

23

• Enačbe vozliščne metode so:

TKE1: V1 − UgR4

+ V1 − V2

R2+ Ig = 0

TKE2: V2 − V1

R1+ V2

R3+ V2 − V3

R2= 0

TKE3: V3 − V2

R2+ V3

R5− Ig = 0

24

Literatura[1] Jože Mlakar, Linearna vezja in signali, Založba FE in FRI, Ljubljana,

2007.

[2] Andrej Košir, Linearna vezja in signali, zbirka rešenih vaj, Založba FEin FRI, Ljubljana, 2008.

[3] Marjan Jenko, Elektrotehnika, UL FS, Ljubljana, 2014.

[4] Kratka ponovitev osnov linearnih vezij, [ogled 4. 4. 2019], dostopno nahttp://laspp.fri.uni-lj.si/dt2/DTII-osnove_lin_vezij.pdf.

[5] Električne lastnosti vodov, [ogled 4. 4. 2019], dostopno na http://www.powerlab.um.si/novo2012/Download/REE/Predavanja/REE_2_5_Elektricne_lastnosti_vodov-telegrafska_enacba_2014.pdf.

[6] Arpad Burmen, Linearna elektronika, [ogled 4. 4. 2019], dostopno nahttp://fides.fe.uni-lj.si/~arpadb/le/le-2012.pdf.

[7] Analiza vezij, [ogled 4. 4. 2019], dostopno na http://lbm.fe.uni-lj.si/oe/OE1_2009/Analiza_vezij(4).pdf

[8] Danilo Makuc, Generatorji in transformatorji, zbirka nalog z rešitvami,[ogled 4. 4. 2019], dostopno na http://fides.fe.uni-lj.si/~arpadb/le/le-2012.pdf

25