Fakultet prometnih znanosti, Zagreb Zavod za gradski ... prometnog inženjerstva/OPI... · PRIMJERI...
Transcript of Fakultet prometnih znanosti, Zagreb Zavod za gradski ... prometnog inženjerstva/OPI... · PRIMJERI...
Prof. dr. sc. Ljupko Šimunović, dipl. ing.
Fakultet prometnih znanosti, Zagreb
Zavod za gradski promet
TEORIJA REPOVA/REDOVA(queueing theory)
OPERACIJSKA ISTRAŽIVANJA
Operacijska istraživanja (OI) - bave se matematičkimmodeliranjem realnih procesa u svrhu donošenja optimalnih odlukau okviru danih restrikcija i ograničenih kapaciteta.
Metode i alati OI
Cijelobrojno programiranje
Markovljevi lanci
Teorija repova/čekanja
Mrežno programiranje
Višekriterijsko programiranje (AHP)
Metode prognoziranja
Teorija igara
Analiza osjetljivosti
Heurističko odlučivanje
TEORIJA REDOVA/REPOVA
UVOD
Teorija redova poznata je i kao teorija masovnog usluživanja (ili
posluživanja).
Teorija redova (masovnog usluživanja) jedna je od metoda
operacijskih istraživanja koja proučava procese usluživanja
slučajno pristiglih jedinica ili zahtjeva za nekom uslugom koristeći
se pritom matematičkim modelima pomoću kojih se ustanovljava
međuzavisnost između dolazaka jedinica, njihovog čekanja na
uslugu, usluživanja, te na kraju izlaska jedinica iz sustava, sa
svrhom da se postigne optimalno funkcioniranje promatranog
sustava
Teorija redova je područje matematike koje modelira ponašanje
redova.
OTAC TEORIJE REPOVA
Danski inženjer A. K. Erlang
eksperimentirao je 1909. s
promjenom potražnje u telefonskom
prometu u Copenhagenu i izučavao
kapacitet telefonskog sustava
1917, objavio je izvješće o rješenju
kašnjenja u automatskoj telefoniji
Krajem II Svjetskog rata njegov rad
je proširen na rješavanje drugih
generalnih problema
Morse, 1958. objavljuje rad Queues,
Inventories and Maintenance
Prvi tekst o repovima u transportu
napisao je Newell 1971.
(Applications of Queueing theory)
PROBLEMI U PROMETU
Putovanja ovise o vremenu rada tvornice, škole, trgovine, banke..
Usluga nije sinkronizirana s potražnjom (plaćanje usluge organizirati
u vrijeme praznog hoda)
Posljedice: Troškovi čekanja korisnika u repu i gubitka vremena kad
servis nije angažiran (nema nikoga na posluživanju)
Optimalni balans postiže se pravilnim rasporedom dolazaka i
pružanjem odgovarajuće usluge u vrijeme kad servis nije angažiran
Troškovi čekanja Troškovi gubitka vremena kad servis nije uposlen
PROBLEMI U PROMETU
Neusklađenost potražnje i ponude
Potražnja je najčešće limitirana infrastrukturom
PR: U luku pristižu brodovi iz različitih dijelova svijeta. Pitanje
koliko pristaništa u luci treba izgraditi da bi ekonomski učinci bili
najveći
Mali broj pristaništa i ukrcajno - iskrcajnih postrojenja, maksimalno
iskorištenje, ali će se pojaviti gubici čekanja brodova u luci.
Prevelik broj pristaništa i postrojenja, brodovi ne bi čekali, ali bi
postrojenja bila neiskorištena, pa ponovo imamo gubitke.
Ovakvi problemi rješavaju se analizom redova čekanja (waiting line
analysis)
ELEMENTI SUSTAVA REPOVA
Sustav repova definiran s tri elementa:
Korisnici, poslužitelji (serveri) i repovi
Korisnici su osobe ili stvari koje čekaju na uslugu (putnici, vozila,
roba
Poslužitelji pružaju uslugu korisnicima (cesta, bus, gate-ovi/izlazi
na aerodromu, šalteri, naplatne kućice)
Rep je grupa korisnika koji čekaju na uslugu (obično poredani u
red, ali može biti i grupa koja čeka npr. na terminalu, pješačkom
prijelazu
ELEMENTI SUSTAVA
Neusmjerena Dolazak Rep (linija čekanja) Servis Izlaz iz sustava
vozila
Dolazak u sustav U sustavu Izlazak iz sustava
Karakteristike dolazaka Karakteristike čekanja Karakteristike posluživanjaVeličina (broj) dolaznih (Ne)ograničenost repa Vrsta servisa (kanali, faze)klijenata u repu Vrsta repa (disciplina) Statistička razdioba odlazaka Dolazno ponašanjeStatistička razdioba dolazaka
Autopraonica
Ulaz Izlaz
PERFORMANSE SUSTAVA REPOVA
Za potpuni opis sistema u kojem dolazi do stvaranja repa potrebno
je poznavati slijedeće elemente:
prosječnu vrijednost dolaska u sustav
razdiobu dolazaka
prosječnu vrijednost trajanja usluge
razdiobu vremena usluge
način usluživanja repa
broj uslužnih kanala
PROCES DOLAZAKA U SUSTAV
Dolasci klijenata u sustav mogu biti deterministički kada
klijenti (vozila, ljudi, paketi..) dolaze u jednakom broju ili
jednakim vremenskim razmacima (što ne prdstavlja problem) i
stohastički kada klijenti dolaze slučajno (dolasci variraju u
vremenu i broju) pa se trebaju aproksimirati prema određenoj
teorijskoj razdiobi vjerojatnosti.
Transient condition
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
time, t
Num
ber
of
jobs i
n t
he s
yste
m,
N(t
)
Steady State condition
E[N(t)]N(t)
N(t) = broj klijenata u sustavu
u vremenu t
E[N(t)] = očekivani broj
klijenata u sustavu
PROCES DOLAZAKA U SUSTAV
Za opisivanje slučajnih dolazaka koriste se vjerojatnosti,
odnosno dolasci se aproksimiraju prema određenoj
teorijskoj razdiobi vjerojatnosti
Razdiobe vjerojatnosti dijelimo na kontinuirane i
diskontinuirane (ovisno da li slučajna varijabla poprima
bilo koju vrijednost na nekom intervalu ili
konačan/prebrojiv broj vrijednosti)
VRSTE RAZDIOBA (DISTRIBUCIJA)
Kontinuirane
distribucije
Normalna ili Gaussova distribucija
Studentova ili t-distribucija
Gama distribucija
Eksponencijalna distribucija
Uniformna distribucija
Weibullova distribucija
Paretova distribucija
Hi-kvadrat distribucija
Diskontinuirane
distribucije
Binomna distribucija
Poissonova distribucija
Hipergeometrijska distribucija
Geometrijska distribucija
Diskretna uniformna distribucija
VRSTE RAZDIOBA (DISTRIBUCIJA)
Najčešće razdiobe koje se koriste za modeliranje dolazaka
vozila u sustav i procesa pražnjenja/posluživanja su:
• Uniformna (deterministička)
• Poissonova
• Erlangova
PROCES DOLAZAKA U SUSTAV
Za opisivanje dolazaka koriste se pojmovi:
očekivani (srednji) broj dolazaka ili intenzitet dolazaka
klijenata „λ” u sustav, u jedinici vremena (odgovara protoku
vozila „q” u prometnom toku) i
srednje vrijeme dolazaka izraženo u sekundama po klijentu
„1/λ” (odgovara time headway u prometnom toku vozila)
Dolasci klijenata su obično diskretne slučajne varijable
(poprimaju konačan broj vrijednosti, dobiju se npr.
prebrojavanjem automobila), a vremena između dolazaka su
kontinuirane slučajne varijable (poprimaju bilo koju vrijednost iz
intervala ili beskonačno vrijednosti)
POISSONOVA RASPODJELA
Obilježja Poissonove diskretne razdiobe
- oblik Poissonove razdiobe ovisi o parametru
- razdioba unimodalna i desnostrano asimetrična,
- asimetrija je manja što je veći.
- kako raste broj dolazaka, asimetrija se smanjuje i na kraju aproksimira
normalnu raspodjelu.
vjerojatnost da će x klijenata doći u sustav u vremenu t
PROCES USLUŽIVANJA
Procesom usluživanja (pokazuje stohastičke varijacije)
Za opisivanje posluživanja koristi se vjerojatnost, odnosno
očekivanje srednjeg broja klijenata na servisu
Proces posluživanja ili servisa opisuje se
intenzitetom usluživanja „µ” ili prosječnom vrijednosti trajanja
usluge „1/µ”
razdiobom vremena usluge
Prosječna broj klijenata koji mogu biti usluženi u vremenu t „µ”
definiran je kapacitetom posluživanja ili srednjim vremenom
posluživanja izraženim u sekundama po klijentu „1/µ”
EKSPONENCIJALNA DISTRIBUCIJA
Služi za opisivanje trajanja usluge, vremena između dolaska dva
klijenta, vozila, posjeta nekoj adresi, duljina poziva na telefonu,
kvarova na nekom uređaju ili stroju,..
t
T etF 1)(
00
0)(
tza
tzaetf
t
T
Vrijeme između dolazaka
fT(t)
µ = prosječan broj klijenata
koji može biti uslužen u
jedinici vremena
1/ = srednje vrijeme
posluživanjafT(t) – funkcija gustoće vjerojatnostit – slučajna varijablaE(X) – prosječni/srednji interval vremenaFT(t)-funkcija kumulativnedistribucije
Srednja vrijednost
E[T]=1/µ
ILUSTRACIJA EKSPONENCIJALNE DISTRIBUCIJE
Vjerojatnost da će se usluga završiti
u vremenu t
P(X t) = 1 - e-t
µ = t
fT(t)
Srednja vrijednost
E[T]=1/µ
Vrijeme između dolazaka
Prosječno prometno opterećenje toka q (voz/sat) ili intenzitet usluge „µ” veći, je prosječne vremenske praznine u promatranom razdoblju manje (inverzna vrijednost µ i 1/µ)Funkcija gustoće vjerojatnosti eksponencijalne razdiobe
µ
Vje
roja
tno
st g
ust
oća
INTENZITET USLUŽIVANJA (VAŽNO)
„μ” - srednja brzina ili intenzitet posluživanja [korisnika/jedinica
vremena], prosječan broj klijenata koji može biti uslužen u jedinici vremena
Srednji broj ili intenzitet posluživanja najčešće se ravna po
Poissonovoj razdiobi
„1/μ” [vrijeme/klijentu] - srednje (očekivano) vrijeme posluživanja
ts (vrijeme koje je potrebno da bi se poslužio jedan korisnik) ili
vremenski razmaka između dva posluživanja.
Srednje vrijeme posluživanja najčešće se ravna po
Eksponencijalnoj razdiobi
Prosječno prometno opterećenje glavnog toka q (voz/sat) ili
intenzitet usluge µ, u promatranom razdoblju, je inverzna
vrijednosti prosječne vremenske praznine
INTENZITET DOLAZAKA (VAŽNO)
λ [korisnika, jedinica/vrijeme] – srednja brzina ili intenzitet
dolazaka
Srednji broj ili intenzitet dolazaka najčešće se ravna po
Poissonovoj razdiobi
1/λ – očekivano, srednje međudolazno vrijeme ta
Srednje međudolazno vrijeme najčešće se ravna po
Eksponencijalnoj razdiobi
Razdioba vjerojatnosti opisuje se pomoću slučajne varijable
X i pripadajućih vjerojatnosti
DOLASCI I POSLUŽIVANJA U REDU ČEKANJA
Pr. ako je intenzitet dolaska vozila λ = 6 voz/h onda je vrijeme
između dva dolaska t = 60/6 = 10 min
Pr. ukoliko je intenzitet servisiranja μ = 2 dijela/h (svaki sat se
obrade dva dijela na stroju) onda je prosječno vrijeme
servisiranja jednog dijela jednako ts = ½ = 0.5 h za jedan dio.
Pr. ako je intenzitet dolaska vozila λ = 180 voz/h onda je vrijeme
između dva dolaska ta = 3600/180 = 20 sekundi
Poznat intenzitet dolazaka λ (ili usluge μ) treba odrediti vrijeme
između dva dolaska “ta“ (ili vrijeme usluge “ts“ )
DOLASCI I POSLUŽIVANJA U REDU ČEKANJA
λ = 1 ⁄ ta = const μ = 1/ts = const
Pr. ukoliko je prosječno vrijeme između dva dolaska korisnika jednako 2h, tada je intenzitet dolaska jednak λ = 1/(2h) = 0.5 korisnika/h (svaki sat dolazi ½ korisnika)
Pr. Vrijeme usluživanja na naplatnoj postaji za jedan automobil je 2 min, tada je intenzitet posluživanja μ = 60/ (2 min) = 30 vozila/h.
Poznato je vrijeme dolaska ta (ili usluge ts) treba odrediti
intenzitet dolazaka λ (ili usluge μ)
KUMULATIVNI DIJAGRAM
Dolazak i odlazak pojedinog korisnika prikazan je stepenicom u
vremenu, kad se zbio taj događaj
Kumulativni dolasci A(t) u vremenu od 0 do t (pokazuju koliko je korisnika ušlo u sustav)Kumulativni odlasci D(t) u vremenu od 0 do t (pokazuju koliko je korisnika napustilo sustav)Broj korisnika u sustavu L(t) u bilo kojem vremenu t A(t) – D(t)W(t) - ukupno vrijeme svih klijenata provedeno u sustavu
NESATURIRANI (STACIONARNI) SUSTAV
Ako je broj dolazaka u sustav u jedinici vremena „λ” (prometni
tok q) manji od intenziteta usluge - vremena trajanja usluge po
klijentu (od kapaciteta infrastrukture „C”) onda postoji stabilnost
sustava
Takav sistem se naziva nezasićeni (nesaturirani) ili stacionarni
sistem.
Kumulativne
krivulje,
zastoj i rep
Stacionarni uvjeti Povremeni nestacionarni uvjeti
ANALIZA REPOVA NA SEMAFORIZIRANOM
RASKRIŽJU
U stacionarnim uvjetima odvijanja prometnog toka na
semaforiziranim raskrižjima svaki ciklus odnosno njegova
zelena faza omogućava disipaciju cijele kolone akumulirane za
vrijeme crvenog svjetla.
To znači da nijedno vozilo ne čeka više od jednog ciklusa za
prolaz raskrižjem što je realan slučaj za mala opterećenja i
dobro odabrane faze ili na semaforima s detektorskim petljama.
ANALIZA REPOVA NA SEMAFORIZIRANOM
RASKRIŽJU – STACIONIRANI UVJETI
Na početku crvene faze tok je zaustavljen i počinje se stvarati
kolona vozila.
Ponovnim aktiviranjem zelene faze vozila u koloni odlaze te
funkcija odlaska sustiže funkciju dolaska
Od ove točke linija dolaska i odlaska dalje koincidiraju što znači
da sva ostala vozila pristigla za vrijeme zelenog svjetla prolaze
kroz raskrižje bez zakašnjenja do trenutka ponovnog aktiviranja
crvene faze
Ovakav scenarij predstavlja idealni slučaj koji pretpostavlja da
su sva vozila u koloni ispražnjena za vrijeme trajanja zelene
faze
NESTACIONARNI UVJETI
U realnosti rijetki su slučajevi uniformnog dolaska pa je
prihvatljivija pretpostavka slučajnih dolazaka klijenata (po
Poisson-ovoj razdiobi)
NESTACIONARNI UVJETI
U slučaju da je intenzitet dolaska λ veći od intenziteta pružanja
usluge onda rep raste i ne može se više govoriti o vremenskoj
nezavisnosti sustava, odnosno govori se o zasićenom
(saturiranom) sustavu i vremenski ovisnim modelima
Nestacionarni uvjeti
ANALIZA REPOVA NA SEMAFORIZIRANOM
RASKRIŽJU – NESTACIONIRANI UVJETI
Kod prezasićenosti sistema potražnja premašuje kapacitet u
duljem vremenskom razdoblju pa se kolona vozila iz ciklusa u
ciklus stalno povećava jer se čitavi rep ne uspijeva isprazniti za
vrijeme zelene faze.
Samim tim povećava se i zakašnjenje jer se nova kolona vozila
u ciklusu pridodaje ostatku kolone iz prethodnog ciklusa.
Zbog kumulativnog povećavanja kolone zakašnjenje može
postati ekstremno veliko.
GRAFIČKA ANALIZA REPOVA
Sustav je prikazan kroz četiri fazeFaza I: Stagniranje - predstavlja inicijalnu fazu (t = 0-20), kad se svi klijenti mogu uslužiti jednakom brzinom kako pristižu u sustav Faza II: Rast - predstavlja fazu rasta repa (t = 20-80), kad se svi klijenti ne mogu uslužiti jednakom brzinom kako pristižu u sustav Faza III: Opadanje – započinje u trenutku kad rep dostiže maksimalnu duljinu i traje do izjednačavanja s kapacitetom, kad nestaje repa (t = 80-140)Faza IV: Stagniranje – rep stagnira na 0, klijenti dolaze sporije od mogućnosti usluživanja sustava
FAZE ZASIĆENOG SUSTAVA
Sustav je prikazan kroz četiri faze
Faza I: Stagniranje
Faza II: Rast
Faza III: Opadanje
Faza I: Stagniranje
ANALIZA REPOVA NA SEMAFORIZIRANOM
RASKRIŽJU – NESTACIONIRANI UVJETI
U ovakvom jednostavnom modelu ukupno zakašnjenje n-tog
vozila predstavljeno je horizontalnom razlikom između linije
dolazećih i odlazećih vozila.
Vertikalna razlika između linija dolazaka i odlazaka, predstavlja
ukupni broj vozila u koloni tj. duljinu repa u trenutku t.
Ukupno zakašnjenje u nekom periodu predstavlja sumu svih
formiranih površina trokuta između funkcija dolaska i odlaska
NAČIN POSLUŽIVANJA (SCHEDULING)
Moguće su razne discipline posluživanja:
FIFO (First In First Out) ili FCFS (First Come First Served) – prvi koji je došao u red, bit će prvi i poslužen
LIFO (Last In First Out) ili LCFS (Last Come First Served) – zadnji koji je došao u red bit će prvi poslužen
Prema određenim prioritetima (Priority service PRIOR algoritam)
Slučajno (Service in Random OrderSIRO algoritam) svakoj jedinici daje istu vjerojatnost usluživanja bez obzira na vrijeme dolaska
OSNOVNE STRUKTURE SUSTAVA
Kanali/serveri – paralelni poslužitelji koji istovremeno poslužuju korisnike.
Faze – slijedno postavljeni poslužitelji, tako da korisnici moraju proći sve poslužitelje da bi bili posluženi.
OZNAKE VRSTE I TIPA REDA ČEKANJA
- NOTACIJA -
A/B/m/K/N
Dolazni proces•M: Markovian •D: Deterministic•Er: Erlang•G: General
Proces usluživanja•M: Markovian •D: Deterministic•Er: Erlang•G: General
Broj kanala
posluživanja (paralelnih
poslužitelja ili servisa)
m=1,2,…
kapacitet sustava, max broj
korisnika u sustavu (u redu
čekanja ili na
posluživanju/servisu); K= 1,2,…
(ako je ∞ ne piše se)
Redoslijed
posluživanja/servisa
U tu svrhu prihvaćena je Kendall-ova notacija oblika A/B/m/K/N iliv / w / x / y / z
M (Markovian) = Poissonov dolazak ili exponencijalno vrijeme uslugeD (Deterministic) = Konstantna dolazna rata ili vrijeme uslugeG (General) = Opća vjerojatnost za dolaske ili vrijeme usluge
NOTATION
PR. - OPIS POSLUŽITELJSKOG SUSTAVA
M M s
Poissonova razdioba dolazaka
Negativnaexponencijalna
distribucija vremena usluge
jednokanalski sustavjedan server (single)
PR. - OPIS POSLUŽITELJSKOG SUSTAVA
M M m
Poissonovadistribucija dolazaka
Negativnaekponencijalna
distribucija usluge
Višekanalski sustavviše servera
OPIS POSLUŽITELJSKOG SUSTAVA: PRIMJERI
M/M/1: Poissonovi dolasci, eksponencijalna razdioba vremena posluživanja, jedan poslužitelj, beskonačni spremnik
M/M/m: sustav jednak prethodnom samo sa m poslužitelja/servera
M/M/5/40: Poissonovi dolasci, eksponencijalna razdioba vremena posluživanja, 5 poslužitelja, max broj korisnika u sustavu 40 (u redu čekanja 35 i na posluživanju/servisu 5);
M/G/1: Poissonovi dolasci, vremena posluživanja raspodjeljena sukladno općoj razdiobi, jedan poslužitelj, beskonačni spremnik
M/D/1 Poissonovi dolasci ili eksponencijalna raspodjela među dolaznih vremena, determinističko vrijeme posluživanja, 1 server
G/G/3/20/FCFS opća raspodjela dolazaka i servisa, 3 servera, 17 klijenata u repu, first come first servis
MODEL REDOVA ČEKANJA S OSNOVNIM PARAMETRIMA
Tw ili Wq
Lw
Ts ili Ws
Ls
T ili W
L
vrijeme - T ili W = Ww + Ws
duljina repa - L = Lw + Ls
PARAMETRI SUSTAVA USLUŽIVANJA
L ili N - prosječan broj korisnika u sustavu (u redu čekanja i na posluživanju)
Lw - prosječan broj korisnika u redu čekanja
Ls – prosječan broj korisnika koji se servisira
T ili W - prosječno vrijeme koje korisnik provede u sustavu (čekanje i posluživanje)
Tw ili Wq - prosječno vrijeme koje korisnik provede u redu čekanja
Ts ili Ws– vrijeme koje korisnik provede u servisiranju
P0 - vjerojatnost da nema korisnika u sustavu
Pn - vjerojatnost da je n korisnika u sustavu
Pq(n) – vjerojatnost broja korisnika u redu za čekanje
ρ - iskoristivost, tj. dio vremena u kojem je sustav u uporabi
RESUME - ANALIZA SUSTAVA
Osnovna pitanja koja se javljaju kod analize jednog sustava s
fenomenom stvaranja repova su:
razdioba duljine repa
razdioba vremena čekanja u repu
postotak vremena kada je sistem prazan
Koje će se razdiobe primijeniti ovisi o konkretnom sustavu koji
se analizira (nesemaforizirano raskrižje, semaforizirano
raskrižje, ulazna rampa, parking itd.) i određuju se na temelju
izvršenih mjerenja ili već ranije provedenih istraživanja
LITTLE-ove FORMULE
Vrijede samo za stabilne sustave
L = λ·T - prosječan broj korisnika, jedinica/paketa u sustavu
(Lq = λTw, Ls= λTs )
λ – intenzitet dolazaka
T – prosječni čekanje u sustavu
L ili N = λ·T
POKAZATELJ/FAKTOR ISKORIŠTENJA (OPTEREĆENJA) SUSTAVA
Za ocjenu rada sustava uvodi se pokazatelj opterećenja sustava
Pokazatelj iskorištenja odnosno opterećenja sustava (engl.: the
traffic intensity) ili stupanj zasićenja (saturiranosti) je odnos
intenziteta toka dolazaka i intenziteta posluživanja i označava se s
grčkim slovom ρ:
ρ = ts ⁄ ta
Ako je ρ < 1, sustav je stabilan (μ > λ)
ts- vrijeme uslugeta - vrijeme dolaska
DONOŠENJE OPTIMALNIH ODLUKA
Cilj teorije repova je donošenje optimalnih odluka radi postizanje
maksimalnih ekonomskih učinaka
RJEŠAVANJE PROBLEMA
Riješiti problem znači odrediti optimalan broj uslužnih mjesta
sukladno potražnji kako bi vrijeme čekanja u redu ili troškovi
(gubici) prouzrokovani čekanjem bili minimalni.
Za samo rješavanje problema u transportu najčešće se primjenjuje
optimizacija i kontrola sustava (optimizacija ciklusa i faza na
semaforu, dodavanje prometnog traka, promjena smjera u špicama
na cesti, povećanje broja šaltera ili naplatnih kućica..)
RESUME - ANALIZA SUSTAVA
Osnovna pitanja koja se javljaju kod analize jednog sustava s
fenomenom stvaranja repova su:
razdioba duljine repa
razdioba vremena čekanja u repu
postotak vremena kada je sistem prazan
Koje će se razdiobe primijeniti ovisi o konkretnom sustavu koji
se analizira (nesemaforizirano raskrižje, semaforizirano
raskrižje, ulazna rampa, parking itd.) i određuju se na temelju
izvršenih mjerenja ili već ranije provedenih istraživanja
ŠTO TREBA ZNATI IZ VJEROJATNOSTI?SIMULACIJSKO MODELIRANJE MONTE KARLO
Teoriju redova karakterizira izuzetno velika matematička složenost
Gdje je klasična teorija masovnog usluživanja iscrpljena, pomaže metoda simulacijskog modeliranja slučajnih procesa, poznatija kao simulacijsko modeliranje Monte Karlo.
Ova metoda osigurava približna rješenja za niz matematičkih problema primjenom statističkog uzorkovanja na računalskim modelima
Rulet je jednostavni generator slučajnih brojeva, a grad Monte Karlo, prestolnica ruleta i kocke
Na temelju informacija u
kutiji zaključujemo što je u ruci.
Na temelju informacija u ruci zaključujemo što je u kutiji
Statistika Vjerojatnost
(1) P(A) 0
(2) vjerojatnost nemogućeg događaja jednaka je nuli P(Ø) = 0,
a vjerojatnost sigurnog događaja jednaka je jedan P(S) = 1, tj.
0 P(A) 1
(3) vjerojatnost da neće nastupiti događaj A jednaka je, tj.
( ) 1 ( )P A P A
( ) ( ) 1P A P A
SVOJSTVA VJEROJATNOSTI
SLUČAJAN POKUS, SLUČAJNA VARIJABLA
Slučajan pokus/eksperiment je postupak koji se može ponavljati
(npr. bacanje novčića), ako postoje barem 2 različita ishoda
(pismo, glava) te ako se ishodi ne mogu predvidjeti sa sigurnošću
(neizvjestan)
Slučajna varijabla X je funkcija koja svakom ishodu
(elementarnom događaju) slučajnog pokusa pridružuje realan broj
(npr. X je slučajna varijabla koja predstavlja ishod bacanja kocke,
tj. broj na kocki. Varijabla X može poprimiti vrijednosti iz skupa
{1,2,3,4,5,6}
DISKRETNA I KONTINUIRANA SLUČAJNA VARIJABLA
Diskretna slučajna varijabla – poprima konačan broj vrijednosti x1,
x2, ..xi..xk (npr. bacanje kocke 1,2,3,..6 ili bacanje novčića P, G)
U pravilu nastaje u pokusima u kojima nešto prebrojavamo;
vrijednost bacanja kocke, broj vozila na sat, broj e-mailova koji se
šalje na dan
Kontinuirana slučajna varijabla – poprima bilo koju
vrijednost/beskonačno vrijednosti/ iz nekog intervala (od jednog
do drugog broja)
Primjer kontinuirane slučajne varijable - vrijeme trajanja
telefonskog razgovora; vrijeme čekanja na šalteru, brzina,
headway, vremenski interval između dolazaka vozila na naplatne
kućice
DISTRIBUCIJA SLUČAJNE VARIJABLE I OČEKIVANJE
Vrijednosti slučajne varijable (npr. kod bacanja kocke 1,2,3,..6 ili bacanja
novčića P, G) nastupaju s određenim vjerojatnostima p(x1).. p(x2) ..p(xi)
Distribucija (razdioba) slučajne varijable X može se zapisati na
sljedeći način:
Očekivana vrijednost slučajne varijable X:
1
-
, ako je varijabla diskretna
( )
( ) , ako je varijabla kontinuirana
k
i i
i
x p x X
E X
xf x dx X
FUNKCIJA VJEROJATNOSTI ILI FUNKCIJA GUSTOĆE
SLUČAJNE VARIJABLE I KUMULATIVNA FUNKCIJA
DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI
Funkcija p(x) koja svakoj vrijednosti slučajne varijable xi pridružuje
određenu vjerojatnost p(xi) naziva se funkcija vjerojatnosti ili
funkcija gustoće slučajne varijable
Kumulativna funkcija distribucije F(X) pokazuje kolika je
vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi bilo koju vrijednost
manju ili jednaku x0
FUNKCIJE DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI I
KUMULATIVNA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE
VJEROJATNOSTI DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE
F(x) – funkcija distribucije
vjerojatnosti diskretne
slučajne varijable
Kumulativna funkcija
distribucije diskretne
slučajne varijable X “F(X)”
Npr. vjerojatnost da broj vozila koji dolaze u sustav bude manji od 5
FUNKCIJE DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI I
KUMULATIVNA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE
VJEROJATNOSTI KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE
f(x) - funkcija distribucije vjerojatnosti
kontinuirane slučajne varijable (nema
značenje vjerojatnosti)
Kao vjerojatnost može se smatrati
umnožak f(x)dx - vrijednost funkcije
vjerojatnosti u okolini točke x
Kumulativna funkcija
distribucije kontinuirane
slučajne varijable može
se izračunati preko
funkcije gustoće
vjerojatnosti f(x)
Npr. vjerojatnost da je međudolazno vrijeme veće od t1 a manje od t2 ili da u vremenu od 30 min pristigne 10 vozila
KUMULATIVNA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE
VJEROJATNOSTI KONTINUIRANE SLUČAJNE
VARIJABLE
Vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x, u
primjeru od x=2
PRIMJERI STOHASTIČKOG SUSTAVA(vremena dolazaka slučajna i trajanje usluge nije poznato)
Određivanje broja dolazaka (Poissonova raspodjela)
PR. Informacije su pozvane u prosjeku 20 puta u toku jednog sata. Kolika
je vjerojatnost da će u periodu od 15 minuta biti
a) barem jedan poziv
b) najviše jedan poziv
Prvo treba odrediti srednji broj poziva u 5 minuta
20 poziva na sat je isto što i 5 poziva u 15 minuta
Poissonova raspodjela λ = 5 poz./15 min
a)
b)
0! = 1
PRIMJERI STOHASTIČKOG SUSTAVA(vremena dolazaka slučajna i trajanje usluge nije poznato)
Određivanje broja dolazaka (Poissonova raspodjela)
PR: Servis HAK-a, za popravak vozila, pozvan je u prosjeku 7 puta u toku 1
sata. Kolika je vjerojatnost da će u toku određenog sata servis biti
pozvan
a) točno 4 puta
b) bar jedanput
a)
b)
λ=7
1. Prosječno vrijeme između dva telefonska poziva je eksponencijalno distribuirano i iznosi 80 sekundi. Odredite vjerojatnost
a) da to vrijeme bude najmanje 80 s
b) da poruka dođe za manje od 60 s
c) da poruka stigne između 50-te i 100-te s
λ = 1/80, jer je prosječno vrijeme između dva dolaska 80 s.
a) p(X ≥ 80) = p(80 < X < ∞) = 1- F(80) = 1-(1-e-80/80) = 0.3679
b) p(X<60) = p(-∞ <X< 60) = F(60) – 0 = 1-e-60/80 = 0.5276
c) p(50 < X< 100) = F(100) – F(50) = (1-e-100/80) - (1-e-50/80) = 0.2488
xexF 1
Određivanje vjerojatnosti vremenskog intervala pojavljivanja klijenata, događaja.
Eksponencijalna distribucija
PRIMJERI STOHASTIČKOG SUSTAVA(vremena dolazaka slučajna i trajanje usluge nije poznato)
FORMULEJEDNOKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / 1/ ∞)
1) ρ = 1 – P0 vjerojatnost da je sustav pun,
2) P0 = 1 – ρ = 1 – λ/μ vjerojatnost da je sustav prazan
3) P1 = λ/μ · P0 = ρ · P0 vjerojatnost da je u sustavu jedna osoba
4) P2 = λ/μ · P1 = ρ · (ρ · P0)= ρ2 · P0 = ρ2 (1 – ρ) vjerojatnost da su u
sustavu dvije osobe
.
5) Pn = (λ/μ)n·P0 = (λ/μ)n ·(1 –λ/μ) = ρn·(1-ρ) vjerojatnost da u
sustavu ima n korisnika
6) Pn = ρ · Pn-1, n=1,2,..
JEDNOKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / 1/ ∞)
1
22
ww TL
11
2
LLw
wLE
1
1TL
11
2
sW LLL
1ss TL
11
2
ws LLL
wLE
wLE
Očekivani/srednji broj korisnika u repu
Očekivani/srednji broj korisnika u sustavu
Očekivani/srednji broj korisnika na servisu/usluživanju
Prosječan broj korisnika u redu čekanja
Prosječan broj korisnika u sustavu
Prosječan broj korisnika na servisu/posluživanju
FORMULE
JEDNOKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / 1/ ∞)
TL
T ww
)()(
1 2
1)1()1(
)(
11 ssw
TTTT
11
ss
ssw
TT
TTTT
11 s
s
LT
1
)(
1
ws TTT
E[Tw]
E[Ts]
Prosječno vrijeme koje korisnik provede u redu čekanja
Prosječno vrijeme koje korisnik provede na usluživanju
očekivano/srednje vrijeme čekanja u repu po klijentu
Očekivano/srednje vrijeme posluživanja/servisiranja po korisniku
FORMULE
JEDNOKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / 1/ ∞)
11LT
11
)(sw TTT
1sw TTT
11
ss
ssw
TT
TTTT
E[T]
Prosječno vrijeme koje korisnik provede u sustavu
očekivano vrijeme zadržavanja u sustavu po korisniku
FORMULE
11LT
ZADATAK (primjer za M/M/1 sustav)
Na poštanski šalter po Poissonovoj raspodjeli stiže 10 korisnika
tijekom 1 sata. Srednje vrijeme posluživanja koje se ravna po
eksponencijalnoj raspodjeli iznosi prosječno 4 minute po klijentu.
Odredite
a) Vjerojatnost da u sustavu nema korisnika, da ima samo jedan, dva,
dva ili manje, tri ili više
b) Prosječan broj korisnika u sustavu (koji čekaju u repu ili su na
servisu)
c) Prosječan broj korisnika koji čekaju u repu
d) Prosječno vrijeme koje korisnik provede u sustavu
e) Prosječno vrijeme koje korisnik provede na čekanju u repu
RJEŠENJE
μ = 60/4 = 15 korisnika/h – intenzitet posluživanja
ρ = 10/15 = 0.6667 – faktor iskorištenja
a) P(0 u sustavu) = 1 - ρ = 0.3333
P(1 u sustavu) = (1 - ρ)ρ = 0.2222
P(2 u sustavu) = (1 - ρ)ρ2 = 0.1481
P(2 ili manje u sustavu) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.7037
P(3 or više u sustavu) = 1 - P(2 ili manje u sustavu) = 1 - 0.7037 =
0.2963
b) L = ρ/(1-ρ) = 2 osobe .........
c) Lw = L-ρ = 1.333 osobe ...... Prosječan broj korisnika u repu čekanja
d) T = 1/(μ-λ) = 0.2 h/osoba
e) TW = ρT = 0.1333 h/osoba .. Srednje vrijeme čekanja u repu
Prosječan broj korisnika u sustavu (u repu i na posluživanju)
... Srednje vrijeme čekanja u sustavu
EKONOMSKA ANALIZA (ZA ZADATAK)
Metoda 1: Određivanje troškova prema vremenu boravka u sustavu (srednje vrijeme čekanja u sustavu je T = 0.2 sata po osobi), ako korisnici u njega dolaze intenzitetom λ =10 korisnika/h
T × λ × rata = trošak kn/h, T- srednje vrijeme čekanja u sustavu po osobi
rata – cijena sata (20 kn - pretpostavimo)
Deset korisnika izgubi 2 sata (10×0.2 = 2.0 h) na čekanju u sustavu.
Ako je cijena 1 sata 20 kn (hipotetički) to znači da grupa od 10 ljudi gubi 40 kn po svakom satu čekanja u sustavu (2 x 20 = 40 kn)
Metoda 2: Određivanje troškova prema prosječnom broju korisnika koji čekaju u sustavu (L = 2 os)
Svi misle da oni ne plaćaju (da ta dvojica koja čekaju u sustavu nisu oni)!
L × rata = trošak kn/h, gdje je: L - prosječan broj korisnika u sustavu 2 osobe × 20 kn/osoba-sat = 40 kn – trošak
EKONOMSKA ANALIZA
Predpostavimo da se želi modernizirati sustav s kojim će se vrijeme posluživanja smanjiti na pola.
Pretpostavimo da troškovi otplate nove opreme iznose 15 kn po satu ili 30 dana x 24 sata x 15 kn = 10800 kn mjesečno (hipotetički)
Kapacitet posluživanja sa starom opremom iznosio je μ=15 korisnika/h
Ako proces duplo ubrzamo, s novom opremom, broj usluženih korisnika u jednom satu „μ” će iznositi:
μ = 1/ts/2 = 60/4/2 ili 2·60/4 = 30 korisnika/h (sa starom opremom μ = 15
korisnika/h)
EKONOMSKA ANALIZA
Novi troškovi, s novom opremom, za korisnike koji pristižu u sustav s prosječnim intenzitetom 10 osoba u jednom satu, sada iznose:
Izračun troškova po metodi 1: (obzirom na izgubljeno vrijeme po korisniku u sustavu)
T = 1/(μ-λ) = 1/(30 -10)=1/20 = 0.05 sati/korisniku - novo vrijeme boravka u sustavu
T·λ·20 = 0.05×10×20 = 10 kn - novi trošak za 10 osoba na sat
Izračun troškova po metodi 2. (obzirom na prosječan broj korisnika koji čekaju u sustavu)
L = λ/(μ-λ) = 10/(30-10)=10/20 = 0.5 korisnika koji čekaju u sustavu u 1h
L·20 = 0.5×20 = 10 kn – novi trošak za 10 osoba u jednom satu
Modernijom uslugom ukupni satni trošak za 10 osoba je pao sa 40 kn na 10 kn. Ušteđeno je 30 kn po satu (40 kn–10 kn=30 kn).
Ako se za otplatu kredita za opremu plaća 15 kn po satu onda čista zarada iznosi 15 kn po satu (30-15=15 kn)
2. ZADATAK (PRIMJER ZA M/M/1 SUSTAV)
Automobili dolaze na naplatnu postaju po Poissonovoj razdiobi s prosječnim intenzitetom dolaska λ = 24 automobila na sat (24 h-1). Usluga na naplatnoj postaji traje u prosjeku 2 minute. Odredi operativne značajke sustava posluživanja: vjerojatnost da nema automobila na naplatnoj postaji, prosječan broj automobila u sustavu (repu i posluživanju), prosječan broj automobila na čekanju, prosječno vrijeme koje automobil provodi u sustavu, prosječno vrijeme koje automobil provede u redu čekanja, vjerojatnost da je naplatna postaja zauzeta (faktor iskorištenja), vjerojatnost da je naplatna postaja slobodna i može odmah prihvatiti automobil.
Dolazi li sustav u stacionarno stanje?
Rješenje:
Kako je vrijeme usluživanja jednako 2 min, tada je intenzitet posluživanja μ = 1/ (2 min) = 30 h-1.
Kako je λ<μ (24 < 30), sustav će doći u stacionarno stanje. Sada računamo operativne karakteristike prema izrazima.
Rješenje:
Vjerojatnost da nema automobila na naplatnoj postaji
Prosječan broj automobila u sustavu (repu i posluživanju)
Prosječan broj automobila na čekanju
Prosječno vrijeme koje automobil provodi u sustavu
Prosječno vrijeme koje automobil provede u redu čekanja
Vjerojatnost da je naplatna postaja zauzeta (faktor iskorištenja)
Vjerojatnost da je naplatna postaja slobodna i može odmah prihvatiti automobil.
T
Tw
Lw
3. ZADATAK (PRIMJER ZA M/M/1 SUSTAV)
Na naplatnu kućicu dolazi 180 vozila/sat po Poissonovoj razdiobi.
Vremena dolazaka i posluživanja se ravnaju po eksponencijalnoj
razdiobi. Srednje vrijeme posluživanja iznosi 15 s/vozilu. Odredite
a) prosječnu duljinu repa
b) vrijeme čekanja u repu (u minutama po vozilu) te
c) prosječno vrijeme zadržavanja u sustavu (u minutama po vozilu).
λ=180 voz/h = 3 voz/min
μ = 15 s/voz =4 voz/min
ρ=λ/μ = ¾ = 0.75
][25.21
2
vozLw
][min/75.0)(
vozTw
][min/11
vozT
a)
b)
c)
JEDNOKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / D / 1/ ∞) 22
sT
)1(212)(2
s
w
TT
12
2
ww TL
21
1)1(2
ss
ssw
TT
TTTT
21
1
TL
Model s jednim poslužiteljem, s eksponencijalnim vremenom
međudolazaka i konstantnim vremenom posluživanja
srednje vrijeme čekanja u redu
srednji broj jedinica/klijenata u repu
srednje vrijeme zadržavanja u
sustavu ili
srednji broj jedinica u sustavu
)1(2
21
)1(2
sw TTT
FORMULE
1. ZADATAK (PRIMJER ZA M/D/1 SUSTAV)
Na naplatnu kućicu dolazi 180 vozila/sat po Poissonovoj razdiobi.
Vrijeme posluživanja je konstantno i iznosi 15 s/vozilu. Odredite
prosječnu duljinu repa i vrijeme čekanja u repu (u minutama po vozilu)
te prosječno vrijeme zadržavanja u sustavu (u minutama po vozilu).
λ=180 voz/h = 3 voz/min
μ = 15 s/voz =4 voz/min
ρ=λ/μ = ¾ = 0.75
vozLw 125.1)75.01(2
75.0
)1(2
22
vozTw min/375.0)75.01(42
752.0
)1(2
vozT min/625.0)1(2
2
a)
b)
c)
VIŠEKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / S / ∞ )
vrijeme između dva uzastopna dolaska jedinica i vrijeme
opsluživanja jedinica ponašaju prema eksponencijanoj razdiobi.
ili prema rekurzivnim formulama:
MODEL TROŠKOVA ČEKANJA
Da bi se eliminiralo čekanje, koje se javlja u sustavu opsluživanja, bilo bi potrebno ili postaviti vrlo velik broj kanala (da jedinice uopće ne čekaju) ili samo onoliki broj kanala koji će stalno biti zaposlen (da kanali ne budu neiskorišteni).
Prema tome, optimalna varijanta bit će ona koja će gubitke koji nastaju zbog čekanja svesti na minimum.
Ukupni troškovi čekanja jednog sustava opsluživanja (C) sadrže: 1) troškove nastale zbog čekanja jedinica (Cw) i 2) troškove zbog neiskorištenosti uslužnih mjesta (Cp). Koristeći teoriju redova čekanja troškovi čekanja izračunaju se na sljedeći način: Troškovi čekanja jedinica (korisnika)
troškovi nezauzetih uslužnih mjesta
ukupni troškovi čekanja
MODEL TROŠKOVA ČEKANJA
gdje je: C - iznos ukupnih troškova (u novčanim jedinicama LQ - prosječan broj jedinica (korisnika) u redu čekanja (S - r) - broj slobodnih (nezauzetih) uslužnih mjesta (kanala) t - duljina vremenskog perioda za koji se izračunavaju troškovi
(primjerice godina dana) cw - iznos (u novčanim jedinicama) troška u jedinici vremena nastalog zbog
čekanja jedinice u redu cp - iznos (u novčanim jedinicama) troška u jedinici vremena nastalog zbog “čekanja", odnosno nezauzetosti kanala.
Dakle, pomoću teorije redova čekanja moguće je izračunati troškove koji nastaju zbog čekanja i ukupne troškove sustava opsluživanja koji se mogu koristiti u analizi međusobno konkurentnih uslužnih mjesta.
Drugim riječima, programiranjem procesa opsluživanja može se odrediti broj uslužnih mjesta za koji je iznos ukupnih troškova čekanja minimalan, tj. optimalan broj uslužnih mjesta (kanala).