Fakultet kemijskog in ž enjerstva i tehnologije
description
Transcript of Fakultet kemijskog in ž enjerstva i tehnologije
-
Fakultet kemijskog inenjerstva i tehnologijeMatematike metode u kemijskom inenjerstvu
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
Studenti : Ana krobica Andreja Prtenjak
2006/2007
-
UVODpri rjeavanju razliitih inenjerskih problema koriste se periodine funkcije: trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus imaju vanost u praktinoj primjeni u prouavanju signala, titranja, rezonancije i pri rjeavanju problema vezanih uz obine i parcijalne diferencijalne jednadbe
-
PERIODINE FUNKCIJEtemeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj analiziharmonika analiza predstavlja razvoj dotinih periodinih funkcija u odgovarajui Fourierov redfunkcija f : R R je periodina funkcija ako postoji T 0 takav da vrijedi: f(x + T) = f(x) za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva - broj T se zove period funkcije f(x)
-
grafovi takve funkcije dobivaju se periodinim ponavljanjem grafa unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T
-
OSNOVNE PERIODINE FUNKCIJEtrigonometrijske funkcije: - sinusne i kosinusne fje s periodom 2p
bilo koja periodina funkcija f(x) s periodom 2p moe se aproksimirati trigonometrijskim redom:
koeficijenti trigonometrijskog reda
-
RAZVOJ PERIODINIH FUNKCIJA PERIODA 2p U FOURIEROVE REDOVE da bi razvili odgovarajuu periodinu funkciju s periodom 2p u Fourierov red potrebno je izraunati koeficijente Fourierovog reda koje raunamo na temelju ovih izraza:
-
Izvod koeficijenatapretpostavimo da je f(x) periodina funkcija s periodom 2p, koju moemo prikazati trigonometrijskim redom
(1)
elimo odrediti koeficijente an i bna0 dobijemo integrirajui izraz s obje strane od p do p:
prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
-
sada emo redom izraunati koeficijente slinim postupkom mnoit emo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
integrirajui lan po lan proizlazi da je desna strana jednaka:
prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna funkcija)primjenjujui svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo izraz:
-
prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir, i posljednji integral je jednak nuli kada je ili iznosi p za svaki proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :
-
moemo izraunati koeficijente b1, b2,... pri emu mnoimo izraz (1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)integracijom tog izraza od p do p dobivamo:
integrirajui lan po lan, desna strana izraza je jednaka:
prvi integral jednak je nuli, sljedei integral takoer je jednak nuli za svaki n = 1, 2,...
posljednji i prvi lan jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
-
EULEROVE FORMULEUpisujui n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente, dobivaju se Eulerove formule:
-
FOURIEROV REDpomou periodine funkcije f(x) s danim periodom 2p, moemo izraunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati trigonometrijski niz:
ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x) koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)
-
TEOREM 1.
Ako imamo periodiku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je djelomino neprekidna unutar intervala i ukoliko postoji njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj toki unutar intervala integracije tada za odgovarajui Fourierov red kaemo da je konvergentan.
-
PRIMJEDBA:ukoliko Fourierov red odgovarajue funkcije f(x) konvergira, kao to je objanjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije f(x) pa moemo pisati:
- f(x) predstavlja Fourierov red dotine funkcije
ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat e sumu jednaku sumi originalnog reda pa se moe pisati:
-
PARNE I NEPARNE FUNKCIJEfunkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x
funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x
-
TEOREM 1.Fourierov red bilo koje parne periodine funkcije s periodom 2p je kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
s koeficijentima
Fourierov red bilo koje neparne periodine funkcije perioda 2p je tzv. sinusni Fourierov red koji zapisujemo:
s koeficijentima
-
TEOREM 2.Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajuih Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.
-
FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIODprijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan zbog toga to se moe provesti izmjena skaleako je f(t) funkcija perioda T, tada moemo uvesti novu varijablu x tako da nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p
ako je onda vrijedi
Fourierov red je sljedeeg oblika
ije koeficijente raunamo prema sljedeim formulama:
-
moemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T pojednostavljujemo jednadbu:
interval integracije se mijenja i postaje:
posljedino, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente funkcije f(t):
Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:
-
TEOREM 1.Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
s koeficijentima:
Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red
s koeficijentima:
-
POLUPERIODINO PROIRENJE REDAneka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se Fourierov kosinusni red :
s koeficijentima
ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:
s koeficijentima
-
f(t)ltSlika 1. Funkcija f(t)f1(t)tllf2(t)-l-ltSlika 2. Periodiko ponavljanje parne funkcije perioda 2l Slika 3. Periodiko ponavljanje neparne funkcije perioda 2l
-
FOURIEROV INTEGRALkako mnogi praktini problemi ne ukljuuju periodine funkcije poeljno je generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodine funkcijeimamo periodinu funkciju fT(x) sa periodom T i moemo ju pisati pomou Fourierovog reda :
ako uzmemo da vrijedi :uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, oznaimo varijablu integracije sa n dobiva se :
ako je :
-
onda 2/T = w / p i moemo pisati Fourierov red u obliku
(1)
- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konaan neka T i pretpostavimo da rezultirajua neperiodina funkcija postoji1/T 0 i vrijednost prvog lana da desnoj strani izraza (1) se pribliava nuli w = 2p/T 0 ,beskonaan red (1) postaje integral od 0 do koji predstavlja f(x)
-
ako uvedemo supstituciju
izraz se moe pisati u obliku
ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral
-
TEOREM 1.Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konanom intervalu i moe se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj toki i ako integral postoji onda se f(x) moe pisati pomou Fourierovog integrala. U toki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj toki prekida.
-
ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi
Fourierov integral se moe pisati u jednostavnijem obliku
ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi
Fourierov integral se moe pisati prema
-
ORTOGONALNE FUNKCIJEgm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu postoji integral produkta na tom intervalu kojeg emo oznaiti kao:
za funkcije kaemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral jednak nuli:
ne-negativan korijen od se zove norma od i oznaava se sa
-
Osnovna pretpostavkaSve funkcije koje se pojavljuju su ograniene i imaju svojstvo da integrali koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
Ortogonalni skup u intervalu ije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu skup je ortogonalan na intervalu duljine 2pmogunost prikaza zadane funkcije f(x) pomou bilo kojeg ortogonalnog skupa g1(x), g2(x)...oblika:
-
ako red konvergira i predouje f(x) nazivamo ga generaliziran Fourierov red funkcije f(x)njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
konstante odreujemo pomou izraza:
integral za koji je jednak je kvadratu iznosa , dok su ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije meusobno ortogonalne
-
ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
red na lijevoj strani konvergira pa slijedi: pri
-
LITERATURAA.E.Kreyzig , Advanced engineering mathematics, John Wiley & Sons Inc (1995)
I. Ivani, Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadbe, Odjel za matematiku, Sveuilite J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)