Facultad De Ingeniería Informe Final Optoelectrónica -...
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Facultad De Ingeniería
Informe Final Optoelectrónica- 66.57 -
Estudio y simulación de efectos no lineales entransmisión por Fibras ópticas
Alumno: Andres Horacio PuricelliPadrón: 87271Mail: [email protected]: Ing. Guillermo SantiagoProf adjunto: Martín GonzálezCurso: 2do 2010
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Contents
1 Objetivos 4
2 Resumen general de conceptos 42.1 Capítulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Perspectiva Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Características de las Fibras . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Materiales utilizados y proceso de fabricación . . . . . . . 62.1.4 Pérdidas en la �bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.5 Dispersión Cromática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.6 Dispersión por Modo de polarización (PMD) . . . . . . . 82.1.7 Efectos No lineales en las �bras ópticas . . . . . . . . . . 10
2.2 Capitulo II - Propagación de pulsos en la �bra . . . . . . . . . . 112.2.1 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Ecuación de Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Condición de Mono-Modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4 Características del modo fundamental . . . . . . . . . . . 132.2.5 Ecuación de Propagación del Pulso . . . . . . . . . . . . . 142.2.6 Propagación No lineal del pulso . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.7 Efectos No lineales de ordenes superiores . . . . . . . . . 17
2.3 Capítulo III- DVG (Dispersión de Velocidad de Grupo) . . . . . 202.3.1 Regímenes de propagación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Ensanchamiento del pulso debido a efectos Dispersivos . . 212.3.3 Pulso Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.4 Pulso gaussiano con cambio de fase (chirped) . . . . . . . 232.3.5 Pulso secante Hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.6 Pulso Super-gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.7 Resultados Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.8 Efectos Dispersivos de Tercer Orden . . . . . . . . . . . . 282.3.9 Cambios en la forma de Pulso . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.10 Factor de Ensanchamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.11 Medición de Pulsos Ultra Cortos . . . . . . . . . . . . . . 302.3.12 Manejo de la Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.13 Limitaciones debiddas al efecto de GVD . . . . . . . . . . 312.3.14 Compensación de Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.15 Compensación de Dispersión de tercer orden . . . . . . . 33
2.4 Capítulo IV - Self-phase Modulation (SPM) . . . . . . . . . . . . 342.4.1 SPM- Ensanchamiento Espectral Inducido . . . . . . . . . 342.4.2 Cambio de Fase No-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.3 Cambios en el Espectro del Pulso . . . . . . . . . . . . . . 362.4.4 E�ectos en la Forma del Pulso y Chirp Inicial . . . . . . . 382.4.5 Efectos de la Coherencia Parcial del Laser . . . . . . . . . 392.4.6 Efectos de la Dispersión de la Velocidad de Grupo . . . . 402.4.7 Evolución del Pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.8 Factor de Ensanchamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
2.4.9 Resultados Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.10 Efectos de la Dispersión de Tercer Orden . . . . . . . . . 442.4.11 Efectos No-Lineales de orden Superior . . . . . . . . . . . 462.4.12 Self-Steepening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.13 Efectos del GVD en Shocks Ópticos . . . . . . . . . . . . 482.4.14 Efecto Raman entre pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Simulaciones 513.1 Ecuación NLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Simulaciones: El Efecto del GVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1 Caso de simulación 1: Ensanchamiento del pulso (PulsoGaussiano sin chirp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Caso de simulación 2: Ensanchamiento del Pulso (PulsoGaussiano con Chirp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.3 Caso de simulación 3: Ensanchamiento del Pulso (PulsoSuper Gaussiano) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.4 Caso de simulación 4: Efectos Dispersivos de Tercer Or-den (β3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.5 Caso de simulación 5: Ejemplo de Compensación de Dis-persión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Simulaciones: Efecto del SPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.1 Caso de simulación 6: Cambios en el espectro del Pulso . 603.3.2 Caso de simulación 7: Pulso con Chirp (Gaussiano y Su-
per Gaussiano) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3.3 Caso de simulación 8: Efectos Combinados SPM y GVD . 63
4 Conclusiones 65
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1 Objetivos
El objetivo del presente informe es el estudio de los conceptos básicos delmodelo utilizado para el transporte de luz en las �bras ópticas y la matemáticabásica para el estudio y comprensión de los efectos no lineales.
Se utilizará como bibliografía centra el libro elegido 1 del cual se va a extraerla teoría para el estudio y simulación de las distintas situaciones mediante laherramienta MATLAB.
Los capítulos de 1-3 del libro contienen el estudio básico y los modelos depropagación de un pulso en la �bra óptica. Una vez estudiados y simuladoslos casos correspondientes se pasará al estudio del primer efecto no lineal queproduce cambios en la forma temporal y el espectro pero que no produce cambiosen la energía de la señal conocido como �Self phase modulation� explicado en elcapítulo 4.
El estudio de este efecto incluirá la simulación de los problemas presentes enel capítulo con el agregado de la investigación de papers publicados en la IEEE.El informe concluirá con una conclusión sobre el efecto estudiado y relevanciaen las aplicaciones actuales.
2 Resumen general de conceptos
En esta sección se verá un repaso general de los conceptos presentados enlos primeros 3 capítulos pertenecientes al libro consultado �Nonlinear Fiber
optics� de Govind P. Agrawal.La idea de esta tarea es fortalecer los conceptos a la hora de presentar las
simulaciónes y conclusiones sobre algunos efectos no-lineales comúnes.
2.1 Capítulo I
El capítulo I del libro hace un resumen histórico sobre las �bras ópticas.Las características principales (pérdidas, Dispersión cromática y dispersión pormodo de polarización ) y los principales efectos no lineales que afectan a latransmisión de potencia óptica sobre la �bra.
2.1.1 Perspectiva Histórica
El fenómeno principal encargado del guiado de la luz dentro de las �bras óp-ticas se debe a la re�exión total interna. Si bien desde 1920 se fabricaban �brasópticas el campo de las �bras ópticas no nació hasta la decada del 50 cuandose implementó la utilización de cladding para proteger la �bra y se mejoró sus-tancialmente las características de la �bra. Las primeras �bras poseían grandespérdidas ( pérdidas> 1000db/km).
En 1970 las �bras pasaron a ser de Silicio y las pérdidas se redujeron aaproximadamente 20db/Km. En 1979 de una nueva tecnología de fabricación
1�Nonlinear Fiber Optics, Third Edition� de GOVIND P. AGRAWAL
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se consiguieron �bras que tuvieran pérdidas de alrededor de 0.2db/km en unalongitud de onda de 1.5µm.
La aparición de �bras de bajas pérdidas revolucionó las comunicaciones sinoque también estimuló el estudio de efectos no lineales sobre las �bras ópticas(Stimulated Raman and Brillouin Scattering). En 1987 se lograron obtenerpulsos ultra cortos del orden de 6fs y esto llevo al descubrimiento de más com-portamientos no lineales de las �bras ópticas. Se agregó una nueva dimensiónde estudio en el momento que se empezaron a estudiar �bras dopadas con ele-mentos pertenecientes a las tierras raras para confeccionar ampli�cadores. Losampli�cadores construidos en base a �bras dopadas con Erbio fueron los quemás atención captaron en las investigaciones debido a que tienen la capacidadde operar en 1.55µm.
2.1.2 Características de las Fibras
En la forma mas simple una �bra óptica consiste en un núcleo vidrio cen-tral rodeado por un revestimiento con un índice de refracción n2 un poco máspequeño que el índice de refracción del nucleo n1
Uno de los parámetros importantes que de�nen a la �bra son el índice dere�ección relativo entre núcleo y revestimiento:
∆ =n1 − n2
n1
el parámetro V como:
V = k0a(n21 − n2
2)12
Donde k0 = 2πλ , a es el radio del nucleo y λ es la longitud de onda de la luz.
El parámetro V es el que determina el número de modos soportados por la �bra.Más adelante se discutirán que los modos de las �bras óptica y se demostraráque las �bras con indice de refracción abrupto soportan un solo modo cuandoV < 2.405.
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La principal diferencia entre �bras mono-modo y �bras multi-modo es eltamaño del núcleo. En �bras multi-modo el núcleo tiene radios de entre 25-30µm y para las �bras mono-modo el radio suele ser a < 5µm. Un estándarpara el radio b es que suele ser de 62.5µm para ambos tipos de �bra.
2.1.3 Materiales utilizados y proceso de fabricación
El material elegido para �bras ópticas de bajas perdidas es el silicio purosintetizado por el fusionados de moléculas de SiO2. La diferencia entre índicesde refracción entre el núcleo y el revestimiento se logra por la utilización dedopantes durante el proceso de fabricación. Los dopantes comunmente utilizadospara cambiar el índice de refracción en el núcleo son GeO2 y P2O5 y materialescomo el Boro y el Flúor son utilizados para modi�car el índice de refraccióndel revestimiento. Otros dopantes se pueden utilizar dependiendo la aplicaciónespecí�ca de la �bra óptica como por ejemplo ErCl3 o el Nd2O3.
La fabricación de la �bra óptica involucra dos etapas. En la primera etapamediante deposición al vapor se logra la forma cilíndrica con la diferencia deíndice de refracción deseada en tramos de 1-2m . En la segunda etapa se fusionanlos tramos fabricados en la etapa anterior.
2.1.4 Pérdidas en la �bra
Un parámetro importantísimo a la hora de describir las �bras son las pérdidasde potencia durante la transmisión de las señales ópticas dentro de la �bra. SiP0 es la potencia incidente y Pt es la potencia transmitida luergo de viajar unlargo L de �bra entonces
Pt = P0e(−αL)
En donde la atenuación constante α es una medida de las pérdidas totalesde todas las fuentes en la �bra. Es habitual expresar las pérdidas α en unidadesde db/km.
αdb = −10
Llog
(PtP0
)= 4.343α
Muchos factores contribuyen en las pérdida de las �bras. Uno de las máscontribuyentes es la dispersión de Rayleigh. El vidrio de Silicio tiene una res-onancia en la región del espectro UV y resonancia vibracional en la region del
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rojo lejano. La impureza que mayormente afecta a las pérdidas en la �bra es elion OH que es fundamental en la absorción vibracional.
Se tienen precauciones especiales durante la fabricación de la �bra paraasegurar que los iones OH sea menor a una parte en cien millones.
La dispersión de Rayleigh es el mecanismo fundamental de pérdidas en la�bra. Es el resultado de pequeñas �uctuaciones en el índice de refracción queocaciona que la luz se disperse en todos los sentidos. La pérdida por dispersiónde Raileigh es proporcional a λ−4. El nivel intrínseco de pérdidas debido a ladispersión de Rayleigh se estima como:
αR =CRλ4
Donde la constante CR se encuentra dentro del rango de 0.7− 0.9db/(km−µm4) dependiendo de como se encuentre constituido el núcleo. Otros factoresque contribuyen con las pérdidas en las �bras son los dobleces y dispersión queocurre en la interfaz núcleo-revestimiento. Las �bras ópticas modernas exhibenunas pérdidas del orden ≈ 0.2db/km en los entornos de longitudes de onda de1.55µm.
2.1.5 Dispersión Cromática
Cuando una onda electromagnética interactua con los electrónes de la super-�cie de un dielectrico la respuesta del medio depende de la frecuencia ω. Estapropiedad mani�esta la dependencia del indice de refracción con la frecuencian(ω). En el nivel fundamental el origen de la dispersión cormática se encuen-tra relacionada con la frecuencia de resonancia en la cual el medio absorbe lasondas electromagnéticas. Lejos de la resonancia del medio el índice se puedeaproximar por la ecuación de smeller:
n2(ω) = 1 +
m∑j=1
Bjω2j
ω2j − ω2
En donde ωjes la frecuencia de resonancia y Bj es la fuerza del j-ésimaresonancia. En el caso de las �bras ópticas estos parámetros se obtienen conmediciones experimentales.
La dispersión en �bras ótpicas jugan un rol crítico en la propagación depulsos ultra-cortos debido a que diferentes componentes espectrales viajan adi�erentes velocidades (c/n(ω)) . En regímenes no lineales la dispersión y losefectos no lineales de las �bras pueden resultar en un comportamiento muydiferente.
Los efectos dispersivos de distinto orden se pueden estudiar expandiendo laconstante de modo de propagación β en la serie de Taylor:
β(ω) = n(ω)ω
c= β0 + β1(ω − ω0) +
1
2β2(ω − ω0)2 + ...
en donde βm =(dmβdωm
)para m = 0, 1, 2...
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Los parámetros β1 y β2 se relacionan entre sí por el índice de refracción n ysus derivadas.
Físicamente hablando la envolvente de un pulso óptico se mueve con la ve-locidad de grupo (vg) mientras que el parámetro β2 representa la dispersión dela velocidad de grupo y es responsable del ensanchamiento del pulso.
Generalmente la contribución de β2 es relativamente pequeña cuando se uti-lizan longitudes de onda cerca de la dispersión cero. Usualmente en la literaturade �bra óptica se utiliza la dispersión D en vez del parámetro β2. Entonces elparámetro β2 se encuentra relacionado por la relación.
D =dβ1
dλ= −2πc
λ2β2 ≈
λ
c
d2n
dλ2
La contribución de la dispersión D o (β2) depende de los parámetros diseñode la �bra como puede ser el radio del núcleo a y la diferencia entre nucleo yrevestimiento ∆. Esto se puede utilizar para cambiar la longitud de onda dedispersión cero λD en la vecindad de 1.55µm en donde las pérdidas de la �brasson mínimas.
Los efectos no lineales en las �bras se pueden manifestar cualitativamentecon diferentes comportamientos dependiendo en el signo del parámetro de ladispersión en la velocidad de grupo (�Group Velocity Dispersion�). Para longi-tudes de onda λ < λD, la �bra se dice que exhibe dispersión normal mientrasβ2 > 0. En este régimen las altas frecuencias viajan a menor velocidad que lasfrecuencias bajas. En contraparte ocurre lo opuesto en el regimen de dispersiónanómalo β2 < 0. Las �bras de silicio exhiben una dispersión anómala cuando lalongitud de onda excede la longitud de onda de dipersión cero.
El efecto más importante de la dispersión cromática es que produce la inter-acción entre dos pulsos ópticos cercanos en el tiempo debido al ensanchamientode los mismos.
2.1.6 Dispersión por Modo de polarización (PMD)
La �bra óptica mono-modo no es verdaderamente de un solo modo porquesporota la degradacion en dos modos de polarización ortogonales. En condi-
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ciones ideales los modos de polarización vertical y horizontal no deberian in-tercambiar energía. Pero debido a disparidades del proceso de construcción losíndice de refracción vertical y horizontal di�eren entre si y la geometría de la�bra no es totalmente cilíndrica.
Matemáticamente la propagación de modos la constante β se hace diferenteen los modos de polarización vertical y horizontal (x e y).
Esta propiedad es llamada birefringencia y se expresa como:
Bm =|nx − ny|
k0=|nx − ny|
En donde nx y ny son los indices de refraccion correspondientes al modode polarización. Para un dado Bm los modos de polarización intercambian suspotencias en una forma periódica mientas se propagan dentro de la �bra con unperiodo,
LB =2π
|βx − βy|=
λ
Bm
en donde LB es llamado el largo de batido.En �bras ópticas estandares Bm no se mantiene constante a lo largo de la
�bra y cambia de una forma aleatoria debido a �uctuaciones en la forma delnúcleo y en la anisotropia de la estructura debido al stress. Debido a esto la luzdentro de la �bra cambia su polarización de manera aleatoria. Este se convierteen un problema cuando los detectores son sensibles a la polarización y se utilizanpulsos ultracortos en ambas polarizaciones. El pulso resulta ensanchado a lasalida de la �bra debido a la variación en la velocidad de grupo aleatoriamenteen concordancia con la variación de la birefringencia de la �bra.
Entonces para una �bra de largo L y con una birefringencia Bm constante∆T :
∆T =
∣∣∣∣ Lvgx − L
vgy
∣∣∣∣ = L |β1x − β1y| = Lδβ1
Esta fórmula no puede ser utilizada directamente para el cálculo del PMD.El PMD puede ser caracterizado por el valor cuadrático medio (RMS) de ∆Tluego de haber promediado las perturbaciones aleatorias.
σ2T =
⟨(∆T )2
⟩= 2(∆
′lc)
2e(−L/lc+L−1)
Para �bras de un largo tal que lc ≪ L entonces se obtiene:
σT ≈ ∆′√
2lcL = Dp
√L
En donde Dpes el parámetro de PMD. La dispersión por el modo de polarizaciónse convierte en un factor limitante en sistemas de alta velocidad.
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2.1.7 Efectos No lineales en las �bras ópticas
La respuesta de cualquier dieléctrico a la luz se convierte en no-lineal cuandolos campos electromagnéticos son muy intensos. La polarización total inducidaP no es lineal con el campo E pero satisface:
P = ε0
(χ(1).E + χ(2) :: EE + χ(3)
...EEE
)En donde ε0 es la permeabilidad del vacío y χ(j)es el j-ésimo orden de su-
ceptibilidad. χ1es la contribución a P debido al índice de refracción. La sucep-tibilidad de segundo orden (χ2) es responsable de los efectos no lineales talescomo segunda generación harmónica y generación de sumas de frecuencia.
El efecto no lineal de menor orden es la Refracción No lineal. Esta esgenerada debido a la suceptibilidad de tercer orden (χ3) que es la responable dela generación del tercer armónico, four wave-mixing, y la refracción no lineal .
La dependencia de del indice de refracción de la intensidad lleva a un númerograndes de efecetos no lineales tales como el self-phase modulation y cross-phasemodulation.
Self phase modulation se de�ne como el cambio de fase de un campo ópticoen la medida que se propage en la �bra.
La dispersión inelástica Estimulada es un efecto por el cual la energía ópticatrans�ere parte de su energía al medio no lineal. Dos efectos caen en estacategoriazación. Ambos se encuentran relacionados con la exitación vibracionalde los modo del silicio. Los mismos son SRS ( Stimulated Raman Scattering) ySBS ( Stiumulated Brillouin Scattering).
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2.2 Capitulo II - Propagación de pulsos en la �bra
El objetivo de este capítulo es obtener la ecuación básica que gobierna lapropagación de pulsos ópticos en �bras ópticas mono-modo.
2.2.1 Ecuaciones de Maxwell
La Luz es un fenómeno electro-magnético por lo tanto su comportamientose puede predecir con las ecuaciones de Maxwell,
∇× E = −∂B∂t
∇×H = J +∂D
∂t
∇.D = ρf
∇.B = 0
En donde E y H son campo eléctrico y campo magnético respetivamente; D yB corresponden a densidada de �ujo eléctrico y de magnético. Las densidades de�ujo D y B vienen de la respuesta a los campos magnéticos E y H propagándosedentro de los medios.
D = ε0E + P
B = µ0H +M
Operando con las ecuaciones se puede obtener que:
∇×∇× E = − 1
c2∂2E
∂t2− µ0
∂2P
∂t2(1)
Generalmente la evaluación de P requiere una evaluación con aproximacionesde mecánica cuántica. Esas aproximaciones son necesarias cuando se encuentracerca de la resonancia del medio. Entonces si solo se incluyen efectos no linealesde orden 3, o lo que es lo mismo, χ3 la polarización inducida consiste en dospartes:
P (r, t) = PL(r, t)︸ ︷︷ ︸Lineal
+PNL(r, t)︸ ︷︷ ︸No Lineal
En una primera aproximación se puede realizar una aproximación para sim-pli�car la ecuación(1). Suponiendo que PNLes una perturbación pequeña de
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la polarización lineal (Esto suele ser cuerto en �bras de silicio). Expresando laecuación en el dominio de la frecuencia:
∇×∇× E(r, ω)− ε(ω)ω2
c2E(r, ω) = 0 (2)
En donde ε es la constante dieléctrica que depende de la frecuencia:
ε(ω) = 1 + χ(1)
(ω) (3)
En este caso la parte real de ε(ω) se puede relacionar con el indice de refrac-ción n(ω) y la parte imaginaria del coe�ciente con la absorción α(ω) utilizandola de�nición:
n(ω) = 1 +1
2Re[χ(1)(ω)
]
α(ω) =ω
ncIm[χ(1)(ω)
]Otras dos simpli�aciones se pueden realizar. Primero suponer que las pér-
didas en las �bras en la longitud de onda (λ) de interés la parte imaginaria deε(ω) es muy pequeña en comparación con la parte real.
Al �n y al cabo utilizándo la relación entre el vector polarización D y elcampo E la ecuación (1) puede escribirse como:
∇2E − n2(ω)E = 0 (4)
2.2.2 Ecuación de Autovalores
Se aprovecha la simetría cilíndrica que posee la �bra para expresar la ecuación(4) en coordenadas cilíndricas,
∂2E
∂ρ2+
1
ρ
∂E
∂ρ+
1
ρ2
∂2E
∂φ2+∂2E
∂z2+ n2k2
0E = 0 (5)
Donde k0 = ω/c y E es la transformada de fourier del campo eléctrico.De forma aleatoria se elige Ez y Hz como las componentes independientes y
expresar el resto de las componentes a partir de estas mencionadas. La ecuaciónde onda para Ez será de la siguiente forma general:
Ez(r, ω) = A(ω)F (ω)e±imφeiβz (6)
En la ecuación anterior A(ω) es una constante de normalización, β es laconstante de propagación y m es un entero. En el caso de F (ω) es la funciónsolución de,
d2F
dρ2+
1
ρ
dF
dρ+
(n2k2
0 − β2 − m2
ρ2
)F = 0 (7)
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En esta ecuación cuando ρ ≤ a signi�ca que el índice de refracción es n1 oel correspondiente al núcleo. El índice vale n2 cuando ρ > a o cuando el radiose encuentra en la zona llamada revestimiento.
Entonces resolviendo la ecuación (7) para cuando se encuentra dentro delnúcleo se obtiene,
F (ρ) = C1Jm(κρ) + C2Nm(κρ) (8)
En donde Jmes la función de Bessel y Nm es la funcion de Neumann y
κ =(n2
1k20 − β2
) 12 (9)
Las constantes C1 y C2 se determinan con las condiciones de borde delproblema en particular.
Resolviendo la ecuación (7) para la región del revestimiento (ρ > a) seobtiene,
F (ρ) = Km (γρ) (10)
En donde, γ =(β2 − n2
2k20
) 12
Lo importante a destacar de todo este análisis es que reemplazando estasexpresiones en la ecuación de autovalor se obitene la relación entre κ y γ de lasiguiente forma:
κ2 + γ2 =(n2
1 − n22
)k2
0 (11)
2.2.3 Condición de Mono-Modo
El número de modos soportados por una �bra óptica depende principalmentede los paráemetros de diseño de la misma ( núcleo, diferencia de índice derefracción, etc). Un parámetro a tener en cuenta es la frecuencia de corte de losmismos. Esta frecuencia es determinada cuando γ = 0 reemplazando se obtiene:
V = κca =(n2
1 − n22
) 12 k0 (12)
El valor de V es un parámetro de diseño crítico. El menor valor para lasolución de V de forma de obtener la menor solución es hacer que J0(Vc)=0 o,lo que es lo mismo, que Vc ≈ 2.405. Por lo tanto para la fabricación de �brasmono modo lo que se hace es jugar con los parámetros de la �bra para obtenerun valor de Vc del orden de 2.405
2.2.4 Características del modo fundamental
(Completar con las características del modo fundamental que es importante=
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2.2.5 Ecuación de Propagación del Pulso
El estudio de efectos no lineales en las �bras ópticas involucran a pulsos delorden de 10ns hasta 10fs. Al propagarse, los efectos lineales y no lineales afectansu espectro y su forma.
El punto de partida para realizar el análisis es la ecuación de onda:
∇2E − 1
c
∂2E
∂t2= µ0
∂2PL∂t2
+ µ0∂2PNL∂t2
(13)
En donde el campo eléctrico E(r, t) se relaciona con P (r, t) por las expre-siones:
PL = ε0
ˆ +∞
−∞χ(1)(t− t′)E(r, t′)dt' (14)
PNL(r, t) = ε0
ˆ ˆ ˆ +∞
−∞χ(3)(t−t1, t−t2, t−t3)
...×E(r, t1)E(r, t2)E(r, t3)dt1dt2dt3
(15)
2.2.6 Propagación No lineal del pulso
Como primera medida de la ecuación (13) PNL es tratada como una pequeñaperturbación de PL. Esto se encuentra justi�cado porque en la práctica lasvariacones en el índice de refracción son del orden o más chicas que 10−6. Sesupone, también, que la polarización de los campos se mantiene al atravesar la�bra. El campo óptico se supone mono-cromático cuando cumlpe:
∆ω/ω0 � 1
Se puede serparar el campo eléctrico en una envolvente y la componente dealta frecuencia:
E(r, t) =1
2x[E(r, t)e−jω0t + cc
](16)
Así como las componentes de polarización:
PL(r, t) =1
2x[PL(r, t)e−jω0t + cc
](17)
PNL(r, t) =1
2x[PNL(r, t)e−jω0t + cc
](18)
Entonces para pulsos ópticos mayores a 1ps se puede despreciar el efecto deltensor χ(3) y reescribirse PNL
PNL(r, t) ≈ ε0εNLE(r, t) (19)
En donde εNL = 34χ
(3)xxxx |E(r, t)|2
14
Entonces para obtener la ecuación de onda del campo E(r, t) que varía lenta-mente es conveniente trabajar en el dominio de Fourier. Generalmente no eslineal debido a que en la ecuación (13) εNL depende linealmente de la intensi-dad del campo. Es por esto que se resuelve bajo la suposición de que el campoE(r, t) varia lentamente y que PNLes una perturbación pequeña a PL.
Entonces tomando la transformada de Fourier2 de la ecuación (13) se en-cuentra que:
E(r, ω − ω0) =
ˆ ∞−∞
E(r, t)ei(ω−ω0)tdt (20)
Y este satisface la ecuación de Helmholtz:
∇2E + ε(ω)k20E = 0 (21)
con k0 = ω/c y ε(ω) = 1 + χ(1)xxx(ω) + εNL
La constante dielectrica cuya parte no lineal es εNL fue descrita anterior-mente.
La ecuación de Helmholtz puede resolverse utilizando métodos de separaciónde variables planteando una solución de la forma:
E(r, ω − ω0) = F (x, y)A(z, ω − ω0)ejβ0z (22)
En donde A(z, ω) es una función de que varia lentamente de z y β0. Estolleva a las siguientes ecuaciones para determinar el campoE :
∂2F∂x2 +∂2F
∂y2 +[ε(ω)k2
0 − β2]F=0 (23)
2iβ0∂A
∂z+ (β2 − β2
0)A = 0 (24)
El valor de β se encuentra resolviendo la ecuación de los autovalores. Laconstante dieléctrica ε(ω) se puede aproximar por la función:
ε = (n+ ∆n)2 ≈ n2 + 2n∆n (25)
De aquí ∆n es una pequeña perturbación ∆n = n2 |E|2 + iα2k0
La ecuación (23) puede resolverse utilizando la teoría de pertrurbación deprimer orden. Se obtiene una distribución modal F (x, y) y el número de ondacorrespondiente β(ω). Para una �bra mono-modo corresponde a a la distribu-ción modal de un HE11 dadas por la aproximación gaussiana.
Cuando se incluyen los efectos de ∆n el autovalor β se convierte en:
β(ω) = β(ω) + ∆β (26)
En donde:2Integral de Fourier:f(ξ) =
´∞−∞ f(x) e−2πixξ dx,
15
Y con esto se completa la solución de la ecuación (13) utilizando una per-turbación de primer orden como PNL.
Volviendo sobre la expresión del campo eléctrico se puede escribir como:
E(r, t) =1
2x{F (x, y)A(z, t)ei(β0z−ω0t) + cc
}(27)
en donde A(z, t) es una envolvente de variación lenta (con respecto al periodoóptico). Analizándo en el dominio de Fourier (A(z, ω − ω0)) se puede escribir,
∂A
∂z= i [β(ω) + ∆β − β0] A (28)
Esta ecuación explica que cada componente espectral en la envolvente delpulso a medida que propaga por la �bra sufre un cambio de fase y su magnituddepende de la frecuencia y de la intensidad.
En estas circunstancias uno podría tomar la transformada inversa de fouriery obtener la ecuación de propagación de A(z, t). La funcion β(ω) raramente esconocida por lo que se utiliza su expansión de taylor sobre ω0
β(ω) = β0 + (ω − ω0)β1 +1
2(ω − ω0)2β2 +
1
6(ω − ω0)3β3 + . . . (29)
con βm =(dmβdωm
)ω=ω0
El término cúbico y de ordenes mayores usualemnte pueden ser despreciadossi se asume que ∆ω � ω0 (suposición de quasi-monocromático). El parámetroβ2 usualmente puede ser despreciado cuando la longitud de onda que se utilizase encuentra cerca de la longitud de onda de dispersión cero.
Finalmente, A(z, t)
A(z, t) =1
2π
ˆ ∞−∞
A(z, ω − ω0)e−j(ω−ω0)tdt (30)
Durante la operación de la transformada de Fourier la ecuación para A(z, t)resulta:
∂A
∂z= −β1
∂A
∂t− iβ2∂
2A
2∂t2+ i∆βA (31)
En donde ∆β incluye los efectos de las pérdidas en las �bras y las no lin-earidades. Evaluando β y sustituyéndolo en la ecuación anterior el resultadoes,
∂A
∂z+ β1
∂A
∂t+iβ2
2
∂2A
∂t2+α
2A = iγ|A|2A (32)
en donde el parámetros no lineal γ se de�ne como:
γ =n2ω0
cAeff(33)
16
El parámetro Aeff es conocido como el area efectiva del núcleo y se de�necomo,
Aeff =
(´ ´∞−∞ |F (x, y)|2 dxdy
)2
´ ´∞−∞ |F (x, y)|4 dxdy
(34)
Este es un parámetro que depende directamente de los parámetros de la �bracomo pueden ser el radio del núcleo y la diferencia entre el índice de refracciónentre el núcleo y el revestimiento. Si se utiliza la aproximación gaussiana paraF (x, y) Aeff = πw2 y w en este caso es un parámetro que depende de la �bra.
La ecuación (32) describe la propagación de pulsos del orden de picosegundosen �bras mono-modo y usualmente es conocida como la ecuación no lineal deschrödinger3. Incluye los efectos de las pérdidas de la �bra con el parámetro α,dispersión cromática a traves de β1 y β2 y la no linearidad a travez de γ.
2.2.7 Efectos No lineales de ordenes superiores
La ecuación no lineal de schödinger sirve para explicar un montón de efectosno-lineales e incluye los efectos de dispersión inelastica estimulada como SRSo SBS ( Stimulated Raman Scattering , Stimulated Brillouin Scattering). Si lapotencia pico se encuentran dentro de un umbral los dos efectos pueden transferirenergía del pulso a un nuevo pulso que se puede propagar en la misma direccióno en la opuesta.
La ecuación encontrada (32) debe ser modi�cada si se trata de pulsos ultracortos con anchos menores o cercanos a 1 ps. Con pulsos de amplio espectrola ganancia de Raman puede ampli�car componentes de baja frecuencia medi-ante la transferencia de pulsos de mayor frecuencia. Este fenomeno se llamadispersión de Raman (�Raman Scattering�).
Para incluir el efecto Raman se debe partir de la ecuación general sobre lapolarización no lineal. Para incluir los efectos no lineales de orden mayores seasume a la suceptibilidad como,
χ(3)(t− t1, t− t2, t− t3) = χ(3)R(t− t1)δ(t− t2)δ(t− t3) (35)
En donde R(t) es la respuesta no lineal normalizada de forma similar a unadelta. Entonces volviendo a la polarización No Lineal,
PNL(r, t) = ε0χ(3)E(r, t)
ˆ t
−∞R(t− t1) |E(r, t1)|2 dt1 (36)
Donde se asume que el campo eléctrico y el vector polarización apuntan a lamisma dirección. Utilizando las mismas suposiciones de antes para la ecuaciónque explica el comportamiento de la onda dentro de la �bra como,
3Ecuación más importante
17
∇2E+n2(ω)k20E = −ik0α+χ(3)ω
2
c2
ˆ ˆ ∞−∞
R(ω−ω1)×E(ω1, z)E(ω2, z)E∗(ω1+ω2−ω, z)dω1dω2
(37)en donde R(ω) es la transformada de Fourier de R(t). Como antes se puede
tratar los terminos de la derecha como pequeñas perturbaciones. Los efectos delas perturbaciones es cambiar la constante de propagación del modo fundamental∆βpero con una expresión diferente. De nuevo se puede de�nir la función A(z, t)de variación lenta como,
∂A
∂z+β1
∂A
∂t+iβ2
2
∂2A
∂t2+α
2A−β3
6
∂3A
∂t3= iγ
(1 +
i
ω0
∂
∂t
)(A(z, t)
ˆ ∞−∞
R(t′)|A(z, t− t′)|2dt′)
(38)De la ecuación anterior γ es el parámetro no lineal. Generalmente el Aeff
es también una función de ω debido a la distribución del modo. Sin embargo lavariación de Aeff en el espectro suele ser despreciable.
La respuesta R(t) debe incluir las contribuciones electronicas y las vibra-cionales (Raman). Asumiendo la contribución electrónica es casi instantanea sepuede de�nir R(t) como
R(t) = (1− fR)δ(t) + fRhR(t) (39)
donde fRrepresenta la contribución de la respuesta de Raman a la polarizaciónno-lineal. hR(t) es la respuesta de Raman y es la responsable de la ganancia deRaman. Luego de investigaciones es útil de�nir a hR(t) como,
hR(t) =τ1 + τ2τ1τ2
e−t/τ2sin(t/τ1) (40)
Los parámetros τ1 y τ2 son elegidos de forma de que se ajuste a la gananciade Raman. Sus valores apropiados suelen elegirse como τ1 = 12.2fs y τ2 = 32fsy fR suele ser estimado en alrededor de 0.18.
La ecuación (38) gobierna la evolución de pulsos ultra cortos en �bras ópticas.La ecuación (39) incluye los efectos de la pérdida de energía debido al efectoRAMAN. Es fácil ver que esta última ecuación se simpli�ca para pulsos máslargos que la escala de la respuesta de Raman. Entonces para pulsos con anchosmayores al Picosegundo se pueden despreciar los efectos de β3 y la respuesta deRaman.
Para pulsos menores a 5ps pero anchos su�cientes como para contener mu-chos ciclos ópticos. Se puede simpli�car la ecuación (39) de la siguiente forma.
|A(z, t− t′)|2 ≈ |A(z, t)|2 − t′ ∂∂t|A(z, t)|2 (41)
Esta aproximación es razonable si se trata de pulsos que varian lentamente alo largo de la �bra. Se de�ne entonces el primer momento de la respuesta como:
18
TR ≡ˆ ∞−∞
tR(t)dt = fR
ˆ ∞−∞
thr(t)dt = fRd(ImhR)
d(∆ω)|∆ω=0 (42)
Entonces la ecuación (38) que describe todos los efectos lineales hasta de tercerorden se puede aproximar como:
∂A
∂z+β1
∂A
∂t+iβ2
2
∂2A
∂t2+α
2A−β3
6
∂3A
∂t3= iγ
(|A|2A+
i
ω0
∂
∂T
(|A|2A
)− TRA
∂|A|2
∂T
)(43)
Explicando un poco la ecuación anterior. El término proporcional a β3
resulta de los efectos dispersivos de tercer orden y se hacer importante cuandose trabaja con pulsos ultracortos. El término proporcional a ω−1
0 resultan deincluir la primera derivada de PNL y representa a la �shock formation� y el�self Steepening� . El último término proporcional a TR tiene su origen en larespuesta retardada de Raman y es responsable del efecto de auto cambio defrecuencia. Se deduce experimentalmente que TR = 3fs para longitudes de ondade ' 1.55µm.
Entonces para pulsos de ancho T0 > 5ps los parámetros (ω0T0)−1 y TR/T0
son tan pequeños que son despreciables. La dispersión de tercer orden tambienresulta despreciable, (Siempre y cuando que la longitud de onda se encuentrelejos de la longitud de onda de dispersión cero) se puede utilizar la ecuaciónsimpli�cada
i∂A
∂z+iα
2A− β2
2
∂2A
∂T 2+ γ|A|2A = 0 (44)
Esta ecuación es comunmente conocida como la Ecuación No-Lineal de Schrödingerextendida cubica. Esta es la ecuación no-lineal más sencilla para estudiar fenó-menos no lineales de tercer orden.
19
2.3 Capítulo III- DVG (Dispersión de Velocidad de Grupo)
En este capítulo se estudia los efectos de la dispersión de la velocidad degrupo. Como estudio instructivo se realizara el estudio de la velocidad de grupocomo un efecto solitario dentro del transporte de un pulso. Se tratan a las �rasópticas como un medio óptico lineal.
2.3.1 Regímenes de propagación
En secciones previa se obtuvo la ecuación No lineal de Schrödinger que go-bierna la propagación de pulsos dentro de las �bras ópticas mono-modo. Paraanchos de pulso mayores a 5ps se puede utilizar la ecuación
i∂A
∂z= − iα
2A+
β2
2
∂2A
∂T 2− γ|A|2A = 0 (45)
En donde A es una amplitud de variación lenta y T es medidio como ref-erencia (T = t − z/vg). Los terminos de la derecha de la ecuación gobiernanlos efectos de la perdidas de la �bra, dispersión y nolinearidad de los pulsospropagados dentro de la �bra. Dependiendo del ancho inicial (T0) y la potenciapico (P0) cualquiera de los efectos puede dominar en la �bra.
Se introducen dos esaclas conocidas como LD y LNL. Se introduce tambiénuna escala normalizada
τ =T
T0=t− z/vgT0
(46)
Se introduce la amplitud normalizada
A(z, τ) =√P0e−αz/2U(z, τ) (47)
En donde P0 es la potencia pico del pulso. El factor exponencial representalas pérdidas en la �bra.
Esta última ecuación satisface
i∂U
∂z=sgn (β2)
2LD
∂2U
∂τ2− e−αz
LNL|U |2U (48)
Dependiendo del signo de GVD parámetro β2
LD =T 2
0
|β2|, LNL =
1
γP0(49)
En donde LD es el largo de dispersión y LNLes el largo nolineal. Estos largosproveen escalas para medir si efectos dispersivos o no lineales se hacen impor-tantes para la evolución del pulso. Dependiendo de las magnitudes relativas L,LD, LNL el comportamiento de la propagación se puede clasi�car dentro de lassiguientes 4 categorías.
20
� Cuando el largo de la �bra L es tal que L � LNL y L � LD. En estecaso no aparece ningún efecto ya sea no lineal o dispersivo. Se asume queel pulso mantiene su forma durante la propagación. La �bra tiene un rolpasivo y de mero transporte. Este régimen es útil para las comunicacionesópticas.
� Cuando el largo de la �bra es L � LNL pero L ∼ LD la evolución delpulso se encuentra gobernada por el GVD y los efectos no lineales tienenun rol insigni�cante en estas circunstancias.
� Cuando el largo L de la �bra es tal que L� LD pero L ∼ LNL el términocorrespondiente a la dispersión es despreciable. En este caso la evolucióndel pulso se encuentra gobernada por el SPM (�Self phase modulation�).
� Cuando el largo de la �bra L es más largo o comparable con LD o LNLactuan en conjunto la dispersión y la no-linealidad en la propagación delpulso. El comportamiento conjunto del GVD y el SPM pueden desembocaren comportamientos cualitativamente distintos a lo que se esperaría delGVD o SPM separados. Se de�nen dos regímenes: dispersión anómala(β2 < 0) y la dispersión normal (β2 > 0).
2.3.2 Ensanchamiento del pulso debido a efectos Dispersivos
El efecto del GVD (�Group Velocity Dispersion�) se puede estudiar haciendoque el parámetro no-lineal γ = 0. De esta forma la ecuación (48) se reescribede la siguiente forma:
i∂U
∂z=β2
2
∂2U
∂T 2(50)
Esta ecuación se puede resolver utilizando el método da la transformada deFourier. Si se tiene que U(z, ω) es la transformadad de Fourier de U(z, t),
U(z, t) =1
2π
ˆ ∞−∞
U(z, ω)e−iωT dω (51)
Tomando la tranformada de Fourier de la ecuación (50) se transforma en,
i∂U
∂z= −1
2β2ω
2U (52)
Por lo tanto U tiene la forma
U(z, ω) = U(0, ω)ei2β2ω
2z (53)
Esta última ecuación muestra que el efecto GVD cambia la fase de cadacomponente espectral en una cantidad que depende de la frecuencia y de ladistancia propagada. El cambio de fase sufrido no afecta a la forma espectrodel pulso, lo que si, puede cambiar la forma del pulso en el tiempo.
21
2.3.3 Pulso Gaussiano
Se propone un campo de la forma:
U(0, T ) = e− T2
2T20 (54)
Donde T0 es la mitad del ancho. Reemplazando en las ecuaciones anterioresse obtiene:
U(z, T ) =T0
(T 20 − iβ2z)
1/2e− T2
2(T0−iβ2z) (55)
De esta forma el pulso gaussiano mantiene la forma en la propagación perosu ancho T1 crece con z como
T1 = T0
√1 + (z/LD)2 (56)
De esta ecuación se puede ver como el largo de dispersión LD = T 20 /|β2|
hace que el pulso gaussiano se ensanche. Este es el efecto de la dispersión en lavelocidad de grupo cuando no se tienen en cuenta los efectos No Lineales. Paraanchos de pulso más cortos el ensanchamiento es mayor debido a que tienen unlargo de dispersión mucho menor.
A continuación se muestra como en función de z (camino recorrido) se vaensanchando el pulso bajo el efecto de la dispersión en la velocidad de grupo.
Otro efecto que se puede ver de la propagación del pulso gaussiano afectadopor la dispersión en la velocidad de grupo es la aparición del chirp en el pulso(modulación de fase). El pulso transmitido se convierte en un pulso con fasedependiente del tiempo y la distancia viajada.
U(z, T ) = |U(z, T )|eiφ(z,T ) (57)
en donde,
22
φ(z, T ) = −sgn(β2)(z/LD)
1 + (z/LD)2
T 2
T 20
+1
2tan−1(
z
LD) (58)
La dependencia temporal de la fase φ(z, T ) implica que la frecuencia instaneadi�ere en el pulso de la frecuencia central ω0. Esta diferencia se puede expresarcomo δω y se expresa como −∂φ/∂T y es,
δω(T ) = − ∂φ∂T
=sgn(β2)(z/LD)
1 + (z/LD)2
T
T 20
(59)
Esta ecuación muestra como la frecuencia cambia linealmente a través delpulso. Esto implica que la �bra impone un �chirp� en la frecuencia del pulso.
El pulso podría mantener su ancho solo si todas las componentes arriban ala misma velocidad. Se presentan dos casos:
� β2 > 0 las componentes del rojo cercano viajan más rápido que las com-ponentes del azul en este régimen de dispersión.
� β2 < 0 Ocurre exactamente lo contrario que en el caso anterior (regimenanormal de dispersión).
De esta forma se puede utilizar este efecto para la construcción de compen-sadores que hagan que un pulso ensanchado por el efecto de una �bra se des-ensanche por viajar en otra �bra en regimen de dispersión anormal.
2.3.4 Pulso gaussiano con cambio de fase (chirped4)
Para un pulso gaussiano inicialmente sin variación en fase el ensanchamientodebido a la dispersión no depende del signo del parámetro de GVD β2. Entoncesel pulso se ensancha para ambos régimenes de dispersión (normal o anormal).
Esto cambia si se utiliza si el pulso posee un cambio de fase inicial (o dichode otra forma el pulso tiene un �chirp� inicial). En el caso de un pulso gaussianocon fase modulada linealmente el campo incidente se puede escribir como:
U(0, T ) = e− 1+iC
2T2
T20 (60)
En donde C es el parámetro de chirp. Se dice que el pulso tiene un up-chirpcuando C > 0 y un down-chirp C < 0. El valor de C puede ser estimado delancho espectral del pulso gaussiano.
La transformada de Fourier del pulso gaussiano con chirp es
U(0, ω) =
(2πT 2
0
1 + iC
)1/2
e−(
ω2T20
2(1+iC)
)(61)
El ancho espectral de la mitad de intensidad (punto en el cual la intensidades 1/e)
4http://en.wikipedia.org/wiki/Chirp
23
∆ω = (1 + C2)1/2/T0 (62)
Con el agregado del chirp en el pulso gaussiano el ancho espectral se mejoraen un factor de (1 +C2)1/2. La ecuación anterior se puede utilizar para estimarel valor del |C| de la medición de ∆ω y T0.
Para obtener el campo transmitido,
U(z, T ) =T0√
T 20 − iβ2z(1 + iC)
e− (1+iC)T2
2[T20−iβ2z(1+iC)] (63)
Esto muestra que no importa si el pulso gaussiano posee chirp, el pulsogaussiano afectado por el GVD mantiene la forma luego de la propagación. Elancho T1 luego de propagarse una distancia z. Este efecto se puede calcularcomo:
T1
T0=
√(1 +
Cβ2z
T 20
)2
+
(β2z
T 20
)2
(64)
Esta ecuación muestra como el ancho del pulso depende del signo del GVD(β2) y el parámetro del chirp (C). En el siguiente grá�co se muestran algunosejémplos.
Se puede ver que el pulso con C = −2 de un estado inical va hacia un estadode en donde se des-ensancha y se hace �no para luego de un determinado zempezar a ensancharse nuevamente.
El z en donde el T1 es mínimo se puede calcular como,
zmin =|C|
1 + C2LD (65)
El ancho mínimo en el zmin
24
Tmin1 =T0√
1 + C2(66)
En resumen de esta propiedad cuando el pulso se encuentra inicialmentecon un determinado chirp y la condición de β2C < 0 se cumple, la dispersióninducida por chirp tiene una dirección opuesta al chirp inicial del pulso. Comoresultado se reduce el chirp del pulso con el chirp de la red lo que produce unareducción en el ancho del pulso. Cuando se encuentra el mínimo lugar de chirpy con el incremento de la propagación la dispersión inducida debido al chirpempieza a actuar por encima del chirp inicial.
2.3.5 Pulso secante Hiperbolico
El campo asociado con este pulso se puede expresar como,
U(0, T ) = sech
(T
T0
)e− iCT2
2T20 (67)
De nuevo C controla el parámetro del chirp. Es complicado encontrar latransformada de Fourier del pulso secante hiperbólico.
Se puede ver como se altera el ancho del pulso en el siguiente grá�co.
2.3.6 Pulso Super-gaussiano
Hasta ahora se consideraron pulsos con forma suave. Uno esperaría que elensanchamiento debido a la dispersión sea sensible a la forma de los bordes delpulso. En general los pulsos con bordes menos suaves (i.e. más cuadrados)tienden a ensancharse más. Esto puede ser producto de que contienen másriqueza espectral en altas frecuencias y que viajen a distintas velocidades haceque se vea con mayor afectación debido a la dispersión.
25
Algunos laseres semiconducotres no alcanza con modelarlos como un pulsogaussiano por lo que se utiliza otro modelo de pulsos supergaussianos para sumodelaje. El pulso super-gassiano se puede modelar como:
U(0, T ) = e− 1+iC
2
(TT0
)2m
(68)
De la ecuación anterior m controla el grado de la brusquedad del pulso. Param = 1 recuperamos nuestro pulso gaussiano con chirp. Para m mayores el pulsose hace cada vez más brusco y ��loso�. El time rise del pulso (Igual de�niciónque en circuitos electrónicos)
Tr = (ln9)T0
2m≈ T0
m(69)
Una forma de estimarm es con la medición de Tr y el valor de T0.El pulso super gaussiano con m > 1 no solamente se ensancha luego de su
propagación sino que también distorciona su forma. Para estos comportamientosla medición de FWHM no es una medición certera por lo que se introduce unanueva medicion más precisa descripta por el RMS de σ de�nido como
σ=√〈T 2〉 − 〈T 〉2 (70)
Donde,
〈T p〉 =
´∞−∞ T p|U(z, T )|2dT´∞−∞ |U(z, T )|2dT
(71)
Para visualizar el ensanchamiento de los pulsos super-gassianos se gra�ca larelación σ/σ0 como una función de la distancia de propagación y del factor m.σ0es el valor inicial del RMS cuando z = 0.
26
Es evidente que los pulsos con menor time rise se ensanchan más rápido.
2.3.7 Resultados Experimentales
La compresión inicial de los pulsos con chirp se ha observado experimen-talment usando pulsos emitidos directamente con un laser semiconductor mod-ulado. En un expermiento 5 el haz incidente tenía una longitud de onda de1.54µm con chirp positivo (C > 0). Se vio la compresión del mismo en unfactor de compresión de 5 luego de viajar 104kms en un régimen de dispersiónanormal (β2 ≈ −20ps2/km).
La ampli�cación de pulsos de picosegundos en un semiconductor producenun pulso óptico con chirp los cuales pueden ser comprimidos utilizando �brasópticas con GVD anormal (β2 < 0). Esta técnica quedó demsotrada en 1989utilizando un pulso de 40 picosegundos en una longitud de onda de 1.52µm. Enuna primera instancia el pulso era ampli�cado y luego comprimido en un factorde 2 mediante la propagación a través de una �bra con β2 = −18ps2/km. Estemecanísmo de comprsión fue útil para transportar una señal de 16Gb/s sobreun span de 80km de �bra óptica standar de telecomunicaciones.
5K Iwashita, K. Nakagawa, Y. Nakano, and Y.Suzuki, Electron. Lett. 18,873.
27
2.3.8 Efectos Dispersivos de Tercer Orden
La dispersión inducida en el ensanchamiento de los pulsos discutidas en lasección anterior se debe al efecto de menor orden GVD proporcional a β2. Esteefecto suele ser dominante en la mayoria de los casos de interés. Hay veces quees necesario incluir los efectos de tercer orden proporcionales a β3. Por ejemplosi la longitud de onda del pulso óptico coincide con la longitud de onda dedispersión cero (λD) entonces β2 ≈ 0 y β3 provee la contribución principal delefecto de GVD. Para pulsos ultracortos (anchos T0 < 1ps) es necesario incluirlos efectos de β3 aunque β2 6= 0. En este caso en la expansión en series de Taylor6 de β ya no se puede considerar que ∆ω/ω0 es lo su�cientemente chico paratruncar la expansión.
En esta sección considerarán los efectos dispersivos de β2 y β3 mientras sedesprecian los efectos no-lineales haciendo que el factor no lineal γ = 0. Seencuentra que el campo U(z, T ) satisface la siguiente ecuación,
i∂U
∂z=β2
2
∂2U
∂T 2+iβ3
6
∂3U
∂T 3(72)
Esta ecuación se puede resolver utilizando la técnica de la transformada deFourier.
Utilizando la transformada de Fourier se obtiene una ecuación con la forma:
U(z, T ) =1
2π
ˆ ∞−∞
U(0, ω)ei2β2ω
2z+ i6β3ω
3z−iωT dω (73)
Esta última ecuación puede ser utilizada para estudiar e�ectos dispersivos deordenes mayores. Se consideraraán tipos de pulsos como en la sección pasada.
Solamente se puede obtener una solución analítica para pulsos gaussianos,todos los demás se pueden resolver de forma numérica la NLS.
2.3.9 Cambios en la forma de Pulso
Uno podría esperar que la evolución del pulso a lo largo de la �bra dependede las magnitudes relativas de β2 y β3 y que estos dependen de la desviaciónóptica de la λ0 de λD. Cuando λ0 = λD, β2 = 0 y β3 ≈ 0.1ps3/km.
Para comparar la importancia de los términos dependientes de β2 y β3 es útilintroducri un largo de dispersión asociado con los efectos dispersivos de tercerorden TOD (�Third Order Dispersion�).
L′D =T 3
0
|β3|(74)
Los efectos de TOD tiene una importancia signi�cativa cuando se cumpleque L′D ≤ LD o T0|β2/β3| ≤ 1. Para un pulso de 100ps esta condición implicaque β2 < 10−3ps2/km cuando β3 = 0.1ps3/km. Esto implica que λ0 di�era deλD en un factor de 10−2nm. En la práctica es difíl hacer coincidir estas dos
6f(x) =∑∞n=0
f(n)(a)n!
(x− a)n
28
longitudes de onda y la contribución de β3 es despreciable comparada con losefectos de β2.
La siguiente �gura muestra la forma del pulso en z = 5L′D para un pulsogaussiano sin chirp inicialmente para β2 = 0 y para un valor de β2 tal queLD = L′D. Mientras el pulso se mantiene gaussiano solamente el efecto de β2
afecta a la GVD, el TOD afecta el pulso distorcionandoló haciendolo asimétricoy con oscilaciones.
Cuando β3 es positivo las oscilaciones aparecen en el �nal del pulso, en elcaso contrario β3 negativo las oscilaciones aparecen en el principio del pulso.
La ecuación (78) puede ser utilizada para estudiar la evolución de otrasformas de pulsos (con o sin chirp). A continuación se muestra la evolución deun pulso sin chirp super gaussiano en la longitude de onda de dispersión cero(i.e. β2 = 0) con C = 0 y m = 3.
Es claro que la forma del pulso varia ampliamente dependiendo de las condi-ciones iniciales.
29
2.3.10 Factor de Ensanchamiento
Para calcular σ se necesita encontrar el n-ésimo momento 〈Tn〉 de T . Enesta sección lo que se hace es calcular el factor de ensanchamiento sobre el factorσ0 inicial teniendo en cuenta el TOD (β3).
Luego de una deducción matemática de cálculo de los momentos de T, seobtiene �nalmente que,
σ
σ0=
[(1 +
Cβ2z
2σ20
)2
+
(β2z
2σ20
)2
+ (1 + C2)2 1
2
(β3z
4σ30
)2] 1
2
(75)
en donde σ0 es el valor inicial del ancho RMS del pulso gaussiano con chirp.
2.3.11 Medición de Pulsos Ultra Cortos
Así como los efectos de GVD y TOD pueden cambiar la forma y el anchode pulsos ultracortos, se deberpia considerar como se pueden medir esos tiposde pulsos. Para pulsos más anchos que 100ps se puede medir directamenteutilizando un foto-detector de alta velocidad.
Una técnica común para la caracterización de pulsos ultracortos se basaen un fenómeno no- lineal de generación de segunda armónica. Este métodoes conocido como la técnica de autocorrelación. En este método el pulso semanda a través de un cristal no-lineal con una réplica con delay ( o avanzada)de la misma. Una señal de segúnda armónica es generada dentro del cristalcuando los dos pulsos se superponen en tiempo. Midiendo la potencia de lasegunda armónica produce un trazo de autocorrelación. El largo de este trazose encuentra relacionado con el largo original del pulso. La relación exacta entrelos largos depende de la forma del pulso. Con esta técnica se pueden medir pulsosde hasta unos pocos femtosegundos pero provee pocos detalles sobra la formadel mismo.
30
Otra forma de medición de pulsos ultracortos desarrollada en los 90's llamadaFROG (�Frequency-resolved optical gating�). Esta técnica resuelve el problemade tener detalles sobre la forma de pulsos del orden de los femtosegundos. Nosolo puede medir la forma del pulso también provee información en como lafase y la frecuencia (chirp) varian a lo largo del pulso. La técnica funcionagrabando series de trazos de autocorrelaciones y los utiliza para la deducción dela intensidad y la fase del pulso.
2.3.12 Manejo de la Dispersión
En los sistemas de comunicaciones basados en �bras ópticas, la informaciónes transmitida sobre �bra utilizando secuencias codi�cadas de pulsos ópticoscuyo ancho es determinado por el Bit rate del sistema. El ensanchamiento delos pulsos debido a la disperisón es un efecto indeseado en estos sistemas. Clara-mente, el efecto de GVD limita la tasa de Bits para una distancia determinadaL. Esta sección discute como BL ( bit rate por largo) es limitado y como se hacepara mejorarlo.
2.3.13 Limitaciones debiddas al efecto de GVD
Consideremos el primer caso en el que el ensanchamiento del pulso se enceun-tra dominado por el ancho espectral σω de la fuente. Para un pulso gaussiano elfactor de ensanchamiento puede obtenerse (asumiendo β3 despreciable y C = 0)el ancho del pulso RMS está dado por,
σ =
√σ2
0 + (β2Lσω)2
=
√σ2
0 + (DLσλ)2 (76)
Donde L es el largo de la �bra y σλ es el ancho RMS de la fuente en unidadesde longitud de onda. El parámetro de dispersión D se encuentra relacionado conel GVD (β2).
Se pueden relacionar el σ con el bitrate (B) utilizando el criterio de que elpulso ensanchado debe mantenerse con�nado en TB = 1/B. Un criterio comun-mente utilizado es 4σ < TB .
El ancho de banda limitante puede obenterse como
BL|D|σλ < 1/4 (77)
Sistemas de comunicación de �bra óptica modernos operan en el entorno delos 1.55µm reducen el GVD utilizando �bras Dispersion-shifted diseñadas paraque tengan longitud de onda de minimas pérdidas y la de disepersion cero muycercanas. Entonces si se desprecia β3 y C = 0 el ancho RMS se puede expresarcomo
σ =√σ2
0 + (β2L/2σ0)2 (78)
El factor ahora depende de del valor inicial σ0. El mínimo valor de σ seencuentra cuando σ0 =
√|β2|L/2 . Entonces el bit rate limitante se botiene con
el criterio anteriormente postulado. 4Bσ < 1,
31
B√|β2|L < 1/4 (79)
A continuación se puede ver un grá�co del bit rate limitante para algunoscasos particulares.
2.3.14 Compensación de Dispersión
Como máximo un solo canal se puede situar en la longitud de onda de dis-persión cero (λD) en un sistema WDM. El efecto no-lineal de four wave mixingse vuelve muy fuerte si el GVD es pequeño lo que fuerza a los sistemas WDMa operar lejos de la longitud de onda de dispersión cero por lo que cada canaltiene un valor �nito de β2. GVD se vuelve un problema serio bajo estas circun-stancias. El manejo de la dispersión provee una buena solución a este dilema,consiste en combinar �bras con distintos tipos de características tal que prome-dien el GVD del link de �bra entero. En un mapa de dispersión periódica seutilizan ampli�cadores. Los ampli�cadores compensan las pérdidas en las �brasen cada sección. Entre estaciones ampli�cadores se utiliza se utilizan dos tiposde �bras con signos opuestos de β2. Cuando el promedio de GVD es cero ladispersión se encuentra totalmente compensada.
Para un mapa de dispersión entre dos segmentos se tiene
U(Lm, t) =1
2π
ˆ ∞−∞
U(0, ω)ei2ω
2(β21L1+β22L2)−iωtdω (80)
En donde Lm = L1 + L2 es el periodo del mapa de dispersión y β2j es elparámetro de GVD de cada uno de los segmentos.
La condición de compensación de dispersión se puede escribir como,
32
D1L1 +D2L2 = 0 (81)
Cuando esta última ecuación es satisfecha, el pulso recobra su ancho inicialen cada uno de los periodos de los segmentos. Esta ecuación puede ser satisfechaen muchas formas diferentes. Si los segmentos tienen largos iguales (L1 = L2)las dos �bras deberán D1 = −D2. De todas formas las �bras del tipo estándarya se encuentran instaladas. Como esta �bra posee GVD anormal con D ≈16ps/(km − nm) su dispersión puede ser compensada utilizando un tramo de�bra relativamente corto de una �bra de compensación de dispersión, diseñadapara tener GVD normal con valores D > −100ps/(km− nm).
Hay dos enfoques con las �bras compoensadoras de dispersión(DCF disper-stion compensation �bers). En un enfoque las DCF soportan un solo modo ylas DCF que soporotan dos modos. Estas ultimas logran un D de compensaciónde aproximadamente ≈ −770ps/(km−nm) lo que hace que el largo de las DCFsea mucho menor.
2.3.15 Compensación de Dispersión de tercer orden
Cuando el bit-rate de un canal excede los 100Gb/s se deben utilizar pulsosultracortos (∼ 1ps) en cada bit slot. Para esos pulsos tan cortos el espectrodel pulso se hace tan ancho que di�culta la compensación del GVD dentro detodo el ancho de banda del pulso (debido a la dependencia de la frecuencia deβ2). La mejor solución a este problema es la utilización de �bras designadas deforma que β2 y β3 se compensan simultaneamente.
Las condiciones para que se cumpla esto son,
β21L1 + β22L2 = 0 y β31L1 + β32L2 = 0 (82)
En donde β2j y β3j son respectivamente los parámetros de GVD y TOD dela �bra. Generalmente es difícil satisfacer ambas condiciones simultaneamentedentro de un rango amplio de frecuencias.
Algunos experimentos demostraron que la transmisión de señales en distan-cias ∼ 100kms con altos bit rates (100Gb/s o más) utilizando simultaneamentecompesación de GVD y TOD. En 1996 una señal de 100Gb/s fue transmitidapor mas de 560kms con ampli�cadores espaciados 80kms. En experimentos másrecientes el bit rate se extendió a 400Gb/s utilizando pulsos de 0.98ps de ancho.Sin compensación del TOD, el pulso de ensanchó 2.3ps luego de viajar 40kmsy exhibió una larga cola de oscilaciones.
Cuando ambos β2 y β3 son cercanos a ser compensados, la propagación depulsos de femtosegundos se encuentra limitada por efectos dispersivos de cuartoorden governados por el parámetro β4. En 1999 la combinación de DCF ycompensadores programables de dispersión compensaban al mismo tiempo β2,β3 y β4 logrando pulsos de 0.22ps y transmitirlos hasta 85kms.
33
2.4 Capítulo IV - Self-phase Modulation (SPM)
Una interesante manifestación de la dependencia con la intencidad del índicede refracción en medios ópticos no lineales occure a través del efecto conocidocomo self-phase modulation. Este efecto lleva al ensanchamiento espectral delos pulsos ópticos. Este capítulo consiste en el estudio del efecto de SPM comoun fenómeno óptico no lineal que puede ocurrir en las �bras ópticas.
2.4.1 SPM- Ensanchamiento Espectral Inducido
La descripción del efecto de SPM sobre las �bras ópticas requiere solucionesnuméricas de la ecuación de propagación del pulso.
∂A
∂z+β1
∂A
∂t+iβ2
2
∂2A
∂t2+α
2A−β3
6
∂3A
∂t3= iγ
(|A|2A+
i
ω0
∂
∂T
(|A|2A
)− TRA
∂|A|2
∂T
)(83)
2.4.2 Cambio de Fase No-lineal
En términos de la amplitud normalizada U(z, T ), la ecuación de propagacióndel pulso en el caso en que β2 es cero (es decir GVD es cero) se convierte en
∂U
∂z=ie−αz
LNL|U |2U (84)
En donde α es el coe�ciente que tiene en cuenta las pérdidas en la �bra. Ellargo no lineal (LNL) fue de�nido previamente como:
LNL = (γP0)−1 (85)
En donde P0 es la potencia pico y γ se encuentra relacionado con el índicenolineal.
La ecuación (84) puede resolverse sustituyendo U = V eiφNLe igualando partereal y parte imaginaria.
∂V
∂z= 0;
∂φNL∂z
=e−αz
LNLV 2 (86)
Como la amplitud V no cambia a lo largo de la �bra L, la ecuación de lafase se puede integrar analíticamente para obtener una solución general.
U(L, T ) = U(0, T )eiφNL(L,T ) (87)
En donde U(0, T ) es la amplitud del campo en z = 0 y
φNL(L, T ) = |U(0, T )|2(Leff/LNL) (88)
Con el ancho efectivo (Leff ) de�nido como
34
Leff =1− e−αL
α(89)
La ecuación (87) muestra que el efecto del SPM aparece por la dependenciaque tiene la fase de la amplitud con la intesidad sin afectar la forma del pulso.El cambio de fase no lineal φNL crece con el largo de la �bra. El parámetro Leffjuega un rol de largo efectivo que es menor a L debido a las pérdidas en la �bra.Suponiendo que la �bra sea sin pérdidas (i.e. α = 0) en este caso Leff = L y elmáximo cambio de fase se produce con un pulso en T = 0.
φmax = Leff/L = γP0Leff (90)
El signi�cado físico del largo no lineal LNL es el lárgo de propagación efectivaen el cual φmax = 1.
El SPM induce ensanchamiento espectral y es una consecuencia de la depen-dencia temporal de φNL. Esto se puede entender como una variación de fasetemporal que implica que la frecuencia óptica instantanea di�ere a lo largo delpulso del ω0 central. La diferencia δω se encuentra dada por
δω(T ) = −∂φNL∂T
= −(LeffLNL
)∂
∂T|U(0, T )|2 (91)
La dependencia temporal de δω se encuentra referida a un chirping en fre-cuencia. El chirp inducido por el efecto del SPM crece en magnitud a medidaque se propaga. En otras palabras se generan nuevas componentes de frecuenciaa medida que el pulso se propaga por la �bra. Estas frecuencias generadas hacenque el espectro del pulso se ensanche.
La medida en la que el espectro se ensancha depende en la forma del pulso.Considerando un pulso super-gaussiano con el campo incidente U(0, T ). Elefecto del SPM induce un chirp δω para el pulso de la forma
δω(T ) =2m
T0
LeffLNL
(T
T0
)2m−1
e−(TT0
)2m
(92)
Para valores grandes de m el pulso se convierte en forma casi rectangularcon bordes más �a�lados�. En la siguiente �gura se puede observar como varíaφNL y el chirp inducido en frecuencia δω.
35
Se puede llegar a conclusiones interesantes de mirar estos grá�cos. Primeroδω es negativo cerca del borde delantero (red shift) y se convierte positivo en elborde trasero. El chirp de la frecuencia es lineal y positivo en la región centraly tercero el chirp es mucho mayor en pulsos más cuadrados y �losos.
2.4.3 Cambios en el Espectro del Pulso
Se puede estimar la magnitud del ensanchamiento espectral debido al SPMdel valor pico de δω. Más cualitativamente se puede calcular el valor pico max-imizando la expresión de δω igualando su derivada a cero.
El máximo valor de δω está dado por
δωmax =mf(m)
T0φmax (93)
φmax ya se conoce y la función f(m) se encuentra dada por,
f(m) = 2
(1− 1
2m
)1−1/2m
e−1− 12m (94)
El valor numérico de f(m) depende de m el tipo de pulso. Para obtener elfactor de ensanchamiento el parámetro del ancho T0 debería encontrarse rela-cionado con el ancho espectral inicial ∆ω0 del pulso. Para m = 1 se obtiene
δωmax = 0.86∆ω0φmax (95)
36
Demostrando que el factor de ensanchamiento espectral se encuentra aprox-imadamente dado por el valor numérico de la máximo cambio de fase φmax. Enel caso de un pulso super Gaussiano es difícil estimar el valor ∆ω0 por que suespectro no es gaussiano. Para valores altos de φmax el efecto del SPM inducidopuede ensanchar considerablemente el espectro del pulso. En el caso de pulsosultracortos el espectro ensanchado por SPM puede extenderse más de 100THzy más si el efecto se acompaña de otros procesos no lineales como Dispesión deRaman y Four wave-mixing.
La forma del espectro del pulso S(ω) se puede obtener tomando el mó-dulo al cuadrado de la transformada de Fourier del pulso normalizado, S(ω) =|U(L, ω)|2. Se obtiene,
S(ω) =
∣∣∣∣ˆ ∞−∞
U(0, T )eiφNL(L,T )+i(ω−ω0)T dT
∣∣∣∣2 (96)
Generalmente el espectro depende de la forma del pulso y el chirp impuestopor el mismo. En la siguiente �gura se puede ver un pulso gaussiano sin chirppara distintos valores de φmax.
La carácterística más notable del SPM sobre el espectro del pulso es queel ensanchamiento viene acompañado de una estructura oscilatoria cubriendotodo el rango de frecuencias. En general el espectro consiste en muchos picosy los más importantes son los exteriores. El número de picos depende de φmaxy crece linealmente con él. El origen de las oscilaciones se puede entender dela estructura del chirp. En general el mismo chirp ocurre en dos valores de Tmostrando que el pulso tiene la misma frecuencia instantanea en dos puntosdistintos. Cualitativamente hablando los dos puntos representan dos ondas dela misma frecuencia per o con diferente fase que pueden interferir constructiva-mente o destructivamente dependiendo de su diferencia de fase. La cantidad depicos M debidos al SPM se pueden estimar por la ecuación,
37
φmax ≈ (M − 1
2)π (97)
Con estas ecuaciones se puede estimar el ancho espectral inicial ∆ω0 o elancho del pulso T0 si el pulso inicialmente es sin chirp. Este método es precisocuando φmax � 1.
Para la obtención de un resultado más preciso para la medición del ensan-chamiento espectral se debería utilizar el ancho espectral RMS ∆ωRMS de�nidocomo,
∆ω2rms =
⟨(ω − ω0)
2⟩− 〈(ω − ω0)〉2 (98)
En donde los paréntesis respresentan el promedio del SPM sobre el espectrodado previamente.
〈(ω − ω0)〉n =
´∞−∞(ω − ω0)nS(ω)dω´∞
−∞ S(ω)dω(99)
El factor de ensanchamiento espectraal de un pulso Gaussiano se encuentradado por,
∆ωrms∆ω0
=
√1 +
4
3√
3φ2max (100)
En donde ∆ω0 es el ancho espectral inicial RMS del pulso.
2.4.4 E�ectos en la Forma del Pulso y Chirp Inicial
Como se mencionó anteriormente la forma del espectro ensanchado debidoal SPM depende en la forma del pulso y el chirp inicial. En la siguiente �gurase comparan dos pulsos Gaussiano y Super-Gaussiano.
38
En ambos casos los pulsos se asumen sin chirp inicial (C = 0). El largo de la�bra y la potencia pico se elgieron de forma que para ambos casos φmax = 4.5π.En ambos espectros se exhiben 5 picos pero para el pulso Super-gaussiano laenergía continua conservandose en el pico central. Esto se debe a que el chirpde frecuencias es cerca de cero en la región central. El chirp ocurre fuera de lazona central para los pulsos super-gaussianos
Un pulso con chirp inicial puede desembocar en cambios drásticos en elefecto del SPM sobre el espectro del mismo. Esto se ilustra en la �gura 4.5 quemuestra el espectro de un pulso gaussiano con dos tipos de chirp (C = ±5). Unchirp positivo incrementa el número de picos mientras que un chirp negativodisminuye la cantidad de picos.
Esto puede entenderse del chirp en frecuencia debido al SPM. El chirp espositivo y lineal en el franja central del pulso gaussiano. Por lo que se estaríaagregando al chirp inicial cuando se tiene un pulso con C > 0 resultando enuna estructura oscilatoria con mayor cantidad de picos. En el caso contrario(C < 0) las dos contribuciones del chirp son opuestas por lo que se contrarestan(salvo en los bordes del pulso).
Para valores negativos de chirp (C ) el espectro del pulso en la salida de la�bra se a�na. Ese achicamiento espectral se vio experimentalmente en pulsos de100-fs y agregandoles un chirp pasándolos por un prisma antes de lanzarlo en la�bra. Los 10.6nm iniciales del pulso se comprimieron en 3.1nm. Este resultadose puede entender cualitativamente como que el espectro se achica en tanto yen cuanto que el efecto del chirp producto del SPM inducido compense el chirpinicial.
2.4.5 Efectos de la Coherencia Parcial del Laser
El chirp en frecuencia producto del SPM desaparece para radiaciones deonda continua (CW continuous wave) implicando que los haces CW no experi-mentarán ningún ensanchamiento espectral en �bras ópticas. Esto es así debido
39
a que se asume que que el campo inyectado es completamente coherente. En lapráctica todos los rayos laser son parcialmente coherentes. El grado de coheren-cia de los laseres hoy en día es su�cientemente bueno para poder considerar elefecto de la coherencia parcial despreciable.
Cuando los tiempos de coherencia son tan pequeños que el ancho del pulsoque afecta la coherencia parcial. En el caso de los haces CW, el efecto de SPMpuede llevar a un ensanchamiento espectral durante su propagación dentro deuna �bra óptica. La razón física de esto se puede entender como la coherenciaparcial de la luz exhibe �uctuaciones tanto en fase como en intensidad. Elefecto del SPM convierte �uctuaciones de intensidad en �uctuaciones de fase yensancha el espectro ótpico. El efecto de SPM tambíen reduce el t iempo decoherencia Tc mientras el rayo CW se propaga dentro de la �bra haciendolomenos coherente.
La coherencia parcial de los laseres afecta al efecto del SPM de la siguienteforma. Luego de simulaciones numéricas se llego a la conclusión de que lacoherencia parcial hace que los picos producto del efecto de SPM inducido seensanche cuando el tiempo de coherencia se hace comparable o menor que elancho del pulso.
2.4.6 Efectos de la Dispersión de la Velocidad de Grupo
En la sección anterior se describió el efecto del SPM en la propagación depulsos relativamente largos (T0 > 100ps), su�cientes como para que el largo dedispersión LD es mucho mayor comparado con el largo de la �bra L y el largo nolineal LNL. A medida que los pulsos se hacen más cortos el largo de dispersiónse hace comparable al largo de la �bra se hace necesario considerar el efectode GVD y SPM. Nuevos efectos salén de la combinación de estos dos efectoscombinados. En el régimen anormal de dispersión los dos fenómenos puedencooperar de manera de hacer que el pulso se propague como un solitón óptico7.En el régimen de dispersión normal el efecto combinado del GVD y SPM sepueden utilizar para la compresión del pulso.
2.4.7 Evolución del Pulso
El punto de partida es la ecuación no lineal de Schödinger (NLS). La ecuaciónse puede escribir de forma normalizada como:
i∂U
∂ξ= sgn(β2)
1
2
∂2U
∂τ2−N2e−αz|U |2U (101)
En donde ξ y τ representan la distancia normalizada y la variable de tiempode�nida como,
ξ = z/LD, τ = T/T0 (102)
y el parámetro N es:
7http://es.wikipedia.org/wiki/Solitón
40
N2 =LDLNL
≡ γP0T20
|β2|(103)
El signi�cado físico de N se verá en el capítulo 5 de la bibliografía. Elfactor N gobierna la importancia relativa de los efectos de GVD y SPM en laevolución del pulso a lo largo de la �bra. El efecto de GVD domina cuandoN � 1 mientras que SPM domina cuando N� 1. Para valores de N ∼ 1ambos, SPM y GVD juegan un rol importante durante la evolución del pulso.
La siguiente �gura muestra la evolución de la forma y el espectro del pulsode un pulso inicialmente sin chirp en regimen de dispersión normal utilizandoN = 1 y α = 0 .
En particular en este caso el pulso se ensancha mucho más rápido comparadocuando N = 0. Esto se puede entender debido que el efecto del SPM generanuevas frecuencias. SPM lleva a un ensanchamiento más rápido del espectro delpulso comparado con el efecto solo del GVD.
La situación es muy diferente para pulsos que se propagan en condición dedispersión anormal. La siguiente �gura muestra la variación de la forma delpulso atravezando una �bra con régimen de dispersión anormal.
41
En este caso el pulso se ensancha más lento de lo esperado y parece obtenerun estado estacionario en el ensanchamiento hasta alcanzar z = 4LD. De lamisma forma el espectro parece achicarse en ves de ensancharse como era deesperar por el SPM. Este fenómeno se puede explicar con que el SPM produceun chirp de frecuencia positivo mientras que el chirp producto del GVD esnegativo debido al signo de β2.
Los dos efectos del chirp se cancelan unos a otros. De esta forma el efecto delGVD y el SPM cooperan para mantener un pulso libre de chirp. Este escenariocorresponde a la evolución de un solitón8.
2.4.8 Factor de Ensanchamiento
Los dos casos mostrados anteriormente muestran que el efecto del SPM en eltiempo es alterar la tasa de ensanchamiento impuesta en el pulso por el GVD.
8Un solitón es una onda solitaria que se propaga sin deformarse en un mediono lineal. Se encuentra en fenómenos físicos como solución a ecuaciones difer-enciales no lineales.
42
Se puede ver que el SPM aumenta la tasa de ensanchamiento en la condiciónde dispersión normal (β2 > 0). El factor de ensanchamiento en condición dedispersión anómala es considerablemente menor como se muestra en la �guraanterior y (β2 < 0) es ampliamente útil para sistemas de comunicaciones en1.55µm en los cuales β2 ≈ −20ps2/km cuando las �bras utilizadas tienen lon-gitud de onda de dispersión cero (λD) de 1.3µm.
Generalmente se debe resolver la ecuación (101) numericamente para el es-tudio de los efectos combinados. De todas maneras, aproximaciones analíticasserán de utilidad para entender la dependencia funcional de la tasa de ensan-chamiento de los parámetros físicos.
En otro enfoque, la ecuación NLS (nonlinear Schrödinge Ecuation) se re-suelve despreciando los efectos del GVD. El resultado se considera como condi-ción inicial y luego se resuelve la misma ecuación despreciando los efectos deSPM. El ancho del pulso puede ser calculado analíticamente. En el caso depulsos gaussianos sin chirp el factor de ensanchamiento es:
σ
σ0=
√1 +√
2φmaxL
LD+
(1 +
4
3√
3φ2max
)L2
L2D
(104)
Donde φmax es el cambio de fase máximo debido a los efectos de SPM.En otro enfoque se resuleve la ecuación en el dominio de la frecuencia. Este
enfoque concluye que el SPM se puede ver como el efecto de Four-Wave-mixingen el cual los fotones.
2.4.9 Resultados Experimentales
El efecto combinado del GVD y SPM en �bras ópticas fue observado porprimera ves en un expermineto con pulsos de 5.5ps (FWHM) en una longitudde onda de 587nm se propagaban 70 metos . Para una potencia pico de 10W(N ≈ 7), los pulsos salian de forma casi rectangular y tenían un chirp aproxi-madamente lineal y positivo. La forma del pulso se dedujo con la medición del aautocorrelación debido a que los pulsos eran demasiado cortos para ser medidos
43
directamente. En experimentos posteriores pulsos muchos mas anchos fueronutilizados para atravezar un span de 20km con una longitud de onda de 1.06µmcuando se aumento la potencia pico de 1W a 40W (N ≈ 20 − 150) la salidadel pulso se ensanchaba, se hacía casi rectangular y desarrollaba una subestruc-tura cerca de los límites resultando en un patrón como el que se muestra acontinuación.
2.4.10 Efectos de la Dispersión de Tercer Orden
Si la longitu de onda λ0 coincide con la longitud de onda de dispersión ceroλD de manera que β2 ≈ 0 es necesario incluir los efectos de la TOD en elensanchamiento espectral debido al efecto SPM. Si de nuevo reemplazamos enla ecuación de propagación del pulso β2 = 0 e incluimos el largo L′D se obtienela ecuación,
i∂U
∂ξ′= sgn(β3)
i
6
∂3U
∂τ3− N2e−αz|U |2U (105)
en donde
N2 =L′DLNL
=γP0T
30
|β3|(106)
Como en la sección anterior el parámetro N gobierna la importancia rel-ativa del efecto de GVD y el efecto de SPM durante la evolución del pulso;GVD domina cuando N � 1 mientras que SPM domina cuando N � 1. Estaultima ecuacion puede resolverse numéricamente utilizando el método de split-step Fourier. En la siguiente discusión se asumira que β3 > 0 y se despreciaránlas pérdidas en la �bra.
44
El efecto del SPM es incrementar el numero de oscilaciones en la parte inicialy �nal del pulso. Al mismo tiempo la intensidad la intensidad no se hace ceroen el mínimo de oscilación.
El efecto del GVD de orden tres es evidente en la �gura anterior. En laausencia de GVD se esperaría que en el espectro se vieran dos picos simétricos. El efecto del GVD es de introducir una asimetría en el espectro sin afectar laestructura de dos picos.
La evolución del puslo exhibe comportamientos cualitativamente diferentespara valores deN grandes. Por ejemplo a continuación se ve en la �gura la formadel pulso y el espectro de un pulso inicialmente sin chirp gaussiano en el caso deque N = 10. El pulso desarrolla una estructura oscilatoria con una modulaciónprofunda. Debido a las rápidas variaciones temporales la tercer derivada sehacer grande localmente y los efectos del GVD se hacen más importantes amedida que el pulso se propaga dentro de la �bra. El efecto mas notorio enel espectro es que la energía se concentra en dos bandas un efecto común paravalores de N > 1.
45
El punto importante a tener en cuenta es que debido al efecto del SPM queinduce ensanchamiento espectral el pulso realmente no se está propagando ala longitud de onda de dispersión cero (β2 = 0), en efecto crea su porpio β2 através del SPM.
|β2| ≈ β3|δωmax/2π| (107)
En �bras con dispersión controlada β2 es grande localmente pero desapareceen promedio. El efecto de TOD juega un rol importante en esos links, especial-mente para pulsos ultra cortos. La evolución temporal y espectral dependen sila �bra para la compensación de dispersión (DCF) se encuentra antes o despuesdel a �bra estándar. En caso de postcompesación el pulso desarrolla una colacon oscilación debido al TOD y exhibe achicamiento espectral .
2.4.11 Efectos No-Lineales de orden Superior
La discusión del efecto del SPM se basó en la ecuación simpli�cada de lapropagación del pulso. Para pulsos ultra cortos (T0 < 1ps) es necesario incluirefectos no lineales de mayor orden. La ecuación que describe la propagación contodos los efectos queda de la siguiente forma.
∂U
∂z+isgn(β2)
2LD
∂2U
∂τ2=sgn(β3)
6L′D
∂3U
∂τ3+ie−αz
LNL
(|U |2U + is
∂
∂τ(|U |2U)− τRU
∂|U |2
∂τ
)(108)
Donde LD, L′D y LNL son las tres escalas de�nidas como
LD =T 2
0
|β2|, L′D =
T 30
|β3|, LNL =
1
γP0(109)
Los parámetros s y τR gobiernan los efectos del self-steepening y intrapulseRaman Scattering y se de�nen como,
46
s =1
ω0T0, τR =
TRT0
(110)
Ambos efectos deben ser considerados para pulsos del orden de 0.1ps.
2.4.12 Self-Steepening
Self-steepening resulta de una dependencia de la intensidad de la velocidadde grupo. El efecto del self-steepening sobre el SPM fue considerado por primeraves en liquidos no lineales. Este efecto lleva a una asymetría en el espectro delos pulsos ultra cortos.
Antes de resolver numéricamente es de interés estudiar el caso en que β2 =β3 = 0. La ecuación NLS puede ser resuelta analíticamente reemplazando estosparámetros.
De�niendo la distancia normalizada Z = z/LNL y despreciando las pérdidasen la �bra (α = 0). La ecuación NLS se convierte en,
∂U
∂Z+ s
∂
∂τ(|U |2U) = i|U |2U (111)
Proponiendo como solución U =√Ieiφ y separando en parte real y parte
imaginaria se obtienen las siguientes.
∂I
∂Z+ 3sI
∂I
∂τ= 0, (112)
∂φ
∂Z+ sI
∂φ
∂τ= I. (113)
La solución.
I(Z, τ) = f(τ − 3sIZ) (114)
Con la condición inicial utilizada es I(0, τ) = f(τ) donde f(τ) describe laforma del pulso en z = 0. Esta ecuación muestra que cada punto τ se mueve a lolargo de una línea recta desde su valor incial. La pendiente de la línea dependede la intensidad del pulso.
Consideramos el caso de un pulso gaussiano:
I(0, τ) ≡ f(τ) = e−τ2
(115)
Resolviendo para este pulso se obtiene que a una distancia Z
I(Z, τ) = e−(τ−3sIZ)2 (116)
La relación implicita para I(Z, τ) debe ser resuelta para cada τ para obtenerla forma del pulso en un Z determinado. En la siguiente �gura se muestranlos efectos del self steepening de un pulso gaussiano en un entorno libre dedispersión (β2y β3 = 0).
47
Mientras el pulso se propaga dentro de la �bra su forma se va tornandoasimétrica. Como resultado el borde �nal del pulso se hace más recto con elincremento de la distancia Z. Físicamente la velocidad de grupo del pulso esdependiente de la intensidad tal que el pico se mueve a menor velocidad que lascolas.
El efecto del Self-steepening del pulso eventualmente crea un shick óptico.La distancia en la cual se forma el shock se puede encontrar rrecurriendo a que∂I/∂τ sea in�nita en la ubicación del shock.
El efecto de self-steepening tambíen afecta al efecto de ensanchamiento es-pectral producto del SPM. En el caso de que se trate de una �bra sin dispersiónφ(z, τ) se puede obtener resolviendo la ecuación que describe a φ.
2.4.13 Efectos del GVD en Shocks Ópticos
Los efectos del GVD no pueden ser desconsiderados cuando viajan pulsosultra cortos dentro de la �bra. La evoclución del pulso en este caso se puedeestudiar resolviendo la ecuación (108) de forma numérica.
Se analiza el efecto del GVD de la siguiente �gura:
48
2.4.14 Efecto Raman entre pulsos
La discución hasta ahora ha despreciado el último término en la ecuación(108) que es responsable de incluir los efectos de la dispersión de RAMAN. Enel caso de �bras ópticas este término se convierte importante para pulsos ultracortos (T0 < 1ps ) y deben ser incluidos modelando la evolución dentro de la�bra. Los efectos de la dispersión de RAMAN son dramáticos en el contexto delos solitónes lo que lleva a la aparición de nuevos fenómenos como el decaimi-nento y delf frecuency shift. Igualmente en el caso de GVD normal la inclusióndel efecto de selft-steepening y scattering de RAMAN deben ser incluídos parael entendimiento de las situaciones experimentales.
49
La �gura anterior muestra el resultado epxerimental del espectro de un pulsode T0 = 60fs con una potencia de 7.4KW enviado a través de una �bra de 6metros. Los parámetros de la �bra eran β2 ≈ 4ps2/km y β3 ≈ 0.06ps3/km enuna longitud de onda 1260nm. Los casos mostrados b-d muestran la predicciónde la ecuación NLS completa bajo tres condiciones distintas. Para que la predic-ción se ajuste al resultado experimental se deben incluir efectos dispersivos de4to orden. .
El efecto del SPM y otros efectos no lineales como STS y four wave mixingocurriendo simultaneamente en las �bras ópticas pueden ensanchar el espec-tro de pulsos ultra cortos tanto que se pueden extender más de 100nm. Talensanchamiento es conocido como fenómeno supercontinuo que fue altamenteestudiado en los 90.
50
3 Simulaciones
En esta sección se estudiarán los efectos dispersivos vistos en lase seccionesanteriores. El objetivo de las mismas es asentar los conceptos sobre como modi-�can alos pulsos los efectos dispersivos que ocurren en las �bras ópticas. Lo quese logra con todo esto es poder predecir con los modelos matemáticos el com-portamiento que tendrán los mismos luego de atravesar una �bra con parámet-ros conocidos. Tambíen conociendo los efectos que le ocurren a un pulso queatraviesa la �bra se pueden determinar parámetros desconocidos de la misma.
Para llevar las simulaciones resolviendo la ecuación NLS en los distintoscasos se utilizó el matlab. El código utilizado para la simulación se extrajode la web de mathworks9. Esta aplicación incorpora todo los aspectos de lapropagación de un pulso óptico en un medio no-lineal. Utiliza la aproximaciónde que el campo óptico es cuasi-monocromático varía lentamente con respectoa la frecuencia central. De esta forma se puede utlizar separación de variablespara resolver más fácilmente el campo eléctrico a partir de la NLS.
3.1 Ecuación NLS
La ecuación de propagación del pulso genérica se puede expresar de la sigu-iente forma:
∇2E − 1
c2∂2E
∂t2= µ0
∂2PL∂t2
+ µ0∂2PNL∂t2
(117)
Operando correctamente y asumiendo las condiciones:
� PNL puede ser tratado como una pequeña perturbación de PL
� Se asume que el campo mantiene la polarización a lo largo de la �bra
� El campo se asume mono-cromático. Esto signi�ca que ∆ωω0� 1 . Esto se
cumple para pulsos del orde de 0.1ps.
Luego de operar matemáticamente (Ver sección: Propagación no lineal delpulso) se obtiene la ecuación completa:
∂A
∂z+β1
∂A
∂t+iβ2
2
∂2A
∂t2+α
2A−β3
6
∂3A
∂t3= iγ
(1 +
i
ω0
∂
∂t
)(A(z, t)
ˆ ∞−∞
R(t′)|A(z, t− t′)|2dt′)
(118)En esta ecuación se modelan todos los efectos no- lineales existentes en las
�bras ópticas. Para los distintos casos de simulación se explicará que hipótesisse tienen en cuenta y como queda la ecuación simpli�cada.
9http://www.mathworks.com/matlabcentral/�leexchange/4657-pulse-propagation-in-nonlinear-mediagui-based-application
51
3.2 Simulaciones: El Efecto del GVD
Para el estudio del efecto del GVD se pueden utilizar la hipótesis de que lospulsos tienen anchos ≥ 5ps entonces de la ecuación general NLS se llega a lasiguiente ecuación simpli�cando los efectos no lineales.
i∂A
∂z= − iα
2A+
β2
2
∂2A
∂T 2− γ |A|2A (119)
Introduciendo la expresión de U la amplitud normalizada:
A(z, t) =√P0e
−αz2 U(z, t) (120)
El factor exponencial modela las pérdidas ocurridas en la �bra y P0es lapotencia pico del pulso incidente.
La ecuación que gobierna el efecto del GVD en función de la amplitud nor-malizada U(z, t) sigue la ecuación:
i∂A
∂z=sgn(β2)
2LD
∂2U
∂τ2− e−αz
LNL|U |2 U (121)
3.2.1 Caso de simulación 1: Ensanchamiento del pulso (Pulso Gaus-siano sin chirp)
Para el estudio de este efecto particular se setea γ = 0. Por lo tanto laecuación pasa a ser:
i∂A
∂z=
β2
2LD
∂2U
∂τ2(122)
Se resuelve esta ecuación en el dominio de la frecuencia (Transformandofourier). Para un pulso gaussiano la solución se puede encontrar analíticamentey resulta en:
U(z, T ) =T0
(T 20 − iβ2z)
12
e− T2
2(T20−iβ2z) (123)
En donde T0 es el FWHM (�Full Width at Half Maximum�). En esta ecuaciónse puede ver que el pulso mantiene su forma pero a medida que se va propagándopor la �bra el T1 va aumentando con la forma:
T1(z) = T0 [1 + z/LD]1/2 (124)
En donde LD es un parámetro conocido como largo de dispersión y es LD =T 2
0 / |β2|.A continuación se simula el caso propiamente dicho:
52
Pulso Inicial Gaussiano Evolución 3D
Ancho(z) Evolución (Vista plana)
Se puede ver que del resultado de las simulaciones se puede apreciar la se-menjanza con la solución analítica encontrada para lo que es el solo efecto delensanchamiento del pulso.
También se puede ver que el pulso inicialmente sin chirp (cambio instantáneode frecuencia) luego de atravezar la �bra se convierte en un pulso con chirp.
3.2.2 Caso de simulación 2: Ensanchamiento del Pulso (Pulso Gaus-siano con Chirp)
La fórmula del pulso gaussiano con chirp es la siguiente:
U(0, T ) = e− (1+iC)
2T2
T20 (125)
En donde C es el parámetro del chirp. El parámetro C puede ser C > 0(up-chirp) o C < 0 (down-chirp). El valor numérico de C se puede estimar elancho espectral del pulso gaussiano.
Resolviendo la ecuación de forma analítica se obtiene:
U(z, T ) =T0√
T 20 − iβ2z(1 + C)
e− (1+iC)T2
2[T20−iβ2z(1+iC)] (126)
De esta forma que los pulsos gaussianos también mantienen su forma luegode propagarse a través de la �bra.
El ancho luego de propagarse una distancia z se puede encontrar de larelación:
53
T1
T0=
√(1 +
Cβ2z
T 20
)2
+
(β2z
T 20
)2
(127)
Esta ecuación muestra que el ensancamiento depende del signo del efecto delGVD representado por β2.
Pulso Inicial Gaussiano Evolución 3D
Ancho(z) Evolución (Vista plana)
Se puede ver que teniendo un up-chirp C = 1 luego de atravezar una �bracon parámetro β2 > 0 de dispersión normal el pulso se comprime levementepara que luego el chirp haga que el pulso se ensanche. El efecto de atravezar la�bra contraresta el chirp haciendolo cero y luego llevandolo a C < 0. Se puedeencontrar la distancia donde ocurrirá el mínimo como:
zmin =|C|
1 + CLD (128)
El ancho mínimo del pulso se encuentra dado por:
Tmin1 =T0√
1 + C2(129)
Se simula ahora el caso en el que el pulso posee un down-chirp (C = −1).
54
Pulso Inicial Gaussiano Evolución 3D
Ancho(z) Evolución (Vista plana)
A Continuación se van a comparar los anchos correspondientes a los pulsosanteriores:
Para estas simulaciones se eligió β2 > 0 γ = 0 .En estas simulacionesse muestra el efecto de la compresión del pulso debido al chirp inicial del mismo.
3.2.3 Caso de simulación 3: Ensanchamiento del Pulso (Pulso SuperGaussiano)
Hasta ahora se estudiaron los pulsos gaussianos los cuales no poseen bor-des muy ��losos�. En general uno podría intuir que los pulsos con saltos mas
55
abruptos sufririan más el efecto del ensanchamiento al propagarse dentro de una�bra. Esta intuición es correcta debido a que los pulsos más abruptos poseenun espectro más ancho. Hay muchos pulsos que caen dentro de esta categoría ygeneralmente no se pueden representar con el pulso gaussiano.
Para eso se de�ne el pulso Super Gaussiano:
U(0, T ) = e− 1+iC
2
(TT0
)2m
(130)
Donde el parámetro m controla el grado de del pulso (a mayor m bordesmás �losos). El time rise se puede de�nir como :
Tr = ln9T0
2m≈ T0
m(131)
A continuación se gra�carán tres tipos de pulsos super gaussiano:
Se pueden apreciar tres tipos de pulsos Super-Gaussianos.Se puede ver que a medida que
aumenta el m el pulso se hace más cuadrado
A continuación se simulará el caso en que un pulso Super-Gaussiano de ordentres (m = 3) atravieza una �bra con un β2 > 0 y tiene un parámetro de chirpC = 0.
Pulso Inicial Gaussiano Evolución 3D
56
Ancho(z) Evolución (Vista plana)
Tal y como se había intuido el efecto de tener los bordes más �losos provocaproblemas en la transmisión del pulso a lo largo de la �bra. A diferencia delos casos anteriores se puede ver que el efecto del GVD de segundo orden (β2)afecta la forma del pulso ( cosa que antes no sucedía). De la simulación siguientese poder arpeciar que el hecho de ser un pulso super gaussiano y tener mayorancho espectral provoca que la tasa de ensanchamiento sea mayor.
Se puede apreciar la variación delT1 a mayor tasa cuanto mayor es
el m del pulso.
3.2.4 Caso de simulación 4: Efectos Dispersivos de Tercer Orden(β3)
En la mayoria de los casos de interés la contribución de este efecto es des-preciable. Los casos en los cuales sus efectos se hacen considerables es cuandola longitud de onda utilizada coincide con la λD de disperción cero haciendoque β2 ≈ 0 y el efecto producido por β3 sea dominante en la contribución deGVD. Para pulsos ultra cortos (T0 < 1ps) es necesario incluir β3 sin importarsi β2 6= 0.
En este caso de simulación considerando el parámetro γ = 0 para el estudiosolo del efecto de interés la ecuación de propagación del pulso queda de la forma:
57
i∂U
∂z=β2
2
∂2U
∂T 2+iβ3
6
∂3U
∂T 3(132)
Esta ecuación se puede resolver utilizando técnicas de la transformada deFourier.
Se de�ne un nuevo largo de dispersión:
L´D =T 3
0
|β3|(133)
El efecto de TOD (�third order dispersion�) tiene un rol importante cuandoL´D ≤ LD.
A continuación se verá como afecta a la forma del pulso el efecto de TOD(β3).
Pulso Inicial Gaussiano Evolución 3D
Ancho(z) Evolución (Vista plana)
Se puede ver en la evolución de la vista plana que el pulso se va a deformandoapareciendo un ripple y se convierte en un pulso asimétrico luego de viajar porla �bra.
3.2.5 Caso de simulación 5: Ejemplo de Compensación de Disper-sión
A continuación se tratará de simular las herramientas que se utilizan normal-mente para la compensación de la sipersión en los tendidos de �bra óptica. Elobjetivo para la compensación dispersión cromática es amainar los efectos quetiene la dispersión (β2,β3) sobre el ensanchamiento del pulso haciendolo viajar
58
por una �bra corta (Generalmente conocidos como DCM �Dispersion compen-sation Module�).
Las condiciones de simulación serán:
� Inicialmente, pulso gaussiano sin chirp que viajará sobre una �bra conβ2 = 1. El efecto de viajar por esta �bra hará que el chirp aumente y elancho aumente.
� A la salida el pulso que se tendrá se encontrará ensanchado luego se pasarápor una �bra DCF corta en largo con el objetivo de contrarrestar el efectode la dispersión con un β2 negativo y de gran valor (Revisar inciso sobrecompensación de Dispersión).
� A la salida de la �bra de compensación se controlará que el ancho delpulso sea adecuado
A continuación se pueden ver los resultados de las simulaciones:
Pulso Inicial Gaussiano Evolución 3D
Ancho(z) Evolución (Vista plana)
Un detalle importante a tener en cuenta es el echo de que como se estáconsiderando una �bra ideal sin pérdidas (γ = 0) la energía del pulso se conervapor lo tanto la evolución en la vista plana no sirve para discernir lo que realmentesucede. El grá�co de interés es el que muestra el ancho del pulso en funciónde la distancia. Se puede ver que en LD = 2.5 se encuentra el cambio de lascaracterística de las �bras.
Desde 0 hasta 2.5 se tiene la propagación del pulso en la �bra. β2 = 1Desde 2.5 en adelante se tiene la propagación del pulso dentro de la DCF.
β2 = −10
59
Se puede ver que el largo dela �bra DCF hay que elegirlo de manera que elancho del pulso sea aproximadamente igual al que se envió.
3.3 Simulaciones: Efecto del SPM
En esta sección se tratará de simular los efectos debidos al SPM sobre lapropagación de un pulso en la �bra. El efecto del SPM afecta al pulso ensan-chando su espectro. La principal contribución del mismo se debe a cambio defase no lineal que sufre al atravezar una �bra.
El caso más simple se puede estudiar haciendo que β2 = 0:
∂U
∂z=ie−αz
LNL|U |2U (134)
En donde α tiene en cuenta las pérdidas en la �bra y el largo no lineal ya sede�nió anteriormente como:
LNL =1
γP0(135)
Se parando en módulo y fase y resolviendo la ecuación se llega a que laamplitud V no cambia a lo largo de la �bra y la ecuación de la fase se puedeintegrar analíticamente para obtener una solución general de la forma:
U(L, T ) = U(0, T )eiφNL(L,T ) (136)
DondeφNL(L, T ) = |U(0, T )|2(Leff/LNL) (137)
Leff =1− e−αL
α(138)
De estas ecuaciones se demuestra que el efecto del SPM hace que aparezcauna fase que dependa de la intensidad haciendo que la forma del pulso se man-tenga sin afectación. Leff juega el rol de un largo efectivo.
3.3.1 Caso de simulación 6: Cambios en el espectro del Pulso
En este caso de simulación se tratará de mostrar los cambios que sufre unpulso debido a los efectos del SPM. Se cambiará el esquema de presentación deresultados debido a que en este caso se necesita ver el efecto sobre el espectro delpulso y corroborar que la forma del mismo se mantuvo durante la propagación.
60
Variación Espectro (z) Forma temporal Pulso
Se puede apreciar los efectos del SPM en la variación del espectro en fun-ción de la distancia. Se comparan el espectro inicial con el �nal para ver ladeformación que sufrió.
Espectro Inicial Espectro Final
3.3.2 Caso de simulación 7: Pulso con Chirp (Gaussiano y SuperGaussiano)
La forma del espectro del pulso depende del la forma del pulso y del chirpinicial que tenga. En el caso anterior se simuló el caso en el que el pulso esunchirped. En esta sección se estudiarán dos pulsos uno Gaussiano y el otroSuper Gaussiano los dos con chirp C = 1 y C = −1 para ver como se ve afectadosu espectro.
Caso en que C = 1, m = 1 se analiza la variación del espectro:
61
Evolución Espectro Espectro Final
Caso en que C = −1, m = 1 se analiza la variación del espectro:
Evolución Espectro Espectro Final
Caso en que C = 1, m = 4 se analiza la variación del espectro:
Evolución Espectro Espectro Final
Caso en que C = −1, m = 4 se analiza la variación del espectro:
62
Evolución Espectro Espectro Final
Analizando los casos presentados previamente se puede ver que la gran difer-encia entre el pulso gaussiano y el super gaussiano es que el espectro del pulsoGaussiano se ensancha con una tasa mayor que el pulso Super Gaussiano. Tam-bién se puede ver que la energía total del pulso se concentra mayormente en laparte central del espectro del pulso Super Gaussiano.
Comparando los upchirp (C = 1) y downchirp (C = −1) se puede apreciarque para el caso del pulso gaussiano el caso del downchirp afecto en forma másrápida el ensanchamiento del espectro.
3.3.3 Caso de simulación 8: Efectos Combinados SPM y GVD
A medida que los pulsos se acortan es necesario tener en cuenta el estudio delos dos efectos combinados SPM y GVD. De los efectos combinados se observannuevos comportamientos. Por ejemplo en el contexto de la dispersión normal(β2 > 0) se puede la combinación de ambos efectos para la compresión de pulsos.
La ecuación que describe los dos fenómenos en la propagación es:
i∂U
∂ξ= sgn(β2)
1
2
∂2U
∂τ2−N2e−αz|U |2U (139)
En donde ξ y τ representan la distancia y el tiempo normalizados según:
ξ = z/LD τ = T/T0 (140)
El parámetro N se introduce utilizando:
N2 =LDLNL
=γP0T
20
|β2|(141)
El signi�cado Físico de N se estudia en otro capítulo del libro y es ageno alos estudios del presente práctico, tiene que ver con el orden de solitón en el cualse está propagándo el pulso. Como se puede ver en su descripición N es unaforma de medir la importancia de los efectos de SPM y GVD en la evolucióndel pulso a lo largo de la �bra. Para el caso GVD domina cuando N � 1 y elefecto del SPM domina cuando N � 1. Para el caso en el que N ' 1 los dosefectos tienen un rol importante en la evolución del pulso.
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En esta simulación se tratará de lograr comparar el espectro y la forma delpulso en función de la distancia en prescencia de los dos efectos combinados. Seestudiará para ambos casos de dispersión (Normal y anormal)
Para régimen normal con N ≈ 1 (β2 > 0 )
Evolución Señal Evolución Espectro
Para régimen Anormal con N ≈ 1 (β2 < 0)
Evolución Señal Evolución Espectro
Se puede ver que comparando las dos situaciones anteriores que en el caso dedispersión anormal el pulso se ensancha a una tasa menor inicialmente. De lamisma forma se puede ver que el pulso se achica en vez de verse el ensanchadocaracterístico del efecto del SPM. Este comportamiento se puede entender comoque el ensanchamiento debido al SPM induce un chirp postivo mientras quedebido a encontrarse en un régimen en el cual β2 < 0 produce un chirp ensentido opuesto. En de�nitiva los dos efectos cancelan el chirp del pulso de estaforma el efecto del GVD y el SPM cooperan para mantener un pulso libre dechirp.
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4 Conclusiones
El desarrollo del presente informe sirve para el entendimiento de los parámet-ros y condiciones claves en las cuales se puede efectuar el estudio de la propa-gación de un pulso en una �bra óptica. La herramienta de simulación obtenidasirve para poder estudiar in�nidad de casos reales de estudio pudiendo pre-decir con certeza lo que ocurrirá en la evolución del pulso bajo determinadascondiciones y circunstancias.
Es importante para cada caso tener en cuenta las condiciones de simluacióndadas. A me dida que la potencia de los pulsos aumentan y los tiempos empiezana hacerse cortos (T0 < 2ps) ya no se pueden despreciar los efectos no lineales enla ecuación de propagación teniendo que tener en cuenta los efectos de Raman,self Stepeening y no lineales de ordenes mayores. Estos casos de simulaciónagregarían varios grados de libertad a la hora de combinar los distinitos efectosy las distintas características de las �bras haciendo que el estudio y simluaciónde los mismos sea más extenso.
El objetivo del presente informe fue la simulación de los efectos dispersivosque afectan a los pulsos de (T0 > 10ps). Para pulsos mayores se pueden despre-ciar los efectos no lineales involucrados en la propagación. Esto Apunta a estu-diar pulsos que tengan una frecuencia de símbolo menores de los 100Gbaud/s.Con las tecnologías actuales las redes desplegadas con la tecnología DWDM enla tercera ventana (≈ 1550nm) se trabajan con longitudes de onda que cuentancon un Bitrate de 10Gb/s las mismas utilizan modulaciónes OOK (on o� key-ing). Con el advenimiento de nuevas tecnologías de DSP más rápidos se lograintroducir conceptos de modulaciones (constelaciones QPSK, QAM,etc ) parala transmisión de datos a través de la �bra óptica. Lo que se logra con esto esutilizar un poco más de Gbaudios/s aumentando drásticamente la e�ciencia es-pectral logrando tasas de transferencia de 40Gb/s y 100Gb/s aumentando nadamás la potencia de procesamiento de salida sin disminuir drásticamente los an-chos del pulso. Actualmente se han desplegado en redes comerciales ( fuera delaboratorios) longitudes de onda que transportan hasta 100Gb/s utilizando lasmismas grillas de longitudes de onda de�nidas por las entidades internacionalespara los 10Gb/s. Se aprovecha además del uso de modulaciones la utilizaciónde sub-canales OFDM y fuertes algoritmos de corrección de errores (FEC) parapoder obtener la mayor distancia con una menor OSNR (optical Signal to NoiseRatio).
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