Facultad de Ciencias Agrarias Ingeniería Agronómica Matemática II Universidad Nacional del...
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Facultad de Ciencias Facultad de Ciencias AgrariasAgrarias
Ingeniería AgronómicaIngeniería AgronómicaIngeniería AgronómicaIngeniería Agronómica
Matemática IIMatemática II
Universidad Nacional del LitoralUniversidad Nacional del Litoral
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Límite de funcionesLímite de funciones
Noción intuitiva deNoción intuitiva de
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Sea la función f : R R / f(x) = –x2 + 2x +3 Su gráfica es:
¿Cómo se comportan los valores de f(x) en las proximidades de x = 2?
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x f(x)
1,5
1,75
1,9
1,99
3,75
3,4375
3,19
3,0199
…..
2
…..
3
Si x tiende a 2 por la izquierda x
2–
f(x)
3+
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x f(x)
1,5
1,75
1,9
1,99
3,75
3,4375
3,19
3,0199
…..
2
…..
3
Si x tiende a 2 por la derecha
x
2+
f(x)
3+
x
2–
f(x)
3-
2,5
2,25
2,1
2,01
….. …..
1,75
2,4375
2,79
2,9799
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Si x se aproxima a 2 por valores menores que él, los valores de la función se aproximan a 3.
De la misma manera, si x se aproxima a 2 por valores mayores que él, los valores de la función se aproximan a 3.
Puede observarse que:Puede observarse que:
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También puede decirse que:También puede decirse que:Los valores de la función están próximos a 3 para valores de x suficientemente cercanos a 2.
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También puede expresarse:También puede expresarse:
El límite de la función f(x) = (–x2 + 2x +3) es 3 cuando x tiende a 2.
En símbolos:En símbolos:
lím (–x2 + 2x +3) x 2
= 3
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Sea la función f(x) =2x2 – 2 x – 1
Dominio: D = {x / x R x 1}
¿ Cómo se comportan los valores de f(x) en las proximidades de x = 1?
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es equivalente con la expresión f(x) = 2(x + 1)
La expresión analítica de f(x) =2x2 – 2 x – 1
para todo valor de x distinto de 1.
Por lo tanto la gráfica de f(x) = es 2x2 – 2 x – 1
la recta y = excluido el punto (1, 4)2x + 2
pues la función no está definida en x = 1.
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¿A qué valor se acerca f(x) a medida que x se aproxima a 1?
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Si x se aproxima a 1 por la izquierda, los valores de la función se aproximan a 4.
Si x tiende a 1 por valores menores:
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Si x se aproxima a 1 por la derecha, los valores de la función se aproximan a 4.
Si x tiende a 1 por valores mayores:
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Cuando x se acerca a 1 por derecha o por izquierda, los valores de la función se aproximan a 4.
En símbolos:En símbolos:
x 1 = 4 lím 2x2 – 2
x – 1
El límite de la función, cuando x tiende a 1, es 4.
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lím (–x2 + 2x +3) x 2
= 3 x 1
= 4 lím 2x2 – 2 x – 1
La existencia del límite de una función en un punto es independiente de lo que ocurre con la función en dicho punto.
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No existe f(a); a Df
Existe f(a) lím f(x) x a
= L lím f(x) x a
= L
lím f(x) x a
f(a)
Existe f(a) lím f(x) x a
= L
lím f(x) x a
= f(a)
Independientemente del comportamiento de la función en el punto, el límite de la función f(x) cuando x tiende a “a” es el número L.