Factorización de Polinomios con Coeficientes …...Identificar y factorizar una diferencia de...

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Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaPreprueba

Formulas de FactorizacionPost-prueba

Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba

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Factorizacion de Polinomios con Coeficientes EnterosFormulas de Factorizacion

Mate 141: Algebra y Trigonometrıa I

Preparado por: Departamento de Matematicas

Pontificia Universidad Catolica de Puerto RicoColegio de Ciencias

Programa Tıtulo V - TSI

2011

Tıtulo V - TSI (PUCPR) Formulas de Factorizacion





Instrucciones para utilizar el moduloTabla de ContenidoIntroduccionObjetivos Instruccionales

Instrucciones para utilizar el modulo

El usuario de este modulo debe de seguir las siguientes instrucciones en el orden establecido para

obtener un mayor beneficio de la informacion contenida en el modulo.

1 Haga la pre-prueba. Esto le dara una idea del dominio que usted tiene con relacion al tema

discutido en el modulo. Es importante que usted no se ayude viendo las respuestas a los

problemas de la pre-prueba.

2 Independientemente del resultado obtenido en la pre prueba, estudie el material presentado

en la seccion de las formulas de factorizacion; estudiando la teorıa, los ejemplos y ejercicios

de practica planteados.

3 Haga la post-prueba.







Tabla Contenido

1 Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaInstrucciones para utilizar el moduloTabla de ContenidoIntroduccionObjetivos Instruccionales

2 Preprueba

3 Formulas de FactorizacionDiferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos

4 Post-prueba

5 Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post pruebaSolucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos







Introduccion

Este modulo va dirigido a todas las personas que tengan interes en reforzar sus conocimientos y

destrezas en la factorizacion de polinomios sobre el conjunto de los numeros enteros, utilizando

las formulas de factorizacion. De hecho, el modulo tiene una cantidad considerable de ejemplos y

ejercicios de practica con sus soluciones que nos ayudaran a adquirir la destrezas necesaria para

factorizar un polinomio con coeficientes enteros utilizando las formulas de factorizacion.

Las formulas de factorizacion sobre el conjunto de los numeros enteros solo se pueden aplicar a

expresiones algebraicas que se pueden representar de la forma A2 − B2, A3 + B3, A3 − B3,

A2 + 2AB + B2 y A2 + 2AB + B2 donde A y B son polinomios con coeficientes enteros.

El modulo le da enfasis a factorizar polinomios sobre el conjunto de los numeros enteros, pero en

ocaciones se explicaran ejemplos de como aplicar las formulas a expresiones algebraicas que no

tienen las forman planteadas en el parrafo anterior, pero bajo ciertas condiciones se pueden

factorizar utilizando las formulas de factorizacion.







Objetivos Instruccionales

Objetivo general

El objetivo de este modulo es presentar los conceptos y las destrezas que se requieren parafactorizar un polinomio con coeficientes enteros utilizando las formulas de factorizacion.

Objetivos especıficos

Al finalizar el estudio de este modulo las personas usuarias podran:

Identificar y factorizar una diferencia de cuadrados sobre el conjunto de los numeros enteros.

Identificar y factorizar una diferencia de cubos sobre el conjunto de los numeros enteros.

Identificar y factorizar una suma de cubos sobre el conjunto de los numeros enteros.

Identificar y factorizar un trinomio cuadrado perfecto sobre el conjunto de los numerosenteros.






Pre-prueba

Pre-prueba

Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios, utilizando coeficientes enteros.

1 36x2 − 25

2 4x2y2 − 1

3 x4 − y4

4 8x3y3 + 27

5 y6 − 1

6 a2 − 4b2

7 a3 − 64b3

8 x2 + 6xy + 9y2

9 a2 − 4a+ 4

10 (x + 3)2 − (y + 1)2 Ver Solucion de los Problemas de la Pre-prueba






Pre-prueba

Pre-prueba


1 36x2 − 25

2 4x2y2 − 1

3 x4 − y4

4 8x3y3 + 27

5 y6 − 1

6 a2 − 4b2

7 a3 − 64b3

8 x2 + 6xy + 9y2

9 a2 − 4a+ 4

10 (x + 3)2 − (y + 1)2 Ver Solucion de los Problemas de la Pre-prueba






Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos

Formulas de Factorizacion

En esta parte del modulo presentaremos las formulas de factorizacion mas utilizadas, las cualesnombramos a continuacion.

En cada una de las siguientes formulas A y B son polinomios con coeficientes enteros.

Diferencia de Cuadrados: A2 − B2 = (A+ B)(A− B)

Diferencia de Cubos: A3 − B3 = (A− B)(A2 + AB + B2)

Suma de Cubos: A3 + B3 = (A+ B)(A2 − AB + B2)

Trinomio Cuadrado Perfecto: A2 + 2AB + B2 = (A+ B)2

Trinomio Cuadrado Perfecto: A2 − 2AB + B2 = (A− B)2

Antes de comenzar a discutir las formulas, repasaremos algunos conceptos importantes queasumiremos que el lector conoce y comenzaremos con la definicion de factorizacion.







Definicion de Factorizacion

Definicion de Factorizacion

El factorizar una expresion algebraica es el proceso de expresar la expresion algebraica como unproducto de otras expresiones algebraicas. A este producto se le conoce como la factorizacion dela expresion algebraica.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos

Los numeros reales son constantes y por lo tanto expresiones algeraicas. El numero 24 lopodemos factorizar de las siguientes formas:

(2)(12), (3)(8), (2)(2)(2)(3), (2)(3)(4),

(3

4

)

(32), (√8)(

√128)..., etc.

Todos estos productos al resolverlos dan 24. Sin embargo, dentro de la teorıa de numeros lafactorizacion que mas utilizamos es la factorizacion prima del numero entero dado. En elcaso de 24 su factorizacion prima es la tercera en la lista, es decir, (2)(2)(2)(3).







Definicion de factorizacion y ejemplos

El polinomio x2 − 4 lo podemos factorizar de las siguientes formas:

(x − 2)(x + 2),

(1

3

)

(x − 2) (3x + 6),...,etc.

Note que x2 − 4 es un polinomio con coeficientes enteros. En la factorizacion de polinomioscon coeficientes enteros se espera que los factores de la factorizacion tambien seanpolinomios con coeficientes enteros. Luego la unica manera de factorizar el polinomio x2 − 4utilizando solo coeficientes enteros es (x − 2)(x + 2).

Resultado Importante

Todo polinomio con coeficientes enteros se puede factorizar de forma unica como el producto depolinomios lineales y cuadraticos irreducibles con coeficientes enteros.

En este resultado no estamos considerando el caso donde el polinomio tiene un numero enterocomo factor comun. Este caso es considerado trivial, por ejemplo, el polinomio 3x3 − 81 tiene a 3como factor comun entero.







Diferencia de Cuadrados

Definicion

Una diferencia de cuadrados sobre el conjunto de los numeros enteros es un polinomio que sepuede reescribir de la forma A2 − B2 donde A y B son polinomios con coeficientes enteros.

Veamos algunos ejemplos.

Binomio Forma A2 − B2 A B

x2 − 4 (x)2 − (2)2 x 2

25x2 − 64 (5x)2 − (8)2 5x 8

y2x2 − z2 (yx)2 − (z)2 yx z

400− (x − 1)2 (20)2 − (x − 1)2 20 x − 1

Una manera informal de conseguir A y B, es decir que A es la raız cuadrada del primer termino delbinomio, sin el valor absoluto y B es la raız cuadrada del segundo termino, sin el valor absoluto.








Cuando la raız cuadrada de alguno de los dos terminos, despues de quitarle el valor absoluto, noes un polinomio con coeficientes enteros, decimos que el binomio no es una diferencia decuadrados sobre el conjunto de los numeros enteros.

Ejemplo

Una expresion de la forma 4x2y2 − 25 es una diferencia de cuadrados, ya que la raız cuadrada delprimer termino es

√4x2y2 = 2|xy | y la raız cuadrada del segundo termino es

√25 = 5. Al

eliminar el valor absoluto obtenemos que A = 2xy y B = 5 son polinomios con coeficientesenteros. Por lo tanto,

4x2y2 − 25 = (2xy)2 − (5)2

.

Veamos ahora un ejemplo de un binomio que no es una diferenciade cuadrados.








Ejemplo de un binomio que no es una diferencia de cuadrados

Cosideremos el binomio x2 − 5, note que la raız cuadrada del primer termino es√x2 = |x | y la

raız cuadrada del segundo termino es√5. Al eliminar el valor absoluto obtenemos que A = x y

B =√5, luego concluimos que x2 − 5 no es una diferencia de cuadrados, ya que B no es un

polinomio con coeficientes enteros.

Ejercicio: Complete la siguiente Tabla


169− x2

49z2 − 144

a2b2 − 9x2

10, 000− (t − 1)2








Nuestro objetivo es factorizar una diferencia de cuadrados A2 − B2 donde A y B son polinomios

con coeficientes enteros. Para lograr esto seguimos los pasos siguientes:

Paso para factorizar un binomio de la forma A2 − B2

1 Verificar si el binomio factoriza aplicandole la tecnica del factor comun. Si aplica esta

tecnica, factorice y luego aplica el paso (2) a los factores que son binomios.

2 Encontrar A =√primer termino del binomio (sin el valor absoluto) y

B =√segundo termino del binomio (sin el valor absoluto). Si A y B son polinomios con

coeficientes enteros pasamos al paso (3). De lo contrario, concluimos que no factoriza

utilizando esta tecnica.

3 Sustituir A y B en la formula A2 − B2 = (A+ B)(A− B). Luego se verifica si los factores

(A+ B) y (A− B) se pueden factorizar utilizando esta misma tecnica o alguna otra tecnica.








Ejemplo 1: Factorice completamente el polinomio x2 − 144

paso 1: No tiene factor comun.

paso 2: Note que x2 − 144 = (x)2 − (12)2. Por lo tanto, A = x y B = 12.

paso 3: Al sustituir en la formula A2 − B2 = (A+ B)(A− B) obtenemos que

x2 − 144 = (x + 12)(x − 12)

Ejemplo 2: Factorice completamente el polinomio 100− z2

paso 1: No tiene factor comun.

paso 2: Note que 100− z2 = (10)2 − (z)2. Por lo tanto, A = 10 y B = z.


100− x2 = (10 + z)(10− z)








Ejemplo 3: Factorice completamente el polinomio 3x2y2 − 192

paso 1: Note que el maximo factor comun del polinomio 3x2y2 − 192 es 3. Al factorizarlo

obtenemos 3x2y2 − 192 = 3(x2y2 − 64)

Luego pasamos al paso (2), ya que (x2y2 − 64) es una diferencia de cuadrados.

paso 2: Note que (x2y2 − 64) = (xy)2 − (8)2. Por lo tanto, A = xy y B = 8.


x2y2 − 64 = (xy − 8)(xy + 8) No olvidemos el factor 3 del paso (1). La factorizacion

completa es:

3x2y2 − 192 = 3(x2y2 − 64) = 3(xy + 8)(xy − 8)








Ejemplo 4: Factorice completamente el polinomio −2x3y2 + 800xy2

paso 1: Note que el maximo factor comun del polinomio −2x3y2 + 800xy2 es 2xy2. Al

factorizarlo obtenemos

−2x3y2 + 800xy2 = 2xy2(−x2 + 400) = 2xy2(400− x2)

Luego pasamos al paso (2), ya que (400− x2) es una diferencia de cuadrados.

paso 2: Note que (400− x2) = (20)2 − (x)2. Por lo tanto, A = 20 y B = x .


400− x2 = (20 + x)(20− x). No olvidemos el factor 2xy2 del paso (1). La factorizacion

completa es:

−2x3y2 + 800xy2 = 2xy2(400− x2) = 2xy2(20 + x)(20− x)







Ejercicios de Practica: Diferencia de Cuadrados

Factorice (si es posible) completamente los siguientes polinomios sobre los numeros enteros.

1 100x2 − y2

2 z2 + 81

3 y4 − 9

4 5a2b2 − 125

5 x2 − (y + 1)2

6 2x3 − 200x

7 3x9 − 243x5

8 −(−169 + x2

)

9 x2y4 − 25z2

10 11(x − 3)2 − 44(x + 1)4 Solucion a los problemas de practica







Ejercicios de Practica: Diferencia de Cuadrados


1 100x2 − y2

2 z2 + 81

3 y4 − 9

4 5a2b2 − 125

5 x2 − (y + 1)2

6 2x3 − 200x

7 3x9 − 243x5

8 −(−169 + x2

)

9 x2y4 − 25z2

10 11(x − 3)2 − 44(x + 1)4 Solucion a los problemas de practica







Diferencia de Cubos

Diferencia de Cubos

Una diferencia de cubos es un polinomio de dos terminos que se puede reescribir de la formaA3 − B3 donde A y B son polinomios con coeficientes enteros.



x3 − 8 (x)3 − (2)3 x 2

125x3 − 64 (5x)3 − (4)3 5x 4

y3x3 − z3 (yx)3 − (z)3 yx z

27− (x − 1)3 (3)3 − (x − 1)3 3 x − 1

Una manera informal de conseguir A y B, es decir que A es la raız cubica del primer termino y B

es la raız cubica del segundo termino. Por ejemplo, en la diferencia de cubos x6 − 125, decimosque A =

3√x6 = x2 y B = 3

√125 = 5.







Diferencia de Cubos

Cuando la raız cubica de alguno de los dos terminos no es un polinomio con coeficientes enteros,

decimos que el binomio no es una diferencia de cubos.

Por ejemplo, una expresion de la forma 4x3y9 − 27 no es una diferencia de cubos, ya que

A = 3√

4x3y3 = 3√4xy no es un polinomio con coeficientes enteros.


Binomio A B Forma A3 − B3

216− x3

x3z3 − 125y3

a6b3 − 64x9

1, 000− (x − 1)3







Diferencia de Cubos

Nuestro objetivo es factorizar una diferencia de cubos A3 − B3 donde A y B son polinomios con

coeficientes enteros. Para lograr esto seguimos los pasos siguientes:

Pasos para factorizar un binomio de la forma A3 − B3

1 Verificar si el binomio factoriza aplicandole la tecnica del factor comun mayor. Si aplica esta


2 Encontrar A = 3√primer termino del binomio y B = 3

√segundo termino del binomio. Si A y

B son polinomios con coeficientes enteros pasamos al paso (3). De lo contrario, concluimos

que no factoriza utilizando esta tecnica.

3 La factorizacion tiene la forma A3 − B3 = (A− B)(A2 + AB + B2). Luego se verifica si el

factor (A− B) se pueden factorizar utilizando esta misma tecnica o alguna otra tecnica.







Diferencia de Cubos

Ejemplo 1: Factorice el binomio x3 − 8

Paso 1: No hay factor comun

Paso 2: Note que A =3√x3 = x y B = 3

√8 = 2. Luego x3 − 8 = (x)3 − (2)3

Paso 3: x3︸︷︷︸

A3

− 8︸︷︷︸

B3

= ( x︸︷︷︸

A

)3 − ( 2︸︷︷︸

B

)3 = (x − 2︸︷︷︸

A−B

)( x2︸︷︷︸

A2

+ 2x︸︷︷︸

AB

+ 4︸︷︷︸

B2

).

La factorizacion es: x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)

Ejemplo 2: Factorice el 125− 27z3


Paso 2: Note que A = 3√125 = 5 y B =

3√27z3 = 3z. Luego 125− 27z3 = (5)3 − (3z)3

Paso 3: 125︸︷︷︸

A3

− 27z3︸︷︷︸

B3

= ( 5︸︷︷︸

A

)3 − ( 2︸︷︷︸

3z

)3 = (5− 3z︸︷︷︸

A−B

)( 52︸︷︷︸

A2

+(5)(3z)︸︷︷︸

AB

+(3z)2︸︷︷︸

B2

).

La factorizacion es: 125− 27z3 = (5− 3z)(25 + 15z + 9z2)







Problemas de Practica: Diferencia de Cubos

Factorice completamente los siguientes polinomios.

1 x3 − 27

2 y3 − 64

3 z3 − 1000

4 54− 2x3

5 x6 − 8

6 x3y3 − z3

7 3x4y − 375xy4

8 (x + 1)3 − 343

9 x6 − y6

10 432x4 − 2x7 Ver Solucion a los Problemas de Practica







Problemas de Practica: Diferencia de Cubos


1 x3 − 27

2 y3 − 64

3 z3 − 1000

4 54− 2x3

5 x6 − 8

6 x3y3 − z3

7 3x4y − 375xy4

8 (x + 1)3 − 343

9 x6 − y6

10 432x4 − 2x7 Ver Solucion a los Problemas de Practica







Suma de Cubos

Suma de Cubos

Una suma de cubos es un polinomio de dos terminos que se puede reescribir de la forma A3 + B3

donde A y B son polinomios con coeficientes enteros.


Binomio Forma A3 + B3 A B

x3 + 8 (x)3 + (2)3 x 2

125x3 + 64 (5x)3 + (4)3 5x 4

y3x3 + z3 (yx)3 + (z)3 yx z

27 + (x − 1)3 (3)3 + (x − 1)3 3 x − 1

Una manera informal de conseguir A y B, es decir que A es la raız cubica del primer termino y B

es la raız cubica del segundo termino. Por ejemplo, en la suma de cubos x6 + 125, decimos queA =

3√x6 = x2 y B = 3

√125 = 5.







Suma de Cubos

Cuando la raız cubica de alguno de los dos terminos no es un polinomio con coeficientes enteros,

decimos que el binomio no es una suma de cubos.

Por ejemplo, una expresion de la forma 4x3y9 + 27 no es una diferencia de cubos, ya que

A = 3√

4x3y3 = 3√4xy no es un polinomio con coeficientes enteros.


Binomio A B Forma A3 + B3

216 + x3

y3z3 + 125x3

a9b9 + 64x6

1, 000 + (x + 2)3







Suma de Cubos

Nuestro objetivo es factorizar una diferencia de cubos A3 + B3 donde A y B son polinomios con

coeficientes enteros. Para lograr esto seguimos los pasos siguientes:

Pasos para factorizar un binomio de la forma A3 + B3

1 Verificar si el binomio factoriza aplicandole la tecnica del factor comun mayor. Si aplica esta


2 Encontrar A = 3√primer termino del binomio y B = 3

√segundo termino del binomio. Si A y

B son polinomios con coeficientes enteros pasamos al paso (3). De lo contrario, concluimos

que no factoriza utilizando esta tecnica.

3 La factorizacion tiene la forma A3 + B3 = (A+ B)(A2 − AB + B2). Luego se verifica si el

factor (A+ B) se pueden factorizar utilizando esta misma tecnica o alguna otra tecnica.







Suma de Cubos

Ejemplo 1: Factorice el binomio x3 + 8


Paso 2: Note que A =3√x3 = x y B = 3

√8 = 2. Luego x3 + 8 = (x)3 + (2)3

Paso 3: x3︸︷︷︸

A3

+ 8︸︷︷︸

B3

= ( x︸︷︷︸

A

)3 + ( 2︸︷︷︸

B

)3 = (x − 2︸︷︷︸

A−B

)( x2︸︷︷︸

A2

− 2x︸︷︷︸

AB

+ 4︸︷︷︸

B2

).

La factorizacion es: x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4)

Ejemplo 2: Factorice el 125 + 27z3


Paso 2: Note que A = 3√125 = 5 y B =

3√27z3 = 3z. Luego 125 + 27z3 = (5)3 + (3z)3

Paso 3: 125︸︷︷︸

A3

+27z3︸︷︷︸

B3

= ( 5︸︷︷︸

A

)3 + ( 2︸︷︷︸

3z

)3 = (5− 3z︸︷︷︸

A−B

)( 52︸︷︷︸

A2

− (5)(3z)︸︷︷︸

AB

+(3z)2︸︷︷︸

B2

).

La factorizacion es: 125 + 27z3 = (5 + 3z)(25− 15z + 9z2)







Problemas de Practica: Suma de Cubos


1 x3 + 125

2 2y3 + 128

3 7z4 + 7000z

4 54 + 2x3

5 x6 + 27

6 −125x3y3 + y3

7 3x5y + 375x2y4

8 (y + 2)3 + 343

9 x6 + y6

10 432x4y + 2x7y Solucion de los Problemas de Practica






Post-prueba

Post-prueba


1 x2 − 25

2 16x2 − y2

3 x4 − y4

4 8x3y3 + 27

5 y6 − 1

6 a2 − 4b2

7 x3 + 64b3

8 3x5y − 1536x2y

9 a9 + x3y6

10 (x − 3)2 − (x − 1)2 Ver solucion de la Post-prueba






Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos

Solucion de la Pre-prueba

Soluciones


1 36x2 − 25 = (6x − 5)(6x + 5)

2 4x2y2 − 1 = (2xy + 1)(2xy − 1)

3 x4 − y4 = (x2 − y2)(x2 + y2) = (x + y)(x − y)(x2 + y2)

4 8x3y3 + 27 = (2xy + 3)(4x2y2 − 6xy + 9)

5 y6 − 1 = (y2 − 1)(y4 + y2 + 1) = (y + 1)(y − 1)(y4 + y2 + 1)

6 a2 − 4b2 = (a+ 2b)(a− 2b)

7 a3 − 64b3 = (a− 4b)(a2 + 4ab + 16b2)

8 x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

9 a2 − 4a+ 4 = (a− 2)2

10 (x + 3)2 − (y + 1)2 = (x + 3− y − 1)(x + 3− y + 1) = (x − y + 2)(x − y + 4)

Regresar a los Problemas de la Pre-prueba







Solucion de la Pre-prueba

Soluciones


1 36x2 − 25 = (6x − 5)(6x + 5)

2 4x2y2 − 1 = (2xy + 1)(2xy − 1)

3 x4 − y4 = (x2 − y2)(x2 + y2) = (x + y)(x − y)(x2 + y2)

4 8x3y3 + 27 = (2xy + 3)(4x2y2 − 6xy + 9)

5 y6 − 1 = (y2 − 1)(y4 + y2 + 1) = (y + 1)(y − 1)(y4 + y2 + 1)

6 a2 − 4b2 = (a+ 2b)(a− 2b)

7 a3 − 64b3 = (a− 4b)(a2 + 4ab + 16b2)

8 x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

9 a2 − 4a+ 4 = (a− 2)2

10 (x + 3)2 − (y + 1)2 = (x + 3− y − 1)(x + 3− y + 1) = (x − y + 2)(x − y + 4)

Regresar a los Problemas de la Pre-prueba







Solucion de la Post-prueba

Post-prueba


1 x2 − 25 = (x − 5)(x + 5)

2 16x2 − y2 = (4x + y)(4x − y)

3 x4 − y4 = (x − y)(x + y)(x2 + y2)

4 8x3y3 + 27 = (2xy + 3)(4x2y2 − 6xy + 9)

5 y6 − 1 = (y − 1)(y + 1)(y2 + y + 1)(y2 − y + 1)

6 a2 − 4b2 = (a− 2b)(a+ 2b)

7 x3 + 64b3 = (x + 4b)(x2 − 4xb + 16b2)

8 3x5y − 1536x2y = 3x2y(x − 8)(x2 + 8x + 64)

9 a9 + x3y6 = (a3 + xy2)(a6 − a3xy2 + x2y4)

10 (x − 3)2 − (x − 1)2 = −4(x − 2) Regresar a los Problemas de la Post-prueba







Solucion Ejercicios de Practica: Diferencia de Cuadrados


1 100x2 − y2 = (10x − y)(10x + y)

2 z2 + 81 es irreducible sobre el conjunto de los numeros enteros.

3 y4 − 9 = (y2 − 3)(y2 + 3). Note que y2 − 3 y y2 + 3 son irreducible.

4 5a2b2 − 125 = 5(a2b2 − 25) = 5(ab − 5)(ab + 5)

5 x2 − (y + 1)2 = (x − y − 1)(x + y + 1)

6 2x3 − 200x = 2x(x2 − 100) = 2x(x − 10)(x + 10)

7 3x9 − 243x5 = 3x5(x4 − 81) = 3x5(x2 − 9)(x2 + 9) = 3x5(x + 3)(x − 3)(x2 + 9)

8 −(−169 + x2

)= 169− x2 = (13− x)(13 + x)

9 x2y4 − 25z2 = (xy2 − 5z)(xy2 + 5z)

10 11(x − 3)2 − 44(x + 1)4 = 11(−2x2 − 3x − 5)(2x2 + 5x − 1) Regresar a los problemas de practica







Solucion a los Problemas de Practica: Diferencia de Cubos


1 x3 − 27 = (x − 3)(x2 + 3x + 9)

2 y3 − 64 = (y − 4)(y2 + 4y + 16)

3 z3 − 1000 = (z − 10)(z2 + 10z + 100)

4 54− 2x3 = 2(27− x3) = 2(3− x)(9 + 3x + x2)

5 x6 − 8 = (x2 − 2)(x4 + 2x2 + 4)

6 x3y3 − z3 = (xy − z)(x2y2 + xyz + z2)

7 3x4y − 375xy4 = 3xy(x − 5y)(x2 + 5xy + 25y2)

8 (x + 1)3 − 343 = (x − 6)(x2 + 9x + 57)

9 x6 − y6 = (x − y)(x + y)(x4 + x2y2 + y4)

10 432x4 − 2x7 = −2x4(x − 6)(x2 + 6x + 36) Regresar a los Problemas de Practica







Solucion a los Problemas de Practica: Suma de Cubos


1 x3 + 125 = (x + 5)(x2 − 5x + 25)

2 2y3 + 128 = (2)(y + 4)(y2 − 4y + 16)

3 7z4 + 7000z = 7z(z + 10)(z2 − 10z + 100)

4 54 + 2x3 = 2(3 + x)(9− 3x + x2)

5 x6 + 27 = (x2 + 3)(x4 − 3x2 + 9)

6 −125x3y3 + y3 = y3(−5x + 1)(25x2 + 5x + 1)

7 3x5y + 375x2y4 = 3x2y(x + 5y)(x2 − 5xy + 25y2)

8 (y + 2)3 + 343 = (y + 9)(−6y + 37)

9 x6 + y6 = (x2 + y2)(x4 − x2y2 + y4)

10 432x4y + 2x7y = 2x4y(6 + x)(36− 6x + x2) Regresar a los Problemas de Practica


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