اريما :ARIMAنماذج بوكسجيكينز وطريقة

مقدمة:اريما ARIMAنماذج

السكونالزمنية للسلسلة الذاتي االنحدار نماذج

المتحرك المتوسط MAنماذج

ارما ARMAنماذج

ونماذج المتكاملة الزمنية ARIMAالسلسلة

بوكسجينكينز طريقة باستخدام النموذج :Box-Jenkinsاختيار

مثال

1

مقدمة:الفصول عن مختلفة بطريقة واحدة معادلة تقدير سنناقش الفصل هذا في

عدد. باستخدام التابع المتغير سلوك مناقشة تم الفصول تلك في السابقةتحليل . نبدأ الزمنية السالسل تحليل في المفسرة المتغيرات من

سلسلة . تحليل نفسة المتغير من عليها التحصيل يمكن التي المعلوماتالمتغير احادية زمنية سلسلة يسمى واحدة univariate time seriesزمنية

واختبار اسر هو الزمنية السالسل تحليل من الهدف الموضوع هذا فييكون ان يمكن الزمنية للسالسل القياسي االقتصاد في البيانات، ديناميكية

في مناقشتها يتم سوف المتغيرات متعددة زمنية سلسلة نماذج هناك. قادمة فصول

النظرية استخدام على ركز التقليدي القياسي االقتصاد سابقا ذكر كماالمتغير بين العالقات شرح اجل من المعاصرة العالقات ودراسة االقتصادية

. االقتصاد مسمى نستخدم فصاعدا اآلن من المفسرة والمتغيرات التابع. الحديث القياسي االقتصاد عن لتمييزه التقليدي القياسي

بمنهجية ليس ولكن وأخرى آونة بين تعريفها يتم المتباطئة المتغيراتالهيكل او الديناميكية تحليل تحاول ليسبطريقة األقل على او محددة

. هناك ولكن الزمنية لسلسلة لتحليل جوانب عدة هناك للبيانات الزمانيللبيانات، الديناميكي للهيكل كامل استخدام وهو لها مشترك موضوع

التاريخية المعلومات من معلومات من يمكن ما كل استخراج هو المقصود . التنبؤ هي الزمنية السلسلة لتحليل األساسين المبدأين الزمنية للسلسلة

. االقتصاد وتفهم هيكلي نموذج بناء عن مختلف التنبؤ الديناميكية والنموذجة . . باستغالل عادة تعمل فعالة تنبؤ نماذج ببناء مهتم هو فرضية اختبار او

. الديناميكية النمذجة واحد لمتغير الزمن عبر وجدت التي المتبادلة العالقات , وذلك الفرضيات واختبار لالقتصاد الهيكلي بالبناء مهتمة اآلخر الجانب في

. ومعقدة طويلة تكون قد التي التكيف عملية اسر ان يجب العملية لتفهمهذا نبدأ سوف لذلك التنبؤ في طورت حديثة اساليب الثمانينات بداية منذ

اريما بنماذج .ARIMAالفصل

2

اريما ARIMAنماذج

BOX and Jenkins (1976): يعني المصطلح اريما نماذج عرفAR=autoregressive. ذاتي انحدار

I-integrated. متكاملة MA=moving average. المتحرك المتوسط

اريما لنماذج مختلفة اصدارات ستعرض التالية وستقدم ARIMAاالجزاءمن الذاتي االرتباط نموذج نموذج ابسط بشرح سنبدأ السكون، مفهوم

اريما 1الدرجة نماذج لمسح نستمر بوكس. ARIMAثم طريقة واخيرا. للتنبؤ عرض يليه ثم النموذج الختيار جيكينز

السكون:البيانات من مجموعه و عشوائية عملية من تولد ان يمكن زمنية سلسلة أي

: للسعودية المحلي الناتج الجمالي التالي الجدول في البيانات مثلGROSS DOMESTIC PRODUCT (GDP)السنة gdp السن

ةgdp السن

ةgdp السنة gdp

1970 22.57 1980

546.6 1990

437.33 2000 706.66

1971 30.5 1981

622.18 1991

491.85 2001 686.3

1972 38.26 1982

524.2 1992

510.46 2002 707.07

1973 53.53 1983

445.21 1993

494.91 2003 804.65

1974 159.72 1984

420.39 1994

503.05 2004 938.77

1975 163.67 1985

376.32 1995

533.5 2005 1182.51

1976 225.35 198 322.02 199 590.75 2006 1335.58

3

6 61977 260.96 198

7320.93 199

7617.9 2007 1442.57

1978 272.27 1988

330.52 1998

546.65 2008 1786.14

1979 375.47 1989

357.06 1999

603.59 2009 1397.49

. ( عملية ( بين الفرق عشوائية عملية وراء كامنة عينة خاص يعتبر الجدولدراسات في والعينة المجتمع بين للفرق مشابه هو وخاصتها عشوائية

في. المجتمع، عن استدالل لعمل العينة بيانات نستخدم كما مقطعيةالعملية عن استدالل لبناء الخاصة البيانات يستخدم الزمنية السلسلة

. كبيرا اهتماما القى العشوائية العملية من نوع وراءها الكامنة العشوائية. الساكنة العشوائية العملية يسمى ما هو الزمنية السالسل تحليل في

عبر ثابت والتباين المتوسط يكون عندما ساكنة تسمى عشوائية عمليةالمتباطئة او المسافة على يعتمد زمنيتين فترتين بين التغاير وقيمة الزمنفيها حسب التي الحقيقي الزمني الوقت وليس زمنيتين فترتين بين

كانت. اذا هذا لشرح الخصائص Yالتغايير لها عشوائية زمنية سلسلةالتالية:

Mean : E (Y t )=μالمتوسطVariance :var (Y t )=E (Y t−π )2=σ2التباين

Covariance γ k=E [ (Y t−μ ) (Y t+k−μ ) ] التغايرترمز المتباطئة γحيث عن الذاتي التغاير او القيمة kللتغاير بين Ytالتغاير

. Yt+kو كانت اذا بينهما للفترة قيمتين بين على k=0أي والتي γ0نحصلللقيمة التباين σويساوي Yتعني كانت : ¿=2 بين γ1و k=1أذا التغاير هو

ل الذاتي .Yقيمتين االرتباط فصل في عنة تحدثنا الذي التغاير نوعاصل نقلنا اننا كانت . Yt+mالى Ytمن Yلنفرض اذا فأن Yاآلن ساكنة،

للقيمة الذاتي والتغاير التباين، نفسة Yt+mالمتوسط، هو يكون ان يجب

4

، . Ytللقيمة المتوسط فأن ، ساكنة الزمنية السلسلة كانت اذا باالختصار. زمنية فترة أي عند ثابتين سيبقون الذاتي والتغاير التباين

زمنية سلسلة تسمى عرفناها، كما ساكنة غير الزمنية السلسلة كانت أذا. المتوسط في لنقلة ناتجة أحيانا تكون ساكنة، غير

10.1الشكل

4-

3-

2-

1-

0

1

2

3

4

05 001 051 002 052 003 053 004 054 005

TY

10.2الشكل

5

0

004

008

002,1

006,1

000,2

0791 5791 0891 5891 0991 5991 0002 5002

PDG

.10.2و 10.1الشكل ساكنة غير زمنية وسلسلة ساكنة زمنية لسلسلة مثالالذاتي االرتباط دالة باستخدام السكون ات على اختبار مبني

correlogram

الذاتي االرتباط دالة يسمى ما على مبني للسكون بسيط اختبارAutocorrelation function (ACF)

=ρkدالة γk

γ0

Covarianceat lagkVariance

= عندالمتباطئة التباينkالتغاير1=0❑فأن k=0عندما

الذاتي االرتباط فأن الوحدة بنفس تقاس والتباين التغاير من كل ان حيثبين + قيمتة وتتراوح وحدات غير رسم 1و -1من تم اذا ارتباط معامل كأي

ارتباط مايعرفب على نحصل الذاتي االرتباط لقيمة البياني الشكل . العشوائية للعملية عينة على نحصل الواقع في اننا حيث للمجتمع الذاتي

6

للعينة الذاتي االرتباط دالة حساب يمكن ⏞ρفأنة kاالرتباط دالة لحساب

التباين ثم ومن التغاير يحسب الذاتيγk=∑ (Y t−Y )¿¿¿

γ0=∑ (Y t−Y )2

n

تشير و nحيث العينة حجم .Yالى العينة متوسطيســــمى المتباطئات مقابل بيانيا الدالة إذا Sample Correlogram رســم

مســتقره غير الزمنية السلسلة إن على يدل فهذا ببطيء قيمة انحدرتالبياني الرسم فحص يمكن ρk ويمكن وكذلك الدالة استقرار من للتحقق

إحصاء اختبار الذاتي Q استخدام االرتباط معامل كان يساوي ρk ماذاالمتباطئات بين عالقة توجد ال أي الصفر

إحصاء بوكسوبيرز Q اختبار Box and Pierce لـ

n و العينة . m حجم اختبار يتوزع المتباطئات كاي Q طول توزيع χ2 حسبحرية نرفض df =m بدرجة وليه الجد القيمة يفوق اختبار كانت إذا

الصفر تساوي التباطىء معامالت أن العدم .فرضية

إحصاء اختبار هو الصفر تساوي المعامالت كانت ماذا الختبار آخر اختبارLJung-Box (LB)

7

Q=n∑k=1

m

ρk2

LB=n(n+2 )∑k=1

m ( ρk2

n−k )~ χ m2

10.3الشكل

Sample: 1970 2009 المستوى عندIncluded observations: 40

Autocorrelation Partial Correlation AC  PAC  Q-Stat  Prob

      . |******|       . |******| 1 0.880 0.880 33.384 0.000      . |***** |       **| . | 2 0.700 -0.332 55.070 0.000      . |**** |       . |*. | 3 0.554 0.124 69.002 0.000      . |*** |       .*| . | 4 0.412 -0.181 76.906 0.000      . |** |       . |*. | 5 0.301 0.121 81.254 0.000      . |** |       . | . | 6 0.222 -0.056 83.695 0.000      . |*. |       . | . | 7 0.169 0.074 85.152 0.000      . |*. |       . | . | 8 0.134 -0.034 86.100 0.000      . |*. |       . | . | 9 0.097 -0.039 86.615 0.000      . | . |       . | . | 10 0.068 0.022 86.871 0.000      . | . |       . |*. | 11 0.068 0.100 87.140 0.000      . | . |       . | . | 12 0.073 -0.045 87.457 0.000      . | . |       . | . | 13 0.056 -0.063 87.653 0.000      . | . |       . | . | 14 0.036 0.002 87.739 0.000      . | . |       . | . | 15 0.020 -0.005 87.765 0.000

Sample: 1970 2009 األولى الفروقIncluded observations: 39

Autocorrelation Partial Correlation AC  PAC  Q-Stat  Prob

      . | . |       . | . | 1 -0.016 -0.016 0.0111 0.916      . | . |       . | . | 2 0.067 0.067 0.2054 0.902      . | . |       . | . | 3 0.051 0.054 0.3230 0.956      .*| . |       .*| . | 4 -0.120 -0.123 0.9767 0.913      . | . |       .*| . | 5 -0.057 -0.069 1.1276 0.952      .*| . |       .*| . | 6 -0.093 -0.083 1.5478 0.956      .*| . |       .*| . | 7 -0.083 -0.067 1.8917 0.966      . | . |       . | . | 8 0.027 0.028 1.9282 0.983      . | . |       . | . | 9 -0.064 -0.060 2.1491 0.989      . | . |       .*| . | 10 -0.057 -0.084 2.3258 0.993      . |*. |       . |*. | 11 0.109 0.086 3.0066 0.991      . | . |       . | . | 12 0.005 0.016 3.0081 0.995      . | . |       .*| . | 13 -0.042 -0.076 3.1150 0.997      . | . |       . | . | 14 -0.015 -0.056 3.1294 0.999      . | . |       . | . | 15 0.039 0.054 3.2300 0.999

8

للسعودية 10.3الشكل المحلي الناتج ألجمالي الذاتي االرتباط دالة يوضحعام الى 2009-1970من الذاتي االرتباط قيمة تظهر كيف. 15، متباطئة

بقيمة يبدأ انا المالحظ من ساكنة؟ الزمنية السلسلة ان الدالة شكل يوضح. 0.880مرتفعه . من النوع هذا تدريجيا يتناقص يبدأ ثم واحد المتباطئة عند

. بالمقارنة ساكنة غير الزمنية السلسلة ان مؤشر عموما الذاتي االرتباطالذاتي االرتباط يكون ان احتمال هو ساكنة غير تكون الزمنية السلسلة

. يكون ان احتمال الزمنية السلسلة بينما صفر هو صفر من متباطئة أي عندمن اكبر %5صفر

فيلر- ديكي الوحدة: Dickey-Fuller اختبار جذر : اختبار

ut ثابت وتباين صفري، وسط الكالسيكي، بالنموذج الخاصة الفروض تتبعالعشوائي الخطأ تجعل الخواص هذه الصفر، يساوي يسمى utوالتغاير أن

White Noise

بين االنحدار معامل كان بجذر Yt-1و Ytإذا يسمى وهذا الواحد يساوي

ساكنة. غير تكون أي الوحدةأو وحده جذر ذات أنها يقال الزمنية السلسة فان الواحد تساوي كانت إذا

العشوائي بالمســار يعرف المســار random walkما تتبع تكون عندما أي . مستقره غير الزمنية السلسلة أن أي العشوائي

بالتالي الوحدة جذر معادلة عن ويعبر

ΔY t=(Y t−Y t−1)=( ρ−1)1 Y t−1t+ut

ΔY t=δ1Y t−1t+ut

9

Y t= ρY t−1+u t

δ=( ρ−1 )

االختبار بأجراء نقوم آي الوحدة جذر على المتغير احتواء باختبار نقومالتالي:

ساكنة غير الزمنية Hالسلسلة 0 : δ1=0

ساكنة الزمنية Hالسلسلة A :δ 1<0

كانت الدالة 1إذا استقرار بعدم العدم نرفضفرضية الصفر من اقلساكنة الدالة أن ونستنتج

هو اإلحصائي tاالختبارt=

δ1−0Se (δ )

قيم أن جدول tإال تتبع .tال فيلر ديكي بجدول خاصيسمى جدول هناك بلDickey Fuller (1979) كنون ما قبل من طورت MacKinnon (1991)والتي

إذا العدم نرفضفرضيه حيث الجدلية والقيمة المحسوبة القيمة نقارن . ديكي اختبار يجري وليه الجد القيمة من أعلى المحسوبة القيمة كانت

: التالية الثالث المعادالت بإجراء فيلر

فيلر ديكي DF ΔYاختبار t=δ1Y t−1t+ut

فيلر ديكي قاطع DFاختبار ΔYبوجود t=δ 0+δ1 Y t−1t+ut

فيلر ديكي زمني DFاختبار ومتجهة قاطع T . ΔYمع t=δ0+δ1 Y t−1t+δ2 T+u t

يمكن فانه الذاتي االرتباط بوجود يتصف العشوائي الخطأ كان إذا: اافروق متباطئات االختبار يتضمن حيث الموسع فيلر ديكي استخدام

الموســع فيلر ديكي ADFاختبارΔY t=δ0+δ1 Y t−1t

+δ2 T+∑i=1

m

ΔY t−1+u t

العشوائي الخطأ يمكن بعدد للفروق متباطئة قيم المعادلة تتضمن حيثالذاتي ( ). ارتباط يوجد ال مستقل يكون بان

10

Null Hypothesis: GDP has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=9)

t-Statistic   Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.044794  0.9484Test critical values: 1% level -3.610453

5% level -2.93898710% level -2.607932

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least Squares

Sample (adjusted): 1971 2009Included observations: 39 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

11

GDP(-1) -0.002123 0.047402 -0.044794 0.9645C 36.38616 30.95879 1.175309 0.2474

R-squared 0.000054    Mean dependent var 35.25436Adjusted R-squared -0.026971    S.D. dependent var 110.2454S.E. of regression 111.7223    Akaike info criterion 12.31983Sum squared resid 461829.1    Schwarz criterion 12.40514Log likelihood -238.2367    Hannan-Quinn criter. 12.35044F-statistic 0.002007    Durbin-Watson stat 1.639084Prob(F-statistic) 0.964512

Null Hypothesis: D(GDP) has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=9)

t-Statistic   Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -4.786159  0.0004Test critical values: 1% level -3.615588

5% level -2.94114510% level -2.609066

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(GDP,2)Method: Least Squares

Sample (adjusted): 1972 2009Included observations: 38 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D(GDP(-1)) -1.028128 0.214813 -4.786159 0.0000C 37.27884 20.88734 1.784757 0.0827

R-squared 0.388870    Mean dependent var -10.43632Adjusted R-squared 0.371895    S.D. dependent var 142.7647S.E. of regression 113.1455    Akaike info criterion 12.34642Sum squared resid 460868.4    Schwarz criterion 12.43261Log likelihood -232.5820    Hannan-Quinn criter. 12.37709F-statistic 22.90731    Durbin-Watson stat 1.621576Prob(F-statistic) 0.000029

12

التكامل : Degree of integration درجة

المستويات في مستقره الزمنية السلسلة كانت ماذا تختبر التكامل درجةI(0) األول االختالف في مستقره الثاني I(1)أو االختالف في ويتم . I(2)أو

األول االختالف على فيلر ديكي اختبار بأجراء التكامل درجة =YtمعرفةYt-Yt-1 الثاني االختالف األول Yt= Yt-Yt-1و االختالف كان فإذا

الدرجة من متكاملة أنها يقال المستويات في مستقره غير والدالة مستقرتكون I(1)األولى.. مستقره الغير االقتصادية الزمنية السالسل واغلب

األولى الدرجة من متكاملة

مستقر؟ السعودية العربية للمملكة المحلي اإلنتاج اجمالي هلاألولى المستوى الفروق

ومتجة قاطع ومتجة قاطعقاطع قاطع

القيمالحرجية

-2.938987-3.529758-2.941145-3.533083

GDP-0.044794-1.398059-4.786159-4.710758ان أي الحرجة القيمة من اقل قيلر ديكي اختبار قيمة المستوى عنداالحصائي االختبار قيمة األولى الفروق عند مستقرة، غير الزمنية السلسلة

غير الزمنية السلسلة ان العدم نرفضفرضية الحرجة القيمة من اعلى . األولى الفروق عند مستقرة انها ونستنتج مستقرة

. األولى الدرجة من الزمنية للسالسل الذاتي االنحدار نماذجاألولى الدرجة من الذاتي االنحدار هو الزمنية للسلسلة نموذج ابسط

AR(1)

Y t=θ Y t−1+ut

13

تمثل و قاطع التتضمن (θ|<1|للتبسيط ابيض ضجيج يمثل WhiteوالعشوائيNoise (سلوك ان األولى الدجة من الذاتي االنحدار نموذج االفتراضخلف

الزمنية Yالسلسلة t . أي السابقة الزمنية للفترة قيمها قبل من غالبا يحددالفترة في يحدث ماسوف الفترة Tان في مايحدث على وكذلك . t-1يعتمد

الفترة في يحدث في T+1ماسوف الزمنية السلسلة بسلوك يتحدد سوف. الحالية الفترة

الواحد من اعلى الدرجة من الذاتي االنحدار AR(P):نماذج

األولى الدرجة من االنحدار نموذج الرقم AR(p)نستخدم AR(1)لتعميم . المثال سبيل على الذاتي االنحدار عملية درجة يمثل القوس AR(2)داخل

الثانية الدرجة من سيكونY t=θ1 Y t−1+θ2 Y t−2+ut

الدرجة AR(p)وكذلك من ذاتي انحدار :Pسيكون يلي كماY t=θ1 Y t−1+θ2 Y t−2+……+θ pY t− p+ut

: الجمع رمز باستخدام أو

Y t=∑i=1

p

θi Y t−i+ut

المشغل متباطئة باستخدام الخاصية Lag Operatorواخيرا يمتلك والذيLnيمك Y t=Y t−n

الدرجة من الذاتي االنحدار نموذج كتابة يلي pيمكن كماL0 Y t=θ1 L1Y t+θ2 L2Y t+……+θp LpY t+ut

Y t (1−θ1 L−θ2 L2−…−θp Lp )=ut

∅ (L ) Y t=ut

: الذاتي االنحدار نموذج في السكون

14

كون جذر AR(p)شرط كان اذا هو الحدود Pساكنة كثيرة ∅للمعادلة (z)=0

تشير حيث المطلقة القيمة في الواحد من اكبر .Zيكون الحقيقي للمتغيرالحدود كثيرة معادلة حل التالية بالمصطلحات عنها التعبير الممكن من . باستخدام ذلك الثبات الوحدة جذر دائرة خارج يكون ان AR(1)يجب

(1−θz )=0

اذا الواحد من أعلى الجذر ان حيث

|γ|=|1θ|>1

θ|<1|اذا

المتحرك المتوسط :Moving Average (MA)نماذج

وهو األولى الدرجة من هو أشكاله ابسط في المتحرك المتوسط نموذج: التالي بالشكل

Y t=ut+θ u t−1

MA(1) أن يتضمن األولى الدرجة من المتحرك المتوسط تعتمدYtنموذجويعتبر الحالي العشوائي المتغير قيمة <utعلى ابيض ضجيجدرجة ) من المتحرك المتوسط ( qنموذج

Y t=ut+ϑ1u t−1+ϑ2 ut−2+……+ϑq ut−q

Y t=ut+∑j=1

q

ϑ i ut− j

المشغل متباطئة وباستخدامY t=(1−ϑ1 L−ϑ2 L2−…−ϑ p Lp )ut

Y t=φ ( L ) ut

15

المتوسط MA(q)ألن ان يتبع ذلك ومن ثابت متحرك متوسط انها تعرفمادامت ساكن .qالمتحرك محدودة

:ARMAنماذج

على نتحصل المتحرك المتوسط ونماذج الذاتي االنحدار نماذج جمعتسمى جديدة زمنية ARMA(p,q)سلسلة

Y t=θ1 Y t−1+θ2 Y t−2+… .. θpY t−p+ut+ϑ1u t−1+ϑ2 ut−2+……+ϑq ut−q

الجمع صيغة باستخدام وتكتب

Y t=∑i=1

p

θi Y t−i+ut +∑j=1

q

ϑ i ut− j

المشغل متباطئة باستخدام اوY t (1−θ1 L−θ2 L2−…−θp Lp )=(1−ϑ1 L−ϑ 2 L2−…−ϑ p Lp )ut

جزء مع يتعامل السكون كون . AR(p)شرط على ذلك على ∅بناء (z)=0

ونماذج الزمنية السلسلة :ARIMAتكامل

زمنية ARMAنماذج سالسل مع فقط . Ytتكون يكون ان يعني هذا ساكنة . الزمنية السالسل معظم ولكن الزمن عبر ثابت والتغاير والتباين المتوسط

لـ المتوسط وكذلك الزمن عبر متجه تمتلك واحدة Ytوالمالية سنة خالل . السالسل لمعظم المتوسط هكذا أخرى سنة في المتوسط سيختلفعن

. السالسل ان يشير مما الزمن عبر ثابت غير والمالية االقتصادية الزمنيةزمنية سالسل على وللحصول المشكلة هذه لتجنب ساكنة غير الزمنية

خالل من ذلك ويتم األصلية البيانات من المتجه إلزالة نحتاج ساكنةالفروق استخدام

∆ Y t=Y t−Y t−1

. الفروق في ساكنة كانت فاذا األولى الفروق عند الزمنية السالسل معظماألولى الدرجة من متكاملة تسمى المصطلح I(1)األولى يكمل وهذا

ARIMA يجب األولى الفروق في ساكنة غير الزمنية السلسلة كانت اذا. الثانية الفروق أخذ

16

∆2Y t=∆ ∆ Y t=∆ Y t−∆ Y t−1

من متكاملة تسمى الثانية الفروق في ساكنة الزمنية السلسلة كانت اذاالثانية I(2)الدرجة

الدرجة من الفروق لها اخذت الزمينة السلسلة كانت اذا عامة dوبصفةالدرجة من متكاملة انها يقال فنه ساكنة نموذج I(d)أي dلتكون يسمى لذا

ARIMA(p,d,q) تشير التابع (pحيث المتغير متباطئات عدد dو) ARالىالسلسلة سكون على للحصول الفروق فيها تؤخذ التي المرات عدد

و .qالزمنية الخطأ حد متباطئات عددلنموذج ARIMAمثال

بوكسجينكينز طريقة باستخدام النموذج :Box-Jenkinsاختيار

السلسلة) 1976بكوكسجبنكينز ( لنموذجة مراحل الثالث طريقة اقترحوا. ( النموذج. ( فحص التقدير، ، التعريف التمييز تتضمن، مراحل الثالث الزمنية

التمييز :correlogramاختبار مرحلة

الذاتي االرتباط لدالة البياني الرسم باستخدام االرتباط ACFيتم ودالةالجزئي لتسلسل PACFالذاتي البياني الرسم الزمن Ytباستخدام Tمع

المفقودة والقيم المتطرفة القيم بخصوص مفيدة معلومات يقدم . االقتصادية السالسل معظم سابقا ذكر كما للبيانات الهيكلية والتغيرات

او متزايدا يكون قد متجه تمتلك المتغيرات الغالب وفي ساكنة غير والمالية . القيم تصحيح يمكن ثابت تباين او متوسط قيمة بدون يتسكع متناقصا

استخدام يتم ان علية متعارف المرحلة، هذه في المفقودة او المتطرفة. األولى الفروق

الذاتي مقارنة االرتباط الجزئي ACFلدالة الذاتي االرتباط قد PACFودالة . ساكنة غير الزمنية السلسلة كانت اذا نظريا ممكنة نماذج اقتراح الى يؤدي

.( دالة ( الى لتحويلها التناقص االضمحالل عالمات اظهار او بقوة تتناقص لن. األولى الفروقات باستخدام سابقا ذكر كما ساكنة

17

تعريف هي الثانية الخطوة مستقرة زمنية سلسلة على الحصول p,qعندالذاتي MA(q)لعملية ARIMAلنموذج االرتباط دالة ستظهر ACFفان

متباطئة الى الصفر عن معنويا مختلفة . qمقدرات دالة اما تنخفضفجأة ثمالجزئي الذاتي اما MA(q)لسلسلة PACFاالرتباط تنخفضبسرعة سوف

. الظل بطريقه او اسي بطريقةالذاتي AR(P)بالمقارنة االرتباط اما ACFلدالة تتناقصبسرعة، سوف

بينما . بجيب او الجزئي بتناقصاسي الذاتي تموج PACFاالرتباط ستظهر ( قيمة( حتى للمتباطئات معنوي ذاتي .pارتباط تتناقصفجأة ثم

كالهما هناك PACFو ACFاذا سيكون فيها، ينقطع نقطه يحددون لمتحديد المستحيل او الصعب من سيكون الحالة هذه في مختلطة سلسلة

اذا). superimposedمتراكبة (PACFو ACFستكون MAو ARدرجة مثاالكال فان PACFو ACF اظهرت متباطئ تناقصاسي ARMA(1,1)عالمات

. اظهرت اذا نعرف المتباطئة ACFقد عند معنوية موجات اذا 3و 2، 1ثالثمن 10.1الجدول AMA(3,1)تناقصاسي مجموعات PACFو ACFيقدم

درجة بتحري مخلوطة. ARMAتسمح عملية تحري الصعب من عامة بصفةمن اكثر .1او النموذج وفحص تقدير المهم من فانة لذا

لـ PACFو ACF 10.1جدول ARMA(p,q)الممكنة

PACFACFMA(1) او ظل تناقصسواء

اسيالمتباطئة عند موجة

واحدAR(1) المتباطئة عند موجة

واحداو جيب تناقصسواء

اسيARMA(1,1) المتباطئة عند موجة

تناقص يتبعها واحداسي او ظل سواء

المتباطئة عند موجةتناقص يتبعها واحد

اسي او ظل سواءARMA(1,2) المتباطئة عند موجة

تناقص يتبعها واحداسي او ظل سواء

المتباطئتين عند موجةيتبعها واثنين واحد

او ظل تناقصسواءاسي

ARMA(2,1)( المتباطئتين عند المتباطئة موجة عند موجة

18

يتبعها واثنين واحداو ظل تناقصسواء

اسي

تناقص يتبعها واحداسي او ظل سواء

ARMA(2,2) المتباطئتين عند موجةيتبعها واثنين واحد

او ظل تناقصسواءاسي

المتباطئتين عند موجةيتبعها واثنين واحد

او ظل تناقصسواءاسي

التقدير: . مقارنة يتم ثم اختبارها ويتم النموذج معامالت تقدير يتم المرحلة هذه عند

باستخدام Schwarzوكذلك Akaika Information Creteria(AIC)النماذجBayesian criterion(SBC). ساكن النموذج ان التأكد يجب المرحلة هذه في

األولى الدرجة من متكاملة الزمنية السلسلة ان ان I(1)حيث سنحاول ( قيم ( الى النظر يجب الزمنية السلسة نميز كانت PACFو ACFنعرف اذا

الثقة فترة باستخدام الصفر تختلفعن

0∓2× se( ρk⏞ )

الذاتي االرتباط لدالة المعياري هو ACFالخطأ

se( ρ⏞¿¿ k)=√ 1n (1+2∑

i=1

k−1

ρi2⏞)¿

ان العدم فرضية ρi=0تحت for i ≥ k المعياري الخطأ سيكونse( ρ⏞¿¿ k)=√ 1

nfor all k ¿

الى تشير والتي الثقة فترة هو االرتباط معامل حول الشكل في النقاط± 2√ 1

nالى 10.4الشكل يشير االولى ARIMA(3,1,2)للفروق

:فحصالنموذج

19

النموذج جودة اختبار: بوكسجينكينز لطريقة مثال

Date: 03/17/12 Time: 18:36Sample: 1970 2009Included observations: 35

Autocorrelation Partial Correlation AC  PAC  Q-Stat  Prob

      **| . |       **| . | 1 -0.310 -0.310 3.6672 0.055      .*| . |       **| . | 2 -0.170 -0.294 4.7947 0.091      . |** |       . |*. | 3 0.268 0.131 7.6966 0.053      . | . |       . |*. | 4 0.069 0.204 7.8928 0.096      .*| . |       . |*. | 5 -0.098 0.101 8.3058 0.140      . | . |       . | . | 6 0.006 -0.009 8.3075 0.216      . | . |       . | . | 7 0.044 -0.052 8.3987 0.299      . | . |       . | . | 8 -0.013 -0.041 8.4066 0.395      . | . |       . | . | 9 -0.020 -0.016 8.4265 0.492      . | . |       . | . | 10 0.003 -0.002 8.4270 0.587      . | . |       . | . | 11 -0.001 -0.002 8.4270 0.675      . | . |       . | . | 12 -0.011 -0.009 8.4336 0.750      . | . |       . | . | 13 -0.008 -0.014 8.4375 0.814      . | . |       . | . | 14 -0.005 -0.016 8.4394 0.865      . | . |       . | . | 15 -0.008 -0.016 8.4437 0.905      . | . |       . | . | 16 -0.010 -0.016 8.4500 0.934

.Correlgromدالة 10.4الشكل األولى للفروق

حساب نجد PACFو ACFوبعد الشكل على عند ACFواالطالع تنقطعأن 4المتباطئة كما األولى الفروق عند ساكنة السلسلة ان يقترح ممامن. propاالحتمالية معامل% 5اكبر ان العدم فرضية قبول الى يشير مما

. الصفر يساوي الذاتي االرتباط

PACFACF

20

ARMA(3,3) المتباطئه عند 3موجاتاضمحالل 4و يتبعها

المتباطئه عند 3موجاتاضمحالل يتبعها

النموذج ARMA(2,1)تقدير

Dependent Variable: DLGDPFMethod: Least SquaresDate: 03/17/12 Time: 21:59Sample (adjusted): 1976 2009Included observations: 34 after adjustmentsConvergence achieved after 17 iterationsMA Backcast: 1975

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.057881 0.012318 4.699012 0.0001AR(1) 0.347043 0.144489 2.401870 0.0227AR(2) -0.534594 0.133966 -3.990514 0.0004MA(1) 0.997817 0.008294 120.3075 0.0000

R-squared 0.752688    Mean dependent var 0.062465Adjusted R-squared 0.727957    S.D. dependent var 0.081906S.E. of regression 0.042720    Akaike info criterion -3.358157Sum squared resid 0.054751    Schwarz criterion -3.178585Log likelihood 61.08866    Hannan-Quinn criter. -3.296917F-statistic 30.43473    Durbin-Watson stat 1.293293Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots  .17+.71i      .17-.71iInverted MA Roots      -1.00

النموذج ARMA(1,1)تقدير

Dependent Variable: DLGDPFMethod: Least SquaresDate: 03/17/12 Time: 21:58Sample (adjusted): 1975 2009Included observations: 35 after adjustmentsConvergence achieved after 11 iterationsMA Backcast: 1974

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.061347 0.021332 2.875884 0.0071AR(1) 0.175358 0.159529 1.099224 0.2799MA(1) 0.996470 0.017038 58.48362 0.0000

R-squared 0.621278    Mean dependent var 0.059714Adjusted R-squared 0.597608    S.D. dependent var 0.082317

21

S.E. of regression 0.052217    Akaike info criterion -2.985001Sum squared resid 0.087252    Schwarz criterion -2.851685Log likelihood 55.23751    Hannan-Quinn criter. -2.938980F-statistic 26.24738    Durbin-Watson stat 1.619606Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots       .18Inverted MA Roots      -1.00

ولكنهم ARIMAنماذج االقتصادية بالنماذج عالقة لها احصائية نماذج هيمختلفة نماذج بين االختيار الصعب من يجعلة هذا اقتصادية نماذج ليسوا

االدوات من متقاربة والمقدرات متقارب التحديد كان اذا خصوصااكيكا معيار النموذج اختيار في Akika information criterionالمساعدة

(AIC) سشوارز المعيارين Schwarz information criterion (SIC)ومعيار كال

البواقي تباين على σ⏞uمبنية

2

تباين . اصغر يتضمن نموذج على الحصول يفضل

عدد. بزيادة يتناقص البواقي تباين ان المعروف من ولكن للبواقي . يتم الزمنية نفسالسلسلة على مبنين لنموذجين المفسرة المتغيرات

من قيمة اقل يمتلك الذي النموذج ممكن . AIC, SICاختيار المعيار قيم . تطبيع يتم مختلفة باطوال تستخدم الزمنية السلسة ألن نسبيا شرحها

. معيار النموذج بتقدير المستخدمة المشاهدات عدد على بقسمتة المعيارAIC, SIC: كالتالي يعرف

AIC=ln(σu2⏞ )+ 2k

n

SIC=ln(σu2⏞)+ k . ln (n)

n

من SICمعيار بدال خيار ثقل AICيعتبر تعطي لكن و ولكن المعنى نفس لهاالمعامالت السبب kلعدد من SICلهذا ابسط نموذج تعطي وهذه AICسوف

22

مختلف مستوى تستخدم التي نماذج لمقارنة تستخدم ال المعايير هذه ميزة. الفروقات من

نموذجين استخدم تحديد ARIMA(1,1) ARIMA(2,1)المثال تم p,qمبدئيادالة على اختيار ACF,PACFباالطالع يتم تقدير p,qثانيا نتائج ضوء على

المعيارين كال ا نجد النموذجين تقدير على االطالع من ذا AIC, SIC النموذجالنموذج في اصغر أن ARIMA(1,1 قيمة المقلوب inverted rootsكما الجذر

. الوحدة دائرة ضمن يكون ان يجباختبار يتضمن النموذج تتبع Q-statisticفحص البواقي كانت ماذا اختبار يت

: كالتالي المعادلة األبيض الضجيج عملية

Q=n(n+2)∑k=1

k ρ⏞ k

2

n−k

تمثل ❑⏞ρحيث

2

المتباطئة عند الذاتي االرتباط معامل بواقي عند . kمربع

للنموذج للبواقي األبيض الضجيج عدم اختبار ARMA(p,q)فرضية يتبع Qفأن) كاي K-p-q(χ 2χتوزيع

اختبار نتائج على الشكل Qباالطالع العدم 10.4في فرضية انم نجد. رفضها يمكن ابيضال ذاتضجيج بانها للبواقي

23