Fachwissenschaftliches Seminarzur Zahlentheorie

Vortragsunterlagen zu:„Permutationen“

Mit einem außerordentlich eleganten und kurzen Widerspruchsbeweis, benannt nachEuklid, läßt sich zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Wir stellen andereBeweise für dieselbe Tatsache vor, die sich unterschiedlichster mathematischer Hilfsmittelbedienen. Dies soll offenbaren, wie bedeutend die Unendlichkeit der Primzahlmenge fürdie Arithmetik ist.

160 KAPITEL 3. GRt/PPtrI\'

3.4.3 Permutationsgruppen

Eine sehr wichtrge Rolle in der Algebra spielen Permutationsgruppen. Ist,1.1 eine N,Ienge, so nennt man eine Bijektion von A,'[ nach \v-I auch Permu-tation r.on Ä,1. Die N,Ienge alie Bijektionen von h[ nach I,I bezeichnen wirrnit Srr. Versehen nrit der Hintereinanderausführung o von Abbildungenals \rerkntipfung bildet sie eine Gruppe, die Gruppe der Permutatio-nen von Ä,1 oder auch symmetrische Grupp e von M . Ist fu[ dte lllenge

{1, . . . , n} der natür l ichenZahlen 3 mi t 1 S i 1n, so wi rd d ie N4enge bzrv .Gruppe S,rr auch rnit S' bezeichnet. Sie heißt symmetrische Gruppeder Ordnu ng n Diese Gruppen gehören zu den wichtigsten Gruppen derAlgebra. Sie sirrd für n ) 3 nictrt konrmutativ und haben die Ordnung n!.\\Iir kenrren clamit, neben den zykiischen und den Diedergruppen aus Auf-gabe 3.2.2Ib2w. aus Abschnitt 3.4.5, weritere endliche Gruppen; sie haberrdie Ordnungen 6, 21,I20,720) . . .

Selrr praktisch ist die Zyklenschreibweise für die trlemente von S,,, clie wirim nächsten Abschnitt einführerr. Ist o € S,r, so teilt Inan o auch in derForm

( 1 2o-

\o( I ) " (2),?,u)

niit. So ist ( 1 ? : ) dierjenige Permutation von {I,2,3}, cl ie 3 fest lässt\21 3 )

nnci 2 lnd 1 vertauscht, die also 1 auf 2,2 auf I und 3 auf 3 abbildet.Im äbernächsten Abschnitt behandeln wir das Signum einer Perrnutati-

on. Es erlaubt die Definition von geraden und ungeraden Permutationen,Die N'Ienge A, der geraden Permutationen liefert eine lJntergruppe von S,,der Orcinung $. Damit kennen wir weitere endliche Gruppen der Ordnun-gen 12.60,360; ... A, ist clie einzige Untergruppe von Sr, cler OI'dnung IDiese Gruppen werden uns, wie auch die Gruppen S,r, in diesem Buch desöfterep begegnen, so zLlrn Beispiel bei den Drehgruppen irn pt oder beiciern Problem, Gleichungen 5. Grades durch Wurzelausdrticke zu lösen.

Eine Gruppe heißt eine PermutationsgrupP€, weltn sie eine lJnter-gruppe einer Gruppe S,rr ist (nicht notwendigerweise eine volle symmetri-sche Gruppe) . Es gilt der Satz von Cayley:

Jede Gruppe G is t zu e iner Permutat ionsgruppe, und zwar zu e iner Untergruppevon SG, isomorph.

3, 1. 3. P trRL,ILT]HTIOI\IS GRLT PP EI]{

Den Isomorphisrnus erhält man, indem man jedemlatation rr,: G -----, G, r"(g) - &g, zuordn"et, siehe

161

a € G die Linkstrans-Aufgabe 9.

Sy*metr ische GruppenEine Perrnutation von I,t ist eine Bijektion von l\,'t auf I\,,t .

S,rr ist clie 1\'Ienge (.je nach Zusammenhang auch Grrppe) der Permuta-tionen von Ä'l.(S'rr, o) ist eine Gruppe, die auch symmetrische Gruppe von I\,[ geannntwird.

S, , is t d ie N{enge (Gruppe) der Permutat ionen von {1, . . . ,n} .

Jecle LTntergruppe einer Gruppe S,n heißt eine Permutationsgruppe.

Orclntrng von S,'u: lSnrl - ,t, fal ls l lUIl - n; lS,rrl ist urrendlich, fal ls IIunendlich ist.

lfll > 3 * S,rr ist nicht kommutativ.

Satz von Cayley: ,Jede Gruppe ist isomorph zu einer Permutationsgruppe.

I)arstellung von Permutationen als Produkt von Zyklen

Sehr praktisch ist die Zykelschreibweise für Permutationen. Wir führen siefi ir die l\Ienge {I,2, ..,n} ein, sie lässt sich aber in offensichtl icher Weiseauf beliebige lV{engen übertraplen.

Zyklenp € Sn heißt Zyklus oder Zykel <+ Es gibt paarweise verschiedeneZal r le r r a ,1 t . . . , ak e {1 , . . . ,n } mi t

p(a i ) - &* t fü r1< i<k ,P(ae) - a r . ,p(, j )

p heißt dann auch k-Zyklus oder k-Zykel oder Zyklus der Länge k.Sctrreibr,veise: p : (at or) .clr, . . . , clk nennen wir auch, nicht ganz korrekt, aber unmissverständlich,die Elemente des Zyklus.

Eine Transposition ist etn 2-Zyklus (i j)

(o r . . .eA: ) , (b ' . . .b1) he ißen d is junkt <===+ { r r , . , . . . , c t t , ) ) {ör , ) b t } - ( / ) .

/ \

Se i z r r rnBeisp ie lp- (1 ? : : ) Dannis t pderZyk lus(1 2 ) .A ls\2431)

Eiernent von S,, bezeichnet (1 2 4) für n,1 auf,2,2 anf 4, 4 auf 1 abbildet und aile anderen Zah\en auf sich selbst.Zwei Zyklen sind disjunkt., r renn keine ZahI in beiden Zyklen auftritt. N,fanbeacir te, dass der Zyklus (ot ,o, t*1, . . . ,ak,aL,. . . , at- t ) dieselbe Permutat iorrbezeichrret u ' ie (rrr . . . atr) . Ordnet man die ZahIen art . . . ,ak kreisformigan., so kann rnan an einer beliebigen Stelle beginnen und erhält nach einerDrrrchlaufung alle Bilder) was den Namen Zykel wohl verstäncllich rnacht.Ferner gi l t o j : p i- t (ot) f tLr i - 1, . . . ,k (uber cl iese Eigenschaft lässt s ichcler Begriff des ZS,klus ebenfalls elegant definieren).

r62 KAPITHL 3. GRLTPT'.EI\-

Jede Permutat ion o lässt s ich als Produkt dis junkter Zyklen darstel len.

Verfahren zur Zerlegung in disjunkte ZykIen: Wir sctrildern clas Ver-fahren,c1asut rsc} r rn 'ere inenI r rdukt ionsbeweis1 ie fer t . Is too - (1) Se i a + id1. Schritt: Wähle die kleinste ZahI o4 mit o(at) + a1 und bildet dannst tkzess ive a2 i : o( " r ) , o : j ' . - e(o(or ) ) - : o2(or) , a4: o3(o ' ) usw. Es musseiri A gcben mit cL1, - ay, da die lVlenge {t, . . . ,n} endiich iste.Setze o1 :- (rr, ak_ r) . Dann ist op( j ) -

" ( j ) , fa1 ls .7 / {or , , ak-1} . Is t h

ab.2 . Schr i t t : Wähle d ie k le ins teZahlb l € {1 , . . . ,n } \ {a7t . . . ,ak} mi t o (b t ) +bt,:r1so clie klcinste ZahI rnit n(bt) + bt, und verfahre mit fu urrd p1 wiesoeben rnit a1 und o.So fahre fort! Nach endlich vielen Schritten mlrss das Verfahren abbrechen.

se izu[ rBe isp ie la- (1 2 3 4 5 6 7 B\\1 4 z 3 B T 6 s) .Dasver fahr .enster r te tmi t

cLt - 2. Dernn ist e2 - o(at) - o(2) - 4, üs - o(az) - o(4) - 3 lndor : o (a t ) - o (3) - f . i \un is t 01 - (2 13) und o- o1 opt rn i t

(1234b678\Pt : \12318765)

2. Schr i t t : Es is tb l - 5 ,b2: " (5)

: p t (5) - Bund b t : o (bz) : p r (br ) - 5 .

: a: i ; s ie cxist ier t , da { 1. . . . . r r , }i r t rc l i o1 . t :0 . j - 1 , da o i r r . j r : k t i v

t 'Gcnarrer': Sei A: > 2 rl ie kieinste Zahl. zu der es ein .j < k gibt nrit apr- ' r i r l l ich ist . \ \ Iäre . j > 1, , s{) \Ä'ät 'e nr i t c i . : ok-t( , , , ) r rnd rr . , : or- t (or)ist. irn Wiclerspruch zur \\, 'ahl vorr ,(.

/ 1 z 3 15 6 7 8\Sorn i t is ta2- (5S) undp l -o2opzmi tPz- t r1 2 3 1b T 6 B )3. Sclrritt: Die kleinst e zahl cl mit pz(ct) * ,, ist 6. Dann ist c2 - o(.t) :

pz(ct) : T nnd c3 : o(cz - p2(rr) - 6. Nun tst p2 - os etn Zsrklus und das

Ver fahren br ic l r t ab. Es fo lg t ' . s - oroo2oo3: Q 4 3) " (5 B) o (6 7) . Dergeübte Leser erkennt dies an 2 r--+ 4 r-- 3 r-- 2,5 * B -+ 5,6 r' 7 r- 6'

Die Zyklenzerlegu ng einer Perm utat ion o € Sr, l iefert sofort eine Darstel lu ng

von o als Produkt von Transposit ionen. Fär jeden Zyklus gilt

(a r . . .a t ) : (o r as ' ) o (41 ak : , I ) o . . .o (o , or ) - : (o t a* ) (g t a t r ' - t ) " ' ( " ror ) '

u,ie man sofort nachrechnet.Damit ist jeder Zyklus ein Produkt von Trans-positionen. Da jecle Permutation ein Produkt von Zvklen ist, ist auch jede

Pcrmltltigrr ein Proclukt von Transpositionen. Die letzte Aussage erhältnrarl aber auch durch einen Induktionsbeweis (siehe Aufgabe). Die Darstel-

Itrng ist rt icht eind,eutig, rLa auch (ot . . . tr1) : (o,t-t at)(ap-z ot) " ' (ar al)

g i l t So is t (1 2 3) : (1 3) (1 2) : (2 3) (1 3) 'rs t i < j , so is t ( i j ) - ( i i+ r ) ( j - r j ) ( j -2 i -1 ) . . ( t+1 i ) Fo lg l ic t r

lässt sicS jecle Perrnutation anch als Produkt von Nachba,rvertarrschungenctarstette ' zutn Beispiel ist (1 2 3) - (1 3)(1 2) : (1 2)(2 3)(1 2)(r 2) :

(1 2) (2 3)

3.1.3. PERLIUIATTOATSGRUPPtrI\r 163

Eigenschaften von ZYklenJecle Permutation ist darstellbar als Produkt disjunkter Zvkien.

1 J.d.t. k-zyklus trat in der Gruppe S, die ordnung k.

Jecie Permutation ist darstellbar als Produkt von Transpositionen, sogar

als Proclukt von |dachbarvertauschungen (i t + 1).

(or . . o0) : (ou o,i,+t . . . ap a1 . . . at-t).

I s t a - ( r r r . . .a 'k ) , so is t o - (o t o(a)

Disjulkte Zyklen kann man vertauschen: Sincl o :- (ot. ' 'alr) und r :-

(br . .b r ) d is junkt , so is t o or - roo.

( r r r . . . ek ) : ( o r a1 r ) ( r t y a1 ; -1 ) . . . ( o , , , o r ) : ( op - t c l k ' ) ( " t - , op ) " ' ( t " ' o ) '

Wichtige Rechen regel. (Berechnung von Konjugierten von Permutatiorten.s ier l ier A l fgabe 6) Für g € S, , is t 9o(ar cr2. . .c t ,k ' , )oP l e in Zykhrs; es g i l t

.ok - t (o r ) ) .

on) o e- | : (p (or ) p(a ' ) P(ur ) )go (a t ü2

16,1 KAPITEL 3. GRLPPET\"

Das Signum einer Permutation

Die Darstellung einer Permutation a als Produkt von Transpositionen istz\\rar riicht eindeutig, aber es gilt der Satz:

a € S,, ist entweder immer Produkt einer geraden Anzahl von Transposit ionenoder immer Produkt e iner ungeraden Anzahl von Transposi t ionen.

Nlanche Autoren beweisen diesen Satz und definieren dann das Signumvon o. geschrieben als sign(o), als die Zahl (-1)*, wenn o - rr . - . rk Pro-clr-rkt von Ä Transposit ionen rr , . . . 16 ist . Ohne Zweifel ist dies die einfachsteArt, sign(o) zL) berechnen. Nach dem Satz ist sign : S,,, -------' { 1' - 1} ei-ne Funktion, da die Definition nicht von der spezieltren Darstellung von oals Prodlkt von Transpositionen abhängt. Ferner folgt die entscheidendeEigenschaft von sign, dass nämlich sign ein Hornomorphismus von S' inc l ie Gl rppe ( { -1 ,1} , . ) is t , denn s ign(otor ) - s ign(or)s ign(a2) is t mi t demSatz leicht einzrtsehen.

l\Ieist erfolgt das Vorgeherr umgekehrt: Man wählt eine andere Definitionder Funktion sign und beweist mit ihr die genannte Hornomorphieeigen-sciraft. Aps clieser fotgt dann der obige Satz. Wir legen uns auf die folgendeDefilitiop fest. trin Fehlstand von o € S,, ist jedes Paar (i,i) mit i < Jtrrrd a ('i)nun 1. falls clie Anzahl der Fehlstände von o gerade ist, uncl -1 sonst;also ist sign(a) : (-1)0, wenn A, die Anzahl der Fehlstände von o ist. Istsign(o) - 1, so heißt a auch eine gerade Perrnutation, ist sign(o) - -1,

so nennt tnan a eine ungerade Permutation.So hat d ie Permutat ionp, : (1 3 2) (4 5) d ie Feh ls tände (L ,2) , (1 ,3) , (4 ,5) '

es ist sign(,p)s tand und dami t das S ignum -1 .

Hieratrs folgt rclativ leicht sign(a) : fli ., üEP, eine Gleichutr8, clie oftals Definition von sign(a) gewählt wird.(B) Wir clefinieren znrlTBeweis eine Bijektion / der Menge der Paare (i,.7)nr ' i t i< jar r fs ich .Esse i f ( i , j ) : ( " ( , ) ,o ( j ) ) , fa1 Is" ( i )<@(l) , o( i )) , fa i ls o(S) <

"( i ) , fa l ls also ( i , , i ) e in Fehlstand ist . Der Leser

rnöge sich überzeugen, class / bi jektiv ist. Sei a(i) - m und o(i) - l , . Ist77r

Paar (nt,. l) gehört. Ist I < m, also (i, i) ein Fehlsta,rd, so ist "(i)

- "(;)

--(rrt - l) clas Negative cles Faktors, der zum Paar (1,^,) gehört. Es fblgt:

3. 1. 3. P ERL,I\r'7)4T1O^SGRUPPEA/ 165

f ln.r @(s) - "( '))

Anza1r lc ierFeh]s tändeVonois t .Dami t is t | In . ,4E9nach Def ini t ion ist (-1)n - s ign(") n

NIit sign(o) : ll;. ia#A lässt sich die obige Homomorphieeigenschaftsign(oror) - sign("r)sign(or) von sign problemlos zeigen (siehe zum Bei-spiel das Buch lFi] von G. Fischer tiber Lineare Algebra). Insbesondereist 1sign(o-t). Ferner ergibt sich: Ist o - r7 . . .rrn eine Darstellung von oa lsProduktVonTranspos i t ioner r ,So is ts ign(a)(-1)'". Folglich ist die Anzahl der Faktoren in Darstellungen von o alsProdukt von Tranpositionen imrner gerade oder irnmer ungerade.

Eigenschaften der Signum-Funkt ionFür o € S,, ist sign(o)o is t .Praktisc:h zur Berechnung ist sign(o) - (-1)' ' , *.nn o ein Produkt vonni, Tra,nspositionen ist.

o gerade '<+ sign(o) -o rtngerade '<+ sign(a)

DeLs Signurn einer Transposition ist

sigrr (o ror) - sigr(or )sign (or) ,cl.h. sign : S,, ------+ {-1, 1} ist ein Gruppenhomomorphismus.Folgerungen:s ign(a) - s ign(o- t ) .Ist o - 11 . . .rrn eine beliebige Darstellung von o als Produkt von Trans-posi t ionen, so ist s ign(o) - (- 1) ' " .S indo-11 . . . . . p, Darstellungen von a erls Produkt von Trans-

rrnd s beide gerade oder beide ungerade.positionen, so sincl rn

1.

S ind €1 : (1 ,0) . . . ,0 ) , . . . ,€r , , - (0 ,sclren Basis des 1(", so gilt det(eoe),

,0, 1) die Vektoren der kanoni-, €r ( . , , \ ) - s ign(" )

166 KAPITEL 3. GRUPPEN'

Die alternierenden Gruppen 4,,

Eine Permutation ist genau dann gerade) wenn ihr Signum 1ist. und geltaudann Llngerade. wenn ihr Signum -1 ist. Da ein k-Zyklus ein Produkt vonk - 1Transposit ionen ist, ergibt sich:Jeder Zyklus ungerader Länge ist gerade, jeder Tyklus gerader Länge ist unge-rade.i\lit A' bezeichnet man die N,{enge der geraden Permutationen der l\'Ienge

{1.2i . . . , rz}, also Ar, : - {o € Sr, : o ist gerade}. Da nach dem voran-gehenclen Abschnitt sign(id) : 1, sign(a)sigrr(a)sign(p) gilt, folgt id € A, sowie üp,o-r € An, fal ls o, P € A,,. Esergibt sich die u'ichtige Tatsache:A,, ist eine Untergruppe von S,, , die sog. al ternierende Gruppe der Ord-nurlg TL.

l\{it Hilfe der Zerlegung in Z5'klen bzw. in Transpositionen lässt sich leichtentscheiden, ob Permutationen geracle, also Elemente von A' sind, sieheKasten. Entscheridend ist wieder die Homomorphieeigenschaft der Signum-Funktion.

Altern ierende G ru ppenA,, - {o € S, : o ist gerade}.

A,, ist eine Llntergruppe von S' der Ordnu ng + .

A,, cnthält alle Zrrkien ungerader Länge und keinen Zyklus gerader Länge.

o € S,, ist genau dann gerade) wenn sich o als Produkt einer geradenAnzahl von Trauspositionen darsteilen lässt.

o € S, ist genau dann gerade, wenn in der ZykLenzerlegung von o einegerade Anzahl vou Zyklen gerader Länge vorkommt.

Jecles Element von A,, ist Produkt von 3-ZykIen, d.h. A, wird erzeugtvon den 3-Zyk len, An : ( { ( l k l ) , l { i , k , l } l : 3 A i ,k , l e {1 , . . . . , r1 } } )

(B) Zvr Ordnturg von A,r: Wähle eine feste Transposition r. Dann ist dieZuordrlung g : o e ro eine Injekticln von A, in die Menge der ungeradenPernrutationcn. Ist p ullgeracle, so ist rp gerade und g(rp) - p.Damit ist gauch surjektiv, also bijektiv, und es gibt genau so viele geracle wie trngeradePennutationen. Da jede Permutation gerade oder ungerade ist, ergibt sich

3. :1. 3. P ERL IIJT.4.TIOA.'SGR L/PPEAT

+ als Elementanzahl von Ar,, denn S,, hat nlA= dr. Orcl'ung 3 und ist daher 25,'klisch und

167

Elemente. Insbesondere hatisomorph zv Z3- I

Die Gnrppen A,, gehören zLL cien wichtigsten Gruppen der Algebra' wir

*.ercien i1 eilen späteren Abschnitt, wenn wir mehr Theoriekenntnisse be-

reitgestellt haben. noch einmal auf sie eingehen. Hier seien aber bereits

ohne \reru,eis auf clie benutzten Definitionen die wichtigsten Eigenschaf-

te' gena'nt. Als Lrntergruppe von sr, die halb so viele Elemente rvie sr,

hat. ist A,, lach dem satz von Lagrange ein Normalteiler von s,,. Ferner

ist A,, die ein zige tlntergruppe von S,, der Ordnung + Dies wird sich aus

cler Tatsache er.geben, class jedes Element von A, ein Produkt von Dreizy-

klen ist. Die einfachsten geraden Pernrutationen, nämlich die Dreizyklert'

e rZet1ge1}a lsoc i ieGrr rppeA, , .Ferners indc l ieGrupper iA, , fü rn>e,i'fachste' Beispiele aus einer Klasse von Gruppen, die in der zweiten Hälf-

te cles ietzten Jahr.hunder.ts vollständig charakterisiert wurde, die Klasse

cler sc-ig. einfacher Gruppen. Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie keinerl

Norrnalteiler aufjer sich selbst und cler trivialen l-lntergruppe, die aus dem

'eutralel Eiernent besteht, besitzt (slehe Abschnitt 3.5; im Alltagssinne

ei'fach sincl cliese Gruppen keineswegs, soudern teilweise extrem kompli-

ziert). A5 ist clie kleinste nichtzyklische einfache Gruppe, d.h. die einfache

nichtzyklische Gruppe mit der kleinsten Elernentauzahl. Ihre Einfachheit

zeigen r,vir in Abschnitt 3.r2. Die Gruppen A+ und A3 behandeln wir irr

clen A*fgzrben dieses Abschnitts und von Abschnitt 3.5.