Communication Technology LaboratoryWireless Communications Group

Prof. Dr. A. Wittneben

ETH Zurich, ETF, Sternwartstrasse 7, 8092 Zurich

Tel 41 44 632 36 11 Fax 41 44 632 12 09

Fachpraktikum

Nichtlineare Systeme

Versuch KT 30

Stand:18.Februar2011

Die theoretischen Fragen im Kapitel 4 mussen vor dem Praktikum

gelost werden. Die praktischen Aufgaben vom Kapitel 5 werden wahrend

des Praktikums gelost.

Ausgabe: Fruhling 2011

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Eigenschaften von linearen Elementen 2

3 Nichtlineare Systeme 4

3.1 Anwendungen von Nichtlinearitaten . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.1 Frequenzvervielfachung mittels spezieller Kennlinien . . . 53.1.2 Mischung und Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Zeitvariante Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Unerwunschte Nichtlinearitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3.1 Verzerrung eines Signals an einer Nichtlinearitat . . . . . 113.3.2 Intermodulation und Kreuzmodulation . . . . . . . . . . . 12

4 Theoretische Aufgaben 15

4.1 Frequenzvervielfachung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Additive Mischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Schaltermodulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 Nichtlineare Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Praktische Aufgaben 17

5.1 Frequenzvervielfachung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Additive Mischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3 Inter- und Kreuzmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4 Nichtlineare Verzerrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Bibliografie 18

Kapitel 1

Einleitung

Nichtlineare Elemente spielen in der Nachrichtentechnik eine wichtige Rolle.Sie werden einerseits als Systemkomponenten zur Signalaufbereitung eingesetzt,andererseits bewirken sie oft storende Effekte, die es zu bekampfen gilt. BeideAspekte - der gezielte Einsatz sowie die Bekampfung storender Effekte - werdenin vorliegendem Versuch behandelt. [1], [2], [3], [4], [5].

Kapitel 2

Eigenschaften von linearen

Elementen

Bevor wir uns mit nichtlinearen Systemen befassen, wollen wir uns zunachstdie Eigenschaften von linearen, zeitinvarianten Elementen und Systemen (lineartime-invariant systems, LTI-Systeme) in Erinnerung rufen.Abbildung 2.1 stellt ein beliebiges lineares System mit einem Eingangssignalu(t) und einem Ausgangssignal y(t) dar. Sowohl u(t) als auch y(t) seien reell:

u(t) y(t)linearesSystem

Abbildung 2.1: Lineares System.

Die Tatsache, dass u(t) ein Ausgangssignal y(t) bewirkt, sei folgendermassennotiert [1]:

u(t) → y(t). (2.1)

Wird nun u(t) mit einem konstanten Faktor α multipliziert, so erscheint auchdas Ausgangssignal um diesen Faktor erhoht:

α · u(t) → α · y(t). (2.2)

Diese Eigenschaft eines linearen Systems nennt man Homogenitat.Wird die Summe von zwei Signalen u1(t) und u2(t) mit

u1(t) → y1(t)

u2(t) → y2(t)(2.3)

auf das System gegeben, so erscheint arn Ausgang ebenfalls die Summe derentsprechenden Ausgangssignale:

u1(t) + u2(t) → y1(t) + y2(t). (2.4)

Die Gultigkeit dieses Superpositionsprinzips ist von essentieller Bedeutungfur die mathematische Behandlung von linearen Systemen im Zeit-und Fre-quenzbereich (Fourier, Laplace- und Z-Transformation) [2].

3

Die Kombination der Eigenschaften (2.2) und (2.4) fuhrt zu folgendem wichti-gen Satz:

Satz 2.1 Ein lineares System ist ein System mit der Eigenschaft

α · u1(t) + β · u2(t) → α · y1(t) + β · y2(t). (2.5)

Dabei sind α und β beliebige reelle Konstanten.

In diesem Zusammenhang soll auch der haufig auftretende Begriff der Kausa-

litat erklart werden. Hat das Signal u(t) die Eigenschaft

u(t) = 0, fur t < 0, (2.6)

so folgt fur ein kausales System die Bedingung

y(t) = 0, fur t < 0. (2.7)

In Worten ausgedruckt bedeutet dies, dass ein kausales System kein Ausgangs-signal liefert, solange kein Eingangssignal angelegt wird. Technisch realisierbareSysteme sind immer kausal.Ein zeitinvariantes System liefert fur ein bestimmtes Eingangssignal immerdas gleiche Ausgangssignal, unabhangig vom Zeitpunkt der Einspeisung des Si-gnals u(t).

u(t− τ) → y(t− τ), −∞ < τ < +∞. (2.8)

Satz 2.2 Ein lineares, zeitinvariantes System (und nur ein lineares zeitinva-riantes System), welches mit einem beliebigen Eingangssignal gespeist wird, hatdie Eigenschaft, dass das Spektrum des Ausgangssignals keine Frequenzkompo-nenten enthalt, die nicht schon im Spektrum des Eingangssignals vorhandenwaren.

Kapitel 3

Nichtlineare Systeme

Der Satz (2.2) wird nun fur die Definition von nichtlinearen Systemen heran-gezogen:

Satz 3.1 Alle Systeme, die Satz (2.2) nicht erfullen, sind nichtlinear.

Mit dieser Definition werden die zeitvarianten linearen Systeme ebenfalls zuden nichtlinearen Systemen gezahlt. Dies ist aber gerechtfertigt, da zeitvariantelineare Systeme oft durch nichtlineare ersetzt werden konnen und umgekehrt [3].Reale Systeme sind naturlich immer nichtlinear, da sich das Homogenitatsprinzip(2.2) nie fur beliebig grosse Konstanten α anwenden lasst (Begrenzungseffekt).Hingegen kann man nichtlineare Systeme oft in einem linearen Teilbereich be-treiben bzw. dort genugend genau als lineares System approximieren.

3.1 Anwendungen von Nichtlinearitaten

Folgende Elemente werden zufolge ihrer nichtlinearen Charakteristik fur dieSignalverarbeitung eingesetzt:

DieGleichrichterdiode: Das wohl bekannteste Beispiel eines spannungs-abhangigen Widerstandes.

DieKapazitatsdiode (Varicap): Ein Element mit spannungsabhangigerKapazitat zur elektronischen Abstimmung von Schwingkreisen.

Es werden aber nicht nur einzelene Elemente, sondern ganze nichtlineare Syste-me eingesetzt, z.B.:

Spannungsgesteuerte Oszillatoren (VCO’s) in Phasenregelkreisen (PLL’s).

Multiplikatoren fur Modulation und in der Analogrechentechnik (z.B.Doppel-Gate MOS-FET).

Schaltungen mit speziellen Kennlinien fur Frequenzvervielfachung(Abschnitt 3.1.1) und Mischung (3.1.2).

3.1. ANWENDUNGEN VON NICHTLINEARITATEN 5

3.1.1 Frequenzvervielfachung mittels spezieller Kennlini-

en

In der Nachrichtentechnik ist man haufig mit dem Problem konfrontiert, eineFrequenz zu erzeugen, die ein ganzzahliges Vielfaches einer gegebenen Frequenzbetragt. Dies geschieht haufig dadurch, dass ein harmonisches Signal mit derFrequenz ω0 auf eine Nichtlinearitat eingespeist wird und aus dem entstehendenverzerrten Signal die Komponente mit der gewunschten Frequenz nω0 ausgefil-tert wird.Die Frequenzvervielfachung an einer idealen Diodenkennlinie

y(t) =

{

u(t), u(t) ≥ 0

0, sonst(3.1)

soll im folgenden gezeigt werden (Abbildung 3.1):

u(t) y(t)y

u

Abbildung 3.1: Frequenzvervielfachung an der Diodenkennlinie.

Das Eingangssignal fur diese Nichtlinearitat sei

u(t) = sinω0t. (3.2)

Das Ausgangssignal kann nun in eine Fourierreihe zerlegt werden. Diese Zerle-gung ergibt [5]:

y(t) =1

π+

1

2sinω0t−

2

π

∞∑

n=1

cos 2nω0t

4n2 − 1(3.3)

y(t) enthalt also neben einem konstanten Term und der Grundwelle alle gerad-zahligen Harmonischen der Grundwelle. Mit einem Bandpass kann die gewunschte

8 6 4 2 0 2 4 6 8

u(t) y(t)

y

u

ωm = nω0

r(t)

Abbildung 3.2: Ausfilterung einer Harmonischen.

Harmonische ausgefiltert werden (Abbildung 3.2).Die Amplituden ersten drei erscheinenden Harmonischen ergeben sich zu:

A2 = 0.212 (2. Harmonische),

A4 = 0.042 (4. Harmonische),

6 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME

A6 = 0.018 (6. Harmonische).

Man sieht, dass gerade noch die zweite Harmonische mit einer brauchbarenAmplitude erscheint; eine Diodenkennlinie kann also nur fur die Frequenzver-doppelung effizient eingesetzt werden.Anstatt nun eine ganze Reihe unerwunschter Harmonischer zu erzeugen, derenUnterdruckung technisch aufwendig ist - vor allem wenn ω0 in einem weitenBereich variiert werden soll - kann man sich fragen, ob es moglich ware, einenichtlineare Kennlinie zu finden, die nur die gewunschte Harmonische mit derFrequenz nω0 liefert.Es ist also eine Nichtlinearitat zu suchen, die aus u(t) folgendes y(t) erzeugt:

u(t) = cosω0t, y(t) = cosnω0t. (3.4)

Zur Vereinfachung werde u := u(t) und y := y(t) gesetzt und ω0t in (3.4)eliminiert:

ω0t = arccosu, y = cos(n arccosu). (3.5)

(3.5) ist die trigonometrische Form der sogenannten Tschebyscheffschen Po-

lynome, falls n ganzzahlig ist.Man kann nun dieses Polynom zum Beispiel fur n = 3 berechnen. Mit Hilfe derSatze von Moivre [5] findet man das Ausgangssignal y(t):

y(t) = cos 3ω0t = 4 cos3 ω0t− 3 cosω0t. (3.6)

Setzt man u = cosω0t ein, so erhalt man das Tschebyscheffsche Polynom dritterOrdnung:

y = 4u3 − 3u. (3.7)

Das nichtlineare System muss also die Kennlinie y(u) gemass 3.7 aufweisen.Wie man leicht einsehen kann, wird eine Realisierung der Kennlinie fur n > 3schwierig.

3.1.2 Mischung und Modulation

Eine zweite Moglichkeit zur Erzeugung neuer Frequenzen besteht in der mul-

tiplikativen Verknupfung eines Signals s(t) mit einer harmonischen Schwin-gung cosω0t bzw. ganz allgemein mit einem periodischen Hilfssignal f(t) (Ab-bildung 3.3). Das periodische Hilfssignal kann geschrieben werden als

f(t) =

∞∑

n=−∞

cnejnω0t. (3.8)

Es ergibt sich dabei eine Verschiebung des Spektrums S(ω) auf der Frequen-zachse (Frequenztranslation) gemass Abbildung 3.4. Je nach Anwendungszweckwird dieser Vorgang als Mischung oder Modulation bezeichnet. LetztererBegriff wird vor allem dann angewendet, wenn ein Basisbandsignal in eineTragerfrequenzlage transportiert wird. Abbildung 3.5 zeigt als Beispiel die spek-tralen Verhaltnisse bei Zweiseitenbandmodulation (Double Sideband Modulati-on, DSB).Die Frequenzverschiebung kann direkt mit Hilfe eines Multiplikators erfol-

gen, der das Produkt des Signals s(t) mit dem Signal f(t) = cosω0t bildet. Indiesem Fall spricht man von einer Produktionsmodulation bzw. von einermultiplikativen Mischung (3.6).

3.1. ANWENDUNGEN VON NICHTLINEARITATEN 7

s(t)

f(t)

y(t)Mischer

Abbildung 3.3: Mischer.

|Y (ω)|, |S(ω)|

Y (ω)

−ω0 ω0

ω

S(ω)

Abbildung 3.4: Verschiebung des Spektrums s(t) mit einem periodischen Hilfs-signal.

Die Wirkung der Frequenztranslation durch diese Multiplikation lasst sichfolgendermassen zeigen: Zunachst ersetzt man cosω0t mit Hilfe der Eu1erschenBeziehung:

cosω0t =1

2

(

e−jω0t + ejω0t)

. (3.9)

Die Multiplikation von s(t) und f(t) ergibt also:

y(t) =1

2

(

s(t)e−jω0t + s(t)ejω0t)

. (3.10)

Wird (3.10) in den Frequenzbereich transformiert, so erhalt man mit dem Ver-schiebungssatz der Fouriertransformation [3] den Ausdruck

Y (ω) =1

2S(ω − ω0) +

1

2S(ω + ω0). (3.11)

Die Realisierung von Analog-Multiplikatoren ist aber oft aufwendig und nur ineinem beschrankten Frequenzbereich moglich. Ist die Tragerfrequenz sehr vielgrosser als die Signalbandbreite, lassen sich darum mit Vorteil andere Methodenverwenden, bei denen zusatzliche unerwunschte Frequenzkomponenten entste-hen, die aber zufolge der relativ grossen Frequenzabstande einfach weggefiltertwerden konnen. Ein Beispiel dafur ist der Schaltermodulator.Ein Schaltermodulator kann als “halbanaloger” Multiplikator aufgefasst werden,der die mu1tiplikative Verknupfung des analogen Signals s(t) nicht mit einerharmonischen Schwingung, sondern mit einer Schaltfunktion ausfuhrt. Gleich-bedeutend ist die Interpretation des Schaltermodulators als zeitvariantes Ele-

ment (siehe Abschnitt 3.2).In Hochfrequenzgeraten wird haufig die sog. additive Mischung verwendet.Dabei werden die beiden Signale s(t) und cosω0t zuerst addiert und anschlies-send auf ein nichtlineares Element gegeben (Abbildung 3.7).

8 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME

|Y (ω)|, |S(ω)|

S(ω)

ω0−ω0

Y (ω)

ω

Abbildung 3.5: DSB-Modulation.

s(t) y(t)

f(t) = cosω0t

π

Abbildung 3.6: Produkttmodulation bzw. multiplikative Mischung.

Die Nichtlinearitat sei als Potenzreihe gegeben:

y = a0 + a1u+ a2u2 + a3u

3 + . . . . (3.12)

Mit

u = s(t) + cosω0t (3.13)

erhalt man den Ausdruck

y(t) = a0 + a1(s(t) + cosω0t)

+ a2(s(t) + cosω0t)2

+ a3(s(t) + cosω0t)3

+ . . .

= a0 + a1s(t) + a1 cosω0t

+ a2s2(t) + 2a2s(t) cosω0t+ a2 cos

2(ω0t)

+ a3s3(t) + 3a3s

2(t) cosω0t+ 3a3s(t) cos2(ω0t)

+ a3 cos3(ω0t)

+ . . . . (3.14)

Nach einem Bandpassfilter mit der Mittenfrequenz ω0 ergibt sich folgendes Si-

3.2. ZEITVARIANTE SYSTEME 9

8 6 4 2 0 2 4 6 8

s(t) u(t) y(t) z(t)

cosω0t

Σ

Abbildung 3.7: Additive Mischung.

gnal:

z(t) =a1 cosω0t+ 2a2s(t) cosω0t

+ 3a3s2(t) cosω0t+

3

4a3 cosω0t

+ . . . . (3.15)

Man erkennt, dass also auch bei der additiven Mischung das Produkt s(t) cosω0t

entsteht. Die zusatzlichen Summanden sind aber unerwunscht, somit eignet sichlediglich die Nichtlinearitat

y = a0 + a2u2. (3.16)

Bei Empfangern fur Amplitudenmodulation mit Trager (AM) und Frequenzmo-dulation (FM) der Term a1 cosω0t allerdings nicht, da dieser bei AM-Demodulationeine Gleichkomponente und bei FM-Demodulation gar kein Ausgangssignal er-zeugt. Deshalb kann auch die Form

y = a0 + a1u+ a2u2 (3.17)

verwendet werden.Fur additive Mischstufen werden heute wegen ihrer beinahe quadratischen Kenn-linie haufig Feldeffekttransistoren eingesetzt. Im “Rohrenzeitalter” verwendeteman spezielle Mischrohren, deren Kennlinien sich ebenfalls gut durch eine Pa-rabel beschreiben lassen. Bei Mischstufen mit bipolaren Transistoren ist mangezwungen, die Aussteuerung sehr klein zu halten, damit der Einfluss der kubi-schen und hoheren Glieder vernachlassigbar bleibt. Damit wird aber auch dasAusgangssignal klein und der Gerauschabstand des Ausgangssignals schlechter.Bei sehr hohen Frequenzen werden keine aktiven Elemente mehr verwendet. DieNichtlinearitat wird dann durch Dioden oder Kapazitatsdioden gebildet.

3.2 Zeitvariante Systeme

Zeitvariante Systeme wie z.B. der Schaltermodulator werden haufig als Ersatznichtlinearer Systeme verwendet, da sie einfach zu realisieren sind.In Abschnitt 3.1.2 wurde erlautert, dass der Frequenzumsetzung eine Multipli-kation des Signals s(t) mit einer harmonischen Schwingung zugrunde liegt. DieVerwendung eines Multiplikators (multiplikative Mischung) lasst sich umgehen,wenn Signal und harmonische Schwingung addiert, auf ein geeignetes nichtli-neares Element gegeben und dann die unerwunschten Frequenzkomponentenweggefiltert werden (additive Mischung).Eine weitere Moglichkeit ist die Verwendung einer periodischen Funktion, die

10 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME

die gewunschte Harmonische enthalt, deren zeitlicher Verlauf aber eine tech-nisch besonders einfach realisierbare Multiplikation ermoglicht. Dies ist bei derRechteckschwingung p(t) der Fall (Abbildung 3.8).Eine Multiplikation von s(t) mit p(t) entspricht einem periodischen Ein- und

p(t)

1

0T

τ

t

Abbildung 3.8: Rechteckschwingung.

Ausschalten des Signals s(t) (Abbildung 3.9). Deshalb bezeichnet man eine An-ordnung, die diese Operation durchfuhrt, als Schaltermodulator. Dabei ist p(t)die sog. Schaltfunktion. Wird p(t) als Fourierreihe angeschrieben, so erhalt man

s(t) y(t)

p(t)

Abbildung 3.9: Prinzip des Schaltermodulators.

das Ausgangssignal y(t) zu

y(t) =

∞∑

n=−∞

s(t)cnejnω0t, ω0 =

2π

T. (3.18)

cn sind die komplexen Fourierkoeffizienten der Rechteckschwingung. Die Trans-formation in den Frequenzbereich erfolgt mit Hilfe des Verschiebungssatzes.Abbildung 3.10 zeigt das Resultat.Mit Hilfe eines Bandpassfilters mit der Charakteristik H(ω) wird nun das

gewunschte Frequenzband bei ω0 herausgefiltert.Eine bekannte Schaltungsanordnung fur einen Schaltermodulator ist der Ring-

modulator (Abbildung 3.11).Es handelt sich hier um einen sogenannten Gegentakt-Modulator (engl.: ba-lanced modulator). Es wird eine bipolare symmetrische Rechteckschwingungzur Steuerung der Diodenschalter verwendet (Abbildung 3.12). Vorteile dieserSchaltung: Siehe Aufgabe 4.3.

3.3. UNERWUNSCHTE NICHTLINEARITATEN 11

S(ω)

H(ω)

Y (ω)

ω0 2ω0

ω

Abbildung 3.10: Spektren von s(t) und y(t).

s(t) y(t)

p′(t)

Abbildung 3.11: Ringmodulator.

3.3 Unerwunschte Nichtlinearitaten

In Nachrichtensystemen treten oft Nichtlinearitaten auf, die nicht erwunschtsind, so zum Beispiel dann, wenn ein additiver Mischer nach Abschnitt 3.1.2hohere Nichtlinearitaten als solche zweiten Grades erhalt. Aber auch jeder Verstarkerweist Nicht1inearitaten auf, da er von einer gewissen Eingangsspannungsgrenzean ubersteuert wird.

3.3.1 Verzerrung eines Signals an einer Nichtlinearitat

Die Auswirkung einer Nichtlinearitat auf eine sinusformige Schwingung zeigtAbbildung 3.13. Das verzerrte Signal ist wieder periodisch, enthalt aber zusatzlicheFrequenzkomponenten. Den Grad der Verzerrung druckt man durch den Klirr-

faktor aus. Er ist gleich der Wurzel aus dem Verhaltnis der Leistung samtlicherOberwellen zu der Wechselstromleistung des Gesamtsignals und wird meistensin Prozent angegeben.Sei An die Amplitude der n-ten Teilschwingung, so ergibt sich der Klirrfaktorzu

k =

√

A2

2+A2

3+ . . .

A2

1+A2

2+ . . .

· 100%. (3.19)

12 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME

0

1

p′(t)

−1

T2

T

t

Abbildung 3.12: Bipolare symmetrische Schwingung.

y

t

t

y = f(u)

u

0

Abbildung 3.13: Verzerrung eines sinusformigen Signals an einer Nichtlinearitat.

3.3.2 Intermodulation und Kreuzmodulation

Im letzten Abschnitt wurde der Einfluss der Nichtlinearitat auf eine einzelneharmonische Schwingung untersucht. Im folgenden soll nun die Wirkung einerNichtlinearitat auf ein Signal, das aus mehreren harmonischen Schwingungenunterschiedlicher Frequenz besteht, untersucht werden.Das Signal u(t) setze sich zunachst aus zwei harmonischen Schwingungen zu-sammen:

u(t) = A1 cosω1t+A2 cosω2t. (3.20)

3.3. UNERWUNSCHTE NICHTLINEARITATEN 13

Die Nichtlinearitat sei wieder als Potenzreihe (3.12) gegeben. Fur das Ausgangs-signal y(t) erhalt man nach einigen Berechnungen den Ausdruck

y(t) = a0 + a1 (A1 cosω1t+A2 cosω2t)

+ a2 (A1 cosω1t+A2 cosω2t)2

+ a3 (A1 cosω1t+A2 cosω2t)3

+ . . .

= a0 + a1A1 cosω1t+ a1A2 cosω2t

+ a2

{A2

1+A2

2

2+

A2

1

2cos 2ω1t+

A2

2

2cos 2ω2t

+A1A2 cos(ω1 + ω2)t+A1A2 cos(ω1 − ω2)t}

+ a3

{A3

1

4cos 3ω1t+

A3

2

4cos 3ω2t

+3

4A1(A

2

1+ 2A2

2) cosω1t+

3

4A2(2A

2

1+A2

2) cosω2t

+3

4A1A

2

2cos(ω1 + 2ω2)t+

3

4A1A

2

2cos(ω1 − 2ω2)t

+3

4A2

1A2 cos(2ω1 + ω2)t+

3

4A2

1A2 cos(2ω1 − ω2)t

}

+ . . . . (3.21)

y(t) enthalt offensichtlich Anteile an harmonischen Schwingungen, deren Fre-quenzen Linearkombinationen von Vielfachen der beiden Grundfrequenzen ω1

und ω2 sind. Die Kombinationen, die sowohl ω1 als ω2 enthalten, bezeichnetman als Intermodulationsfrequenzen.Besteht das Eingangssignal aus drei harmonischen Schwingungen, so enthaltdas Ausgangssignal ebenfalls eine Vielzahl neuer Frequenzkomponenten. EineMoglichkeit, diese darzustellen, zeigt Abbildung 3.14. Die auftretenden Fre-quenzkomponenten werden auf einer Pyramide eingetragen. Die Vielfachen derGrundfrequenzen befinden sich auf den Kanten der Pyramide. Die Intermo-du1ationsfrequenzen aus je zwei der Grundfrequenzen liegen auf den Seiten-flachen. Jede Schnittebene der Pyramide entspricht einem Grad der Nichtlinea-ritat.Besonders interessant sind nun die Terme, die alle drei Frequenzkomponentenenthalten; sie liegen innerhalb der Pyramide und treten erst vom dritten Gradan auf. Die drei Frequenzen seien ω1, ω2 und ω3 = ω2 ±∆ω Dann erhalt manunter anderem die Frequenzkombination

ω1 − ω2 + ω3 = ω1 ±∆ω. (3.22)

Dies hat nun folgende Konsequenz: Besteht ein Signal aus einem amplituden-modulierten Signal mit Trager ω1 und einem zweiten Trager ω2, so ubernimmtdieser zweite Trager die Modulation des ersten! Diesen Effekt bezeichnet man alsKreuzmodulation. Sind beide Trager amplitudenmoduliert, so ubernehmendie Trager gegenseitig die Modulation des andern.

14 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME

0

ω1 ω2

ω3

2ω1 ω1 ± ω2

ω3 ± ω1

2ω2

ω2 ± ω3

2ω3

3ω1 2ω1 ± ω2

ω3 ± 2ω1

ω1 ± 2ω2

ω3 ± ω2 ± ω1

2ω3 ± ω1

3ω2

ω3 ± 2ω2

2ω3 ± ω2

3ω3

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

Abbildung 3.14: Intermodulations- und Kreuzkorrelationskomponenten.

Kapitel 4

Theoretische Aufgaben

4.1 Frequenzvervielfachung

Man berechne die Tschebyscheffschen Polynome, die eine Frequenzverdoppelungund eine Frequenzvervierfachung bewirken.

4.2 Additive Mischung

Es soll eine moglichst gute quadratische Kennlinie fur additive Mischung gefun-den werden. Unter “moglichst gut” sei maximale Amplitude des Ausgangssignalsy(t) verstanden. Es sei die Normierung

|u(t)| < 1 und

|y(t)| < 1.

gegeben.Man suche nach Bedingungen, die diese Kennlinien erfullen soll und finde darausheuristisch je die optimalen Kennlinien fur die Falle

a1 = 0 und

a1 6= 0.

Siehe auch (3.16) und (3.17).

4.3 Schaltermodulator

a) Man berechne die Fourierkoeffizienten der Schwingung p(t) (Abbildung3.8) und p′(t) (Abbildung 3.12). Warum gibt man der Schwingung p′(t)den Vorzug?

b) Der Ringmodulator nach Abbildung 3.11 fuhrt eine Multiplikation mitp′(t) durch. Man erklare seine Funktionsweise.

16 KAPITEL 4. THEORETISCHE AUFGABEN

4.4 Nichtlineare Verzerrungen

Das Signal

u(t) = A cosω0t

werde an der Nichtlinearitat

y =u3

A2

verzerrt. Man berechne den Klirrfaktor von y(t).

Kapitel 5

Praktische Aufgaben

Man beachte die am Versuchsplatz aufliegenden Bedienungshinweise fur die“programmierbare Nichtlinearitat” und den “Frequenz-Multiplexer und -Demultiplexer”.

5.1 Frequenzvervielfachung

Es soll eine Frequenzvervielfachung an den Tschebyscheffschen Polynomen T2,T3 und T4 vorgenommen werden.

a) Man stelle die Koeffizienten des Polynoms an der programmierbaren Nicht-linearitat ein. Fur x werde ein Sinussignal von 1 kHz verwendet, wobei|xmax| = 1 (, Ansprechen der Uebersteuerungsanzeige) sei. Mittels derKlirrfaktormessbrucke sollen nun die Koeffizienten solange variiert wer-den, bis der Klirrfaktor des Ausgangssignals minimal ist.Man stelle die Polynome auf dem Kathodenstrahl-Oszillographen dar.

b) Man untersuche qualitativ den Einfluss der Variation der Koeffizientender Nichtlinearitat auf das Ausgangssignal sowohl im Zeit- als auch imFrequenzbereich.

c) Man untersuche den Einfluss der Variation der Amplitude des Eingangssi-gnals auf das Ausgangssignal sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich.

d) Man wahle fur das Eingangssignal ein Sinussignal der Frequenz 10 kHz.Warum wird das Ausgangssignal “schoner”?

5.2 Additive Mischung

Als Eingangssignal fur die Nichtlinearitat soll das Summensignal aus einem3 kHz- und einem 10 kHz-Signal verwendet werden. Wie kann dieses Summensi-gnal mit den zur Verfugung stehenden Mitteln realisiert werden?Man stelle die in Aufgabe 4.2 gefunden Polynome an der Nichtlinearitat ein.Man betrachte das Ausgangssignal im Frequenzbereich und im Zeitbereich unduntersuche den Einfluss des Koeffizienten a1.

18 KAPITEL 5. PRAKTISCHE AUFGABEN

5.3 Inter- und Kreuzmodulation

a) Das in 5.2 verwendete Summensignal wird wieder auf die Nichtlinearitatgegeben. Man variiere nun alle Koeffizienten der Nichtlinearitat und veri-fiziere das Erscheinen der in Abbildung 3.14 angegebenen Frequenzkom-ponenten.

b) Um die Kreuzmodulation zu untersuchen, werde folgendes Experimentgemacht:

ω2 sei der zur Verfugung stehende 10 kHz-Trager,

∆ω moduliert ω2 und sei ein Musiksignal (an “IN2”),

ω1 sei null (Gleichstrom).

Man verzerre das Summensignal nun durch eine geeignete Nichtlinea-ritat. Ohne Verzerrung ware am Ausgang “OUT1” nichts vorhanden. MitVerzerrung sollte ein unverstandliches Signal bei Intermodulation undzusatzlich ein verstandliches Signal bei Kreuzmodulation zu horen sein.Man untersuche den Einfluss der Variation des Koeffizienten a3 und desGleichstrom-Pegels an “IN1” auf eben diesen verstandlichen Anteil. Warumverschwindet er nicht, auch dann nicht, wenn a3 und der Gleichstrom-Pegelnull sind?

5.4 Nichtlineare Verzerrung

Man verifiziere die in 4.4 ausgefuhrte Berechnung.

Literaturverzeichnis

[1] M. Schnetzen, Linear Time-Invariant Systems. Wiley-IEEE Press, 2002.

[2] Institut fur Kommunikationstechnik ETH, Harmonische Signalanalyse, GLFVersuch.

[3] H. Bolcskei, “Signale und systeme I,” Vorlesung an der ETH Zurich, D-ITET, 2002.

[4] A. Wittneben, “Communication systems,” Vorlesung an der ETH Zurich,D-ITET, 2002.

[5] I. Bronstein and K. Semendjanew, Taschenbuch der Mathematik. 6.Auflage,Verlag Harri Deutsch, 2005.