Fachhochschule AachenCampus Jülich

Fachbereich: Medizintechnik und TechnomathematikStudiengang: Scientific Programming

Exakte und effiziente Bestimmung der positiven, reellen

Nullstellen von Polynomen bis zu vierten Grades für

statistische (Monte Carlo) Simulation von Flugbahnen

mit algebraisch beschriebenen Hindernissen

Seminararbeit

vorgelegt vonSophia VorderwülbeckeMatrikelnummer 4006084Jülich, den 17.12.2015

Diese Arbeit wurde betreut von:Prof. Dr. Melanie HollsteinProf. Dr. Detlev Reiter

Eigenständigkeitserklärung

Hiermit versichere ich, dass ich die Seminararbeit mit dem Thema

„Exakte und effiziente Bestimmung der positiven, reellen Nullstellen von Po-lynomen bis zu vierten Grades für statistische (Monte Carlo) Simulation vonFlugbahnen mit algebraisch beschriebenen Hindernissen“

selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittelbenutzt habe, alle Ausführungen, die anderen Schriften wörtlich oder sinngemäß ent-nommen wurden, kenntlich gemacht sind und die Arbeit in gleicher oder ähnlicher Fas-sung noch nicht Bestandteil einer Studien- oder Prüfungsleistung war.

Jülich, den 17.12.2015

————————————————Sophia Vorderwülbecke

Zusammenfassung

Thema der Seminararbeit ist die Bestimmung der Nullstellen von kubischen bzw. quar-tischen Polynomen unter Aussortierung von Komplexen und Negativen. Die Berechnungvon reellen Nullstellen wird zur Schnittpunktbestimmung von Geraden mit algebraischenFlächen, die zum Beispiel in der Form eines Torus auftreten können, benötigt. Zuerstwird anhand von Beispielen deutlich gemacht, wie die Punkte, in denen Gerade undFläche bzw. Graph einer Funktion sich kreuzen, im Raum liegen können. Dabei werdenauch komplexe Schnittpunkte in den Fokus genommen.Da die verwendete Berechnungsmethodik teilweise abhängig vom Grad des Polynomsist, wird im Folgenden zwischen kubischen und quartischen Polynomgleichungen unter-schieden. Allgemein wird unter Ausgrenzung einiger Sonderfälle zuerst eine Tschirnhaus-Transformation durchgeführt und anschließend werden, je nachdem, ob ein Polynomdritten oder vierten Grades vorliegt, die cardanischen Formeln oder die kubische Resol-vente als theoretische Grundlage zum Bestimmen der Lösung genutzt. In Anwendungder cardanischen Formeln, bei Vorliegen eines kubischen Polynoms, wird die Diskrimi-nante als Fallunterscheidungskriterium genutzt. Bei der Abhandlung eines quartischenPolynoms mittels kubischer Resolvente wird auf das Vorgehen, das bei kubischen Glei-chungen angewendet wird, zurückgegriffen.Anschließend wird erläutert, wie das Programm auf den vorher dargestellten theoreti-schen Grundlagen aufbaut und wie es strukturiert ist. Dies wird an einem Diagrammveranschaulicht. Darüber hinaus wird ein Beispieldurchlauf aufgezeigt.Zum Schluss wird hervorgehoben, inwiefern Anforderungen und Qualitätsmaßstäbe indem Programm umgesetzt wurden und inwieweit noch Verbesserungmöglichkeiten be-stehen.

Inhaltsverzeichnis

1 Praktischer Zusammenhang und Motivation 1

2 Grundlegendes 32.1 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Satz von Abel-Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Schnittpunkte 43.1 Von Geraden mit ebenen, algebraischen Kurven (2D) . . . . . . . . . . . 43.2 Von Geraden mit algebraischen Flächen im Raum (3D) . . . . . . . . . . 53.3 Spezialfall: Von Geraden mit Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3.1 Herleitung: Torusgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3.2 Weitere Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Lösen kubischer Gleichungen 94.1 Tschirnhaus-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Cardanische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.2 Fallunterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3 Aussortieren von komplexen und negativen Nullstellen . . . . . . . . . . 13

5 Lösen quartischer Gleichungen 155.1 Tschirnhaus-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Sonderfälle (mit Aussortieren der komplexen Nullstellen) . . . . . . . . . 155.3 Die kubische Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.3.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.2 Bestimmen der Lösungen im allgemeinen Fall . . . . . . . . . . . 18

5.4 Aussortieren von komplexen Nullstellen im allgemeinen Fall . . . . . . . 18

6 Programm 206.1 Aufbau des Programms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2 Anforderungen an die Eingabe-Dateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3 Beispieldurchlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7 Fazit und Ausblick 24

I

Abbildungsverzeichnis

3.1 Maximale Schnittpunktanzahl einer Geraden mit einer Funktion . . . . . 43.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einer algebraischen Fläche . . . . . . . 53.3 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.1 Programmablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2 Plot des Polynoms x3 − 4x2 + 5x− 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Plot des Polynoms x4 − 8x2 + 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II

1 Praktischer Zusammenhang undMotivation

Das IEK-4 entwickelt mathematische Modelle, welche Berechnungen und Vorhersagenüber das Plasma in Fusionsreaktoren, wie zum Beispiel ITER, möglich machen. Dabeiliegt der Fokus in diesem Institut auf Simulationen des Plasmas im wandnahen Bereich.Um die Bewegungen der neutralen Teilchen unter bestimmten plasmaphysikalischen Vor-aussetzungen verfolgen zu können, wird seit langem das Monte-Carlo-Programm EI-RENE (www.eirene.de) genutzt, dessen zugrundeliegende Modelle über die Zeit immerweiter verfeinert werden.Wie grundsätzlich in allen Monte Carlo Transportcodes, ist auch in EIRENE ein Teil-problem die effiziente und genaue Bestimmung der Punkte, in denen die Testteilchenauf die Begrenzungsflächen mit räumlich unterschiedlichen Plasmabedingungen oder dieWand des Reaktors treffen. Diese sind unter anderem von besonderem Interesse, dadie Teilchen beim dortigen Auftreffen möglicherweise zu Erosionsprozessen führen unddamit die Lebensdauer des Reaktors negativ beeinflussen können. Bisher werden diesePunkte im EIRENE-Code zwar berechnet, aber nicht mit der Genauigkeit, mit der es ei-gentlich möglich wäre. Denn die Grenzflächen oder die Reaktorwand, die die Form einesTorus hat, werden durch schräg abgeschnittene Zylinder simuliert, wodurch beständigvermeidbare Ungenauigkeiten in die Rechnung mit einfließen.In der vorliegenden Seminararbeit wird die Berechnung der Schnittpunkte verbessert, in-dem die Bahn der Testteilchen wie bisher durch eine Geradengleichung, aber die Grenz-flächen oder das Reaktorgefäß gegebenenfalls auch durch eine Gleichung höherer alszweiter Ordnung, z.B. als ein elliptischer Torus, beschrieben werden. Um die Schnitt-punkte der Geraden mit der Fläche zu berechnen, wird die Geradengleichung in dieFlächengleichung eingesetzt. Im Folgenden erhält man, indem die Normierung der Gera-dengleichung vorausgesetzt wird, letztendlich eine quartische Gleichung, deren Lösung,eingesetzt in die Geradengleichung, den bzw. die gesuchten Schnittpunkte ergibt.Relevant sind nur die Lösungen der Gleichung, die weder komplex, noch negativ sind.Denn komplexe Lösungen wurden in der Mathematik ursprünglich ausschließlich einge-führt, um Polynomgleichungen beliebigen Grades immer formal lösbar zu machen (Fun-damentalsatz der Algebra), beim vorliegenden konkreten Problem von Teilchenbahnenim reellen physikalischen Raum spielen sie jedoch keine Rolle. Die negativen Lösungenbeschreiben Punkte, die zwar auf der Gerade der Flugbahn, jedoch in Flugrichtung hin-ter dem Startpunkt des jeweiligen Teilchens liegen. Daher sind diese Punkte ebenfallsnicht von Interesse.

1

Da die Startpunkte und Flugrichtungen aus einem sogenannten Monte Carlo Verfahrenerwürfelt werden, und pro Lauf gegebenenfalls viele Millionen Male sehr genau bestimmtwerden müssen, sind Genauigkeit, Effizienz und Robustheit des Algorithmus besonderswichtig.

2

2 Grundlegendes

In diesem Kapitel werden grundlegende Beweise und Hintergründe dargestellt, die imFolgenden benötigt werden.

2.1 Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra, zum ersten Mal 1799 von Carl Friedrich Gauß bewie-sen, besagt, dass für jedes nicht-konstante, komplexe Polynom beliebigen Grades

P (x0) = a0 + a1x+ . . .+ anxn ∈ C[x]

genau n Nullstellen in C mit P (x) = 0 existieren.1 Diese können jedoch komplex seinund müssen in diesem Fall aus den in Kapitel 1 angesprochenen Gründen aussortiertwerden. Zwei Beweismöglichkeiten sind unter [bit06] nachzulesen.

2.2 Satz von Abel-Ruffini

Über den Fundamentalsatz der Algebra hinaus, hat Niels Hendrik Abel 1824 auf Grund-lage einer Veröffentlichung von Paolo Ruffini bewiesen, dass nur Polynomgleichungenbis zu (eingeschlossen) vierten Grades durch Radikale2 auflösbar sind. Das heißt für dieLösungen von Polynomgleichungen höheren Grades gibt es keine geschlossene Form, undsomit können die Nullstellen allgemein nicht algebraisch exakt, sondern nur numerischberechnet werden. Évariste Galois entwickelte später eine Theorie über die Symmetriender Nullstellen von Polynomen, in der er beweist, dass diese Symmetrien in Gruppenkategorisierbar sind. Damit ist der Satz von Abel einfacher zu beweisen (siehe dazu[abl15]). Die in Kapitel 1 erwähnten Anforderungen, insbesondere die Exaktheit, könnendementsprechend für Polynome bis zu vierten Grades gewährleistet werden.

1Dazu ist zu erwähnen, dass mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezählt werden.2Wurzelausdrücke

3

3 Schnittpunkte

3.1 Von Geraden mit ebenen, algebraischen Kurven(2D)

Wie viele Schnittpunkte von Geraden mit Kurven es im zweidimensionalen Raum gibt,ist abhängig vom Grad1 der Funktion. Für die maximale Anzahl an reellen Schnitt-punkten gilt, dass diese gleich dem Grad ist. Ausgenommen ist der Fall des Schnittszweier Geraden, denn es kann sein, dass die Geraden identisch sind. Dementsprechendgäbe es unendlich viele Lösungen. Die minimale Anzahl an reellen Schnittpunkten voneiner Geraden mit einer Funktion geraden Grades ist in jedem Fall null und mit ei-ner Funktion ungeraden Grades in jedem Fall eins, was durch das Monotonie-Verhaltenzu erklären ist. Funktionen mit einem ungeraden Grad verlaufen immer gegen +∞ und−∞, wohingegen Funktion geraden Grades entweder nur gegen +∞ oder −∞ gehen. Daauch eine Gerade unendlich ist, entsteht bei Funktionen mit ungeradem Grad zwingendmindestens ein Schnittpunkt.

−2 −1 1 2

−2

2

4

x

y

(a) 3. Grades

−2 −1 1 2

−2

2

4

x

y

(b) 4. Grades

Abbildung 3.1: Maximale Schnittpunktanzahl einer Geraden mit einer Funktion

Die obige Graphik stellt in zwei Beispielen die maximale Anzahl an nicht-komplexenSchnittpunkten von Gerade und Graph einer kubischen beziehungsweise quartischen

1Exponent des Leitkoeffizienten

4

Funktion dar. Um passende Beispiele zu finden, sind zuerst geeignete Nullstellen zuwählen und anschließend mittels dieser Funktionen der Form

P (x) = (x− x0) · (x− x1) · . . . · (x− xn)

zu bestimmen, wobei die xi mit i = 0, . . . , n die gewählten Nullstellen sind.Die Schnittpunkte können zum Beispiel durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungenberechnet werden.

3.2 Von Geraden mit algebraischen Flächen im Raum(3D)

Auch bei den Schnitten von Geraden mit verschiedenen, algebraischen Flächen im Raum,ist die Anzahl an reellen und komplexen Schnittpunkten gleich dem Grad der Flächen-gleichung. Das ist in den folgenden Beispielen deutlich erkennbar, es sind allerdings nurreelle Schnittpunkte dargestellt. Komplexe Schnittpunke würden zum Beispiel entste-hen, wenn in der Graphik 3.2 d die Gerade nicht durch den Torus laufen würde, sonderndaran vorbei.

(a) 1. Grades (b) 2. Grades

(c) 3. Grades (d) 4. Grades

Abbildung 3.2: Schnittpunkte einer Geraden mit einer algebraischen Fläche

5

Um Schnittpunkte von Geraden mit Flächen bzw. Körpern zu berechnen, kann, zumBeispiel, zuerst die Geradengleichung in Punkt-Richtungsform in die Gleichung der Flä-che eingesetzt werden. Anschließend kann der Schnittpunkt bzw. die Schnittpunkte be-stimmt werden, indem der bzw. die zuvor berechneten Parameter (Nullstellen) in dieGeradengleichung eingesetzt werden.

3.3 Spezialfall: Von Geraden mit Tori

3.3.1 Herleitung: Torusgleichung

Eine Ellipse, die in einer der Achsen-Ebenen liegt und um eine Achse gedreht wird, ergibteinen elliptischen Torus. Sei der Mittelpunkt (x0, y0), die große Halbachse parallel zurx-Achse r, die kleine Halbachse parallel zur y-Achse s und die Rotation erfolge um diey-Achse.Im Falle x0 = 3, y0 = 2, r = 3, s = 1.5 ergibt sich für eine einfache Ellipse folgendes Bild.Nach der Rotation würde sich ein Bild ergeben, das der Abbildung 3.2d) ähneln würde.

x0 1 2 3 x0=4 5 6 7

y

0

1

3

y0=2r

s

Abbildung 3.3: Ellipse

Die Tori differenziert man zwischen

1. Wohlgeformten (auch Ring-Tori genannt). Diese entstehen, wenn gilt x0 > r. Esergibt sich: (√

x2 + z2 − x0r

)2

+

(y − y0s

)2

= 1 (3.1)

2. Entarteten (auch Spindel-Tori genannt). Diese entstehen, wenn gilt x0 ≤ r. Esergibt sich: (√

x2 + z2 ± x0r

)2

+

(y − y0s

)2

= 1

6

Dazu ist noch zu sagen, dass innerhalb dieses Torus ein Körper entsteht. In unseremInteressenfokus liegt nur der Inhalt außerhalb des Körpers, denn nur dort bewegensich die Plasmateilchen. Um mit obiger Gleichung die äußere Begrenzungsflächezu erhalten, muss das negative Vorzeichen vor x0 gewählt werden, für die inneredas positive.

3. einem Sonderfall. Dieser liegt bei x0 = 0 vor. Man spricht bei dem entstehendenGebilde von einem Horn-Torus.

Um auf Polynomform zu gelangen werden die Wurzelausdrücke eliminiert, indem dieGleichung quadriert wird. Die Quadratur hat an dieser Stelle keine weiteren Auswir-kungen, denn dadurch kommen keine weiteren Lösungen hinzu. Darüber hinaus werdenweitere Umformungen durchgeführt und δ =

(rs

)2 wird substituiert . So erhält man ausder Gleichung (3.1) folgendes:

4a2(x2 + z2

)=(x2 + z2 + δy2 + 2δy0y + x 2

0 − r2 + δy 20

)2Diese Formel beschreibt die äußere Wand der Torusgefäßes, also eine Torusfläche alsPolynomialgleichung P (x, y, z) = 0.

3.3.2 Weitere Berechnung

Um den Schnittpunkt einer Geraden mit dem Torus zu berechnen, wird die allgemeineGeradengleichung x

yz

=

µνξ

+

αβγ

X

in (3.1) eingesetzt, wobei der Richtungsvektor normiert sei mit α2 + β2 + γ2 = 1. DurchAusmultiplizieren, Zusammenfassen nach X und Umformen der Normierungsbedingunggelangt man zu:

4a2[(

1− β2)X2 + 2 (αµ+ γξ)X +

(µ2 + ξ2

)]=[(

1− β2 + δβ2)X2 + (2 (αµ+ γξ) +

2δβ (ν − y0))X + µ2 + ξ2 + δν2−2δνy0 + δy 2

0 + x 20 − r2

]2Wählt man geeignete neue Parameter2, dann wird aus obiger Formel vorerst

x4 +2D

Bx3 +

(2F −GA

B+D2

B2

)x2 +

(2FD

B2− GC

B

)x+

F 2 +GE

B2= 0

2A = 1− β2, B = A+ δβ2, C = 2(αµ+ γξ), D = C + 2δβ(ν − y0), E = µ2 + ξ2

F = E + δν(ν − 2y0) + x20 − r2 + δy20 , G = 4a2

7

und weiterhin3

x4 +Hx3 + Ix2 + Jx+K = 0. (3.2)

Mittels des Programms, das später noch vorgestellt wird, kann die Gleichung (3.2) gelöstwerden. Die berechnete Lösung, eingesetzt in die Ursprungsgeradengleichung, ergibt denbzw. die gesuchten Schnittpunkte.

3H = 2DB , I = 2F−GA

B + (DB )2, J = 2FDB2 − GC

B , K = F 2+GEB ,

8

4 Lösen kubischer Gleichungen

4.1 Tschirnhaus-Transformation

Die Lösungen einer kubischen Gleichung der Form

Ax3 +Bx2 + Cx+D = 0 (4.1)

sind einfacher zu bestimmen, wenn vorher eine Tschirnhaus-Transformation, benanntnach EhrenfriedWalther von Tschirnhaus, publiziert 1683 im „Acta Erudotorium“, durch-geführt wird. Die Schritte dieses Verfahrens, dessen Bestandteil u. a. Lineartransforma-tionen sind, führen zu einer Normalform der kubischen Gleichung ohne einen quadrati-schen Term. Die Idee ist, neue Koeffizienten p und q so geschickt zu wählen, dass man

z3 + pz + q = 0 (4.2)

erhält.Genauer gesagt, wird zunächst die Gleichung durch den Koeffizienten A, der mit derUnbekannten x des höchsten Grades multipliziert wird, geteilt, sodass die Form wiefolgt aussieht:

x3 + ax2 + bx+ c = 0 mit a =B

A, b =

C

Aund c =

D

A

Anschließend wird eine Lineartransformation auf eine neue Variable z durchgeführt mitx = αz + β, woraufhin durch Ausmultiplizieren eine weiter verwendbare Gleichungentsteht:

(αz + β)3 + a(αz + β)2 + b(αz + β) + c = 0

⇔ z3 +3β + a

αz2 +

3β2 + 2aβ + b

α2z +

β3 + aβ2 + βb+ c

α3= 0

Des Weiteren seien α = 1 und β = −a3

= − B3A

, sodass (4.1) ⇔ (4.2) mit

p =− 1

3a2 + b

q =2

27a3 − 1

3ab+ c

x =αz + β

gilt. Mittels der Cardanischen Formeln kann diese Gleichung gelöst werden.

9

4.2 Cardanische Formeln

Die Cardanischen Formeln zur Lösung von kubischen Gleichungen wurden von GerolamoCardano in seinem Buch „Ars Magna“ 1545 publiziert. Sie setzen bei der Form (4.2) an,die mittels der Tschirnhaus-Transformation erreicht wird.

4.2.1 Herleitung

Zuerst wird z = u+ v substituiert. Durch Ausmultiplizieren gelangt man zu Folgendem:

(u+ v)3 + p(u+ v) + q = 0

⇔ u3 + 3uvz + v3 = −pz − q

Im Weiteren erhält man durch Koeffizientenvergleich:

p = −3uv ⇔ −p3

= uv und q = −u3 − v3 ⇔ −q = u3 + v3

Danach wird der Satz von Vieta angewandt. Dieser stellt eine Beziehung zwischen denLösungen und den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung her. Für eine Gleichungt2 + µt+ ν = 0 gilt:

t1 + t2 = −µ und t1t2 = ν

Sei −µ = −q und ν = −(p3)3. Daraus folgt:

−µ = u3 + v3 und ν = u3v3

⇒ u3 = t1 und v3 = t2

Das heißt u3 und v3 sind Lösungen von

t2 + µt+ ν = 0 mit µ = q und ν = −(p

3

)3.

Durch Lösen dieser Gleichung mittels pq-Formel1 kann man zeigen, dass

u = 3

√−q

2+√

∆ und v = 3

√−q

2−√

∆ mit ∆ =(q

2

)2+(p

3

)3.

∆ ist die Diskriminante und bestimmt maßgeblich das Verhalten der Lösungen, dasheißt, je nachdem, ob ∆ kleiner, größer oder gleich Null ist, werden die Lösungen andersberechnet. Die dritten Wurzeln u und v müssen so gewählt werden, dass die Bedingung−p

3= uv, die aufgrund des obigen Koeffizientenvergleichs auftritt, erfüllt ist. Eine Lösung

ergibt sich durch einfaches Lösen der Formel für u und v und anschließendem Addieren.Die anderen Lösungen erhält man, indem man u und v jeweils mit den primitiven dritten

1Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform

10

Einheitswurzeln multipliziert. Ingesamt sind also folgende Formeln für die Lösungen derGleichung (4.2) anzugeben:

z1 = u+ v

z2 =

(−1

2+

1

2i√

3

)· u+

(−1

2− 1

2i√

3

)· v (4.3)

z3 =

(−1

2− 1

2i√

3

)· u+

(−1

2+

1

2i√

3

)· v

4.2.2 Fallunterscheidung

Fall 1: ∆ = 0

In diesem Falle gibt es drei reelle Lösungen. Es ist weiterhin zu unterscheiden, welcheWerte p und q haben. Davon abhängig ist die Vielfachheit der jeweiligen Lösung.

• Sei p = q = 0: Daraus folgt, dass unter der Wurzel eine Null entsteht, das heißtu = v = 0. Durch Rücksubstitution von (4.3), x = z − a

3und a = B

Aerhält man z = 0

und als Lösungen für die Ausgangsgleichung (4.1):

x1,2,3 = − B

3A

• Sei p 6= 0 oder q 6= 0: Dementsprechend gilt u = v = 3√− q

2, woraus folgt: z1 = 2u =

3√−4q = 3q

pund z2,3 = −u = 3

√q2

= − 3q2p. Nach der Rücksubstitution ergibt sich für x

eine einfache und eine doppelte Nullstelle:

x1 =3q

p− B

3A

undx2,3 = −3q

2p− B

3A

Fall 2: ∆ > 0

Wenn ∆ > 0 gilt, gibt es eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen. Da indieser Seminararbeit nur die reellen Nullstellen gesucht sind, gilt ausschließlich z1 =3

√− q

2+√

∆ + 3

√− q

2−√

∆, woraus man die Lösung von (4.1) wie folgt erhält:

x1 = 3

√−q

2+√

∆ + 3

√−q

2−√

∆− B

3A

11

Fall 3: ∆ < 0 (casus irreducibilis)

Dieser Fall ist nicht so einfach zu lösen wie die anderen. Es gibt theoretisch drei reelle Lö-sungen. Würde man aber mit einer Abhandlung wie oben arbeiten, müssten zur LösungWurzeln aus komplexen Zahlen bestimmt werden. Mithilfe der trigonometrischen Funk-tionen kann dieses umgangen werden. Dabei verlässt man durch den Einsatz analytischerFunktionen den Bereich der Algebra. Sei p < 0. Wir gehen von

u, v = 3

√−q

2±√

∆ (4.4)

aus. Einfachheitshalber wird im Folgenden nur die geschlossene Formel für u bewiesen.Da ∆ < 0 wird

√∆ komplex, daher sei

√∆ = iβ und weiterhin sei − q

2= α. Somit gilt

u = 3√α + iβ. Der Term unter der Wurzel stellt eine komplexe Zahl dar, die graphisch

wie folgt dargestellt werden kann:

Im

Re

r

α

β α + iβ

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich r, der Abstand des Punktes (α, β) zum Ursprungbestimmen:

r =

√α2 + (iβ)2 =

√−(p

3

)3Des Weiteren sei der Term unter der Wurzel als Polarkoordinate dargestellt, das heißtα + iβ = r(cosφ+ isinφ). Dabei erhält man φ aus folgender Beziehung:

cosφ =α

r⇔ φ = arcos(

α

r)

Die geschlossene Formel für u ergibt sich mithilfe des Moivreschen Satzes (siehe dazu[mov15]):

u = 3√r(cosφ+ i · sinφ)

= 3√r · 3√cosφ+ i · sinφ

= 3√r ·(cos

(φ

3+ i · sin

(φ

3

)))

12

und äquivalent für v:

v = 3√r ·(cos

(φ

3+ i · sin

(φ

3

)))Des Weiteren ergibt sich für z1 = u + v = 3

√r ∗ 2 ∗ cosφ

3. Um auch die anderen beiden

Lösungen zu erhalten, wird das Betrachtungsintervall verschoben, indem π3addiert bzw.

subtrahiert wird. Insgesamt gilt für x:

x1 = 3√r · 2 · cos

(φ

3+π

3

)− B

3A

x2 = 3√r · 2 · cos

(φ

3

)− B

3A

x3 = 3√r · 2 · cos

(φ

3− π

3

)− B

3A

mit r =√−(p

3)3 und φ = arcos(− q

2r).

4.3 Aussortieren von komplexen und negativenNullstellen

Das Aussortieren der komplexen Nullstellen erfolgt teils implizit bei der Bestimmung derLösungen wie in Kapitel 4.2.2 beschrieben, das der negativen Nullstellen muss jedochexplizit instruiert werden. Sei zur Vereinfachung β der Substitutionsterm, sodass giltx = z + β

Fall 1: ∆ = 0

• Wenn gilt p = 0, q = 0,

- und b < 0, ist die dreifache, reelle Nullstelle immer positiv,- sonst negativ.

• Wenn gilt p = 0, q 6= 0,

- b < 0 und q < 0 oder − 3√q ≤ β, ist die eine reelle Nullstelle immer positiv,

- sonst negativ.

• Wenn gilt p 6= 0, gibt es keine sinnvolle Möglichkeit die negativen Nullstellen vorabauszusortieren.

Fall 2: ∆ > 0

In diesem Fall existieren zwei komplexe und eine reelle Nullstelle. Darüber hinaus lassensich die negativen Nullstellen nicht vorab auszusortieren.

13

Fall 3: ∆ < 0 (casus irreducibilis)

Die für diesen Fall in 4.2.2 angegebene Formel impliziert, dass p < 0 gelten muss. Darüberhinaus beziehen sich die folgenden Differenzierungen auf die Gleichung z3 + pz + q = 0.Es ist in beiden Fällen noch der Substitutionsterm β zu beachten.

• Wenn gilt p < 0 und q < 0, ist die Nullstelle z1 immer reell und positiv, und dieanderen Lösungen sind reell und negativ.

• Wenn gilt p < 0 und q > 0, sind die zwei Nullstellen reell positiv und eine reell undnegativ.

14

5 Lösen quartischer Gleichungen

5.1 Tschirnhaus-Transformation

Wie für die kubischen muss auch zum Lösen der quartischen Gleichungen vorab eineTschirnhaus-Transformation durchgeführt werden. Die Ausgangsgleichung liegt in derForm

Ax4 +Bx3 + Cx3 +Dx+ E = 0 (5.1)

vor. Im Folgenden, werden analog zu Kapitel 4.1 alle Koeffizienten durch den Leitkoef-fizienten geteilt.

x4 + ax3 + bx2 + cx+ d = 0 mit a =B

A, b =

C

A, c =

D

Aund d =

E

A(5.2)

Anschließend wird eine Lineartransformation durchgeführt und rücksubstituiert, sodassman

z4 + pz2 + qz + r = 0 (5.3)

mit

p =− 3

8a2 + b = −3B2

8A2+C

A

q =1

8a3 − 1

2ab+ c =

B3

8A3− BC

2A2+D

A

r =− 3

256a4 +

1

16ba2 − 1

4ca+ d = − 3B4

256A4+B2C

16A3− BD

4A2+E

A

erhält. Durch Rückführung auf ein kubisches Problem1 kann die Gleichung (5.3) gelöstwerden.

5.2 Sonderfälle (mit Aussortieren der komplexenNullstellen)

Für (5.2) existieren die Sonderfälle:

• Sei a = c = 0, so gilt (5.1) ⇔ x4 + bx2 + d = 0. Es liegt somit eine echt biquadrati-sche Gleichung vor, welche mittels Substitution einfach gelöst werden kann. Sind dieLösungen der substituierten Variante

1Die Vorgehensweise wird in dem noch folgenden Kapitel 5.3 erläutert

15

- beide positiv, ist die vierfache, reelle Nullstelle:

x1,2,3,4 = ±

√− b

2±√b2

4− d

- beide negativ, sind alle Nullstellen komplex. Das ist der Fall, wenn gilt d ≤ b2

4.

- eine negativ und eine positiv, ist die zweifache, reelle Nullstelle je nachdem

x1,2 = ±

√− b

2+

√b2

4− d

oder

x1,2 = ±

√− b

2−√b2

4− d

• Sei d = 0, so gilt (5.1) ⇔ x4 + ax2 + bx3 + cx = 0. Es kann ein x ausgeklammertwerden, sodass

x1 = 0.

Die restlichen Lösungen der so entstehenden kubische Gleichung können, wie in Ka-pitel 4 beschrieben, berechnet werden.

Im Weiteren ist für (5.3) in den folgenden Fällen eine besondere Abhandlung vonnöten.

• Sei q = 0, p = 0

- und r ≤ 0, so gilt (5.3) ⇔ z4 + r = 0. Die zwei zweifachen, reellen Nullstellen sind

z1,2,3,4 = ± 4√−r.

- Ansonsten sind die vier Nullstellen komplex.

• Sei q = 0, p 6= 0 und r = 0, so gilt (5.3) ⇔ z4 + pz2 = 0. Es kann z2 ausgeklammertwerden, sodass

z1,2 = 0.

Wenn p > 0 gibt es außerdem zwei komplexe Lösungen, ansonsten ist

z3,4 = ±√−p.

• Sei q = 0 und p = r 6= 0 liegt eine echt biquadratische Gleichung vor. Diese wird aufdieselbe Weise gelöst, wie im dem Fall, dass für (5.1) a = c = 0 gilt.

5.3 Die kubische Resolvente

Der erste Mathematiker, der eine geschlossene Form zur Lösung der quartischen Glei-chung fand, war Lodovico Ferrari. Sein Lehrer Gerolamo Cardano veröffentlichte diese

16

zusammen mit den cardanischen Formel, die bereits in einem vorherigen Kapitel thema-tisiert wurden, 1545 in seinem Werk „Ars Magna“. Ferraris Idee war es, in der Gleichung(5.3) auf beiden Seiten Quadrate zu bilden. Dadurch erhält man letztendlich eine kubi-sche Gleichung, die kubische Resolvente.

5.3.1 Herleitung

Das Bilden der Quadrate wird wie folgt erreicht. Zu der Gleichung

z4 + pz2 + qz + r = 0

rechnet man −qz − r + pz2 + p2 hinzu, sodass man

z4 + 2pz2 + p2 = −qz − r + pz2 + p2

erhält. Auf der linken Seite ist das Quadrat (z2 + p)2 entstanden. Des Weiteren wird2yz2 + 2yp + y2, wobei y eine Lösung der resultierenden kubischen Resolvente ist, hin-zuaddiert. Die entstehende Gleichung ist:

z4 + 2pz2 + p2 + 2yz2 + 2yp+ y2 = −qz − r + pz2 + p2 + 2yz2 + 2yp+ y2

Indem man in den weiteren Umformungen ausnutzt, dass Wurzel und Quadratur Um-kehrfunktionen sind, ergibt sich:(

z2 + p+ y)2

=(√

p+ 2y · z)2− qz +

√−r + p2 + 2yp+ y2

2(5.4)

Auf der linken Seite steht das Quadrat (z2 + p + y)2 und auf der rechten Seite ist dasQuadrat (a+ b)2 mit a =

√p+ 2y · z und b =

√−r + p2 + 2yp+ y2 zu erkennen.

Daraus erhält man die Bedingung qz = 2azb, das heißt

q = 2 ·√p+ 2y ·

√−r + p2 + 2yp+ y2.

Letztendlich entsteht durch Zusammenfassen und Ausmultiplizieren folgende kubischeResolvente.

0 = y3 +5

2py +

(2p2 − r

)y +

1

2p(p2 − r

)− q2

8(5.5)

Um eine geschlossene Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen zu erhalten,muss weiterhin die Gleichung (5.4) umgeformt werden zu:

0 = z2 −√p+ 2y · z +

√−r + p2 + 2yp+ y2 + p+ y

Wenn man diese Gleichung mit der pq-Formel löst, erhält man als Lösungen für z:

z1,2,3,4 =

√p+ 2y

2±√(√

p+ 2y

2

)2

±√−r + p2 + 2yp+ y2 − p− y

17

sowie als Lösungen für x, indem man z durch x = αz + β mit α = 1 und β = − B3A

rücksubstituiert:

x1,2,3,4 = −β +

√p+ 2y

2±√(√

p+ 2y

2

)2

±√−r + p2 + 2yp+ y2 − p− y. (5.6)

5.3.2 Bestimmen der Lösungen im allgemeinen Fall

Es gibt zwei Möglichkeiten zum Bestimmen der Lösungen einer quartischen Gleichungim allgemeinen Fall, wobei jeweils die kubische Resolvente als Grundlage dient.Einerseits kann man schlichtweg die Lösungen der kubischen Gleichung

Ax3 +Bx2 + Cx+D = 0

mit A = 1, B = 52p, C = 2p2 − r und D = 1

2p (p2 − r) − q2

8, wie in den vorherigen

Kapiteln beschrieben, berechnen und eine der Lösungen, die als Lösung in (5.6) genutztwerden soll, wählen.Andererseits kann man zuerst p und q der kubischen Resolvente, sowie den Wert β, derdie Substitution von x zu z durch x = αz + β bestimmt, berechnen:

p =− 1

3B2 + C

=− 1

3·(

5

2p

)2

+ 2p2 − r

=1

12p2 − r

q =− 2

27B2 +

1

3BC +D

=− 2

27·(

5

2p

)2

+1

3·(

5

2p

)·(2p2 − r

)+

1

2p(p2 − r

)− q2

8

=− 1

108p3 +

1

3pr − 18q2

β =− B

3A= −1

3· 5

2p = −5

6p

Da für die Lösungsformel (5.6) nur eine Lösung gebraucht wird, kann man das benötigtey zum Beispiel durch y = u+ v − β unter Verwendung von (4.4) berechnen.

5.4 Aussortieren von komplexen Nullstellen imallgemeinen Fall

Welcher Art die Lösungen einer quadratischen Gleichung im allgemeinen Fall sind, hängtdamit zusammen, welcher Art die Lösungen der kubischen Resolvente sind.

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• Sind die Werte, die die kubische Resolvente lösen, alle reell und positiv, so hat diequartische Resolvente vier reelle Lösungen.

• Sind die Werte, die die kubische Resolvente lösen, alle reell, eine positiv und zweinegativ, so hat die quartische Resolvente vier komplexe Lösungen.

• Ist ein Wert, der die kubische Resolvente löst, reell und zwei Werte komplex, so hatdie quartische Resolvente zwei reelle und zwei komplexe Lösungen.

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6 Programm

Auf Grundlage der bisherigen Erkenntnisse wurde im Rahmen der Seminararbeit ein Pro-gramm entwickelt, welches die Theorie in die Praxis umsetzt. Als Programmiersprachewurde Fortran 90/95 gewählt. Im Folgenden werden der Programmaufbau und einzelneBeispiele von Testdurchläufen aufgezeigt.

6.1 Aufbau des Programms

quarticcubic

main

resolveQuarticVersionBresolveQuarticVersionA

calcAbsZeroQuarticcalcAbsZero

input

output

Abbildung 6.1: Programmablauf

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Um das Programm zu starten, muss die Datei „main.f90“ kompiliert und ausgeführtwerden. In dieser Routine werden die Daten aus einer Datei „data<Type>“ eingelesen,wobei Type „Quartic“ oder „Cubic“ sein kann. Der Dateiname wurde in dieser Formgewählt, um das Programm erweiterbar zu halten. Es könnte zum Beispiel noch eineAbhandlung quadratischer Polynome ergänzt werden. Darüber hinaus wird je nach Typedie Funktion „quartic“ oder „cubic“ aufgerufen.In der Datei „cubic.f90“ werden zuerst eine Tschirnhaus-Transformation, und anschlie-ßend anhand der Diskriminante eine Fallunterscheidung durchgeführt. Die Reihenfolgeder Abfrage ist ∆ < 0,∆ > 0,∆ = 0, wobei in den einzelnen Programmabschnittenzusätzlich noch Sonderfälle abgehandelt werden. Da diese Routine auch von der Rou-tine zum Bestimmen der Nullstellen quartischer Funktionen aufgerufen wird, in diesemFall aber die berechneten Nullstellen nicht in die Datei der Nullstellen kubischer Poly-nome geschrieben und auch keine Genauigkeitsanalyse durchgeführt werden soll, wurdeein Funktionsparameter „quarticResolve“ als Wahrheitstyp eingeführt. Dieser dient derÜberprüfung, wo „cubic“ aufgerufen wird und je nachdem werden die Routinen „calcAb-sZero“ und „output“ benötigt. Erstere berechnet die Genauigkeit der Lösungen, indemdas Ergebnis in die normierte Form (4.2) eingesetzt wird und anschließend der Ab-stand zur Null bestimmt wird. Gibt es mehrere Nullstellen, werden alle Lösungen indie normierte Form eingesetzt und die Beträge davon aufsummiert. Anschließend wirdder dadurch entstandene Wert durch die Anzahl der Lösungen geteilt. Letztere dientdem Schreiben eines Kommentars, der Ergebnisse und der Genauigkeit in eine Datei„dataOut<Type>“.Wird „quartic“ im Hauptprogramm ausgeführt, werden zuerst die Sonderfälle abgefan-gen, die in Kapitel 5.2 erläutert wurden und anschließend die Routine zur Behandlungdes allgemeinen Falls aufgerufen. Dabei gibt es äquivalent zu Kapitel 5.3.2 zwei Mög-lichkeiten des Aufrufs, nämlich „quarticResolveVersionA“ oder „quarticResolveVersionB“.Erstere bestimmt im Gegensatz zu letzterer, den für die Lösungen benötigten Wert oh-ne Aufruf von „cubic“. Beide Routinen bestimmen darauffolgend die Lösungen über dieFormel (5.6). Zum Schluss wird in „quartic“ die Genauigkeitsanalyse und das Schreibender Lösungen in eine Datei mittels „calcAbsZeroQuartic“, die ähnlich wie „calcAbsZero“aufgebaut ist, und „output“ durchgeführt.

6.2 Anforderungen an die Eingabe-Dateien

Um das Programm ausführen zu können muss bezüglich der Eingabe-Datei folgendesbeachtet werden:

• Kommentare dürfen nicht zusammen mit Code in einer Zeile stehen und müssen mit// eingeleitet werden.

• Koeffizienten werden nach Grad absteigend sortiert.

• Als Trennungszeichen zwischen den Koeffizienten dient das Komma.

• Es dürfen keine Leerzeichen am Anfang einer Zeile stehen.

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• Zahlen müssen englisch notiert werden.

• Brüche sind nicht zulässig.

6.3 Beispieldurchlauf

Als Beispiel für einen Durchlauf zur Bestimmung der Nullstellen kubischer Funktionensei folgende Eingabedatei gegeben:3.,-8.,-11.,10.1.,-3.,4.,-4.1.,-4.,5.,-2.

Nach dem Durchlauf erhält man die Ausgabedatei:// The cubic polynomial has two real , positive roots.

3.44948977799738100.66666678597095919

Error: 5.9132236307490871E-007

// The cubic polynomial has one real , positive and two complex roots.2.0000000330085661

Error: 1.3203426796337681E-007

// The cubic polynomial has one real root and one double real root.1.99999968210870761.00000015894564601.0000001589456460

Error: 1.0596371365541775E-007

Der Plot des letzten Beispielinputs sieht wie folgt aus:

0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0.5

1

x

y

Abbildung 6.2: Plot des Polynoms x3 − 4x2 + 5x− 2

22

Als Beispiel für einen Durchlauf zur Bestimmung der Nullstellen quartischer Funktionensei folgende Eingabedatei gegeben:1.,0.,-8.,0.,12.1.,-4.,14.,-20.,25.5.,-7.5,-22.5,-2.5,7.5

Nach dem Durchlauf erhält man die Ausgabedatei:// The quartic polynomial has four real roots.

2.4494897427831779-2.44948974278317791.4142135623730951

-1.4142135623730951Error: 1.1842378929335002E-015

// The quartic polynomial has four complex roots.

// The quartic polynomial has four real roots.3.0000000063175993

-0.99979475562124343-1.00020520577120210.49999995507484618

Error: 3.3693864402254786E-007

Der Plot des ersten Beispielinputs sieht wie folgt aus:

−3 −2 −1 1 2 3

−4

−2

2

4

6

8

10

12

x

y

Abbildung 6.3: Plot des Polynoms x4 − 8x2 + 12

23

7 Fazit und Ausblick

Das im Rahmen dieser Seminararbeit geschriebene Programm ermittelt, fundiert auf denskizzierten theoretischen Grundlagen, Nullstellen von Polynomen dritten und viertenGrades.Bei den kubischen Gleichungen werden, wenn möglich, negative Nullstellen vorab aus-sortiert. Aufgrund des Umfangs dieser Arbeit konnte dies nicht für die quartischen Glei-chungen umgesetzt werden und wäre somit ein möglicher Ansatzpunkt für weitere Ver-besserungen.Darüber hinaus könnte die Zahl der Inputs derart erhöht werden, dass die Genauigkeits-und Prozesszeitanalyse, bei denen die beiden Alternativen zur Bestimmung der Null-stellen von Polnomen vierten Grades im Fokus stehen, signifikante Unterschiede liefern.Mittels dieser Analysen können von den ursprünglich geforderten Ansprüchen Genau-igkeit und Effizienz auch für das gesamte Programm bewiesen werden. Die Exaktheitist insbesondere dadurch gewährleistet, dass die Lösungen mittels einer geschlossenenForm berechnet werden. Bisher ist das Maß dafür anhand des Fehlers erkennbar, derfür jeden Input mit in den Output geschrieben wird. Des Weiteren wurde Robustheit,auch Fehlertoleranz genannt, als Qualitätsmerkmal genannt. Dies wird unter anderemdurch Abfragen, die falsche Eingaben abfangen, Alternativlösungen, die numerischerAuslöschung vorbeugen, und expliziter Datentypdeklaration umgesetzt.Eine weitere Ergänzungsmöglichkeit bestünde darin, dass die Schnittpunkte der Gera-den, auf der die Plasmateilchen sich bewegen, mit den Begrenzungsflächen mittels derberechneten Nullstellen bestimmt werden, indem die Lösungen in die Geradengleichungeingesetzt werden.Wichtig, um die neuen Routinen mit möglichst geringem Aufwand in das ProgrammEIRENE einzubinden und testen zu können, ist es, den Code entsprechend umzustruk-turieren. Zum Beispiel sollten alle Funktionen in eine Datei geschrieben werden und beidem Aufruf der Hauptfunktion sollten nur entsprechende Parameter übergeben werden.

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Literaturverzeichnis

[cas69] E. D. Cashwell und C. J. Everett: Intersection of a ray with a surface of thirdor fourth degree, 1969

[bit06] Bittner, Micha: Der Fundamentalsatz der Algebra, Vortrag vom 24.04.2006,Stand: 05.12.2015http://www.matha.rwth-aachen.de/lehre/ss06/anaprosem/Micha_Bittner_Ausarbeitung.pdf

[abl15] Satz von Abel-Ruffini, Stand: 02.11.2015,https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Abel-Ruffini

[blog09] Kubische und quartische Gleichungen, Stand: 05.12.2015,https://thoralv.files.wordpress.com/2009/01/kubische_und_quartische_gleichungen2.pdf

[sut06] Sutter, Christiane: Nullstellen reeller Polynome, Proseminar für Lehramt vom27.11.2006, Stand: 05.12.2015http://www.math.kit.edu/iag2/lehre/pro-lehr2006w/media/praesentation-nullstellen.pdf

[wei15] Weisstein, Eric W.: Torus, Stand: 26.12.2015,http://mathworld.wolfram.com/Torus.html

[sch15] Schneider, Andreas: Satz von Vieta, Stand: 05.12.2015,http://www.mathebibel.de/satz-von-vieta

[car15] Cardanische Formeln, Stand: 01.04.2015,https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

[kub15] Kubische Gleichung, Stand: 22.11.2015,https://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung

[qrt15] Quartische Gleichung, Stand: 14.06.2015,https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung

[tsc15] Tschirnhaus-Transformation, Stand: 15.09.2015,https://de.wikipedia.org/wiki/Tschirnhaus-Transformation

[mov15] Moivrescher Satz, Stand: 19. November 2015,https://de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz

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