Fasores

Uma tensão cossenoidal v(t) descrita por

( ) ( )φϖ +⋅⋅= tVtv cos0 (1)

é dita estar representada no domínio do tempo, pois na equação (1) esta grandeza aparece explicitamente. Por outro

lado, também é possível representá-la no domínio da freqüência

( ) ( )φϖ ⋅⋅= jVV exp0 ,

ou simplesmente

( ) φϖ ∠= 0VV

com V(ω) recebendo o nome de fasor. Alternativamente, pode-se escrever

( ) ( ) ( )[ ]φφϖ senjVV ⋅+⋅= cos0 .

Alguns autores fazem referência ao chamado fasor girante, o que nada mais é do que uma representação

mais explícita da dependência com a freqüência ω, isto é,

( ) ( ) ( )[ ]φϖϖϖ +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ tjVtjV expexp 0 .

O fasor girante também admite uma interpretação geométrica, conforme pode ser constatado pela figura

abaixo.

Re(V) V0 cos(φ)

Im(V)

V(ω)

φ

V0 sen(φ)

Impedância Z(ω)

Dado um circuito com dois terminais de acesso, entre os quais a diferença de tensão fasorial é V=V0 ∠α e a

corrente fasorial é I = I0 ∠φ, definimos a impedância

( ) ( )( ) 0

0

I

V

I

VZ =≡

ω

ωω /α – φ = | Z (ω)| /θ

com ( )0

0

I

VZ =ω e θ = /α – φ .

A impedância ainda pode ser a apresentada na forma retangular

Z = R + j .X,

sendo R a componente resistiva (resistência) e X a componente reativa (reatância).

São imediatas as relações

22 XRZ += e

=R

Xarctgθ

ou

( )θcos⋅= ZR e ( )θsenZX ⋅=

Dado um indutor com indutância L e percorrida por uma corrente I = I0 /0°, sua impedância será

( )( )tjI

tjILj

I

VZ L

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=≡

ω

ωω

exp

exp

0

0

LjZL ⋅⋅=∴ ω ou ⋅⋅= LZ L ω /90°

Aplicando procedimento análogo a um capacitor, encontramos

CjZC

⋅⋅−=∴ω

1 ou ⋅

⋅=

CZCω

1/-90°

Re(Z) R

Im(Z)

Z(ω)

θ

X

Associações de Impedância

A relação V = Z . I no domínio da freqüência é formalmente igual a v=R .i no domínio do tempo. Logo,

• Impedâncias em série: Neq ZZZZ +++= K21

• Impedâncias em paralelo: Neq ZZZZ

1111

21

+++= K

Diagramas de Impedância

O Diagrama de Impedância é construído no plano complexo, com as componentes resistivas colocadas

sobre as abscissas e as reativas sobre as ordenadas. Ainda com relação as ordenadas, na parte positiva

teremos as reatâncias indutivas e, na negativa, as capacitivas. Podemos somar as impedâncias no plano

complexo, seguindo o mesmo procedimento da adição vetorial.

Admitância Y(ω)

A admitância Y(ω) é definida como a recíproca da impedância,

( ) ( )ωωZ

Y1

= (Unidade S.I.: Siemens (S))

e também ser escrita como

( ) BjGY ⋅+≡ω ,

onde a parte a real é a condutância (G) e a imaginária (B), a susceptibilidade. Uma vez que

( ) ( ) θωω

∠=

ZY

1= ( ) θ

ω−∠

Z

1.

jX(Ω)

R(Ω)

Z1(ω)

Z2(ω)

Z1(ω)+Z2(ω)

Sem maiores dificuldades, obtém-se as admitâncias para um capacitor e um indutor são

respectivamente

CjYC ⋅⋅= ω ou °∠⋅⋅= 90CYC ω

L

jYLω

−= ou °−∠= 90

1C

YCω

Associações de Admitâncias

Das expressões para associações de impedância, decorre que para as admitâncias em:

• Série: K++=21

111YYYeq

e em

• Paralelo: K++= 21 YYYeq

Circuitos Fasoriais

Um circuito fasorial é simplesmente um circuito no qual seus elementos constituintes são

representados pelas impedâncias (ou admitâncias) e as correntes e as tensões são descritas pelos fasores

correspondentes. Em outras palavras, é um circuito apresentado no domínio da freqüência.

Exemplo:

To

dos

os

teo

re

ma

s e métodos até aqui discutidos (Análise Nodal, Teoremas de Thevenin, Norton, Superposição etc) são válidos no

domínio da freqüência.

10cos 8t A 1 Ω

1/2 H

2 Ω

+ v −

10∠0 °A 1 Ω

j 4Ω

2 Ω

+ V −