f3 - serieomoomi.com 1/f3.pdf · x x x x x xxlim ln x lim x I II x HOP xlnx flim lim x ...
25
Transcript of f3 - serieomoomi.com 1/f3.pdf · x x x x x xxlim ln x lim x I II x HOP xlnx flim lim x ...
)1( عموميرياضيات 36
1- )3(
: با استفاده از تعريف مشتق داريم
HOPمبهم( )
( )( ) ( ) ( )( )x x x
g xgf x f g xxf lim lim lim
x x x
20 0 0
0 00 00
0 0
( ) ,( ) ( ) ( )( )x x
g x HOPHOP g x g x gf lim lim
x
0 00 00 0
00 700 352 2 2 2
2 - )1(
)چون )f x موجود است، پس تابع در1 1در نتيجه داريم. پذير است پيوسته و مشتق : 1-( )f xدر x 1 ،آيد دست مي بهپس پيوسته است:
( )
( )( )( ) | | ( )
( )
x xx
xx
I
xx x x xlim f x lim lim
x xa b
blim f x lim a a b
x
3 2
1 11
11
11 1 1 31 13
2-( )f xدر x 1پس داريمپذير است، مشتق:
( )
( )( )( ) ( )| |( )Ix x x
x x xxa b
x x xxxf lim lim lim
x x x
232
1 1 1
1 11 1
1 3 1 311 1 1 1
( )( )( )x
IIx x
limx
1
2 1 31
( )( )
( )x x
III
bba a b HOPx xf lim lim b
x
20
1 101 1 1
( )( ) ( ), III III b b a a 3 3 3 3 6
3 - )2(
: كنيم حد چپ و راست را جداگانه محاسبه مي
حد راستحد چپ
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
xx x
xx x
x
x
lim f x lim x x
lim f x lim x x
2
2
21 1 13
21 1 02
1
1
2 2 1 3 1 4
2 2 1 2 0 2
فرض سؤال جايگذاري
سومهاي فصل تستپاسخ 37
xپس تابع در 1 مقدار تـابع در چون. باشد پذير نمي حد ندارد و پيوسته نيست و در نتيجه مشتق x 1 از )ضابطة دوم برابر )f 1 x تـابع در و درنتيجـه با هم برابرند تابع حد راست و مقدار پس است 2 1 فقـط
. پيوستگي راست دارد
4 - )2(
ــرض :روش اول ــا ف )ب )g x x ــه2 )، از آنجاك ) ( )g g 0 0 ــابع 0 ــس ت )، پ ) ( )[ ]f x g x sin xدر x 0 . باشد پذير است و مشتق آن برابر با صفر مي مشتق
xبا استفاده از تعريف مشتق در :روش دوم 0داريم :
( )f 0 0 ] صفركراندار عبارت 0 ]( ) ( )( ) [ ]x x x
x sin xf x ff lim lim lim x sin x
x x
2
0 0 00 0
0
5- )4( : كنيم مشتق چپ و راست را جداگانه محاسبه مي
( )( ) ( )( )xx
x x x
x ln xHOPf x f xf lim lim lim
x x
01 1 10
11 11 11 1 1
( ) ( )( )x x
cos x cosf x f xf lim limx x
1 1
11 11 21 1 1 0
)تابعبنابراين )f xدر x 1 درنتيجهناپذير و مشتق ( )f . موجود نيست1
6 - )4(
|چون تابع | xx ناصفر به ازاي نقاط ( )x 0 پـذيري تـابع را در مـشتق كـه پذير است، كافي است مشتقx 0 : بررسي كنيم
| |( ) ( )( )
x
x x x
x x x
lim xxx af x f x a
f lim lim limx x x
0
0 0 0
1000 0
( )Ia 10
0بنابراين، براي اينكه به حالت مبهمa برسيم بايد0 1صورت داريم باشد، كه در اين :
( )( )
( )( ) ( )
x
x
xx x
lim ln xx x
lim xI
IIx ln xHOPx
f lim limx
0
00
0 00
1
1110 1
جايگذاري
جايگذاري
aاگر 1باشد
)1( عموميرياضيات 38
aپس، به ازاي 1 بنابر ،( )I،( )f aشود و به ازاي نامتناهي مي 0 1 بنابر ،( )II،( )f
نهايـت بـي برابر منفي 0) ، تابعaمقدار از هر در نتيجه به ازاي . شود مي )f xدر x 0بودپذير نخواهد مشتق .
7 - )3(
)با توجه به دامنة تابع [ , )) ( )fD f x 0 در نقطةتابع ، حد چپx 0شود تعريف نمي: )وجود ندارد )
x
lim f x
0
)حال حد راست تابع )f xدر x 0كنيم را محاسبه مي :
( )x x xx
xHOPx xlim f x lim lim lim
x xx
00 0 00 0
12 11 1 01 1
2
xمقدار تابع دراز طرفي، 0در نتيجه بنابراين حد راست با مقدار تابع برابر شد و . از ضابطة دوم برابر صفر است)تابع )f xاز راست پيوسته است .
8- )1(
)ابتدا ضابطة )f xآوريم دست مي را به كمك تعريف مشتق و فرضيات سؤال به : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
f x h f x f h x h xh
h h
f x h f x f x f h x h xh f xf x lim lim
h h
2 2 2 2
0 0
( ) ( )( )h h
x xh h f hlim lim x xh x
h h
2
2 20 0
1 1
( ) ( )f x x I 2 1 : كنيم حال عبارت خواسته شده را محاسبه مي
( )( ) ( ) ...I
k k
f k k
17 17
2 2 2 2
11 111 11 12 17 7 1393
9 - )4(
)براي محاسبه )f xكنيم از تعريف مشتق استفاده مي .
( ) ( )( )h
f x h f xf x lim
h
0
: از طرفي با توجه به رابطه داده شده در صورت سؤال داريم ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y xy f x h f x f h x h 5 5
: توان نوشت با جايگذاري رابطه اخير در تعريف مشتق، مي
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )h h
f x h f x f x f h x h f xf x lim lim
h h
0 0
5
( )h
f hlim
h
0 فرض سؤال1
y hفرض شود
سومهاي فصل تستپاسخ 39
( ) ( ) ( )h h h h
xhf h f hlim lim lim lim x x f x x
h h h
0 0 0 05 5 5 3 5 3
. باشد صحيح مي ) 4( در نتيجه گزينه
10 - )4(
) مشتق تابع،ابتدا با توجه به تعريف )f xآوريم دست مي را به :
( ) ( )( ) ( ) ( )h
f x h f xf x lim f x I
h x x
2 201 1
4 4
)حال مشتق تابع )f tan x2مكني را محاسبه مي : ( ) ( ) ( )y f tan x y tan x f tan x 22 2 1 2
xو در آخر 2 : كنيم را در رابطة فوق جايگذاري مي3
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Iy f
2 1 12 1 3 2 3 8 8 23 44 12
11 - )4(
( )h xرا محاسبه و سپس x 1كنيم را در آن جايگذاري مي :
( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( ))x f x x f xh x e h x f x x f x e 2 21 2 2 2
( )( ) ( ( ) ( )) ( )fh f f e e e 2 8 81 2 2 2 8 2 4 16
12- )2(
dyبراي محاسبة dx
sin ابتدا x cos xsin x cos x
براي اين منظور صـورت و مخـرج كـسر را در .كنيم را ساده مي
cos x1
.كنيم ضرب مي
( )( ) ( )
tantan tan
tantan tan
tan
sin x cos x cos x tan x tan xtan x I
sin x cos x tan x tan xcos x
41
4
11 1
1 1 1 1 4
)با جايگذاري )Iدر تابع ( )f xداريم :
( )( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( )
Isin x cos xf x arctan arctan tan x arctan tan x x
sin x cos x 4 4 4
( ) ( )f x x f x 14
13 - )4(
)دانيم كه مي ) ( ( )) ( ( ))f x g f x gof x . پس ابتدا gofگيريم را محاسبه و سپس از آن مشتق مي :
جدول
.گيريم از طرفين مشتق مي
.گيريم از طرفين مشتق مي
x5 داده سؤال (3برابر(
)1( عموميرياضيات 40
u 2
( ) ( ( ))( )
x x x x
x x x xgof x g f x xx x x x
xx x x
2 2 2 2
2 2 2222 2 2
1 1 1 1111 1 11 1 1
( ) ( ( )) ( ). ( ( ))gof x x gof x f x g f x 1
14- )4(
)ابتدا با فرض )y f u ،به كمك مشتق توابع مركب ،y دسـت آمـده را سـاده را محاسبه و سپس عبـارت بـه : كنيم مي
( )( )
( ) ( ) ( )( ) If x sin xx dy
y f f u u f u u sin ux dx
222 1
1
( )( )
IIx x x
u ux x x x x
32 1 2 2 2 1 2 1 3 32 21 1 1 1 1
( )( )( )
( )( ) II
IIIu uxx
2 2
23 1 3 1 213 31
: حال، داريم
( ) ( ), ( ) ( )I IIIdy
u sin udx
2 21 23
15 - )2(
: از تكنيك مشتق توابع مركب داريم
( ) ( )( ( ))( ) ( )
u
u
x
tan x xcos tan x
tan x tan x tan x
1 21 1
1 2 1 1 2
12
1 111 1 1 1 2
( ) ( )x x tan x tan x
1 1 21
2 1 2
16- )1(
)مقادير: روش اول ) ( )ln f ) و1 )f : كنيم ميجداگانه محاسبه و بر هم تقسيم را 1
( ) ( ) ( ) ( )x xln f ln ln x ln x ln x
x
2
13
11 2 2 1 2 3
.گيريم ميمشتركمخرج
.گيريم از طرفين مشتق مي
فرض سؤال
.گيريممشتق مياز طرفين
سومهاي فصل تستپاسخ 41
( ) ( ) ( )
( )( )
ln f Iln f
x x x fII
f x x x
2 1 11 12 1 1 2 3 31 2 3 2 1 1
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )II f x f x f f f IIIx x x
1 12 1 1 1 11 1 121 2 3 3 3
( ) ( )( ) ( ), ( )I IIIln ff
111 12
: كنيم ابتدا عبارت داده شده را ساده و سپس محاسبه مي: روش دوم
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
uln u
u
fln f ff f f
11 11 1
1 1 1 12
17 - )4(
: بينيم كه با كمي دقت مي
( ) ( )( )x x x x
x xe e e ecoh x sinh x e e
3 3 32 عبارت داده شده2
( )x xe ex ln x ln
3 332 2
xمشتق عبارت داده شده در( ln 2(
ln lne e 3 2 83 3 3 8 24
18 - )4(
)براي محاسبة مقدار موردنظر، نياز به محاسبة )f : داريم2
( )( )( ( )) ( ) If f fx x x x
x x
1 14 4
1 1 1 1 4 22 1 12 4 4
)پس با استفاده از فرض داده شده، مقدار )f : كنيم را محاسبه مي2
( ) ( ) ( ) ( )h h
f h f h f h f hHOPlim lim
h
00 00
35
2 2 2 2 2 2 2 فرض سؤال1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f f f f II 33 2 3 2 512 2 2 2 5
: حال، داريم
( ) ( )( ) ( ), ( )( ( )) I III II f f
xx
1 4 214
14 0 85 /
هايپربوليكتوابعتعريف
جايگذاري
جايگذاري
)1( عموميرياضيات 42
( ) ( )m n f x 0
19- )4(
xبا فرض 2 sinدامنة (1 x1(داريم ، : ( )y sin sin x x y x 1 2 2 2
20- )2(
: گيريم از عبارت داده شده مشتق مي
( )
( ) ( ) ( )
( ) x xx
x xx xyx x x x x x x x x
2
22 2
2 2 2 2 2 2 21
1111 1
1 1 1 1 1
( )
( )
x x x
x x x x
2
2 2 2 21 1
1 1 1
21- )4(
از طرفينu
y ln tan x 1گيريم مشتق مي :
( ) ( )
u
u
tan x xytan x tan x tan x x
1 21 1 1 2
11 11
1
22 - )2(
: كهبينيم با كمي دقت مي ( )( ) Iuv vu uv
: از طرفي داريم
( )( )( ) IIuv x x x x x x 2 2 2 21 1 1 1 : پس، داريم
( ) ( )( ) ( )
I IIuv vu uv 1 0
23 - )1(
: كنيم حد داده شده را به كمك قاعدة هوپيتال محاسبه مي
( ) ( ) HOP
x
f x mh f x nhlim
h
0 00
00
( ) ( ) ( ) ( )x
HOP m f x mh n f x nhlim m f x n f x
0 00 00 حد1
گيريممخرج مشترك مي
جايگذاري
hمشتق نسبت به
جايگذاري
سومهاي فصل تستپاسخ 43
x y
y x x yx yy x y x x y
x y
2 2
2 2
24 - )1(
)با توجه به آنكه تابع )f xمتناوب با دورة تناوب T : است، پس داريم2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Tf x f x T f x f x f x f x f x I 2 1 1 2 32
)با جايگذاري )Iدر ( )g xتوان نوشت مي : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )I
g x f x f x x f x f x x 13
: گيريم حال از طرفين مشتق مي
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
g x f x f x g f f
12 1 1 11 1 1 12 2 2
25- )4(
y متناظر باx0ابتدا مقدار 01 : آوريم دست مي را به4
( ) ( ) ( ) ( )( ) | | ( ) ( )( )
f yf x
If x y x x x ff
10 0
11
0 0 0 0 01 1 1 1
14 2 42
)حال ضابطة )f xكنيم را محاسبه مي :
( ) | | ( )x x x x
f x x x f xx xx x
2
20 2 0
2 00
( ) ( )( ) ( ) ( )If f
11 02 11 1 1 12 12 2 4 1
26 - )1(
: كنيم از رابطه مشتق ضمني استفاده مي
( , ) ( )( ) ( )y yf x y ln x y arctan ln x y arctan
x x 2 2 2 2 01
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
yy
yy x xx x x yx y x yyx y
fdy x y x yx xy y xdx f
y yx x x y x yyx y x y x yx
x
22 2 2 22 2 2 2 2 2 22
2 2 2 22 2 2 2 2 22
2
22
02
2 11
1
ضابطة دوم
خاصيت لگاريتم
)1( عموميرياضيات 44
27 - )1(
: نويسيم رابطة موردنظر را به شكل زير مي ( , ) x yf x y e xy 0
: و با ايدة مشتق ضمني داريم
x yx y
xx yy
e xyf e y xy y xy y xy yy y
f xy x xy x xy xe x
( )x xy y xy y
28- )1(
: از صورت سؤال داريم ( ) ( )f x g x ( ) ( )g x f x 2
)براي محاسبه مشتق دوم )Y f x : داريم3 ( ) ( )Y x f x x g x 2 3 2 33 3
( ) ( ) ( ) ( )Y xg x x g x xg x x f x 3 4 3 3 4 66 9 6 9 . باشد صحيح مي) 1(بنابراين گزينه
29 - )1(
: گيريم مشتق ميx ، از رابطه داده شده دو بار نسبت به x به عنوان تابعي از yبا فرض
( )ddx Ix y x yy 2 24 9 36 8 18 0
( ) ( )I IIx x
yy x yy y
8 418 8 18 9
( )( ) ( ) ( )d
IIdxIx
y yy yyy
2 248 18 18 0 8 18 18 09
x yxyy y x y y
y
2 22 4 9 362 2 3
232168 18 18 0 8 18 0981
( )y y y y y y y y 2 2 3 2 2 332 98 9 18 0 8 32 8 18 09 4
y y yy
33
1618 329
30- )1(
: گيريم مشتق ميx ، از رابطه داده شده دو بار نسبت به x به عنوان تابعي از yبا فرض
فرض سؤال
y فدو طر2
سومهاي فصل تستپاسخ 45
y y y 2 0 0
( )ddx Ix y x yy 2 23 4 12 6 8 0
( ) ( )I IIx x
yy x yy y
6 38 6 8 4
( )( ) ( ) ( )d
IIdxIx
y yy yyy
22 36 8 8 0 6 8 8 04
( ) x yxyy y x y y
y
2 22 3 4 122 2 3
29 96 8 0 6 8 02 2
( )y y y y y y y y 2 2 3 2 2 39 46 4 8 0 6 18 6 8 02 3
y y y y 3 38 18 0 4 9 0
31 - )4(
: گيريم مشتق ميxبار نسبت به ، از رابطه داده شده دوx به عنوان تابعي از yبا در نظر گرفتن
( )d
d xsin y x x y cos y x x I 3 5 2 43 5 ( ) ( ) ( )I y cos y II 0 3 5 2
( ):( ) ( )ddx
II yI y cos y y sin y x x 2 326 20
( ) ( ) ( )y cos sin y 20 2 0 6 20 14
32 - )3(
: كنيم از رابطه مشتق ضمني استفاده مي: روش اول
( , ) x
y
f yf x y xy y y
f x y 2 0 01 0 2 0
.تعريف نشده است ( , )
y 0 00 0
0 0 0
)تابع در نقطة :روش دوم , )0 )كنـد در معادلـة تـابع صـدق نمـي چون نقطه ، تعريف نشده است 0 ) 0 0 پـس 1 . شود مشتق تابع نيز در آن تعريف نمي
33- )4(
: گيريم مشتق ميxبار نسبت به است، از دو طرف رابطه دوx تابعي از yبا فرض اينكه
d ddx dxy
arctan y y x yy
22 0 2 1 0
1
,( ) ( ) ( )( ) ( )
y yy y y y yy y
y
2 2 20 12 2 2
1 2 1 0 2 0 12 0 2 01 1 0
y دو طرف2
)جايگذاري نقطه , )1 0
)جايگذاري نقطه , )1 0
)مبدأ مختصات , )0 0
فرض سؤال
)1( عموميرياضيات 46
34 - )2(
y متناظر باx0ابتدا 0 : آوريم دست مي را به2 ( ) ( ) xf x x e y x 03
0 0 0 02 2 0
)با توجه به رابطهپس، ) ( ) ( )f yf x
1
00
: داريم 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )x x
ff f
f x x e x e
11
2 3
12 1 10 2 0 2 23 2
35- )1(
y متناظر باx0ابتدا 0 : آوريم دست مي را به7 x x x y x 8 4 2
0 0 0 0 03 2 1 7 1
) با استفاده از رابطةحال، ) ( ) ( )f yf x
1
00
: داريم1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
ff f
f x x x x f
11
7 3
7 111 7 24
8 12 4 1 24
36 - )2(
yبراي محاسبة ،گيريم لگاريتم مي، ابتدا از طرفين رابطة داده شده : x tan xln y ln x x tanx ln x
: گيريم مشتق ميآن از طرفين سپس
( ) ( ) ( )( )tan x ln x tan xytan x ln x x tan x ln x x tan x ln x
y xx x
21 12 2
( )tanx ln x tanxx tan x ln x
x x 21
2
yو در آخر، آوريم دست مي را به :
( )( )tanx ln x tan xy y x tan x ln x
x x 21
2
37- )2(
yابتدا و y كنيم آوريم و سپس در معادلة فوق جايگذاري مي دست مي را به :
( )
x x xx x x xy e e y e ex x
1 12 41 1
2 2
با مقداردهي
با مقداردهي
سومهاي فصل تستپاسخ 47
x x x xy e e e ex xx x x x
14
1 1 144 4
xy y Ay 12
x x x x xe e e e ex x x
1 1 1 1 14 44 4 4
( ) ( )x x x x xe Ae Ae A e A ex
1 1 1 04 44
A A 1 104 4
38- )4(
: گيريم لگاريتم ميرابطه داده شده از طرفين ابتدا (( ) ) ( )ln xln y ln ln x ln x ln ln x
yگرفته و حاصل مشتق xنسبت به سپس از طرف دوم yآوريم دست مي را به :
( )( ) ( ( )) ( ( ))ln ln xy yxln ln x ln x ln ln x ln ln xy x ln x x x x y x
1 11
1 1 1 1
39 - )1(
: گيريم از طرفين لگاريتم ميابتدا
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )x xln f x ln ln x ln x ln x ln x
x x
2 32
1 122 5
1 11 2 2 1 3 2 1 3 12 51 3 1
: گيريم مشتق ميدست آمده رابطه جديد بهاز طرفين سپس
( )( ) ( ) ( )
xf xf x x x x x
22 3 1 6
1 2 2 1 5 3 1
xدر نهايت، 0كنيم را در دو طرف جايگذاري مي :
( ) ( ) ( )( ) ( )( )f
f ff
2 3
53 10 1 22 0 0 0 80 2 2 1 1
40- )4(
: گيريم لگاريتم ميرابطه داده شده از طرفين ابتدا ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln f x ln x ln x ln x ln x ln x ln x 2 2 21 2 3 1 2 3
مشتق اولي دوميمشتق اولي دومي
فرض
yجايگذاري و y
)1( عموميرياضيات 48
: گيريم مشتق ميدست آمده رابطه بهاز طرفين سپس
( )( )
x x xf xf x x x x x x x
2 2 21 1 1 2 2 2
1 2 3 1 2 3
xدر نهايت، 0 كنيم جايگذاري ميرابطه باال را در دو طرف :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ff f f
f
1 1 11 110 6 3 2 1 2 31 0 0 0 0 0 00 1 2 32 3 6 6 6
41- )4(
:متري داريمبا توجه به رابطة مشتق پارا
( )( )
( ) I
dya cos t cos t t sin t at sin tdy dty tant
dxdx a sin t sin t t cos t at cos tdt
( )Idy
d y dy tan tdt cos tydxdx at cos t at cos tdx at cos tdt
2 2 22 3
111
42 - )4(
xبا قرار دادن v
x 1 و u y x 2 x به yنسبت تغييرات براي محاسبة ، 9
x 1، حاصلdudv
را : آوريم دست مي بهبه كمك رابطة مشتق پارامتري
( ) ( )
( )
xdu
x x xdu dudxdv x xdv dv xxdx x
2 2 2
22
4
22 9 1 4 5 201 16 99
1
43 - )1(
: با توجه به رابطة مشتق پارامتري داريم
( )t
tI
dyydy dty
dxdx xdt
( ) ( )( )
t t t t
t t t t tx
t t
I
y x x ydy
x x y y xd y dy dtydxdx xdx xdt
22
2 3
سومهاي فصل تستپاسخ 49
44 - )4(
: با توجه به رابطة مشتق پارامتري داريم
( )I
dxdx dt
dydydt
( )( ) ( )
II
tt t
tt dx dxx
dt dtt t t
222
2 23
3 11 2 3 42 1102 1 2 4141 1 4
( ) ( )
( )t t t tt t t tdy t t t
y e e e edt t t t
3 3 3 31 1 1 1
2 243 1 3
1 1 1
( )IIIdx
edt t
3 33 1
234 1
44
: پس، داريم
( ) ( ) ( ), ,I II IIIdxdy
104 1014
45- )3(
g تعريفابتدا با توجه به fof،ابتدا ( )g xو سپس ( )g xآوريم دست مي به را. ( ) ( ) ( ( ) )g fof g x f x f f x
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ))g x f x f f x f x f x f f x
( )( )
( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) If
g f f f f f f f f f f
2 20 10 0 0 0 0 0 1 0 1 )حال با توجه به تابع )f xنياز در موردر ، مقادي( )Iكنيم را محاسبه مي :
( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )f x sin x x f sin f sin II 2 1 0 1 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )f x x cos x x f cos f cos III 2 32 1 1 0 1 1 3
( ),( ),( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )I II III g cos sin sin cos cos sin cos sin 2 20 1 3 1 3 3 3 3 1 1 3
46 - )1(
) ام تابع هموگرافيكnدانيم كه مشتق مي ) ax bf x
cx d برابر است با :
( ) ( ) ( ) !( )
n nn
ad bcf x c n
cx d
11
)1( عموميرياضيات 50
aپس، با قرار دادن 3،b 1،c 2،d 1و n 10آيد دست مي ، به :
( ) ( ) !( ) ! ! ( !)( ) ( )
y yx x
910 9 10 9
11 11 11143
2
13 2 2 102 10 2 10 102 1 3 1 2
47 - )1(
)براي محاسبة مشتق مرتبه سوم تابع )f x درx 1)از عامل صـفر شـونده 2 )x 2 بـار مـشتق گرفتـه و سـه 1
: كنيم حاصل را در حد عبارت باقيمانده ضرب مي
( )( ) ( ) !( ) ( ) ( )x xf x x f x
xxx
3 3 33 3 1
2
1 22 1 2 12 1 3 2 48 4822 2 99
48 - )4(
)كه اگر دانيم در حالت كلي مي ) ( ) ( )f x g x h xآنگاه داريم ، :
( )( )( ) ( ) ( ) ( )n
n kkn
k
nf x g x h x
k
0
: پس، داريم( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )x i x
k x k k x
k k
Ie e
f x x x e x x ek k
10 10
10 2 10 2
0 0110 104 1 4
:از طرفي
( )( ) ( ) ( )d d
kdx dxx x x x x x x 2 2 21 14 2 4 4 2 4 1 0 ( ), ,..., IIk 3 4 10
: آيد دست مي بنابراين، به
( )( ) ( ) ..., ( ) ( ) ( ) ( )x x xI II f x x x e x e e
10 2 4 110 10 102 4 2 0 00 1 2
( ) ( )x xx x x e x x e 2 24 1 20 40 90 24 131
49 - )3(
)دانيم كه اگر مي ) ax bf x
cx d آنگاه ، :
( ) ( )( ) ( )( )
!n nn
Iad bc
f x c ncx d
11
عامل صفر شونده عبارت باقيمانده
سومهاي فصل تستپاسخ 51
aحال با قرار دادن 0،b 1،c aو d b شود مي در رابطة فوق نتيجه :
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) !( )
I n nn
ag x ax b g x a n
ax b ax b
1 11
1
( )( ) !
( ) ( ) ! ( ) !( )n n
n n n n nn n
ana bg a n n abb b
1 11 1
110 1 1
)توجه كنيد كه براي محاسبة ) ( )ng )لورن تابع توان از سري مك همچنين مي 0 )g x اين روش در . استفاده كرد . سري توضيح داده شده استفصل دنباله و
50 - )1(
: كنيم ها را جداگانه بررسي مي گزينه : 1گزينه
( ) , ( )
( ) ( )( )
( ) ( )g x x h x x x
x x g x h x xf x
g x h x xx x x
22
00
)پس، تابع )f x در x 0 پـذير اسـت پذير است و در ساير نقاط نه پيوسته و نه مـشتق هم پيوسته و هم مشتق . : كنيم ها را بررسي مي براي ارائه جواب كامل، ساير گزينه. صحيح است) 1(بنابراين، گزينة
: 2گزينه
)تابع )f xپذير نيست در هيچ نقطه پيوسته و در نتيجه مشتق.( )x
f xx
1 010
)ناصفرنقاط وضوح تابع در تمام به: 3گزينه )x 0در نقطه. پذير است هم پيوسته و هم مشتقx 0داريم ، :
xتابع در 0باشد ناپذير مي ناپيوسته و در نتيجه مشتق.حد وجود ندارد.( )xx
lim f x lim sinx
00
1
: 4گزينه
( )f xازاي بهx 0ناپذير است ناپيوسته و مشتق . ( ) n
x
mf x x
n nx
1 00
0
1
0
xدر نقطة 0داريم :
( )f xدر x 0پيوسته است .( ) ( ) ( )nx x
lim f x lim lim f x fn
0 0
1 0 0 0
)پذيري حال مشتق )f xدر x 0كنيم را بررسي مي :
) . كنيم حد را روي دو زير دنبالة گويا و اصم بررسي مي ) ( ) ( )( )x x
f x f f xf lim lim
x x
0 000 0
fتابع ديركله است.
( )f x 0روي اعداد اصم
)1( عموميرياضيات 52
ـ دارد و در نتيجـهبنابراين حد فوق وجود نxتابع در 0مشتق ناپذير است .
( ) { }
( )
x n
x x
mx
nf x nlim lim mmx x mn
xf xlim lim
x x
0
0 0
11 0
0 0
51 - )1(
fog زماني در x 0 پذير است كه مشتقg در x 0 و fدر ( )g )وضـوح بـه . پذير باشد مشتق0 )g xدر x 0 )و )f xدر ( )g 0 . در صفر پيوسته استfogاند، پس پيوسته0
)توجه كنيد كه چـون )g x در x 0 پـذير نيـست مـشتق( ( ) ( ))g g 10 1 ) و همچنـين 02 )f x نيـز )در )g 0 ــشتق0 ــست م ــذير ني )پ ( ) ( ))f f
0 4 2 ــف 0 ــابر تعري ــابراين بن ) بن )fog xــز در x ني 0 رسـد منظـور طـراح سـؤال بررسـي تـابعي جديـد بـا نظـر مـي ولـي بـه ! ها نادرستند ناپذير و تمامي گزينه مشتق)ضابطة )fog xبوده است به همين منظور ابتدا ضابطة fogآوريم دست مي را به :
| | | |( ) ( ( )) ( ) | | | | ||x x x xfog x f g x x x x x
3 3 9 3 13 34 4 4 4 4
| |
( )| |
x x x x x xfog x
x x x x x x
9 3 1 3 2 04 4 49 3 1 3 2 04 4 4
( )fog xدر x 0پذير است پيوسته و مشتق.( )fog x x 2
52- )4(
( ) ( )[ ]x xx
xlim f x lim x lim x fx x
0 00
11 1 1 0
xپس تابع در 0كنيم پذيري را بررسي مي حال مشتق. پيوسته است :
[ ]( ) ( )( ) [ ][ ]
x tx x x t
txf x f xxf lim lim lim lim t tx x x x
00 0 0
11 100
1 10
)در بـازة جواب حد فوق زير با توجه به شكل , ]1 )دربنـابراين نوسـان كـرده و 0 ) xx
t 1 جـواب 0)ندارد، پس تابع )f xدر x 0استپذير نا پيوسته ولي مشتق .
هم ارزي جزء صحيح
x2
x2 تعريف قدرمطلق
سومهاي فصل تستپاسخ 53
53- )1(
)با فرض )f x bx بينيم كه ، به سادگي مي : ( )
x xlim f x lim b b
) 1
( )xlim f x
). موجود نيست )x x
blim f x lim bx
0) 2
( )x
f xlim
x ).است موجود )
x x
f x bxlim lim b
x x ) 3
. دهيم ها را نشان مي راية جواب كامل، درستي ساير گزينهحال براي ا. نادرست است) 1(پس گزينة : ها اثبات درستي ساير گزينه
)توجه كنيد كه چون )xlim f x b
شود كه اگر ، نتيجه ميb 0 آنگاه خـط ،y bx مـوازي تـابع ( )f x در
) است و لذاهايتن بي )xlim f x
) با توجه به عالمتb .(پس داريم :
).درست است) 2(گزينة ) ( )x x
HOPf x f xlim lim b
x
1
xتوجه كنيد كه وقتي آنگاه به ازاي هر ،h 0 ديد كـه نـسبت فاصـله توان دلخواه مي x و x h كـم : كند بنابراين، داريم شود و به صفر ميل مي مي
).درست است) 3(گزينة ) ( ) ( )x x
f x h f xlim lim f x b
h
)، فرض كنيد)4(براي اثبات گزينة )xlim f x c
كه c صورت، داريم ، در اين :
( )( )xn
f x cb lim f x lim b
x 0 0
.نيز درست است) 4(پس گزينة
54- )4(
)ابتدا با كمي دقت ضابطة تابع )h xآوريم دست مي را به :
( ) ,cos x k x k
h x ksin x k x k
34 4
34 4
)2(گزينة جايگذاري
فرض سؤال
فرض سؤال
)1( عموميرياضيات 54
)ها، براي بررسـي رفتـار تـابع حال با توجه به گزينه )h x در صـورت محـدود شـده در ، ضـابطة تـابع را بـه 4
],بازة ]0 : گيريم در نظر مي2
( )
cos x x
h x
sin x x
0 4
4 2
( )IIhدر ). پيوسته است4 ) ( ) ( )
x x x x
lim h x lim sin x lim cos x lim h x h
4 4 4 4
22 4
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
004 4
004 4
222
4 1 24
4 4222
4 1 24
x x
x x
II
III
sin x HOP cos xh lim lim
x
h h
cos x HOP sin xh lim lim
x
x درhپس ).پذير نيست مشتق4 )I V
)بنابر )IIو ( )I Vنادرستند) 3 ( و)1(هاي شود كه گزينه نتيجه مي . )بنابر )Iو ( )IIدنباش درست مي) 4(و ) 2(شود كه گزينة نتيجه مي .
. پس در اين سؤال دو گزينة صحيح وجود دارد
55 - )4(
: كنيم ارزي مربوطه استفاده مي رسيم، پس از هم مي1با جايگذاري به حالت مبهم
( ( ) )
( )a
x fx
xIlim e
1 حد
( )g g ff e
11مبهم( ( ))f 0 حد1
مبهم( ( ) )x
alim x f
x 1 حد توان0
( )( )( ) ( )
x x x
a aa a aff f fx x xHOPx xlim lim lim
x xx
00 2
0 01 02 21 1 1 حد توان0
0 به0تبديل0
جايگذاري
سومهاي فصل تستپاسخ 55
( )( )
( ) ( )
x x
a a a af f fx x xHOP a axlim lim f
x x
2 22 2
00
0 14 2 01 1 2 22
حد توان
: ابر است بابنابراين، پاسخ حد اوليه بر
a
e
2)حد 2 )I
56- )2(
)ابتدا )f xكنيم را محاسبه مي :
( ( ))
( )( )
usin u
u x xf x
x x x x x
12
2 2 2 4 2 21 2 24 4
1 2 1 1 1 4 4 1 1
( )( )( )
Ix x
f xx x x x x x
2 2 2 2 2
2 24 4 0 04 1 1 2 1 1
)از آنجاكه مشتق تابع صفر شد، پس )f x در نتيجـه . ابت است و مقدار آن در هر نقطه يكسان اسـت يك تابع ث : داريم
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) IIf x f sin sin f x 1 10 1 2 0 02 2
( ) ( ), ( ) ( )I II f x f x 02 2
57- )1(
)ابتدا ضابطه )f xآوريم دست مي را به :
0 كراندارعبارت صفر( )( )x x x
x sinf x xf lim lim lim x sinx x x
2
0 0 0
1100 0
( ) ( )( )x sin cos xf x Ix x
x
1 12 00 0
: پس داريم
.وجود ندارد ( )
( )( ) ( )
I xx
g xlim f x g x lim x sin cos
x x
00
1 1 12
0 وجود ندارد
2
)1( عموميرياضيات 56
: حال داريم. در نتيجه گزينة سوم غلط است
( ) ( ) ( )( ) ( )x
f x flim II
g x g
0
00
0كراندارصفر( )( )x x x
x sinf x xlim lim lim x sing x x x
2
0 0 0
11
( )
( )( )( ) I
g xfg
10
00 01
همچنين؛. غلط است) 2(درست و گزينة ) 1(پس، گزينة
).غلط است) 4(گزينة ) ( )( )( ) ( )
h
hh
IIlim f x
f xlim
g x lim g x
00
0
00 0
58 - )4(
hبراي سادگي از تغيير متغيرn
: كنيم استفاده مي1
( ( ) ( ) ... ( ) ( ))hn
n h h
f a h f a h f a kh k f alim
h
1
0 02 0
حد0
( ) ( ) ... ( )hlim f a h f a h kf a kh
0
2 HOP حد2
( )... ...( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k kf a f a k f a k f a f a
12 1 2 2
59- )2(
)تابع )f xبرابر است با : ... ...( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )f x x x x x x x x 1 2 9 10 11 20
( ) ( ) [ ( )...( )( )...( )]f x x x x x x x 10 1 9 11 20 : گيريم حال از طرفين مشتق مي
xاقيمانده درحد ب( 10( )مشتق عامل صفر شونده درx 10(( )f 10
!( ) ( !)
... ...( ) [ ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ] ( ) ( !)( !) ! !f
10
10
101 10
10 1 10 9 8 1 1 2 9 10 1 10 10 10 10
60- )3(
dبا استفاده از مشتق پارامتري،: روش اول y
dx
2
: كنيم و در رابطه داده شده جايگذاري مي را محاسبه 2
جايگذاري
عامل صفر شونده
فرض سؤال
hمشتق نسبت به
جايگذاري
سومهاي فصل تستپاسخ 57
( )( )
( )
( ) ( ) I
dy tdy t tdtydxdx t t
tdt
23 2 2
3 3231
1 1 1 131 11
3
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )I
t tdyd y dy t t tt tt t
dxdx tdx ttdt
13 1 22
3 32 2 2
3
12 1 1
1 1 11 13 2 111 13
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t 1 1 1
2 2 23 3 34 1 1 1 4 1 1
( ) ( ) ( ) ( )d y d yt t t t f t t
dx dx
12 2 3 32 2 2 2 232 2 14 1 1 1 4 1 4
: روش دوم
( )
( )
( )
( ) ( )dy tdy t t xdty Idxdx t t y
tdt
23 2 2 2
3 32 23
1 1 1 131 11 13
: پس داريم
( )
( )I
x xy xy x yyxy x yydy x d y y
dx y dx y y
2 22 222 22 2 2
2 2 4 4
2 22 2
( )y t
x t
xy x y d yy xy y x
y dx
33
4 4 26 3 3
6 2 11
2 2 2
( ) ( ) ( )d y d yt t t t f t t
dx dx
2 2 3 332 2 2 2 22 2 4 11 2 1 1 4 1
61- )1(
: با توجه به ايدة مشتق پارامتري داريم
( )I
dyacos tdy dty cot t
dxdx asin tdt
( )( )( )
III
dycot t sin td y dy dty sin t
dxdx asin t asin t adxdt
2 223
2
111
فرض سؤال
طرفين وسطين با توجه به فرض
)1( عموميرياضيات 58
( )IIdy
cos t sin t cos td y dy dt aydxdx a sin tdx a sin tdt
43
3 2 5
33
62 - )2(
: اي داريم با استفاده از تكنيك مشتق زنجيره
( )Idy dy du dxdt du dx dt
( )( ) ( )t
IIdx dx
tdt dt
2 23 3
24
2 2 2 1 12 83 3 3 62
( )t
t t
x t x xdu du
IIIdx dx
duu x x x
dx
33
44 22
4 1 32 8 2 2
2 1
( )( )
( ) ( )
t x
x x
u x x u udy dy
IVdu duu dy u u
yu du u u
24 2
24 22 2
4 2 23 3
2 12 1 2 31 1 1
: پس، داريم
( ) ( ) ( ) ( ), , ,I II III IVdydt t
4
1 33 36 2
63 - )1(
: با استفاده از تعريف داريم
( ) ( )( )tx
x x tx t
f x f e ef lim lim lim
x xt
221
0 0 0
00 0 1
( )( )tt
It
lim fe
2 0 0 0
)براي محاسبة )f ) ابتدا ضابطة0 )f xآوريم دست مي را به :
( )
( )x
I
e xxf x
x
21
3
0
2 0
0
: كنيم سپس از تعريف مشتق استفاده مي
tتغيير متغيرx
1
قانون رشد
سومهاي فصل تستپاسخ 59
( ) ( )( )x
x
x x x
eef x f xf lim lim lim
x x x
22
11
340 0 0
0
220
0
( )( )tt
IIt
tx lim fe
2
41
2 0 0 0
)بنابراين ) ( )f f 0 0 . است0
64 - )4(
: كنيم تر مي ابتدا عبارت داده شده را ساده :روش اول
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )x x xx x x x xy
x x x
33 2 43 3 3
2 2 12 2 2 13 2 3 2 3 2
( ) ! !x
xy lim
xx
43 32
12
34 4 363 2 8
( )( ) ( ) ( ) ( ) ! ( )n n
x xf x x x g x f x n lim g x
00 اگر0
x را درyارز ابتدا هم :روش دوم : آوريم دست مي به2
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ) !x
x x
x x xy x y x
x
3 2 4 4 4 43 2 2
2 2 1 3 3 32 2 4 362 2 23 2
قانون رشد
مشابه
نكته
مشتق عامل صفر شونده حد باقيمانده
تعريف
