F ysikaliska begrepp och fysikalisk begreppsutveckling · All naturvetenskap handlar om empiri och...

Fysikaliska begrepp och fysikalisk

begreppsutveckling

Claes Uggla

1:a februari, 2012

1 Fysikalisk modellering

Naturvetenskap bygger på ett samspel mellan observation, experiment och teori somhar utvecklas under tusentals år i ett kulturellt sammanhang�naturvetenskapenidag är en följd av både natur och kultur; båda aspekterna måste beaktas.

1.1 Vad är fysik?

�Det �nns ingen högre eller lägre kunskap, utan endast en som följer frånexperimenterande.� Leonardo da Vinci (1452-1519).�Naturvetenskap bygger på fakta, likt ett hem byggs av stenar; men en ackumule-ring av fakta är inte mer naturvetenskap än en hög stenar är ett hus.� Jules HenriPoincaré (1854-1912).

Ordet fysik kommer ifrån grekiskan och kan löst översättas till `läran om naturen.'Nu kanske de �esta förknippar natur med liv, men här skall natur tolkas i vidmening�fysik handlar om rum, tid och materia. Man söker och försöker förklaramönster�ordning i rummet�och rytmer�ordning i tiden, vilket förutsätter attman även försöker förstå vad rum och tid är.

Liv ses som ett exempel som i princip kan innefattas, men som i praktikenkräver speciella metoder, även om biologin på senare år påtagligt `fysikaliserats'�idag vet vi vad kroppen består av för atomer och i allt högre utsträckning hurde är strukturerade i t.ex. DNA, proteiner, celler, organ, etc. Även kemin, sombehandlar atomer och numera framförallt molekyler,1 kan ses som ett specialfall,men återigen sysslar man med speciella strukturer som kräver speciella metoder.Dessutom representerar de olika naturvetenskapliga disciplinerna olika kulturer medöverlappande men ändå delvis distinkta historier�ingen biolog eller kemist vill sesig som någon specialfysiker, och det med rätta.

All naturvetenskap handlar om empiri och teori om naturen. Empiri består avobservationer och mätningar; teori har att göra med empiribaserade modeller av

1Atomer och molekyler behandlas även inom atom- och molekylfysiken�skillnaden mellan kemioch fysik när det gäller atomer och molekyler beror på metoder och vilka system och tillämpningarman är intresserad av.

1

1 FYSIKALISK MODELLERING 2

(delar av) naturen�den fysiska verkligheten. Inom fysiken spelar mätningar ochmatematiska modeller (formler som beskriver samband mellan olika s.k. storheter)en speciellt viktig roll, så låt oss titta lite närmare på vad mätning och modelleringär?

1.2 Vad är en mätning?

�Man kan endast lära sig genom att göra en sak; även om du tror att du vet, så vetdu inte tills du försöker.� Sofokles (ca. 495 f.Kr. - ca. 405 f.Kr).�There shall be standard of measures of wine, beer, and corn - the London quarter- throughout the whole of our kingdom, and a standard width of dyed, russet andhalbeject cloth - two ells within the selvedges; and there shall be standard weightsalso.� Magna Carta (1215).�När man inte kan mäta...är kunskapen av ett torftigt och otillfredsställande slag.�William Thomson (Lord Kelvin) (1824-1907).

Mäta�vad? Alla vetenskaper har sina rötter i människors intressen, observation-er, jämförelser av likheter och skillnader�av egenskaper och frånvaro av egenskaper.Gradvis uppstår någon slags kategoriindelning med allt snävare avgränsningar.Denna indelning av verkligheten i fragmentariska kategorier är ett utslag avnaturens, människans och kulturers egenskaper och en förutsättning för mätandetskonst.

För att klara sig i världen har djur och i synnerhet människor en mängd kun-skaper, egenskaper och benägenheter som de ofta inte är medvetna om. Dessa harutvecklats som en följd av naturlagar och de förhållanden som präglat jorden underca 4 miljarder års evolution. Instinkter är toppen på ett isberg; t.ex. har både skatoroch människor en medfödd förmåga till att urskilja föremål (en följd av hur materiatenderar att klumpa ihop sig under de förhållanden som råder här på jorden) ochen förmåga att uppfatta (lägre) antal�numerositet�något som torde ha varit tillstor nytta. Ex.: Ett lejon�gulp. Tre lejon�hjälp!

Medfödda förmågor fungerar som bas/startpaket som sedan kopplas till andraförmågor som t.ex. språk som vi lär oss senare i livet. Språk utgör för övrigt ettexempel på en förmåga som vi som art har en medfödd benägenhet att lära oss;vilket språk det blir bestäms dock av kulturella omständigheter. Successivt byggsen allt större individuell plattform av idéer upp som i sin tur via nya erfarenheteroch kulturell kommunikation ger upphov till nya idéer.

För att mäta måste vi således börja med någon slags kategorisering och klassi�ce-ring av objekt, egenskaper, företeelser, och ha någon frågeställning/problemställning,idé, om `storheter' och möjliga samband�relationer, vilket i sin tur förutsätter nå-gon form av ordning; denna kategorisering är associerad med formulering av primi-tiva begrepp, d.v.s. begrepp vi tar för givna�dels beroende på hur vi människorfungerar p.g.a. att vi utgör en del av naturen som en följd av fyra miljarder årsevolution, och dels p.g.a. delvis gemensamma upplevelser som utgör en grund föratt vi skall kunna kommunicera med varandra. Ex.: Vi skall mäta antalet lejon som�nns i Afrika nu. Detta förutsätter att vi har någon mer eller mindre intuitiv idé omkategorierna/begreppen antal, lejon, Afrika, nu. Efter att vi till sist har formulerat


vad vi vill mäta så innebär mätningen att vi gör en kvantitativ jämförelse med nå-got vi kommit överens om att använda som referens�en mätning är per de�nitionen kvantitativ jämförelse av någon egenskap eller företeelse. Under lyckliga omstän-digheter så förändras och fördjupas sedan begreppsbilden genom den aktivitet somuppstår i samband med mätandet så att den i allt högre grad står i samklang meddet som vi observerar och mäter.

Historiskt sett så har mätningsprocesser idag inom naturvetenskapen i hög gradpräglats av en successivt för�nad uppfattning om vad antal, rum, tid och vikt är.Dels har dessa begrepp och associerade mätningar varit viktiga i sig, men dessutomhar de utgjort förebilder som har bidragit till att man efter mycket möda har upp-täckt och uppfunnit sätt att karakterisera och mäta nya storheter som t.ex. elektriskladdning. I hög grad har den tidiga utvecklingen berott på praktiska behov koppla-de till t.ex. handel och utveckling av teknologi. En mätning innebär som sagts enkvantitativ jämförelse av en egenskap eller företeelse som man mer eller mindre tarför givet, t.ex. mätte man tidigt objekts vikter med hjälp av balansvåg. För dettakrävdes någon slags referensvikter som man kunde komma överrens om, t.ex. kanskeKungen hade en uppsättning referensvikter som man senare producerade �era avgenom jämförelser och som senare kunde användas vid vägning av vad man nu varintresserad av. Notera att begreppet mätbart objekt här är ospeci�cerat�det är ettprimitivt begrepp. Att detta är icke-trivialt illustreras av att t.ex. luft eller färgerinte uppfattades som mätbara objekt/kvantiteter förrän den moderna naturveten-skapens genombrott.

Att mäta objekts vikt med en balansvåg är ett exempel på en operationellde�nition�vikt de�nieras av ett förfarande som alla i princip kan tänkas genom-föra. Ett annat tidigt exempel är längd som man kunde mäta genom att kommaöverens om en måttstock�en linjal. Så småningom växer behovet av noggrannhetav t.ex. vetenskapliga eller teknologiska skäl och man inser att det �nns saker somkan inverka på mätningarna man är intresserad av; t.ex. påverkas linjalens längdav temperaturens inverkan på linjalmaterialet (även temperatur är något man försthar en intuitiv känsla för och så småningom kommer på att operationellt de�nieragenom konstruktion av termometrar). För att uppnå en bättre noggrannhet så för-söker man i möjligaste mån därför att producera identiska linjaler; t.ex. kanske mankonstruerar dem av samma material som hålls vid en given temperatur då man görmätningarna, eller så tar man hänsyn till temperaturens inverkan på linjallängden.

I strävan efter reproducerbara, tillgängliga och allt mer tillförlitliga och noggran-na operationella förfaranden så har man under det senaste århundradet blivit alltmer so�stikerad�idag bygger t.ex. längdmätningar på atomers och ljus grundläg-gande egenskaper. Allt eftersom fysikens teorier har blivit allt mer abstrakta för atttäcka in allt �er fenomen så har även de operationella de�nitionerna fått en allt merteoretisk prägel. Vad mer är, det är ofta praktiskt att ha rent matematiska de�ni-tioner, t.ex. är momentan hastighet (hastigheten i ett givet ögonblick) ett praktisktidealiserat matematiskt begrepp, även om faktiska mätningar alltid tar en viss tid.Men värt att notera är att man inte byter operationella de�nitioner för skojs skull�man byter bara ut något om det på ett tillfredsställande sätt har visat sig varabättre.

För att hålla reda på några av ingredienserna som alltid är involverade i en


mätning så inför vi begreppen storhet, enhet, mätetal. Egenskapen av någon slagsbegreppskategori man på något sätt mäter eller beräknar kallas för storhet; måttstoc-ken (i vid mening, t.ex. en uppsättning referensvikter) de�nierar enheten; resultatetav den kvantitativa jämförelsen ger mätetalet: Ex.: Storhet = längd; enhet = me-ter; mätetal = 1,8; resultatet var att längden (av något/någon, t.ex. Kalle) var 1,8meter, d.v.s.: Storhet = mätetal · enhet.

Inte oväntat spelar det all roll i världen vad man sysslar med�vad man mäter.I ovanstående resonemang så �nns det en mängd implicita antaganden. Det kanskeviktigaste antagandet har att göra med relativ stabilitet. Det förutsätts t.ex. attmåttstockar är oföränderliga inom det noggrannhetsområde man antar gälla (allamätningar görs med begränsad kvantitativ precision) under den tidsperiod de an-vänds för mätningar. Detta betyder att det är mycket enklare att hålla reda pånågot om det �nns en underliggande (relativt) oföränderlig värld. Inom fysiken sö-ker och beskriver man ofta dolda oföränderliga naturlagar, och mycket tyder på attde verkligen är oföränderliga i mycket hög grad. Detta är att jämföras med sam-hällsvetenskaperna vars syfte delvis är att uppdaga samband så att vi skall kunnaanvända vår fria vilja (om vi nu har någon) och göra någonting åt saken, något somär mycket svårare, men ofta angeläget.

1.3 Vad är modellering?

"...det slutliga målet med all forskning måste vara härledningen av alla otaliga natur-fenomen som nödvändiga konsekvenser av ett fåtal fundamentala principer." Hend-rik Antoon Lorentz (1853-1928).

All naturvetenskap börjar med en klassi�kation och insamling av `data' om ob-jekt och fenomen, d.v.s. en `botanisk' fas. Men inte vilka data som helst, utan de mantror beskriver några slags mönster. Inom fysiken har dessa mönster/samband/lagari hög grad kommit att beskrivas matematiskt med formler�vi har konstruerat ma-tematiska modeller som har matchats med den fysiska verkligheten. Hur och varförvar och är detta möjligt?

Återigen beror det på både naturen och på människan. Nu i efterhand kan visäga att fysiken ursprungligen ägnade sig åt det enklast tänkbara i naturen; defenomen där bara ett fåtal mätbara saker märkbart påverkar varandra. Ofta, ochdelvis med rätta, ger man idag Galileo Galilei (1564-1642) äran för några av dehuvudingredienser som än idag totalt dominerar matematisk modellering av doldamönster i naturen, speciellt inom fysiken. Låt oss därför ge en kort bakgrund.

Allt måste börja med någon form av idé eller problemställning. Galileo ville visaatt världen ytterst är matematiskt beskrivbar och att Nicolaus Copernikus (1473-1543) hade rätt som sa att Jorden kretsade kring Solen och inte tvärtom. Galileoansåg att man genom att studera rörelse här på Jorden även kunde få insikter omhimlakroppars rörelse, vilket skall kontrasteras mot den då förhärskande åsikten atthimmel och jord lydde olika lagar. Aristoteles (384-322 f.Kr.), vars åsikter var desom då gällde, hävdade dessutom att tyngre saker faller fortare än lätta och attmediet (t.ex. luft eller vatten) var avgörande och oskiljaktigt för hur kroppar faller;t.ex. om luftmotståndet togs bort så trodde han att kroppar skulle falla oändligt


fort�alltså kunde inte luft och luftmotstånd elimineras.Galileo trodde inte på detta utan ansåg att mediets motståndse�ekter tvärtom

dolde fallrörelsens sanna natur. Därför skulle man

(i) först bestämma hur kroppar faller utan mediemotstånd,

(ii) separat studera mediets inverkan på rörelsen för att därefter

(iii) kombinera för att få den fallrörelse vi normalt observerar.

Galileo införde ett `metodologiskt reduktionistiskt' synsätt, något som ledde till storafördelar då det fungerade eftersom det naturligtvis är enklare att lösa ett problemom det kan brytas ner till mindre bitar som sedan kan pusslas ihop än att knäckaallt på en gång. Men det är av avgörande betydelse att påpeka att det är naturensegenskaper i sig som ibland gör detta möjligt�det är en följd av de likheter ochde enorma olika kvantitativa gradskillnader (s.k. skalskillnader) som �nns i naturen.Hur blir man då av med luftmotståndet? Galileo använde sig av två experiment:pendeln och det lutande planet. Låt oss titta lite närmare på hur han använde sigav pendeln för att visa att alla massor faller på samma sätt om man bortser frånluftmotståndet.

Vad är en pendel? En fysisk pendel, d.v.s. en pendel som faktiskt existerar, ärett någorlunda stelt föremål (ett föremål som inte ändrar form nämnvärt) som manhängt upp i en �x upphängningspunkt kring vilket den relativt friktionsfritt kansvänga fram och tillbaka på ett periodiskt sätt. Man kan ju fråga sig varför Galileokom på att han skulle studera något så märkligt som det som kom att kallas pendeloch vad pendlar har att göra med fallrörelse. Idén att studera pendlar föddes underen gudstjänst där en stor massiv ljuskrona sakta svajade fram och tillbaka i kyrkanp.g.a. varierande luftdrag. Galileo insåg att den pendlade dels p.g.a. att ljuskronantenderade att falla när luftdraget väl pu�at ljuskronan ifrån sitt viloläge medan denhindrades att falla fritt eftersom ljuskronan hängde fast i taket. Att den verkligenrör sig p.g.a. att den faller kan inses med följande lilla tankeexperiment: Om pendelnbefann sig i yttre rymden där inget upp eller ner �nns, åt vilket håll skulle den dåpendla? På Jorden faller pendeln först nedåt p.g.a. gravitationen (som vi idag skullesäga) och får på så sätt en fart som tar den upp till nästa vändläge där den igenbörjar falla.

När Galileo tittade på ljuskronan noterade han något intressant: vid små sväng-ningar verkade svängningstiden vara den samma även om svängningarnas storlek(amplitud) var lite olika stora. Han var dock lite osäker eftersom han mätte sväng-ningstiden med pulsen, och den tenderade att gå fortare när han började bli upp-hetsad av det han noterade; han gick därför hem och kollade. Han producerade tvåidentiska pendlar och släppte den ena från lite högre höjd än den andra�de svängdei takt. Periodtiden var oberoende av svängningsamplituden, men bara om den varliten; om den var stor blev det skillnader. Det här betydde att så länge man höll sigmed små svängningsamplituder så gjorde det inte så mycket om de var lite olika omman skulle försöka studera någon annan faktors inverkan.

Spelade pendelns färg någon roll. Tja, det var bara att testa och måla den enapendeln med en annan färg än den andra och sedan jämföra�nej, färgen speladeingen roll. Spelade pendelns massas form någon roll. Ja, olika pendlar svänger inte på


samma sätt och det är svårt att hitta något enkelt mönster. Hur kunde han förenklasaken för att renodla just massans inverkan på svängningstiden? Han hängde upp ettlitet massivt föremål i en tråd som var mycket längre än föremålet men som vägdemycket mindre�både tråd och föremål tillsammans kunde betraktas som en pendelvid små svängningar eftersom tråden då kunde ses som styv (vid stora svängningarså svajar hela arrangemanget på ett oroväckande sätt, men det var ju ändå småsvängningar som var bra då det då inte spelade någon roll hur små de var). Det härarrangemanget eliminerar massans form i möjligaste mån�i den ideala gränsen attmassan är punktformig och tråden viktlös så säger man att man har en matematiskpendel (existerar bara som en abstraktion, men man kan få den fysiska pendelnatt bli så lik den matematiska som möjligt genom att överdriva skalförhållandenamellan tråd och massa).

Den matematiska pendeln eliminerar massans form så gott det går�endast egen-skaperna längd och massa �nns kvar. Nu kunde trådlängden hållas �x och endastmassan varieras i trådens ände. Om man nu låter två lika långa trådar svänga bred-vid varandra men med olika massor i trådändarna, svänger de då i takt. Ja. Massapåverkar inte svängningstiden! Vad mer är rörelsen är långsam jämfört med fritt falloch det betyder att luftmotståndet är litet (långsam rörelse innebär mindre luft-motstånd än snabb; prova själv genom att vifta med armen olika mycket). Galileohade skapat en situation där luftmotståndet kunde försummas och då fann han attegenskapen massa inte inverkade på fallrörelsen�Aristoteles hade fel!

Detta var dock inte allt Galileo kunde få ut av pendeln. När han varieradependellängden så �ck han fram ett enkelt matematiskt samband: Svängningstidenvar proportionell mot kvadratroten på pendellängden; om pendeln t.ex. var fyragånger längre än referenspendeln så var dess svängningstid den dubbla. Galileo hadehittat ett i naturen dolt mönster; i alla fall en del av naturen kunde beskrivasmatematiskt! Dessutom transformerades pendeln gradvis till pendeluret som blevden mest tillförlitliga klockan under en lång tidsperiod.

Varför skall man nu fortfarande göra detta pendelexperiment? Ett skäl är attpendeln var ett av de experiment som gav upphov till den moderna experimen-tella vetenskapen�Galileos arv förvaltades av bl.a. Isaac Newton (1643-1727) ochNewtons teorier kom att inleda matematisk modellering av naturen på allvar i enprocess som pågår än idag. Men mycket viktigare är att pendelexperimentet visarett antal ingredienser som �nns i nästan alla experiment�det utgör ett mönsterex-empel. Så vad är det för allmänna lärdomar vi kan dra av detta exempel?

Tänk om en grottmänniska hade sett en människa som höll på med ovanståendependelexperiment. Nog hade han eller hon tyckt att experimentatorn antagligen varspritt språngande galen? Experiment utgör extrema `arrangemang' av verklighetenoch det `experimentella beteendet' är synnerligen avvikande från vardagsbeteendet,även om det har sitt ursprung i detta! Helt klart är att man behöver någon idé omvart man är på väg redan innan man gör experimentet.

För Galileo, liksom idag, var och är experiment en typ av argument som kananvändas för att övertyga omvärlden om hur någonting fungerar/kan beskrivas.För att argumentet skall vara övertygande så krävs det att experimentet skall varareproducerbart�vem som helst som gör det när och var som helst skall nå sammaresultat�om de beter sig på samma sätt och om förutsättningarna är desamma.


Dels för att underlätta detta och dels för att experiment ofta kräver det så måsteman i mycket högre utsträckning än vanligt vara systematisk och noga, något sominte är helt naturligt för alla.

Galileo använde sig av ett för dåtiden relativt nytt instrument för att visualiseradata�grafen. Det är alltid endast möjligt att göra ett ändligt antal mätningar�man har alltid bara ett ändligt antal `datapunkter'. Grafen underlättar att gissavad som skulle ha hänt om man gjort mätningar `mellan' faktiskt gjorda mätningar(interpolation) och `bortom' gjorda mätningar (extrapolation); den tillåter att manförbinder punkter med en kurva. Genom att dessutom göra serier av experimentså kan man via tankeexperiment ibland gissa sig fram till en ideal situation�vadskulle ha hänt om det inte hade varit något som `stört' mätningarna. Vad merär, den idealiserade kurvan, som beskriver ett idealt samband, är mycket enklareatt matematiskt beskriva än det faktiskt uppmätta datamönstret. Den idealiseradekurvan kan därför ofta fångas av en matematisk formel, som därmed beskriver enidealiserad mätt verklighet.

Viktiga ingredienser i pendelexperimentet kan sammanfattas som följer: Isolera,eliminera och variera en eller ett fåtal mätbara storheter i taget med syfte att ide-alisera så att man kan få fram matematiskt beskrivbara samband, d.v.s. formler.Genom att sedan lägga till fenomen så kan man till sist pussla ihop en allt störredel av verkligheten (se ovanstående kommentar om reduktionistisk metod). EfterGalileos framgångar så tycks fysiker, och andra naturvetare, vara villiga att gå när-mast hur långt som helst för att arrangera situationer så att man kan isolera det`väsentliga' för att sedan genom långa kedjor bygga upp en större del av verklighe-ten; det har blivit en `Greatest Hit' som legat till grund för väldigt mycket av denmoderna vetenskapen. Det är dessutom fördelaktigt att arrangera periodiska förloppeftersom man då kan studera den genomsnittliga e�ekten, och nog är det lättare attbestämma periodtiden för tio svängningar och sedan dela med tio än att bara mätaperiodtiden för en svängning? Speciellt om man som Galileo inte har en klocka, ellerhur?

Med tiden har man funnit samband som tycks täcka in så mycket av världen såatt man till sist har kommit att tro att kanske allt i världen (åtminstone den mate-riella) är beskrivbart i termer av några grundläggande formler�så kallade `funda-mentala' lagar. Men förutom fundamentala lagar så �nns det lagar som uppenbartär approximationer�`fenomenologiska' lagar, fast gränsen mellan det fenomenolo-giska och fundamentala är vag och �ytande. En gång i tiden sågs t.ex. Newtonsgravitationslag som fundamental men idag har den ersatts med Einsteins allmännarelativitetsteori som ger en både vidare och noggrannare beskrivning av gravitation;ingen tror dock att det tar stopp vid Einsteins teori utan att det istället �nns än`djupare' teorier. Meningarna är delade om det någonsin tar slut. Dessutom står detallt mer klart att även om en teori i princip kan förklara en sak så är det inte alltid ipraktiken möjligt, kanske inte ens någonsin�ibland tycks världen vara förblu�andekomplex. Detta innebär att vi antagligen alltid kommer att syssla både med feno-menologi och fundamental forskning, i alla fall så länge vi är intresserade av naturenoch oss själva som en del av naturen.

2 KRAFTBEGREPPET 8

2 Kraftbegreppet

2.1 Förvirring baserad på vardagsanvändning av ordet kraft

Ordet kraft har använts och används i alla möjliga sammanhang i vår vardag, mensällan med den speciella precisa betydelse man idag ger kraftbegreppet inom fysiken.Det här leder till att man tror sig ha en intuitiv känsla för vad kraftbegreppetinnebär, men i själva verket utgör vardagsanvändningen av ordet kraft en källa tillförvirring då det gäller att förstå det precisa fysikaliska begreppet. Samma sak kanför övrigt sägas om många av fysikens begrepp, t.ex. energi.

Fysikens mest kända begrepp förekommer ofta i olika metaforer som har väldigtlite att göra med det fysikaliska begreppet och ordet kraft är inget undantag; här ärnågra exempel: Han/hon är kraftig/kraftfull/kraftlös/slagkraftig. Må kraften varamed dig; goda eller onda krafter. Nu gäller det att samla kraft! Ekonomiska krafter,sociala krafter, samhällskrafter, etc. En annan typ av användning av ordet kraft ut-gör ett exempel på att olika fysikaliska begrepps historiska utveckling, en ofta ganskaförvirrad process, ofta avspeglar sig i språket; här är några exempel: Hästkrafter;elektromotorisk kraft; kraftverk/station. Hästkraft är i själva verket en gammal en-het för e�ekt, d.v.s. energi per tidsenhet (vilket inte har samma enhet som kraft,vilket i sin tur avspeglar att man gör annorlunda typer av jämförelser; i SI-systemethar kraft enheten Newton medan e�ekt har enhetenWatt = Newton·meter/sekund);elektromotorisk kraft (av betydelse för elektriska kretsar) har heller inte samma en-het som kraft. Elkraftverk är viktiga i vår vardag därför att de levererar energi somvi förbrukar i t.ex. våra glödlampor. Återigen är det energi per tidsenhet, d.v.s.e�ekt, som vi är intresserade av; därav t.ex. 40 Watts glödlampor; här är det avintresse att jämföra med det engelska uttrycket�power plant�vilket är lite merrättvisande; notera dock att alla språk i hög grad har sina egna `hyss'.

Ordet kraft förekommer därmed i många olika sammanhang som inte har mycketmed varandra att göra; ord som kraft och energi utgör etiketter för en rad vitt skiljdaföreteelser som vi alla anser oss ha en förförståelse för. Med detta i åtanke (bådeför er själva och i er yrkesroll då ni skall förmedla synnerligen speciella fysikaliskabetydelser av ord som dessa; t.ex. energibegreppet förekommer idag obligatorisktmer eller mindre explicit i skolan även för små barn!), låt oss nu belysa vad manmenar med det mogna fysikaliska begreppet kraft idag, ett begrepp som under enlång tid har testats och visat sig vara mycket fruktbart; låt oss dessutom göra dettagenom en historisk tillbakablick som illustrerar hur begreppet gradvis har vuxitfram.

2.2 Underskattning av kraftbegreppets abstraktion: Vad är

F?

Galileo delade in kroppars egenskaper i `primära' och `sekundära' egenskaper. Deprimära egenskaperna var egenskaper som antal, form, relativ storlek, position i rumoch tid, rörelse, d.v.s. egenskaper som Galileo kunde mäta kvantitativt, medan se-kundära egenskaperna sågs som sinnesegenskaper, t.ex. lukt, färg, smak, ljud. Ifallden som observerade avlägsnades så trodde Galileo att då försvann även de sekun-

2 KRAFTBEGREPPET 9

dära egenskaperna, men däremot inte de primära; endast de primära egenskapernasågs som viktiga i studiet av objektet i sig.

Innan vi fortsätter så kan det vara av intresse att påpeka att vi idag inte rik-tigt ser på saker på samma sätt som Galileo. Ett föremåls färg är associerat medfotoner (ljuspartiklar) som re�ekterats eller sänts ut av föremålet; dess lukt är mo-lekyler som avgivits av föremålet; dess smak svarar mot föremålets yttre molekylersväxelverkan med våra smakorgan; ljud skapas av att föremål vibrerar och får luf-ten och våra trumhinnor att vibrera�allt detta svarar mot olika former av energier(ljusenergi, kemisk energi, vibrationsenergi) som absorberas och omvandlas via oli-ka mekanismer i vår kropp till elektrokemiska signaler som tolkas i vår hjärna tillsinnesintryck. Anledningen till att Galileo fruktbart kunde strunta i detta liggerinte i att de sekundära egenskaperna utgör sinnesuttryck utan att de svarar motenergier som är fullständigt försumbara jämfört med energierna associerade med de(primära) fenomen han intresserade sig för, nämligen föremålens kinetiska energi(=rörelseenergi) och potentiella energi (det senare har att göra med föremåls rela-tiva position gentemot varandra och att position ibland via växelverkan kan görasom till kinetisk energi�att släppa ett föremål och låta det falla är ett exempel påhur gravitationell potentiell energi kan göras om till kinetisk energi, mer om detta ikursen Klassiska partiklar och fält). Notera dock att Galileo inte hade en aning omenergibegreppet som vi idag ser det, inte heller kunde han drömma om att vi idagkan mäta de så kallade sekundära egenskaperna på ett helt fantastiskt noggrant sättoch att vi dessutom i allt högre grad kan studera hur de påverkar oss och behand-las i vår hjärna�allt en följd av en allt mer so�stikerad naturvetenskapligt baseradteknikutveckling.

Galileo mätte således det han kunde mäta och det han inte kunde mäta på-verkade inte mätningarna nämnvärt och han struntade därför i dessa `irrelevanta'fenomen/egenskaper (om han hade haft tillräckligt hög mätnoggrannhet så hade desekundära fenomenen upphöjts till primära). De primära egenskaperna kontrollera-des och varierades var och en för sig så att han därefter kunde pussla ihop en helhet.Det som var av betydelse var därmed begrepp som t.ex. position, hastighet, acce-leration. Endast det direkt observerbara skulle studeras, allt annat var ointressant.Idag skulle vi säga att Galileo ägnade sig åt kinematik (från gr. kinesis�rörelse),d.v.s. han beskrev kroppars rörelse utan att bry sig om vad som orsakade den. Mendet skulle visa sig vara klokt att inte nöja sig med detta�frågan om underliggandeorsaker till olika typer av rörelse skulle visa sig vara mycket fruktbar.

Under 1600-talet så associerade natur�losofer ordet kraft löst med den e�ektivakällan till olika typer av aktivitet; t.ex. årors kraft, magneters kraft, fjädrars kraft,pendelurets kraft, etc; d.v.s. ordet kraft användes i alla upptänkliga sammanhangpå många olika sätt, precis som nu. Men det fanns de som sökte ge ordet ett �xtoperationellt kvanti�erbart innehåll: Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) kal-lade det vi idag kallar kinetisk energi för kraft; även Newton kämpade med att geordet ett precist kvanti�erbart innehåll och han lyckades så väl så att det är hansidéer som vidareutvecklats och som idag ligger till grund för vad som lärs ut inomfysiken. Låt oss därför titta närmare på det Newtonska kraftbegreppet som i sin turär intimt förknippat med de Newtonska begreppen för massa, rum och tid.

År 1668 föreslår Newton följande: �Force is the causal principle of motion and

2 KRAFTBEGREPPET 10

rest. And it is either an external principle that generates or destroys or in some waychanges the motion impressed in a body; or an internal principle by which the motionor rest vested (inditam) on a body is conserved, and by which any being endeavoursto persevere in its state and �ghts back if hindered (et impeditum reluctatur).�

I Principia 1687 introduceras två kraftbegrepp: (i) Vis insita är en `inre kraft'som är proportionell mot massan (en idé som idag är förknippad med begreppet trögmassa, som vi återkommer till i kursen Klassiska partiklar och fält) och som därmedäven kallas vis inertiae�trög kraft (som inte skall förväxlas med s.k. `tröghetskraf-ter'). Denna `kraft' är något som endast ger sig till känna om en kropps tillståndändras p.g.a. en annan pålagd kraft. (ii) Vis impressa�pålagd kraft�består en-dast av påverkan och �nns inte kvar efter påverkan är över. Det passiva vis insitakraftbegreppet har således lett till dagen tröghetbegrepp medan det är det aktivakraftbegreppet som idag ensamt lärs ut som det fysikaliska kraftbegreppet. Låt ossnu betrakta Newtons lagar där det aktiva kraftbegreppet ingår och får sin mening.

N1: Newtons första lag: En kropp förblir i ett tillstånd av vila eller likformigrätlinjig rörelse, om den inte påverkas av en yttre nettokraft.

Ovanstående lag förutsätter någon slags förförståelse om rum och tid. EnligtNewtons Principia gäller följande: �Absolute space, in its own nature, without rela-tion to anything external, remains always similar and immovable. Absolute, true andmathematical time, of itself, and from its own nature, �ows equably without relationto anything external.�

Vad mer är, med rum menar Newton ett Euklidiskt rum, d.v.s. ett rum där t.ex.vinkelsumman i en triangel är 180 grader och Pytagoras sats gäller. Vi kommer snartatt återkomma till Euklidiska och icke-Euklidiska rum för att belysa detta lite meringående.

De�nition: Ett tröghetssystem (inertialsystem) är ett referenssystemdär Newtons första lag gäller.

Enligt empiri fångad av Galileos/Einsteins relativitetsprincip så är alla tröghets-system ekvivalenta, d.v.s. fysikens lagar är de samma i alla tröghetssystem�det gårinte att med experiment på något sätt välja ut något föredraget `absolut' tröghets-system. Därför frångår man idag begreppet om ett absolut rum i Newtonsk teori,men däremot kvarstår begreppet absolut tid�samtidighet är ett absolut begrepp iNewtonsk teori som alla är överens om (d.v.s. begreppet sägs vara absolut), nuet ärdet samma för alla vad man än gör och vad som än sker.

N2: Newtons andra lag: F = ma.

Här är F och a riktade storheter (vektorer), där F (Force) är den totala yttrekraft som verkar på ett objekt och a är objektets acceleration (= hastighetsändringper tidsenhet) medanm är en proportionalitetsfaktor som vi idag kallar för objektets(`tröga') massa (det är värt att notera att formen F = ma för Newtons andra laginte infördes av Newton utan först långt senare av Leonhard Euler (1707-1783).)

Att notera är att denna lag endast gäller på denna form i tröghetssystem, vilka vide�nierade med hjälp av N1 (N1 är därmed inte ett specialfall av N2 som man ofta

2 KRAFTBEGREPPET 11

säger i skolan�utan N1 ingen N2!); i accelererade referenssystem gäller den inte.Tänk om du satt på en karusell som snurrade runt. Då skulle ett föremål som låg stillpå jordytan utanför karusellen ändra sin hastighet gentemot dig, d.v.s., föremåletskulle uppvisa en acceleration relativt dig. Enda sättet för dig att få ihop detta medNewtons första och andra lag skulle vara att du sa att föremålet hade påverkatsav någon kraft, något som antagligen skulle kännas rätt onaturligt då inget drar ieller pu�ar på föremålet och eftersom kraftbegreppet har införts för att fånga justdetta. För att behålla i alla fall en del av kraftbegreppets intuitiva innehåll så väljerman därför att de�niera kraft med utgångspunkt ifrån tröghetssystem som i sin turde�nieras av Newtons första lag.

Newtons andra lag gäller för punktformiga objekt, men kan generaliseras till attgälla även för t.ex. stela kroppar, d.v.s. kroppar för vilka avstånden mellan kroppenstänkta delar inte ändras (d.v.s. ett idealiserat begrepp som fungerar så länge kroppeninte deformeras nämnvärt av yttre eller inre påverkan); i detta fall gäller lagen förkroppens masscentrum. Det är möjligt att härleda detta resultat genom att dela inobjektet i oändligt små (punktformiga) bitar och lägga ihop (superponera) de yttrekrafterna som verkar på delarna till en total kraft F. Detta är möjligt p.g.a. attrummet i Newtonsk teori förutsätts vara plant�Euklidiskt. Låt oss nu diskuteralite om vad Euklidiskt geometri är och låt oss göra detta genom att även diskuteraett exempel på icke-Euklidiskt geometri.

Vi de�nierar först ett rum som något som kan (lokalt) beskrivas med reella tal(fångar den intuitiva idén om att man kan dela något i mindre urskiljaktiga delar),där en punkt kan de�nieras och beskrivas av en unik uppsättning reella tal. Vide�nierar därefter en rät linje som det kortaste avståndet (förutsätter att vi haren måttstock�en linjal) mellan två punkter och låt oss betrakta tre räta linjersom skär varandra och bildar en innesluten yta vars gräns per de�nition utgör entriangel. I ett Euklidiskt rum är vinkelsumman i en triangel 180 grader. Detta gällerinte i ett icke-Euklidiskt rum. Låt oss göra ett tanke-experiment och betrakta två-dimensionella varelser som lever i ett tvådimensionellt rum som vi kan men intebehöver visualisera som en yta i ett tredimensionellt Euklidiskt rum. För ett plangäller Euklidisk `vardags' geometri. Men betrakta nu en sfär. En rät linje på en sfärde�nieras som sagt som det kortaste avståendet mellan två punkter, lokalt, d.v.s. påavstånd små jämfört med sfärens radie, ser en del av en sådan rät linje just rät ut i ettEuklidiskt rum (Euklidisk geometri togs fram genom att först göra mätningar på ytorsom var små jämfört med hela jordens yta�därav uppfattas Euklidisk geometri som`vardagsgeometri'�i själva verket utgör tolkningen att Euklidisk geometri beskriver`rummet' en fysikalisk teori), se Figur 1.

Icke-lokalt, d.v.s. på ytor stora jämfört med sfärens yta, märks det att ytan ärkrökt och beskrivs av icke-Euklidisk geometri. En triangel konstruerad av tre rätalinjer (d.v.s. linjer som utgör kortaste avstånd mellan två punkter på sfären och somlokalt är räta i ett Euklidiskt rum) leder i detta fall till att vinkelsumman är störreän 180 grader! Vad mer är vad man menar med parallellt är annorlunda i en kröktgeometri än i en plan. Om man tar en pil och �yttar den utefter en rät linje med en�x vinkel gentemot den räta linjen och gör detta utefter en triangel så får man attpilen pekar åt samma håll då man har gått runt ett varv på en plan yta. Detta gällerinte på en krökt yta, eller ekvivalent om man på en krökt yta `parallelltransporterar'

2 KRAFTBEGREPPET 12

Figur 1: Lokalt ser en yta plan ut och geometrin beskrivs med Euklidisk geometri,d.v.s. t.ex. är vinkelsumman i en triangel 180 grader.

en vektor så får man olika resultat om man gör detta utefter olika räta linjer, vilketillustreras i Figur 2. Vektorer, d.v.s., riktade storheter, från olika ställen kan därmedendast läggas ihop på ett naturligt och entydigt sätt i plana rum.

Betrakta nu en kropp som be�nner sig nära jordytan och som påverkas av tyngd-kraften. Naturligtvis verkar kraften på kroppens alla delar. Inte desto mindre har dukanske vant dig med att utan att tänka på det lägga ihop alla dessa småkrafter tillen kraft som du lokaliserar till kroppens masscentrum. Detta går som sagt bara ifallrummet är plant, d.v.s. Euklidiskt. Jo men det är det väl? Varför krångla om detta?År 1915 producerade Albert Einstein (1879-1955) sin allmänna relativitetsteori somär en teori om rum, tid och gravitation och som visat sig ge en bättre beskrivningav gravitation än Newtonsk gravitationell teori�som vi diskuterar nedan (bättrei meningen noggrannare överensstämmelse med mätningar och att teorin täcker in�er fenomen). I denna teori förklaras inte gravitation med några mystiska kraftersom verkar på avstånd utan istället med att materia har egenskapen att kröka rumoch tid och att kroppar rör sig utefter denna krökta rumtidsgeometri, vilket vi tillvardags uppfattar som rörelse som avviker från likformig rätlinjig rörelse i ett plantrum. Enligt denna bättre teori är sålunda rummet krökt och vi kan inte lägga ihopvektorer hur som helst! Men det visar sig att denna krökning är mycket liten härpå jorden och därför fungerar det vi gör utan att tänka (t.ex. lägga ihop oändligtmånga småvektorer till en) ok�inom vissa mätnoggrannhetsgränser! Vad mer är,Einsteins teori illustrerar att kraftbegreppet är mer abstrakt än man kanske förstinser.

Krafter��nns de? Ingen har någonsin sett en kraft och ingen kommer någonsinatt se en kraft. Alla mätningar är jämförelser av olika manifestationer av fysikaliskaegenskaper. När vi mäter kraft t.ex. med en dynamometer jämför vi i själva verketnågot med en fjäders `motvilja' att dras ut. I och med att vi kan dra eller pu�apå objekt så blir kraftbegreppet till synes konkret. Men det �nns ofta alternativabeskrivelser till vad som sker. Ett sådant alternativt begrepp är potential som vi

2 KRAFTBEGREPPET 13

Figur 2: Vägen spelar roll vid parallelltransport på en krökt yta.

kommer in senare på i kursen. Ett annat exempel är Einsteins allmänna relativi-tetsteori som beskriver gravitation som rumtidskrökning och inte som krafter somverkar på avstånd.

N3: Newtons tredje lag: Om en kropp påverkar en annan kropp med en kraft såpåverkar den andra kroppen den första med en lika stor men motriktad kraft.

I F = ma så är det viktigt att F utgör den yttre kraften som verkar på objektet.Det här är ofta en källa till förvirring eftersom man ofta behöver använda Newtonstredje lag för att få fram rätt kraft. Om du börjar röra dig framåt så beror det påatt du har pu�at bakåt med den ena eller båda fötterna. Irrelevant för beskrivningenav din rörelseändring! Det som är relevant är att jorden som du pu�at har pu�attillbaks med lika stor men motriktad kraft (Newtons tredje lag!), d.v.s. framåt, ochdärmed har fått dig att accelerera framåt. Men om du nu har pu�at jorden så bordeäven jorden ha accelererats; har den gjort det? Ja! Men kom ihåg att formeln lyderF = ma. Detta betyder att (om vi bara tittar på beloppen och struntar i riktningen�annars följer det av Newtons tredje lag att accelerationerna är motriktade) m(du)·a(du)= m(jorden)·a(jorden) vilket medför att a(jorden)=(m(du)/m(jorden))·a(du).Massförhållandet mellan dig och jorden är löjligt litet och därmed är jordens acce-leration obetydlig. Det må råda demokrati när det gäller krafter men inte när detgäller accelerationer.

Krafter används med fördel även inom statik. Här gäller det att tänka vad skullehända om en kraft eller ett objekt som utövar en kraft togs bort. Man måste helatiden tillämpa Newtons tredje lag och tänka ett steg längre än man normalt kanske

2 KRAFTBEGREPPET 14

gör, och det gäller att tänka: Vad skulle hända om... Du står och lutar dig mot envägg. Vad som är relevant för att du skall be�nna dig i ett statiskt tillstånd (d.v.s.att du inte trillar omkull) är att genom att du trycker dig mot väggen så pu�arväggen mot dig. Tänk vad som skulle hända om väggen togs bort. Du skulle ståsnett och gravitationen skulle få dig att trilla. Kraften från väggen på dig förhindrardetta. Det kan ju tyckas vara fuskigt att allt du gör och vilka intentioner du än harså betyder detta inte ett skvatt utom att föremål som du påverkar, påverkar digtillbaks.

Att man kan lägga ihop krafter, d.v.s. superpositionsprincipen för krafter, kananvändas på ett praktiskt och användbart sätt för att förenkla problem, något somdessutom återigen illustrerar kraftbegreppets abstrakta karaktär. T.ex. kan en kraft,exemplevis tyngdkraften, delas in i komposanter (delkrafter) riktade utefter ochvinkelrätt mot t.ex. en backe ett föremål glider ner utefter (att detta är möjligtberor som sagt på den struktur som är förknippat med plana rum).

2.3 Ego-fällan�vikten av ett perspektiv från `ovan'

Newtons tredje lag är ett exempel på att man med fördel bör tänka bort sitt egooch anta ett `gudomligt' perspektiv. Det är irrelevant vad föremålet i fokus gör,t.ex. du; det som är av intresse för föremålets framtida rörelsetillstånd är vad somverkar på föremålet. Även om du pressar allt vad du orkar mot en vägg så är detväggens tillbakapressande som är relevant för vad som kommer att hända med digrörelsemässigt.

Ett annat exempel är att F = ma endast gäller i tröghetssystem. När manbetraktar cirkulär rörelse, t.ex. att du åker karusell på en karusellhäst, så bör dudärför betrakta problemet från `ovan.' Att det känns som du håller på att slungasrätt ut är irrelevant när det gäller tillämpning av Newtons lagar. Det enda sombetyder något är att du färdas i en cirkulär bana och även om du gör det medkonstant fart (ett tal, t.ex. 10 km/timme) så gör du inte det med en konstanthastighet (fart i en viss bestämd riktning�återigen betyder det fysikaliska begreppetnågot annat än i vår vardag; hastighetsmätare borde heta fartmätare!) eftersom duändrar rörelseriktning gentemot ett tröghetssystem (som intuitivt kan tänkas somett referenssystem där det inte känns som du skulle kastas åt något håll). Dettabetyder per de�nition att du är accelererad och att du därmed har påverkats av enyttre kraft. Sett i ett gudomligt perspektiv skulle du naturligt fara rakt fram, ochdessutom rakt fram på samma sätt. Om hästen plötsligt lossade från karusellen såskulle du mycket riktigt tillsammans med hästen fara rakt fram (och inte rakt utåtifrån karusellen som det känns som du skulle göra) och inte längre i en cirkelbåge.Det måste sålunda vara en kraft som får dig och hästen att röra er runt och denmåste vara riktad in mot karusellens centrum för annars skulle inte hastighetenändras på det sätt den gör (kraften är elektromagnetisk, framförallt elektrisk, ochutgörs av friktion/växelverkan mellan dig och hästen och elektriska krafter mellant.ex. spikarna och karusellen som hästen är fastsatt i).

Du be�nner dig inte i ett tröghetssystem utan ett accelererat system. Det ärmöjligt att beskriva rörelsen även i ditt referenssystem (karusellen) men då måsteNewtons andra lag modi�eras via införande av `tröghetskrafter' som inte är några

2 KRAFTBEGREPPET 15

krafter alls utan en kompensation för att du använder ett accelererat referenssy-stem. Undvik detta då det lätt leder till förvirring och anta i stället ett `gudomligt'perspektiv ifrån ett yttre tröghetssystem där allt du behöver titta på är accelera-tionen för att få fram den yttre totala kraften, som enligt Newtons andra lag ärproportionell mot accelerationen.

2.4 Gravitation och elektricitet

Låt oss nu titta lite på Newtons gravitationslag och låt oss göra detta ifrån ett hi-storiskt perspektiv. Det är av intresse att följa en brevväxling mellan Robert Hooke(1635-1703) och Isaac Newton (1642-1727). År 1674 säger Hooke i sina �Supposi-tions� följande (notera den gammaldags engelskan):�First, That all Coelestial Bodies whatsoever, have an attraction or gravitating powertowards their own Centers, whereby they attract not only their own parts, and keepthem from �ying from them, as we may observe the Earth to do, but that they do alsoattract all the other Coelestial Bodies that are within the sphere of their activity...�;�The second supposition is this, That all bodies whatsoever that are put into a directand simple motion, will so continue to move forward in a straight line, till they areby some other e�ectual powers de�ected and bent into Motion, describing a Circle,Ellipsis, or some other more compounded Curve Line.�;�The third supposition is, That these attractive powers are so much the more powerfulin operating, by how much the nearer the body wrought upon is to their own Centers.�

År 1679 får Newton ett brev från Hooke som innehåller följande: betrakta kon-sekvenserna av �compounding the celestiall motions of the planets of a direct motionby the tangent [inertial motion] and an attractive motion towards the centrall bo-dy"; my supposition is that the Attraction always is in a duplicate proportion to theDistance from the Center Reciprocall.�

Efter ytterligare en brevväxling där Hooke rättar Newton så räknar Newton ihemlighet ut konsekvenserna av dessa antaganden; år 1684 så frågar Edmond Hal-ley (1656-1742) Newton �What would be the shape of the orbit of a planet attractedto the Sun under an inverse-square law?� Newton: �an ellipse.� Halley uppmunt-rar Newton att skriva ner sina resultat och 1687 utkommer Principia MathematicaPhilosophia Naturalis, även kallad enbart Principia, det mest betydelsefulla veten-skapliga verks som någonsin åstadkommits (endast Euklides Elementa och DarwinsOrigin of Species kommer i närheten; kulturellt har Principia haft en inverkan på hurhela naturvetenskapen och även i hög grad samhällsvetenskaperna har utformats;dessutom har det påverkat sådana saker som t.ex. utformningen av amerikanskakonstitutionen och FN stadgan�alla vill göra en Principia!).

Innan vi går vidare kan det vara praktiskt med lite analogier och �gurer för attbelysa cirkulär rörelse och gravitation; betrakta och fundera därför kring Figur 3.

I Principia formuleras Newtons lagar någorlunda stringent (men i hög grad avvi-kande från de för�nade och trimmade versioner som man idag ser i läroböcker) ochNewtons gravitationslag som i modernt språk skrivs som:

F = −Gm1 ·m2

r2r , (1)

där r är en radiell enhetsvektor och där F är kraften mellan två punktformiga

2 KRAFTBEGREPPET 16

Figur 3: Krafter vid cirkulär rörelse.

kroppar med massorna m1 och m2 som be�nner sig på avståndet r ifrån varandra;G är Newtons gravitationskonstant vars värde bestäms av de enheter man �nnerpraktiska att använda. Newton lyckades visa att sfäriska kroppar ger upphov tillsamma gravitationskrafter på andra objekt som ligger utanför dem som om massanhade varit koncentrerad till en punkt i sfärens centrum. Eftersom planeter och soleni stort sett är sfäriska så blev därmed gravitationslagen applicerbar på solsystemet(t.ex. på månen och jorden som be�nner sig så pass nära varandra att man intekan försumma kropparnas storlek jämfört med det avstånd de be�nner sig frånvarandra). Om vi vill titta på inverkan på m1 så har vi att F = m1a1 = Gm1m2/r

2

vilket betyder att a1 = Gm2/r2, d.v.s. accelerationen beror inte på kroppens massa.

Alltså innefattar lagen Galileos observation att ifall man bortser från mediemotståndså faller alla kroppar på samma sätt (d.v.s. en kropps fall beror inte på dess massa).

Massan som ingår i gravitationslagen är inte självklart den samma som ingår iNewtons andra lag. Massan i Newtons andra lag beskriver ett objekts tendens attröra sig rakt fram, och dessutom rakt fram på samma sätt, och svårigheten att fåden att inte göra detta. Massan i F = ma kallas således för trög massa. Massornasom ingår i Newtons gravitationslag å andra sidan uttrycker kroppars benägenhetatt påverka och påverkas av varandra via det vi kallar för gravitation. Det är sammamassa som gör att vi väger något här på jorden, massorna i Newtons gravitationslag,eller snarare `massaspekterna' i Newtons gravitationslag, kallas därför för tungamassor . Att allt faller på samma sätt innebär att den tunga och tröga massanmåste vara proportionella mot varandra och genom ett lämpligt val av enheter så

2 KRAFTBEGREPPET 17

kan de sättas lika, något som vi använde då vi dividerade bort massan m1 då viräknade fram accelerationen a1 ovan.

Att detta inte är självklart kan belysas genom att betrakta Coulombs lag sombeskriver hur två punktladdningar påverkar varandra:

F = +kq1 · q2r2

r , (2)

där k är en positiv enhetsberoende konstant och q1, q2 två elektriska laddningar.Likheten med Newtons gravitationslag är påtaglig och för att betona detta så kanvi kalla (de tunga) massorna som ingår i denna lag för gravitationella laddningar.Precis av samma skäl som för gravitation (vilket redan Newton visade) så gälleräven Coulombs lag såväl för punktformiga partiklar som utanför sfäriska kroppar.

Det �nns dock några viktiga skillnader. Olika kroppar reagerar olika på elektri-citet: en del reagerar inte och i andra fall �nner man ibland attraktion och iblandrepulsion, till skillnad från gravitation som alltid är, så vitt vi vet, attraktiv. Föratt beskriva att gravitationen alltid är attraktiv så låter vi gravitationella laddning-ar alltid ha samma tecken, valt till att vara positivt, och dessutom så inför vi ettminus-tecken framför G i vektorformen av Newtons gravitationslag (1). Att det idet elektriska fallet �nns både attraktion och repulsion kan fångas genom att delain elektriska laddningar i två olika sorter, och man �nner här, i motsats till detgravitationella fallet, att de av samma sort repellererar varandra medan de av olikasort attraherar varandra (eller så �nns möjligheten att ett objekt inte påverkas allselektriskt�att det är `elektrisk neutralt' och saknar elektrisk laddning); detta fångasmatematiskt genom att tillåta att elektriska laddningar kan ha positivt eller nega-tivt tecken samt att man i vektorformen för Coulombs lag (2) har ett plus-teckenframför k.

För att understryka skillnaden mellan gravitation och elektricitet så kan vi be-trakta en kropp med massan m1 och laddningen q1. Vi får följande belopp för acce-lerationen: a1 = k(q1/m1)q2/r

2. Notera att vi nu har q1/m1 istället för m1/m1 = 1i gravitationsfallet�olika kroppar reagerar olika på elektricitet.

En annan skillnad är styrkan hos de två typerna av krafter som bestäms av deså kallade kopplingskonstanterna G = 6, 67259 · 10−11Nm/kg respektive k, som ärbestämd av ϵ0 = 8, 85418 · 10−12As/V m. Kan du bestämma skillnaden i styrkamellan gravitationskraften och den elektriska kraften för två protoner där protonensladdning är q = 1, 6021773 · 10−19C och dess massa ärm = 1, 672623 · 10−27kg genomatt ta kvoten av krafterna? (Alla ovanstående storheter är givna i SI-enheter så detär bara att ta kvoten mellan krafterna; enheterna förkortas därmed bort korrekt såatt man får ett dimensionslöst tal, vilket är det som säger något om hur naturenegentligen är beska�ad då något dimensionellt i lika hög grad är en re�ektion av vårtsätt att välja enheter då vi mäter.) Som du ser om du räknar ut ovanstående, så ärelektriska krafter oerhört mycket starkare än gravitationskrafter, men då det �nnsbåde positiva och negativa laddningar, och då det på stora skalor tycks �nnas likamycket positiva som negativa laddningar, så är det ändå gravitationen som vinnerdå det gäller stora skalor�för att förstå solsystem, galaxer, universum, så gällerdet primärt att ha en god beskrivning av gravitation�men för att förstå materieni smått så är det elektromagnetism som gäller (på nukleära skalor tillkommer densvaga och starka kärnkraften; på riktigt små skalor som 10−35m kan gravitationen

3 ORIENTERINGSBEGREPPET 18

kanske igen bli viktig och kanske måste man då behandla alla krafter demokratisktför att få en än djupare förståelse av naturen än vad vi hittills nått).

Det är ungefär 100 år mellan upptäckterna av gravitationslagen och Coulombslag, som Coulomb upptäckte 1785. Anledningen att det tog så lång tid är den enor-ma styrkeskillnaden mellan den elektriska och gravitationella kraften. När det gällergravitationslagen så fann man den p.g.a. att planeterna be�nner sig på gigantiska av-stånd ifrån varandra och solen och att de approximativt kan ses som punktformiga;att de dessutom i hög grad är sfäriska underlättade upptäckten av gravitations-lagen ytterligare (att månar, planeter, solen och andra stjärnor är nästan sfäriskaär en följd av skillnaderna mellan gravitation och elektricitet). Men när det gällerelektriska objekt så �nns de i alla upptänkliga former och man fann inga uppenbarasamband. Det var först då man började betrakta sfärer och insåg att sfärer och punk-ter gav upphov till samma elektriska krafter (precis som i det gravitationella fallet)som man upptäckte Coulombs lag (I själva verket upptäckte Henry Cavendish (1731-1810) Coulombs lag lite före Coulomb, men han brydde sig inte om att publicerautan bedrev vetenskap bara för sitt eget höga nöjes skull). Vad mer är, man förstodsnabbt att objekt med olika form kunde ses som uppbyggda av punktladdningar ochatt man kunde få fram de elektriska krafterna mellan objekten via superposition avde elektriska krafterna ifrån punktladdningarna, vilket snabbt etablerade Coulombslag (utan tvivel var det många som sparkade sig själva på smalbenen och frågadesig: Varför kom inte jag på detta?).

3 Orienteringsbegreppet

3.1 Höger- och vänsterorientering

En högerhandske passar inte på en vänsterhand och hur mycket man än vrider påen högerhandske så blir den inte en vänsterhandske. Det här är egenskaper som ärassocierade med att rummet har en egenskap som kallas för orientering (detta ärinte en självklar fysikalisk egenskap då det existerar geometriska objekt som saknarorientering). Höger och vänster kanske vi anser oss ha en intuitiv känlsa för, menvi har inom fysiken lärt oss att det oftast är en fördel att ge en precis matematiskbeskrivning av de begrepp som används; hur fångar vi då det här med höger ochvänster matematiskt?

En morgon väcktes Descartes (1596-1650) av en surrande �uga som �ög härs ochtvärs i rummet. Efter en stunds betraktelse slog det honom att han kunde hålla redapå �ugans position genom att ange �ugans rätvinkliga avstånd till väggar och tak.Detta utgjorde början på den analytiska geometrin där man beskriver geometriskabegrepp med hjälp av koordinatsystem. Om vi för enkelhets skull väljer ortonormalakoordinatsystem så förekommer dessa i två olika typer, de�nierade av att de inte kanroteras så att de överlappar�man säger att det �nns höger- och vänsterorientera-de koordinatsystem (motsvarande höger- och vänsterhänder), se Figur 4. Det endasättet att transformera ett högerorienterat koordinatsystem till ett vänsteroriente-rat, eller tvärtom, är via en (eller tre) re�ektion(er), eventuellt följt av en rotation;t.ex. har den andra axeln i Figur 1a) re�ekteras i planet beskrivet av de andra tvåoch därmed givit upphov till Figur 1b) (vad händer om man vänder två av axlarna


istället för en eller tre?).Vänster och höger är inte endast av betydelse för människan (att vi för övrigt

kan uppfatta höger och vänster beror på att höger och vänster hjärnhalvor är asym-metriska, till skillnad från hos många djur), t.ex. är de aminosyror som utgör livetsbyggstenar `vänsterhänta', medan vänster- och högerhänta aminosyror är lika vanli-ga då de produceras arti�ciellt; att livets aminosyror är vänsterhänta är ett beläggför alla djurs gemensamma ursprung. För exempel på så kallade kirala (fr. grekiskanshänthet) molekyler, se Figur 5. Inte bara molekyler uppvisar hänthet; detta begreppspelar en fundamental roll på sub-atomär nivå och är även kopplat till sådana sa-ker som tidens riktning och varför det �nns mycket mer materia än antimateria iUniversum.

1

2

3

1

3

2

2

1

3

Figur 4: Tre koordinatsystem med tre ordnade axlar i rummet. Figur a) sägs varahögerorenterat medan �gur b) är vänsterorienterat. I �gur a) kan du hålla högrahandens tumme i den första axelns riktning, pek�ngret i den andra axelns riktningoch lång�ngret i den tredje axelns riktning. Detta kan du däremot inte åstakom-ma med vänsterhanden. Däremot blir höger- och vänsterhandens roller ombytta i�gur b). Alternativt kan du peka med alla högra handens �ngrar utom tummen i`rotationsriktningen' från axel 1 till axel 2 för att sedan med tummen peka i dentredje axelriktningen. Som ett ytterligare alternativ kan du använda en normalgäng-ad skruv och skruva denna i rotationsriktningen från axel 1 till 2, då kommer denatt röra sig i tredje axelns riktning. Motsvarande gäller för �gur b) men då är detvänsterhanden eller en vänstergängad skruv som gäller. Är koordinatsystemet i �gurc) höger- eller vänsterorienterat?


Figur 5: Exempel på kirala molekyler, d.v.s. molekyler som är varandras spegelbilderoch som kan sägas vara `höger'- respektive `vänsterhänta'.

3.2 Rotation

Låt oss betrakta en stel kropp2 som snurrar kring en �x axel. Vi kan beskrivakroppens rörelse genom att följa en tänkt punkt i kroppen som inte be�nner sigpå rotationsaxeln. Denna punkt kommer att röra sig utefter en cirkel där cirkelnscentrum är en punkt på rotationsaxeln.

Låt oss nu beskriva rörelsen genom att införa koordinater som är anpassade förproblemet, s.k. polära koordinater, se �gur 6. I �gur 6 a) beskriver vi en punkt påcirkeln genom att ange avståndet r ifrån cirkelns mitt samt en vinkel θ som de�nerasgentemot en godtyckligt vald referenslinje; notera att man dessutom samtidigt väljerett håll åt vilket vinkeln räknas positiv. I �gur 6 b) låter vi referensriktningen bli x-axeln i det tvådimensionella plan cirkeln be�nner sig i; dessutom införs en y-riktningåt det håll där θ = +90◦. Detta innebär att vi kan uttrycka en punkt på cirkeln ix− y-koordinater enligt:

x = r cos θ y = r sin θ . (3)

I �gur 6 c) så roterar ett klot, t.ex. Jordklotet. Klotets rotationshastighet är de�ni-erad som

ω =dθ

dt. (4)

En punkt i kroppen roterar i ett plan åt ett givet håll; detta kan vi beskriva genom attinföra en s.k. rotationsaxel som bestäms av att den är ortogonal mot planet med enriktning bestämd av en högerhandsregel där högertummen bestämmer riktningendå denna är vinkelrätt riktad gentemot alla andra �ngrar som i sin tur pekar irotationsriktningen. All ovanstående information kan vi samla i en rotationsvektor ωsom de�neras som en vektor vars längd är absolutbeloppet av rotationshastigheten,|ω| = |dθ

dt|, med en riktning angiven av en enhetsvektor i rotationsaxelns riktning,

enligt ovan beskrivna högerhandsregel, se �gur 6 c).

2En stel kropp de�neras som ett objekt för vilket avstånden mellan kroppens tänkta delar alltidär oförändrade. Detta är som vanligt en idealisering vars användbarhet beror på sammanhanget;t.ex kan ett bord tyckas vara en stel kropp under normala omständigheter, men om det utsätts förtillräckligt stora krafter så kommer delar av bordet att till sist märkbart böjas eller t.o.m. brytassönder.


θθ

x

y

a) b)

ω

c)

Figur 6: I �gur a) så har vi en cirkel där en punkt på cirkeln kan beskrivas avavståndet från cirkelns centrum samt en vinkel θ som mäts jämfört med någon valdreferensriktning åt ett valt håll. I �gur b) har vi låtit referensriktningen bli en x-axeli det tvådimensionella plan cirkeln be�nner sig i och sedan har vi även infört eny-riktning i riktningen där θ = 90◦. I �gur c) så roterar Jordklotet och vi har därinfört en rotationsvektor ω vars storlek ges av |ω| = |dθ

dt| och där riktningen ges

enligt högerhansregeln där tummen pekar i riktningen då övriga �ngrar pekar åt dethåll man valt att θ ökar.

3.3 Moment

Det naturliga för en punktpartikel är att röra sig rakt fram på samma sätt då detkrävs krafter för att ändra på partikelns naturliga rörelsetillstånd; en stel kroppsrörelse kan beskrivas av dess masscentrums rörelse (som beter sig som en punkt-partikel) och hur kroppen roterar. När den väl roterar tenderar den att bevara sinrotation om den inte av krafter tvingas ändra sitt rotationstillstånd. Betrakta nuen skiva som sitter fast i en axel och låt oss anbringa en yttre kraft på skivan, seFigur 7.

Den enda e�ekten av den s.k. kraftkomposanten Fr är att ge upphov till en likastor men motriktad kraft i `axel-upphängningen'. Däremot sätter kraftkomposantenFt snurr på skivan i en rotationsriktning som naturligt bestämmer vinkelriktningensom fås av att ta vinkeln med r som referensaxel till kraften F, se Figur 7. Hurmycket snurr man får på skivan beror inte bara på Ft utan även på avståndet r frånaxeln till kraftens angeppspunkt. Det här motiverar att man inför begreppet kraft-moment ; detta begrepp har, precis som rotation, två aspekter�storlek och riktning.Låt oss börja med storleken. Ovanstående motiverar att vi tittar på M = r Ft; enligtgeometrin i Figur 7 �nns det �era sätt att räkna ut denna storhet:

M = r Ft = r F sin θ = r sin θ F = rt F , (5)

där rt brukar kallas för hävarm. Ovanstående uttryck är formellt påtagligt lika de


F

θ

r

Fr

Ft

θ

rt

Figur 7: I �guren �nns en skiva som sitter fast i en axel kring vilken den kan rörasig. En yttre kraft F verkar på skivan. Kraften delas in i två komposanter; Fr iriktningen r, där r är postionsvektorn från axeln till kraften F:s `angreppspunkt',och Ft i riktningen vinklerätt mot r.

man får för skalärprodukten mellan två vektorer men med skillnaden att man tarden vinkelräta komponenten av den ena vektorn och multiplicerar med den andravektorns storlek (i skalärproduktsfallet var det ju den parallella komponenten mananvände sig av istället), vilket yttrar sig i att man får sinus för vinkeln mellan vekto-rerna istället för cosinus. Men det är viktigt att i detta fall även beskriva åt vilket hållrotationen börjar; detta kan göras genom högerhandsregeln (alla höger hands �ngrarutom tummen åt det håll skivan börjar rotera och tummen pekande vinklerätt mot�ngrarna i rotationsvektorns riktning) som bestämmer vinkelriktning, rotationsaxeloch rotationsvektor. På motsvarande sätt som för rotationsvektorn låter vi M mul-tipliceras med en enhetsvektor i rotationsriktningen. Dessa två egenskaper fångas idet matematiska begreppet kryssprodukt som i detta fall skrivs som:

M = r× F (6)

(analogt med detta bestäms rotationsriktningen av r× v).I allmänhet skriver vi kryssprodukten mellan två godtyckliga vektorer a och

b som a × b. Viktigt är att notera att a × b = −b × a; kryssprodukten sägs varaantikommutativ (byte av ordning leder till motsatsen) till skillnad från skalärprodukta·b = b·a som sägs vara kommutativ (ordning spelar ingen roll). Att kryssproduktenblir antikommutativ beror på att vi väljer rotationsriktning med start från denförsta vektorn i produkten. Nu kanske du tycker att saker kommuterar är det somär naturligt då det t.ex. inte spelar någon roll i vilken ordning man lägger ihop ellermultiplicerar tal, men det mesta i världen kommuterar faktiskt inte! Det spelar t.ex.en stor roll i en rättsprocess om Olle först slog Per och Per sedan slog tillbaks, ellerom det istället var Per som slog först.

Om vi har ett objekt som roterar kring en punkt eller axel och vi inte anbringarnågot kraftmoment så bör det vara så att rotationen fortsätter på samma sätt somförut, eller om man så vill om man kontinnuerligt applicerar ett kraftmoment så bor-de det gradvis ändra rotationen. Vi kan fånga detta genom att titta på tidsintegralenav kraftmomentet.

4 KONSERVERINGSLAGAR, ENERGI, FÄLT OCH POTENTIAL 23

Låt oss börja med att titta på en punktpartikel som `rör sig kring' en referens-punkt (notera att moment alltid bestäms relativt någon referenspunkt):

L :=

∫M dt =

∫r× F dt =

∫r× dp

dtdt = r× p , (7)

där p är rörelsemängden hos partikeln och där den sista likheten kommer ifrånatt r × dp

dt= d

dt(r × p) − dr

dt× p = d

dt(r × p), eftersom dr

dtoch p är parallella

(kryssprodukten mellan två parallella eller anti-parallella vektorer är noll då sinusför noll respektive 180 grader är noll). I enlighet med de�nitionen av kraftmomentdå man tar M = r× (kraft), så säger vi att L = r× (rörelsemängd) är en partikelsrörelsemängdsmoment (allmänt de�nerar vi momentet av en vektor a som r×a, därr är vektorn från en vald referenspunkt till den punkt som vektorn a utgår ifrån,d.v.s. momentet beror på valet av referenspunkt). Momentet för ett objekt medutsträckning fås genom att integrera över alla punkter objektet består av. Vi kannu välja och gå `bakvägen' och de�niera kraftmoment ifrån rörelsemängdsmomentenligt

M :=dL

dt. (8)

I fallet av en stel kropp som roterar kring en �x axel så får man

L = I ω , M = Idω

dt, (9)

där I är det s.k. tröghetsmomentet som är en funktion av objektets massa ochmassfördelning i rummet gentemot rotationsaxeln. Eftersom I alltid är postiv följerdet att ω och L pekar åt samma håll (kontrollera och jämför direkt med de�nitionenför L i fallet med en punktpartikel som utför cirkelrörelse).

Notera att tröghetsmoment spelar samma roll för rotationer som trög massagör för translationsrörelse�en kropps tröghetsmoment beskriver hur svårt det äratt ändra ett objekts rotation kring någon given axel. Matematiskt så är problemassocierade med rotationer kring �x axel snarlika med problem för translationellendimensionell rätlinjig rörelse; följande korrepondenser gäller:

m←→ I , s←→ θ , v ←→ ω , a←→ α :=dω

dt, p←→ L, F ←→M ; (10)

av ovanstående formler får vi dessutom en korrespondens mellan den kinetiska trans-lationella energin 1

2mv2, som fås genom integration av Newtons 2:a lag, och den ki-

netiska rotationsenergin 12I ω2, som fås genom integration av momentet av Newtons

2:a lag.

4 Konserveringslagar, energi, fält och potential

Fysikaliska begrepp är inte statiska och för alltid givna. De utvecklas tillsammansmed empiri och teori och för�nas gradvis, ibland under hundratals år eller mer(!),till allt mer e�ektiva abstrakta byggstenar i teoretiska nätverk som i allt högre gradfångar det vi kallar för fysisk verklighet.


4.1 Konserveringslagar och energi

Rötterna till det vi idag kallar för konserveringslagar och begrepp som energi ochrörelsemängd härrör ifrån följande problem: Vad händer med kroppars rörelse då dekolliderar? Finns det något som inte ändras under en kollision?

Enligt René Descartes (1596-1650) �loso� så liknas det fysiska Universum vid etturverk som konstruerats och igångsatts av Gud; ett urverk som för evigt kommeratt fungera utan behov av att repareras eller skruvas upp då Gud är den perfektaurmakaren. Av detta följer det enligt Descartes att det måste �nnas en princip omrörelsebevarande�rörelse kan visserligen överföras från en del till en annan mentotalt sett så måste det �nnas någon slags kvantitet som varken ökar eller minskar.Frågan blir då: Vad är denna kvantitet? Det kan inte vara summan av alla olika ob-jekts fart då t.ex. en kanonkula kan överföra mycket mera rörelse till sin omgivningän en lätt boll som rör sig med samma fart. Under 1300-talet hade William Ockham(c. 1288 - c. 1348) och hans lärjungar spekulerat om att objekt på något sätt �ck enegenskap då de sattes i rörelse som �ck rörelsen att fortgå�de �ck en viss `rörelse-mängd' som antogs vara proportionell mot objektets massa multiplicerat med någonfunktion av objektets fart. Descartes föreslog att man skulle införa rörelsekvantite-ten massa · fart och att det som var intressant var att summera denna kvantitetför alla objekt ett system bestod av. Men två objekt med samma massa som rörsig emot varandra med samma fart och som fastnar i varandra (s.k. fullständigt oe-lastisk stöt) leder till att de stannar, och därmed är Descartes rörelsekvantitet intebevarad/konserverad.

Under 1660-talet så intresserade sig �era mycket framstående vetenskapsmänför problemet, bl.a. Christian Huygens (1629-1695). De kom fram till att det somvar intressant var ett objekts massa gånger dess hastighet (d.v.s. en vektorstorhetmed både storlek och riktning), som senare kom att kallas objektets rörelsemängd.Man kom fram till att det var ett systems totala rörelsemängd som var bevarad:i ovanstående fall så var den totala rörelsemängden noll (innan stöten så gälldemv+(−mv) = 0, där v är farten och där minustecknet tar and om att rörelsemängdär en riktad storhet, och efter stöten gällde 2m · 0 = 0). Men detta exempel visaratt denna kvantitet inte kan fånga Descartes idé om ett urverk som inte stannar, dåUniversum kanske har en total rörelsemängd som är noll och där kanske till sist alladelar fastnar i varandra så att allt till sist står still. Men Huygens hade även noteraten annan sak: det �nns kollisioner (s.k. elastiska) där kvantiteten mv2 summeratöver alla objekt i ett system är bevarad. Under 1700- och 1800-talet kom dennakvantitet att kallas vis viva (`levande kraft').

Vis viva kom att utgöra basen för Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)(lärjunge till Huygens) mekaniska teorier. Filoso�ska funderingar �ck Leibniz att draslutsatsen att evig rörelse (perpetum mobile) var absurd och för att illustrera dettaså gav han ett exempel som han menade var typiskt för hur naturen i allmänhetfungerar: Han jämförde situationen då man lyfter en vikt upp till fyra fots höjd medden då man lyfter något som är fyra gånger så tungt till en fots höjd�nog bordedetta vara ekvivalent eftersom man kan dela in lyftet till fyra fot i fyra ekvivalentasteg? (Detta förutsätter att gravitationen inte avtar med höjden, vilket den gör,men det visste inte Leibniz och han hade heller inte möjlighet att göra tillräckligt


precisa experiment som kunde bekräfta eller visa att hans hypotes var felaktig.) LiktGalilei försummar sedan Leibniz luftmotståndet. Nog borde det då vara så att bådakropparna �ck samma vis viva precis innan de slog i marken? Men om detta är falletså skulle detta innebära att hastigheterna hos två godtyckliga kroppar då de slår imarken (släppta från höjderna h1 respektive h2) skulle vara relaterade enligt

v21v22

=h1

h2

. (11)

Dessutom, om man knu�ade till två kroppar med begynnelsehastigheterna v1 re-spektive v2 uppför ett friktionsfritt lutande plan, så borde de höjder de når precisdå de stannar vara relaterade enligt v21/v

22 = h1/h2. Det är därför inte massa · fart

som är intressant utan vis viva, massa · (farten)2, som är relevant och det är visviva förhållandena som är lika med höjdförhållandena. Leibniz resonemang och �-loso�ska funderingar ledde honom till slutsatsen att evig rörelse var absurt och hanär den förste som är inne på det vi idag kallar för energi och att energi inte kanskapas eller förstöras men däremot omvandlas. Ordet energi har sina rötter i grekis-kan (med den ungefärliga betydelsen: aktiv, arbetande) och användes sporadiskt ilitteraturen, men det var först 1807 som Thomas Young (1773-1829) kallade mv2 förenergi och det var först på 1850-talet som ordet på allvar slog igenom inom fysiken.

I ovanstående beskrivna utveckling så får idén om att man kan dela in tillvaroni objekt/system som har `inre' egenskaper, som kan påverkas eller t.o.m. skapas av`yttre' faktorer, en allt starkare roll, något som förstärker Galileis metodologisktreduktionistiska �loso� och som tar sig i synnerligen tydligt uttryck i Newtonskmekanik: Ex. �vad som är väsentligt är vilka yttre krafter som verkar på ett objekt.�

År 1820 inser Young att han kan använda sig av Newtons andra lag, F = ma,för att beskriva hur vis viva energi skapas. Låt oss först betrakta endimensionellrätlinjig rörelse och låt oss anta att vi startar ifrån vila och att ett objekt påverkasav en konstant kraft vilket resulterar i en konstant acceleration. I så fall så blir has-tigheten proportionell mot tiden som kraften verkat och sträckan blir proportionellmot tiden i kvadrat, vilket innebär att sträckan är proportionell mot hastigheten ikvadrat. Nu måste dock varje formel ha samma dimension i höger- och vänsterled,men det kan vi ordna genom att notera att accelerationen gånger sträckan är propor-tionell mot hastigheten i kvadrat, men det är naturligt att i stället för accelerationanvända kraft eftersom kraften ses som orsak till rörelsen och därmed får vi attkraften gånger sträckan är proportionell mot massan gånger hastigheten i kvadrat.Nu behöver ju inte krafter vara konstanta och även föränderliga krafter ger upphovtill rörelseändringar; standardtricket ända sedan Newton är att man tittar på vadsom händer in�nitesimalt (d.v.s. man betraktar en oändligt liten förändring) ochdetta motiverar att vi tittar lite närmare på kvantiteten dW = Fds, där vi kan sägaatt F är approximativt konstant om sträckan ds är tillräckligt liten, och ser hurdenna ändras genom att summera över de in�nitesimala sträckorna, d.v.s. genomatt betrakta integralen:

W =

∫ s2

s1

Fds =

∫ s2

s1

mads = m

∫ s2

s1

(dv/dt)ds

= m

∫ v2

v1

(dv/dt)(ds/dt)(dt/dv)dv = m

∫ v2

v1

vdv = 12mv22 − 1

2mv21 , (12)


där vi använt oss av Newtons andra lag samt att ds = (ds/dt)(dt/dv)dv och attv = ds/dt, a = dv/dt. Om vi hade använt oss av 2F istället för F så hade vi fått visviva skillnaden, men det har visat sig att det oftast är en liten aning mer praktisktatt bara ha F och därmed så har kvantiteten T = 1

2mv2 vunnit popularitetstävlingen

och kallas numera för kinetisk energi (kinesis = grekiska för rörelse; det modernabegreppet kinetisk energi infördes av Gustave-Gaspard Coriolis (1792-1843) år 1829)eller rörelseenergi. Intuitivt känns det som det är jobbigt att applicera en kraft föratt skapa rörelse så därför kallas kvantiteten W för det arbete som kraften F haruträttat på kroppen. Låt oss nu släppa en kropp ifrån vila från en höjd h och låt ossberäkna den kinetiska energin den har då den slår i backen. Då gäller att F = mgdär g är tyngdaccelerationen och att F är riktad nedåt som vi tar som längdriktning.Vi startar därför vid sträckan 0 och slår i backen då sträckan är h. Detta innebär attformeln för arbete ger oss att mgh = 1

2mv2. Om vi däremot hade haft en hastighet

v1 i startögonblicket hade vi fått

mgh = T2 − T1 =12mv22 − 1

2mv21 . (13)

Nu är det dock inte alltid så att krafter förändrar den kinetiska energin. Betrak-ta t.ex. cirkulär rörelse med konstant fart. Det är förvisso en kraft som verkar pårörelsen, för annars hade vi haft rätlinjig rörelse i stället för cirkulär; men här ver-kar kraften vinkelrätt mot rörelsen och då sätter den inte sprätt på objektet (ellertvärtom)�tydligen är det bara krafter i hastighetsriktningen som ändrar på farten(däremot ger krafter som verkar vinkelrätt mot hastighetsriktningen upphov till has-tighetsändringar eftersom de påverkar fartens riktning), och därmed är det bara dendelen av kraften vi är intresserade av om vi vill studera kinetiska energiändringar.Det är därmed dW = F// dr, där F// är den delen av kraften som är parallell medden in�nitesimala lägesändringen dr och där dr är längden av dr (där dr = vdt) somnaturligt de�nierar in�nitesimalt arbete då vi har �erdimensionell rörelse. Om vi nuinför vinkeln θ mellan kraften F och dr så får vi att dW = F cos(θ)dr = Fdr cos(θ).Eftersom det här är en god kandidat till något som kommer att kanske förekommaofta så motiverar det en de�nition: Längderna av två vektorer multiplicerade medvarandra multiplicerat med cosinus för vinkeln mellan dem (d.v.s. en storhet somdärmed är densamma som längden för den ena vektorn multiplicerad med längdenav projektionen av den andra på den första, där valet av första och andra vektorär godtyckligt) de�nieras som den s.k. skalärprodukten mellan vektorerna. Vi infören specialbeteckning för denna `greatest hit': skalärprodukten mellan två vektorer aoch b skrivs som a · b := ab cos(θ). Vi har därmed dW = F · dr. För att tala omhur ett objekts kinetiska energi har ändrats så måste vi därmed summera bidragendW utefter den kurva objektet rört sig (vilket förutsätter att vi kan försumma ob-jektets utsträckning; för objekt med utsträckning så kan vi istället använda oss avmasscentrum), vi måste betrakta en s.k. kurvintegral:

T2 − T1 = W1−2 =

∫ 2

1

F · dr , (14)

där 1 representerar startpunkten och 2 slutpunkten.Låt oss nu igen betrakta exemplet med en kropp som faller nära jordytan där

vi har en approximativt konstant tyngdacceleration. När det gäller att få kinetisk


energi genom att släppa något så spelar det ingen som helst roll hur du för uppobjektet till höjden h jämfört med jordytan, man får ju alltid samma kinetiskaenergiändring, bestämd av mgh. Det är därmed endast positionsändringen för startoch slutpunkt som spelar roll och detta innebär en möjlighet att införa en funktionU som bara beror på position och som kallas för potentiell energi (införd 1853 avWilliam Macquorn Rankine (1820-1872)); men då det är positionsändringar somspelar roll så måste man välja någon referenspunkt för U där man t.ex. sätter Utill 0. Exempelvis kan vi välja att sätta U till noll vid jord/golv-ytan i ovanståendeexempel, men det går lika bra att sätta den till 0 t.ex. 1 meter ovanför jordytan omdetta skulle vara praktiskt (kanske detta är höjden på ett bord ovanför jord/golv-ytan på vilket man släpper ett objekt). Det visar sig att det blir bekvämt att de�nieraden potentiella energiskillnaden ∆U som minus det arbete som gravitationskraftenuträttat (som är den kraft som verkar på objektet och som ändrar dess rörelseenergi),d.v.s.

U2 − U1 = ∆U = −W1−2 ; (15)

alternativt så kan man säga att man själv uträttar ett arbete som precis motverkargravitationskraften då man för upp objektet till höjden h och att det är detta arbetesom skapar objektets förhöjda potentiella energi. Det här innebär att vi kan skrivaom relationen mellan arbete och kinetisk energiändring som:

T2 + U2 = T1 + U1 = E , (16)

där U1 = mgh1 och U2 = mgh2, där U = 0 vid någon referenshöjd gentemot vilkenh1 och h2 är mätta (fundera på detta; du kan börja med att sätta v1 = 0, h1 =h, v2 = v, h2 = 0 och jämföra med mgh = 1

2mv2). Då situationerna 1 och 2 är helt

godtyckliga följer det att E är konstant. Vi säger att den totala energin E, d.v.s.summan av den kinetiska och potentiella energin, är bevarad även om kinetiskaoch potentiella energier individuellt ändras�de kan omvandlas till varandra menomvandlingen är reglerad av konserveringslagen som säger att den totala energinär bevarad; notera att det ofta är till hjälp att betrakta konserveringslagar sombokföringsregler. Vid energibokföring så är det praktiskt att ha T + U istället förT − U , vilket motiverade ovanstående de�nition av potentiell energiändring somminus arbetet en kraft uträttat på en kropp.

Det visar sig att man kan införa potentiella energier för så kallade konservativakrafter, vilka de�nieras som krafter där vägen för arbetet mellan två godtyckligapunkter inte spelar någon roll. I detta fall är F · dr en exakt di�erential och vikan skriva att ∆U = U2 − U1 = −W1−2 där W1−2 står för arbetet som uträttats påobjektet ifrån position 1 till position 2 och där ∆U är samma oavsett vilken väg somtagits från 1 till 2. Ovanstående fall är ett sådant exempel då kraften var konstant;men även en gravitationskraft utanför en sfärisk massfördelning, som varierar som

F = −G Mm

r2er , (17)

där G är Newtons gravitationskonstant, M massfördelningens massa och er är enenhetsvektor i radiell riktning, är ett sådant fall. Det följer att om vi sätter U =0 då r = ∞ så får vi (genom att använda att ∆U = U∞ − U(r) = −U(r) =


−∫∞r(G Mm

r2)dr , eftersom kraften är riktad åt motsatt håll jämfört med dr som

ökar `utåt')

U = −G Mm

r= −mgR2

r, (18)

där R är radien och g tyngdaccelerationen vid ytan hos objektet, eftersom F =mg = GMm/R2 på Jordytan.

Ibland brukar man uttrycka det som att kinetisk energi är kapaciteten att utföraarbete genom rörelse och att potentiell energi är kapaciteten att utföra arbete ge-nom positionsändring (kör ovanstående formler `baklänges' då det gäller orsak ochverkan), men detta är lite suspekt då alla energiformer inte är konservativa, vilketförhindrar att energiformer kan förvandlas hur som helst. Ett exempel på en icke-konservativ kraft är friktion som leder till att som regel olika arbete måste utförasför olika vägar mellan två punkter och som vi därmed inte kan införa någon poten-tiell energi för. Då vi har friktion omvandlas makroskopisk energi till mikroskopiskrörelse�värme, och detta på ett sätt så att vi inte kan få tillbaks den ursprungligamakroskopiska energin från värmeenergin fullt ut�endast konservativa energifor-mer är demokratiska då det gäller energiomvandling. Det �nns dock en uppsjö avolika varianter på konservativa krafter: gravitation, elastiska, elektriska, kemiska,nukleära,... Men det skall påpekas att även i fall med friktion så är energibegrep-pet användbart: här gäller det att hålla reda på hur kinetisk energi och potentiellaenergier påverkas av att man har energiförluster i form av friktionsvärme.

Låt oss nu slutligen i denna sektion betrakta följande: Om ett objekt trans-porteras parallellt med jordytan så utförs inget arbete då kraften är vinkelrät motrörelsen. Detta kan kännas som djupt orättvist då de �esta skulle hävda att det ärväldigt arbetsamt att frakta säg 50 kg i en mil. Är då inte arbetsbegreppet helt kasstom det så dåligt fångar våra vardagsupplevelser? Det är för visso så att inget arbetehar uträttats på objektet, men det innebär inte att du har uträttat något arbete.I själva verket utför du en massa arbete precis som du misstänker. Det märks påatt du omvandlar en massa kemisk energi som du använder i dina muskler för attutföra jobbet. Du är inte en stel opåverkbar kropp. Även om du försöker för�yttaobjektet horisontellt så utför du i själva verket små rörelser hela tiden då du �yttarnågot (muskler dras ut av tyngden och du måste kompensera). Tycker du att detär orättvist att det inte är detta arbete som räknas utan bara att inget nettoarbetehar utförts på objektet? Absolut! Men detta har visat sig vara ett mycket fruktbartperspektiv som illustrerar att vi ofta måste se bortom den enskilda människan ochanamma ett lite mer `gudomligt utomstående' perspektiv än vad vi oftast gör tillvardags�i alla fall om vi vill förstå världen, inkluderande människan, allt bättre.

4.2 Fält och potential

När man tittar på magneter och ser hur de påverkar varandra så känns det nästansom om magneten omgav sig med någon egenskap som påverkade andra magnetervar man än lägger dem i den första magnetens omgivning, och liknande gäller förelektriska laddningar. Det här �ck Michael Faraday (1791-1867) att börja prata om`kraftlinjer' vilket i sin tur ledde vidare till begreppet fält, d.v.s. storheter som ärde�nierade i varje punkt, d.v.s. något som �nns `överallt'. Tekniskt sett så är det


lättare att vänta med magnetfält och elektromagnetiska fält och enbart tala omgravitation och elektrostatik, så låt oss göra detta.

Här på Jorden är vi ofta intresserade av hur objekt med mycket liten massajämfört med Jorden uppför sig p.g.a. den kraft Jorden utövar på dem. I det härfallet kan man föreställa sig att Jorden omger sig med ett gravitationsfält som på-verkar jämförelsevis mycket små massor i Jordens omgivning, men som i sin tur intepåverkar Jorden nämnvärt. Man säger att man kan betrakta dem som `testmassor'(testpartiklar de�nieras som partiklar som påverkas men som inte påverkar), vilketnaturligtvis är en idealisering, i Galileos anda. På motsvarande sätt kan man be-trakta en elektrisk laddning och se hur den påverkar testladdningar i sin omgivning.Det här betraktelsesättet leder till att man gärna vill karakterisera omgivningenkring det primära objektet i sig då denna är oberoende testpartiklars egenskaper.Detta kan göras genom att kraften divideras med testpartikelns gravitationella ellerelektriska laddning och på så sätt de�nierar begreppet fältstyrka. Om vi betraktarobjektet som vi är intresserat av och säger att detta har gravitationell laddning (=tung massa) m1 = M (elektrisk laddning q1 = Q i det elektriska fallet) och atttestpartikeln har gravitationell laddning m2 = m (elektrisk laddning q2 = q i detelektriska fallet) så de�nierar vi den gravitationella fältstyrkan g och den elektriskafältstyrkan E utanför en sfärisk mass- respektive laddningsfördelning enligt:

g =F

m= −GM

r2er (gravitation) , E =

F

q= k

Q

r2er (elektrostatik) , (19)

eftersomF = −Gm1m2

r2er , F = k

q1q2r2

er . (20)

Nära Jordens yta så kan gravitationsfältet approximeras till att vara konstant ochvi får då g = F/m = −gez, där enhetsvektorn i `z-led' pekar uppåt ifrån Jordytanoch där g är tyngdaccelerationen. Här har vi dock gjort ett ytterligare antagande:vi har tagit för givet att massan i Newtons andra lag och massan som påverkas avgravitationen är desamma. Detta är långt ifrån självklart. Enligt Newtons andralag, F = mta så är mt den tröga massan som beskriver motviljan att accelerera,vilket a priori inte har någonting med gravitation att göra. Kombinerat med (19)leder Newtons andra lag till följande uttryck för testpartikelns acceleration:

a =

(m

mt

)(−GM

r2er

)(gravitation) , a =

(q

mt

)(kQ

r2er

)(elektrostatik) .

(21)Nu fann ju Galileo att alla kroppar faller på samma sätt�om man bortser frånluftmotstånd�och därmed måste testpartikelns gravitationella laddningen m ochdess tröga massa mt vara proportionella mot varandra, och genom ett lämpligt valav G kan de sättas lika. Detta resulterar i

a = −GM

r2er (gravitation) , a =

( q

m

)(kQ

r2er

)(elektrostatik) . (22)

Därmed beror inte accelerationen på testpartikelns massa i det gravitationella fallet,vilket är i enlighet med Galileos observation, men däremot beror accelerationen idet elektriska fallet på testpartikelns massa och elektriska laddning, vilket ju är som


det skall vara, t.ex. så accelereras ju inte en elektriskt neutral punktpartikel av ettelektriskt fält.

Genom att betrakta fältstyrkan som de�nierad i varje punkt får man ett så kallatvektorfält som endast ger sig till känna om man placerar en laddning i fältet, vilkendå påverkas av en kraft som är lika med fältstyrkan där partikeln placerats gångerladdningen. Genom att betrakta det mönster fälttyrkevektorerna ger upphov till såkan man dra fältlinjer som är linjer som de�nieras av att fältstyrkevektorerna skallutgöra fältlinjernas tangenter�dessutom är det praktiskt att tilldela linjerna enriktning som bestäms av fältstyrkevektorernas riktning; fältstyrkevektorfältet utgörett s.k. tangentvektorfält till fältlinjerna. Detta betyder att om man placerade enpositiv laddning i fältet så skulle den börja röra sig åt det håll fältlinjerna pekar; ennegativ elektrisk laddning börjar röra sig åt motsatt håll.

För att via en analogi bidra till visualisering så är det av intresse att jämföramed hur man kan beskriva stationär vätskerörelse, d.v.s. situationen då en vätskarör sig på samma sätt hela tiden. Vätskan kan ses som bestående av en kontinuerliguppsättning in�nitesimala vätskeelement där varje vätskeelement har en hastighet.Vätskeelementen sägs röra sig efter �ödeslinjer, som motsvarar (hastighetsfältets)fältlinjer.

Istället för krafter är det ibland praktiskt att använda sig av potentiell energi,men likt krafter så karakteriseras den potentiella energin såväl av den partikel manär intresserad av som det fält den be�nner sig i. Därför är det naturligt att göramotsvarande som man gjorde då man introducerade fältstyrka: Låt oss de�nierabegreppet potential V som potentiell energi per laddning, d.v.s.

Vg =Ug

m(gravitation) , Ve =

Ue

q(elektrostatik) . (23)

Notera att potentialen i det elektriska fallet har motsatt tecken jämfört med denpotentiella energin om (test)laddningen är negativ. Ekvationerna (19) och (23) ledertill att vi får följande uttryck:

Vg = −GM

r(gravitation) , Ve = k

Q

r(elektrostatik) . (24)

för Vg respektive Ve utanför sfäriska laddningsfördelningar. Ovanstående relationermellan kraft, arbete, potentiell energi, fältstyrka, potential (ekv. (14), (15), (19),(23)) ger:

Vg(2)− Vg(1) = ∆Vg = −∫ 2

1

g · dr (gravitation) , (25a)

Ve(2)− Ve(1) = ∆Ve = −∫ 2

1

E · dr (elektrostatik) . (25b)

Om man nu väljer en för�yttning dr som är vinkelrät mot fältstyrkan så får manper de�nition resultatet noll för skalärprodukten. Detta innebär att potentialen ärkonstant på ytor gentemot vilka fältstyrkan överallt utgör normalvektorer. Dessaytor kallas för ekvipotentialytor (ekvipotentiallinjer om vi håller oss till två rumsdi-mensioner istället för tre); av detta följer att fältlinjerna per de�nition är vinkelrätamot alla ekvipotentialytor.


Fältlinjer och ekvipotentialytor tillåter att man snabbt får en intuitiv bild avvad som skulle hända om man placerade en laddning i fältet; ju tätare med fältlinjerdesto starkare blir fältet, se Figur 8, men notera att vilka fältlinjer man drar ärhelt godtyckligt och upp till en själv, precis som man kan dra vilka latitud ochlongitudlinjer man själv vill på en Jordglob.

(a) (b)

(c)

Figur 8: Figur (a) visar ett tvärsnitt av fältlinjer (ifyllda linjer med pilar) och ekvipo-tentialytor (streckade linjer) för en punktmassa alternativt negativ punktladdning.Figur (b) visar ett tvärsnitt av fältlinjer och ekvipotentialytor för en positiv punkt-laddning. Figur (c) visar situationen för en oändlig plan massfördelning, alternativtnegativ laddningsfördelning (ifylld horisontell linje), som är relevant för beskrivning-en av situationen lokalt nära Jordytan.

Förutom fält så är det även användbart att introducera begreppet �öde Φ. Låt ossförst betrakta en yta som vi ger en orientering genom att betrakta normalvektorni varje punkt. Ett in�nitesimalt ytelement dA görs om till en vektor genom attmultiplicera med enhetsvektorn som är ortogonal mot dA och kallas då dA; somkonvention för slutna ytor brukar man välja normalvektorer som pekar utåt. Flödetgenom ett ytelement dA är de�nierat som fältstyrkan skalärmultiplicerad med dA,vilket ger oss:

dΦg = g · dA (gravitation) , dΦe = E · dA (elektrostatik) . (26)

För att få �ödet genom en yta A så integrerar man och får en så kallad ytinte-gral, t.ex. Φe =

∫AE · dA. Det gravitationella respektive elektriska �ödet kring en


punktmassa med massan M respektive punktladdning med laddning Q blir:

Φg = −4πGM , Φe = 4πkQ =Q

ϵ0. (27)

Det är enklast att välja en sfärisk yta som respekterar symmetrierna i problemet,men vilken sluten yta kring laddningen som helst ger upphov till samma resultat��ödet, som kan visualiseras av antalet fältlinjer som passerar ytan där dessa räknasmed tecken, ger ett mått på den laddning (massa eller elektrisk) som är inneslutenav ytan.

Elektriska ledare kan idealiseras till att ha en oändlig ledningsförmåga. Dettainnebär att eventuella elektriska fält i ledaren omedelbart jämnar ut laddningsför-delningen så att det totala elektriska fältet inne i ledare blir noll vilket resulterari en statisk situation. Dessutom måste det vara så att det elektriska fältet på ytanhos en statisk ledare är ortogonalt mot ledaren då en tangentiell komponent skullege upphov till strömmar. Genom att man vet att elektriska fält är ortogonala motledande ytor och att fältets styrka kan visualiseras via tätheten av fältlinjer så kanman snabbt få en intuitiv bild av vad som eventuellt kan hända; t.ex. är det inte engod idé att gå omkring med paraply då det är åskväder; kyrktorn är goda kandidaterför blixtnedslag, etc.

4.3 Symmetrier och konserveringslagar

En central uppgift inom naturvetenskapen är att försöka hitta mönster�regelbundenheter.Mönster, d.v.s. återkommande oföränderliga strukturer i rum eller tid, är förknippa-de med så kallade symmetrier. För att beskriva en återkommande struktur så införman begreppet operation, d.v.s. att man gör någonting; om inget då händer underen operation så säger man att man har en symmetri. Ett exempel på operation ären rotation kring en punkt. Tag en triangel; om man roterar den kring dess centrumså återfår man samma situation om man roterar den en tredjedels varv, men inteannars�man säger att man har en diskret symmetri då endast vissa diskreta värdenpå rotationsvinkeln leder till en oförändrad situation. Om man däremot roterar encirkel så får man tillbaks samma cirkel oavsett hur stor rotationen är�man säger attman har en kontinuerlig symmetri eftersom rotationsvinkeln kan ändras kontinuer-ligt utan att något händer. En annan typ av symmetrier är translationssymmetrier.Om man gör en viss rätlinjig längdför�yttning och inget förändras så har man endiskret translationssymmetri och denna visar att det existerar ett periodiskt möns-ter i translationsriktningen med en periodlängd som svarar mot translationslängden;ifall ingenting händer vid vilka translationer som helst i en given riktning så har manen kontinuerlig translationssymmetri.

Symmetrier är associerade med oföränderligheter och 1915 lyckades Emmy Ama-lie Noether (1882-1935) matematiskt koppla kontinuerliga symmetrier till konserve-ringslagar. Det visade sig att för isolerade system så är energikonservering asso-cierad med translationsinvarians (invarians, d.v.s. att något är oförändrat undernågon form av operation) i tiden (rummet är det samma jämt); rörelsemängdensbevarande är kopplad till translationsinvarians (rummet är det samma överallt);rörelsemängdsmomentet (har att göra med snurrning) är bevarat p.g.a. rotationsin-varians (rummet är detsamma i alla riktningar). Betydligt senare insågs det att de


`fundamentala' ekvationer vi använder för att bekriva naturen uppvisar dolda `inre'symmetrier (till skillnad från symmetrier i tid och rum), och dessa gav en `förklaring'till varför t.ex. elektrisk laddning är bevarad, d.v.s. för ett slutet system så ändrasinte nettoladdningen; däremot kan laddningar både skapas och förstöras så längenettoladdningen inte ändras, t.ex. kan elektron/positron-par uppstå ifrån tillräck-ligt energirikt ljus, men den totala laddningen är fortfarande noll då positronen haren lika stor men motsatt laddning som elektronen. Framgångarna för symmetribe-greppet ledde senare vidare till att man använde sig av symmetrier som ledstjärnaför konstruktion av nya teorier, något som visade sig vara fruktbart�idag ingårt.ex. symmetrier som en central del i vår beskrivning av såväl den svaga som denstarka kärnkraften. Men det är inte bara kontinuerliga symmetrier som är viktiga,även diskreta exakta eller approximativa symmetrier spelar en väsentlig roll, t.ex.har de att göra med höger och vänster och varför det är möjligt att skilja på högeroch vänster.

Om naturen ytterst är symmetrisk och om det därmed existerar exakta konser-veringslagar eller om den endast är approximativt symmetrisk, kanske därför attvi bara analyserat den på allt för snäva skalor (Jorden ser platt ut om man tittarpå skalor som är ca 30 mil, eftersom berg och dalar då är försumbara i storlek ocheftersom denna skala är liten jämfört med Jordens krökning som ges av att Jord-radien är ca 637 mil�för att upptäcka att Jorden inte är helt platt så måste manröra sig antingen på tillräckligt små eller tillräckligt stora skalor), är och kanskealltid förblir en obesvarad fråga�men oavsett detta, så kommer symmetrier ochkonserveringslagar alltid att vara av stor betydelse för vår beskrivning av världen.

Som synes be�nner sig vår förståelse av världen i ständig förändring där nyarön bygger på gamla och där utvecklingen ibland går långsamt och ibland snabbare.Sett över tid så täcks en allt större mängd fenomen in, men priset för detta är mednödvändighet en ökad abstraktion. Detta är inte något man gör bara för att detär kul utan därför att experiment och matematik tvingar oss till det. Abstraktioninnebär inte nödvändigtvis något världsfrånvänt, tvärtom, ibland tillåter det oss attganska intuitivt relatera till synes olika saker till varandra, vilket är en betydandefördel då det gäller viss inlärning. Däremot så utgör den tydliga progressionen, därnytt bygger på gammalt, ett hinder. Det går inte, till skillnad från i ämnen somutvecklas mer på bredden än djupet (eller ämnen som överhuvudtaget inte tycksutvecklas på ett objektivt sätt), att bara kasta sig in på ett godtyckligt ställe; ifallman gör detta blir allt obegripligt och därför krävs det i hög grad tålamod. Dettaskall kontrasteras mot företeelser som till synes är djupa och tillfredsställande, mensom i själva verket aldrig kommer att leverera något substantiellt. Hur skapar duförståelse för detta som lärare?

Slutligen: Hur gick det med Descartes argument att det måste �nnas någon typav rörelsekvantitet som är bevarad därför att Gud är den perfekta urmakaren? Idagtyder observationer på att Universum ändrar på sig; Universum tycks t.o.m. blirstörre och större i allt snabbare takt. En av vår tids mest påträngande frågor omvärldens beska�enhet blir därför: Vad är det som sätter sprätt på Universum i allthögre grad? Kommer denna fråga att te sig lika märklig om 400 år som Descartesfrågeställning ter sig idag?

5 ELEKTROMAGNETISM 34

5 Elektromagnetism

Elektriska laddningar påverkas alltid och ger alltid upphov till elektriska fält. Där-emot påverkas de endast, och ger endast upphov till, magnetfält då de är i rörelse.Låt oss börja med hur påverkan går till.

Som sagts tidigare påverkas en punktladdning av en kraft enligt F = qE, där qär punktpartikelns laddning och E är det elektriska fältet i punkten där laddningenbe�nner sig. Magnetiska fält de�nieras av att en testladdning som rör sig i ettmagnetfält B påverkas av en kraft enligt

F =: q v ×B . (28)

Den här de�nitionen tvingas man till då man experimentellt upptäcker att de kraftersom påverkar partiklar i magnetfält inte endast beror på partikelns fart utan ävenav partikelns rörelseriktning enligt ovan3

Påverkan av elektriska och magnetiska fält på en punktpartikel sammanfattas i`Lorentzkraft' formeln:

F = q(E+ v ×B) . (29)

Låt oss nu titta på hur magnetfält genereras. En laddad punktpartikel i rörelsemed konstant hastighet v ger upphov till ett magnetfält enligt:4

B =µ0

4π

q v × r

r2= −µ0

4π

q r× v

r2= −µ0

4π

( q

m

) L

r3, (30)

där µ0 är en konstant som kallas för vakuumpermeabiliteten och där r är en enhets-vektor i den radiella riktningen; notera att fältet avtar som r2, men att det dessutomberor på hastighetsriktningen, se Figur 9 a).

Den magnetiska fältstyrkan ifrån en lång rak ledare med en ström I ges av

B =µ0 I

2πr, (31)

där r är det vinkelräta avståndet ifrån ledaren; fältstyrkans riktning fås via hö-gerhandsregeln med tummen i strömmens riktning (fältlinjerna bildar cirklar kringledaren), se �gur 9 b). Detta kan även användas för en enskild laddning för att tareda på magnetfältsriktningen; men kom ihåg att strömriktningen är de�nierad somden riktning positiva laddningar rör sig i�negativa laddningar rör sig åt motsatthåll. De här resultaten kan ses som specialfall av en allmännare lag som gäller vidstationära situationer�Ampères lag (Andre-Marie Ampère 1775-1836):∫

C

B · dl = µ0 I , (32)

3Historiskt sett så klurade man först ut hur magneter påverkades av strömmar och hur dessagav upphov till magnetfält. Genom en stegvis ökad abstraktion lyckades man till sist fånga allaempiriska data i formler som beskriver enskilda laddade partiklar som man sedan kan använda föratt bygga upp de makroskopiska fenomen man från början utgick ifrån, plus mycket mer�d.v.s.en typisk fysikalisk historieutveckling med ökad abstraktion och reduktionism.

4Ekvationerna här är icke-relativistiska; vid hastigheter nära ljusets hastighet behöver de ersät-tas med uttryck som är kompatibla med Einsteins speciella relativitetsteori från 1905.


där kurvintegralen tas över en sluten kurva C som innesluter en total ström I (räk-nad med tecken enligt högerhandsregeln applicerad på valet av den slutna kurvansriktning), d.v.s. eventuella strömmar som inte tar sig igenom slingan bidrar inte tillkurvintegralen.

Precis som för elektriska fält utgör den magnetiska fältstyrkan B tangenterna tillde magnetiska fältlinjerna, med vilka man kan illustrera magnetfält, se �gur 9 b).

v

r

B

a)

I

B

b)

Figur 9: a) En laddad partikel i rörelse ger upphov till ett magnetfält som är vin-kelrätt riktat mot planet som hastigheten och postionsvektorn från laddningen tillpunkten man vill mäta magnetfältet i utgör; riktningen anges av −qr× v = qv× r(är laddningen i �guren positiv eller negativ?). b) En elektrisk ström ger upphov tillett magnetfält vars riktning fås genom att hålla tummen i strömmens riktning ochlåta �ngrarna krökas kring ledaren.

Elektriska laddningar (eller gravitationella) kallas för monopoler. Hittills harman aldrig observerat en enskild magnetisk laddning, d.v.s. en magnetisk mono-pol. Istället så tycks magnetism alltid vara förknippat med elektriska laddningari rörelse; en vanlig magnet består av en mängd mikroskopiska `strömslingor'�därmagnetiska fält uppstår i atomkärnor och/eller av elektronrörelse vars magnetiskabidrag mer eller mindre samordnas och läggs ihop till en makroskopisk e�ekt�enmagnet. Därför består alltid en magnet av en `nord'- (läs magnetisk plus) och en`syd'-ända (läs magnetisk minus); om man tar sönder magneten får man en uppsätt-ning små-magneter ända tills man har haft sönder den magnetiska ordningen så attinga nämnvärda nettomagnetfält �nns kvar. En magnet sägs vara en magnetisk dipoldå den alltid kan tänkas bestå av en positiv och en negativ magnetisk laddning.

Magnetiska fältlinjer fås därmed, precis som t.ex. för elektriska fält, genom att


dra linjer från + (nord) till − (syd). Om en elektrisk dipol, bestående av en minus-och en plusladdning, be�nner sig i ett elektriskt fält så tenderar den till att riktain sig i fältriktningen med minusladdningen `bakåt' och plusladdningen `framåt'.Motsvarande gäller för en magnet (d.v.s. magnetisk dipol) i ett magnetiskt fält.Jorden är en magnet; åt vilket håll har vi Jordens magnetiska sydpol? (Svar: Norrut,eller mer precist�Grönland.)

År 1831 upptäckte Michael Faraday (1791-1867) induktion, d.v.s. att magnetiskafält som ändrar sig i tiden ger upphov till elektriska fält, som i sin tur kan genereraelektrisk ström. Låt oss införa det magnetiska �ödet (helt i analogi med elektriskaoch gravitationella �öden):

ΦB :=

∫A

B · dA . (33)

Betrakta nu en yta A innesluten av en kontur C, där konturen ges en riktning ienlighet med ytans riktning och högerhandsregeln. Då gäller att:

dΦB

dt= −

∫C

E · dl , (34)

där den senare integralen är kurvintegralen utefter konturen. Antag nu att konturenutgör en elektrisk ledare. Då kan vi de�niera en inducerad elektromotorisk spänningenligt E =

∫CE · dl, vilken i sin tur ger upphov till en elektrisk ström. Om vi t.ex.

har en resitans R i kretsen så får vi en ström I = E/R enligt Ohm's lag. Om vilindar en ledare N varv så får vi N gånger större E .

Undersökningar innan Faraday tog bara hänsyn till stationära elektriska ochmagnetiska fenomen, som då tycktes kunna behandlas separat. Induktion påvisadeatt det fanns kopplingar mellan elektricitet och magnetism. På 1860-talet fann JamesClerc Maxwell (1831-1879) att för att få en konsistent elektromagnetisk teori så varhan tvungen att även ta fram en ekvation som visade att elektriska fält som varieradei tiden gav upphov till magnetiska fält (han modi�erade Ampères lag). Låt oss skrivaner Maxwells ekvationer och därmed samanfatta elektromagnetismen (ekvationernageneraliserades dock senare till att även innefatta elektromagnetism i media, d.v.s.material):

ΦE =Q

ϵ0Gauss lag for elektriska falt (35a)

ΦB = 0 Gauss lag for magnetiska falt (35b)∫C

B · dl = µ0

(I + ϵ0

dΦE

dt

)Amperes (modifierade) lag (35c)∫

C

E · dl = −dΦB

dtFaradays induktionslag . (35d)

I ekvationerna (35a) och (35b) är ytorna slutna där den i ekvation (35a) innesluterden totala laddningen Q; eq. (35b) uttrycker att det inte �nns några magnetiskamonopoler; de slutna kurvorna i ekvationerna (35c) och (35d) utgör randen tillytorna som används för att beräkna �ödena i dessa ekvationer, där ytriktningenväljs enligt högerhandsregeln (välj en kurvriktning utefter C och låt alla �ngrar utomtummen peka i riktningen; tummen hålls sedan vinkelrätt mot �ngrarna och visar

6 FRÅN SVÄNGNINGAR TILL VÄXELSTRÖM 37

då ytriktningen); strömmen I i ekvation (35c) utgör den nettoström (räknad medtecken enligt högerhandsregeln) som passerar igenom ytan, i den valda riktningen.

När Maxwell hade fått fram sina ekvationer så fann han att han kunde skri-va dem så att vakuumpermeabiliteten µ0 och vakuumpermittiviteten ϵ0 kom in ihans ekvationer i kombinationen ϵ0µ0 som var relaterade till en konstant c enligt1/(ϵ0µ0) = c2, där c:s numeriska värde visade sig vara lika med ljusets hastighet,inom experimentella felgränser. Han kunde dessutom visa att elektromagnetiska fältfortplantade sig med denna hastighet, och han drog därför slutsatsen att ljus ärelektromagnetiska vågor. Ca 20 år senare lyckades man producera osynligt ljus ochefter ytterligare en tid kom tillämpningar som radio. Idag är vårt samhälle totaltberoende av vår kunskap om elektromagnetiska fenomen, en följd av människorsny�kenhet på hur naturen ytterst fungerar�men det tar typiskt 50 till 100 år innanman ser `nyttan' av konstruktiv ny�kenhet inom naturvetenskaperna.

Idéer föder nya idéer. Einstein funderade vidare på Maxwells resultat och kom-binerade detta med idéer från Galileo (hans relativitetsprincip). Detta ledde till denspeciella relativitetsteorin 1905, ifrån vilken han bl.a. härledde formeln E = mc2,d.v.s. massa är en form av energi, vilket ledde till förståelse för hur solen funge-rar, kärnkraft och atombomber (hur vi använder oss av kunskap är ett kulturpro-blem/möjlighet). I kombination med Galileos slutsats att allt faller på samma sätt,om det inte påverkas av några andra krafter än gravitation, så lyckades Einsteingeneralisera den speciella relativitetsteorin (mekanik utan gravitation) och Newtonsgravitationsteori till sin allmänna relativitetsteori 1915, som vi idag är beroende avför att det globala positioneringssytemet skall fungera med tillfredsställande nog-grannhet och för att satellitnavigering skall vara billig (man utnyttjar att man kankomma nära ett antal himlakroppar och använda deras gravitation för att sparabränsle). I dessa teorier visade det sig att rum och tid är plastiska�rum och tidpåverkas av rörelse och gravitation. Detta kan ju tyckas vara helknäppt och det ärdet också i den meningen att det strider mot vår intuition. Men vår intuition ärformad av evolutionen som styrs av naturlagarna och de speciella förhållanden somhar rått här på Jorden i 4 miljarder år, tillsammans med de händelser som domi-nerar vår vardag och som vi normalt inte tänker närmare på. Men man måste gålångt bortom vardagen för att förstå den�och oss själva. Intuitivt så torde störredelen av mänskligheten under människan historia ha tagit för givet att Jorden ärplatt. Det var först då vi betraktade fenomen då jordradien blev av betydelse som viupptäckte att Jorden var rund. På liknande sätt hade teknologin och matematikenför ca 100 år sedan kommit så pass långt så att man lyckades ta sig långt bortomvardagen; man fann då att människan inte alls var alltings mått, i många styckeninte ens gentemot sig själv. Detta har varit ett för människans fåfänga svårt slag,men fåfänga är sällan någonting gott.

6 Från svängningar till växelström

Låt oss först betrakta en punktpartikel som rör sig i en cirkel med konstant fart v.Uttryckt i polära koordinater får vi att v = rdθ/dt = rω, d.v.s., även vinkelhastig-heten är naturligtvis konstant. Integration ger att θ = ω t (jämför linjär rörelse med


konstant fart). Uttryckt i Cartesiska x− y-koordinater får vi:

x = r cos(ωt) y = r sin(ωt) . (36)

Frekvensen, f , som anger antalet varv per tidsenhet, och periodtiden T , som angertiden för ett varv, ges av

f =ω

2π, T =

1

f=

2π

ω. (37)

Låt oss nu titta på den så kallade harmoniska oscillatorn där en massa som endastpåverkas av en fjäder påverkas av en kraft F = −kx, där x utgör fjäderns avvikelsefrån jämviktslaget och k är fjäderkonstanten som uttrycker fjäderns styvhet (det härär en `fenomenologisk' lag som stämmer hyfsat för många `fjädrar' så länge de intedras ut eller ihop allt för mycket). Enligt Newtons 2:a lag gäller md2x/dt2 = −kx,vilket medför att

d2x/dt2 + ω2x = 0 , ω :=√k/m . (38)

Om man tittar på partikeln som svänger fram och tillbaks så kanske man kan gissaatt den rör sig i tiden på ett sinusformat sätt och man skulle då ha rätt! Om du sätterin x = A sin(ωt) (där A är en konstant) i ovanstående så kallade di�erentialekvationså ser vi att vänsterledet blir 0 och att vi därmed har en lösning; samma sak gällerdock även för x = B cos(ωt) (där B är en konstant), och t.o.m. även för x =A sin(ωt) +B cos(ωt) som är den allmänna lösningen (alla lösningar till ekvationenkan skrivas på denna form), men denna kan även skrivas på formen

x = C sin(ωt− ϕ) , (39)

där konstanten C kallas för amplituden och konstanten ϕ för fasen, eller fasvinkeln.Värdena på C och ϕ för en realiserad situation bestäms av läge och hastighet iett givet ögonblick, t.ex. då man sätter igång systemet; dessa värden kallas då förbegynnelsevärden.

Ovanstående så kallade enkla harmoniska svängningar är av stor betydelse ochdyker upp i alla möjliga sammanhang. Ett exempel på detta är att de utgör engod approximationen för system som involverar `små' vibrationer. Om vi integrerarNewtons 2:a lag för ovanstående fjäder-mass-system så får vi energiformeln

12mx2 + Ue = E , Ue =

12kx2 , (40)

där Ue kallas för den elastiska potentiella energin. Komplicerade potentiella energiermed minima kan typiskt approximativt beskrivas av en potentiell energi på formen12kx2. Detta innebär att om man stör ett system, bestående av många delar, lite från

jämvikt så kan systemet approximativt beskrivas som ett system av `harmoniskaoscillatorer' som var och en kan behandlas enligt ovan.

Låt oss ta ett exempel som matematiskt kan behandlas som en harmonisk oscil-lator vid små svängningar: en matematisk pendel. Vi har att

θ + ω2 sin θ = 0 , ω :=√

g/ℓ , (41)


där g är tyngdaccelerationen; ℓ pendellängden; θ vinkeln mellan lodlinjen (som an-vänds som referenslinje) och pendeln. Vid små svängningar gäller att sin θ ≈ θ, vilketger en ekvation på formen (38), med x bytt mot θ (ett exempel på korrespondensmellan rätlinjig endimensionell rörelse och rotationsrörelse kring en �x axel) och vifår därmed en lösning enligt (39):

θ = θ0 sin(ωt− ϕ0) ; (42)

om vi släppte pendeln från vila med en vinkel θ0 och sätter tiden till 0 i dettaögonblick får vi som begynnelsevillkor att ϕ0 = −π/2. Att notera är att pendeltidenges av T = 2π/ω = 2π

√l/g, men vi ser här att detta förutsätter små svängningar.

Låt oss nu betrakta en plan spole med N varv och arean A som roterar med kon-stant vinklehastighet ω kring en axel som är vinkelrät mot ett konstant magnetfältB. Då gäller att ΦB = BA cos(ωt), där vi har valt att sätta fasen till 0 då t = 0.Detta leder till att en elektromotorisk spänning

E = −N dΦB

dt= NωBA sin(ωt) (43)

genereras, d.v.s. vi har ett sätt att generera växelström (vi har här försummat atti och med att en varierande ström genereras så skapar även denna ett varierandemagnetfält som i sin tur leder till en påverkan på kretsen; ett fenomen som kallasför självinduktion).

F ysikaliska begrepp och fysikalisk begreppsutveckling · All naturvetenskap handlar om empiri och...

Documents

Transcript of F ysikaliska begrepp och fysikalisk begreppsutveckling · All naturvetenskap handlar om empiri och...