Έστω το γραμμικό σύστημα:

Το ίδιο σύστημα σε μορφή πινάκων:

35

732

yx

yx

BXA

y

x

3

7

51

32

όπου

A Η μήτρα ή πίνακας του συστήματος

B Η μήτρα ή πίνακας των σταθερών όρων

X Η μήτρα ή πίνακας των αγνώστων του συστήματος

Ο τυχών τετραγωνικός πίνακας διαστάσεων 2x2 έχει αντίστροφο πίνακα ιδίων διαστάσεων, τον αν και μόνο αν ισχύουν οι σχέσεις 1A

2

11 IAAAA

10

012I

22 II

Ο μοναδιαίος πίνακας διαστάσεων 2x2 είναι ο

και έχει την ιδιότητα να αφήνει αναλλοίωτο κατά τον πολλαπλασιασμό κάθε τετραγωνικό πίνακα 2x2

Η λύση του συστήματος, εφ’ όσον η μήτρα του συστήματος έχει όντως αντίστροφο, τον

BAX

BAXI

BAXAABXA

1

1

2

11

A1A

Μοναδιαίος πίνακας για διαστάσεις 3x3 και 4x4 :

nxnnxnnxn nn II

100

010

001

3I

1000

0100

0010

0001

4I

Για οποιονδήποτε τετραγωνικό πίνακα διαστάσεων nxn ισχύει:

Εξ’ ορισμού, ο τυχόν τετραγωνικός πίνακας Α διαστάσεων nxn έχει αντίστροφο όταν:

nIAAAA 11

Ως ορίζουσα ενός τυχόντος 2x2 πίνακα

A

2Dορίζεται ο αριθμός

και συμβολίζεται ως: det(A) ή

Ένας τυχών πίνακας 3x3

333231

232221

131211

A

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

113

D

Η ανάπτυξη της ορίζουσάς του ως προς την πρώτη γραμμή:

333231

232221

131211

A

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

113

D

ji

ji, )1( α Πρόσημο του

Για έναν τυχόντα 4x4 πίνακα:

44434241

34333231

24232221

14131211

A

Ανάπτυξη ορίζουσας ως προς τη δεύτερη στήλη του πίνακα:

343331

242321

141311

42

444341

242321

141311

32

444341

343331

141311

22

444341

343331

242321

124

D

Σημαντική σημείωση: Ο υπολογισμός της ορίζουσας είναι ανεξάρτητος της γραμμής ή της στήλης ως προς την οποία θα αναπτυχθεί.

ΘΕΩΡΗΜΑ Ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο, αν και μόνο αν η ορίζουσά του είναι διάφορη του μηδενός.

Υπενθυμίζεται ότι η ορίζουσα ενός πίνακα είναι βαθμωτό μέγεθος.

Η ορίζουσα τυχόντος τετραγωνικού πίνακα A συμβολίζεται ως det(Α) ή ως

nnnn

n

n

21

22221

11211

Έστω Α ένας τυχόν τετραγωνικός πίνακας π.χ. ο

Τότε η ορίζουσά του υπολογίζεται στο Matlab ως εξής

Έστω ένας τυχών μη τετραγωνικός πίνακας

Εάν η det() δράσει σε μη τετραγωνικό πίνακα, η ροή της εκτέλεσης του προγράμματος διακόπτεται βίαια.

Η σύγκριση

γίνεται σειριακά από αριστερά προς τα δεξιά: πρώτα γίνεται η

και μόνο εάν αυτή ισχύει επιτελείται η

Η αντιστροφή της σειράς των λογικών συνθηκών οδηγεί σε σφάλμα όταν ο πίνακας Α δεν είναι τετραγωνικός

Προτείνεται η χρήση εμφωλεασμένων if όταν η ν+1 συνθήκη απαιτεί την ισχύ της ν-οστής. Εν προκειμένω:

Απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στη στοίχιση των εμφωλεασμένων if

Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης υποδηλώνει ορίζουσα διάφορη του μηδενός, ενώ τα Μαθηματικά σαφώς υπαγορεύουν ότι det(N)=0

Η συνάρτηση inv() του Matlab

Υπολογισμός αντιστρόφου πίνακα

Για τον αντίστροφο ενός πίνακα Ισχύουν υποχρεωτικά οι εξής ιδιότητες:

Ο υπολογισμός του αντιστρόφου δεν είναι εφικτός αν ο πίνακας δεν είναι τετραγωνικός

Η εκ παραδρομής εφαρμογή της συνάρτησης inv σε έναν μη-τετραγωνικό πίνακα, διακόπτει βίαια τη ροή του αντίστοιχου προγράμματος.

Λύση γραμμικού συστήματος

Προσοχή! Είναι εντελώς λάθος να γράψει κανείς

Ένα προς επίλυση γραμμικό σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους

lzw

zlwk

kwlz

lkwz

75.37.03

68569

5325.4

12397

Παρατηρούμε ότι το σύστημα δεν είναι στην παρούσα μορφή σωστά στοιχειοθετημένο, ώστε να μπορεί να λυθεί άμεσα με κώδικα Matlab

5.37037.0

65968

55.432

12397

lkwz

lkwz

lkwz

lkwz

Αρχικά, αναδιατάσσουμε το σύστημα ώστε να έχει την ακόλουθη μορφή:

BAX

Το αρχικό γραμμικό σύστημα εξισώσεων γράφεται σε μορφή πινάκων ως:

όπου είναι ο πίνακας ή η μήτρα του συστήματος

και η μήτρα των σταθερών όρων αυτού

A

B

7037.0

5968

5.4321

1397

A

5.3

6

5

12

B

Η φορμαλιστική λύση του προηγουμένου συστήματος είναι η

Η υλοποίηση αυτής της λύσης σε κώδικα Matlab είναι η

BAX 1

Για γραμμικά συστήματα μεγάλης τάξης έχουν αναπτυχθεί ειδικές τεχνικές επίλυσης αυτών που μελετώνται στην αριθμητική ανάλυση

Πολυώνυμο μηδενικού βαθμού: σταθερά 0

0

0 axa

Πολυώνυμο 1ου βαθμού: 10

0

1

1

0 axaxaxa

Ως πολυωνυμική συνάρτηση ή απλά ως πολυώνυμο

ορίζεται ο γραμμικός συνδυασμός των δυνάμεων μίας

ανεξάρτητης μεταβλητής, έστω x.

Πολυώνυμο 2ου βαθμού:

Πολυώνυμο nοστου βαθμού:

21

2

0

0

2

1

1

2

0 axaxaxaxaxa

nnn

nn

nnn

nn

axaxaxaxa

xaxaxaxaxa

1

2

2

1

10

01

1

2

2

1

10

...

...

Η συνέχεια μίας συνάρτησης εντός ενός συγκεκριμένου πεδίου ορισμού εντοπίζεται από την μη ύπαρξη κενών ή αλμάτων στη γραφική της παράσταση για αυτό το πεδίο

ορισμού.

Για την πλήρη περιγραφή ενός πολυωνύμου στο Matlab, απαιτείται η κατασκευή ενός πίνακα που περιέχει τους

συντελεστές του πολυωνύμου.

Η σειρά τοποθέτησης των συντελεστών εντός του πίνακα είναι από το μεγιστοβάθμιο μέχρι το σταθερό

όρο. Εάν κάποιος συντελεστής λείπει στη θέση του τοποθετείται το μηδέν.

5

54

5

6

10

41 23 xxx ]4,4[x

]5

54,

5

6,

10

41,1[

Ο πίνακας x του πεδίου ορισμού αποτελείται από

8001 στοιχεία. Για να υψωθούν όλα τα στοιχεία του x στο τετράγωνο

απαιτούνται 8001 πολλαπλασιασμοί. Για να υπολογισθεί το

x.^3=(x.*x).*x απαιτούνται 2*8001 πολλαπλασιασμοί.

Συνολικά απαιτούνται 3*8001 πολλαπλασιασμοί= 24003

πολλαπλασιασμοί.

Βελτιωμένος, από πλευράς πολυπλοκότητας, κώδικας υπολογισμού πολυωνύμου

Ο πίνακας x του πεδίου ορισμού αποτελείται πάλι από

8001 στοιχεία. Για να υψωθούν όλα τα στοιχεία του x

στο τετράγωνο απαιτούνται εκ νέου 8001 πολλαπλασιασμοί.

Δεδομένου του x.^2, για να υπολογισθεί ο x.^3=x.*(x.^2)

απαιτούνται μόνο 8001 πολλαπλασιασμοί.

Συνολικά απαιτούνται 2*8001=16002 δηλαδή 8001 λιγότεροι

πολλαπλασιασμοί.

Το κέρδος από την καλή σύνταξη του κώδικα αυξάνει ραγδαία, όσο αυξάνει ο βαθμός του πολυωνύμου.

Π.χ. για πολυώνυμο 11ου βαθμού και το ίδιο πεδίο ορισμού ο πρώτος τρόπος απαιτεί 528066 πολλαπλασιασμούς

ενώ ο δεύτερος μόνον 168021 πολλαπλασιασμούς.

Το Matlab υπολογίζει τα πολυώνυμα με τη συνάρτηση polyval:

Κατά την εκτέλεση του προγράμματος προέκυψε ότι

polywnymo(6001)=1.7764*10^(-15)

polywnymo(6002)=-0.0056

Επειδή οι ανωτέρω τιμές είναι ετερόσημες, το πολυώνυμο

ως συνεχής συνάρτηση θα μηδενίζεται υποχρεωτικά εντός

του ανοικτού διαστήματος (x(6001),x(6002)) χωρίς να

γνωρίζουμε ακριβώς που. Γι’ αυτό αποδίδουμε την ρίζα

στο άκρο όπου το πολυώνυμο έχει τη μικρότερη απόλυτη

τιμή δηλαδή το x(6001)

Η εγγενής συνάρτηση

roots του Matlab εντοπίζει

τις ίδιες ρίζες.

Στην roots ο χρήστης δεν απαιτείται να δώσει πεδίο ορισμού ενώ αυτή προσφέρει και μιγαδικές ρίζες. Π.χ. Επίλυση του πολυωνύμου: 302953 234 xxxx

Ο πίνακας synartisi έχει τις τιμές οποιασδήποτε συνεχούς συνάρτησης ορισμένης στον πίνακα x που περιέχει διαμέριση

επιθυμητού κλειστού διαστήματος

Το Matlab, όπως και οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού,

παρέχει τη δυνατότητα δημιουργίας προγραμμάτων, τα οποία

αποθηκεύονται στον δίσκο και όταν καλούνται προσφέρουν

στον χρήστη τον πίνακα synartisi της προηγούμενης διαφάνειας

πρακτικά για οποιοδήποτε πίνακα πεδίου ορισμού.

Τα προγράμματα αυτά ονομάζονται επίσης «συναρτήσεις».