29. 7. 2003 1

FII–15 Příklady použití magnetických polí

29. 7. 2003 2

Hlavní body

• Použití Lorentzovy síly• Proudy jsou pohybující se náboje• Náboje v elektrickém i magnetickém poli• Měření specifického náboje• Příběh objevu elektronu• Hmotová spektroskopie• Hallův jev• Urychlovače částic

29. 7. 2003 3

Znovu Lorentzova síla• Vraťme se k Lorentzově síle :

a zabývejme se užitím totohoto vztahu.

• Začněme pouze s magnetickým polem.

• Ukažme, že platí :

)]([ BvEqF

)()( BLIFBvqF

29. 7. 2003 4

Proudy jsou pohybující se náboje I

• Mějme přímý kousek vodiče délky L kolmo na magnetickou indukci a v něm náboj q, pohybující se rychlostí v.

• Na překonání vzdálenosti L bude náboj potřebovat čas : t = L/v

• To odpovídá proudu : I = q/t = qv/L q = I L/v

• Dosadíme za q do výrazu pro Lorentzovu sílu :

F = qvB = ILvB/v = ILB

29. 7. 2003 5

Proudy jsou pohybující se náboje II

• Chceme-li znát, jak se v magnetickém poli chová určitý vodič, protékaný proudem, můžeme si pro jednoduchost představit, že nosiče náboje jsou kladné a pohybují se ve směru tekoucího proudu. U většiny jevů nezáleží jakou polaritu nosiče náboje ve skutečnosti mají, ani se jimi tedy nedá zjistit. Výjimkou je např. Hallův jev.

• Ilustrujme to na vodivé tyčce pohybujicí se na vodivých kolejnicích v magnetickém poli.

29. 7. 2003 6

Proudy jsou pohybující se náboje III

• Připojme zdroj ke dvěma rovnoběžným kolejničkám, ležícím v rovině, kolmé k magnetickým siločárám. Položme na ně dvě vodivé tyčinky. V jedné budou nosiče kladné, ve druhé záporné.

• Vidíme, že vzhledem k tomu, že se náboje opačné polarity pohybují při stejném směru proudu na opačnou stranu a síla působící na náboje rozdílné polarity je opačná, bude síla působící na obě tyčky stejná. Toto je vlastně princip elektromotoru.

29. 7. 2003 7

Pohybující se náboj v magnetickém poli I

• Vstřelme nabitou částici q, m rychlostí v kolmo do homogenního magnetického pole o indukci B.

• Velikost síly působící na částici je F = qvB a její směr můžeme najít z vlastností vektorového součinu FvB musí tvořit pravotočivý systém.

• Protože F je kolmá k v, bude neustále měnit směr pohybu, ale nikoli velikost rychlosti a výsledný pohyb částice bude kruhový.

29. 7. 2003 8

Pohybující se náboj v magnetickém poli II

• Výsledný pohyb je analogický pohybu planetárnímu. Lorentzova síla musí být silou dostředivou kruhového pohybu :

mv2/r = qvB• Obvykle se měří r , aby se identifikovaly

částice :

• r je úměrné velikosti rychlosti a nepřímo úměrné specifickému náboji a mg. indukci.

B

vr

mq

1

29. 7. 2003 9

Pohybující se náboj v magnetickém poli III

• Tento vztah je základem pro identifikaci částic například v mlžné komoře, používané v částicové fyzice.• Můžeme okamžitě určit polaritu částice.

• Jsou-li dvě částice stejné, má ta s větším r větší rychlost a energii.

• Jsou-li stejné rychlosti, má částice s větším specfickým nábojem menší r.

29. 7. 2003 10

Měření specifického náboje I

• Tento princip lzepoužít k měření specifického náboje elektronu.

• Volné elektrony získáme ze žhavené elektrody (katody). Potom je urychlíme napětím U, necháme vletět kolmo do magnetického pole o indukci B a změříme poloměr r jejich kruhové dráhy.

29. 7. 2003 11

Měření specifického náboje II

• Vyjádříme rychlost: mv2/r = qvB v = rqB/m

• Tu dosadíme do rovnice, vyjadřující zachování energie během urychlování : mv2/2 = qU q/m = 2U/(rB)2

• Veličiny na pravé straně jsou měřitelné. B lze vypočítat z proudu a geometrie elektromagnetů, obvykle Helmholtzových cívek.

29. 7. 2003 12

Specifický náboj elektronu I

• Původní přístup objevitele elektronu J. J. Thompsona v roce 1897 byl odlišný.

• Používal zařízení známé nyní jako “rychlostní filtr”. • Použije-li se magnetické pole B a kolmé

elektrické pole E správné polarity, projdou filtrem pouze částice, mající určitou rychlost v.

29. 7. 2003 13

Specifický náboj elektronu II

• Má-li částice filtrem projít, musí se navzájem kompenzovat elektrická a magnetická síly, které na ní působí :

qE = qvB v = E/B

• Tato podmínka nezávisí ani na hmotnosti ani na náboji částic!

29. 7. 2003 14

Specifický náboj elektronu III

• Thopson tedy :• Použil elektronové “dělo”, nyní známe jako

CRT.• Označil si, kam dopadají nevychýlené elektrony

při nulových polích.• Zapnul elektrické pole E a označil si výchylku.• Zapnul také magnetické pole a nastavil jeho

indukci B, aby paprsek elektronů dopadal na stejné místo, jako při nulových polích.

29. 7. 2003 15

Specifický náboj elektronu IV

• Vletí-li nabitá částice o hmotnosti m rychlostí v do elektrického pole o intenzitě E, koná pohyb po parabolické dráze (obdobně jako při vodorovném vrhu) a po průletu úsekem pole o délce L, je odchýlena o y :

y = EqL2/2mv2

• Dosadíme za rychlost v = E/B a dostaneme :

m/q = L2B2/2yE

29. 7. 2003 16

Hmotová spektroskopie I

• Výše popsané principy jsou také základem významné analytické metody – hmotnostní spektroskopie, která funguje následovně :• Analyzovaný vzorek je separován, např. GC a

ionizován.

• Ionty se urychlí a nechají prolétnout rychlostním filtrem

• Nakonec vletí kolmo do magnetického pole a měří se množství částic v závislosti na poloměru dráhy.

29. 7. 2003 17

Hmotová spektroskopie II

• Výsledkem je množství částic v závislosti na specifickém náboji, z něhož lze, alespoň principiálně rekonstruovat chemické složení analyzované látky.

• Moderní hmotnostní spektroskopy obvykle pracují s proměnným polem, aby poloměr r byl konstantní a svazek částic dopadal po stejné dráze do velice citlivého detektoru.

• Základní princip ale zůstává stejný.

29. 7. 2003 18

Hallův jev I

• Vložme vzorek látky ve tvaru tenké, podlouhlé a ploché destičky do homogenního magnetického pole, aby silořáry procházely kolmo jeho největší plochou.

• Protéká-li proud po délce, objevuje se tzv. Hallovo napětí napříč vzorku.

• Polarita tohoto napětí závisí na polaritě volných nosičů náboje a jeho velikost nese informaci o jejich pohyblivosti.

29. 7. 2003 19

Hallův jev II

• Okraje vzorku se budou nabíjet až do rovnováhy mezi elektrickými a magnetickými silami :

qE = qvdB

• Je-li rozměr napříč L, bude Hallovo napětí U :

Uh = EL = vdBL

29. 7. 2003 20

Urychlovače částic

• Urychlovače se staví, aby se získaly nabité částice a velké energii. Obvykle používají elektrické pole k urychlování a magnetické k udržení svazku částic v určitém tvaru (fokusaci).• Cyklotrony

• Synchrotrony

29. 7. 2003 21

Cyklotrony I

• Cyklotron je plochý, dutý, evakuovaný buben, rozdělený na dvě, v půdorysu, polokruhové části. Materiál musí být vodivý, ale proniknutelný pro magnetické pole, které je kolmé k plochám. Obě části jsou připojeny k vysokonapěťovému a vysokofrekvenčnímu generátoru, který přepíná polarity.

• Částice jsou urychlovány při průchodu mezerou a přepínání způsobuje, že projdou jen ty, které mají správnou frekvenci kruhového pohybu.

29. 7. 2003 22

Cyklotrony II

• Poloměr je určen :• r = mv/qB = v/r = qB/m • f = /2 = qB/2m• frekvence f je naladělna na částice s určitým

specifickým nábojem. Konečná energie závisí na počtu průchodů mezerou. Omezení: velikost Ek ~ r2, relativita.

29. 7. 2003 23

Homework

• Chapter 28 – 1, 2, 5, 14, 21, 23

• Due this Wednesday July 31st !

29. 7. 2003 24

Things to read

• Repeat chapters 27 and 28,

excluding 28 7, 8, 9, 10

The vector or cross product I Let c=a.b

Definition (components)

The magnitude |c|

kjijki bac

sinbac

Is the surface of a parallelepiped made by a,b.

The vector or cross product II

zyx

zyx

zyx

bbb

aaa

uuu

c

The vector c is perpendicular to the plane made by the vectors a and b and they have to form a right-turning system.

ijk = {1 (even permutation), -1 (odd), 0 (eq.)}

^