Κυματιστήρες flap και piston type

Αναλυτική Λφση

Κυματιστήρας flap type

−𝜕Φ

𝜕n=

𝜕Φ

𝜕x= θ t = 0 ∗ (z + d) =

−iω ∗ z + d , −d < z < 0 0, −h < z < −d

(για θ0 = 1)

όπου Φ x, z = (A0+eik0x+A0

−e−ik0x)∗ Z0 z + ,Ane−knx∞

𝑛=1 ∗ Zn z -

Ο όροσ A0−e−ik0x= 0, γιατί δε δθμιουργείται ανακλϊμενο κφμα

→ 𝜕Φ

𝜕xx, z = i k0A0e

ik0x ∗ Z0 z − ,knAne−knx

∞

n=1∗ Zn z -

→ 𝜕Φ

𝜕xx = 0, z = i k0A0 ∗ Z0 z − ,(knAn)

∞

𝑛=1∗ Zn z - (1)

όμωσ 𝜕Φ

𝜕xx = 0, z = f z =

<f z ,Zn z >

||Zn(z)||2

∞n=0 ∗ Zn z , (2)

όπου ||Zn||2 = *

cosh kn z+h

cosh knh+2dz =

1

2

0

−h

cosh knh ∗sinh knh +knh

kncosh2(knh)

Για n=0 από τισ (1),(2):

iA0k0 = −iω ∗ z + d ∗ cosh k0 z + h dz0

−d

cosh k0h ∗ ||Z0||2

→ A0 = −iω

ik0∗

⨂0

cosh k0h∗

1

||Z0||2

με ⨂0 = z + d ∗ cosh k0 z + h dz0

−d

=

= z ∗ cosh k0 z + h dz0

−d

+ d ∗ cosh k0 z + h dz0

−d

=

= z ∗sinh k0 z + h

k0

0

−d−

1

k0∗ sinh k0 z + h

0

−d

dz +

+ d ∗sinh k0 z + h

k0

0

−d=

= z ∗sinh k0 z + h

k0−cosh ,k0 z + h -

k02

0

−d+ d ∗

sinh k0 z + h

k0

0

−d

=d ∗ sinh (k0h)

k0−cosh k0h

k02 +

cosh,k0(h − d)-

k02

Άρα με αντικατάςταςθ ςτον παραπάνω τφπο υπολογίηεται ο όροσ A0

Για n≥1 από τισ (1),(2):

−Ankn = −iω ∗ z + d ∗ cos kn z + h dz0

−d

cos knh ∗ ||Zn||2

→ An =iω

kn∗

⨂n

cos knh∗

1

||Zn||2

με ⨂n = z + d ∗ cos kn z + h dz0

−d

=

= z ∗ cos kn z + h dz0

−d

+ d ∗ cos kn z + h dz0

−d

=

= z ∗sin kn z + h

kn

0

−d−

1

kn∗ sin kn z + h

0

−d

dz +

+ d ∗sin kn z + h

kn

0

−d=

= z ∗sin kn z + h

kn+cos ,kn z + h -

kn2

0

−d+ d ∗

sin kn z + h

kn

0

−d=

=d ∗ sin (knh)

kn+cos knh

kn2 −

cos,kn(h − d)-

kn2

Άρα με αντικατάςταςθ ςτον παραπάνω τφπο υπολογίηεται ο όροσ An

Για n≥1: knh → nπ, n → ∞

Π.χ. για n=1: x=kh≈ π → e−k1x = e−(k1h x

h) = e−(π∗

x

h)

• Για x=2h→ e−(π∗2h

h) = 0,0019

• Για x=3h→ e−(π∗3h

h) = 0,0001 κλπ

Άρα για μεγάλα x, δθλαδι μακρυά από τον κυματιςτιρα, οι όροι

αυτοί είναι αμελθτζοι, οπότε τελικά ,Ane−knx∞

𝑛=1 ∗ Zn z - = 0

Επομζνωσ τελικά προκφπτει ότι: Φ x, z = A0+eik0x ∗ Z0 z

Από Δ.Σ.Ε.Ε.: η x, z = 0 = −1

g

𝜕Φ

𝜕t= −

1

g∗ −iω ∗ Φ x, z = 0

→ η x, z = 0 = ηFAR =iω

g∗ A0

+eik0x (για θ0 = 1)

Άρα τελικά το πλάτοσ τθσ ανφψωςθσ τθσ Ε.Ε. είναι:

H

2=ω

g∗ A0 ∗ θ0 →

H= 4θ0 sinh k0h ∗sinh k0h

d

k0−sinh k0h

k02 +cosh k0h ,−

1

k02+

cosh k0h

k02 -

1

2,sinh 2k0h +2k0h-

Κυματιστήρας piston type

−𝜕Φ

𝜕n=

𝜕Φ

𝜕x= x t = 0 = −iω για 𝑥0 = 1 , −ℎ < 𝑧 < 0

όπου Φ x, z = (A0+eik0x+A0

−e−ik0x)∗ Z0 z + ,Ane−knx∞

𝑛=1 ∗ Zn z -

Ο όροσ A0−e−ik0x= 0, γιατί δε δθμιουργείται ανακλϊμενο κφμα

→ 𝜕Φ

𝜕xx, z = i k0A0e

ik0x ∗ Z0 z − ,knAne−knx

∞

n=1∗ Zn z -

→ 𝜕Φ

𝜕xx = 0, z = i k0A0 ∗ Z0 z − ,(knAn)

∞

𝑛=1∗ Zn z - (1)

όμωσ 𝜕Φ

𝜕xx = 0, z = f z =

<f z ,Zn z >

||Zn(z)||2

∞n=0 ∗ Zn z , (2)

όπου ||Zn||2 = *

cosh kn z+h

cosh knh+2dz =

1

2

0

−h

cosh knh ∗sinh knh +knh

kncosh2(knh)

Για n=0 από τισ (1),(2):

iA0k0 = −iω ∗ cosh k0 z + h dz0

−h

cosh k0h ∗ ||Z0||2

→ A0 = −iω

ik0∗

sinh (k0h)

k0 ∗ cosh k0h∗

1

||Z0||2

→ A0 = −2 ∗ω

k0∗

sinh k0h ∗ cosh (k0h)

sinh k0h ∗ cosh k0h + k0h

Για n≥1 από τισ (1),(2):

−Ankn = −iω ∗ cos kn z + h dz0

−h

cos knh ∗ ||Zn||2

→ An =iω

kn∗

sin(knh)

kn ∗ cos knh∗

1

||Zn||2

→ An = 2 ∗iω

kn∗

sin knh ∗ cos(knh)

sin knh ∗ cos knh + knh

Όμοια με τον κυματιςτιρα flap type για μεγάλα x, δθλαδι μακρυά από τον κυματιςτιρα, οι όροι για τα κφματα με n≥1 είναι αμελθτζοι, οπότε τελικά ,Ane

−knx∞𝑛=1 ∗ Zn z - = 0

Επομζνωσ τελικά προκφπτει ότι: Φ x, z = A0+eik0x ∗ Z0 z

Από Δ.Σ.Ε.Ε.: η x, z = 0 = −1

g

𝜕Φ

𝜕t= −

1

g∗ −iω ∗ Φ x, z = 0

→ η x, z = 0 = ηFAR =iω

g∗ A0

+eik0x (για θ0 = 1)

Άρα τελικά το πλάτοσ τθσ ανφψωςθσ τθσ Ε.Ε. είναι:

H

2=ω

g∗ A0 ∗ θ0 →

→ H = 2 ∗ x0 ∗cosh 2k0h − 1

sinh 2k0h + 2k0h

Piston type

Ζςτω διζγερςθ S ςτουσ κυματιςτιρεσ. Όγκοσ εκτοπιηόμενου νεροφ από τον κυματιςτιρα = όγκοσ κορυφογραμμισ διαδιδόμενου κφματοσ.

Sh = H

2sin kx dx →

λ/2

0

→ Sh =H

k→H

S= kh

Flap type

Sh

2=

H

2sin kx dx →

λ/2

0

→Sh

2=H

k →

H

S=kh

2

Ζτςι ςχθματίηεται το ακόλουκο διάγραμμα για τουσ δφο κυματιςτιρεσ.

Στο ςχιμα που ακολουκεί φαίνεται το διάγραμμα τθσ δφναμθσ P που απαιτείται για τθν ενεργοποίθςθ κυματιςμϊν και του όρου k0h και για τουσ δφο κυματιςτιρεσ.

Από τα δφο παραπάνω ςχιματα παρατθροφνται τα εξισ:

1. Σε ρθχό νερό, δθλαδι για k0h <π

10 , για τθ δθμιουργία φψουσ

κφματοσ H ο κυματιςτιρασ flap χρειάηεται διπλάςιο βάκοσ πυκμζνα h από τον κυματιςτιρα piston, ενϊ θ απαιτοφμενθ δφναμθ P δε διαφζρει ιδιαίτερα για τουσ δφο κυματιςτιρεσ.

2. Σε ενδιάμεςο και βακφ νερό, δθλαδι για k0h >π

10 , για τθ

δθμιουργία φψουσ κφματοσ H ο κυματιςτιρασ flap χρειάηεται μεγαλφτερο βάκοσ πυκμζνα h από τον κυματιςτιρα piston, όμωσ ο κυματιςτιρασ flap απαιτεί αρκετά μικρότερθ δφναμθ P.

Συμπζραςμα: Για τθ δθμιουργία κυματιςμοφ ίδιου φψουσ ςε ρθχό, ενδιάμεςο και βακφ νερό, ιδανικότεροσ είναι ο κυματιςτιρασ Piston ςε ρθχό νερό, ενϊ ςε ενδιάμεςο και βακφ νερό κατάλλθλοσ είναι ο κυματιςτιρασ Flap.