せん断中心、

ねじり中心簡易法

第2 回実務家のための構造力学を考える会 2 (FSME 2)

2018年8月25日（土）14:45～15:45 大阪市立大学杉本キャンパス No.G201

明石工業高等専門学校

都市システム工学科 三好 崇夫

非常駐車帯を持つ鋼床版箱桁橋の設計・・・

ねじりに伴う応力の検討など

本内容に関連する項目

非常駐車帯

せん断中心S

P e

主なポイント

(1)せん断中心とねじり中心は一致する。

(2) 簡単な断面であれば、面内曲げを受ける片持ちばりに分解して、自由端の変位の適合条件から

せん断中心の計算可

(3) 一般の断面では、各板要素のせん断力による断面内のモーメントの釣り合いからせん断中心の

計算可

説明内容

(1)図心と主軸の定義

(2)せん断中心の定義

(3) 簡易法によるH形断面のせん断中心の計算

(4) 一般法によるH形断面のせん断中心の計算

(5) ねじり中心の定義

(6) 簡易法によるH形断面のねじり中心の計算

(7)一般法によるH形断面のねじり中心の計算

(8) せん断中心に対する偏心荷重作用時の挙動

(1) 図心と主軸の定義

Z形断面を持つ単純ばり

x

y

A

A

A－A

z

y

x

t

s

θ

図心を原点とする直線直交座標x－y－z座標

x軸まわりにy－z座標をθ回転させたs－t座標

を考える。

z

y

x

t

s

θ

y、z座標に関する断面１次モーメント

0y AG zdA= =∫

0z AG ydA= =∫

→y、z座標が図心を通過するため、いずれも0

s、t座標に関する断面１次モーメント

0s AG tdA= =∫

0t AG sdA= =∫

→s、t座標も図心を通過するため、いずれも0

y、z座標に関する断面2次モーメント2

y AI z dA= ∫ 2

z AI y dA= ∫

z

y

x

t

s

θ

断面相乗モーメント

yz AI yzdA= ∫

s、t座標に関する断面2次モーメント2

s AI t dA= ∫

2t A

I s dA= ∫断面相乗モーメント

st AI stdA= ∫

も計算可能

z

y

x

t

s

θ

s、t座標を回転させたとき

0st AI stdA= =∫

となるs、t座標が存在する

このときのs→Y、t→Z座標

と表すことにする。

Y、Z軸を断面の主軸と呼ぶ。

Z

Y

Y、Z座標に関する断面2次モーメント2

Y AI Z dA= ∫ 2

Z AI Y dA= ∫

断面相乗モーメント

0YZ AI YZdA= =∫

z

y

x

Z

Y

Z軸まわりの曲げモーメントMZ

の作用

→直交するY軸方向のみにたわみを発生

Mz

z

y

x

Z

Y

任意方向の曲げモーメントMの作用

→主軸Y、Z軸方向の曲げモーメントMY、MZに分解

→MYによるZ軸方向、MZによる

Y軸方向のたわみを計算

MzMY

M

(2) せん断中心の定義

自由端に集中荷重の作用する片持ちばり

図心への集中荷重Pの作用

図心

→片持ちばりは、ねじりを伴って下方へたわむ

自由端に集中荷重の作用する片持ちばり

腹板中心への集中荷重Pの作用

→図心に集中荷重が作用する場合に比べて、ね

じり変形は減少するが0ではない

自由端に集中荷重の作用する片持ちばり

せん断中心Sへの集中荷重Pの作用

→ねじり変形は全く生じず、曲げ変形のみが発生

部材に鉛直荷重が作用するとき、断面にねじ

りを生じないような断面内のせん断力の作用点

をせん断中心と呼ぶ

(3) 簡易法によるH形断面のせん断中心

の計算

1軸対称H形断面を横倒しにした片持ちばり

�主軸はy、z軸

�せん断中心位置を求めるため、自由端にy方向の集中荷重Pyを載荷

�自由端の腹板には、Pyを左右のフランジに配分

するための剛棒を仮定

Pyによる左右フランジへの作用力Py1、Py2

力の釣り合いにより

2 1 21 2,s s w s

y y y y yw w w

h h b hP P P P P

b b b

−= = =

2 21 1 2 2

1 2,12 12z z

t b t bI I= =

hs1

Py

Py1

hs2

bwPy2

左右フランジのz軸まわりの断面2次モーメントIz1、Iz2

(4.1)

(4.2)

断面全体として回転せ（ねじれ）ず、左右フラン

ジのたわみが等しくなるための適合条件

v1

v23

11

13y

z

P Lv

EI=

32

223

y

z

P Lv

EI=

v1 = v23 3

1 2

1 23 3y y

z z

P L P L

EI EI= (4.3)

式(4.1)、(4.2)を式(4.3)に代入

3 32 2

3 31 1 2 23 312 12

s w sy y

w w

h b hP L P L

b b

t b t bE E

−

=

hs2について解くと、3

1 12 3 3

1 1 2 2s w

t bh b

t b t b=

+

(4.4)

(4.5)

hs1＋hs2＝ bwより、

32 2

1 3 31 1 2 2

s w

t bh b

t b t b=

+(4.6)

�以上の手法は、簡単な断面に対してのみ適用可

能

�一般的な断面に対しては、せん断流理論に基づ

く断面内のモーメントの釣り合いからせん断中

心位置を計算

(4) 一般法によるH形断面のせん断中心

の計算

せん断力Qyを受ける断面、板要素に生ずるせん断

流qys

s

yx

zs

Qydx

ds

xtdsσ

sxsx ds tdx

s

ττ ∂ + ∂

sxtdsτx

x dx tdsx

σσ ∂ + ∂ ( ) ( )sx xt t

s x

τ σ∂ ∂= −

∂ ∂

微小要素の釣り合いより、

両辺sで1階積分して、

( )0

00

s xys sx

tq t ds C

x

στ

∂= = − +

∂∫

曲げ応力と曲げモーメントの関係は、

zx

z

My

Iσ =

s

yx

zs

Qydx

ds

xtdsσ

sxsx ds tdx

s

ττ ∂ + ∂

sxtdsτx

x dx tdsx

σσ ∂ + ∂

曲げ応力と曲げモーメント関係の1階微分は、

x zy

z z

d dMy yQ

dx I dx I

σ = =

せん断力Qyを受ける断面、板

要素に生ずるせん断流qysは

0

00

s

ys sx yz

yq t Q tds C

Iτ= = − +∫

横倒しH形断面の左右フランジ上縁をs座標の原点（s = 0）にとる→ s = 0はτsx = 0より、C0 = 0

0

0

s

ys sx yz

yq t Q tds

Iτ= = −∫ y

zss

(6.1)

左フランジのせん断流qys1は、y = s－b1/2より

11 10 2

syys

z

Q bq s t ds

I = − − ∫

y

zss

t1

b1/2

b1/2

t2

bw

b2/2

b2/2

Izは断面全体の断面2次モーメントであり、

3 31 1 2 2

12 12z

t b t bI = +

(6.2)

(6.3)

式(6.3)を式(6.2)へ代入して積分すると、左フランジのせん断流分布は

2 21 1

1 1 1

02 2 2 2

s

y yys

z z

Q Qb bs sq s t s t

I I

= − − = − −

(6.4)

y

zss

t1

b1/2

b1/2

t2

bw

b2/2

b2/2

同様に、右フランジのせん断流分布は

22

2 22 2y

ysz

Q bsq s t

I

= − −

(6.5)

左右フランジのせん断流の分布状況

右フランジの中心からzs2離れた点

に、せん断力Qyの作用を仮定

1

10

b

ysq ds∫

左フランジのせん断流が右フラン

ジの中心まわりになすモーメント

＝

Qyが右フランジの中心まわりにな

すモーメント

1

1 20

b

w ys y sb q ds Q z⋅ =∫

1

10

b

ysq ds∫

(6.6)

式(6.3)、(6.5)を式(6.6)へ代入すると、

12

11 23 30

1 1 2 2 2 212 12

b yw y s

Q bsb s t ds Q z

t b t b

⋅ − − =

+

∫

積分してzs2について解けば、

32 2

1 3 31 1 2 2

s w

t bz b

t b t b=

+(6.8)

→簡易法による式(4.5)と一致

(5) ねじり中心の定義

回転中心Rまわりにθだけ回転

① y方向にv変位

断面内の任意点Pの動き：

② z方向にw変位 ③ θ回転

v wθ

自由端にねじりモーメントTx

を受ける溝形断面片持ちばり

↓

�（結果的にはねじり中心Tまわりに）回転変位を発生

�部材軸方向にはそり変位uω

（断面の出入り）を発生

�固定端ではそり変位が壁に

よって拘束されるため、そ

り直応力σωが発生

→断面内でのそり直応力σω

を積分することにより

軸力Nx、y、z軸まわりの曲げモーメントMy、Mz

z

yx0x A

N dAωσ= =∫ (7.1)

0y AM zdAωσ= =∫ (7.2)

0z AM ydAωσ= =∫ (7.3)

�具体的な計算は省略するが結果的にいずれも0

�構造全体に関する力のつり合い条件からも0でなければならない

そり直応力による軸力、曲げモーメントが0となるような回転中心をねじり中心と呼ぶ

（ねじりモーメントのみの作用を受けると、断面

はねじり中心まわりに回転する）

z

yx

⇔ねじり中心以外の点まわり

に回転させると、My、Mzが0でなくなる。

→何かしらの外力の作用を受け

る必要があり、断面全体がそ

れによる変位v、wを発生

(6) 簡易法によるH形断面のねじり中心の計算

1軸対称H形断面を横倒しにした片持ちばり

�自由端にねじりモーメントTxが作用

�Txは左右フランジが受け持つ鉛直力Psに置換

�自由端の腹板には、Pyを左右のフランジに配分

するための剛棒を仮定（左右フランジでPsの向

きは逆）

bwとPsを用いてTxを表せば、

x s wT Pb= (8.1)

Psによって左フランジは下向き

にδ1、右フランジは上向きにδ2

変位

3

113

s

z

P L

EIδ =

3

223

s

z

P L

EIδ =

左右フランジの変位δ1、δ2は、

3 3 3

1 3 31 1 1 1 1

412

3 3s s s

z

P L P L P L

EI E t b Et bδ = = = (8.2)

3 3 3

2 3 32 2 2 2 2

412

3 3s s s

z

P L P L P L

EI E t b Et bδ = = = (8.3)

Txのみの作用であれば、断面は

ねじり中心Tまわりに回転

Tまでの左右フランジ中心からの距離をそれぞれdt1、dt2とすると、

適合条件は

1 2

2 2

tanw t tb d d

δ δθ = =− (8.4)

(8.5)

式(8.2)、(8.3)を式(8.4)に代入して

3 3

3 32 1 1 2 2 2

4 41 1s s

w t t

P L P L

b d Et b d Et b⋅ = ⋅

−

dt2について解けば、

31 1

2 3 31 1 2 2

t w

t bd b

t b t b=

+(8.6)

→ねじり中心Tは、せん断中心Sと同じ

31 1

2 3 31 1 2 2

s w

t bh b

t b t b=

+(4.5)

式(8.6)はせん断中心の位置を表す式(4.5)と同じ

本手法は簡単な断面のみに対して適用が可能

(7) 一般法によるH形断面のねじり中心の計算

一般断面に対するねじり中心計算法

z

yxx A

N dAωσ= ∫

Yes

y AM zdAωσ= ∫

任意点がねじり中心

z AM ydAωσ= ∫

No

①任意点まわりに断面が回転

するとして、それによるそ

り応力σωを計算

任意点

②σωを式(7.1)～(7.3)に代入

③Nx = 0、My = 0、Mz = 0？

任意点を移動して①へ戻る

→兎も角、ねじり中心Tは、せん断中心Sと一致

1軸対称H形断面を横倒しにした片持ちばり�自由端がある中心Rまわりにθ回転�Rは左右フランジからzt1、zt2とする

�左フランジは下向きにv1、右フランジは上向き

にv2変位

�左右フランジにはたわみをもたらすモーメント

Mz1、Mz2が作用すると考える

左フランジのMz1による曲げ応力σx1

Mz1

σx1

Mz2

σx2

11

1

zx

z

My

Iσ = (9.1)

左フランジたわみv1とMz1の関係

1 1 1z zM EI v′′= − (9.2)

左フランジたわみv1と回転角θの関係

1 1tv zθ= (9.3)

式(9.3)を2階微分すると

これを式(9.2)に代入して

1 1 1z z tM EI z θ ′′= − (9.4)

( )1 1 1t tv z zθ θ′′′′ ′′= =

右フランジたわみv2と回転角θの関係

2 2tv zθ= (9.6)

式(9.4)と同様に、右フランジのモーメントと回転角の関係は

2 2 2z z tM EI z θ ′′= − (9.7)

Mz1

σx1

Mz2

σx2

外力として曲げモーメントの作用はないから、z軸まわりのモーメントの釣り合いより、

1 2 0z zM M− =

式(9.4)、(9.7)を代入すると、( )1 1 2 2 0z t z tEI z EI zθ θ′′ ′′− − − =

( )1 1 2 2 0z t z tE I z I zθ ′′− − =即ち、 (9.8)

弾性係数Eは一定値であり、任意のθ”に対して成立するためには、

1 1 2 2 0z t z tI z I z− = (9.9)

式(9.10)を式(9.9)に代入して、zt1について解けば、

21

1 2

zt w

z z

Iz b

I I=

+

幾何学的関係により、

2 1t w tz b z= − (9.10)

31 1

1 12z

t bI =

32 2

2 12z

t bI =

左右フランジの断面2次モーメント

Mz1

σx1

Mz2

σx2

回転中心Rの左フランジからの距離は、3

1 11 3 3

1 1 2 2t w

t bz b

t b t b=

+ (9.11)

式(9.11)は簡易法によるねじり中心の計算式(8.6)と一致（もちろん、せん断中心とも一致）

31 1

2 3 31 1 2 2

t w

t bd b

t b t b=

+(8.6)

(8) せん断中心に対する偏心荷重作用時の挙動

＝

1軸対称H形断面を横倒しにした片持ちばり：自由端のせん断中心Sからez離れた点に下向きの集

中荷重Pyが作用

せん断中心Sに作用するPyによるたわみδと、偏心

ねじりモーメントPyezによるねじり角θ発生

＋

1軸対称H形断面を横倒しにした片持ちばり：自由端のねじり中心Tからez離れた点にねじりモー

メントTxが作用

�Txの作用位置に関わらず、左右フランジ逆対称

な鉛直力Psが発生

�断面はねじり中心（せん断中心）まわりにθ回

転するのみ

1軸対称H形断面を横倒しにした片持ちばり：自由端のねじり中心Tからez離れたU点にヒンジを設けて、ねじりモーメントTxを作用させる

①ヒンジがないものとして、U点に生ずる上下方向変位δTxを計算

＝ ＋

①

②ヒンジを押し戻してU点の上下方向変位を0とするため、U点に上向きの不静定力Psを作用させ、

それによるU点の上下方向変位δTPy、δPyを計算

＝ ＋

②

③変位の適合状況を適用して、不静定力、即ち強

制的にU点まわりにねじりモーメントを作用させた場合に生ずる反力を計算

＝ ＋

変位の適合条件：

δTx = δTPy+δPy

①ヒンジがないものとして、U点に生ずる上下方向変位δTxを計算

式(8.4)を代入すると、

幾何学的関係より、

tanTx zeδ θ=

2

2Tx z

t

ed

δδ =

式(8.3)を代入すると、3

2

2 2 23s

Tx z zt z t

P Le e

d EI d

δδ = =

式(8.1)より、Ps = Tx/bwを代入

3

2 23x

Tx zz t w

T Le

EI d bδ = (10.2)

②ヒンジを押し戻してU点の上下方向変位を0とするため、U点に上向きの不静定力Psを作用させ、

それによるU点の上下方向変位δTPy、δPyを計算

せん断中心に作用する上向き集

中荷重Pyによる上向き変位δPy：

( )3

1 23y

Pyz z

P L

E I Iδ =

+ (10.3)

せん断中心まわりに作用する偏心モーメントezPy

による上向き変位δTPy：

3 2 3

2 2 2 23 3z y z y

TPy zz t w z t w

e P L e P Le

EI d b EI d bδ = = (10.4)

式(10.2)のTx→ezPyと置き換えて

③変位の適合状況を適用して反力を計算

＝ ＋

変位の適合条件δTx = δTPy+δPyに、式(10.2)～(10.4)を代入すると、

( )2 3 33

2 2 2 2 1 23 3 3z y yx

zz t w z t w z z

e P L P LT Le

EI d b EI d b E I I= +

+

Pyについて解けば、

( )( )

1 22

2 2 1 2

x z z zy

z t w z z z

T e I IP

I d b I I e

+=

+ +

ここに、

31 1

1 12z

t bI =

32 2

2 12z

t bI =

31 1

2 3 31 1 2 2

t w

t bd b

t b t b=

+

左フランジの断面

二次モーメント：

右フランジの断面

二次モーメント：

右フランジ中心からねじり

中心までの距離：

本項で主張したいこと．．．

この片持ちばりは、ねじりモーメントTxと上向

き集中荷重Pyが同時に作用するのと等価

→ Pyが作用するので、ねじり中心には変位vが生じ、U点を中心に回転することになる

＝

ご清聴頂きまして

ありがとうございました