كثيرات الحدود – معادلاتها – جذورها€¦ · Web view4- إذا...
Transcript of كثيرات الحدود – معادلاتها – جذورها€¦ · Web view4- إذا...
جذورها – معادالتها – الحدود كثيرات
الحدود-( :1- 3) كثيرات
التابع التالي :ƒ (x)نسمي بالشكل المعرف)3-1 ( ƒ (x) = a nx n +a n-1 x n -+……….+a1x+a0
الدرجة من حدود من للمتحول nكثير أن xبالنسبة nحيث
و موجب صحيح . a n . a n-1 . a n-2(حيث a n ≠ 0عدد
…….*a1*a0( كذلك مركبة أعداد هي و الحدود كثير xأمثال
" أجل , من مثال مركب كثير n = 4متحول على نحصل
الرابعة . الدرجة من حدودمثال :
ƒ (x) = 2x4 – 3x3 + 5x2 + 2x - 14
مالحظة :أجل -1 من n = 0 من حدود كثير على نحصل
ثابت عدد هو و صفر d (x) = a0الدرجة
أجل -2 من n = 1من حدود كثير على نحصل
خطي . حدود كثير يسمى و األولى الدرجة
0
الحدود ( :1 – 1 – 3) كثيرات على العملياتالتاليين : الحدود كثيري لدينا ليكن
ƒ (x) = a nx n + a n-1 x n - +……….+a1x + a0
g (x) = b mxm + b m-1x m- + ………+ b1x + b0
الحدود :-1 كثيري تساويالحدود كثير عن إذا g (x)و ƒ (x)نقول متساويان أنهما
قيم جميع أجل من أمثلها أي xتساوت n = mالمماثلة
i = Γ, n b i = a i ν و
الطرح ) ( :-2 الجمع عملية
1
الحدود كثير عن الدرجة h(x)نقول أنه K ≤ max (n , m )من
( الحدود ( كثيري طرح جمع كان g (x)و ƒ (x)حاصل إذا )3-2 (h(x) = ƒ (x) ± g (x)
h(x) = c ky k ± c k-1x k-1………± c0
أمثاله بالعالقة ciحيث تعطىci = ai ± bi .i = 0.k
الضرب :-3 عمليةالحدود كثير عن الدرجة L(x)نقول إنه k = n + mمن
الحدود كثيري ضرب حاصلƒ (x) وg (x) كان إذا
)3-3 ( g (x) . ƒ (x) L(x) =
الحدود كثير حدود من حد كل بضرب عليه نحصل ƒ (x)و
الحدود كثير حدود الحدود g (x)بجميع نجمع ثم
المتشابهة .الحدود كثير ضرب حاصل حدود c ≠ 0بعدد ƒ (x)إن كثير هو
كثير أمثال ضرب عن ناتجة أمثاله لكن و الدرجة نفس من
يكتب cبالعدد ƒ (x)الحدود c . ƒ (x)و
مثال :
2
الحدود كثيري لدينا ليكنƒ (x) = 2x2 – 5x + 5
g (x) = x3 – 3x2 + 2x – 5
ضرب حاصل و فرقهم و مجموعهم و g (x)بـــ ƒ (x)أوجدc ƒ (x) حيثc = 5
الحل : = ƒ (x) + g (x) h1(x) الجمع :
h1(x) = x3 – x2 – 2
= g (x) ƒ (x) - h2(x)الطرح :
h2(x) = -x3 + 5x2 – 7x + 8
الضرب :L(x) = ƒ (x) . g (x) = 2x5 – 11x4 + 22x3 – 29x2
+ 31x – 15
C ƒ (x) = 5 ƒ (x) = 10x2 – 25x + 15
لكثيرات( 3-1-2) الضرب و الجمع خواصعمليتي
الحدود :
3
التبديلية :- 1 حدود الخاصة كثير أي أجل gو ƒ (x)من
(x) يتحققƒ (x) + g (x) = g (x) + ƒ (x)
ƒ (x) . g (x)
= g (x) . ƒ (x)
التجميعية :- 2 حدود الخاصة كثيرات أي أجل ƒ (x)من
يتحقق :h(x)و g (x)و
ƒ (x) + [ g(x) + h(x) ] = [ƒ (x) + g(x) ] + h(c)
ƒ (x) . [ g(x) + h(x) ] = [ƒ (x) . g(x) ] . h(c)
الجمع- :3 توزيعيعلى كثيرات الضرب أي أجل من
يتحقق :h(x)و g (x)و ƒ (x)حدود ]ƒ (x) + g(x) [ h(c) = ƒ (x) h(c) + g(x) h(x)
h(x) . [ƒ (x) + g(x) ] = h(x) . ƒ (x) + h(x) . g(x)
4
حدود- 4 كثيري أي أجل حدود g (x)و ƒ (x)من كثير يوجد
h(x): التالية المساواة يحققƒ (x) = g(x) + h(x)
الحدود( :3-1-3) كثيرات قسمةحيث g (x)و ƒ (x)ليكن حدود كثير g(x) ≠ 0كثير درجة و
الحدود ƒ (x)الحدود كثير درجة تساوي أو فإنه g(x)أكبر
قسمة عن حدود g(x)على ƒ(x)ينتج و h(x)كثيريr(x)
ƒ(x) = g(x) h(x) + r(x)
الحدود . r(x)و h(x)حيث كثير درجة و وحيد بشكل يتعينان
r(x) الحدود كثير درجة من .g(x)أصغر
الحدود كثير نسمي الحدود ƒ(x)و كثير و g(x)بالمقسوم
الحدود ( ) كثيرا و عليه المقسوم أو بحاصل h(x)بالقاسم
الحدود كثير و القسمة .r(x)القسمة بالباقي
5
:1مثال
الحدود : كثير لدينا ليكنƒ(x) = 6x4 + x3 – 5x2 + 6
g(x) = 2x3 + x2 –
2x + 2
قسمة حاصل g(x)على ƒ(x)أوجد
الحل :التالي : التقليدي بالشكل القسمة عملية إتمام يمكن
6x4 + 1x3 – 5x2 + 0x + 6
2x2 – x2 – 2x + 2
±6x4 ± 3x3 ± 6x2
3x + 2
4x3 + x2 – 6x + 6
4x3 ± 2x2 ± 4x ± 4
3x2 – 2x + 2
6
ينتج :ƒ(x) = g(x) (3x +2 ) + ( 3x2 – 2x + 2 )
نالحظ : حيثh(x) = 3x + 2
r(x) = 3x2 + 2x - 3
:2مثال
الحدود كثيري لدينا ليكنƒ(x) = x3 + 4x2 + x – 6
g(x) = x2 + 2x – 3
قسمة حاصل g(x)على ƒ(x)أوجد
الحل :
7
ƒ(x) = g(x)(3x + 2 ) = g(x) . h(x)
نالحظ r(x) = 0
األعظمي( :3-1-4) المشترك القاسم و القواسممعدودين غير الحدود كثيري لدينا نسمي g(x)و ƒ (x)ليكن
الحدود الحدود g(x)كثير لكثير باقي ƒ (x)قاسم كان إذا
الحدود g(x)على ƒ (x)قسمة كثير أو "g(x)معدم قاسما
الحدود حدود ƒ (x)لكثير كثير توجد فقط يحقق h(x)عندما
العالقة :
)x = (g(x) . h(x) (4-3)ƒ
نالحظ : حيث r(x) = 0
8
العالقة ( من) 3-4تحقق كال أن لـــ h(x)و g(x)يعني (قاسم
x(ƒ و)x(ƒ على القسمة h(x).و g(x)يقبل
حدود كثيري لدينا كان كثير x(ƒ(2و ƒ)x(1إذا عن نقول
الحدود g(x)حدود لكثيري مشترك قاسم x(ƒ(2و ƒ)x(1أنه
" من لكل قاسما كان حدود x(ƒ(2و ƒ)x(1إذا كثيري يوجد أي
h1(x) وh2(x): يكون بحيث
1)x = (g(x) h1(x) ƒ
2)x = (g(x)h2(x)ƒ
نسمي الحدود g(x)كما لكثيري أعظم مشترك x(ƒ(1قاسم
آخر x(ƒ(2و مشترك قاسم كل على القسمة يقبل كان gإذا
i(x) الحدود .x(ƒ(2و ƒ)x(1لكثيري
الحدود : كثيرات لقسمة الخواصاألساسية
9
كان -1 على x(ƒ(إذا القسمة g(x)و g(x)يقبل
على القسمة على x(ƒ(فإن h(x)يقبل القسمة h(x)يقبل
كان -2 على x(ƒ(إذا القسمة g(x)و g(x)يقبل
على القسمة محققة x(ƒ(يقبل التالية العالقة .فإن
)3-5()x = (c . g(x) ; c≠0 ƒ
العالقة ( تحققت إذا من) 5-3و كال يقبل g(x)و x(ƒ(فإن
اآلخر على .القسمة
كان- 3 على x(ƒ(إذا القسمة جداء g(x)يقبل بأي x(ƒ(فإن
على القسمة يقبل آخر حدود g(x)كثير
من- 4 كال كان على x(ƒ(2و ƒ)x(1إذا القسمة فإن g(x)يقبل
على القسمة يقبل جدائهما و فرقهما و g(x)مجموعها
الدرجة- 5 من حدود كثير على القسمة يقبل حدود كثير كل
عدد على القسمة يقبل أي c≠0الصفر
كان- 6 على x(ƒ(إذا القسمة يقبل x(ƒ c(فإن g(x)يقبل
على c≠0حيث g(x)القسمة
الحدود- 7 كثيري ألحد قاسم كل c≠0مع x(ƒc(و ƒ)x(إن
" اآلخر الحدود لكثير قاسما يكون
10
الحدود لكثيري األعظم المشترك القاسم إليجاد و x(ƒ(وg(x): التالية الخطوات نتبع
الحدود- 1 كثير درجة أن درجة x(ƒ(لنفرض تساوي أو أكبر
الحدود نقسم g(x)كثير ناتج g(x)عل x(ƒ(فعندئذ ليكن و
القسمة h(x)القسمة باقي r(x)و
القسمة r(x)على g(x)نقسم- 2 الناتج ليكن و h1(x)و r1(x)الباقي
الناتج r1(x)على r(x)نقسم- 3 ليكن الباقي h2(x)و r2(x) و
باقي- 4 إلى نصل حتى العملية هذه في يقسم rn(x)نستمر
rn-1(x) القسمة ناتج يكون hn+1(x)يكون بذلك هو rn(x)و
الحدود لكثير األعظم المشترك و g(x)و x(ƒ(القاسميلي : كما السابقة الخطوات نلخص
)x = (g(x)h(x) + r(x)ƒ
11
g(x) = r(x)h1(x) + r1(x)
)6-3(r(x) = r1(x)h2(x) + r2(x)
- - - -
rn-2(x) = rn-1hn(x) + rn(x)
rn-1(x) = rn(x)hn+1(x)
بأنه القول يمكننا األعظم المشترك القاسم تعريف حسب
أعظميين مشتركين قاسمين هنالك كان r"n(x)و ŕn(x)إذا
الحدود فإن :g(x)و x(ƒ(لكثيريŕn(x) = cr"n(x) ; c≠0
قسمة خواص من الثانية الخاصة على باالعتماد ذلك و
الحدود كثيراتبينهما فيما أوليين يكونان حدود كثيرا بأن القول يمكننا كما
من حدود كثير هو لهما األعظم المشترك القاسم كان إذا
صفر الدرجة
12
الحدود : لكثيري األعظم المشترك القاسم أوجد مثال
التاليين : =x5 + x4 + 2x3 + 2x2 – x – 1 (x)ƒ
g(x) = x4 + x3 + 2x2 + x – 1
الحل :درجة أن درجة x(ƒ(بما من نقسم g(x)أكبر على x(ƒ(فإننا
g(x) أن فنجدx5 + x4 + 2x3 + 2x2 – x – 1
±x5 ± x4 ± 2x3 ± x2 ± x x4 + x3 +2x2 + x - 1
x= h(x)r(x) = x2 - 1
فإن : بالتالي وh(x) = x , r(x) = x2 – 1 = (x-1)(x+1)
نقسم فنجد r(x)على g(x)اآلن
13
x4 + x3 + 2x2 + x-1
x2 - 1
±x4 ±x2
x2 +x+3=h1(x) x3 + 3x2 +x-1
±x3 ±x
3x2 + 2x -1
±3x2 ±3
2x + 2 = r1(x)
فإن : بالتالي وh1(x) = x2 + x + 3 , r1(x) = 2x + 2 = 2(x+1)
14
أن : r(x) = (x-1)(x+1) = r1(x)1/2(x-1)نالحظ
األخيرة العالقة في وضعنا بحسب h2(x) = 1/2(x-1)فإذا
األعظم r1(x)فإن) 6-3العالقات ( المشترك القاسم هو
الحدود لكثيري r(x)يقسم r1(x)ألن g(x)و x(ƒ(المشترك
مثال :الحدود لكثير األعظم المشترك القاسم أوجد
)x = (x4 + 3x3 – x2 – 4x – 3 ; g(x) = 3x2 + 10x2 + 2x – 3ƒ
مالحظة :أمثال ذات حدود كثيرات على إقليدس طريقة تطبيق عند
اختصا , أو المقسوم ضرب نستطيع المقسوم رصحيحة
األمثال , من للتخلص ذلك و صفري غير عدد أي على عليه
نفسها القسمة عملية خالل ذلك إجراء يمكن و الكسريةنضرب g(x)على x(ƒ(لنقسم ذلك قبل :3ب x(ƒ(و
3x4 + 9x3 – 3x2 –
12x – 9
3x3 +10x2 +2x - 33x4 ± 10x3 ± 2x2
± 3x
15
x + 1 = h(x)
-x3 – 5x2 – 9x -9
في الباقي القسمة 3نضرب عملية نتابع 3x2 + 15x2+ و
+ 27x +27
3x3 ± 10x2 ± 2x ± 3
r(x) = 5x2 +25x
+ 30
الباقي الباقي 5على r(x)نختصر r(x) = x2 + 5x + 6يصبح
نقسم يلي :r(x)على g(x)ثم كما
3x3 + 10x2 + 2x – 3
3x3 ± 15x2 ± 18x x2 + 5x + 6
16
3x – 5 = h1(x)
-5x2 – 16x - 3
±5x2 ± 25x ± 30
r1(x) = 9x + 27
بالتالي r1(x) = x + 3ينتج 9على r1(x)نختصر و
h(x) = 3x – 5
فينتج r1(x)على r(x)نقسم
r(x) = x2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2) = r1(x)(x+2)
" األعظمي المشترك القاسم إذا صفر الباقي + r1(x) = xو
3
17
و( 3-2) الباقي نظريتا و الحدود كثيرات جذور
القاسم :
الحدود( :3-2-1) كثير جذور
كان القيمة x(ƒ(إذا نسمي فإننا حدود صفر x0كثير أو بجذر
الحدود في x(ƒ(كثير انعدم تحقق x0إذا إذا و x0 = (0ƒ(أي ( نضع ( فإننا الحدود كثير أصفار جذور على x = (0ƒ(للحصول
قيم عن نبحث و المذكور الحدود كثيرا التي x0معادلة
مركبة , أو حقيقية تكون فقد القيم تلك أما تحققها
بيزو( :3-2-2) نظرية
18
الحدود كثير قسمة الخطي x(ƒ)(باقي الحدود كثير -xعلى
a (الحدود كثير قيمة أجل x(ƒ(يساوي x=aمن
البرهان :
x-a(q(x) + R (x)ƒ= (لدينا :
" قيم كل أجل من صحيحة العالقة تلك ألن نظرا منها xو و
x=0: يكون
)a) = (a-a(q(x) + R
ƒ
)a = (R
ƒ
مثال :
19
g(x) = x - 2و x3 + 2x2 – 3x - 4 (x)ƒ= ليكن
نجد g(x)على x(ƒ(بالتقسيم
X3 +2x2 – 3x – 4 = (x-2)(x2 + 4x +5) + 6
هنا نظرية R = 6و بتطبيق الناتج هذا على الحصول يمكن
الباقي) 2) = (2(3 + 2)2(2 – 3)2 – (4 = 6 ƒ= R
القاسم( :3-2-3) نظرية
كان " )x-a(إذا لــ عندئذ x(ƒ(قاسما و a = (0ƒ(يكونكان لــ )x-a(فإن 0ƒ) = a(بالعكس قاسم x(ƒ(هو
البرهان :
20
الباقي : بنظرية باالستعانة و القسمة في لدينا
ƒ(x) = (x-a)q(x) + ƒ(a)
أن ) x-a(إن يعني هذا و فإذا , a = (0ƒ(قاسم بالعكس و
لدينا أن a = (0ƒ(كان يعني لــ )x-a(فهذا قاسم ƒ(x)هو
التركيبي :-3 التقسيم
الحدود كثير قسمة إجراء الحدين ƒ(x)يمكن ثنائي -x(على
a( بتطبيق و سطور ثالثة إنشاء خالل من ذلك و الخطي
التالي : بالمثال مستعينين التالية الخطوات
5x 4 – 8x 2 – 15x - 6
x-2
21
المقسوم -1 تكن ƒ(x)ترتيب لم إن تنازلية بقوى
االنتباه مع األول السطر في بالترتيب األمثال وضع و كذلك
" أيضا نضع و الناقصة للحدود كمثال الصفر وضع إلى aإلى
األول السطر في اليمين
لدينا مثالنا األمثال ƒ(x)في لنأخذ تنازلية بقوى مرتب
نضيف و األول السطر في نضعها و يمين a = 2بالترتيب إلى
األول السطر
5 0- 8- 15- 6∟ 2
" لــ الممثل الناقص للحد صفرا وضعنا أننا a3x3لنالحظ
كتابة -2 و xnأمثال anلنعد الثالث السطر في
فيكون : العمود بنفس
22
∟2 5 0- 8- 15- 6
األول السطر 10
الثاني السطر
الثالث 5 السطر
الجداء -3 السطر an . aلنأخذ في الناتج نضع و
الثاني , العمود مجموع نأخذ ثم الثاني العمود و الثاني
فيكون :
5 0- 8- 15- 6∟ 2
10
23
5 10
بـــ -4 السابقة العملية ناتج بضرب العملية aنعيد
تحت الثاني السطر في الناتج نضع العمود an-2و نجمع ثم
العمود / لنفس الثالث السطر في الناتج نضع و الثالث
5 0- 8- 15- 6∟ 2
10 20
5 10 12
آخر -5 إضافة إلى نصل حتى العملية نفس نكرر
الثابت إلى a0ناتج
24
5 0- 8- 15- 6∟ 2
10 20 24 18
5 10 12 9 12
" القسمة ناتج أمثال أخيرا الناتجة الحدود تكون هو q(x)و و
الدرجة n-1من
هنا هو و األخير الحد الباقي 12أما الحد يمثل R ƒ(a)= فهو
يصبح مثالنا في القسمة ناتج و
q(x) = 5x3 + 10x2 + 12x + 9
R = ƒ(2) = 12
أي :
5x4 – 8x2 – 15x – 6
25
5x3 + 10x2 + 12x +9 +12/x-2 =
x-2
أو :
5x4 – 8x2 – 15x – 6 = (x-2)(5x3 + 10x2 + 12x +9)
جذورها :–( 3-3) و الحدود كثير معادالت
الحدود كثير بوضع الحدود كثيرة المعادلة على ƒ(x)نحصل
هو" : الحدود كثير لمعادلة القياسي الشكل و للصفر مساويا
Anxn + an-1xn-1 …….+ a1x + a0 = 0
إلى األكبر من القوى فيه تتدرج حيث عليه متعارف شكل
فيه و " an ≠ 0األصغر غير لها قاسما تقبل ال أمثاله ,±1و
المعادلة" : لدينا كان إذا فمثال
26
-10x5 – 2x2 +6x – 4x3 + 2 = 0
هو : لها القياسي فالشكل
5x5 + 0x4 + 2x3 + x2 – 3x -1 = 0
" " " و وحيدا حال لها األولى الدرجة معادلة أن سابقا نعلم نحن
عقديان , أو حقيقيان حالن لها الثانية الدرجة معادلة أن
الدرجة من للمعادالت العامة للحالة يلي فيما nسنستعرض
نظرية :
عن الحدود x0نقول كثير صفر أو جذر تحقق ƒ(x)أنه ƒ(xإذا
التابع 0 = (0 منحني نقاط فصل أن ذلك عن مع y = ƒ(x)ينتج
جذور Xالمحور نفسها ƒ(x) = 0هي
27
الجبر :–( 3-3-1) في األساسية النظرية
حدود كثير معادلة و , ƒ(x) = 0لكل األقل على واحد جذر
عقدية أو حقيقية تكون قد الجذور
الدرجة , من الحدود كثير معادلة إن الحقيقة لها nفي
عن , nتماما" متميزة جميعها تكون ال قد الجذور هذه و جذر
مشتركة , جذور للمعادلة إن نقول عندها و بعضها
مثال :
المعادلة : جذور عن لنبحث
x5 – x3 = 0
الحل :
28
جذور , خمسة إذن لها و الخامسة الدرجة من المعادلة هذه
الشكل : على لنكتبها
x5 – x3 = x3(x2-1) = x3(x+1)(x-1) = 0
هي : الجذور وx3 = x4 = x5 = 0 ; x2 = 1 ; x1 = -1
" " مرات ثالث مكررا جذرا لدينا أن نالحظ هنا و
الخاص العالقات و النظريات بعض نستعرض سوف و
ثم الحدود كثير لمعادلة المتوقعة الجذور و الجذور بخواص
األمثال ذات الحدود كثير معادلة حل البحث نهاية في ندرس
الرابعة حتى األولى الدرجة من المركبة
خطية :–( 3-3-2) عوامل إلى التحليل نظرية
خطية , عوامل جداء إلى حدود كثير معادلة كل تحليل يمكن
" الحدود كثير مثال الدرجة ƒn(x)لنأخذ النظرية nمن حسب و
29
و للمعادلة األقل على واحد جذر هناك الجبر في األساسية
الحدود x1ليكن كثير إن يعني لــ )x-x1(هذا ƒn(x)قاسم
) R=0أي(
إذن :
ƒn(x) = ( x-x1) ƒn-1(x)
(1)
الدرجة ƒn-1(x)حيث من حدود هذا n-1كثير الحدود لكثير و
ليكن و األقل على إن x2جذر لـــ )x-x2(أي و ƒn-1(x)قاسمƒn-1(x) = ( x-x2) ƒn-2(x)
في ( نعوض فينتج) :1و
ƒn (x) = ( x-x1)(x-x2) ƒn-2(x)
الحدود لكثير أن نجد ليكن ƒn-2(x)و و األقل على و x3جذر: " على أخيرا نحصل و نتابع هكذا
30
ƒn (x) = ( x-x1)(x-x2)………..(x-xn) ƒ0(x)
و ( ) ƒ0(x)حيث ثابت عدد أي صفر الدرجة من حدود كثير
إلى ƒn (x)في xnأمثال anيساوي
إلى فيساوي الحدود عدد " nأما إن أخيرا نالحظ و خطي حد
تجعل التي الجذور هي nهو ƒn (x) = 0عدد و x1,x2,….,xnومشترك هو ما منها يكون قد
قيم عن مختلفة أخرى قيمة أية أن ال x1,x2,…..,xnلنالحظ " ال بالتالي و السابقة الخطية الحدود من أيا تعدم أن يمكن
العدد الجذور عدد يتجاوز أن ƒn (x)درجة nيمكن
العقدية :–( 3-3-3) الجذور
نظرية :
31
الحدود كثير لمعادلة كان و ƒ(x) 0= إذا حقيقية أمثال ذات
لــ الشكل ƒ(x)كان من عقدي المرافق a + ibجذر يكون
" a – ibعندئذ " لـــ أيضا أي :ƒ(x) 0 = جذرا
ƒ( a+ib) = ƒ( a-ib) = 0
األمثال ذي الحدود لكثير المركبة الجذور عدد أن يعني هذا و
مثنى مترافقة الجذور هذه أن و زوجي عدد هو الحقيقية
تحليل عند و "ƒ(x)مثنى أيضا تظهر خطية جداء عوامل إلى
الشكل : على مثنى مثنى مترافقة الحدود هذه
]x – ( a+ib) . [ x – ( a-ib)]
:مثال
المعادلة جذور التالية :x3 – x2 + x – 0إن هي
x3 = 1/2 - i√3 , x2 = 1/2 + i√3 , x1 = 0
32
22
x3 – x2 + x = ( x - x1)( x - x2)( x -x3) = 0
أي :
ƒ(x) ≠ x[ x - (1/2 + i√3/2)][ x – (1/2 - i√3/2)] = 0
العادية :–( 3-3-4) غير الجذور
نظرية :
الحدود كثير لمعادلة كان العادية ƒ(x) = 0إذا األمثال ذات
الشكل" من عادي غير عادية ,a, bحيث a + √bجذرا أعداد
هو , و العادي غير العدد مرافق عندئذ يكون "a - √bو جذرا
للمعادلة" أيضا
33
" غير الجذور إن العقدية الجذور حالة في كما أيضا ينتج
مثنى مثنى مترافقة هي و زوجي عددها جذور هي العادية
مثال :
معادلة تشكيل و ƒ(x) = 0المطلوب صحيحة بمعادالت
يكون بحيث ممكنة درجة لتلك 3i – 2و 5√بأصغر جذرين
المعادلة
الحل :
المرافقان يكون أن فيجب صحيحة األمثال تكون و 5√لكي2 – 3i: إذن تشكيلها نريد التي للمعادلة جذرين
x4 = 2 +3i , x3 = 2 – 3i , x2 = -√5 , x1 = √5
منه و المطلوبة المعادلة جذور هي
ƒ(x) = ( x-x1)( x-x2)( x-x3)( x-x4) = 0
34
أي
ƒ(x) = ( x - √5)( x + √5)[ x – ( 2 – 3i)][ x – ( 2+ 3i)] = 0
منه و
x4 – 4x3 + 20x – 65 = 0
ƒ(x)=
الحقيقة :–( 3-3-5) الجذور حدود
الحقيقي العدد عن للجذور Lنقول األعلى الحد أنه
لــ أكبر =ƒ(x) 0الحقيقية حقيقي جذر أي هناك يكن لم إن
الحقيقي Lمن العدد عن نقول للجذور lو األدنى الحد أنه
35
لـــ حقيقي ƒ(x) = 0الحقيقية جذر أي هناك يكن لم إن
من lأصغر
كان " Tإذا للمعادلة قسمنا ƒ(x) = 0جذرا -x( على ƒ(x)و
T( السطر أعداد جميع كانت و التركيبي التقسيم باستخدام
يكون موجبة " T = Lالثالث الحقيقية للجذور أعلى حدا
ƒ(x) = 0 يعني ال فهذا موجبة األعداد تلك تكن لم إذا أما
كون احتمال للجذور Tاستبعاد أعلى كحد
كان " t<0إذا للمعادلة قسمنا ƒ(x) = 0جذرا (على ƒ(x)و
x-T( السطر أعداد كانت و التركيبي التقسيم باستخدام
يكون عندئذ اإلشارة متناوبة " t=lالثالث للجذور أدنى حدا
لــ ال ƒ(x) = 0الحقيقية فهذا متناوبة اإلشارات تكن لم إن و
كون احتمال كون استبعاد للجذور tيعني أدنى كحد
إيجادها :–( 3-4) كيفية و العادية الجذور
36
الحدود كثير لمعادلة + ..…… + ƒ(x) = anxn + an-1xn-1يكون
a1x + a0 (1)
: " للصفر مساويا الثابت الحد كان إذا لها جذر = a0الصفر
0
مثال :
المعادلة : جذور إن
x6 – 3x4 + 2x3 = x3(x3 – 3x +2) = 0
للجذور : x1 = x2 = x3 = 0هي باإلضافة
x6 = 2 , x5 = -1 , x4 = -1
بالمعادلة x3 – 3x + 2 = 0 الخاصة
نظرية :
37
العادي العدد كان و ( p/qإذا حديه بأصغر عنه qو pالمعبر
" الحدود ) كثير لمعادلة جذرا بينهما فيما التي ƒ(x)أوليين
فيها " pفيكون a0 = 0يكون الثابت للحد qو a0قاسما
لــ" األول anقاسما الحد معامل
البرهان :
:لدينا
)1 (anxn + an-1xn-1 + ……… + a1x + a0 = 0
" an ≠ 0 , a0 0≠ حيث لكون نظرا "p/qو جذرا
فإن : للمعادلة
an(p/q)n + an-1(p/q) + ……..+ a1(p/q) + a0 = 0
ب الطرفين فينتج :qnلنضرب
38
anpn + an-1pn-1q + …...... + a1pqn-1 + a0pn = 0
أو
anpn + an-1pn-1q + ……… + a1pqn-1 = a0qn
القسمة يقبل المجموع أن األيسر للطرف بالنسبة نالحظ
فإن pعلى بالتالي لما pو و اليمين من للحد قاسم هوفإن qو pكان بينهما فيما لــ pأوليين قاسم و a0هو هذا
أن نبرهن أن يمكن األسلوب لــ qبنفس قاسم anهو
المحتمل من كان إذا ما معرفة يمكن النظرية هذه خالل من
السابقة ( للمعادلة جذر معطى ما عادي عدد يكون )1أن
" العدد يكون أن احتمال عن مثال نتساءل "3/2كأن جذرا
9x4 - 5x2 + 8x + 4 = 0للمعادلة
39
أن هنا نالحظ " q = 2و لــ قاسما أن an = 9ليس p = 3كما
" لــ قاسما أن a0 = 4ليس الممكن غير من أنه فنستنتج
المفروضة 3/2يكون المعادلة جذور أحد
العدد يكون أن المحتمل من كان إذا ما معرفة أردنا إذا أما
2/3. " السابقة للمعادلة جذراأن نالحظ للعدد 3فإننا قاسم إن 9هو للعدد 2و قاسم هو
يكون . 4 أن المحتمل من السابقة .2/3إذن للمعادلة جذور
من التي األعداد جميع معرفة في النظرية هذه تفيدنا
" الدرجة من لمعادلة جذورا تكون أن .nالمحتمل معطاة لمعامل قواسم المقام فيها يكون التي األعداد بأخذ ذلك و
األول الثابت anالحد للحد قواسم البسط فيها يكون a0و
مثال :
" جذورا تكون أن المحتمل من التي العادية األعداد حدد
للمعادلة
40
5x3 + 2x2 – x – 4 = 0
الحل :
للعدد قواسم تكون أن الممكن المقام 1 , ±5±هي 5أعداد
للعدد قواسم تكون أن الممكن البسط , ±4±هي 4أعداد
2± , 1
هي : كجذور الممكنة العادية األعداد منه و
±1 , ±2 , ±4 , ±1/5 , ±2/5 , ±4/5
مالحظة :
كان لـ an = ±1إذا الممثلة بالتالي 1±هي qفاألعداد و فقط
األعداد في متمثلة للجذور المحتملة األعداد pتبقى
الثابت للحد للمعادلة a0كقواسم كجذور المحتملة فاألعداد
41
x3 – 2x2 – 6x – 5 = 0
1 , ±5±هي
المحتملة : العادية الجذور إيجاد كيفية
كجذور" المحتملة العادية األعداد تحديد باإلمكان ألنه نظرا
الدرجة من كانت nللمعادلة إذا فيما نختبر أن نستطيع فإننا
. " طريقة لالختبار هنا سنستخدم ال أم لها جذورا األعداد هذه
تجعل التي األعداد كجذور نقبل حيث التركيبي التقسيم
. " األعداد بقية نهمل و صفرا الثالث السطر من األخير الحد
العمل . طريقة نعرض سوف التالي المثال خالل من
مثال :
42
للمعادلة : العادية الجذور جميع أوجد
X5+2x4-18x3-8x2+41x+30=0
الحل :
لكون الممكنة q=1نظرا العادية األعدد قواسم qفإن هي
الثابت التالية :a0=30الحد
1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15±30
ممكن+ :1لنختبر - كحل
1 – 2- 18- 8 41 301
1 3- 15- 23 18
3- 15- 23 18 48 1
لنختبر 1+إذن حال 2+ليس
2 – 2- 18- 8 41 30 1
43
2 8- 20- 56- 30
4- 10- 28- 15 0 1
المعطاة :x1=2إذن للمعادلة جذر
لدينا ينتج و
(x-2)(x4+4x3-10x2-28x-15)=0
جذور : عن نبحث أن يجب حيث
X4 + 4x3 - 10x2 - 28x - 15=0
كجذور : المحتملة األعداد لدينا هنا و
:3+لنختبر-
3 – 4- 10- 28- 151
3 21 33 15
44
7 11 5 0 1
لدينا :x2=3إن ينتج ثاني جذر
(x-2)(x-3)(x3+7x2+11x+5)=0
للمعادلة : الثالثة الجذور عن البحث يجب حيثX3+7x2+11x+5=0
أنه نستنتج موجبة جميعها فيها المعامالت لكون نظرا و
قواسم أن حيث و موجبة جذور األخيرة المعادلة لتلك ليس
الثالث محتملة ± 5و ± 1الحد كجذور لدينا يبقى 5-و 1-فإنه
:
:1-لنختبر-
1 – 1 7 11 5
-1- 6- 5
45
1 6 5 0
لدينا :x3=-1إذن ينتج و ثالث جذر
(x-2)(x-3)(x+1)(x2+6x+5)=0
للمعادلة األخيرين الجذرين إيجاد علينا يبقى x2+6x+5=0و
( الثابت( الحد نجد حيث المميز طريقة تطبيق و ±1يمكنالمعادلة 5± في موجبة المعامالت جميع لكون نظرا و
هم و سالبان حتما جذريها إن و x5=-5و x4 - =1نستنتج. أخيرا لدينا يكون
(x-2)(x-3)(x+1)(x+1)(x+5)=0
هي : الجذور حيث5=-5 ,x3=x4 =-1 , x2 =3 ,x1=2
:1مالحظة
و للمعادالت جذورا عموما ليست الكبيرة العادية األعداد إن
عنها . االستغناء يمكن و داية في الختبارها حاجة ال بالتالي
46
:2مالحظة
فإن الصفر يساوي معامالت مجموع كان إذا أنه الواضح من
لها+ .1العدد جذر هو
مثال :
المعادلة : جذور جميع أوجد4-3x3-4x+3=0
: الحلهي كجذور الممكنة العادية : األعداد
1, ±3 , ± 1/2, ±3/2 , ±1/4 , ±3/4
إذن الصفر يساوي المعادلة معامالت مجموع أن نالحظ x1و
حل 1=
47
1 – 4- 3 0- 4 3
4 1 1- 3
(x-1)(4x3+x2+x-3)=0
3/4 -4 1 1- 3
3 3 3
4 4 4 0
على األخيرة المعادلة يقسمة لدينا :4و يكون(x-1)(x-3/4)(x2+x+1)=0
المعادلة بقسمة :x2+x+1=0و أخيرا نجد
(x-1)(x-3/4)[x-{-1/2+i√3/2} ][x-{-1/2-i√3/2}]=0
هي : الجذور و
X1=1,x2=3/4,x3=-1/2+i√3/2,x4=-1/2-i√3/2
:3مالحظة
48
إن , العادية فجذورها المعادلة أمثال إشارات تناوبت إذا
موجبة , . أعداد هي وجدت
مثال :
للمعادلة : العادية الجذور أوجد5-32x4+93x3-119x2+70x-25=0
الحل :
إن , العادية فالجذور المعامالت إشارات لتناوب نظرا
كجذور , الممكنة األعداد بالتالي موجبة جذور هي وجدت
هي :
1,5,1/2,5/2,1/4
5/2 - 4- 32 93- 119 70 25
10- 55 95- 60 25
49
4- 22 38- 24 10 0
على الجديدة المعادلة 5/2نقسم
2- 11 19- 12 5
5- 15 10- 5
2- 6 4- 2 0
على األخير الناتج نجد : 2بقسمة
(x-5/2)(x-5/2)(x3-3x2+2x -1)=0
للمعادلة اإلشارات x3 -3x2+2x-1=0بالنسبة متناوبة نجدها
العادي . الحل إن إال موجبة تكون أن يجب العادية فحلولها
هو الوحيد الموجب أن+ , 1المحتمل نجد + 1حيث حال ليس
عادية . جذور لها ليس األخيرة المعادلة هذه أن نستنتج وو) 3-6( السالبة الجذور عدد و لالشارة ديكارت قاعدة
الموجبة :
النظيرة :–( 3-6-1) الجذور نظرية
50
كانت جذور . ƒ(x)=0إذا فإن الحدود كثير ƒ(-x)=0معادلة
لجذور النظيرة الجذور .ƒ(x)=0هي
إعطي على ƒ(x)إذا نحصل أن يمكن فإننا القياسي بشكله
الذي الحدود كثير لمعادلة النظيرة الجذور من جذوره
من عليه نحصل أن حدوده ƒ(x)=0نستطيع إشارات بتغيير
المثال في كما الثاني الحد من أعتبارا مبتدئين بالتناوب
التالي :
مثال :
جذور إن4+13x3-13x-6=0
فجذور 3/2, -2/3, -1, -1هي إذن4 -13x3 +13x -6=0
3/2 ,2/3 -1, 1-هي
51
كثير في عددها و اإلشارة التغيراتفي تعريف
:)ƒ)xالحدود
الحدود كثير في كان الحدود (ƒ(x)إذا العام بشكله المعطى
يختلفان ) متتاليان حدان لألصغر األكبر من بالقوى مرتبة
الحدود لكثير إن نقول فإننا اإلشارة .ƒ(x)باإلشارة في تغير
مثال :
الحدود كثير باإلشارة ƒ(x)=x3-3x2-4x+12إن تغيرات فيه
من األول التغيير لدينا من 3x2-إلى x3+حيث الثاني التغير و
-4x الحدود 12+إلى كثير ففيه ƒ(-x)=x3+3x2-4x-12أما
من ذلك و باالشارة واحد .4x-الى 3x2+تغير
واحد ƒ(x)=6x4+13x3-13x-6إن - تغير فيه
باالشارة .باالشارة .ƒ(x)=6x4-13x3+13x-6أما تغيرات ثالث ففيه
عند االعتبار بعين الصغرية المعامالت نأخذ ال أننا نالحظ و
التغيرات . عدد حساب
52
االشارة :–( 3-6-2) ديكارتفي قاعدة
الحدود – 1 كثر لمعادلة الموجبة الجذور عدد ƒ(x)=0إن
في التغيرات عدد إلى اما يساوي الحقيقية المعامالت ذات
منه ƒ(x)اشارة مطروحا التغيرات من العدد ذلك الى أو
للمعادلة . المركبة الجذور يمثل و زوجي عددل – 2 السالبة الجذور عدد عدد ƒ(x) إن إلى يساوي المعتبر
ل الموجبة اإلشارات ƒ(-x)] ƒ(-x) الجذور تبديل عن ناتج
ل الثاني ƒ(x)بالتناوب الحد من .[ اعتبارا
مثال :
ل وجدت إن العقدية و السالبة و الموجبة الجذور عدد حددƒ(x)=x3-3x2-4x+12
53
الحل :
ل االشارة في تغيران لدينا جذران ƒ(x) هنا إما لدينا إذن
األن : لنأخذ عقديان جذران و موجب جذر صفر أو موجبانƒ(-x)=x3+3x2-4x-12
ل إذن االشارة في واحد تغير لدينا موجب ƒ(-x)و واحد جذر
ل السالب الجذر نفسه هو .ƒ(x)و
المركبة( :3-7) الحدود كثيرات
الجبر( 3-7-1) في االساسية النظرية و العام الشكل
:
هو : المركب الحدود كثير لمعادلة العام الشكل
(!) anzn+an-1zn-1+an-2zn-2+……..+a1z+a0=0
54
أن . اليمنع وهذا عقدية أمثال هي هنا أمثال إن نالحظ حيث
هي , الحقيقية األعداد إن ذلك حقيقية معامالت بعضها يكون
أما . التخيلي القسم فيها ينعدم أيضا عدد nعقدية فهو
المعادلة . بدرجة يسمى صحيح موجبالحدود كثير بأصفار المعادلة هذه حلول أيضا أو ƒ(x)نسمي
معادلته الحدود . ƒ(x)=0بجذور كثير معادلة على تنطبق و
في رأيناها التي السابقة النظريات و القواعد أغلب العقدي
النظرية منها و الحقيقية األمثال ذو الحدود كثير معادلة
كثير معادلة لكل أن مفادها التي و الجبر في االساسية
على واحد عقدي جذر السابق الشكل من عقدي حدود
الحدود . كثير لمعادلة إن البرهان يمكن هنا من و األقل
مكررة .nالعقدي جميعها أو بعضها يكون قد عقدي جذركانت الحدود z1,z2,…………znإذا كثير معادلة جذور
كتابة) (1المركب ( نستطيع مضاريب) 1فإننا شكل على
كالتالي : خطية)2(
An(z-z1)(z-z2)……..(z-zn)=0
55
المعادلة ( كتابة استطعنا إذا بالعكس مضاريب) 1و بشكل
المعادلة )2(خطية جذور تحديد بسهولة يمكننا )1(فإنه
المركبة( 3-7-2) االمثال ذات الحدود كثير معادلة حل
عقدية) (: أو حقيقية
العادي – 1 الشكل ذات االولى الدرجة من ax+b=0المعادلة
مركبة .bو aو a≠0حيث أعدادهو و وحيد جذر أو حل لها x=-b/aو
مثال :
المعادلة : حل أوجد)1+i(x-(2-i)=0
الحل :
X=(1+i)x=(2-i)
X=2-i/1+i=(2-i)(1-i)/(1+i)(!-i)=1-3i/2=1/2-3/2 i
56
العام – 2 الشكل ذات الثانية الدرجة من المعادلة
Ax2 + bx+c =0
مركبة .a,b,cو a ≠ 0 حيث أعدادعلى المعادلة طرفي العام aنقسم شكلها فيصبح
X2 + ax +6=0
ينتج كامل مربع الى المعادلة باتمام
}x+a/2{2 + {b – a2/4}=0
ومنه :}x+a/2{2 = a2/4-b
نجد الطرفين بجذر وX+a/2=±a2/4 - b
هما جذران للمعادلة يكون وX1= -a/2+a2/4-b
X2 = -a/2-a2/4-b
57
مالحظة :
سوف الثانية الدرجة من معادلة حل عن المثال حل قبل
العقدي للعدد التربيعي الجذر إيجاد طريقة a+biندرس
نفرض حيثa+bi = u+vi
الطرفين : نربعA+bi=(u+vi)2u2-v2+2uvi=a+bi
U2-v2=a
2uv=b
في ( الطرفين نحصل) 2نربع بالجمع و
)u2-v2(2+4u2v2=a2+b2
نحصل باالختصار و)u2+v2(2=a2+b2
الطرف ألن الموجبة اإلشارة أخذ و الطرفين بجذر و
موجب حقيقي اليساري)3( a2+b2 u2+v2=
58
نجد) :3و) (2بحل (U2=1/2(a+a2+b2)
V2=1/2(-a+a2+b2)
تختلف ع للعدد قيمتين على حصلنا قد نكون بذلك و
للعدد كذلك و فقط االشارة في األخرى عن كلها vأحداهما
العالقة ( من و موجبة تربيعية ألعداد جذر ألنها حقيقية )2قيم
لدينا 2uv=6
ضرب حاصل االشارة اشارة u-vنرى تطابق أن و bيجباشارة على نحصل .vو uهكذا
مثال :
علمت yأوجد y=21-20iإذا
الحل :
نالحظ a2+b2=441+400=881=29
U2=1/2(a+a2+b2)=1/2(21+29)=25
59
V2=1/2(-a+a2+b2)=1/2(-21+29)=4
u=±5 , v=±2
أن بما سالبة b=-20و اشارتها أي21-20i=±(5-2i)
مثال :
المركبة االمثال ذات التالية المعادلة حل2-3x+(3-i)=0
b=3-i , a=-3لدينا
السابقة العالقة حسب و1,2= -a/2±a2/4-b=3/2±9/4-(3-i)=3/2±1/2-3+4i
جذر نجد -3+4iبحسابa2+b2=9+16=25=5
U2=1/2(a+a2+b2)=1/2(-3+5)=1u=±1
V2=1/2(-a+a2+b2)=1/2(3+5)=4v=±2
اشارة أن بما موجبة bو-3+4i=±(1+2i)
60
منه : وX1=3/2+1/2(1+2i)
X2=3/2+1/2(1+2i)
العام – 3 الشكل ذات الثالثة الدرجة من المعادلة
)1 (Az3+bz2+cz+d=0
على A,B,C,Dحيث نقسم مركبة )1طرفي (Aأعداد
التالي : الشكل على فتصبح )2 (Z3+AZ2+BZ+C=0
الخطوات ونتابع كردانو نتبع المعادلة هذه جذور إليجاد
التالية :
61
جديد متحول قيمة z = x + hبحيث xنفرض نعوض zو
في ( قيمة) 2الجديدة تحدد أمثال hو تنعدم x2بحيث
نجد : بالتعويض
)x + h(3 + a( x + h)2 + 6( x +h) + c = 0
x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 +ax2 + 2axh +ah2 + 6x + 6h + c = 0
نجد الجمع و باالختصار
x3 + ( 3h + a)x2 + ( 3h2 + 2ah + 6)x + ( h3 + ah2 + bh + c)
= 0
أمثال بإعدام نجد x2و
3h + a = o => h = -a/3 => z = x – a/3
(3)
62
تصبح ( بــ) (2و التعويض بعد التالي الشكل )3على
)4 (x3 + px + q = 0
p = b – a2/3 , q = 2a3/27 – ab/3 + cحيث
هما مساعدين مجهولين من) 4للمعادلة (u,vنفرض
الشكل:
) 5 (x = u+v
العالقة : تتحقق بحيث
) 6 (u.v = -p/3
العالقة ( من فنحصل) 4نعوض
u3 + v3 + 3u2v + 3v2u + p( u+v) + q = 0
63
) 7(
u3 + v3 + q + 3uv( u+v) + p( u+v) = 0
)u3 + v3 + q) + (3uv + p )(u+v = (0
المعادلة ( حل المعادلتين) 7إن حل إلى يؤدي
u3 + v3 + q = 0
3uv + p = 0
الفرض ( مالحظة ) 5مع
) 8 (u3 + v3 = -q
) 9 (u . v = -p/3 => u3v3 = -p3/27
64
من ( لمعادلة v3و u3إن) 9و) (8نالحظ جذران تحددان
حيث ( و) (8تربيعية الجذرين من) 9مجموع هي و جدائها
الشكل
w2 + qw – p3/27 = 0
" هو سابقا الحظنا كما حلها و
w1.2 = q/2 ±√q2/4+p3/27 : w1 = u3 w2 = v3
منه : و u = 3√-q/4+√q2/4+p3/27 ; v = 3√-q/2-√q2/4+p3/27
ينتج : منه و
x1 = u1 + v1 = 3√-q/2+√q2/4+p3/27+3√-q/2-√q2/4+p3/27
65
المعادلة ( جذور يحدد الدستور هذا الشرط) 4إن يحقق . uو
v = -p/3 " دوما يحسب السبب لهذا العالقة u1و من u . vثم
= -p/3 نحسبv1
التالية : العالقات من فنجدهم اآلخرين الجذرين أما
x2 = u1ε1 + v1ε2
x3 = u1ε2 + v1ε1
واحد ε2و ε1حيث الصحيح للعدد النوني الجذر من تحسب
: يلي كما
n√1 = cos 2kл/n + izin2kл/n : k = 0.1.2……
حيث ( نجد الثالث الجذر بحساب ) n = 3و
k = 0 => √1 = 1
66
k = 1 => ε1 = cos2л/3 + izin4л/3 = -1/2 + i√3/2
قيمة نحسب العالقة z3,z2,z1ثم z = x – a/3من
مثال :
اآلتية : المعادلة حل
z3 + 3z2 – 3z – 14 = 0 (1)
نفرض :الحل : القاعدة حسب
z = x – a/3 = z – 1
من ( بالتبديل المعادلة) 1و على نحصل
x3 – 6x – q = 0 : p = -6 : q = - 9
67
بحساب و
√q2/4 + p3/23 = √81/4 – 216/27 = √49/4 = 7/2
منه حيث u1نستنتج
u1 = 3√-q/2+√q2/q+p3/27 + 3√q/2+7/2 = 3√8 = 2
لحساب نجد v1و العالقة من
u1v1 = -p/3 => v1 = -p/3u = 6/3-2 = 1
منه و
x1 = u1 + v1 = 3 => z1 = x1 – a/3 = 3 + 6/3 = 5
68
x2 = u1ε1 + v1ε2 = 2(-1/2 + i√3/2) + (-1/2 - i√3/2)
=-/3+i√3/2
منه و <= z2 = x2 – a/3 = -3/2 + i√3/2 + 2 = 1/2 + i√3/2
x3 = u1ε2 + v1ε1 = 2(-1/2 - i√3/2) + (-1/2 + i√3/2) = -3/2-
i√3/2
منه و
z3 = x3 – a/3 = -3/2 + i√3/2 +2 = 1/2 - i√3/2
أن x2مرافق x3نالحظ
مثال :
x3 + 15x + 124 = 0
69
أن مباشرة q = 124 :p = 15نالحظ
منه و
u1 = 3√-q/2+√q2/q+p3/27 = 3√-62+√(62)2+125 = 3√1 = 1
العالقة : حسب و
<=u1v1 = -p/3 => v1 = -p/3u1 = -5
<=x1 = u1 + v1 = 1- 5 = -4
x2 = u1ε1 + v2ε2 = 1(-1/2 + i√3/2) - 5(-1/2 - i√3/2) = 2 +
i3√3
منه يساوي x3و
x3 = 2 - i3√3
70
مرافق x2ألنه
هامة : مالحظة
أي التربيعي الجذر ضمن ما حالة سالب q2/4+p3/27√في
يمكن : تكعيبية معادلة كل أن نعلم التالية الطريقة نتبع
الشكل إلى ردها
x3 + px +q = 0 (1)
على qو pحيث تعتمد المعادلة هذه جذور نجد و ثابتان
التالية المثلثية الخاصة
Cos3θ = 4cos3θ – 3cosθ
التالي بالشكل العالقة هذه بترتيب و
71
Cos3a – 3/4cosθ – 1/4cos3θ = 0
التكعيبية ( بالمعادلة المعادلة هذه نقارن أن يمكن و) 1وأن بما يساوي xلكن أو أصغر تكون أن الضروري من ليس
بينما المطلقة بالقيمة أن 1cosa1≤1الواحد نفرض = xلذلك
my 1حيثy1≤1 بالشكل التكعيبية المعادلة تصبح بذلك و
التالي
m3y3 + pmy + q = 0
y3 + p/m2 y + q/m30
أن نجد المثلثية المطابقة و المعادلة هذه بين بالمقارنة
Y = cosθ
(2)
72
p/m2 = -3/4
(3)
p/m3 = -1/4cos3
(4)
العالقة ( أن) 3من نجدm = 2√-p/3
المعادلة ( من أن) 4و نجد
Cos3θ = -4q/m3 = -4q/m . 1/m2 = 3q/mp
(0)
العددية للقيمة العكسي التجب نأخذ لحساب 3q/mpو
لتكن فينتج גوأن cos3Q = cos ג نستنتج و
3Q = z + 2kл : k = 0.1.2
73
<=Q = z/3 + 2kл
إذا" Q1 = z/3 => x1 = mY1 = mcosQ1
Q2 = Q1 + 2л/3 => x2 =
mY2 = mcosQ2
Q3 = Q1 + 4л/3 => x3 = mY3 = mcosQ3
مثال :المعادلة جذور أوجد
x3 – 2x + 1 = 0
الحل :
نحسب : p = -2 , q = 1نالحظ
√q2/4+p3/27 = √1/4-8/27 = √-5/108
74
التالية الطريقة لنتبع لذلك سالب الجذر تحت ما نالحظ
M = my : m=2√-p/3 = 1.633 : y = cosθ
العالقة :θحيث من تحسب
cos3θ = 3q/mp = 3/1.633-(-2) = -0.9185
لــ θلحساب العكسي التجب فينتج )0.9185(-نأخذ
cos(3θ) = cos(156.70776) <=
3θ = 156.707769 + 2kл : k = 0.1.2
θ1 = 52235933 = 52014 `
θ2 = 52014` + 2л/3 = 172.14
θ3 = 52014` + 4л/3 =292014 `
75
منه : و
x1 = my1 = mcosθ1= 1.633 + 0.6124 = 1.000049
x2 = my2 = mcosθ2 = -1618
x3 = my3 = mcosθ3 = 0.618
معادلة : شكل بأصغر x ( (ƒ =0تمرين و صحيحة بثوابت
يكون بحيث ممكنة , درجة
. العالقة لتلك جذرينالمرافقان يكون أن يجب للمعادلة الجذور هذه تكون حتى
, . تشكيلها المراد للمعادلة جذرين
ƒ(x) = a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4
76
a1 = a3 = 2 - 3i
a2 = - a4 = 2 + 3i
a0 = 1
a1 = - (a1 + a2 + a3 + a4 ) = -4
a2 = - (a1a2 + a1a3 + a1a4 + a2a3 + a2a4 + a3a4 )
a2 = 8
)3 – 4: متحوالت ) – بعدة الخطية غير المعادالتمتحول من بأكثر خطية غير معادالت جملة حل طرق إن
. ذاتها الجملة شكل على يعتمدمستعرضين بمتحولين معادلتين جملة حل ندرس سوف
. مباشرة أمثلة خالل ومن الجملة طبيعة حسب الحل طريقةذات خطية غير لمعادلة العام الشكل هو yو x متحولينإن
:
Ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
R ƒ , e , d , c , b , aحيث
77
قيمة بإعطاء إال المعادلة هذه حل يمكن ال أنه الواضح من
فإنه بمتحولين أخرى معادلة لدينا كان إذا ولكن ألحد معينة
. الجملة حل عندئذ يمكننا: خطية إحداهما معادلتين جملة حل.1
: ألحد بالنسبة الخطية المعادلة أحدى نحل الحل طريقة
المثال في موضح هو كما الثانية في ونعوض المتحولين
التالي:: التاليتين المعادلتين جملة حلول . 4x2 + 3y2 = 16 1أوجد
5x + Y = 7 2 .
الحل :المعادلة ( ل) 2لنحل yبالنسبة
Y = 7 – 5x 3 .
في ( )1لنعوض
4x2 + 3(7 – 5x)2 = 16
صالح باال و
4 .79x2 - 210x + 131 = 0
78
, x1 = - 1X2 =
على) 2في ( x1 = + 1نعوض يكون y = 2 فنحصل و
ax2 الشكل من منهما كل معادلتين جملة حل .2+ by2 = c :
لجمع : المتحولين احد حذف من نتخلص الحل طريقة
( المعادلتين( طرحمثال:
التاليتين : المعادلتين جملة حل أوجد4x2 + 9y2 = 72 1.
3x2 - 2y2 = 19 2 .
لنضرب : ( :9ب) 2و) (2ب) (1الحل المعادلتين نجمع و8x2 + 18y2 =144
27x2 – 18y2 = 171 3.
79
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ35x2 = 315
= x1 3إذن , x2 = 9نجد ) 3من (
أجل في ) x1= 3 من :1نعوض أيضا( 9x2 = 72 – 36 = 36 منه y = ± 2و
x2 = -3 ( في : 1نعوض أيضا( 9x2 = 72 – 36 = 36 منه y = ± 2و
بالثنائيات ) الممثلة وهي حلول أربعة لدينا : x , yإذن التالية ( (3,2( ,) 3-,2-(, )
3,2-(,)3-,2)
متجانسة: احدهما معادلتين جملة حل .3
لــ المماثل الرياضي التعبير عن الذي 2x2 – 3xy + y2نقول
. متجانس انه الدرجة نفس من حدوده جميع فيه تظهرمعادلة انه عنه نقول فإننا الصفر التعبير هذا ساوى إذا
متجانسة.نقوم فإننا متجانسة معادلة المعادلتين جملة ضمت إذا
. الثانية في نعوض ثم ومن المتحولين ألحد بالنسبة بحلها
80
X2 – 3xy + 2y2 = 0 1 .
2x2 + 3xy - y2 =13 2.
الحل::1من ( لدينا)
)x – y)(x – 2y = (0
x = 2yو x = yإذن:
أجل في ( x = y من ):2نعوض
2y2 + 3y2 – y2 = 13
4y2 = 13
Y = ±
األول : y = x ± = إذن الحل ولدينا
, -( , )- , ) (
أجل في ( x = 2yمن أيضا ):2نعوض
8Y2 + 6Y2 - Y2 = 13
81
13Y2 = 13
Y = ±1
X = 2Y = ±2
: هي الحلول و(2,1-(,)2-,1)
d = ax2 + bxy + cy2 الشكل من كالهما معادلتين جملة حل .4
البعض بعضهما مع المعادلتين نعالج الجملة هذه لحل
مع المعادلة هذه نعالج ثم متجانسة معادلة على للحصول
. السابق األسلوب بنفس المعادلتين أحدىمثال:
: التاليتين المعادلتين جملة حل أوجد3x2 + 8y2 = 140 1.
5x2 + 8xy = 84 2.
الحل:بــــ الأولى بـــ 3-نضرب الثانية نجمع 5ونضرب :ثم
-9x2 - 24y2 = -420
25x2 + 40xy = 420 3.
82
_______________________________
16x2 + 40xy - 24y2 = 0
(:3نحل )
16x2 + 40xy -24y2 = 8)2x2 + 5xy - 3y2( = 0
= 8(2x - y()x + 3y = ) 0
في , ) x = 1/2yأما ( :1نعوض
y2 + 8y2 = 140
35y2 = 560
Y2 = 16 y = ±4
X = 1/2 y = ±2
: هو الحل و
)2,4- ) , ( 2- , 4(
أما في ( x = -3yو أيضا) :1نعوض27y2 + 8y = 140
35y2 = 140
83
Y2 = 4 y = ±2
إذن
x = -3y = ±6
: هو (والحل
6- , 2- ) , ( 6 , 2 (
: Y و X لــ بالنسبة متناظرة منهما كل معادلتين جملة حل.5
أنها الثانية الدرجة ومن بمتحولين المعادلة عن نقول
: كالمعادلة متحوليها بمبادلة المعادلة تتبدل لم إذا متناظرة2X2 - 3XY + 2Y2 + 5 X + 5 Y = 1
نعوض متناظرتين معادلتين جملة Yو X = U + V لحل
= U - V بشكل بعضهما مع نعاملهما و المعادلتين في
من به . V2نتخلص
مثال:: التاليين المعادلتين جملة حل أوجد
1 .x2 + y2 + 3x + 3y = 8
2 .xy + 4x + 4y = 2
84
الحل:نضع متناظرة المعادلتين من كال أن y = u - vلنالحظ
. x = u + v و الجملة في نعوض و( u + v)2 + )u – v(2 + 3)u + v( +
3)u _ v( = 8
( u + v()u – v + )4)u + v( + 4)u - v(
= 2
أيضا : أو3 .2u2 + 2v2 + 6u = 8
4 .u2 - v2 + 8u = 2
من الآن بضرب ) v2لنتخلص ذلك مع )2بـــــ( 4و :3وجمعها ينتج( 4u2 + 22u - 12 = 2)2u2 + 11u - 6( = 0
2(2u - 1 ()u + 6 = )0
: هي حلولها u = 1/2 , u = -6و
أجل في ) u = 1/2من وينتج( :4نعوضV2 = u2 + 8u - 2 = 9/4 v = ±3/2
عندما نجد : v = - 3/2و u = 1/2 إذن85
Y = u -v = -1 , x = u + v = 2
: الحلين لدينا ( 1 , -2)و ( 2 , 1)-و
أجل في ) u = -6ومن :4نعوض ينتج( وV2 = u2 + 8u - 2 = -14 v = ±i
عندما إذن : u = -6و v = iو نجد
x = u + v = -6 + i
y = u - v = -6 – i
عندما : v = - iو u = -6و نجد
X = u + v = -6 – i
Y = u – v = -6 + i
: هما الحلين و
86
- )6 + i , -6 – i (
- )6 – i , -6 + i (
تعتمد خطية غير معادالت جملة حل إن أعاله اشرنا كما
, عدة الجملة يناسب وقد الجملة لطبيعة المناسب األسلوب
: , التالي المثال قي كما لحلها أساليبمثال:
: التاليتين المعادلتين حملة حل أوجد1 .x2 + y2 = 25
2 .xy = 12
الحل:لـــــ بالنسبة متناظرة المعادلتين أن فإننا , yو xنالحظ
: يلي كما الجملة نحل أن يمكنإلى (2بـــ) 2نضرب ( نضيفها :1و على) فنحصل
X2 + 2xy + y2 =49
أو
7 x + y =
87
xو
+ y = -7
نضرب ) إلى )2بــــ( 2ثم :1ونضيفها على( فنحصلX2 - 2xy + y2 = 1
أو
x - y = 1 و x - y = -1
: التالية الجمل لدينا و = x+ y=> )4,1(الحل
7
x – y =1I
x+ y = 7II =>)3,4(الحل
x – y =-1
x + y = -7=>)4,-3(-الحل
III
x – y = 1
88
- = x + y=>)3,-4(-الحل
7IV
x – y = -1
: الحل في اخر أسلوبفي, ( x = 12/yلدينا( 2من ) :1نعوض على) فنحصل
X4 - 25x2 + 144 = 0
أو(x - 4()x - 3()x + 3()x + 4 = )0
قيم نجد هكذا لــ yو الأبعة للقيم ذلك xالمرافقة و الأخيرة للمعادلة المحققة
في ) (2بالتعويض
مثال :التاليتين : المعادلتين جملة حل أوجد
(1 )x3 – y3 = 25
(2 )x2 + xy + y2 = 19
الحل :على( :2على( )1بقسمة ) نحصل
(3 )x = y + 1
89
أو في ) على( :2نعوض نحصل و
(y + 1)2 + ) y + 1(y +y2 = 19
بالإصلاح : أو3y2 + 3y – 18 = 3) y+3()y-2( = 0
في ) بالتعويض (:3إذن
أجل حل (3,-2)-و x = -2لدينا y = -3منأجل حل (3,2)و x= 3لدينا y = 2ومن
90
محلولة غير تمارين و مسائل
حل -1 التالية المعادالت جمل من لكل إن من تأكد
توحيد طريقة و التعويض طريقة باستخدام أوجده ثم وحيد
المصفوفات : و كرامر قاعدة و المعامالت
3x1 + 2x2 = 1 x1 = -2الجواب
5x1 + 4x2 – 4 x2 = 3.5
x1 = , x2 = 2 , x3 = 3الجواب
91
x1 + 2x2 + 3x3 = 41
2x1 + x2 + x3 = 1
-x1 + 2x2 + x3 = 6
x1 = 1 , x2 = -1 , x3 = 2الجواب
2x1 – 2x2 + x3 = 6
x1 – x2 + 3x3 = 8
4x1 + 2x2 – x3 = 0
باستخدام -2 التالية المعادالت جملة حل أوجد
بتحويل , أي المنفصلة المعامالت ]I C[إلى ]A B[طريقة
x1 = 1/2 , y = -1 , z = 3/2الجواب
x – 5y + 3z = 9
2x – y + 4z = 6
3x – 2y + z = 2
92
3- " جملتي من لكل الحل قابلية أوال اختبر
باالختزال : الحل هذا أوجد ثم التالية المعادالت
للحل قابلة غير الجملة الجوابx + 2y – 3z = -1
-3x + y – 2z = -7
5x + 3y – 4z = 2
x = 3 , y = -2 , z = 1الجواب :
2x + y – 3z = 1
3x – y – 4z = 7
5x + 2y – 6z = 5
حلول -4 التالية المعادالت جملتي من لكل هل
هي : ما و الصفري الحل غير
x1 = -x2 = -x3 = aالجواب
93
2x1 – x2 + 3x3 = 0
3x1 – 2x2 + x3 = 0
x1 – 4x2 + 5x2 = 0
x1 = -3a , x2 = 0 , x3 = aالجواب
x1 – 2x2 + 3x3 = 0
2x1 + 5x2 + 6x3 = 0
5-: التالية المعادالت جمل حلول أوجد
)7/9,-2.555(و )1,1(الجواب
2x2 + y2 + 3x = 6
x – 2y = -1
مكرر )6,3(الجواب 2y2 – 3x = 0
4y – x = 6
94
)13/16,5/4(- )2,5(الجواب
y2 + 4y – 3x + 1 = 0
3y – 4x = 7
)9,-6)(6,9),(6,9),(-6,9(-الجواب
3x2 – y2 = 27
x2 – y2 = -45
)2,-4)(4,2)(4,2),(-2,-4(-الجواب
5x2 + 3y2 = 92
2x2 + 5y2 = 52
95
)4,1)(-1,-4)(21√,-0)(21√,0(الجواب
x2 + 4xy = 0
x2 – xy + y2 = 21
,3/3√)(-3/3√4,-3/3√(الجواب
96