f 41121 Tugasoptionalfiskomfourier

8/15/2019 f 41121 Tugasoptionalfiskomfourier

1/17

ASSALAMU’ALAIKUM.,,,,,,,,,,,,,,

Bismillah,,,,,

Alhamdulillah,

Baiklah teman-teman, Saya akan mencoba menjelaskan tentang !ans"o!masi "ou!ie! dengan

#enjelasan bese!ta #e!samaannya se!ta sam#ai ke "ast "ou!ie! bese!ta #enjelasannya, sebagai

#emenuhan tugas o#tional $ISIKA K%M&UASI untuk minggu ini,,,,,,,.

'A(S$%'MASI $%U'I)'

!ans"o!masi $ou!ie!

•

Menga#a #e!lu t!ans"o!masi *- Setia# o!ang #ada suatu saat #e!nah menggunakan suatu teknik analisis dengan

t!ans"o!masi untuk menyede!hanakan #enyelesaian suatu masalah +B!igham,/0

- 1ontoh2 #enyelesaian "ungsi y 3 456

• Analisa kon7ensional 2 #embagian seca!a manual

• Analisa t!ans"o!masi 2 melakukan t!ans"o!masi

- log8y9 3 log849 : log869

- look-u# table #engu!angan look-u#table

• !ans"o!masi juga di#e!lukan bila kita ingin mengetahui suatu in"o!masi te!tentu yang

tidak te!sedia sebelumnya

1ontoh 2

- jika ingin mengetahui in"o!masi "!ekuensi kita meme!lukan t!ans"o!masi $ou!ie!

- ;ika ingin mengetahui in"o!masi tentang kombinasi skala dan "!ekuensi kita

meme!lukan t!ans"o!masi


2/17

• !ans"o!masi !uang me!u#akan #!oses #e!ubahan cit!a da!i suatu !uang5domain ke

!uang5domain lainnya, contoh2 da!i !uang s#asial ke !uang "!ekuensi

• Masih ingat istilah ?!uang’ * Ingat-ingat kembali #elaja!an Aljaba! Linie! tentang

Basis dan 'uang

- 1ontoh 2 'uang 7ekto!. Salah satu basis yang me!entang !uang 7ekto! = dimensi

adalah +@0 dan +@ 0. A!tinya, semua 7ekto! yang mungkin ada di !uang 7ekto! =

dimensi selalu da#at di!e#!esentasikan sebagai kombinasi linie! da!i basis

te!sebut.

• Ada bebe!a#a t!ans"o!masi !uang yang akan kita #elaja!i, yaitu 2

- !ans"o!masi $ou!ie! 8basis2 cos-sin9

- !ans"o!masi adama!d5alsh 8basis2 kolom dan ba!is yang o!togonal9

- !ans"o!masi >1 8basis2 cos9

- !ans"o!masi a7elet 8basis2 scaling "unction dan mothe!


3/17

t@ -

E

"8t9

atau da#at dituliskan bahiketahui "ungsi "8t9 sebagai be!ikut2

!ans"o!masi $ou!ie! da!i "8t9 di atas adalah2

∫ ∫ −

−

−

− ==

E9E898 dt edt e F t jt j ω ω ω

[ ]ω

ω

ω

ω

ω ω

ω

9sin8FE

E

=−−=

−=

−

−

−

j j

t j

ee j

e j

asil da!i t!ans"o!masi $ou!ie! untuk " 3 @ s5d = D " adalah 2

Gamba! /.=. 1ontoh hasil t!ans"o!masi "ou!ie!

4.1.2. Transformasi Fourier 2D

!ans"o!masi $ou!ie! kontinu => da!i suatu "ungsi s#asial "84,y9 dide"inisikan dengan2

( )

∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

+−

= dxdye y x f F y x j =

9.,89,8 =ω ω

ω ω


4/17

4y

"84,y9

dimana$8D , D =9 adalah "ungsi dalam domain "!ek.

Contoh 4.2.

>iketahui "ungsi s#asial "84,y9 be!ikut2

!ans"o!masi "ou!ie! da!i "84,y9 di atas adalah2

( ) ( )

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

9sin89sin8

9sin8.

9sin89sin8

9sin8

9.8,

=

=

ω ω

ω ω

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

=

=

−=

=

−=

=

−

−

−

−

− −

−−

− −

+−

∫ ∫

∫ ∫

j

e

dxedxe j

e

dydxe F

x j

x j y j x j

y x j

asil da!i t!ans"o!masi "ou!ie! untuk @H D , D =H= D, adalah sebagai be!ikut 2


5/17

Gamba! /.E. 1ontoh hasil t!ans"o!masi "ou!ie! =>

Gamba! /./. asil t!ans"o!masi "ou!ie! dalam su!"ace

!ans"o!masi $ou!ie! semacam ini disebut dengan continuous "ou!ie! t!ans"o!m, dan sulit

dikom#utasi ka!ena ada o#e!asi integ!al dan si"at kontinunya itu sendi!i.

4.2. Transformasi Fourier Diskrit

!ans"o!masi "ou!ie! disk!it atau disebut dengan iscrete Fourier !ransform 8>$9

adalah model t!ans"o!masi "ou!ie! yang dikenakan #ada "ungsi disk!it, dan hasilnya juga

disk!it. >$ dide"inisikan dengan 2

∑=

−= "

n

" kn! jen f k F

5=9.898 π

4.2.1. DFT 1D

>$ se#e!ti !umus di atas dinamakan dengan >$ dimensi, >$ semacam ini banyak

digunakan dalam #engolahan sinyal digital.


6/17

@ = Et

"8t9

Contoh 4.3 :

>iketahui "8t9 dalam bentuk disk!it "8n9 sebagai be!ikut 2

>$ dengan 3 da!i "ungsi "8n9 di atas adalah 2

k3@ /

989.89@8E

@

E

@

@

=+++=

== ∑∑==

−

nn

jn n f en f F

k3 @9.8

9.898

E

@

.@

E

@

/5=

=

==

∑∑

=

−

=

−

n

jn

n

n j

en f

en f F

π

π

k3= @9.89.89=8

E

@

E

@

/5/ === ∑∑=

−

=

−

n

jn

n

n jen f en f F

π

k3E @9.89.89E8

E

@

.E

@

/5F === ∑∑=

−

=

−

n

n j

n

nn jen f en f F

π

asil da!i >$ untuk 8#e!iode sam#ling9 yang be!beda akan juga be!beda. Sehingga dalam

#!oses #e!hitungan >$, #enentuan nilai juga me!u#akan #e!hatian #enting. Sebagai acuan

da#at digunakan atu!an "!ekiketahui "8t9 dalam bentuk disk!it "8n9 sebagai be!ikut 2


∑∑=

−

=

− ==

@

C5

@

C5= 9.89.898

n

nk j

n

nk j en f en f k F π π

asil >$ "ungsi "8t9 di atas adalah 2

"8t9

=

t

@ E=E=@


7/17

k $8k9

@ =

@

= -= : =j

E @

/ @ @

F -= =j

@

e!lihat bah$ adalah bilangan kom#lek, yang te!di!i da!i unsu! !eal dan

imagine!. Sehingga da#at di#isahkan dalam unsu! !eal dan imagine! sebagai be!ikut 2

k 'eal$8k9 Im$8k9

@ = @

@ @= -= -=

E @ @

/ @ @

@ @

F -= =

@ @

>an da#at digamba!kan sebagai be!ikut 2

Bagian 'eal Bagian Imagine!

Gamba! /.. 1ontoh >$ !eal dan imagine!

Atau da#at dinyatakan dalam magnitude dan phase dengan de"inisi sebagai be!ikut 2

Magnitude 2 { }( ) { }( ) == 98Im98'e98 k f k f k F +=

&hase 2

{ } { }

{ }98'e98Im

98k F

k F k F #rg =


8/17

Magnitude &hase

Gamba! /.F. 1ontoh >$ !eal dan imagine!

Bila >$ dihitung untuk k3@ s5d maka hasilnya adalah2

K $8k9 K $8k9

@ = C =

@ @

= -= : =j @ -= : =j

E @ @

/ @ = @

@ E @

F -= =j / -= =j

@ @

e!lihat te!jadi #engulangan hasil, hal ini disebabkan #!oses >$ memang mengakibatkan

te!jadinya #e!iodik. Ini sebagai akibat da!i adanya unsu! !adial = dalam bentuk t!ans"o!masi"ou!ie!. Sehingga dalam #!oses #e!hitungan >$, #e!hitungan cuku# dilakukan sam#ai 5=

#e!iodik saja. >an #e!hitungan inilah yang dinamakan dengan $$ 8$ast $ou!ie! !ans"o!m9.

4.2.2. Transformasi Fourier Diskrit 2D

!ans"o!masi $ou!ie! >isk!it 8>$9 = >imensi adalah t!an"o!masi "ou!ie! disk!it yang

dikenakan #ada "ungsi => 8"ungsi dengan dua 7a!iabel bebas9, yang dide"inisikan sebagai

be!ikut 2

∑ ∑= =

+−=

=

=

===

@ @

9558=

== 9.,89,8 "

n

"

n

" nk " nk ! jenn f k k F π

>$ => ini banyak digunakan dalam #engolahan cit!a digital, ka!ena data cit!a dinyatakan

sebagai "ungsi =>.

Contoh 4.4 :

>iketahui "84,y9 adalah sebagai be!ikut 2

@ @

@ @

@ @

@ @


9/17

Bila digamba!kan hasilnya adalah sebagai be!ikut 2

Gamba! /.. 1ontoh cit!a dalam "84,y9

>$ da!i "ungsi "84,y9 di atas adalah 2

∑ ∑= =

+−=/

@

F

@

9F5/58=

==

=

==9.,89,8n n

nk nk ! jenn f k k F

π

asil da!i >$ adalah sebagai be!ikut 2

F @ -= -

E./Fi

@ -=

E./Fi

@

@ -.= -

/.Ei

@ @ @ /.E -

.=i

@ @ @ @ @ @

@ -/.E

.=i

@ @ @ .=

/.Ei

Seca!a G!a"is da#at ditunjukkan bah


10/17

Magnitude 3

F.@@@@ @ /.@@@@ @ /.@@@@ @

@ /.C@ @ @ @ /.C@

@ @ @ @ @ @

@ /.C@ @ @ @ /.C@

&hase 3

@ @ -=.@// @ =.@// @

@ -.CE=F @ @ @ -=.CC

@ @ @ @ @ @

@ =.CC @ @ @ .CE=F

Seca!a g!a"is da#at digamba!kan sebagai be!ikut 2

Magnitude &hase

Gamba! /.. 1ontoh hasil >$ => dalam magnitude dan #hase

4.3. Fast Fourier Transform

$$ 8$ast $ou!ie! !ans"o!m9 adalah teknik #e!hitungan ce#at da!i >$. Untuk

#embahasan $$ ini, akan dijelaskan $$ untuk > dan $$ untuk =>. >imana $$ =>

adalah #engembangan da!i >$ =>.

4.3.1. FFT 1D

$$ adalah >$ dengan teknik #e!hitungan yang ce#at dengan meman"aatkan si"at

#e!iodikal da!i t!ans"o!masi "ou!ie!. &e!hatikan de"inisi da!i >$ 2

∑=

−= "

n

" kn! jen f k F

5=9.898 π

Atau da#at dituliskan dengan 2

∑∑==

−= "

n

"

n

" nk! n f j " nk! n f k F

95=sin89895=cos89898 π π

&e!hatikan "ungsi cosinus be!ikut ini 2


11/17

Gamba! /.@. Gamba! "ungsi cosinus #e!iode

&ada gamba! te!sebut, da#at dilihat bah


12/17

@ F -= =j

= -= : =j @

E @ C =

/ @

Untuk menghitung hasil te!sebut di#e!lukan C4C 3 F/ kali #e!hitungan 8looping 9. Bila

dihitung dengan menggunakan $$ se#e!ti diatas, maka akan di#e!oleh 8 4C / 9 3 // kali

#e!hitungan, hal ini te!lihat sangat meng5hemat #e!hitungan. entunya dengan be!tambahnya

uku!an data, maka #e!bedaan kece#atan #e!hitungannya akan semakin te!asa.

Untuk n buah data, >$ meme!lukan n= kali #e!hitungan, dan $$ meme!lukan 8n5= 94n

n5= kali #e!hitungan. Misalkan jumlah data n3@@ maka dengan menggunakan >$

di#e!lukan @@4@@ 3 @.@@@ kali #e!hitungan, dengan dengan menggunakan $$ cuku#

dilakukan 84@@ @9 3 @ kali #e!hitungan.

atatan

*roses FF! di atas adalah proses F! dengan dibagi menjadi 2 bagian% sebenarnya hal ini

masih bisa dilanjutkan dengan memperhatikan kembali sifat dari fungsi sinus dan cosinus

pada setengah bagian% seperempat bagian dan seterusnya. +ehingga prosesnya menjadi lebih

cepat.

1a!a #e!hitungan $$ adalah sebagai be!ikut.

89 itung dengan ca!a >$

Untuk k3@ 2 $8@9 3 = @j

Untuk k3 2 $89 3 @ @ j

Untuk k3= 2 $8=9 3 -= : =j

Untuk k3E 2 $8E9 3 @ @ j

Untuk k3/ 2 $8/9 3 @ @ j 8ka!ena #osisi ditengah9

8=9 &e!hitungan selanjutnya dilakukan dengan menggunakan ca!a konjugate diatas.

Untuk k3 2 $89 3 'eal$8E9 - Im$89 3 @ @ j

Untuk k3F 2 $8F9 3 'eal$8=9 - Im$8=9 3 -= = j

Untuk k3 2 $89 3 'eal$89 - Im$8E9 3 @ @ j

4.3.2. FFT 2D

$$ => adalah >$ => dengan teknik #e!hitungan yang ce#at dengan meman"aatkan

si"at #e!iodikal da!i t!ans"o!masi "ou!ie!. Se#e!ti halnya $$ >, maka dengan menggunakan

si"at "ungsi sinus dan cosinus, algo!itma da!i $$t => ini adalah 289 itung $$ => untuk n 3 s5d (5= dan n= 3 s5d (=5= menggunakan !umus >$.


13/17

8=9 Untuk selanjutnya digunakan teknk konjugate =>.

Contoh 4.' :

&e!hatikan contoh /./. dengan "ungsi "84,y9 sebagai be!ikut 2

@ @

@ @

@ @

@ @

>$ da!i "ungsi ini adalah sebagai be!ikut 2

F @ -= -

E./Fi

@ -=

E./Fi

@

@ -.= -

/.Ei

@ @ @ /.E -

.=i

@ @ @ @ @ @

@ -/.E

.=i

@ @ @ -.=

/.Ei

;umlah #e!hitungan >$ di atas adalah 8/4F9= 3 F kali.

>engan menggunakan $$, maka #e!hitungannya adalah 2

89 itung >$ untuk uku!an /4/ sehingga di#e!oleh 2

$8@,@9 3 F $8@,9 3 @$8@,=9 3 -= : E./Fi $8@,E9 3 @

$8,@9 3 @ $8,9 3 -.= : /.Ei

$8,=9 3 @ $8,E9 3 @

$8=,@9 3 @ $8=,9 3 @

$8=,=9 3 @ $8=,E9 3 @

$8E,@9 3 @ $8E,9 3 -/.E .=i

$8E,=9 3 @ $8E,E9 3 @8=9 >engan ca!a konjugate da#at di#e!oleh 2

$8@,/9 3 conjugate8$8@,=99 3 -= E./Fi

$8@,9 3 conjugate8$8@,99 3 @

$8,/9 3 conjugate8$8E,=99 3 @

$8,9 3 conjugate8$8E,99 3 -/.E : .=i

$8=,/9 3 conjugate8$8=,=99 3 @

$8=,9 3 conjugate8$8=,99 3 @

$8=,/9 3 conjugate8$8,=99 3 @


14/17

@ = Et

"8t9

$8=,9 3 conjugate8$8,99 3 -.= /.Ei

;umlah #e!hitungan da!i $$ adalah 8/4/4/4F9 =4/ 3 E= kali.

atatan

,umlah perhitungan dari FF! untuk fungsi 2 yang berukuran mxn adalah

(m/2$)x(n/2$)xmxn $ mxn/

4.&. Transformasi Cosinus Diskrit

!ans"o!masi 1osinus >isk!it atau disebut dengan iscrete osine !ransform 8>19

adalah model t!ans"o!masi "ou!ie! yang dikenakan #ada "ungsi disk!it dengan hnaya

mengambil bagian cosinus da!i eks#onensial kom#leks, dan hasilnya juga disk!it. >1

dide"inisikan dengan 2

∑=

= "

n

" nk n f k F

95=cos89.898 π

Be!beda dengan >$ yang hasilnya be!u#a 7a!iabel kom#leks dengan bagian !eal dan

imagine!, maka hasil >1 hanya be!u#a !eal tan# ada imagine!. al ini banyak membantu

ka!ena da#at mengu!angi #e!hitungan. >alam >1 nilai magnitude adalah hasil da!i >1 itu

sendi!i dan tidak di#e!lukan #hase.

4.&.1. DCT 1D

>1 se#e!ti !umus di atas dinamakan dengan >1 dimensi, >1 semacam ini

banyak digunakan dalam #engolahan sinyal digital.

Contoh 4. :



k3@ /

[email protected]@8E

@

E

@

=+++=

== ∑∑== nn

n f n f F

k3

@9cos89.89/5/cos89.898E

@

E

@

=== ∑∑==

π π

nn

nn f nn f F


15/17

k3= @9=cos89.89/5Ccos89.89=8

E

@

E

@

=== ∑∑== nn

nn f nn f F π π

k3E

@9Ecos89.89/5=cos89.89E8E

@

E

@

=== ∑∑==

nn

nn f nn f F π π

Contoh 4.3 :


>1 dengan 3 da!i "ungsi "8n9 di atas adalah 2

∑∑==

==

@

@

9/5cos89.89C5=cos89.898nn

k nn f k nn f k F π π

asil >1 "ungsi "8t9 di atas adalah 2

k $8k9

@ =

@

= -=

E @

/ @

@

F -=

@

Seca!a g!a"ik da#at digamba!kan hasil >1 se#e!ti gamba! be!ikut 2

Gamba! /.=F. 1ontoh hasil >1

"8t9

=

t

@ E=E=@


16/17

4.&.2. DCT 2D

>1 = dimensi adalah t!an"o!masi "ou!ie! disk!it yang dikenakan #ada "ungsi =>

8"ungsi dengan dua 7a!iabel bebas9 dengan hanya mengambil bagian cosinus da!i

eks#onensial imagine!, yang dide"inisikan sebagai be!ikut 2

∑ ∑= =

=

=

=@ @

===== 95=cos89.5=cos89.,89,8 "

n

"

n

" nk " nk nn f k k F π π

>1 => ini banyak digunakan dalam #engolahan cit!a digital, ka!ena data cit!a dinyatakan

sebagai "ungsi =>.

Contoh 4. :

>iketahui "84,y9 adalah sebagai be!ikut 2

@ @

@ @

@ @

@ @

Bila digamba!kan hasilnya adalah sebagai be!ikut 2

Gamba! /.=. 1ontoh cit!a dalam "84,y9

>1 da!i "ungsi "84,y9 di atas adalah 2

∑ ∑= =

=/

@

F

@

====

=

9F5=cos89./5=cos89.,89,8n n

k nk nnn f k k F π π

asil da!i >$ adalah sebagai be!ikut 2

F @ -= @ -= @

@ -.= @ @ @ /.E

@ @ @ @ @ @

@ -/.E @ @ @ .=

Seca!a G!a"is da#at ditunjukkan bah


17/17

Gamba! /.=C. 1ontoh hasil >1 =>

BISA ;UGA 1%BA BA1A O

U(UK >I ;A>IKA( ')$)')(SI

D*FT*R ,-T**

Abdullah, ., 8=@9, 'uang PP sebagai 'uang (o!m yang Lengka# bese!ta Si"at-si"at

Utamanya,

!esis atematika% Uni7e!sitas &endidikan Indonesia. ;aka!ta, hal.@-=.

>amelin, S. dan illa!d M., 8=@@9, 0ecture "otes on !he Fourier !ransform% Minnesota

Uni7e!sity.

USA, hal. @.

Guna

f 41121 Tugasoptionalfiskomfourier

Documents

Transcript of f 41121 Tugasoptionalfiskomfourier