На правах рукописи

Рубцов Александр Александрович

Исследование задачи регулярнойреализуемости.

Специальность 01.01.09 - дискретная математика иматематическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва - 2016

Работа выполнена на кафедре математических основ управления

Московского физико-технического института

(государственного университета)

Научный руководитель:

Вялый Михаил Николаевич, к.ф.-м.н., доцент.

Официальные оппоненты:

Пентус Мати Рейнович, д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры математи-

ческой логики и теории алгоритмов механико-математического факультета

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Чистиков Дмитрий Викторович, к.ф.-м.н., младший научный сотруд-

ник факультета компьютерных наук Оксфордского университета, г. Окс-

форд, Великобритания.

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное обра-

зовательное учреждение высшего образования «Уральский федеральный

университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина».

Защита состоится 22 декабря 2016 года в час на заседании диссер-

тационного совета Д 212.156.05 на базе Московского физико-технического

института (государственного университета) по адресу: 141700, Московская

обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ и на сайте

университета https://www.mipt.ru.

Автореферат разослан « » октября 2016 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.156.05 Федько Ольга Сергеевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертационной работе затрагиваются следую-

щие актуальные для областей формальных языков и вычислительной слож-

ности темы.

Классификации формальных языков. Одним из направлений в обла-

сти компьютерных наук является классификация формальных языков: хорошо

известны, например, иерархия Н. Хомского и классификация по вычислитель-

ной сложности – центральный предмет исследования одноимённого научного

направления.

Однако, эти классификации не различают такие случаи, как языки Per1 =

{(1k#)n | k, n ∈ N} и Per2 = {(w#)n |w ∈ Σ∗},Σ = {0, 1}, состоящие из

повторения слов с разделителями над унарным и двоичным алфавитами. Мы

называем эти языки периодическими фильтрами.

Также эти классификации не различают между собой контекстно-

свободные языки PAL – язык палиндромов и D2 – язык правильных

скобочных выражений с двумя типами скобок, который известен как язык

Дика, и регулярные языки 0∗ и {0, 1}∗.Построение классификаций формальных языков, согласованных с клас-

сификацией по вычислительной сложности, открывает новый взгляд на цен-

тральную проблему теории сложности вычислений – соотношение между

сложностными классами и возможность их разделения как по модулю слож-

ностных гипотез, так и без оного.

Для этих целей М. Н. Вялым была введена задача регулярной реализу-

емости. Задача регулярной реализуемости состоит в проверке пересечения

фиксированного языка F с регулярным языком на входе задачи.

Мы различаем два случая описания регулярного языка на входе задачи:

если язык задан описанием детерминированного конечного автомата, то мы

имеем дело с детерминированной задачей регулярной реализуемости, а если

описанием недетерминированного конечного автомата, то задача называется

3

недетерминированной задачей регулярной реализуемости.

Мы называем параметр задачи, язык F , фильтром, для того чтобы выде-

лять его среди других формальных языков. Задачи мы обозначаем как RR(F )

и NRR(F ) соответственно. Мы определяем задачи регулярной реализуемости

как формальные языки:

RR(F ) = {A | A ∈ DFA, L(A) ∩ F 6= ∅},

NRR(F ) = {A | A ∈ NFA, L(A) ∩ F 6= ∅}.

Сразу оговоримся, что на вход детерминированной задачи регулярной

реализуемости подаётся всюду определённый ДКА (множество DFA), каждое

состояние которого достижимо из начального, а на вход недетерминированной

– НКА, возможно с переходами по пустому слову (множество NFA).

Задача регулярной реализуемости позволяет ввести новую классифика-

цию на формальных языках. Поставив в соответствие формальному языку F

вычислительную сложность задачи NRR(F ) или RR(F ), получаем классифи-

кацию формальных языков по сложности соответствующей задачи регулярной

реализуемости. Данная классификация устанавливает связь между формаль-

ными языками малой вычислительной сложности и классами сложности.

В области формальных языков известны другие классификации, которые

также играют важную роль. Представители французской школы Ж. Берстель,

Л. Боассон и др. исследовали классификацию контекстно-свободных языков по

отношению рационального доминирования. Для определения этого отношения

нам потребуется ввести вспомогательные понятия.

Автоматным преобразователем назовём недетерминированный конечный

автомат с выходной лентой, автомат может совершать переходы по пустому

слову. При переходах между состояниями автомат пишет некоторое слово,

возможно пустое, на выходную ленту. Автоматный преобразователь T ставит

слову u в отношение слово v, если существует путь вычисления со словом u

на ленте входа, на котором автомат записывает слово v на выходную ленту,

4

оказавшись в результате в принимающем состоянии. Запись T (u) = L означает,

что L – язык всех слов, которые автомат ставит в отношение к слову u. Если

A – множество, то T (A) = B, если в B входят те и только те слова, которые

T ставит в отношение к некоторому слову из A. Будем говорить, что язык B

является автоматным преобразованием языка A.

В случае если T – детерминированный автоматный преобразователь, то

язык B является детерминированным автоматным преобразованием языка

A. Мы допускаем переходы по пустому слову в детерминированном преоб-

разователе – детерминированность преобразователя равносильна тому, что

отношение переходов является функцией.

Автоматные преобразователи задают отношение рационального домини-

рования, которое мы обозначаем 6rat: B6ratA тогда и только тогда, когда

существует автоматный преобразователь T , такой что T (A) = B. Детер-

минированные автоматные преобразователи задают отношение 6drat: если

выполнено A6dratB, то мы говорим, что язык A автоматно сводится к

B, а язык B автоматно накрывает A. Отношения 6rat и 6drat являются

транзитивными.

Множество языков C является рациональным конусом, если оно замкнуто

относительно отношения рационального доминирования: для любого языка

L из C и любого автоматного преобразователя T выполняется T (L) ∈ C.

Множество языков C образует главный рациональный конус, если существует

язык F , такой что для любого языка L ∈ C существует преобразователь T ,

такой что T (F ) = L. Мы обозначаем главный рациональный конус как T (F ),

язык F мы называем генератором.

Отношения рационального доминирования и автоматного накрытия хоро-

шо согласуются со сложностью задач недетерминированной и детерминирован-

ной регулярной реализуемости: если A6ratB, то NRR(A)6log NRR(B); если

A6dratB, то RR(A)6log RR(B). Более подробно связь автоматных преобразо-

ваний с задачами регулярной реализуемости мы описываем в разделе 3.1.3.

О важности данного подхода к исследованию КС-языков свидетельствует

5

тот факт, что он отражён в соответствующих главах таких книг как Handbook

of Formal Languages и Handbook of Theoretical Computer Science. Мы на-

зываем указанную технику, разработанную французской школой, техникой

рациональных конусов.

Исследование структурных и сложностных свойств моделей вы-

числений. Актуальность исследования КС-языков вызвана их важностью

для приложений. Центральной проблемой теории формальных языков явля-

ется исследование моделей вычислений: исследование структурных свойств

распознаваемых моделью языков и классификация их по вычислительной

сложности. Одним из самых выдающихся успехов этого направления явля-

ется применение детерминированных КС-языков для разработки компиля-

торов языков программирования. Центральный результат, относящийся к

LR-анализу, получен Д. Кнутом1.

При этом класс КС-языков обладает достаточно редкими хорошими струк-

турными свойствами и свойствами разрешимости основных задач, таких как

проблема пустоты языка. Следующий за КС-языками класс в иерархии Хом-

ского – контекстно-зависимые языки – уже не обладает столь замечательными

свойствами, что затрудняет использование КЗ-языков в приложениях. Поиск

классов формальных языков с хорошими структурными и вычислительными

свойствами является важным вопросом теории формальных языков в связи с

возможностью их приложения по опыту регулярных и КС-языков.

К современным исследованиям в данном направлении относится открытие

М. Кутрибом, А. Мальхером и М. Ведландтом модели вычислений – автоматов

со словарём, в оригинале – Set Automata; детерминированная версия этой

модели была представлена в 2014 году на конференциях Developments in

Language Theory и Descriptional Complexity of Formal Systems. Авторы модели

показали, что языки, распознаваемые детерминированными автоматами со

словарём, обладают хорошими свойствами, близкими к детерминированным1Knuth D. On the Translation of Languages from Left to Right // Information and Control.

— 1965.

6

КС-языкам, что открывает возможность для их приложения на практике.

Связь теории автоматов с монадическими теориями. В работе

Ж. Бюхи2 установлена связь между теорией автоматов и монадическими

теориями второго порядка для бесконечных вправо слов – сверхслов. Бюхи

доказал, что разрешимость монадической теории для сверхслова эквивалент-

на разрешимости задачи о поведении автомата на сверхслове: необходимо

проверить, оказывается ли автомат на входе задачи в принимающем состо-

янии бесконечно много раз при обработке сверхслова. В работе академика

А.Л. Семёнова3 получен критерий разрешимости монадических теорий для

сверхслов. Данная тема остаётся актуальной, о чём свидетельствуют работы4

О. Картона, А. Рабиновича и В. Томаса.

Степень разработанности темы исследования. На классах сложно-

сти хорошо известно следующее соотношение:

L ⊆ NL ⊆ P ⊆ NP ⊆ PSPACE.

При этом, в силу теоремы об иерархии, одно из этих включений является

строгим. Вопрос о строгости каждого включения является открытым вопросом

о разделении классов сложности. Самый известный из этих вопросов – одна

из задач тысячелетия о соотношении между классами P и NP.

Для каждого из приведённых выше формальных языков задача регулярной

реализуемости является полной относительно m-сводимости на логарифмиче-2Buuchi J. R. On a Decision Method in Restricted Second Order Arithmetic // Proceedings

of International Congress for Logic, Methodology and Philosophy of Science. - 1962.3Семёнов А. Л. Логические теории одноместных функций на натуральном ряду //

Известия АН СССР. Серия математическая. — 1983.4Carton O., Thomas W. The Monadic Theory of Morphic Infinite Words and

Generalizations // Information and Computation. — 2002.Rabinovich A. On Expressive Power of Regular Expressions over Infinite Orders // 11thInternational Computer Science Symposium in Russia, – 2016.Rabinovich A., Thomas W. Decidable Theories of the Ordering of Natural Numbers with UnaryPredicates // Computer Science Logic: 20th International Workshop, CSL, – 2006.Rabinovich A. On decidability of monadic logic of order over the naturals extended by monadicpredicates // Information and Computation. — 2007.

7

ской памяти 6log в одном из указанных классов сложности.

фильтр RR NRR

0∗ L NL

{0, 1}∗ NL NL

PAL NL NL

D2 P P

Per1 NP NP

Per2 PSPACE PSPACE

Таблица 1: Фильтры, для которых задачи полны в основных классах сложно-сти.

Обратимся к таблице 1. Результаты сложности задач для периодических

фильтров получены независимо М. Н. Вялым5 и T. Anderson, J. Loftus, N.

Rampersad, N. Santean, J. Shallit6, которые также доказали результат о слож-

ности задачи для палиндромов; полнота задачи для языка Дика следует из

хорошо известного факта полноты задачи о непустоте языка, задаваемого

контекстно-свободной грамматикой, а результаты для регулярных языков

несложно следуют из свойств классов L и NL – мы приводим доказательства

этих утверждений в главе 3.

Следующим естественным вопросом является вопрос о вычислительной

сложности задач регулярной реализуемости для произвольных регулярных

и контекстно-свободных языков: если найдётся регулярный или КС-язык,

для которого соответствующая задача регулярной реализуемости будет иметь5Вялый М. Н. О задачах регулярной реализуемости // Пробл. передачи информ. —

2011.6Special Issue: 2nd International Conference on Language and Automata Theory and

Applications (LATA 2008) Detecting palindromes, patterns and borders in regular languages /T. Anderson [et al.] // Information and Computation. — 2009.

8

промежуточную сложность, то таким образом получится разделить сложност-

ные классы, решив тем самым одну из важных открытых проблем теории

сложности вычислений. Исследованию этого вопроса посвящена глава 3.

Авторы модели автоматов со словарём исследовали структурные свойства

детерминированной версии модели, однако вопрос об аналогичных свойствах

недетерминированной модели формально не поднимался (большинство свойств

не зависят от детерминированности модели), а вопрос о сложностной класси-

фикации языков, распознаваемых моделью, не был исследован.

Другой естественной задачей о поведении автомата на сверхслове является

вопрос о том, окажется ли он в принимающем состоянии хотя бы один раз.

Этот вопрос можно сформулировать в виде задачи регулярной реализуемости

специального вида. Фильтром этой задачи является множество префиксов

сверхслова – мы называем такую задачу задачей префиксной реализуемости.

Из схожести описанных задач о поведении автомата на сверхслове вытекает

вопрос об исследовании связи между задачей префиксной реализуемости и

монадическими теориями.

Цели и задачи. Основной целью данной работы является исследование

ряда вопросов в области формальных языков, связанных с задачей регуляр-

ной реализуемости (разрешимость и вычислительная сложность задачи в

зависимости от параметра, и т.д.), и установление связей между структурны-

ми свойствами формальных языков и сложностью соответствующих задач

регулярной реализуемости. Иной целью является поиск связи исследуемой

задачи с другими областями компьютерных наук и применение к ним мате-

матического аппарата, разработанного при исследовании задачи регулярной

реализуемости.

В работе решаются следующие задачи.

1. Исследование связи разрешимости монадических теорий второго по-

рядка для бесконечных вправо слов и разрешимости задач регулярной

реализуемости специального вида.

9

2. Классификация по сложности детерминированной задачи регулярной

реализуемости регулярных языков и недетерминированной задачи ос-

новных подклассов КС-языков.

3. Классификация по сложности вычислений языков, распознаваемых ав-

томатами со словарём, и установление их структурных свойств.

Научная новизна работы состоит в комбинировании техники рациональ-

ных конусов, разработанной французской школой в результате исследования

КС-языков, с математическим аппаратом задачи регулярной реализуемости.

Данный подход, помимо исследования ряда вопросов в области задачи регуляр-

ной реализуемости и КС-языков, позволил классифицировать по сложности и

установить структурные свойства автоматов со словарём.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теорети-

ческий характер. Разработанный математический аппарат открывает воз-

можность переноса применённого подхода на другие модели вычислений, что

может оказаться полезным для дальнейших теоретических исследований в об-

ласти формальных языков и сложности вычислений. В частности, установлено,

что широкий подкласс КС-языков является кандидатом на промежуточную

сложность задачи регулярной реализуемости между NL и P, это открывает

новый подход к вопросу о соотношении между этими классами. Подход, при-

менённый для классификации по сложности модели автоматов со словарём,

базируется на технике рациональных конусов и, возможно, может быть при-

менён к другим моделям, распознающим языки со схожими структурными

свойствами.

Полученный в работе результат о том, что детерминированные автоматы

со словарём распознают языки из класса P, в том числе полные, является

аргументом в пользу надежды авторов данной модели на её практическое

применение.

Методы исследования. В диссертации применены методы теории фор-

мальных языков, в частности, теории автоматов и формальных грамматик, а

10

также методы теории вычислений.

Положения, выносимые на защиту.

1. Существование сверхслов, для которых разрешима задача префиксной

реализуемости, но не разрешима монадическая теория.

2. Эквивалентность по разрешимости произвольной задачи регулярной

реализуемости и некоторой задачи префиксной реализуемости.

3. Классификация* регулярных языков по сложности детерминирован-

ной задачи регулярной реализуемости. Классификация состоит из двух

классов: ограниченных и неограниченных языков.

4. Принадлежность задачи недетерминированной регулярной реализуе-

мости для КС-языков с полиномиально ограниченным рациональным

индексом классу NSPACE(log2 n).

5. Классификация* основных рациональных подконусов конуса КС-языков

по сложности задачи недетерминированной регулярной реализуемости.

6. Существование языка, который не является генератором конуса КС-

языков, такого, что задача регулярной реализуемости P-полна.

7. Классификация* по вычислительной сложности языков, распознаваемых

автоматами со словарём.

* – Классификации проведены в предположении стандартных теоретико-

сложностных гипотез.

Степень достоверности и апробация результатов. Высокая степень

обоснованности результатов диссертации обеспечивается корректностью при-

менения математического аппарата, апробацией результатов на международ-

ных конференциях и публикацией результатов исследований в рецензируемых

научных изданиях, в том числе включённых в список ВАК. Результаты рабо-

ты были доложены на следующих семинарах, российских и международных

конференциях:

11

• 54,55,56,57 научных конференциях МФТИ (Москва, 2011-2015), при-

чем на 54 и 55 научных конференциях работы автора были отмечены

секционными дипломами,

• 17th International Workshop Descriptional Complexity of Formal Systems

(Waterloo, ON, Canada, 2015),

• IX международной конференции «Дискретные модели в теории управ-

ляющих систем» (Москва и Подмосковье, 2015),

• XVII международной конференции «Проблемы теоретической киберне-

тики» (Казань, 2014),

• 7th School «Computer Science Days in Ekaterinburg» (Екатеринбург, 2014),

• научном семинаре по теории сложности ВЦ РАН (Москва 2011, 2014),

• Колмогоровском семинаре мехмата МГУ (Москва, 2011).

По теме диссертации соискателем опубликовано 12 печатных работ [1—

12], три из них [4; 10; 11] – в реферируемых изданиях, включённых ВАК

РФ в список изданий, рекомендуемых для опубликования основных научных

результатов диссертаций.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, вспомогательной главы с основными

определениями, трёх глав собственных исследований, заключения и списка

цитируемой литературы. Работа изложена на 138 страницах, иллюстрирована

одним рисунком и двумя таблицами. В списке цитируемой литературы 46

наименований.

Основное содержание работы

Глава 1

Первая глава содержит вспомогательные сведения из областей формальных

языков, автоматов и вычислительной сложности. В ней вводятся вспомога-

12

тельные понятия и приводятся ссылки на базовые факты, необходимые для

дальнейшего изложения в следующих главах.

Глава 2. Модель обобщённо-недетерминированных

автоматов и вопросы разрешимости

Задача регулярной реализуемости была введена М. Н. Вялым с целью

исследования связи свойств простых относительно сложностной классифика-

ции формальных языков с известными классами сложности. Автор задачи

показал7, что задача регулярной реализуемости является полной для широ-

кого ряда классов сложности. Изначально для выявления этой связи была

предложена модель обобщённых недетерминированных автоматов (ОНА). Во

второй главе мы описываем связь модели ОНА с задачей регулярной реализу-

емости, а также исследуем вопросы разрешимости, естественно вытекающие

из анализа этой модели.

Под обобщённо-недетерминированным автоматом мы понимаем машину

Тьюринга на логарифмической памяти, которая имеет дополнительную од-

ностороннюю бесконечную вправо ленту, доступную только для чтения. Мы

называем эту ленту лентой подсказки. Автомат ОНА MF получает на вход

пару (x, y), где x – входное слово над алфавитом Σ, а y – слово из языка

F ⊆ ∆∗, записанное на ленту подсказки. В ячейках ленты подсказки, не

занятых символами слова y, записан пустой символ Λ 6∈ ∆. Автомат MF

принимает слово x, если существует такое слово y ∈ F , что на входе (x, y)

автоматMF переходит в принимающее состояние, при этом слово y полностью

прочитано автоматом – головка ленты подсказки перешла на символ Λ.

В случае, когда F = ∅, получаем обычную детерминированную МТ на

логарифмической памяти, а в случае, когда F = {0, 1}∗, получаем недетер-

минированную МТ на логарифмической памяти. То есть языкам ∅ и {0, 1}∗

соответствуют классы сложности L и NL. Мы называем моделью ОНА с7Вялый М. Н. О выразительной силе задач регулярной реализуемости // Пробл. пере-

дачи информ. — 2013.

13

фильтром F множество всех ОНА с фильтром F ; модели соответствует класс

языков, распознаваемых указанными автоматами.

Мы рассмотрели случаи, в которых фильтр либо запрещал все слова,

либо не запрещал ни одного, – эти случаи отвечают детерминированной и

недетерминированной модели. Ограничения, накладываемые фильтром, могут

увеличить вычислительную силу модели. В частности, как было независимо

показано М. Н. Вялым и T. Anderson, J. Loftus, N. Rampersad, N. Santean,

J. Shallit (в других терминах), модель ОНА с фильтром Per1 распознаёт класс

NP, а модель ОНА с фильтром Per2 – класс PSPACE.

Задача регулярной реализуемости связана с моделью ОНА следующим

образом. Класс языков, распознаваемых моделью ОНА с непустым филь-

тром F , совпадает с классом {L | L6log RR(F )}, где 6log – m-сводимость на

логарифмической памяти.

Из анализа модели ОНА возникают задачи регулярной реализуемости

специального вида. В качестве фильтра такой задачи выступает язык пре-

фиксов бесконечного вправо слова, которое мы называем сверхсловом. Будем

говорить, что сверхслово WF = #y1#y2# . . .#yi# . . . , где # 6∈ Σ, является

сверхсловом для фильтра F , если сверхслово WF содержит в качестве под-

слова все слова языка #F#, причём если слово #u# является подсловом

сверхслова WF , то u ∈ F .

Обозначим Pref(W) множество всех префиксов сверхслова W . Задача ре-

гулярной реализуемости RR(F ) очевидно сводится к задаче RR(Pref(WF)) =

Rp(WF) следующим образом. Обозначим Σ# = Σ ∪ {#}. Регулярный язык R

имеет непустое пересечение с фильтром F тогда и только тогда, когда регу-

лярный язык Σ∗##R#Σ∗# имеет непустое пересечение с некоторым префиксом

сверхслова W .

Таким образом, при исследовании разрешимости задачи регулярной реа-

лизуемости возникает естественный вопрос о разрешимости задачи Rp(W ),

которую мы называем задачей префиксной реализуемости. Мы называем

сверхслова, для которых задача Rp(W ) является разрешимой, префиксно

14

разрешимыми. Поскольку при исследовании вопросов разрешимости тип ав-

томата на входе задачи не играет роли, мы считаем, что на вход задач RR(F )

и Rp(W ) подаётся регулярный язык без уточнения способа его описания.

В других терминах, задача Rp(W ) является задачей о поведении автомата

на сверхслове: задача состоит в проверке, окажется ли автомат в принимающем

состоянии при чтении сверхслова хотя бы один раз. Другая естественная

задача о поведении автомата на сверхслове – окажется ли автомат при чтении

сверхслова в принимающем состоянии бесконечное число раз. Мы обозначаем

эту задачу R∞p (W ).

Из работ Бюхи, изучавшего поведение автоматов на сверхсловах, следует,

что разрешимость задачи R∞p (W ) эквивалентна разрешимости монадической

теории второго порядка MT(N, <,W) для сверхслова W . Поэтому мы называ-

ем задачу R∞p (W ) задачей Бюхи-реализуемости, а сверхслова, для которых

она разрешима, – разрешимыми по Бюхи. В свою очередь, задача Rp(W ) легко

сводится к задаче R∞p (W ) путём превращения всех принимающих состояний

на входе задачи Rp(W ) в поглощающие – состояния, попав в которые, автомат

остаётся в них. Таким образом, из разрешимости монадической теории для

сверхслова W следует его префиксная разрешимость.

Основные результаты главы 2

Мы доказываем, что обратной сводимости между задачами Rp(W ) и

R∞p (W ) не существует: мы строим префискно разрешимое сверхслово, которое

не будет разрешимо по Бюхи. Таким образом, первым основным результатом

главы является доказательство существования сверхслов, для которых разре-

шима задача Rp(W ), однако неразрешима монадическая теория MT(N, <,W).

Как мы говорили выше, задача RR(F ) сводится к задаче Rp(WF ). Обрат-

ной сводимости может и не быть: мы приводим пример фильтра F и сверх-

слова WF , для которых задача RR(F ) разрешима, а RR(WF ) – нет. Вторым

основным результатом главы является доказательство того, что для каждого

фильтра F существует такое сверхслово WF , что задачи RR(F ) и Rp(WF )

15

эквивалентны по Тьюрингу. Данный результат мы получили, опираясь на

критерий Семёнова разрешимости монадических теорий.

Глава 3. Задачи регулярной реализуемости и контекстно-

свободные языки

На рисунке изображён рациональный конус КС-языков с собственными

подконусами. Этот рисунок хорошо известен по книге Ж. Берстеля о раци-

ональных конусах и КС-языках. На её обложке изображён оригинальный

конус, на основе которого построен наш рисунок. Отношение рационального

доминирования вводит отношение порядка на рациональных конусах. Слож-

ность задачи недетерминированной регулярной реализуемости согласована

с этим порядком: если генератор одного рационального конуса рационально

доминирует генератор другого, то задача регулярной реализуемости для лю-

бого языка из второго конуса не сложнее задачи регулярной реализуемости

для генератора первого. Мы описываем связь между задачей регулярной

реализуемости и рациональными конусами в разделе 3.1. Мы назовём класси-

фикацию по сложности задачи регулярной реализуемости NRR(F ) КС-языка

F сложностной классификацией.

Мы начинаем главу с исследования связи между задачами регулярной

реализуемости и рациональными конусами.

В данной главе мы исследуем сложностную классификацию языков хоро-

шо известных рациональных подконусов конуса КС-языков. КС-языки, для

которых задача регулярной реализуемости P-полна, мы назовём трудными, а

языки, для которых задача регулярной реализуемости NL-полна, – лёгкими.

Из рисунка видно, что все представленные рациональные конусы, кроме кону-

са CFL, содержат лёгкие языки. Естественно предположить, что все языки,

кроме генераторов конуса КС-языков, лёгкие. Тем не менее, это не так. В

разделе 3.4 мы приводим пример языка, который не является генератором

конуса КС-языков, но является трудным. На рисунке это язык S↑#.

16

Рис. 2: Рациональные конусы

Как мы упоминали во введении, отношение рационального доминирова-

ния согласовано с недетерминированной версией задачи: из A6ratB следует

сводимость NRR(A)6log NRR(B). Поэтому мы исследуем недетерминирован-

ную версию задачи для КС-языков. Однако, в разделе 3.1 мы показываем,

что все результаты этой главы по классификации сложности конусов также

переносятся на детерминированную версию задачи. Важное различие между

недетерминированной и детерминированной версиями задачи проявляется

на регулярных языках: для любого непустого регулярного языка F задача

NRR(F ) является NL-полной, но это неверно для детерминированной версии

задачи – очевидно, что для любого конечного языка F задача RR(F ) лежит

в классе L.

17

В разделе 3.1 описана связь детерминированных и недетерминированных

автоматных преобразований, задающих отношения рационального доминиро-

вания 6rat и автоматного накрытия 6drat, с задачами регулярной реализуемо-

сти. Затем мы переходим к исследованию сложности задачи детерминирован-

ной регулярной реализуемости для регулярных языков.

В разделе 3.2 мы показываем, что для регулярных языков выполняет-

ся дихотомия: задача детерминированной регулярной реализуемости либо

лежит в классе L, либо полна в классе NL. При этом данное разбиение

совпадает с хорошо известным разделением регулярных языков на класс

ограниченных и неограниченных. Напомним, что регулярный язык R назы-

вается ограниченным, если существует конечный набор слов w1, w2, . . . , wn,

такой что R ⊆ w∗1w∗2 . . . w

∗n. В случае недетерминированной версии задачи для

регулярных языков все языки, кроме пустого, являются полными в классе

NL.

В случае КС-языков для задачи NRR логично предположить дихотомию

относительно классов NL и P – языкам, для которых задача NRR полна в

этих классах, посвящены разделы 3.3 и 3.4 соответственно. Мы показываем,

что для любого КС-языка задача регулярной реализуемости лежит в классе

P, а для широкого класса языков – языков Грейбах (на рисунке они обозна-

чены как GRE) – задача NRR является NL-полной. Однако, наличие или

отсутствие такой дихотомии пока остаётся открытым вопросом. В разделе 3.5

мы приводим широкий подкласс КС-языков, претендующих на промежуточ-

ную сложность, – КС-языки с полиномиально ограниченным рациональным

индексом.

Рациональный индекс ρL(n) языка L – это функция, которая возвращает

максимальную (по автоматам с n состояниями) длину кратчайшего слова из

пересечения языка L с языком L(A), распознаваемым недетерминированным

автоматом A с n состояниями, при условии, что L(A) ∩ L 6= ∅:

ρL(n) = maxA:|QA|=n, L(A)∩L6=∅

min{|u| |u ∈ L(A) ∩ L}. (1)

18

Основные результаты главы 3

Дихотомия для регулярных языков: задача RR(F ) лежит в классе L для

ограниченных F и в классе NL для неограниченных.

В случае, если язык F является языком Грейбах, задача NRR(F ) полна

в классе NL. А в случае, если язык F имеет полиномиально ограниченный

рациональный индекс, задача регулярной реализуемости NRR(F ) лежит в

классеNSPACE(log2 n). Приведён пример КС-языка S↑#, для которого задача

NRR(S↑#) является P-полной, однако язык S↑# не является генератором конуса

КС-языков.

Глава 4. Автоматы со словарём

Класс языков, являющийся главным рациональным конусом, обладает

хорошими структурными свойствами: например, он замкнут относительно

операции объединения. Другие структурные свойства, такие как замкнутость

относительно конкатенации и итерации, могут быть выявлены путём анализа

структурных свойств генератора: в частности, замкнутость класса КС-языков

относительно конкатенации и итерации можно объяснить замкнутостью от-

носительно этих операций языка Дика. Свойства разрешимости для языков

главного рационально конуса, такие как проблема проверки на пустоту и

проблема проверки принадлежности слова языку, связаны с разрешимостью

задачи регулярной реализуемости. В разделе 3.1 мы показываем, что разре-

шимость проверки пустоты для языков, образующих главный рациональный

конус, равносильна разрешимости задачи регулярной реализуемости для гене-

ратора конуса, а задача проверки принадлежности слова языку сводится к

задаче регулярной реализуемости специального вида.

Установление связи задачи регулярной реализуемости со свойствами раз-

решимости языков, образующих главный рациональный конус, позволило

решить задачу о сложностной классификации модели вычислений, открытой

в 2014 году, – автоматов со словарём. Детерминированная версия данной

19

модели вычислений была впервые представлена М. Кутрибом, А. Мальхером

и М. Ведландтом под названием Deterministic Set Automata.

Данная модель вычислений представляет собой конечный автомат, к кото-

рому в качестве структуры данных добавлено множество, которое мы называ-

ем словарём. Работа с множеством организована через рабочую односторон-

нюю ленту, на которую автомат пишет слово, после чего выполняет запрос на

добавление слова в словарь, на удаление слова из словаря (в случае наличия)

и на проверку слова на наличие в словаре. После каждого запроса рабочая

лента опустошается.

Авторы модели ставили цель построить семейство языков, обладающее

хорошими свойствами замкнутости и разрешимости естественных вопросов.

Поиск такого семейства является важным и интересным вопросом в области

формальных языков: при выходе за пределы КС-языков в иерархии Хомского

многие важные вопросы, такие как проблема пустоты, перестают быть раз-

решимыми, а классов языков, близких по хорошим свойствам к КС-языкам,

известно довольно мало – авторы модели автоматов со словарём приводят

в пример только весьма экзотические модели, обладающие сравнимыми с

КС-языками характеристиками.

Основные результаты главы 4

В главе, посвящённой автоматам со словарём, мы показываем, что хорошие

структурные свойства детерминированной модели не случайны: недетерми-

нированные автоматы со словарём распознают языки, образующие главный

рациональный конус. Также мы классифицируем по сложности языки, рас-

познаваемые детерминированными и недетерминированными автоматами со

словарём: они распознают языки, лежащие, соответственно, в классах P и

NP. Также мы приводим примеры полных в данных классах языков, распо-

знаваемых автоматами со словарём.

20

Заключение

Исследование задачи регулярной реализуемости позволяет установить со-

ответствие между формальными языками малой вычислительной сложности

и вычислительными классами сложности. Это соответствие открывает но-

вый взгляд на соотношения между сложностными классами и даёт новое

приложение технике рациональных конусов.

Генератором рационального конуса языков, распознаваемых автоматами со

словарём, является язык корректных протоколов работы автомата со словарём.

В свою очередь, правильные скобочные выражения, образующие язык Дика

D2, являются в некотором смысле протоколами корректной работы стека.

Получается, что генератор рационального конуса можно рассматривать как

язык корректных протоколов некоторой модели вычислений, и на основании

этого протокола строить модель.

В приглашённом докладе на конференции CIAA 20168 Б. Хусаинов пред-

ставил способ построения моделей вычислений с моделью памяти в виде

алгебраических структур. Этот способ идейно близок к технике рациональных

конусов, и их комбинирование может привести к интересным результатам в

области формальных языков.

Основные результаты диссертации сформулированы в положениях, выно-

симых на защиту, (стр. 11 автореферата) и в конце обзоров соответствующих

глав диссертации.

Работы автора по теме диссертации

1. Рубцов А. А. О регулярных языках-подсказках в модели обобщенных

недетерминированных автоматов // Математические модели и задачи

управления: сборник научных трудов. — М., 2011. — С. 61—67.821st International Conference on Implementation and Application of Automata

21

2. Рубцов А. А. Исследование на жесткость моделей обобщенных недетер-

минированных автоматов // Труды 54-й научной конференции МФТИ.

Управление и прикладная математика. Т. 1 (10—30 нояб. 2011). — М. :

МФТИ, 2011. — С. 61—62.

3. Рубцов А. А. Исследование автоматных преобразований контекстно-

свободных языков // Труды 55-й научной конференции МФТИ. Управ-

ление и прикладная математика. Т. 1 (19—25 нояб. 2012). — М. : МФТИ,

2012. — С. 164.

4. Вялый М. Н., Рубцов А. А. Алгоритмическая разрешимость задач о по-

ведении автоматов на сверхсловах // Дискретный анализ и исследование

операций. — 2012. — Т. 19, № 2. — С. 3—18.

5. Рубцов А. А. Исследование функции высоты контекстно-свободных язы-

ков // Труды 56-й научной конференции МФТИ. Управление и при-

кладная математика. Т. 1 (25—30 нояб. 2013). — М. : МФТИ, 2013. —

С. 128—130.

6. Рубцов А. А. Исследование задачи регулярной реализуемости для

контекстно-свободных языков // Проблемы теоретической кибернетики.

Материалы XVII международной конференции (Казань, 16—20 июня

2014). — Казань : Отечество, 2014. — С. 246—248.

7. Rubtsov A. Regular realizability problems and context-free languages //

Abstracts of Reports and other materials of the 7th School “Computer Sci-

ence Days in Ekaterinburg” (Aug. 23–25, 2014). — Ekaterinburg, Russia :

Ural University Press, 2014. — Pp. 25–27.

8. Рубцов А. А. О возможностях и ограничениях автоматов со словарём

(Set Automata) // Труды 57-й научной конференции МФТИ. Управление

и прикладная математика. Т. 1 (24—29 нояб. 2014). — М. : МФТИ, 2014. —

С. 123—125.

22

9. Рубцов А. А. О вычислительной сложности языков, распознаваемых

автоматами со словарём (Set Automata) // Дискретные модели в тео-

рии управляющих систем: IX Международная конференция (Москва и

Подмосковье, 20—22 мая 2015). — М. : МАКС Пресс, 2015. — С. 207—210.

10. Rubtsov A. A., Vyalyi M. N. Regular Realizability Problems and Context-

Free Languages // Descriptional Complexity of Formal Systems. Vol.

9118. — Springer International Publishing, 2015. — Pp. 256–267.

11. Вялый М. Н., Рубцов А. А. О задачах регулярной реализуемости для

контекстно-свободных языков // Проблемы передачи информации. —

2015. — Т. 51, № 4. — С. 47—59.

12. Рубцов А. А. О связи задач регулярной реализуемости с рациональными

конусами // Модели и методы обработки информации: сборник научных

трудов. — М., 2016. — С. 63—66.

В работах с соавторами личный вклад соискателя состоит в следующем.

В [4] соискатель доказал существование сверхслов, для которых разрешима

задача префиксной реализуемости, но не разрешима монадическая теория, и

установил эквивалентность по разрешимости произвольной задачи регулярной

реализуемости и некоторой задачи префиксной реализуемости. В работах

[10; 11] (конференционная публикация и журнальная версия статьи) автором

была установлена принадлежность задачи недетерминированной регулярной

реализуемости для КС-языков с полиномиально ограниченным рациональ-

ным индексом классу NSPACE(log2 n), получена классификация9 основных

рациональных подконусов конуса КС-языков по сложности задачи недетер-

минированной регулярной реализуемости, а также доказано существование

языка, который не является генератором конуса КС-языков, для которого

при этом задача регулярной реализуемости P-полна.

9по модулю стандартных гипотез вычислительной сложности

23

Рубцов Александр Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ РЕГУЛЯРНОЙ

РЕАЛИЗУЕМОСТИ

Автореферат

Подписано в печать 2016. Формат 60 × 84 1/16. Усл. печ. л. 2. Тираж

100 экз. Заказ № . Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего образования «Московский

физико-технический институт (государственный университет)» Отдел

оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл.,

г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

24