УШ

(VI. Y.№>260Q U3 1МС2

уч овласов n j и 'Введение в гармонически й анализ|'07

1ЫЙ;миит)

Кафедра «Прикладная математика-1 »

Ю.П. Власов, Е.В. Мельниченко

ВВЕДЕНИЕ В ГАРМОНИЧЕСКИМ АНАЛИЗ

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических

указанийдля студентов специальности АТС

Москва - 2007

УДК 004 В-60, М-03

Власов Ю.П., Мельниченко Е.В. Введение в гармонический анализ.Методические указания к практическим занятиям и лабо

раторным работам с использованием системы автоматизированных математических вычислений Mathcad.М.: МИИТ, 2007. - 50 с.

Методические указания содержат задания по дисциплине «Высшая математика», выполнение которых предполагается с использованием системы автоматизированных математических вычислений Mathcad. Задания охватывают следующие темы: ряды Фурье, дискретное преобразование Фурье, интеграл Фурье. Указания предназначены для использования на практических занятиях, лабораторных работах и в самостоятельной работе студентами специальности АТС.

©Московский государственный университет путей сообщения

(МИИТ), 2007

Содержание

Предисловие........................................................................... 4

Задание 1. Ряды Фурье........................................................... 5

Задание 2. Дискретное преобразование Фурье и тригоно

метрический интерполяционный многочлен..................... 20

Задание 3. Интеграл Фурье. Интегральное преобразование

Фурье...................................................................................... 32

Список использованных источников.................................. 49

ПредисловиеСовременные устройства автоматики, телемеханики,

радиосвязи имеют дело с различными приёмами обработки

сигналов. Одним из важнейших методов такой обработки

является гармонический анализ сигнала, основанный на

разложении периодической функции, задающей сигнал, в

ряд Фурье, или выполнении дискретного преобразования

Фурье (строго говоря, выполнении обратного дискретного

преобразования Фурье) в зависимости от способа задания

функции и на интегральном преобразовании Фурье, если

функция непериодическая.

Методические указания “Введение в гармонический

анализ” предназначены для использования на практиче

ских и лабораторных занятиях, проводимых с применени

ем системы автоматизированных математических вычис

лений Mathcad. Они ориентированы на студентов тех спе

циальностей, для которых знание основ гармонического

анализа имеет важное значение, например, АТС и АУИ.

В методических указаниях студенту предлагается вы

полнить задания по темам:

1. Ряды Фурье.

2. Дискретное преобразование Фурье.

3. Интегральное преобразование Фурье.

Задание по каждой теме состоит из 30 вариантов. Пред

полагается, что студент будет выполнять один вариант из

каждого задания, используя систему автоматизированных

математических вычислений Mathcad. В качестве приме

ров рассмотрено выполнение заданий варианта 30. Учиты

вая программу по математике для студентов специально

сти АТС, авторы ограничились представлением формул в

действительной форме (формулы в комплексной форме

даны в виде сносок). Нормировочные множители учтены в

выражениях для коэффициентов преобразований.

1. Ряды Фурье.Выражение

а о2 + 1П=1

a n*cos 2 л •п •х , . 2 л •п •х ̂+ b n-sm-----------Т у

где

а П ^ J f (х) • cos— ~~ Х- dx, п = 0,1,2, 1 _т/2 1

2 Т/2ьп=- J ад-Т/2

. 2л -п -х .•sm---------dx,Т

п = 1,2,

( 1)

(2)

сопоставляемое функции f(x), имеющей период Т, называется рядом Фурье для данной функции.

Заметим, что в связи с периодичностью подынтеграль

ных выражений в формулах (2), интегрирование по отрезку

[-Т/2, Т/2] может быть заменено интегрированием по лю

бому отрезку длиной Т, например,

Выражение (1) с помощью преобразований может быть

приведено к виду

Теорема Дирихле.

Если периодическая функция f(x), имеющая период

Т, кусочно-монотонна на отрезке [-Т/2,Т/2] (то есть отре

зок [-Т/2,Т/2] можно разложить на конечное число отрез

ков, внутри которых по отдельности функция монотонна)

и имеет на нём не более, чем конечное число точек разры

ва первого рода, то её ряд Фурье сходится к значению

функции f(x) в каждой точке непрерывности и к полусум-

(3)

+ Фп (4)

ме f(x0 + 0 )+ f(x0 -0 ) в каждой точке разрыва х = х 0.

Таким образом, если ряд Фурье (1), (4) сходится к

функции f(x), то он задаёт разложение этой функции на

гармонические составляющие:

1 П=1

2 п •п •хa n 'cos--------- + Ь,

. 2ж•п •х ̂sin----------Т )

или

jv \ . . (2% • п • х Лf(x)= 2 ,A n-sml— - — + Ф,п=0

причём амплитуда А п= -^а„ + Ь„ характеризует вклад в

этот ряд гармоники с частотой ю(п) = п • 0= — , а фаза ср„ е [0;2л), которая оп

ределяется по значениям двух тригонометрических функ-

„ • а„ Ьп „ , „ции sm(pn = ——, cos(pn = ——, является начальной фазой А„ Ап

этой гармонической составляющей.

Задание 1.Периодическая функция у=у(х) задана аналитически на

одном периоде [-Т/2; Т/2].

1.1. Постройте график данной функции.

1.2. Вычислите значения коэффициентов ряда Фурье а п и

Ьп (для п=0,1 ,2 ,..., 20).

1.3. Вычислите значения величин Ап и ср„ .

1.4. Выведите найденные значения a n, Ьп, Ап и срп .

1.5. Постройте графики амплитудной характеристики Ап

и фазовой характеристики ср п .

1.6. Составьте таблицу значений частичных сумм ряда Фу

рье Sk(x) и постройте на отрезке [-Т/2; Т/2] графики

функций f(x) и частичных сумм Sk(x)npn k = 1, 5, 20. При

Известно, что ряд Фурье для периодической функции f[x) может

быть представлен также в комплексной форме

оо

f(x )= Z Cm

m m=l, 2 , .. .

С-ш = С*m

-Т/2

При этом

этом на каждом рисунке расположите графики исходной

функции и одной частичной суммы ряда.

1. Т = 4 , у(х) =

2. Т = 2п, у(х) =

х + 2, х е [

'2 _ 71—х + 2, х е -7 t;- —к 2

2 f 7t-

---- х, х е —п l 2 _

2 fn 71—х, х е 0 ; - 571 L 2_

2 „ Г71---- х + 2, х е —;7t .7Т

3. Т = 271, у(х) =[l + sinx, х е [-л;О],

х е (0;я].

4. Т = 2л , у(х) = •х + 1, x e [-7 i;0 j,

---- х + 1, х е (0;7t].п

ж

2- х ,ж

-х -2 , х 6 -ж; -ж

х е

2.( ж жV 2 2

2 ^ ( л— х + 2, х е —;п7t V 2

6. Т = ж, у(х) =COS X , X €

1----х, х еж

- 1 - ,о

0;!

7. Т = 2 , у(х) = •-х , х е [-1; О],

х2, хе(0;1].

8. Т = 271, у(х) =- + 1, х е [- 7г; О], ж

— — + 1, х е (0;я].

9. Т = 2ж, у(х) =fl-s in x , х е [-тг;0], [l, х е (О; я].

10. T = 2ti, у(х) = ----— • х2 +1, хе[-л ;7гж

12. Т

13. Т

14. Т

15. Т

4 Л л----- х, х е — ;0Зл 2

4 (п 71— х, х е О;—л 1 4J

4 4 гж ж----- х + —, х е --’--Зл 3 U 2.

= п , у(х) =1 + —х, х е

л

cosx, х е

= 2%, у(х)----х + 2, х е

ж

= 2л, у(х)1, х е [-л;О],1 -s in x , х е (0 ;л ].

= 2 , У(х) = *х х е [— 1; О],

хе(0;1].

7X + I• р г - ]Э Х £ l-p -= (x )X ‘ i7:

‘И > ) э х £xU!S + l l = (xu£[ 0 ^ - ] э х ‘ £ij ‘ 113 =

р 1 ) э х £г + х - '

£[l-I~) B X ‘x ‘[ 1 - г - ] э х £г - х -

= 00* £fr =

Г 1 L u )

I - * .ж

£e “£э x £—+ x -----Z Z

жЭХ £(li + x) —

Z

= 00* £it3 =

u: t?Щ.

и

P ( ' “ £ °>

° -й ~

Э X £fr+X—-

Э X

Э X

t£x ---p

и£x ----

— ‘. Ж -c£ U£Э X £ —+ x ---

= 00* ‘uz =

1 Ж

1 61

1 81

1 'Ll

1 91

- x , x e

22. T

23. T

24. Т

25. Т

х, х е

-f;oЛ(

К

= л , у(х) =

2 3—х , х е л 2

л _ л 2 ’~ 4

= я » У(х) =

= 2л, у(х) =

4 ̂ 71.-

— х, х е 50л 1 4 _

1 Гл 71— х, х е 0 ;- .л V 2.

2 л 1----х, х ел 2

/ _ кsin х, х е 0 ; -- 1 2J

х|-х2, х е [-1:1].

'2 л—х + 2, х е -л ;-л "г

2 ' л _ -----х, х е “Т* *0л 1 2 _

0, х е (0; л].

‘Z 'X ]и ' жу

й '°

tZ и э х ‘ - + х ----£ Z

Э X

О- ж

[z ‘z - ] Э X

ж‘X —

UЭ X ‘ X

00* ‘ 1

I

;1хИI = 00* ‘1

' 3 , }и

Э X2Х

‘х -зэ х ‘х uts

00* ‘ 2

•[Ш-]эх £гх=(х)Х

{ 3"| ж.ж ‘ — Э X ‘7 + X — —uj 3

Гзс U—‘о э х ‘х —ж и) 3

= 1 '0£

= 1 '63

= 1 83

= 1 '33

= 00* “3 = 1 '93

Пример выполнения задания 1.

Вариант 30.Зададим функцию и построим её график. Чтобы задать в

системе Mathcad кусочную функцию, введите имя функ

ции и знак присваивания. Затем выберите панель Pro

gramming и на ней функцию Add Line. Введите выраже

ние для вычисления функции у(х) на первом промежутке.

На той же панели Programming выберите функцию if и

введите в свободной позиции неравенства, задающие пер

вый интервал. После этого перейдите в свободную пози

цию второй строки и повторите описанные выше действия.

Для получения третьей строки выделите вторую строку,

нажимая клавишу пробел, и вновь выберите функцию Add

Line. В результате получим:

у(х) := -1 -л---- х if — < х< 071 24 п— х if 0 < х< — п 4

-2п

3х+ -

2if

7t4

< х <тс2

Зададим и вычислим коэффициенты ряда Фурье ак и Ьк :

п := 20 к:=0..п Т := -л Тm := —

1 {' к - х - п ' '

2

, 1 Гт / \( k-x-я ]ак :=—‘ y(x)-cos d> b := — y(x)-smК ш v m ; к ш \ т . )

- ш J - шЗададим и вычислим значения амплитуды Ак и фазы срк .

При вычислении фазы используется функция angle(x,y),

которая вычисляет угол (в радианах) из интервала [0;2тт)

между положительной полуосью х и радиус-вектором в

точку (х;у). Поэтому в качестве первого аргумента вводим

значение косинуса фазы cp k , а второго - значение синуса.

Кроме того, нужно учитывать, что если значение А к= 0 ,

то угол фк будем считать равным 0. В программе фк= 0 ,

если А к< 1/1000.

v = Фк:=( b, а,

angleА. КК к к )

if А. >к1

1000

0 if А < к1

1000

Выведем найденные значения к, ак, Ьк , А ки срк :

к = а к = сг II > II Фк =0 0.875 0 0.875 1.5711 -0.203 0.304 0.365 5.6952 -0.152 0 0.152 4.7123 -0.023 -0.034 0.041 3.734 0 0 0 1.7645 -8.106-10'3 0.012 0.015 5.6956 -0.017 0 0.017 4.7127 -4.136 -6.203-10'3 7.455-10'3 3.738 0 0 0 09 -2.502-10'3 3.753-10'3 4.51-10"3 5.695

10 -6.079-10'3 0 6.079-10'3 4.71211 -1.675 10'3 -2.512-10'3 3.019 10'3 3.7312 0 0 0 013 -1.199-10'3 1.799-10'3 2.162-10'3 5.69514 -З.Ю2-103 0 З.Ю2-10'3 4.71215 -9.006 10^ -1.351-10'3 1.624-10'3 3.7316 0 0 0 017 -7.012-10"4 1.052-10'3 1.264-10'3 5.69518 -1.876-10'3 0 1.876-10"3 4.71219 -5.613-10-4 -8.42-1 O'4 1.012-10'3 3.7320 0 0 0 0

Зададим функцию S(x,n) для вычисления суммы первых п

членов ряда Фурье:

S(x,n)

Построим графики зависимостей амплитуды и фазы от к:

к

Построим в одной системе координат график исходной

функции и графики частичных сумм ряда Фурье для п=1,

п=5 и гг=20 соответственно:

У(х)• • •S(x,20)

2. Дискретное преобразование Фурье.Непосредственное использование формул (1-4) воз

можно, если обработка сигнала осуществляется вычисли

тельными устройствами, работающими в непрерывном

времени, так называемыми аналоговыми устройствами.

Однако в настоящее время для обработки сигналов широко

применяются дискретные устройства, построенные на базе

цифровых ЭВМ. При такой цифровой обработке непре

рывный сигнал, задаваемый функцией f(x), заменяется по

следовательностью его значений, взятых при некоторых,

обычно равноотстоящих, значениях аргумента с шагом h,

называемым шагом дискретизации. Полученная дискрети

зированная функция называется сеточной или решётчатой

функцией.

Пусть заданы значения периодической, имеющей пери

од Т, функции у = f (х) при значениях аргумента х k,

Тyk = f(xk) , где хк = к • h , где h = — . Отсюда, 2п - число2п

равных отрезков, на которые делится отрезок, длина кото

рого равна одному перцоду. В связи с периодичностью

исходной функции у = f(x), функция целочисленного аргу

мента у k также является периодической, с периодом 2п, и

поэтому достаточно задать значения у к для 2п последо

вательных значений к. Обычно рассматривают значения

у к для к = -п + 1 ,-п + 2,...,0 ,1,...,п или к = 0,1,...,2п-1.

В дальнейшем, к = -n +1, - п + 2 , 0,1,..., п и все значения

аргумента х к принадлежат отрезку [ - Т/2; Т/2].

Дискретным преобразованием Фурье в действительной

форме называются две функции целочисленного аргумента

a m= - ‘ X y k - c°s(m-©0-k-h),1 k=-n+l

h nb m= —‘ ^ У к 'sin(rn-coo-k-h).

1 k=-n+I(5)

Ясно, что b0 = bn = 0.

По аналогии с формулами для ряда Фурье, функции у к ставится

в соответствие комплекснозначная функция целочисленного аргу

мента ш

Cm = z yt e-im"»k h . ik=-n+l 1

которая называется дискретным преобразованием Фурье для исходной

функции. При этом | Ст | характеризует суммарный вклад тех гармо

ник, частоты которых находятся в промежутке [ш -со q; (m + 1) со q ].

Функция целочисленного аргумента у k представляется

в виде суммы гармоник:П

Ук = « 0 + 2 ( a nrcos(m -®0 - к •h)+Pm-sin(m-C!)0 -k-h)),(6)Ш=1

где а 0= а 0, a m= 2 a m (ш=1,2, ...,n-l), а п= а п,

Pm= 2 b m (т=1,2,...,п). (7)

Формула (6) задаёт обратное дискретное преобразова

ние Фурье. Она по дискретному преобразованию Фурье

восстанавливает функцию целочисленного аргумента у k .

Значения сеточной функции у к однозначно восстанавливаются по

ее коэффициентам Фурье по формуле

пУк= I

m=-n+lс~ -еm

ш со,,-к h

называемой обратным дискретным преобразованием Фурье.

Дискретное преобразование Фурье с т является периодической

функцией целочисленного аргумента с периодом г = 2 п , то есть

Cm+2n = с ш ПРИ Л1°б °м ш. Представляя комплексные значения

с т в алгебраической форме с т = а т — i b m, а т = R e c m ,

Ьт = — 1 т с т можно получить выражения для действительной и

мнимой части дискретного преобразования Фурье.

Рассмотрим функциюП

ф(х) = а 0+ ^ ( a m-cos(m-

2.4. Найдите значения функции ф(х) на отрезке

Т , Т----- 1- hi;—2 1 2

Тс шагом hj = и постройте графики ис

ходной функции и тригонометрических интерполяционных

многочленов. При этом на каждом рисунке расположите

график исходной функции и график одного тригонометри

ческого интерполяционного многочлена.

2.5. Найдите аналог амплитудной и фазовой характеристи-

I 2 2ки в дискретном преобразовании Фурье: А т = д/ а т + (3 т ,

ос (3Ф т е [0;2тс): sin ф т = ——. cosф т = —— . ПостройтеА

их гра

фики.

Пример выполнения задания 2.

Вариант 30.Зададим функцию и построим её график:

у(х) := -1 . . -71---- х if — < х< 0п 2

4 тг— х if О < х< - п 4

-2 3 ._ 71 71---- X н— if — < х< —я 2 4 2

Зададим значение периода Т, числа п и формулы для вы

числения циклической частоты ю0 и шага разбиения h:

2тс , ТУ := л п := 4 юл := — п :=-----

Т 2-п

Выведем полученные значения циклической частоты ©0 и

шага разбиения h:

00 = 2 h = 0.393

Составим таблицы значений аргумента х k (обозначим

х2(к)) и значений функции у к (обозначим у2(к)):

у2(к) := y(k-h) х2(к) := k h

к := -п + 1,-п + 2..п

и напечатаем их:

к = х2[к) = у2(к) =-3 -1.178 0.375-2 -0.785 0.25-1 -0.393 0.1250 0 01 0.393 0.52 0.785 13 1.178 0.754 1.571 0.5

Вычислим коэффициенты a m = a(m) и b ,

П1

а(ш) := ■2-п

^ (y2(k)cos(mciJ0'k-h))

k = - n+1

b(m) := — 2-п

^ (y2(k)-sin(m-coo-k-h))

к = - п+1

= Ь(ш)

и выведем их значения:m := -n + 1.. п

m = а(ш) = b(m) =

Вычислим коэффициенты а т и Рт

а ( т ) := a(0) if ш < 1

2-а(ш) if 1 < т < п - 1

а(т) if ш > п - 1

Р (т) := 2 Ь(ш)

и выведем их значения:т := 0 ,1 .. п

ш = а(ш) = Р(т) =0 0 438 01 -0.213 0.322 -0.188 03 -0.037 -0.0554 0 0

Зададим функцию Ф(У) (обозначим Ф2(у)):п

Ф2(у):=а(0)+ ^ (a(m)-cos(mcoo-v) + P(m)-sin(tn40o'v))m = i

Построим в одной системе координат график исходной

функции и полученного интерполяционного многочлена:-т -т т т2 ’ 2 100" 2

Вычислим амплитуду и фазу и построим их графики:

A(m) :=Ja(m)2 + Р(т)2

Ф(ш) := angle

О if А(т) <

р(ш) а(ш) А(т) ’ А(т)

1

if А(ш) > 11000

ш

m

Выполняя действия для п=2 и для п=16, получим следую

щие графики интерполяционных многочленов, амплитуды

и фазы:

# (m)

0.5-O

0.4-

0.3'

0.2 -

0.4>99(ргрф(р

3. Интеграл Фурье. Интегральное преобразование Фурье.

Задание 1 и задание 2 были посвящены гармоническому

анализу периодических функций, заданных на всей число

вой оси или при отдельных значениях аргумента с шагом

h. В этих случаях исходная функция представлялась в виде

ряда или конечной суммы гармонических функций с неко

торыми амплитудами и частотами, кратными основной

2 71 _частоте ©0= — . Этот раздел посвящен гармоническому

анализу непериодических функции, для которых сущест-00

вует Jl f(x) |dx.

Аналогично определению ряда Фурье (1), вводится оп

ределение интеграла Фурье. Интегралом Фурье называется

представление непериодической функции в виде00

f (х) = j[ а(ю) • cos( о • х) + Ь(со) • sin( со • х)] • dco, (9)о

где

а(со) = — Jf(x)-cos(co-x)dx ,

( 10)b(w) - - n —00

которое показывает, что непериодическая функция разла

гается в “интегральную сумму” гармонических функций с

частотами от 0 до да.

Jf(x) •sin (сох) dx.

Задание 3.

Дана непрерывная на отрезке [c;d] непериодическая функ

ция у(х), принимающая значение равное нулю вне отрезка

Ь Л

3.1. Вычислите значения коэффициентов интегрального

преобразования Фурье а(со) и Ь(©) для значений аргумента

© из отрезка О,10-2л: с шагом h = %d - c d - c

3.2. Вычислите значения амплитудной

А(©) = д/ а(ю)2 + b(©)2 и фазовой характеристики

Формулы (9), (10) могут быть записаны в комплексной форме

ОО 1 00f (x )= Jc(©)-e-K0'xdffl, с(ю) = — Jf(x )-e 1{0X dx

—00 —СО

,cos

3. у(х) =

4. у(х) =

2—х + 2, х е - л ; -л

2 л----х, х е71 \ 2

2 71—х, х е 0 ; -ТС к 2J

2 ( л----х + 2, х е ~ ; лл и .

О, xg[-7t;7i].

1 + sinx, х е [-и;О],• 1, х е (0;7iJ,О, х g [-я;7с].

— х + 1, х е [- л; О],Л

2• ---х + 1, х е (0;7г],л

О, х £ [-7i; 7t}

6. у(х) =

7. у(х) =

8. у(х) =

г 2---- х - 2, х е -тг;

ял 2_

2 f л я— х, х е — —л 1 2 2 .

2 ( Л '---- х + 2 .х е —;л ,л V2 _

0, х g [-л; я].

cos х, х е я _50 ,2

t 2 я1---- х, х е 0 ; - 971 2j

0, X г л _Я9- 2 2 _ ‘

-X, х е [— 1; О],

х2, xe(0;l],0. x g [ - l;l].

—+ 1, х е [—я;0], я

< - — +1, х е (0; я], л

z t zЖ ' Ж

4 -

X ‘0

э x ‘xsoo

жX ‘X —+T

г

= (x)X T l

z t z _ж ’ ж

ж ‘ ж у7 Л

2 X ‘О

t £ “ £Э X + х -----t7 t7

ж •Оit

У

о 4 -

Э X

Э X

‘X-

« “ £‘X-----

= 00* ’l l

7ЭЭХ ‘I + гх ~ • = 00* '01

•[u iii-]?x ‘о‘[и?о)эх ‘I ■

‘[о ^ -] э X ‘XUIS- t

= (х)Х в

13. у ( х ) —

2 2 ж— х + — , х е - ж ; —Зж 3 L 2

2 ̂ж- - - - - х + 2, х е — ; т г

ж 12 .О, х g [— л ; я ] .

14. у ( х ) =

1, х е [ - л ; О ] ,1- s i n x , х е ( 0 ; л ] , О, х

л-(х+л), XG Л

2 2---- х н— , х еЗл 3

Л

_ 2 ;Я

18. у(х) =

19. у (х)=

ё [- л; л}

- х - 2 , х g [—2 ;- l] , х, х g (— 1; l],- х + 2, x g (1;2],0, х г [ - 2;2}

1, х g [-7t;0],1 + sinx, xe(0;7i], О, х £ [-л ;л ].

20. у(х)=1

.2 ’ х е [-2;2],1 + х'О, х € [- 2;2}

21. у(х) =

-X, X €

X, X G

л

л

О

л л 2 ’ 2

23. у(х) = -

2 3 л _— х + —, х е 9—я 2 L 2

4 ̂ л .----х, х е 90я 1 4

1 fn п— х, х е ° ; - ?я V 2.я я

0, х(? 9—L 2 2.

2 я 1----х, х е —л 2

/ 1л яsin х, х е 0 ; - 9

О, х €Я _ Я 2*2

24.х € [- l;lj

X fiS [—1;1].

25. у(х) =

2 я—х + 2, х е - я ; - —я 2

2 Г 71 л----х, х ея 1 2 J

0, х £ [- я;0].

£оlxl + I‘[1 ‘-1 - ] э х ‘i-i—

г . ги'ж 2 х ‘О

Z t ) . “— tn Э X -X —“ j Z

жЭ Х ‘X UIS

•[lU-]»x £о]■ [й -]эх ‘г х\

‘о' . 1 } « “Ж ‘ — Э Х ‘7 + Х ------“J з! ;о Э X ‘X-

ж

(х)Х *63

= (Х)Л -83

(х)Х ‘/,3

(х)Х -93

30. У(Х):

— X,к

х е - | ;о

4 I л 71- х , XS 0;—тс V 4

2 3 f----X + —, X €тс 2

0, X £

ТС ' тсИ ’2.

тс п~ 2 ’ 2

Пример выполнения задания 3.

Вариант 30.Зададим функцию и построим её график:

у(х) := — х if — < х< О п 2

4 %— х if 0 < х < - л 4

-2 3 л л---- х + — if — < х< —л 2 4 2

О otherwise

х

Зададим формулы для вычисления коэффициентов а(

Ь(ю) := - •7С

гО

- ж2

— х |-sin(U 1 2J

а также формулы для вычисления амплитуды и фазы:

а (ю) := -J а(ю)2 + ь(ю)2

ф(ю) := i f а ( со) >1

1000

0 i f а ( со) <1

1000

с-я2

© =

я© := 0,—----d -cb(©) =

10-2-яd -c

а (©) = ф(©) =

0 0.438 0 0.438 1.5711 0.242 0.126 0.272 1.092 -0.101 0.152 0.183 5.6953 -0.21 0.082 0.225 5.0824 -0.076 0 0.076 4.7125 0.026 -0.029 0.039 2.4136 -0.011 -0.017 0.02 3.737 -0.047 -2.57-10-3 0.047 4.6588 0 0 0 09 0.034 1.554-10-3 0.034 1.526

10 -4.053-10-3 6.079-10-3 7.306-10-3 5.69511 -0.037 6.065-10-3 0.037 4.87612 -8.443-10-3 0 8.443-10-3 4.71213 0.019 -4.342-10-3 0.019 1.79614 -2.068-10-3 -3.102-10-3 3.728-10-3 3.7315 -0.022 -5.596-104 0.022 4.68616 0 0 0 017 0.018 4.357-104 0.018 1.54718 -1.251-10-3 1.876-10-3 2.255-10-3 5.69519 -0.019 2.033-10-3 0.019 4.81720 -3.04-10-3 0 3.04-10-3 4.712

При построении графиков амплитудной и фазовой харак

теристик используем значения функций а(ю) и Ь(ю) с ша

гом h = я10-(d -c )

© := 0,----------10-(d - с)

10-2-яd -c

ю

Зададим функцию z(x) для М = ю0 (обозначим ее zl(x)):

х:= с - 2 ,с - 1.8.. d + 2

2-пM l := ■

zl(x) :=

d -c

r M l

70

Ml = 2

(a((o)cos(o)-x) + b(co) •sin(o)-x)) dra

и выведем ее значения:

-3.571 -0.01-3.371 4.278-10-3-3.171 0.02-2.971 0.034-2.771 0.047-2.571 0.058-2.371 0.065-2.171 0.071-1.971 0.077-1.771 0.084-1.571 0.096-1.371 0.113-1.171 0.139-0.971 0.174-0.771 0.217-0.571 0.269-0.371 0.326-0.171 0.3840.029 0.440.229 0.4890.429 0.5260.629 0.5460.829 0.5491.029 0.5311.229 0.4931.429 0.4381.629 0.371.829 0.2922.029 0.212.229 0.1312.429 0.0592.629 -9.432-10-42.829 -0.0463.029 -0.0743.229 -0.0863.429 -0.083

Построим в одной системе координат графики функций

У = У(х) и у = zl(x ):

tДля М = 5 ш0 и М = 10-оо0 получим, соответственно,

функции у = z2(x) и у = z3(x) и построим их графики:

t

t

Список использованных источников.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные

методы. М., Бином. Лаборатория знания, 2004.

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математи

ческого анализа. М , Издательство Физико-математической

литературы, 2002.

3. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.,

Высшая школа, 2002

4. Дьяконов В. Mathcad 2000. Учебный курс. СП., 2001.

5. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad. Математический

практикум для инженеров и экономистов. Учебное посо

бие. М.: Финансы и статистика, 2003.

6. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на ба

зе MATHCAD., C.-П., БХВ-Петербург, 2005

7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и инте

грального исчисления. М., Физматлит, 2003.

Учебно-методическое издание

Власов Юрий Павлович, Мельниченко Елена Вячеславовна

ВВЕДЕНИЕ В ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

М етодические указания к практическим занятиям и лабораторным работам с использованием

системы автоматизированных математических вычислений Mathcad

Подписано в печать /Л. №. О?. Тираж -